AP1 Geometria Analítica I - 2017.1 - Cederj - gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Geometria Anal´ıtica I – 01/04/2017
Sejam A = (1, 0) um ponto e r : 3x+ y = 2 uma reta no plano.
Questa˜o 1 (1,0 ponto): Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta s que e´ paralela a` reta r e
que passa pelo ponto A. Fac¸a um esboc¸o de r e s.
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY .
Questa˜o 2 (1,0 ponto): Estude a posic¸a˜o relativa das retas r e n :
{
x = t
y = 3t+ 1 , t ∈ R.
Questa˜o 3 (1,0 ponto): Para qual(is) valor(es) real(is) de x, os pontos A,B = (3, 4) e C = (5, x)
definem um triaˆngulo de a´rea igual a 8?
Soluc¸a˜o:
(1) Note que a reta r e´ perpendicular ao vetor (3, 1), enta˜o r e´ paralela ao vetor (1,−3). Sendo s
paralela a r, enta˜o (1,−3) tambe´m e´ paralelo a` reta s. Assim, como (1,−3) ‖ s e A = (1, 0) ∈ s,
temos que
s :
{
x = t+ 1
y = −3t ; t ∈ R
sa˜o equac¸o˜es parame´tricas da reta s.
Figura 1: Retas paralelas r e s.
(2) Atrave´s das equac¸o˜es parame´tricas de n, podemos observar que o vetor (1, 3) e´ paralelo a n.
Sabendo que (1,−3) e´ paralelo a reta r e que (1, 3) e´ paralelo a reta n, podemos concluir que as
retas r e n na˜o sa˜o paralelas nem coincidentes, ja´ que (1,−3) e (1, 3) na˜o sa˜o paralelos. Dessa
forma, temos que r e n sa˜o retas concorrentes.
(3) Como
−→
AB = (2, 4) e −→AC = (4, x),
Geometria Anal´ıtica I AP1 2
temos:
Area(ABC) = 12
√
‖−→AB‖2 · ‖−→AC‖2 −< −→AB,−→AC >2
8 = 12
√
20(x2 + 16)− (8 + 4x)2
8 = 12
√
4x2 − 64x+ 256
162 = 4x2 − 64x+ 256
0 = 4x2 − 64
0 = 4x(x− 16)
=⇒ x = 0 ou x = 16.
Questa˜o 4 (2,0 pontos): Determine a(s) equac¸a˜o(o˜es) cartesiana(s) da(s) reta(s) perpendicu-
lar(es) a` reta r : x+ y = −8, as quais esta˜o a` distaˆncia √2 do ponto P = (3, 4) .
Soluc¸a˜o:
Chamaremos de s as retas perpendiculares a` reta r que distam
√
2 do ponto P .
Notemos primeiro que como (1, 1) e´ um vetor perpendicular a` reta r, enta˜o (1,−1) sera´ perpendicular
a` reta s que e´ perpendicular a r. Assim, s possui a seguinte forma:
x− y = k,
onde k e´ um nu´mero real. Considerando que a distaˆncia de s a P = (3, 4) e´
√
2, temos
d(s, P ) =
√
2 ⇐⇒ |3− 4− k|√
2
=
√
2
⇐⇒ −1− k = ±2
⇐⇒ k = 1 ou k = −3.
Assim, na verdade, existem duas retas s perpendiculares a r que distam
√
2 de P . Chamaremos tais
retas de s1 e s2. Considerando os dois valores de k obtidos temos:
• se k = 1, temos que s1 : x− y = 1;
• se k = −3, temos que s2 : x− y = −3
sa˜o as equac¸o˜es cartesianas das retas procuradas.
Questa˜o 5 (2,0 pontos): Dados os pontos A = (1, 0), B = (2, 4), C = (2, 1) e a reta r : 3x−2y =
4, determine D ∈ r tal que o vetor −−→CD seja a projec¸a˜o ortogonal do vetor −→AB sobre r.
Soluc¸a˜o:
Seja D = (a, b), onde a, b ∈ R.
Como A = (1, 0), B = (2, 4), C = (2, 1) e D = (a, b) temos −→AB = (1, 4) e −−→CD = (a− 2, b− 1). E
ainda, como a equac¸a˜o da cartesiana da reta r e´ 3x− 2y = 4, temos que o vetor ~u = (3,−2) ⊥ r e
portanto, ~u = (2, 3) ‖ r. Assim temos:
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Geometria Anal´ıtica I AP1 3
Projr
−→
AB = Proj~v
−→
AB = <
−→
AB,~v >
||~v||2 ~v
= < (1, 4), (2, 3) >22 + 32 (2, 3) =
14
13(2, 3) =
(28
13 ,
42
13
)
= −−→CD = (a− 2, b− 1).
.
Logo a− 2 = 2813 ⇒ a =
54
13 e b− 1 =
42
13 ⇒ b =
55
13 , ou seja, D =
(54
13 ,
55
13
)
.
Questa˜o 6 (3,0 pontos): Encontre a equac¸a˜o da elipse E que possui centro em (1, 2), um ve´rtice
focal em (3, 2) e excentricidade 12 . Encontre tambe´m o outro ve´rtice focal, os ve´rtices na˜o focais, os
focos, as retas focal e na˜o focal de E , e fac¸a um esboc¸o de E .
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY .
Soluc¸a˜o:
Como o centro C = (1, 2) da elipse E e um ve´rtice focal V = (3, 2) esta˜o sobre a reta y = 2, temos
que a reta focal da elipse E e´ y = 2. Dessa forma, a equac¸a˜o de E tem o seguinte formato:
(x− 1)2
a2
+ (y − 2)
2
b2
= 1 .
Como a = d(C, V ), vemos que a = 2. Ale´m disso, como a excentricidade e e´ igual a 12 , temos que
1
2 =
c
a
⇐⇒ c = 1 .
Assim, como a2 = b2 + c2, temos que
22 = b2 + 12 ⇐⇒ b = √3 .
Portanto,
(x− 1)2
4 +
(y − 2)2
3 = 1 ,
e´ a equac¸a˜o de E .
E ainda,
• reta focal: y = 2;
• reta focal: x = 1;
• ve´rtices: (1± 2, 2)⇒ A1 = (−1, 2) e A2 = (3, 2);
• focos: (1± 1, 2)⇒ F1 = (0, 2) e F2 = (2, 2);
• ve´rtices na˜o focais: (1, 2±√3)⇒ B1 = (1, 2−
√
3) e A2 = (1, 2−
√
3).
Veja figura 2.
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Geometria Anal´ıtica I AP1 4
Figura 2: Elipse E da questa˜o 6.
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