superfícies cônicas

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Superfícies cônicas 
Cônicas ou seções cônicas, são curvas originadas por cortes de cones duplos. Uma 
superfície cônica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de sua 
geratriz em torno de um eixo formando o mesmo ângulo sempre. A lei de formação das 
cônicas é dada pela seguinte equação: 
𝑋2
𝑎2
+
𝑌2
𝑏2
−
𝑍2
𝑐2
= 0 
 Elas são classificadas de acordo com a inclinação em que o plano intercepta o(s) 
cone(s), do seguinte modo: 
 -Circular -Elipse -Hipérbole -Parábola 
 
Superfícies Cônicas construídas no Geogebra 
Geogebra é um software, que possui, entre várias fermentas, a possibilidade de construir 
figuras geométricas, sólidos de revolução, planos e várias outras coisas. Inicialmente, 
iremos fazer uma cônica usando o geogebra, passo a passo sem utilizar a fórmula. 
De inicio, iremos criar três pontos: A, B e C; para isso clicaremos em entrada e lá 
iremos escrever: A=(0,0,0) (clica enter) B=(0,0,4) (clica enter) C=(0,0,-4). Após isso 
criaremos dois círculos de centros B e C, então criaremos um ponto E no comprimento 
do círculo d e traçaremos a reta AE. Depois iremos fazer a interseção da reta AE e o 
circulo d. Ficando da seguinte forma: 
 
Agora basta animar o ponto D para a “mágica” acontecer e nossa figura cônica aparecer. 
Ficando assim: 
 
 
Agora, vamos fazer uma cônica a partir da formula. Inicialmente iremos escrever a 
fórmula da elipse no campo entrada que é denotada por: 
𝑋2
𝑎2
+
𝑌2
𝑏2
−
𝑍2
𝑐2
= 0 
após tocar enter, perceba que aparece na tela a opção controle deslizante tendo os 
valores de a, b e c como 1, caso queira mudar o formato da cônica, basta alterar os 
valores deles. 
 
Aqui temos uma superfície cônica. Se traçarmos planos paralelos OXY a interseção 
desse plano com o cone podemos criar circunferências ou elipses. Vamos um exemplo 
de circunferência. 
• Circunferência 
Novamente, iremos fazer uma cônica inserindo a lei de formação da cônica no espaço 
do geogebra intitulado entrada. Após a cônica está feita, na entrada escreveremos z=12 
para termos um plano paralelo ao plano OXY: 
Agora iremos deixar visível a interseção entre o plano traçado e o cone, tocando em 
interseção entre duas superfícies então para aparecer a interseção, basta tocar no plano e 
no cone, e ficará dessa forma: 
 
Em azul temos a interseção do plano com o cone. 
Podemos notar que se alteramos o valor do controle deslizante do a e do b a seção que o 
cone está cortando deixa de ser um círculo, pois o plano não será mais paralelo ao eixo 
OXY. 
• Elipse 
Uma elipse é um conjunto de pontos de um plano, cuja a distância de dois pontos fixos 
é sempre constante, esses pontos fixos chamamos de focos 
Elementos importantes de uma elipse: 
Focos 
Distancia focal (é a distância entre os focos) 
Centro (distancia maior dividido por 2) 
Vértices (tendo o eixo maior e o eixo menor, temos que os vértices são os pontos de 
encontro do eixo com a “borda” da elipse) 
Excentricidade (quanto mais achatada a elipse, menor sua excentricidade) 
Obs: quanto mais perto de zero estiver a excentricidade, mais perto de uma 
circunferência essa elipse estará. Então temos que a circunferência é uma elipse de 
excentricidade 0. 
 Para construção da elipse iremos usar fazer novamente a cônica utilizando a lei de 
formação das cônicas, após isso, escreva na entrada z=12+1/2x para que o plano tenha 
inclinação de 0,5 em relação ao eixo x. Após isso, clique em interseção entre duas 
superfícies para mostrar a elipse. 
 
Agora, para vermos o centro da elipse devemos clicar em ponto médio ou centro para 
encontrarmos o centro A de nossa elipse, após isso, em entrada escreveremos a palavra 
eixos e tocamos nos eixos das cônicas colocando a nossa elipse e irá traçar o eixo maior 
e o eixo menor além de mostrar o vértice, em entrada também coloque a palavra focos e 
toque na cônica e insira a elipse, então também mostrará os focos. 
 
 
• Hipérbole 
hipérbole é o conjunto de pontos do plano cuja diferença das distâncias até os focos é 
igual à constante 2ª. Para termos uma hipérbole devemos traçar um plano paralelo ao 
plano OYZ. 
Centro: O; 
Focos: F1 e F2; 
Distância focal: segmento entre F1 e F2. A distância focal vale 2c; 
Vértices da hipérbole: A1 e A2; 
Eixo real ou transverso: segmento entre A1 e A2. O eixo real mede 2a; 
Eixo Imaginário: segmento entre B1 e B2. Sua medida é de 2b; 
Excentricidade da hipérbole: quociente entre c e a (c/a). 
O primeiro passo é fazer um plano paralelo ao eixo OYZ, para isso deveremos atribuir 
um único valor para o X. então, após criar a cônica no geogebra insira x=20 para 
formarmos esse plano 
 
Agora para encontrar os focos da hipérbole basta digitar foco no campo de entrada e 
clicar no foco que faz menção as cônicas e após isso no lugar que tem a palavra 
“cônica” escrever o nome da sua hipérbole. Para encontrar o centro escreva centro no 
campo entrada e escolha a opção que se relaciona com cônicas e no lugar da palavra 
cônica escreva o nome da cônica. Para encontrar os eixos é basta escrever eixos no 
campo de entrada escolher a que se relaciona com a cônica depois fazer o mesmo 
processo que foi feito para o centro. Ficará assim: 
 
Onde: A e B são focos, C e D são os vértices e E é o centro. 
• Parábola 
Quando um plano intercepta um cone com uma inclinação paralela a uma de 
suas geratrizes, a figura que surge é uma parábola. 
Sendo assim, a parábola é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um 
plano, que são equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo. Esse ponto 
fixo é chamado de foco da parábola e a reta recebe o nome de diretriz. A reta 
que passa pelo foco, perpendicular a diretriz, é chamada de eixo de simetria da 
parábola. 
O vértice é o ponto de intersecção entre a parábola e o seu eixo, sendo que a 
distância entre o vértice e o foco é igual a distância do vértice a reta diretriz. 
Para fazermos esse a parábola no geogebra, assim como os outros, 
inicialmente, constrói a cônica (como já foi mostrado), a seguir traçaremos o 
plano z=4+2x (poderia ser outro plano que fosse paralelo a uma das geratrizes 
do cone), após isso, marque a interseção entre o cone e a parábola notando 
que a sua interseção forma uma parábola. Podemos encontrar o foco e o 
vértice da parábola no geogebra da mesma forma da hipérbole ficando da 
seguinte forma: