Aula 3 Estática dos Fluidos

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GNE270 – Fenômenos de Transporte I
Profa. Isabele Cristina BicalhoProfa. Isabele Cristina Bicalho
DEG/UFLA
2018/1
GNE270 – Fenômenos de Transporte I
• Conteúdo
2. Estática dos Fluidos
2.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos2.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos
2.2 Variação de Pressão em um Fluido Estático
2.2.1 Barômetros
2.2.2 Manômetros
2.3 Empuxo e Estabilidade2.3 Empuxo e Estabilidade
2 – Estática dos Fluidos
• O que é estática dos fluidos?
A estática dos fluidos é ramo da MecFlu que trata dos
problemas associados aos fluidos em repouso ou em
Nestes casos, não existe movimento relativo entre as partículas de
fluido e, portanto, não há tensões de cisalhamento; apenas tensão
normal (pressão) está presente.
• Aplicações
problemas associados aos fluidos em repouso ou em
movimento de corpo rígido.
• Aplicações
Cálculo de forças sobre objetos flutuantes ou submersos;
Projeto de instrumentos para medição da pressão;
Distribuição de pressão na atmosfera e nos oceanos;
3
2 – Estática dos Fluidos
• Pressão (ou tensão normal)
A pressão é definida como uma força normal por unidade de área.
F N nFP
A
σ= =
Ex: Pressão que uma pessoa exerce
sobre o solo em função do seu peso:
(1) [ ]2N Pam
 
= 
 
75 kg 150 kg
4
2
75 9,81 24,5
0,03
σ
⋅
= = = =
pés
mg NP kPa
A m Apés = 0,03 m2
P = 24,5 kPa P = 49 kPa
2 – Estática dos Fluidos
• Pressão absoluta e pressão manométrica (relativa)
Os valores de pressão são estabelecidos em relação a um nível de
referência.referência.
vac atm absP P P= −
man abs atmP P P= −
5
2 – Estática dos Fluidos
• Pressão em um ponto
A pressão é uma tensão normal que age sempre no sentido “para
dentro” do corpo. Então, podemos representar a pressão em umdentro” do corpo. Então, podemos representar a pressão em um
ponto do fluido como:
A pressão em um ponto do fluido é a mesma para todas as direções.
Se ela tem uma intensidade, mas não uma direção específica, ela é
portanto, uma grandeza escalar.
6
2 – Estática dos Fluidos
Considere um elemento de fluido em forma de uma pequena cunha
em equilíbrio:
xp y z∆ ∆
np s z∆ ∆
g Vρ ∆
7
yp x z∆ ∆
Forças que agem sobre o elemento de fluido
2 – Estática dos Fluidos
Aplicando a 2ª lei de Newton ao elemento nas direções x e y, temos:
0 : 0
0 : cos 0
x x x nF ma p y z p sen s z
x y zF ma p x z p s z g
θ
θ ρ
Σ = = ∆ ∆ − ∆ ∆ =
∆ ∆ ∆Σ = = ∆ ∆ − ∆ ∆ − =
Analisando a geometria da figura, tem-se:
Substituindo nas equações anteriores e simplificando:
0 : cos 0
2y y y n
x y zF ma p x z p s z gθ ρ ∆ ∆ ∆Σ = = ∆ ∆ − ∆ ∆ − =
cos θ θ∆ = ∆ ∆ = ∆x s y sen s
peso do elemento de fluido
Substituindo nas equações anteriores e simplificando:
8
0
0
2
x n
y n
p p
yp p gρ
− =
∆
− − =
x n yp p p p= = = (2)
no limite, quando 
o elemento tende 
a um ponto, ∆y→0 num ponto
A pressão no fluido é constante em um ponto (a pressão é um campo escalar).
2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos
• A equação básica da estática dos fluidos
Nosso primeiro objetivo será obter uma equação para calcular o
campo de pressão em fluido estático.campo de pressão em fluido estático.
Vamos aplicar a 2ª lei de Newton a um elemento de fluido
diferencial de massa dm.
dV dxdydzdm ρ ρ= =
9Elemento de fluido está em repouso
2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos
Para uma partícula de fluido, a 2ª lei de Newton fornece :
A aceleração de um
0 0ρ ρ = = = → = =
�
� � � �dFdF dma dV a a
dV
Mas quais são as forças que podem estar atuando no elemento de
fluido que se encontra em repouso?
• Forças de campo (ou de ação à distância)
A aceleração de um
fluido estático é zero!
BdF dm g dV g g dxdydzρ ρ= = =
� � � �
dV
Considerando somente a força da
• Forças de superfície
10
BdF dm g dV g g dxdydzρ ρ= = =
� � �
Forças de cisalhamento
Forças de pressão
Fluido 
estático!
(ou de contato)
Considerando somente a força da
gravidade ou o peso do elemento!
Num fluido em repouso, nenhuma força de cisalhamento pode estar
presente. Então, a única força de superfície é a força de pressão.
A pressão é um campo escalar, , e sua variação com
a posição no fluido causa uma força líquida, que pode ser obtida
2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos
( )p = p x, y, z, t
a posição no fluido causa uma força líquida, que pode ser obtida
pela soma das forças que agem nas seis faces do elemento de fluido.
Primeiro, vamos considerar as
forças que agem na direção x:
( )p dydz iɵ
( )pp dx dydz i
x
∂ 
+ − ∂ 
ɵ
11
( )p dydz iɵ
( )p dx dydz i
x
+ − ∂ 
Lembre-se que sempre a pressão atua SEMPRE contra a face!
2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos
Se a pressão na face esquerda do elemento diferencial é p, a
pressão na face direita será:
2
2
0 0 02
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ...
1! 2!
f ff x f x x x x x
x x
∂ ∂
= + − + − +
∂ ∂x x
Então, a força líquida na direção x sobre o elemento é dada por:
sx
p pdF p dydz p dx dydz dxdydz∂ ∂ = − + = − ∂ ∂
R
pp p dx
x
∂
→ = +
∂
0 0 02( ) ( ) ( ) ( ) ...1! 2!f x f x x x x xx x
= + − + − +
∂ ∂0x x
De maneira semelhante, as forças líquidas dFsy e dFsz, são dadas
abaixo:
e
12
sxdF p dydz p dx dydz dxdydz
x x
= − + = − ∂ ∂ 
sy
pdF dxdydz
y
∂
= −
∂ sz
pdF dxdydz
z
∂
= −
∂
2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos
Combinando as componentes da força de pressão na forma vetorial,
tem-se:
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )S
p p pdF dxdydz i dxdydz j dxdydz k
x y z
∂ ∂ ∂
= − − −
∂ ∂ ∂
�
Identificamos o termo entre parênteses como o vetor gradiente
de p , que pode ser escrito como .
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆˆ ˆ
S
S
dF dxdydz i dxdydz j dxdydz k
x y z
p p pdF i j k dxdydz
x y z
= − − −
∂ ∂ ∂
 ∂ ∂ ∂
= − + + ∂ ∂ ∂ 
�
 ou grad p p∇de p , que pode ser escrito como .
Note que não é a pressão, mas sim o gradiente de pressão (a taxa
de variação da pressão com a distância), que causa uma força
líquida no fluido!
13
 ou grad p p∇
campo escalar
campo vetorialS
dF p dxdydz= −∇
�
2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos
A força total atuando sobre o elemento de fluido é então, a
combinação das forças de campo e de superfície:
( ) ( )S BdF dF dF p g dxdydz p g dVρ ρ= + = −∇ + = −∇ +� � � � �
O significado físico de cada termo é:
( ) ( )S B
Da 2ª lei de Newton
para um fluido estático
0
força líquida de pressão força de campo por
ρ−∇ + =
   
�p g
ρ= −∇ +
�
�dF p g
dV
0=
14
força líquida de pressão força de campo por
0
por unidade de volume unidade de volume
   
+ =   
   
p gρ∇ = �Lei da estática dos fluidos (3)
A variação de
pressão é devido
ao peso do fluido
2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos
As três componentes da Eq. (3) que devem ser satisfeitas são:
ρ∂ =∂
x
p g
x
direção x z
Escolhendo o sistema de coordenadas com o eixo z apontando
ρ
ρ
∂
∂
=∂
∂
=∂
y
z
x
p g
y
p g
z
direção y
direção z
g�
y
x
(4)
ˆˆ ˆ0 0g i j gk= + −�
Escolhendo o sistema de coordenadas com o eixo z apontando
verticalmente para cima, teremos:
15
0; 0;p p p g
x y z
ρ∂ ∂ ∂= = = −
∂ ∂ ∂
dp g
dz
ρ γ= − ≡ − (5)
Esta é a relação básica pressão-altura
da estática dos fluidos.
2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático
• Variação de pressão em um fluido estático
dp g
dz
ρ= − (5)
Restrições:
(1) Fluido estático
(2) A gravidade é a única força de campo
(3) O eixo z é vertical e voltado para cima
dz
A pressão num fluido estático uniforme continuamente
distribuídovaria somente com a distância vertical e é
independente da forma do recipiente. Ela é a mesma em todos os
pontos em um dado plano horizontal e aumenta com a
profundidade no fluido.
16
2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático
Ilustração: Vasos comunicantes
• , pois estão a uma mesma profundidade na água
• ( ) > ( )
• O ponto D tem pressão diferente de A, B e C, porque ele está em
um fluido diferente,o mercúrio.
17
a b c dp p p p= = =
 A B C a b c dp p p p p p p= = = = =
2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático
• Pressão hidrostática nos líquidos
Para determinar a variação de pressão, devemos integrar a Eq. (5) e
aplicar condições de contorno apropriadas:
p z
É conveniente colocar o nível de referência na superfície livre e
medir distâncias para baixo a partir dessa superfície como positivas:
( )
0 0
0 0
p z
p z
dp g cte dp gdz p p g z z
dz
ρ ρ ρ= − = → = − → − = − 
h z z= −
18
0h z z= −
0p p p ghρ− = ∆ =
(6)
2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático
Observando a Eq. (6) podemos afirmar:
A pressão num líquido em repouso aumenta linearmente com a
profundidade.
Para =p p
ρ= +atmp p gh
Para 0 = atmp p
19
Para distâncias pequenas a moderadas,
a variação da pressão com a altura é
desprezível para os gases, por causa de
sua baixa densidade.
2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático
• Pressão hidrostática nos gases
A variação da pressão em um fluido compressível pode ser avaliada
pela integração da Eq. (5) considerando a massa específica comopela integração da Eq. (5) considerando a massa específica como
uma variável. Nesses casos, equações de estado ou correlações para
a massa específica são necessárias.
Considerando que o gás se comporte como um gás ideal, tem-se:
dp g
dz
ρ= −
como função de p ou de z
(5)
Considerando que o gás se comporte como um gás ideal, tem-se:
Introduzimos T como uma variável adicional. Então devemos fazer
uma consideração para a temperatura.
20
' ' 
'
m m pM ppV nR T pV R T
M V R T RT
ρ ρ= → = → = = → =
2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático
A temperatura atmosférica decresce linearmente com a altitude até
uma elevação de aproximadamente 11 km.
Para uma variação linear da
temperatura com a altitude
dada por,
0= −T T mz
21
2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático
Obtemos a partir da Eq. (5):
( )0
pdp gdz gdz gdp
R T m
z
T zR
ρ= −
−
= − = −
Separando as variáveis e integrando de z = 0, em que p = p0, até a
elevação z, em que a pressão é p, temos:
( ) ( )0
0
0
0 00
1ln ln → = − → = − − 
− − 
     
−
 
zp z
p
p
p
dp gdz gp T mz
p R T mz R m
T mzp g g mz
22
0
0 0 0
0 0
0 0 0 0
ln ln ln 1
1 1
     
−
= = −     
     
     
= − → = − =     
     
g g g
mR mR mR
T mzp g g mz
p mR T mR T
p mz mz Tp p p
p T T T
(7)
2.2.1 – Barômetros
• Dispositivos de medição da pressão
• O barômetro
O barômetro mede a
0vp ≈
A B
atm v Hg
atm Hg
p p
p p gh
p gh
ρ
ρ
=
= +
=
O barômetro mede a
pressão atmosférica.
z h=
h
B atmp p=
23
atm Hg
atm
Hg
ou
ph
gρ
= 0 0z =
z
atmp
A B
(8)
2.2.1 – Barômetros
O comprimento e a área da seção transversal do tubo não tem
efeito sobre a altura da coluna de fluido de um barômetro.
1 760
760 101325
atmp atm mmHg
torr Pa
= = =
= =
A atmosfera-padrão é definida como a pressão produzida por uma
coluna de mercúrio com 760 mm de altura a 0°C (ρHg=13595 kg/m3)
sob aceleração da gravidade padrão (g = 9,807 m/s2).
24
2.2.1 – Barômetros
A pressão atmosférica em um lugar é simplesmente o peso do ar
sobre aquela localidade por unidade de área de superfície.
atmAltitude p→
101,325
1000 89,88
2000 79,50
5000 54,05
10000 26,50
atm
Nível do mar kPa
m kPa
m kPa
m kPa
m kPa
=
=
=
=
=
Declínio da patm
com a altitude
25
10000 26,50
20000 5,53
m kPa
m kPa
=
=
Leva mais tempo para cozinhar em altitudes mais elevadas.
 Sangramento do nariz.
Menor densidade do ar e menor disponibilidade de O2.
Exemplo 1
• Exemplo 1)
Determine a pressão atmosférica em uma localidade na qual a
leitura barométrica é 740 mmHg e a aceleração gravitacional é g =leitura barométrica é 740 mmHg e a aceleração gravitacional é g =
9,805 m/s2. Considere que a temperatura do mercúrio seja de 10°C,
na qual sua densidade é de 13570 kg/m3.
• Solução: Aplique a Eq. (8)!
3 2
113570 .9,805 .740 .
1000atm
kg m mp gh mmHg
mmm s
ρ= =
26
3 2
2
1000
98500 98500 98,5atm
mmm s
kgp Pa kPa
m s
= = =
⋅
Exemplo 2
• Exemplo 2)
As infusões intravenosas em geral são movidas pela gravidade,
pendurando-se o frasco com o fluido a uma altura suficiente parapendurando-se o frasco com o fluido a uma altura suficiente para
contrabalançar a pressão do sangue na veia e forçar o fluido a entrar
no corpo. Quanto mais alto o frasco for elevado, maior será a vazão
do fluido.
Frasco intravenoso
27
Exemplo 2
(a) Se for observado que as pressões do fluido e do sangue se
equilibram quando o frasco está a 1,2 m acima do nível do braço,
determine a pressão manométrica do sangue.
(b) Se a pressão manométrica do fluido no nível do braço precisar
ser de 20 kPa para que a vazão seja suficiente, determine a que
altura o frasco deve ser colocado.
Considere a densidade do fluido como 1020 kg/m3.
SOLUÇÃO:SOLUÇÃO:
Hipóteses:
1. O fluido intravenoso é incompressível.
2. O frasco está aberto à atmosfera.
28
Exemplo 2
(a) Observando que as pressões do fluido e do sangue se equilibram
quando o frasco está a 1,2 m acima do nível do braço podemos
escrever:
p p ghρ= +
(b) Para a pressão manométrica valer 20 kPa a altura do frasco deve
( )
,
, 3 2 21020 9,81 1,2 12007,44
braço atm braço frasco
man braço abs atm braço frasco
man braço
p p gh
p p p gh
kg m kgp m
m s m s
ρ
ρ
−
−
= +
= − =
  
= =  
  
Pa
(b) Para a pressão manométrica valer 20 kPa a altura do frasco deve
ser:
29
,
3 220000 1020 9,81 2
man braço braço frascop gh
kg mPa h h m
m s
ρ
−
=
  
= → =  
  