superficies quadricas

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SUPERFÍCIES 
QUÁDRICAS 
Professora Fernanda Valentim 
1 
 
 
Uma equação do segundo grau nas variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧 tem a 
forma 
 
𝑨𝒙² + 𝑩𝒚² + 𝑪𝒛² + 𝑫𝒙𝒚 + 𝑬𝒙𝒛 + 𝑭𝒚𝒛 + 𝑮𝒙 +𝑯𝒚 + 𝑰𝒛 + 𝑱 = 𝟎, 
 
e o gráfico de tal equação em 𝑅³é chamado de superfície 
quádrica. 
2 
Traços 
• São as curvas de interseção da superfície com os planos 
coordenados. 
 
Traço: 
𝑦𝑧: 𝑥 = 0
𝑥𝑧: 𝑦 = 0
𝑥𝑦: 𝑧 = 0
 
3 
Quádricas Centradas 
 
• Equação: ±
𝑥²
𝑎²
±
𝑦²
𝑏²
±
𝑧²
𝑐²
= 1 
 
1) Elipsóide 
 
1) Hiperbolóide de uma Folha 
 
1) Hiperbolóide de duas folhas 
 
4 
Elipsóide 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 
 
 
 
5 
Traços 
• Traço em 𝑦𝑧 𝑥 = 0 :
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 (elipse) 
 
• Traço em 𝑥𝑧 𝑦 = 0 :
𝑥²
𝑎²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 (elipse) 
 
• Traço em 𝑥𝑦 𝑧 = 0 :
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 (elipse) 
 
6 
Seções 
• Plano 𝑧 = 𝑘: 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 −
𝑘²
𝑐²
 (elipse) 
 
• Plano y = 𝑘: 
𝑥²
𝑎²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 −
𝑘²
𝑏²
 (elipse) 
 
• Plano x = 𝑘: 
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 −
𝑘²
𝑎²
 (elipses) 
 
7 
Lembra uma.... 
8 
Hiperbolóide de Uma Folha 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 
 
 
 
 
9 
Traços 
• Traço em 𝑦𝑧 𝑥 = 0 :
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 (hipérbole) 
 
• Traço em 𝑥𝑧 𝑦 = 0 :
𝑥²
𝑎²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 (hipérbole) 
 
• Traço em 𝑥𝑦 𝑧 = 0 :
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 (elipse) 
 
10 
Seções 
• Plano 𝑧 = 𝑘: 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 +
𝑘²
𝑐²
 (elipse) 
 
• Plano y = 𝑘: 
𝑥²
𝑎²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 −
𝑘²
𝑏²
 (hipérbole ou duas retas) 
 
• Plano x = 𝑘: 
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 −
𝑘²
𝑎²
 (hipérbole ou duas retas) 
 
 
11 
Lembra uma... 
 
12 
Hiperbolóide de Duas Folhas 
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧²
𝑐²
= 1 
 
 
13 
Traços 
• Traço em 𝑦𝑧 𝑥 = 0 :
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 (hipérbole) 
 
• Traço em 𝑥𝑧 𝑦 = 0 :−
𝑥2
𝑎2
−
𝑧²
𝑐²
= 1 (não existe) 
 
• Traço em 𝑥𝑦 𝑧 = 0 :−
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 (hipérbole) 
 
 
14 
Seções 
• Plano 𝑧 = 𝑘:−
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 +
𝑘²
𝑐²
 (hipérbole) 
 
• Plano y = 𝑘: 
𝑥²
𝑎²
+
𝑧²
𝑐²
=
𝑘²
𝑏²
− 1 
( 𝑘 < 𝑏: ∄); 𝑘 = 𝑏: 0, 𝑘, 0 ; 𝑘 > 𝑏:elipse) 
 
• Plano x = 𝑘: 
𝑦²
𝑏²
−
𝑧2
𝑐2
= 1 +
𝑘²
𝑎²
 (hipérbole) 
 
15 
Lembra um... 
 
16 
Cones Elípticos 
 ±
𝑥²
𝑎²
±
𝑦²
𝑏²
±
𝑧²
𝑐²
=0 
 
Exemplo: 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
=0 
 
 
17 
Traços 
• Traço em 𝑦𝑧 𝑥 = 0 :
𝑦²
𝑏²
−
𝑧2
𝑐2
= 0 ∴ 𝑦 = ±
𝑏
𝑐
𝑧 (retas 
concorrentes) 
 
• Traço em 𝑥𝑧 𝑦 = 0 :
𝑥2
𝑎2
−
𝑧2
𝑐2
= 0 ∴ 𝑥 = ±
𝑎
𝑐
𝑧 (retas 
concorrentes) 
 
• Traço em 𝑥𝑦 𝑧 = 0 : 𝑥² + 𝑦² = 0 ∴ 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 (origem) 
 
 
 
18 
Seções 
• Plano 𝑧 = 𝑘:
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
=
𝑘²
𝑐²
 (elipse) 
 
• Plano y = 𝑘: 
𝑥²
𝑎²
−
𝑧2
𝑐2
= −
𝑘2
𝑏2
∴ −
𝑥2
𝑎2
+
𝑧2
𝑐2
=
𝑘²
𝑏²
(hipérbole) 
 
• Plano x = 𝑘:−
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
=
𝑘²
𝑎²
 (hipérbole) 
 
 
19 
Lembra um... 
 
20 
Parabolóide Elíptico e Hiperbólico 
 
 
±
𝑥²
𝑎²
±
𝑦²
𝑏²
= 𝑧 ou 
 
 ±
𝑦²
𝑏²
±
𝑧²
𝑐²
= 𝑥 ou 
 
±
𝑥²
𝑎²
±
𝑧²
𝑐²
= 𝑦 
21 
Parabolóide Elíptico 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 𝑧 
22 
Traços 
• Traço em 𝑦𝑧 𝑥 = 0 :
𝑦²
𝑏²
= 𝑧 (parábola) 
 
• Traço em 𝑥𝑧 𝑦 = 0 :
𝑥²
𝑎²
=z (parábola) 
 
• Traço em 𝑥𝑦 𝑧 = 0 :
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 0 (origem) 
 
 
23 
Seções 
• Plano 𝑧 = 𝑘:
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 𝑘 (𝑘 > 0:elipse; 𝑘 < 0: ∄) 
 
• Plano y = 𝑘: 𝑧 =
𝑥²
𝑎²
+
𝑘²
𝑏²
 (parábola) 
 
• Plano x = 𝑘: 𝑧 =
𝑦²
𝑏²
+
𝑘²
𝑎²
 (parábola) 
24 
Lembra uma... 
 
25 
Parabolóide Hiperbólico 
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 𝑧 
26 
Traços 
• Traço em 𝑦𝑧 𝑥 = 0 :
𝑦²
𝑏²
= 𝑧 (parábola) 
 
• Traço em 𝑥𝑧 𝑦 = 0 :−
𝑥²
𝑎²
=z (parábola) 
 
• Traço em 𝑥𝑦 𝑧 = 0 :
𝑥²
𝑎²
=
𝑦²
𝑏²
 (retas concorrentes) 
 
 
 
27 
Seções 
• Plano 𝑧 = 𝑘:−
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 𝑘 (hipérbole) 
 
• Plano y = 𝑘: 𝑧 = −
𝑥²
𝑎²
+
𝑘²
𝑏²
 (parábola com concavidade 
para baixo) 
 
• Plano x = 𝑘: 𝑧 =
𝑦²
𝑏²
−
𝑘²
𝑎²
 (parábola com concavidade para 
cima) 
 
28 
Lembra uma... 
 
29 
Exemplo 
• Identifique e esboce a superfície de equação 𝑧² − 9𝑥² −
16𝑦² = 144. 
 
Exercícios: Escreva a equação e identifique a seção de 
cada superfície quádrica no plano indicado. 
 
a) 2𝑥² + 3𝑦² + 𝑧² = 6, 𝑥 = 1; 
b) 
𝑥²
9
−
𝑦2
4
+
𝑧2
25
= 1, z = 4; 
c) 𝑧² −
𝑦2
9
−
𝑥2
16
= 0, 𝑧 = 4; 
d) 3𝑥² + 4𝑦² = 𝑧, 𝑥 = 2. 
 
30