Lista de exercicios de EDO

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM125 - Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Professora: Monique Rafaella Anunciac¸a˜o de Oliveira
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Determine a ordem da equac¸a˜o diferencial e diga se ela e´ linear ou na˜o-linear.
(a) t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sen(t).
(b) (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et.
(c)
d4y
dt4
+
d3y
dt3
+
d2y
dt2
+
dy
dt
+y = 1.
(d)
dy
dt
+ ty2 = 0.
(e)
d2y
dt2
+ sen(t+ y) = sen(t).
(f)
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ [cos2(t)]y = t3.
Resposta: (a) 2a ordem, linear; (b) 2a ordem, na˜o-linear; (c) 4a ordem, linear; (d) 1a ordem, na˜o-linear;
(e) 2a ordem, na˜o-linear; (f) 3a ordem, linear
2. Verifique que cada func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et, y2(t) = cosh(t).
(b) ty′ − y = t2; y = 3t+ t2.
(c) y(4) + 4y′′′+ 3y = t; y1(t) = t/3, y2(t) = e−t + t/3.
(d) 2t2y′′+3ty′−y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2, y2(t) = t−1.
3. Determine os valores de r para os quais a equac¸a˜o diferencial dada tem uma soluc¸a˜o da forma y = ert.
(a) y′ + 2y = 0. (b) y′′ − y = 0. (c) y′′ + y′ − 6y = 0. (d) y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0.
Respostas: (a) r = −2; (b) r = ±1; (c) r = 2,−3; (d) r = 0, 1, 2
4. Determine os valores de r para os quais a equac¸a˜o diferencial dada tem uma soluc¸a˜o da forma y = tr para t > 0.
(a) t2y′′ + 4ty′ + 2y = 0. (b) t2y′′ − 4ty′ + 4y = 0.
Respostas: (a) r = −1,−2; (b) r = 1, 4
5. Determine a ordem da equac¸a˜o diferencial parcial dada e diga se ela e´ linear ou na˜o-linear.
(a) uxx + uyy + uzz = 0.
(b) uxx + uyy + uux + uuy + u = 0.
(c) uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0.
(d) ut + uux = 1 + uxx.
Respostas: (a) 2a ordem, linear; (b) 2a ordem, na˜o-linear; (c) 4a ordem, linear; (d) 2a ordem, na˜o-linear
6. Verifique que cada func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial.
(a) uxx + uyy = 0;u1(x, y) = cos(x) cosh(y), u2(x, y) = ln(x
2 + y2)
(b) α2uxx = ut;u1(x, t) = e
−α2t sen(x), u2(x, t) = e−α
2λ2t sen(λx), λ ∈ R.
(c) a2uxx = utt;u1(x, t) = sen(λx) sen(λat), u2(x, t) = sen(x− at), λ ∈ R.
7. Determine um intervalo no qual a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado certamente existe.
(a) (t− 3)y′ + ln(t)y = 2t, y(1) = 2.
(b) t(t− 4)y′ + y = 0, y(2) = 1.
(c) y′ + tg(t)y = sen(t), y(pi) = 0.
(d) (4− t2)y′ + 2ty = 3t2, y(−3) = 1.
(e) (4− t2)y′ + 2ty = 3t2, y(1) = −3.
(f) ln(t)y′ + y = cotg(t), y(2) = 3.
Resposta: (a) 0 < t < 3; (b) 0 < t < 4; (c)
pi
2
< t <
3pi
2
; (d) −∞ < t < −2; (e) −2 < t < 2; (f) 1 < t < pi
8. Determine a regia˜o do plano ty onde as hipo´teses do Teorema de Existeˆncia e Unicidade para equac¸o˜es na˜o-
lineares sa˜o satisfeitas.
(a) y′ =
t− y
2t+ 5y
.
(b) y′ = (1− t2 − y2)1/2.
(c) y′ =
ln |ty|
1− t2 + y2 .
(d) y′ = (t2 + y2)3/2.
(e)
dy
dt
=
1 + t2
3y − y2 .
(f)
dy
dt
=
cotg(t)y
1 + y
.
Respostas: (a) 2t+ 5y > 0 ou 2t+ 5y < 0; (b) t2 + y2 < 1; (c) 1− t2 + y2 > 0 ou 1− t2 + y2 < 0, t 6= 0, y 6= 0;
(d) Em toda parte; (e) y 6= 0, 3; (f) t 6= npi, n ∈ Z; y 6= −1
9. (a) Verifique que ambas as func¸o˜es y1(t) = 1 − t e y2(t) = − t
2
4
sa˜o soluc¸o˜es do problema de valor inicial
y′ =
−t+ (t2 + 4y)1/2
2
, y(2) = −1. Onde essas soluc¸o˜es sa˜o va´lidas?
(b) Explique por que a existeˆncia de duas soluc¸o˜es para o problema dado na˜o contradiz o Teorema de Existeˆncia
e Unicidade para equac¸o˜es na˜o-lineares.
(c) Mostre que y = ct+ c2, onde c e´ uma constante arbitra´ria, satisfaz a equac¸a˜o diferencial no item (a) para
t ≥ −2c. Se c = −1, a condic¸a˜o inicial tambe´m e´ satisfeita e obte´m-se a soluc¸a˜o y = y1(t). Mostre que na˜o
existe escolha de c que fornec¸a a segunda soluc¸a˜o y = y2(t).
10. (a) Mostre que φ(t) = e2t e´ uma soluc¸a˜o de y′ − 2y = 0 e que y = cφ(t) tambe´m e´ soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o para
qualquer valor da constante c.
(b) Mostre que φ(t) =
1
t
e´ um soluc¸a˜o de y′+y2 = 0 para t > 0, mas que y = cφ(t) na˜o e´ soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o
a menos que c = 0 ou c = 1. Note que a equac¸a˜o do item (b) e´ na˜o-linear, enquanto a no item (a) e´ linear.
11. Mostre que, se y = φ(t) e´ uma soluc¸a˜o de y′ + p(t)y = 0, enta˜o y = cφ(t) tambe´m e´ soluc¸a˜o para qualquer valor
da constante c.
12. Seja y = y1(t) uma soluc¸a˜o de y
′ + p(t)y = 0, e seja y = y2(t) uma soluc¸a˜o de
y′ + p(t)y = g(t). (1)
Mostre que y = y1(t) + y2(t) tambe´m e´ soluc¸a˜o da Equac¸a˜o (1).
13. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada.
(a) y′ =
x2
y
.
(b) y′ =
x2
y(1 + x3)
.
(c) y′ + y2 sen(x) = 0.
(d) (1 + x2)y′ − xy = 0.
(e) y2 − 1− (2y + xy)y′ = 0
(f) (ayx2 + by)y′ − x = 0 para a, b ∈ R, a 6= 0
(g) (
√
ax2 + b)y′ − xy3 = 0 para a, b ∈ R, a 6= 0
(h)
√
ay2 + b− xyy′ = 0 para a, b ∈ R, a 6= 0
(i) ay2 + b− x2yy′ = 0 para a, b ∈ R, a 6= 0
Resposta: (a) 3y2 − 2x3 = c, y 6= 0; (b) 3y2 − 2 ln |1 + x3| = c, x 6= −1, y 6= 0; (c) y−1 + cos(x) = c se y 6= 0;
(d) y = C
√
1 + x2; (e) y2 − 1 = C(2 + x)2; (f) y2 = ln |ax
2 + b|
a
+ C; (g) y−2 =
−2√ax2 + b
a
+ C;
(h)
√
ay2 + b = a ln |x|+ C; (i) ay2 = Ce−2a/x − b
14. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial em forma expl´ıcita. Determine, pelo menos aproximadamente,
o intervalo no qual a soluc¸a˜o esta´ definida.
(a)
 y
′ = (1− 2x)y2
y(0) = −1
6
(b)
 y′ =
1− 2x
y
y(1) = −2
(c)

dr
dθ
=
r2
θ
r(1) = 2
(d)
 y′ =
2x
y + x2y
y(0) = −2
(e)

dy
dx
= y(100− y)
y(0) = 1
Respostas: (a) y =
1
x2 − x− 6 ;−2 < x < 3; (b) y = −
√
2x− 2x2 + 4;−1 < x < 2; (c) r = 2
1− 2 ln(θ) ;
0 < θ <
√
e; (d) y = −
√
2 ln(1 + x2) + 4;−∞ < x <∞; (e) y = 100e
100x
99 + e100x
;−∞ < x < +∞
2
15. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado.
(a)
 x+ ye−x
dy
dx
= 0
y(0) = 1
(b)
 sen(2x) + cos(3y)
dy
dx
= 0
y(pi/2) = pi/3
Respostas: (a) y =
√
2(1− x)ex − 1; (b) y = arcsen(3 cos
2 x)
3
16. Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
(a) y′ + 3y = t+ e−2t.
(b) y′ +
1
t
y = 3 cos(2t), t > 0.
(c) (1 + t2)y′ + 4ty = (1 + t2)−2.
(d) 2y′ + y = 3t.
(e) y′ − 4
x
y = − 2
x3
.
(f) y′ − 1
x
y = −x.
(g) y′ − 4
x
y = x5ex.
Respostas: (a) y = Ce−3t +
t
3
− 1
9
+ e−2t; (b) y =
C
t
+
3 cos(2t)
4t
+
3 sen(2t)
2
; (c) y =
arctg(t) + C
(1 + t2)2
;
(d) y = Ce−t/2 + 3t− 6; (e) y = 1
3x2
+ Cx4; (f) y = −x2 + Cx, x > 0; (g) y = x5ex − x4ex + Cx4
17. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado.
(a)
{
y′ − y = 2te2t
y(0) = 1
(b)
 ty
′ + 2y = t2 − t+ 1
y(1) =
1
2
, t > 0
(c)
 y′ +
2
t
y =
cos(t)
t2
y(pi) = 0
, t > 0
(d)
{
ty′ + (t+ 1)y = t
y(ln(2)) = 1
, t > 0
(e)
{
2y′ − y = et/3
y(0) = a
(f)
{
y′ + (1− 2x)y = xe−x
y(0) = 2
(g)
{
y′ + 3t2y = e−t
3+t
y(0) = 2
(h)
{
y′ − cos(t)y = tet2+sen(t)
y(0) = 2
(i)
{
y′ + x4y = x4e
4x5
5
y(0) = 1
(j)

dy
dt
= 2te−
1
100 t − y
100
y(0) = 100
Respostas: (a) y = 3et + 2(t− 1)e2t; (b) y = 3t
4 − 4t3 + 6t2 + 1
12t2
, t > 0; (c) y =
sen(t)
t2
, t > 0;
(d) y =
t− 1 + 2e−t
t
, t > 0; (e) y = −3et/3 + (a+ 3)et/2; (f) y = −1
2
e−x +
5
2
ex
2−x; (g) y = et−t
3
+ e−t
3
;
(h) y =
1
2
et
2+sen(t) +
3
2
esen(t); (i) y =
1
5
e
4x5
5 +
4
5
e−
x5
5 ; (j) y = t2e−
1
100 t + Ce−
1
100 t
18. (a) Resolva o problema de valor inicial
{
y′ + 5x4y = x4
y(0) = y0
(b) Para quais valores de y0 a soluc¸a˜o e´ crescente e para quais valores de y0 a soluc¸a˜o e´ decrescente?
(c) Qual o limite de y(x) quando x→ +∞? O limite depende de y0?
Respostas: (a) y(x) =
1
5
+
(
y0 − 1
5
)
e−x
5; (b) A soluc¸a˜o e´ crescente para y0 <
1
5
e e´ decrescente para y0 >
1
5
;
(c) lim
x→+∞ y(x) =
1
5
; na˜o.
19. (a) Resolva o problema de valor inicial
{
(x2 − 9)y′ + xy = 0
y(5) = y0
(b) Qual o intervalo de validade da soluc¸a˜o?
3
(c) Qual o limite de y(x) quando x→ +∞? O limite depende de y0?
Respostas: (a) y(x) =
4y0√
x2 − 9 ; (b) x > 3, para y0 6= 0 e −∞ < x < +∞, para y0 = 0; (c) limx→+∞ y(x) = 0; na˜o.
20. Mostre que, se a e λ sa˜o constantes positivas e se b e´ qualquer nu´mero real, enta˜o toda soluc¸a˜o da equac¸a˜o
y′ + ay = be−λt tem a propriedade que y → 0 quando t → +∞. (Sugesta˜o: Considere os casos a = λ e a 6= λ
separadamente.)
21. Variac¸a˜o dos Paraˆmetros. Considere o seguinte me´todo de resoluc¸a˜o da equac¸a˜o linear geral de primeira
ordem
y′ + p(t)y = g(t). (2)
(a) Se g(t) = 0 para todo t, mostre que a soluc¸a˜o e´ y = Ae−
∫
p(t)dt, onde A e´ constante.
(b) Se g(t) na˜o for identicamente nula, suponha que a soluc¸a˜o da Equac¸a˜o (2) e´ da forma
y = A(t)e−
∫
p(t)dt, (3)
onde A, agora, e´ uma func¸a˜o de t. Substituindo y na equac¸a˜o diferencial dada por essa expressa˜o, mostre
que A(t) tem que satisfazer a condic¸a˜o
A′(t) = g(t)e
∫
p(t)dt. (4)
(c) Encontre A(t) da Equac¸a˜o (4). Depois substitua A(t)na Equac¸a˜o (3) pela expressa˜o encontrada e determine
y.
22. Use o me´todo do problema anterior para resolver a equac¸a˜o diferencial dada.
(a) y′ − 2y = t2e2t. (b) ty′ + 2y = sen(t), t > 0.
Respostas: (a) y = ce2t +
t3e2t
3
; (b) y =
c− t cos(t) + sen(t)
t2
23. Determine se cada uma das equac¸o˜es sa˜o exatas. Para as exatas, encontre a soluc¸a˜o.
(a) 2x+ 3 + (2y − 2)y′ = 0.
(b) 2x+ 4y + (2x− 2y)y′ = 0.
(c) (3x2 − 2xy + 2)dx+ (6y2 − x2 + 3)dy = 0.
(d)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
.
(e) (ex sen(y) + 3y)dx− [3x− ex sen(y)]dy = 0.
(f) (y/x+ 6x)dx+ [ln(x)− 2]dy = 0, x > 0.
Resposta: (a) x2+3x+y2−2y = C; (b) Na˜o e´ exata; (c) x3−x2y+2x+2y3+3y = C; (d) ax2+2bxy+cy2 = C;
(e) Na˜o e´ exata; (f) y ln(x) + 3x2 − 2y = C
24. Resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a soluc¸a˜o e´ va´lida.
(a)
 (2x− y) + (2y − x)
dy
dx
= 0
y(1) = 3
(b)
 (9x2 + y − 1)− (4y − x)
dy
dx
= 0
y(1) = 0
Respostas: (a) y =
x+
√
28− 3x2
2
, 0 < x <
√
28
3
; (b) y =
x− (24x3 + x2 − 8x− 16)1/2
4
, 24x3+x2−8x−16 > 0
25. Encontre o valor de b para o qual a equac¸a˜o dada e´ exata e, enta˜o, resolva-a usando esse valor de b.
(a) (xy2 + bx2y) + (x+ y)x2
dy
dx
= 0. (b) (ye2xy + x) + bxe2xy
dy
dx
= 0.
Respostas: (a) b = 3;x2y2 + 2x3y = C; (b) b = 1; e2xy + x2 = C
26. Mostre que qualquer equac¸a˜o separa´vel M(x) +N(y)y′ = 0, tambe´m e´ exata.
27. Mostre que as equac¸o˜es na˜o sa˜o exatas mas tornam-se exatas ao serem multiplicadas pelo fator integrante dado.
Depois resolva as equac¸o˜es.
4
(a) x2y3 + x(1 + y2)y′ = 0, µ(x, y) =
1
xy3
.
(b) y + (2x− yey)dy
dx
= 0, µ(x, y) = y.
(c) (x+ 2) sen(y) + x cos(y)
dy
dx
= 0, µ(x, y) = xex.
Respostas: (a) x2 + 2 ln |y| − y−2 = C; tambe´m y = 0; (b) xy2 − (y2 − 2y + 2)ey = C; (c) x2ex sen(y) = C
28. Encontre um fator integrante e resolva a equac¸a˜o dada.
(a) y′ = e2x + y − 1. (b) 1 + [x/y − sen(y)]dy
dx
= 0. (c) y + (2xy − e−2y)dy
dx
= 0.
Respostas: (a) µ(x) = e−x; y = Cex + 1 + e2x; (b) µ(y) = y;xy + y cos(y)− sen(y) = C; (c) µ(y) = e
2y
y
;
xe2y − ln |y| = c; tambe´m y = 0
29. Resolva as equac¸o˜es diferenciais.
(a)
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
.
(b)
dy
dx
=
x2 + 3y2
2xy
.
(c) t2y′ + 2ty − y3 = 0, t > 0.
(d)
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y .
(e)
dy
dx
=
x+ 3y
x− y .
(f) x2 + 3xy + y2 − x2 dy
dx
= 0.
(g) y′ +
2
t
y =
y3
t3
.
(h) y′ +
4
t
y = −t5ety2.
(i)
dy
dx
+
x2 − 3y2
2xy
= 0.
Resposta: (a) y = x tg(ln |x|+ C); (b) y2 = x2(Cx− 1); (c) y2 = 5t
2 + Ct5
, t > 0; (d) y = x+ C(y + 3x)5;
(e) ln |y + x| = − 2x
y + x
+ C; (f) y = −x
(
1 +
1
ln |x|+ C
)
; (g) y2 =
3t2
1 + Ct6
; (h) y =
t−4
tet − et + C ;
(i) y2 = x2(Cx+ 1);
30. Mostre que y1(t) e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial dada, e encontre a soluc¸a˜o geral.
(a) y′ = 1 + t2 − 2ty + y2; y1(t) = t.
(b) y′ = − 1
t2
− y
t
+ y2; y1(t) =
1
t
.
(c)
dy
dt
=
2 cos2(t)− sen2(t) + y2
2 cos(t)
; y1(t) = sen(t).
Respostas: (a) y = t− 1
t+ C
; (b) y =
1
t
− 2t
t2 + C
, t > 0; (c) y = sen(t) +
2
C cos(t)− sen(t) ,−
pi
2
< t <
pi
2
31. Resolva as equac¸o˜es fazendo as mudanc¸as de varia´veis sugeridas:
(a) y′ = (y − x)2; v = y − x. (b) xy′ = e−xy − y; v = xy. (c) eyy′ = x(x+ey)−1; v = x+ey.
Respostas: (a)
y − x− 1
y − x+ 1 = Ce
2x; (b) exy = x+ C; (c) x+ ey = Ce
x2
2
32. Para as equac¸o˜es diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equil´ıbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluc¸o˜es.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluc¸o˜es.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equil´ıbrio como assintoticamente esta´vel ou insta´vel.
(v) Esboce algumas soluc¸o˜es da equac¸a˜o usando os resultados dos itens anteriores.
(a)
dy
dt
= y − y2. (b) dy
dt
= 1− y2. (c) dy
dt
= y(y− 1)(y− 2). (d) dy
dt
= e−y − 1.
Respostas: (a) (i) y1 = 0, y2 = 1; (ii) crescentes para 0 < y < 1 e decrescentes para y < 0 e y > 1;
(iii) coˆncavas para cima para 0 < y <
1
2
e y > 1, e para baixo para y < 0 e
1
2
< y < 1;
5
(iv) y1 = 0 e´ insta´vel e y2 = 1 e´ assintoticamente esta´vel;
(b) (i) y1 = −1, y2 = 1; (ii) crescentes para −1 < y < 1 e decrescentes para y < −1 e y > 1;
(iii) coˆncavas para cima para −1 < y < 0 e y > 1, e para baixo para y < −1 e 0 < y < 1;
(iv) y1 = −1 e´ insta´vel e y2 = 1 e´ assintoticamente esta´vel;
(c) (i) y1 = 0, y2 = 1, y3 = 2; (ii) crescentes para 0 < y < 1 e y > 2, e decrescentes para y < 0 e 1 < y < 2;
(iii) coˆncavas para cima para 0 < y <
3−√3
3
, 1 < y <
3 +
√
3
3
e y > 2, e para baixo para y < 0,
3−√3
3
< y < 1
e
3 +
√
3
3
< y < 2; (iv) y1 = 0 e y3 = 2 sa˜o insta´veis, y2 = 1 e´ assintoticamente esta´vel;
(d) (i) y1 = 0; (ii) crescentes para y < 0 e decrescentes para y > 0; (iii) coˆncavas para cima para y > 0, e para
baixo para y < 0; (iv) y1 = 0 e´ assintoticamente esta´vel
33. Um tanque conte´m 100 litros de uma soluc¸a˜o a uma concentrac¸a˜o de 1 grama por litro. Uma soluc¸a˜o com uma
concentrac¸a˜o de 2te−
1
100 t gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto
que a soluc¸a˜o bem misturada sai a` mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a partir do in´ıcio do processo.
(b) Calcule a concentrac¸a˜o de sal no tanque t = 10 minutos apo´s o in´ıcio do processo.
Respostas: (a) Q(t) = t2e−
1
100 t + 100e−
1
100 t; (b) C(10) = 2e−
1
10 g/l
34. Um tanque conte´m inicialmente 100 litros de a´gua pura. Enta˜o, a´gua salgada, contendo 30e−
2
10 t gramas de sal
por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a soluc¸a˜o
passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a partir do in´ıcio do processo.
(b) Calcule em que instante a concentrac¸a˜o de sal no tanque sera´ de 7,5 gramas por litro.
Respostas: (a) Q(t) = 3000(e−
1
10 t − e− 210 t); (b) t = 10 ln(2) min
35. Um tanque conte´m inicialmente 100 litros de a´gua e 100 gramas de sal. Enta˜o, uma mistura de a´gua e sal
na concentrac¸a˜o de 5 gramas de sal por litro e´ bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto.
Simultaneamente a soluc¸a˜o (bem misturada) e´ retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determinea quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a partir do in´ıcio do processo.
(b) Calcule a concentrac¸a˜o limite de sal no tanque quando t→ +∞ e o tempo necessa´rio para que a concentrac¸a˜o
atinja metade deste valor.
Respostas: (a) Q(t) = 500− 400e− 125 t; (b) lim
t→+∞C(t) = 5 g/l; t = 25 ln
(
8
5
)
min
36. Suponha que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de
sal e que uma soluc¸a˜o salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo
uma concentrac¸a˜o de 1 grama de sal por litro. Suponha que a soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de 2 litros
por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a partir do in´ıcio do processo.
(b) De qual valor se aproxima a concentrac¸a˜o quando o tanque esta´ enchendo, se a sua capacidade e´ de 200
litros?
Respostas (a) Q(t) = 100 + t− 9× 105(100 + t)−2; (b) 71
80
g/l
37. Suponha que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de
sal e que a´gua pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a
soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a partir do in´ıcio do processo.
(b) De qual valor se aproxima a concentrac¸a˜o quando o tanque se aproxima de ficar vazio?
6
Respostas: (a) Q(t) = 10−3(100− t)2; (b) 0 g/l
38. A populac¸a˜o de bacte´rias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de bacte´rias no instante
t. Apo´s treˆs horas, observou-se a existeˆncia de 400 bacte´rias. Apo´s 9 horas, 2500 bacte´rias. Qual era o nu´mero
inicial de bacte´rias?
Resposta: y0 = 160
39. Uma populac¸a˜o de bacte´rias cresce a uma taxa proporcional a` populac¸a˜o presente. Sabendo-se que apo´s uma
hora a populac¸a˜o e´ 2 vezes a populac¸a˜o inicial, determine a populac¸a˜o como func¸a˜o do tempo e o tempo necessa´rio
para que a populac¸a˜o triplique.
Respostas: y(t) = y02
t; t =
ln(3)
ln(2)
≈ 1, 585 ≈ 1 hora e 35 minutos
40. Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um v´ırus e
que a taxa com que o v´ırus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao nu´mero de pessoas infectadas
como tambe´m ao nu´mero de pessoas na˜o infectadas. Se for observado que, apo´s 4 semanas, 5 pessoas esta˜o
infectadas, determine o nu´mero de pessoas infectadas em func¸a˜o do tempo.
Resposta: y(t) =
100
99(99/19)−t/4 + 1
41. Um termoˆmetro e´ levado de uma sala onde a temperatura e´ de 20◦C para fora, onde a temperatura e´ de 5◦C.
Apo´s 1/2 minuto o termoˆmetro marca 15◦C.
(a) Determine a temperatura marcada no termoˆmetro como func¸a˜o do tempo.
(b) Qual sera´ a leitura do termoˆmetro apo´s 1 minuto?
(c) Em quanto tempo o termoˆmetro ira´ marcar 10◦C?
Respostas: (a) T (t) = 5 + 15
(
2
3
)2t
; (b) T (1) =
105
9
≈ 11, 7◦C; (c) t = ln(1/3)
2 ln(2/3
≈ 1 min e 20s
42. Determine as trajeto´rias ortogonais a`s famı´lias de curvas dadas. Fac¸a esboc¸o dos gra´ficos.
(a) y =
c
x
. (b) x
2 + (y − c)2 = c2.
Respostas: (a)
y2
2
− x
2
2
= C; (b) (x− c)2 + y2 = c2
7