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UFBA - UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
MATA01 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Primeiro Semestre de 2017 – Turma 14
PRIMEIRA AVALIAC¸A˜O (14/06/2017)
ALUNO:
Nota
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
A Primeira Avaliac¸a˜o (P1) esta´ valendo 10,00 (dez) pontos.
O ca´lculo da nota apo´s a correc¸a˜o sera´ realizado da seguinte forma
P1 =
(
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 +Q5
)−min{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5}.
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Dados os pontos
A = (6,−4, 8), B = (10, 2, 6), C = (8, 6, 4) e D = (4, 0, 6)
verifique se os pontos me´dios dos lados AB, BC, CD e DA formam um paralelogramo.
Questa˜o 2. (2,5 pontos) A partir da base {~e1, ~e2, ~e3}, mostre que{
4~e2 − 2~e3, −~e3 − ~e1, 5~e1
}
tambe´m e´ uma base.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Para os pontos
A = (m, 1, 0), B = (m− 1, 2m, 2) e C = (1, 3,−1)
determine o valor de m de modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em A.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Considere os pontos
A = (1, 2,−1), B = (5, 0, 1), C = (3,−4, 3) e D = B + (1, 1,−4).
(i) (1,3 pontos) Calcule a a´rea do paralelogramo de lados
−−→
AB e 12
−→
AC;
(ii) (1,2 pontos) Encontre o volume do tetraedro ABCD.
Questa˜o 5. (2,5 pontos) Mostre as seguintes identidades:
(i) (1,2 pontos) | (~u× ~v)− ~u |2 = |~u× ~v|2 + |~u|2;
(ii) (1,3 pontos)
[
~u+ ~v, ~v + ~w, ~w + ~u
]
= 2
[
~u, ~v, ~w
]
.
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MATA01 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Primeiro Semestre de 2017 – Turma 14
PRIMEIRA AVALIAC¸A˜O (06/08/2017)
ALUNO:
A Segunda Chamada/Substitutiva (PS) esta´ valendo 10,00 (dez) pontos.
O ca´lculo da nota apo´s a correc¸a˜o sera´ realizado da seguinte forma
PS =
(
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 +Q5
)−min{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5}.S
e
g
un
d
a
C
h
a
m
a
d
a
/S
u
b
st
itu
tiv
a
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Nota
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Seja o triaˆngulo de ve´rtices
A = (4,−1,−2), B = (2, 5,−6) e C = (1,−1,−2).
A mediana associada a algum lado de um triaˆngulo e´ o seguimento de reta que conecta
o ve´rtice na˜o pertencente a este lado com o ponto me´dio deste lado. Calcule o ponto
me´dio da mediana associada aos lados AB e AC.
Questa˜o 2. (2,5 pontos) A partir da base {~e1, ~e2, ~e3}, mostre que{
4~e2 − 2~e3, −~e3 − ~e1, 5~e1
}
tambe´m e´ uma base.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Calcule a a´rea do triaˆngulo gerado pelos vetores ~u e ~v, os quais
satisfazem ∣∣~u∣∣2 = 4 e ∣∣(~u× ~v)− ~u∣∣2 = 8.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Considere os vetores
~u = (1, 1,−1) e ~v = (2,−1, 1)
Determine o vetor ~w que e´ ortogonal ao eixo coordenado y e que verifica ~u = ~w × ~v.
Questa˜o 5. (2,5 pontos) Considere os pontos
A = (1, 1, 0), B = (6, 4, 1), C = (2, 5, 0) e D = (0, 3, 3).
(i) (1,0 ponto) Calcule a a´rea do triaˆngulo de lados 3
−−→
BA e 13
−−→
BC;
(ii) (1,5 pontos) Encontre o volume do paralelepipedo de lados AB, AC e AD.
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MATA01 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Primeiro Semestre de 2017 – Turma 14
SEGUNDA AVALIAC¸A˜O (19/07/2017)
ALUNO:
A Segunda Avaliac¸a˜o (P2) esta´ valendo 10,00 (dez) pontos.
O ca´lculo da nota apo´s a correc¸a˜o sera´ realizado da seguinte forma
P2 =
(
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 +Q5
)−min{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5}.
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Nota
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Sejam um ponto Q = (2, 0, 1) e um plano pi : 2x+ 2y − z + 1 = 0.
(i) (0,5 ponto) Verifique se o ponto Q pertence ao plano pi;
(ii) (1,0 ponto) Apresente a equac¸a˜o parame´trica da reta r que passa pelo ponto Q e
e´ ortogonal ao plano pi;
(iii) (1,0 ponto) Encontre o ponto de intersecc¸a˜o da reta r (obtida no item anterior) com
o plano pi.
Questa˜o 2. (2,5 pontos) Estude a posic¸a˜o relativa das retas
r :
x− 1
3
=
y − 1
2
= z e s :

x = t
y = 2t
z = 1− t
.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Justifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
(i) (0,5 ponto) A distaˆncia entre os pontos P = (−2, 0, 1) e Q = (1,−3, 2) e´ √20;
(ii) (1,0 ponto) A distaˆncia entre o ponto P = (1, 2, 3) e a reta r :

x = 1
y = t
z = −1
e´ 16;
(iii) (1,0 ponto) A distaˆncia entre o ponto P = (0, 0, 0) e o plano pi : 3x+ 4y + 20 = 0 e´ 4.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica (em duas varia´veis)
3
√
3x2 − 6xy + 5
√
3y2 + 12x+ 6y − 9 = 0.
Determine o aˆngulo e a matriz de rotac¸a˜o que simplifica tal equac¸a˜o quadra´tica elimi-
nando o termo misto.
Questa˜o 5. (2,5 pontos) Encontre o centro e o raio da circunfereˆncia
x2 + y2 − 8x+ 6y = 0.
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MATA01 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Primeiro Semestre de 2017 – Turma 14
SEGUNDA AVALIAC¸A˜O (06/08/2017)
ALUNO:
A Segunda Chamada/Substitutiva (PS) esta´ valendo 10,00 (dez) pontos.
O ca´lculo da nota apo´s a correc¸a˜o sera´ realizado da seguinte forma
PS =
(
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 +Q5
)−min{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5}.S
e
g
un
d
a
C
h
a
m
a
d
a
/S
u
b
st
itu
tiv
a
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Nota
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Sejam os planos
pi : 3x+ y − 3z − 5 = 0 e γ : x− y − z − 3 = 0.
(i) (1,0 ponto) Mostre que os planos pi e γ sa˜o transversais;
(ii) (1,5 pontos) Apresente a equac¸a˜o parame´trica da reta r formada pela intersecc¸a˜o
de tais planos.
Questa˜o 2. (2,5 pontos) Considere a reta e o plano abaixo
r :
{
y + z = 0
y − z = 0 e pi : mx+ 7y + 5z + d = 0.
Determine os valores de m e d de modo que a reta r esteja contida no plano pi.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Justifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
(i) (1,2 pontos) A distaˆncia entre os planos pi : 6x+8y−8z−2 = 0 e γ : 3x+4y+4z+42 = 0
e´
√
41;
(ii) (1,3 pontos) As retas
r :

x = −1 + t
y = 3− 2t
z = −1− t
e s : −x = y + 3 = z − 1
distam entre si
5√
14
.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Dada a equac¸a˜o quadra´tica (em duas varia´veis)
3
√
3x2 − 6xy + 5
√
3y2 + 12x+ 6y − 9 = 0,
determine o aˆngulo e a matriz de rotac¸a˜o que simplifica tal equac¸a˜o quadra´tica eliminan-
do o termo misto.
Questa˜o 5. (2,5 pontos) Encontre os pontos de intersecc¸a˜o entre o eixo coordenado x e
a circunfereˆncia de centro C = (4,−3) e raio r = 5.
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MATA01 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Primeiro Semestre de 2017 – Turma 14
TERCEIRA AVALIAC¸A˜O (30/08/2017)
ALUNO:
A Terceira Avaliac¸a˜o (P3) esta´ valendo 10,00 (dez) pontos.
O ca´lculo da nota apo´s a correc¸a˜o sera´ realizado da seguinte forma
P3 =
(
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 +Q5
)−min{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5}.
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Nota
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Estude a posic¸a˜o relativa do plano pi : 5y − 20 = 0 com a
superf´ıcie esfe´rica
S2 : x2 + y2 + z2 − 4x+ 6y + 2z = 11.
Questa˜o 2. (2,5 pontos) Determine a equac¸a˜o de superf´ıcie cil´ındrica com:
(i) (1,0 ponto) curva diretriz C : x = cos y e reta geratriz r :

x = 4
y = 2t
z = 1− t
;
(ii) (1,5 pontos) curva diretriz D : y2 = 4z − 8 e reta geratriz s : x = y + 1−1 =
z − 2
3
.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Justifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
(i) (1,0 ponto) R : y
2
x
+
z2
x
− 1 = 0 e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o em torno do eixo x;
(ii) (1,5 pontos) S : 9x2+9z2 = (y+5)2 e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o cuja curva geratriz
e´ dada por C : 3x− y = 5.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Seja a superf´ıcie qua´drica
−9mx2 − 9y2 + 16z2 − 18y − 153 = 0.
(i) (1,0 ponto) Identifique tal superf´ıcie para os valores m = 4 e m = −2;
(ii) (1,0 ponto) Mostre a sime´tria com relac¸a˜o ao plano yOz e ao eixo y;
(iii) (0,5 ponto) Descreva e esboce a curva obtida pela intersec¸a˜o com o plano x = 0.
Questa˜o 5. (2,5 pontos) Considere a superf´ıcie qua´drica
4x2 − 9z2 − 40x− 36y + 100 = 0.
(i) (0,5 ponto) Identifique tal superf´ıcie;
(ii) (1,5 pontos) Descreva e esboce a curva obtida pela intersec¸a˜o com cada plano:
x = 2, y = −3 e z = 0;
(iii) (0,5 ponto) Argumente se tal superf´ıcie e´ ou na˜ode revoluc¸a˜o.
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MATA01 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Primeiro Semestre de 2017 – Turma 14
TERCEIRA AVALIAC¸A˜O (06/08/2017)
ALUNO:
A Segunda Chamada/Substitutiva (PS) esta´ valendo 10,00 (dez) pontos.
O ca´lculo da nota apo´s a correc¸a˜o sera´ realizado da seguinte forma
PS =
(
Q1 +Q2 +Q3 +Q4 +Q5
)−min{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5}.S
e
g
un
d
a
C
h
a
m
a
d
a
/S
u
b
st
itu
tiv
a
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Nota
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Considere o ponto P = (1,−3, 4) e a superf´ıcie esfe´rica
S2 : x2 + y2 + z2 − 6x+ 2y − 4z = −2.
(i) (0,5 ponto) Defina plano tangente a uma esfera;
(ii) (2,0 pontos) Obtenha a equac¸a˜o geral do plano tangente a esfera S2 no ponto P .
Questa˜o 2. (2,5 pontos) Descubra candidatos a curva diretriz e reta/vetor geratriz da
superf´ıcie cil´ındrica abaixo
x2 + y2 + 2xy − 4x− 4z + 8 = 0.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Justifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
(i) (1,0 ponto) R : y
2
x
+
z2
x
− 1 = 0 e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o em torno do eixo x;
(ii) (1,5 pontos) S : 9x2 +9z2 = (y+5)2 e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o cuja curva geratriz
e´ dada por C : 3x− y = 5.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Seja a superf´ıcie qua´drica
5x2 + 2y2 + 3z2 − 60x+ 174 = 0.
(i) (0,5 ponto) Identifique tal superf´ıcie;
(ii) (1,0 ponto) Descubra (e justifique) quais sa˜o todas as poss´ıveis simetrias com relac¸a˜o
aos eixos coordenados;
(iii) (1,0 ponto) Descreva, identifique e esboce a curva obtida pela intersec¸a˜o com o
plano pi : y − z = 0.
Questa˜o 5. (2,5 pontos) Considere a superf´ıcie qua´drica
−x2 + y2 − 4z2 + 10x+ 6y − 20 = 0.
(i) (0,5 ponto) Identifique tal superf´ıcie;
(ii) (1,5 pontos) Descreva e esboce a curva obtida pela intersec¸a˜o com cada plano:
x = 5, y = 3 e z = 0;
(iii) (0,5 ponto) Argumente se tal superf´ıcie e´ ou na˜o de revoluc¸a˜o.