P1_2012_G1_Gab (2)

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ZAB0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria
analítica
May 7, 2012
Nome do aluno: NOTA:
Número USP: Comentário
PROVA P1
Justifique suas respostas.
1. (2.5 ptos) Em uma pesquisa nutricional utilizou-se de adultos e crianças de ambos os sexos. A distribuição
dos participantes é como na matriz
P =
Adulto Crianca[
80 120
100 200
]
Homens
Mulheres
O número de gramas diárias consumidas pelos participantes aparece na seguinte matriz
C =
Pr G Ca
20 20 20
10 20 30
Adulto
Crianca
onde Pr = Proteina, G = Gordura e Ca = Carbohidrato.
Utilizando elementos da álgebra linear (soma, multiplicação veces escalar e multiplicação de matrices) re-
sponda:
(a) Quantas gramas de proteínas consomen diariamente todos os homens participantes?
Resposta:
Utilizando os elementos da álgebra linear observa-se que o produto das matrices dá
PC =
[
80 120
100 200
] [
20 20 20
10 20 30
]
=
[
2800 4000 5200
4000 6000 8000
]
Portanto, todos os homens consomem 2800 gramas de proteínas.
(b) Quantas gramas de gorduras consomen diariamente as mulheres participantes?
Resposta: Também pelo produto das matrices temos informação do consumo de gorduras de todas as
mulheres participantes, dando 6000 gramas.
1
2. (2.5 ptos) O conjunto de vetores
S =
{[
1 1
0 0
]
,
[
0 0
1 1
]
,
[
1 0
0 1
]
,
[
0 1
1 1
]}
é uma base do espaço M2×2?
Resposta:
Linearmente independente - LI? Seja a combinação linear do elemento zero
α
[
1 1
0 0
]
+ β
[
0 0
1 1
]
+ γ
[
1 0
0 1
]
+ δ
[
0 1
1 1
]
=
[
0 0
0 0
]
então [
α+ γ α+ δ
β + δ β + γ + δ
]
=
[
0 0
0 0
]
donde β + γ + δ = 0, e como β + δ = 0, então γ = 0. Como α + γ = 0 então α = 0, portanto δ = 0 e por
último β = 0. Assim o conjunto S é linearmente independente.
Gerador de M2×2?
Dado um elemento qualquer de S,
[
x y
u v
]
∈ S, então ele deve ser combinação linear dos elementos de S,
isto é, deve existir a, b, c, d ∈ R, talque[
x y
u v
]
= a
[
1 1
0 0
]
+ b
[
0 0
1 1
]
+ c
[
1 0
0 1
]
+ d
[
0 1
1 1
]
[
x y
u v
]
=
[
a+ c a+ d
b+ d b+ c+ d
]
Portanto: v = b + c + d = c + (b + d) e u = b + d, então c = v − u. Também x = a + c, isto é a = x − c =
x− (v− u) = x+ u− v. Utilizando a y = a+ d temos d = y− a = y+ v− x− u, e por último u = b+ d então
b = u− d = 2u+ x− y − v.
3. (2.5 ptos) Em R3,
(a) (1.5 ptos) determine as equações paramêtricas da reta dada por:{
2x+ 3y − 4z + 5 = 0
2y + 5z + 6 = 3x
Resposta: As equações paramêtricas de uma reta em R3, tem a forma
L :
 x = x0 + tv1y = y0 + tv2
z = z0 + tv3
onde (x0, y0, z0) é um ponto de passagem e (v1, v2, v3) é um vetor direção da reta. Para conhecer um
ponto de passagem temos duas equações e três incognitas, então podemos dar um valor arbitrário para
uma delas e calcular as outras duas, por exemplo z0 = 0, então{
2x0 + 3y0 = −5
3x0 − 2y0 = 6 ⇒
{
4x0 + 6y0 = −10
9x0 − 6y0 = 18 ⇒ x0 =
8
13
então y0 = − 2713 . Para conhecer um vetor direção, determina-se um outro ponto da reta, e a diferenca
de ponto final menos ponto inicial dá o vetor que os une, portanto direção da reta: z1 = −1, então
x1 = − 1513 e y1 = − 2913 . Um vetor direção é
v = P0 − P1 =
(
8
13
,−27
13
, 0
)
−
(
−15
13
,−29
13
,−1
)
=
(
23
13
,
2
13
, 1
)
=
1
13
(23, 2, 13)
2
Assim as equações paramêtricas podem ser expressadas por
L :
 x =
8
13 + 23t
y = − 2713 + 2t
z = 13t
(b) (1 pto) forneça um vetor normal para cada um dos planos fornecidos em (a).
Resposta: Para o primeiro plano 2x+ 3y − 4z = −5 um vetor normal é n1 = (2, 3,−4).
Para o segundo plano −3x+ 2y + 5z = −6 um vetor normal é n2 = (−3, 2, 5).
4. (2.5 ptos) Resolva pelo método de Gauss Jordan, o seguinte problema. Um fabricante de móveis produz
cadeiras, criados mudo e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser
tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos
para ser tingida e 18 para ser envernizada. Cada criado mudo leva 12 minutos para ser envernizado e 12
para ser lixado e mais 8 minutos para ser tingida. Existem três bancadas diferentes, uma para lixar que pode
ser utilizada apenas 16 horas por semana, outra bancada para tingir que está disponível por 11 horas por
semana, e a bancada para envernizar que está disponível 18 horas por semana. Em uma semana, quantos
móveis devem ser fabricados (de cada tipo) para que as bancadas sejam plenamente utilizadas?
Resposta:
Determina-se inicialmente as variáveis do sistema:
x→número de cadeiras
y →número de criados mudos
z →número de mesas de jantar.
O sistema (não esqueça de converter ao mesmo tipo de unidades) será 10x+ 15z + 12y = 9606x+ 12z + 8y = 660
12x+ 18z + 12y = 1080
Resolvendo por Gauss Jordan, monta-se a matriz extendida: 10 12 15 9603 4 6 330
2 2 3 180
 ∼
 0 2 0 600 1 32 60
1 1 32 90
 ∼
 0 1 0 300 0 32 30
1 0 32 60
 ∼
 0 1 0 300 0 32 30
1 0 0 30

Portanto, devem ser fabricados 30 cadeiras, 30 criados mudos e 20 mesas de jantar.
3