Lista2 Calculo3 integral de linha e campo conservativo

Prévia do material em texto

Escola Superior de Tecnologia – EST 
Segunda lista de Exercícios de Cálculo III – 2018/01 Prof. Dr. JB Ponciano 
 
 
Integral de um campo vetorial sobre uma curva 
1. Calcule 
rdF


 sendo dados: 
a) 
kzjyixzyxF

),,(
 e 
 ttsentt ,,cos)( 
, 
20  t
 
b) 
  kzyxzyxF

),,(
 e 
 21,,)( tttt 
, 
10  t
 
c) 
jxyxF

2),( 
 e 
 3,)( 3tt 
, 
11  t
 
d) 
  jyxixyxF

 2),(
 e 
 tsentt ,)( 
, 
 t0
 
e) 
kzjyixzyxF

222),,( 
 e 
 ttsentt ,3,cos2)( 
, 
20  t
 
2. Seja 
22: RRF 
 um campo vetorial contínuo tal que, para todo 
),(),,( yxFyx
 é paralelo ao vetor 
.jyix


 Calcule 
rdF


 onde 
  2,: Rba 
 é uma curva de classe 
1C
cuja imagem está contida 
na circunferência de entro na origem e raio 
0r
Interprete geometricamente. 
3. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante 
t
 sua posição é dada por 
 2,)( ttt 
. 
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças 
  jyxiyxyxF

 )(),(
 no deslocamento da 
partícula de 
)0(
 até 
)1(
 
4. Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por 
kzjxiyzyxF

2),,( 
. Calcule o 
trabalho realizado por 
F
 no deslocamento da partícula de 
)(a
 até 
)(b
, sendo dados 
a) 
   20,,,cos)(  beattsentt 
b) 
  21,,1,12)(  beatttt 
c) 
   20,,0,cos)(  beatsentt 
5. Calcule 
  ldE

 onde 
2222
1
),(
yx
jyix
yx
yxE





 e   11,1,)(  ttt , onde 
a) 
  .11,1,)(  ttt
 
b) 
  .
2
0,,cos2)(
  ttsentt 
6. Seja 
E
 o campo do exercício anterior e seja 

a curva dada por 
tx 
 e 
41 ty 
, 
11  t
 
a) Qual valor é razoável esperar para 
  ldE

? Por quê? 
b) Calcule 
  ldE

? Por quê? 
 
 
 
Escola Superior de Tecnologia – EST 
Segunda lista de Exercícios de Cálculo III – 2018/01 Prof. Dr. JB Ponciano 
 
7. Calcule 
  ldE

 onde 
),( yxE
 é o campo dado no exercício 5 e 

é a curva dada por 
tx cos2
 e 
tseny 
, com 
2
0

 t
 
8. Calcule 
  dyydxx
 sendo 

 dada por 
2tx 
 e 
tseny 
, 
2
0

 t
 
9. Calcule 
  dyydxx
 onde 

 é o segmento de extremidades 
 1,1
 e 
 3,2
, percorrido no sentido 
de 
 1,1
 para 
 3,2
. 
10. Calcule 
dzzdyydxx 
 onde 

 é o segmento de extremidades 
 0,0,0
 e 
 1,2,1
, percorrido 
no sentido de 
 1,2,1
 para 
 0,0,0
 
11. Calcule 
dzdydxx 2 
 onde 

 é a interseção do parabolóide 
22 yxz 
 com o plano 
122  yxz
; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de 
)( t
no plano 
yx
, caminhe no sentido anti-horário. 
12. Calcule 
dzzdyxydx 
, onde 

 é a interseção de 
0,0,0,2222  zyxzyx
 com o 
plano 
xy 
; o sentido de percurso é o do ponto 
 2,0,0
 para 
 .0,1,1
 
13. Calcule 
  dydx2
, onde 

 tem por imagem 
422  xx
, 
0x
, 
0y
; o sentido de percurso é de 
 0,2
 para 
 2,0
. 
14. Calcule 
 




dy
yx
x
dx
yx
y
2222 44
, onde 

 tem por imagem 
94 22  xx
, e o sentido de 
percurso é o anti-horário. 
15. Seja 
 tsenRtRt ,cos)( 
, 
20  t
 
 0R
. Mostre que 
 




dy
yx
x
dx
yx
y
2222
 
não depende de 
R
 
16. Calcule 
dzdyydx 
, onde 

 é a interseção do plano 
xy 
com a superfície 
,2,22  zyxz
 sendo o sentido de percurso do ponto 
 2,1,1 
 para o ponto 
 .2,1,1
 
17. Calcule 
dzdyydx 
, onde 

 é a interseção entre as superfícies 
2xy 
e 
,0,0,0,2 22  zyxyxz
sendo o sentido do percurso do 
 0,1,1
 para o ponto 
 .2,0,0
 
 
 
Escola Superior de Tecnologia – EST 
Segunda lista de Exercícios de Cálculo III – 2018/01 Prof. Dr. JB Ponciano 
 
18. Calcule 
dzxdyzydx  2
, onde 

 é a interseção entre as superfícies 
14 22  yx
e 
,0,0,122  zyzx
sendo o sentido do percurso do ponto 
 0,0,1
 para o ponto 
 0,0,1
 
 
Integral de linha sobre uma curva 
1C
 por partes 
19. Calcule 
dy
y
dy
dxx
2
3
1

, onde 

 é o quadrado de vértices 
       1,11,1,1,1,1,1  e
 orientada no sentido anti-horário 
20. Calcule 
rdF


, onde 
jyxyxF

)(),( 2
 e 

 é a curva do exercício anterior. 
21. Calcule 
dyedxyx yx )(
, onde 

 é a fronteira do triângulo de vértices 
     2,11,0,0,1 e
 orientada no sentido anti-horário 
22. Calcule 
dydx 
, onde 

 é a poligonal de vértices 
         1,11,2,3,1,2,1,0,1 43210  AeAAAA
 orientada de 
0A
 para 
4A
 
23. Calcule 
dzxdydxy 
2
, onde 

 é a poligonal de vértices 
     0,1,1,1,1,1,0,0,0 210 AeAA
 orientada de 
0A
 para 
2A
 
 
24. Verifique que 
dydx
y
P
x
Q
dyQdxP
B 











 
 onde 
B
 é o triângulo de vértices 
     1,10,1,0,0 e
; 

 é a fronteira de 
B
 orientada no 
sentido anti-horário, 
yxyxP  2),(
 e 
yxyxQ  2),(
 
 
Campos Conservativos 
25. O campo é conservativo? Justifique. 
a) 
),,,(),,( wzyxzyxF 
 
b) 
jxiyyxF

),(
 
c) 
kzjzyxiyxzyxF

2)()(),,( 
 
 
 
Escola Superior de Tecnologia – EST 
Segunda lista de Exercícios de Cálculo III – 2018/01 Prof. Dr. JB Ponciano 
 
d) 
k
zyx
z
j
zyx
y
i
zyx
x
zyxF

222222222222 )()()(
),,(






 
e) 
kzjyixzyxF

),,(
 
 
Forma Diferencial Exata 
26. Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. 
a) 
dzzdyydxx 
 
b) 
dyxdxxy 22 
 
c) 
dzxydyxzdxyz 
 
d) 
dyyxdxyx )()( 
 
e) 
dyxydxyx )()( 
 
f) 
)(
22
dyydxxe yx 
 
g) 
dzxyzdyydxxy  2
 
h) 
0
2222





ydy
yx
x
dx
yx
y
 
i) 
.,),(,
2222





yxdy
yx
x
dx
yx
y
 onde 
.
 é o conjunto 
}0|),{(}0|),{( 22  xRyxyRyx
 
 
Integral de linha de um campo conservativo 
27. Calcule. 
 
)2,2(
)1,1(
) xdydxya
 
  dyxdxyb
2)
 onde 

 é uma curva, cuja imagem é o segmento de extremidades 
   2,2,1,1
 orientada de 
 1,1
 para 
 2,2
 
 




dy
yx
x
dx
yx
y
c
2222
)
 onde 
  21,0: R
é uma curva 
1C
por partes, com imagem contida 
no semipleno superior 
0y
tal que 
)1,1()0( 
e 
)3,2()1( 
 
  


)0,1(
)0,1( 2222
) dy
yx
y
dx
yx
x
d
 
  dyxyxdxxyxyxysene cos)cos()
2
 onde 
11),1,1()( 22  tttt