EngenhariaProducao 2017 P10 GeometriaAnaliticaAlgebraLinear GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção bimestre: 3o bimestre ano: 2018 | 1sem P10 
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perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Questão 1 (3,0 pontos: 1,0 ponto cada item) 
Sejam a reta 𝑟𝑟 de equação 𝑋𝑋 = (1,1,2) + 𝛽𝛽(1,0,2) e o ponto 𝑃𝑃 = (1,2,2). 
 
a) Calcule 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟). 
b) Determine uma reta 𝑠𝑠, perpendicular com a reta 𝑟𝑟 e que contém o ponto 𝑃𝑃. 
c) Determine uma equação geral do plano 𝜋𝜋 que contém as retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠. 
 
Questão 2 (2,5 pontos: 0,5 ponto item a; b e c 1,0 ponto cada) 
Seja 𝑇𝑇:𝑅𝑅2 → 𝑅𝑅2 a transformação linear dada por 𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦, 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦). 
 
a) Determine [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, a matriz de 𝑇𝑇 na base canônica de 𝑅𝑅2. 
b) Encontre os autovalores e os autovetores de 𝑇𝑇. 
c) Encontre a única solução do sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶.𝑋𝑋(𝑡𝑡), que verifica as condições 
iniciais 𝑋𝑋(0) = (5, 2), onde 𝑋𝑋(𝑡𝑡) = (𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) e 𝑥𝑥,𝑦𝑦:𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 são funções de classe 𝐶𝐶1. 
 
Questão 3 (2,5 pontos: 0,5 ponto cada item) 
Para cada uma das afirmações abaixo, responda se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). 
 
a) Seja 𝐴𝐴 um conjunto finito de vetores de 𝑅𝑅3. Se 0�⃗ ∈ 𝐴𝐴, então 𝐴𝐴 é L.D. 
b) Todo conjunto L.I. de um espaço vetorial 𝑈𝑈 é uma base para 𝑈𝑈. 
c) Se 𝑇𝑇:𝑈𝑈 → 𝑈𝑈 é um operador linear, então 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑇𝑇) < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑇𝑇). 
d) Se 𝑝𝑝𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 3(𝑡𝑡 − 𝑎𝑎). (𝑡𝑡2 + 2), com 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 e 𝑎𝑎 ≠ 2, então 𝑇𝑇 não é diagonalizável sobre 𝑅𝑅. 
e) Se 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 é um paralelogramo, então sua área pode ser calculada por �𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ .𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ � 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos: 1,0 ponto cada item) 
Sejam a reta 𝑟𝑟:𝑋𝑋 = (0,1,1) + 𝛽𝛽(1,1,−1),𝛽𝛽𝛽𝛽𝑅𝑅 e o plano 𝜋𝜋: 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2. 
 
a) Mostre que a reta 𝑟𝑟 é paralela ao plano 𝜋𝜋. 
b) Calcule a distância da reta 𝑟𝑟 ao plano 𝜋𝜋. 
 
CÓDIGO DA PROVA 
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FORMULÁRIO 
 
𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝑠𝑠) =
�𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ˄𝑠𝑠�
‖𝑠𝑠‖
 
𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝜋𝜋) =
|𝑎𝑎𝑥𝑥0 + 𝑏𝑏𝑦𝑦0 + 𝑐𝑐𝑧𝑧0 + 𝑑𝑑|
√𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2
 
𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝜋𝜋) =
��𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ,𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ ,𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ��
�𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ˄𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ �
 
𝑑𝑑(𝑟𝑟, 𝑠𝑠) =
�𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ˄𝑠𝑠�
‖𝑠𝑠‖
 
𝑑𝑑(𝑟𝑟, 𝑠𝑠) =
��𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ , 𝑟𝑟, 𝑠𝑠��
‖𝑟𝑟˄𝑠𝑠‖
 
𝑑𝑑(𝜋𝜋,𝜃𝜃) =
|𝑎𝑎𝑥𝑥0 + 𝑏𝑏𝑦𝑦0 + 𝑐𝑐𝑧𝑧0 + 𝑑𝑑|
√𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2
 
𝑑𝑑(𝜋𝜋,𝜃𝜃) =
|𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑2|
√𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2
 
[𝑇𝑇]𝐵𝐵 = 𝑀𝑀−1[𝑇𝑇]𝐹𝐹𝑀𝑀 
𝑝𝑝𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡([𝑇𝑇]𝐵𝐵 − 𝑡𝑡𝑑𝑑𝐶𝐶) 
𝑉𝑉(𝜆𝜆) = 𝑑𝑑(𝑇𝑇 − 𝜆𝜆𝑑𝑑) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑈𝑈 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑑𝑑(𝑇𝑇)� + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑇𝑇)) 
 
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GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção bimestre: 3o bimestre P10 
 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Questão 1 
a) Seja 𝐴𝐴 = (1,1,2) ∈ 𝑟𝑟, assim 𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ = (1,2,2) − (1,1,2) = (0,1,0). 
Denotando por 𝑟𝑟 = (1,0,2), que é um vetor com a direção da reta 𝑟𝑟, temos 
𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟) =
�𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟����⃗ �
‖𝑟𝑟‖
 
Vamos calcular 𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �
𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗
0 1 0
1 0 2
� = (2,0,−1), assim �𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟� = √5 
Como 𝑟𝑟 = (1,0,2) temos que ‖𝑟𝑟‖ = √5, logo 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟) = √5
√5
= 1. 
 
b) Como 𝑠𝑠 deve conter o ponto 𝑃𝑃, sua equação é da forma 𝑋𝑋 = 𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑠𝑠, onde o vetor 𝑠𝑠 é de tal forma que 
as retas sejam perpendiculares. Para isso, vamos encontrar um ponto 𝑄𝑄 ∈ 𝑟𝑟 tal que 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ⊥ 𝑟𝑟, basta 
escolher 𝑠𝑠 como qualquer múltiplo, não nulo, de 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ . 
Se 𝑄𝑄 ∈ 𝑟𝑟, 𝑄𝑄 = (1 + 𝛽𝛽, 1,2 + 2 𝛽𝛽) para algum 𝛽𝛽 ∈ 𝑅𝑅, assim 
𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ = (1 + 𝛽𝛽, 1, 2 + 2 𝛽𝛽) − (1,2,2) = (𝛽𝛽,−1, 2𝛽𝛽) 
𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ⊥ 𝑟𝑟 ⟺ 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ . 𝑟𝑟 = 0 ⟺ (𝛽𝛽,−1, 2𝛽𝛽). (1,0,2) = 𝛽𝛽 + 4𝛽𝛽 = 0 ⟺ 𝛽𝛽 = 0, temos 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ = (0,−1,0) 
 Assim uma possível equação para a reta 𝑠𝑠 é: 
 𝑠𝑠:𝑋𝑋 = (1,2,2) + 𝛼𝛼(0,−1,0),𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅 (escolhi 𝑠𝑠 = 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ). 
 
c) 1º Modo: 
Um vetor 𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋, é dado por: 
𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟˄𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �
𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗
1 0 2
0 −1 0
� = (2,0,−1) 
Assim, 𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 2𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0 
Como 𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋 ⇒ 2.1 − 1.2 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = 0 
Logo, uma equação geral do plano 𝜋𝜋 é: 
𝜋𝜋: 2𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 = 0 
(Ou qualquer outra equação obtida desta, quando multiplicamos todos os seus coeficientes por um 
mesmo número real não nulo) 
 
2º Modo: 
 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �
1 − 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − 𝑧𝑧
1 0 2
0 1 0
� = 0 ⟺−2(1 − 𝑥𝑥) + 0(2 − 𝑦𝑦) + 1(2 − 𝑧𝑧) = 0 ⟺ 2𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 = 0. 
(Ou qualquer outra equação obtida desta, quando multiplicamos todos os seus coeficientes por um 
mesmo número real não nulo) 
 
4 
 
 
Questão 2 
a) Vamos calcular 𝑇𝑇 nos vetores da base canônica de 𝑅𝑅2. 
𝑇𝑇(1,0) = (1, 2) e 𝑇𝑇(0,1) = (−1, 4), logo [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �
1 −1
2 4 �. 
 
b) Vamos calcular os autovalores de 𝑇𝑇. 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �1 − 𝑡𝑡 −12 4 − 𝑡𝑡� =
(1 − 𝑡𝑡)(4 − 𝑡𝑡) + 2 = 0 ⇒ 𝑡𝑡2 − 5𝑡𝑡 + 6 = 0 ⇒ �𝑡𝑡 = 2𝑡𝑡 = 3. 
Vamos agora calcular os autovetores de 𝑇𝑇. 
𝑉𝑉(2): 
�1 −12 4 � �
𝑥𝑥
𝑦𝑦� = 2. �
𝑥𝑥
𝑦𝑦� ⇒ �
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥
2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦, logo 𝑉𝑉(2) = [(1, 1)]. (Ou qualquer vetor não nulo múltiplo 
deste, ou seja, com as duas coordenadas iguais) 
𝑉𝑉(3): 
�1 −12 4 � �
𝑥𝑥
𝑦𝑦� = 3. �
𝑥𝑥
𝑦𝑦� ⇒ �
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥
2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 3𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥, logo 𝑉𝑉(3) = [(1,−2)]. (Ou qualquer vetor não nulo 
múltiplo deste, ou seja, em que a 2ª coordenada é igual a −2 vezes a 1ª coordenada) 
 
c) O sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶.𝑋𝑋(𝑡𝑡) é então 𝑆𝑆: �
𝑥𝑥´(𝑡𝑡)
𝑦𝑦´(𝑡𝑡)� = �
1 −1
2 4 � . �
𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑦𝑦(𝑡𝑡)�, ou seja, 
𝑆𝑆: � 𝑥𝑥´
(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) − 𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑦𝑦´(𝑡𝑡) = 2𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 4𝑦𝑦(𝑡𝑡) com a condição inicial 𝑋𝑋(0) = (5, 2). 
 
Por a) e b) temos a solução geral: 
𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑2𝑡𝑡(1, 1) + 𝑏𝑏𝑑𝑑3𝑡𝑡(1,−2) ⇔ � 𝑥𝑥
(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑2𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑑𝑑3𝑡𝑡
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑2𝑡𝑡 − 2𝑏𝑏𝑑𝑑3𝑡𝑡, impondo as condições iniciais: 
 
� 𝑥𝑥
(0) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 5
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏 = 2 ⇒ �
𝑎𝑎 = 4
𝑏𝑏 = 1 
Assim a solução procurada é: 
� 𝑥𝑥
(𝑡𝑡) = 4𝑑𝑑2𝑡𝑡 + 𝑑𝑑3𝑡𝑡
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 4𝑑𝑑2𝑡𝑡 − 2𝑑𝑑3𝑡𝑡 
OBS: No item c) não importa qual autovetor seja escolhido: a resposta é sempre a mesma. 
 
Questão 3 
a) V 
b) F 
c) F 
d) V 
e) F 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) (1,0 ponto cada item) 
a) Seja 𝑟𝑟 = (1,1,−1) um vetor com a direção da reta 𝑟𝑟 e 𝑛𝑛�⃗ = (3,−2,1) um vetor normal ao plano 𝜋𝜋, 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋 ⟺
𝑟𝑟 ⊥ 𝑛𝑛�⃗ ⟺ 𝑟𝑟.𝑛𝑛�⃗ = 0. Temos 𝑟𝑟.𝑛𝑛�⃗ = 1.3 + 1. (−2) + (−1).1 = 0, logo 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋. 
b) Como 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋, 𝑑𝑑(𝑟𝑟,𝜋𝜋) = 𝑑𝑑(𝐴𝐴,𝜋𝜋), onde 𝐴𝐴 é um ponto qualquer da reta 𝑟𝑟. Seja 𝐴𝐴 = (0,1,1) ∈ 𝑟𝑟. Assim temos: 
𝑑𝑑(𝑟𝑟,𝜋𝜋) = 𝑑𝑑(𝐴𝐴,𝜋𝜋) =
|3.0 + (−2).1 + 1.1 − 2|
�32 + (−2)2 + 12
=
3
√14
=
3√14
14