Controle da Qualidade-Apostila

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE 
 
CONTROLE DA QUALIDADE 
 
 
Prof. William Morán 
 

LSC
LIC
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 2 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 3 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 4 
CONTROLE DA QUALIDADE 
 
 
 Segundo Souza (1998), o termo “Qualidade” pode ser definido como adequação ao uso. Isto significa que, 
se espera comprar produtos e serviços que satisfazem nossos requerimentos ou desejos. Assim, a qualidade 
ou adequação ao uso é determinada através da interação da “qualidade do projeto” e da “qualidade de 
conformidade”. A qualidade do projeto relaciona-se com os níveis de desempenho, de confiabilidade, de 
serviço e de função que são o resultado de decisões deliberadas no departamento de engenharia e 
executadas pela gerencia geral. A qualidade de conformidade é a redução sistemática da variabilidade e a 
eliminação de defeitos até que cada unidade produzida seja idêntica e livre de defeitos. Atualmente 
considera-se que a melhoria da qualidade significa a “eliminação de desperdícios”. Desperdiço é tudo 
aquilo que é feito de forma errada, uma ou mais de uma vez. 
 Uma definição moderna de qualidade é: A qualidade é inversamente proporcional à variabilidade 
(Montgomery, 2004). Note que essa definição implica que se a variabilidade das características importantes 
de um produto diminuem, a qualidade do produto aumenta. 
Um processo é a transformação de um conjunto de entradas, as quais podem incluir materiais, ações, 
métodos e operações, em um conjunto de saídas desejadas, na forma de produtos, serviços, informações ou 
simplesmente resultados. Em cada área ou função de uma organização existem muitos processos que são 
levados a cabo. Cada processo pode ser analisado pela checagem das entradas e das saídas. Isso 
determinará a ação ou ações necessárias a serem tomadas para melhorar o processo e/ou a qualidade. 
As saídas de um processo são tudo aquilo que geralmente interessa ao cliente. Certamente, para 
produzir uma saída que reúna os requerimentos do cliente, é necessário definir, monitorar e controlar as 
entradas do processo, as quais por sua vez são resultados de processos anteriores. Em cada interface cliente-
fornecedor acontece um processo de transformação. Além disso, cada tarefa pode ser vista na organização 
como um processo em si. 
Para começar a analisar e monitorar qualquer processo, é necessário primeiro identificar todas as 
entradas e todas as saídas que fazem parte do processo. Muitos processos podem ser facilmente 
identificados e entendidos como perfurar uma chapa de aço, comprimir um gás, encher uma garrafa, etc. 
Outros processos são mais difíceis de identificar e entender, como atender um cliente, recitar uma poesia, 
armazenar um produto, inicializar uma máquina, etc. Portanto, em algumas ocasiões será difícil definir, 
identificar e entender um processo. Por exemplo, se o processo consiste de realizar vendas pelo telefone, é 
vital conhecer se o escopo do processo inclui obter acesso a um cliente potencial ou a um cliente. Assim, é 
vital definir o escopo do processo, portanto, também será vital determinar os requerimentos das entradas e 
os resultados das saídas. 
 Em geral, o Controle da Qualidade ou mais comumente chamado de Controle Estatístico da Qualidade 
(CEQ), é um conjunto de métodos estatísticos e de engenharia, que são usados na medida, na monitoração, no controle 
e na melhoria da qualidade. O CEQ começou a se desenvolver a partir dos anos 20’s, sendo um dos pioneiros o 
Dr. Walter Shewart, dos Laboratórios da Companhia Telefônica Bell. Ele estabeleceu a utilização de cartas 
de controle (cartas de controle, diagramas de controle e gráficos de controle significam o mesmo) na 
produção dos produtos da Companhia Telefônica Bell, fato que se traduziu na melhora da qualidade dos 
produtos e na redução de desperdícios. 
 Devemos ter em consideração que a grande contribuição da Estatística não se baseia tanto no fato de 
juntar um grupo de estatísticos altamente qualificados da indústria, mas no fato de criar uma geração de 
físicos, químicos, engenheiros e outros profissionais com uma mentalidade estatística, os quais irão, de 
algum modo, dar uma ajuda no desenvolvimento e no direcionamento dos processos de produção no 
futuro. 
 O Controle Estatístico de Processos (CEP) é um instrumento do CEQ, que visa predizer se o processo 
sob estudo se encontra estável ou sob controle. O CEP utiliza principalmente as seguintes ferramentas para 
atingir seu alvo: 
 
 Histogramas 
 Gráfico de Pareto 
 Diagrama de Causa – Efeito 
 Gráficos de Controle 
 Diagramas de Dispersão 
 Amostragem de aceitação 
 
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 Denomina-se “CEP em tempo real” (on-line) quando se obtêm dados do processo enquanto ele esta 
sendo executado (principalmente os gráficos de controle). Aos experimentos planejados (Análise de 
Regressão, Análise de Regressão Múltipla, ANOVA, Comparações Múltiplas, teste de medidas individuais, 
etc) denominam-se “CEP Off-line”, já que eles são realizados fora do tempo de execução do processo. 
 Assim, o CEP visa basicamente detectar: 
 
 O aumento/diminuição dos produtos/serviços defeituosos. 
 As tendências ou variações na fabricação/prestação de produtos/serviços que fiquem fora dos 
padrões estabelecidos. 
 
 Devido a que não existem dois produtos ou serviços exatamente iguais, inclusive quando os processos 
estiverem operando conforme o previsto, devido a que os processos usados para produzi-los contêm muitas 
fontes de variação. As fontes de variação basicamente são duas (Souza, 1998): 
 
a) Fontes Usuais: As fontes usuais de variação representam àquelas causas puramente aleatórias, as 
quais se caracterizam por ser inevitáveis e não-identificáveis, isto é, elas só podem ser reduzidas por 
meio de modificações no sistema. Exemplo: Em uma máquina que enche uma bolsa de batatas 
fritas, pode-se observar que apesar de que o peso e a quantidade de batatinhas por bolsa deveriam 
ser iguais, nós sabemos que tanto o peso quanto o número de batatinhas são diferentes. 
b) Fontes Especiais ou Identificáveis: As fontes especiais representam padrões (grandes flutuações) que 
acontecem nos dados que não são inerentes a um processo, isto é, são aquelas causas passíveis de 
correção sem modificar o sistema. Exemplo: Um trabalhador inexperiente comandando uma 
máquina. 
 
 
 
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Diagramas de Ramo e Folhas: 
 O Diagrama de Ramo e Folhas é especialmente utilizado quando o número de dados for 
moderadamente alto. Ele fornece uma apresentação visual informativa de um conjunto de dados x1, x2, ....., 
xn, em que cada número xi consiste em, no mínimo, dois dígitos. Para construir o diagrama de ramo e folhas, 
dividimos cada número xi em duas partes: um ramo, consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e uma folha, 
consistindo nos dígitos restantes. 
 
Exemplo: Para ilustrar a construção de um diagrama de ramo e folha, considere os seguintes 40 dados 
do rendimento semanal de uma fábrica de semicondutores: 
 
Semana Rendimento Semana Rendimento Semana Rendimento Semana Rendimento 
1 48 11 59 21 68 31 75 
2 53 12 54 22 65 32 85 
3 49 13 47 23 73 33 81 
4 52 14 49 24 88 34 77 
5 51 15 45 25 69 35 82 
6 52 16 64 26 83 36 76 
7 63 17 79 27 78 37 75 
8 60 18 65 28 81 38 91 
9 53 19 62 29 86 39 73 
10 64 20 60 30 92 40 92 
 
 Segundo esses dados, o diagrama de ramo e folha ficaria da seguinte forma (observe que os 
valores da variável rendimento são de dois dígitos): 
 
Ramo Folha Freqüência 
4 8 9 7 9 5 5 
5 3 2 1 2 3 9 4 7 
6 3 0 4 4 5 2 0 8 5 9 10 
7 9 3 8 5 7 6 5 38 
8 8 3 1 6 5 1 2 7 
9 2 1 2 3 
 
 O diagrama nos permite observar que a distribuição do rendimento tem uma forma 
aproximadamente simétrica, com um pico só (no ramo 6). 
 Uma variante do diagrama é o Diagrama de Ramo e Folha Ordenado, o qual apresenta as folhas 
ordenadas pela sua magnitude, como mostrado abaixo: 
 
Ramo Folha Freqüência Frequência Acumulada 
4 5 7 8 9 9 5 5 
5 1 2 2 3 3 4 9 7 12 
6 0 0 2 3 4 4 5 5 8 9 10 22 
7 3 3 5 5 6 7 8 9 8 30 
8 1 1 2 3 5 6 8 7 37 
9 1 2 2 3 40 
 
 A variante permite fazer o cálculo dos percentis, dos quartis e da mediana, de forma simples. 
 
Desde um ponto de vista prático, sabe-se que: S(p) = [ (n) (0,p) + (k/2) ] 
 Onde: 
 “S(p)” indica a posição do termo da amostra ordenada que define o percentil procurado. 
 “n” é o número de observações da amostra 
 “p” é o percentil procurado 
 “k” é uma constante 
 
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


)p(Spordefinidoseirosinttermosdosmédiaàigualé)p(P,contráriocaso
)p(Spordefinidotermoaoigualé)p(Pentão,eirointnúmeroumé)p(S
Se
 
 onde: 
 P(p) é o percentil procurado. 
 
Assim, utilizando a fórmula indicada acima, o “percentil 10” é determinado pelo termo com a posição 
(40) (0,10) + 0,5 = 4,5 (ponto médio entre o quarto e o quinto termo), ou seja: (49 + 49) / 2 = 49 
 
O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior é o termo com a posição (0,25) (40) + 0,5 = 10,5 (ponto médio 
entre o décima e o décima primeiro termo), ou seja: (53 + 54) / 2 = 53,5. 
 
O qüinquagésimo percentil equivale a falar segundo quartil ou ainda chamar de mediana é a observação 
com a posição (0,50) (40) + 0,5 = 20,5 (ponto médio entre a vigésima e a vigésima primeira observação), 
ou seja: (65 + 68) / 2 = 66,5. 
 
O terceiro quartil (Q3) ou quartil superior é a observação com a posição (0,75) (40) + 0,5 = 30,5 (ponto 
médio entre a trigésima e a trigésima primeira observação), ou seja: (79 + 81) / 2 = 80. 
 
A Faixa Interquartil (ou Intervalo Interquartil) = IQR = Q3 – Q1 = 80 – 53,5 = 26,5 
 
Problema: Se registraram nove medições da temperatura (em °F) de um forno para o processo de fabricação 
de uma peça metálica, obtendo-se os seguintes dados: 
 
953 955 948 
951 957 949 
954 950 959 
 
a) Calcule a média amostral e o desvio padrão amostral 
b) Determine a mediana amostral desses dados. 
 
Problema: Foram registrados 30 dados sobre as taxas de octanagem de combustível para motor (leia por 
linha), de várias misturas de gasolina: 
 
88,5 87,7 83,4 86,7 87,5 94,7 91,1 91,0 94,2 87,8 
84,3 86,7 88,2 90,8 88,3 90,1 93,4 88,5 90,1 89,2 
89,0 96,1 93,3 91,8 92,3 88,9 92,3 89,8 89,6 87,4 
 
Os mesmos dados ordenados de forma crescente seriam (leia por linha, de esquerda para direita): 
 
83,4 84,3 86,7 86,7 87,4 87,5 87,7 87,8 88,2 88,3 
88,5 88,5 88,9 89,0 89,2 89,6 89,8 90,1 90,1 90,8 
91,0 91,1 91,8 92,3 92,3 93,3 93,4 94,2 94,7 96,1 
 
a) Construa um diagrama de ramo e folha para esses dados. 
b) Que características importantes podem ser observadas nos dados. 
 
Problema: Um fabricante de giz implantou um programa de qualidade para controlar a densidade da giz. 
Foram registrados os seguintes dados: 
 
0,204 0,315 0,096 0,184 0,230 0,212 0,322 0,287 
0,145 0,211 0,053 0,145 0,272 0,351 0,159 0,214 
0,388 0,187 0,150 0,229 0,276 0,118 0,091 0,056 
 
Sabe-se que o maior valor é 0,388 e o menor valor é 0,053. 
 
a) Construa um diagrama de caixa (leia por linha). 
b) Comente sobre as informações fornecidas pelo diagrama. 
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Problema: Foram registrados os tempos entre chegadas (em minutos) de peças, para uma estação de 
trabalho, como mostrado na tabela abaixo (leia por linha): 
 
18 3 13 24 3 14 40 24 9 8 
1 1 17 5 29 6 2 10 22 54 
20 5 5 12 8 2 6 14 10 12 
15 12 8 5 1 46 23 18 29 2 
15 4 2 4 1 2 1 19 40 1 
 
a. Construa um diagrama de ramo e folha ordenado (leia por linha). 
b. Determine o valor do percentil 60. 
c. Se a média amostral é 12,9 e o desvio padrão amostral é 12,4708, interprete as características dos 
dados. 
 
 
 
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Diagrama de Caixa (Diagrama de Caixa e Linha): 
 O diagrama de pontos, o diagrama de ramo e folhas e o diagrama de freqüências fornecem 
impressioneis visuais gerais acerca de um conjunto de dados, enquanto quantidades numéricas, tais como 
x
 e S fornecem informação sobre somente uma característica dos dados. O Diagrama de Caixa (às vezes 
chamado de Diagrama de Caixa e Linha) é uma apresentação gráfica que descreve simultaneamente várias 
características importantes de um conjunto de dados, tais como centro, dispersão, desvio da simetria e 
identificação das observações que estão surpreendentemente longe do seio dos dados (essas observações são 
chamadas de ”outliers”). 
 O diagrama de caixa apresenta três quartis, o mínimo e o máximo dos dados em uma caixa retangular, 
podendo estar alinhados tanto vertical quanto horizontalmente. A caixa inclui a amplitude interquartil 
(IQR), com o canto esquerdo (ou inferior) no primeiro quartil (Q1), e o canto direito (ou superior) no terceiro 
quartil (Q3). Uma linha é desenhada, através da caixa, no segundo quartil, que é o percentil 50 ou a mediana 
(Q2 = 
x~
). Uma linha (bigode) estende-se de cada extremidade da caixa. A linha inferior (bigode esquerdo 
ou inferior) começa no primeiro quartil indo até o menor valor do conjunto de pontos dentro da faixa de 1,5 
interquartil (1,5 IQR) a partir do primeiro quartil. A linha superior (bigode direito ou superior) começa no 
terceiro quartil indo até o maior valor do conjunto de pontos dentro da faixa de 1,5 interquartil (1,5 IQR) do 
terceiro quartil. Dados mais afastados do que os bigodes são desenhados como pontos individuais. Um 
ponto além do bigode, porém a menos de 3 amplitudes interquartis da extremidade da caixa, é chamado de 
“outliers”. Um ponto a mais de 3 amplitudes interquartis da extremidade da caixa é chamado de “outliers 
extremo”. Geralmente os outliers são representados como círculos fechados e os outliers extremos são 
representados como círculos abertos. A descrição de um diagrama de caixa se mostra na seguinte figura: 
 
 
 
 
Exemplo: Para os dados do exemplo anterior (dados da resistência à compressão de 80 corpos de prova 
de liga de Alumínio-Lítio), determine o diagrama de caixa desses dados. 
Solução: 
Note que os dados não se aproximam da curva normal. Fazendo um diagrama de freqüências fica mais 
claro de enxergar ou calculando o C(as). Classificando os dados de menor a maior, temos: 
 
76 123 145 154 163 171 181 200 
87 131 146 156 163 172 181 201 
97 133 148 157 164 174 183 207 
101 133 149 158 165 174 184 208 
105 134 149 158 167 175 186 218 
110 135 150 158 167 176 190 221 
115 135 150 158 168 176 193 228 
118 141 151 160 169 178 196 229 
120 142 153 160 170 180 199 237 
121 143 154 160 171 180 199 245 
 
Como (0,25) (80) + 0,5 = 20,5; para calcular Q1, temos que encontrar a média dos termos 20 e 21: 
Bigode esquerdo:
A linha se estende, a partir do 
primeiro quartil, até o menor 
ponto dado que esteja na faixa 
de 1,5 interquartil Primeiro quartil
Segundo quartil
Terceiro quartil
Outliers
Outliers:
Outlier extremo:
Bigode direito:
A linha se estende, a partir do 
terceiro quartil, até o maior 
ponto dado que esteja na faixa 
de 1,5 interquartil
IQR1,5 IQR 1,5 IQR 1,5 IQR 1,5 IQR 
Ponto além do bigode, porém a 
menos de 3 amplitudes interquartis 
da extremidade da caixa
Ponto a mais de 3 
amplitudes interquartis da 
extremidade da caixa
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 Q1 = (143 + 145) /2 = 144 
Como (0,50) (80) + 0,5 = 40,5; para calcular Q2, temos que encontrar a média dos termos 40 e 41: 
 Q2 = (160 + 163) / 2 = 161,5 
Como (0,75) (80) + 0,5 = 60,5; para calcular Q3, temos que encontrar a média dos termos 60 e 61: 
 Q3 = (180 + 181) / 2 = 180,5 
O intervalo interquartil = IQR = Q3 – Q1 = 180,5 – 144 = 36,5 
 1,5 IQR = 54,75 e 3 IQR = 109,5 
Como Q1 – 1,5 IQR = 144 – 54,75 = 89,25; então o bigode da esquerda será: 97 ; 
 Outlier (e) 1: 87; Outlier (e) 2: 76 
Como Q3 + 1,5 IQR = 180,5 + 54,75 = 235,25; o bigode da direita será: 229; 
 Outlier (d) 1: 237; Outlier (d) 2: 245 
Não existem outliers extremos. 
 
 A curva formada pelos dados têm forma mesocúrtica, leptocúrtica ou platicúrtica? 
 
 (0,10) (80) + 0,5 = 8,5 , então, P(10) = (118 + 120) / 2 = 119 
 (0,90) (80) + 0,5 = 72,5 , então, P(90) = (201 + 207) / 2 = 204 
 
215,0
)119204(2
)1445,180(
)PP(2
)QQ(
C
)10()90(
13 






 , então, curva leptocúrtica, curva de freqüência mais 
fechada que a normal ou mais aguda ou afilada em sua parte superior. 
 
O diagrama de caixa ficaria da seguinte forma: 
 
 
 
Problema: Uma empresa utiliza duas máquinas diferentes para fabricar certo tipo de arruelas. Durante um 
turno só, se obteve uma amostra de n = 20 arruelas produzidas por cada máquina e se determinou o valor 
do diâmetro externo das arruelas. As especificações geralmente variam entre 100  5 mm. Analise os 
diagramas de caixa de cada máquina e explique qual delas compraria. O diagrama de caixa comparativa 
mostra-se abaixo: 
 
 
Problema: Os seguintes são dados da sincronização de um dispositivo elétrico em milissegundos (leia por 
linha de acima para abaixo): 
 
195 204 195 211 204 200 196 201 
200 203 195 193 200 199 189 198 
198 206 197 196 202 204 199 194 
 
a) Calcule a média, mediana, desvio padrão amostral e a variância amostral. 
b) Construa um diagrama de caixa dos dados e comente sobre a informação nesse diagrama. 
100 150 200 250
Resistência
85 95 105 115100
Máquina 1
Máquina 2
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c) Encontre os percentis 5% e 95% dos dados. 
d) O desvio dos dados é para a esquerda ou para a direita? 
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Diagrama da Distribuição de Freqüências: 
 Uma distribuição de Freqüências é um sumário mais compacto dos dados, em relação ao diagrama de 
ramo e folhas. Para construir uma distribuição de freqüências, temos de dividir a faixa de dados em 
intervalos, que são geralmente chamados de intervalos de classe ou células. Se possível, os intervalos devem 
de iguais larguras de modo a aumentar a informação visual na distribuição de freqüências. O número de 
intervalos depende do número de observações e da quantidade de dispersão dos dados. Uma distribuição 
de freqüência não será informativa se usar um número muito baixo ou muito alto de intervalos de classe. 
Em geral, de 5 a 20 intervalos são considerados satisfatórios na maioria dos casos, sendo que o número de 
intervalos deve crescer com “n”. Na prática, trabalha-se bem se o número de intervalos de classe for 
aproximadamente igual à raiz quadrada do numero de observações (
n
). Outro método é usar a regra de 
Sturges, a qual estabelece que o número de intervalos seja igual a (1 + 3,3 log n). 
 Um histograma da Distribuição de Freqüências é mais efetivo na apresentação de dados para amostras 
relativamente grandes, tipo n  75. É bom lembrar que enquanto maior seja o valor de “n”, o histograma 
poderá ser um indicador confiável da forma geral da população de medidas da qual a amostra foi retirada. 
 Ao observar uma distribuição de freqüências dá para enxergar com facilidade a simetria dos dados da 
amostra. Na figura mostrada abaixo, nota-se que os dados podem ter um desvio à esquerda (a), uma forma 
simétrica (b) ou ter um desvio à direita (c). Se 
x
 é a média, 
x~
 é a mediana e 
x

 a moda, então, para os 
dados que tiverem um desvio à esquerda encontraremos que média < mediana < moda. Se os dados fossem 
simétricos moda = mediana = média (para dados aproximadamente simétricos esses três parâmetros seriam 
próximos). Se os dados tiverem um desvio à direita encontraremos que moda < mediana < média. 
 
 
 
 
 
 Finalmente agregar que quando os dados não sejam quantitativos, mais sejam por categorias (alto, 
médio, baixo, etc) os intervalos devem ter a mesma largura. 
 
 
Exemplo: Para a seguinte tabela, onde se mostram os dados da resistência à compressão de 80 corpos de 
prova de liga de Alumínio-Lítio, faça um histograma que mostre a distribuição de freqüências dos 
dados. 
 
105 221 183 186 121 181 180 143 
97 154 153 174 120 168 167 141 
245 228 174 199 181 158 176 110 
163 131 154 115 160 208 158 133 
207 180 190 193 164 133 156 123 
134 178 76 167 184 135 229 146 
218 157 101 171 165 172 158 169 
199 151 142 163 145 171 148 158 
160 175 149 87 160 237 150 135 
196 201 200 176 150 170 118 149 
 
Como n = 80, então 
80
 = 8,9  9 intervalos de classe; x(máximo) = 245; x(mínimo) = 76. Assim, dos 
dados da tabela anterior obtemos a seguinte tabela de distribuição de freqüências para um conjunto de 
dados de resistência à compressão: 
 
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Intervalo de classe (psi) Código do intervalo Freqüência Freq. Relativa Freq. Acumulada 
70  x < 90 1 2 0,0250 0,0250 
90  x < 110 2 3 0,0375 0,0625 
110  x < 130 3 6 0,0750 0,1375 
130  x < 150 4 14 0,1750 0,3125 
150  x < 170 5 22 0,2750 0,5875 
170  x < 190 6 17 0,2125 0,8000 
190  x < 210 7 10 0,1250 0,9250 
210  x < 230 8 4 0,0500 0,9750 
230  x < 250 9 2 0,0250 1,0000 
 
 
O gráfico de distribuição de freqüências relativas seria: 
 
24020016012080
30
25
20
15
10
5
0
Resistência à Compressão (psi)
Fr
eq
uê
nc
ia
 r
el
at
iv
a
2,50
5,00
12,50
21,25
27,50
17,50
7,50
3,75
2,50
Distribuição de Frequências Relativas
 
 
O gráfico de barras da distribuição de freqüências acumuladas seria o seguinte: 
 
24020016012080
100
80
60
40
20
0
Resitência à Compressão (psi)
Fr
eq
uê
nc
ia
s 
A
cu
m
ul
ad
as
100,00
97,50
92,50
80,00
58,75
31,25
13,75
6,25
2,50
Distribuição de Frequências Acumuladas
 
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A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 Com certeza a Distribuição Normal é a distribuição mais importante tanto na teoria como na prática da 
estatística. Se x é uma variável aleatória normal, então a distribuição de probabilidade de x se define como 
segue: 











xondee
2
1
)x(f
2
x
2
1 
 
A média da distribuição normal é  (-  <  < ) e a variância é 2 > 0. 
 
 A utilização da distribuição normal é tão freqüente que muitas vezes se emprega uma notação especial 
x  N(, 2), para denotar que x segue uma distribuição normal com média  e variância 2. A forma da 
distribuição normal é uma curva simétrica, unimodal, em forma de campana, a qual se mostra na figura 
abaixo: 
 
 
 Há uma interpretação simples do desvio padrão  de uma distribuição normal, a qual se mostra na 
figura abaixo. Note que 68,26% dos valores da população se localizam entre os limites 1, definidos pela 
média mais menos um desvio padrão (  1). 95,46% dos valores da população se localizam entre os 
limites 2, definidos pela média mais menos dois desvios padrão (  2); já os limites 3 determinam 
99,73% dos valores da população e se localizam entre os limites definidos pela média mais menos três 
desvios padrão (  3). 
 
 
 A distribuiçãonormal acumulada se define como a probabilidade de que a variável aleatória normal x 
seja menor ou igual que certo valor “a”, o qual em termos matemáticos significa: 
dxe
2
1
)a(F}ax{P
2
x
2
1
a 







 
 
 
 
 Esta integral é fácil de integrar utilizando a seguinte mudança de variável: 



x
z
. Assim, ao fazer a 
mudança de variável e resolver a integral teríamos: 
Curva

),(N 2
f (x)
x
Área = 0,6826

Área = 0,9546
  2  3 2 3
Área = 0,9973
Limites 1
Limites 2
Limites 3



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

















aa
zP}ax{P
 
 
 Onde 
(.)
 é a distribuição acumulada da distribuição normal padrão (média = 0, variância = 1). À 
mudança de variável 



x
z
 é comum de chamar-la de “padronização”, já que converte uma variável 
aleatória N (, 2) em uma variável aleatória N (0, 1). 
 
Observação: Devido à simetria da curva normal sempre se cumprirá que P { x  - a } = P { x  a } 
 
Exercício: A tensão do papel empregado para fazer as sacolas é uma característica importante de qualidade. 
Sabe-se que resistência tem uma distribuição normal com média  = 40 lb/pol2 e variância 2 = 4 lb/pol2 (se 
denota como x  N (40, 4). O comprador das sacolas requer que elas tenham uma resistência de pelo menos 
35 lb/pol2. Qual é a probabilidade de que uma sacola feita com esse papel cumprirá com essa especificação? 
Solução: 
Nota-se que a probabilidade de que uma sacola feita com esse papel cumpra com essa especificação é 
de: 
 P { x  35} = 1 - P { x  35} 
De forma gráfica, significa que devemos encontrar a área sombreada para o gráfico mostrado abaixo. 
Para padronizar a variável resistência devemos fazer z = (35 – 40)/2 = - 2,5. O sinal negativo da 
variável padronizada z, significa que o valor de z se encontra à esquerda da média  = 0. O gráfico da 
direita é o gráfico padronizado da variável resistência. 
 
 
Nota-se que a probabilidade de que a variável resistência tenha uma resistência de pelo menos 35 
lb/pol2, equivale a dizer que a probabilidade seja  a 35 ou ainda, que após de padronizada, equivale a 
dizer que a probabilidade seja  - 2,5, então da “tabela da normal” (a tabela se encontra no final da 
apostila): 
 P { x  35} = P { 35  x  40 } + P { x > 40} 
 = P { – 2,5  z  0 } + P { 0  z   } 
 = 0,4938 + 0,5 
 = 0,9938 = 99,38% 
 
Com a “tabela da normal acumulada” o cálculo seria da seguinte forma (a tabela se encontra no final 
da apostila): 
 P { x  35} = 1 – P { x  35} 
 = 1 – P { z  – 2,5 } 
 = 1 – (1 – 0,9938) 
 = 0,9938 = 99,38% 
 
Exercício: Supondo uma variável x  N (10, 9), determine o valor de “a”, tal que P{ x > a } = 0,05. 
Solução: 
Nesse caso, teremos que fazer o caminho inverso do exercício anterior, assim: 
 
45,0
3
10a
zPou05,0
3
10a
zP}ax{P 





 






 

 
Da tabela, temos que z = 1,645. Portanto, 
935,14aentão;645,1
3
10a


 
 
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Exercício: Suponha que X é uma variável aleatória distribuída de acordo com a distribuição normal N(3, 28). 
Um gerente de vendas deseja saber: (a) P(0 < X < 8); (b) P(-5 < X < 1); (c) P ( 3 < X < 4); (d) P ( 4,5 < X < 6) 
Solução (foi usada a tabela acumulada da curva normal): 
Aqui, teremos 
a. P ( 0 < X < 8 ) = 





 

28
38
zP
 - 





 

28
30
zP
 
Da tabela: P (0<X< 8) = 

(z 0,94) 

 

 (z  

0,57)  0,8264 – (1-0,7157)  0,5421 ou 54,21% 
 
b. P (

5 < X < 1 ) = 





 

28
31
zP
 - 





 

28
35
zP
 
Da tabela: P (

5< X< 1 ) = 

(z  - 0,38) -

(z  - 1,51)  (1-0,6480) – (1-0,9345)  0,2865 ou 28,65% 
 
 c. P (3 < X < 4 ) = 





 

28
34
zP
 - 





 

28
33
zP
 
 
Da tabela: P (3 < X < 4 ) = 

 (z  0,19) - 

 (z  0,00)  0,5753 - 0,5000  0,0753 ou 7,53% 
 
 d. P (4,5 < X < 6 ) = 





 

28
36
zP
 - 





 

28
35,4
zP
 
 
Da tabela: P (3 < X < 4) = 

 (z  0,57) - 

 (z  0,28)  0,7157 - 0,6103  0,1054 ou 10,54% 
 
Exercício: O processo de fabricação de o diâmetro de um eixo metálico (em polegadas) segue uma 
distribuição N (0,2508; 25 x 10 – 8). Um pedido chegou à empresa com especificações de um eixo com 0,25  
0,0015 polegadas. 
a) Determine a fração de eixos que se ajustam às especificações 
b) Determine a fração de eixos que não se ajustam às especificações 
c) Se fosse economicamente fatível aceitar até um máximo de 6% de defeitos por pedido, você aceitaria 
o pedido? 
d) Se os eixos pudessem ser retrabalhados para que se ajustem às especificações, qual seria a 
porcentagem de itens que se ajustam às especificações? 
Respostas: 
a) 0,9192 = 91,92% b) 0,0808 = 8,08% c) Não aceitaria o pedido d)  100% 
 
Problema: Encontrou-se que o valor médio de ruptura na produção de provetas era de 5.600 lb/pol2. 
a. Se o desvio padrão é de 840 lb/pol2 e a distribuição é aproximadamente normal, que porcentagem 
das provetas cairá entre 5.000 e 6.200? 
b. Que porcentagem será maior a 4.000? 
c. Que porcentagem será menor a 3.500? 
Respostas: 
a. 52,22% b. 97,13% c. 0,62% 
 
Problema: Num processo de empacotamento de batatas fritas, se obtiveram os seguintes resultados em 
relação ao peso (em gramas): 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ 
Observação 1 195 204 195 199 200 204 196 201 200 203 
Observação 2 201 190 197 199 202 193 198 197 202 201 
Observação 3 194 199 205 197 195 197 197 206 204 209 
ix
 196,67 197,67 199,00 198,33 199,00 198,00 197,00 201,33 202,00 204,33 1993,33 
Ri 7 14 10 2 7 11 2 9 4 8 74 
 
 Determine o valor de σ (lembre que 
2d
R
ˆ 
). 
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Problema: Uma empresa que vende batatas fritas em pacotes vai a começar a controlar o peso (em gramas) 
por pacote de seu processo produtivo. Dez subgrupos (amostras) de tamanho 8 foram tiradas do processo 
registrando os seguintes valores: 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ 
ix
 10,04 10,19 9,93 10,22 10,10 9,984 10,024 10,15 10,20 10,38 101,218 
Ri 1,03 0,46 0,49 0,64 0,34 0,63 0,66 0,35 0,50 0,27 5,37 
‘ 
Determine o valor de σ (lembre que 
2d
R
ˆ 
) 
Exercício: De um processo de produção de anéis para pistões, onde se controla o diâmetro interno (em mm), 
se obtiveram os seguintes dados: 
 
 Observações 
ix
 Si 
A
m
o
st
ra
s 
1 74,000 73,984 74,005 73,998 73,996 73,9966 0,00780 
2 74,006 74,010 74,018 74,005 74,000 74,0078 0,00672 
3 73,984 74,002 74,003 74,003 73,997 73,9978 0,00811 
4 74,000 74,010 74,013 74,005 74,003 74,0062 0,00526 
5 74,004 73,999 73,990 74,005 74,009 74,0014 0,00730 
6 74,010 73,989 73,990 74,009 74,014 74,0024 0,01193 
7 74,015 74,008 73,993 74,000 74,010 74,0052 0,00870 
8 73,982 73,984 73,995 74,017 74,013 73,9982 0,01618 
 592,0156 0,071997 
Média 
 
Determine o valor de σ (lembre que 
4c
S
ˆ 
)UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 18 
A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
 A discussão da distribuição de Poisson definiu uma variável aleatória como o número de falhas ao 
longo do que poderia ser o comprimento (no caso da distribuição de Poisson também pode ser a área ou 
ainda o volume) de algum objeto. A distância entre as falhas é outra variável aleatória que é frequentemente 
de interesse, sendo essa basicamente a definição da distribuição exponencial (Montgomery e Rutger, 1999). 
 
 Em geral, se diz que X tem uma distribuição exponencial com parâmetro  ( > 0) se a função de 
densidade de probabilidade de X é (Devore, 2008): 
 


 


contráriocaso0
0xparae
);x(f
x
 
 
 Alguns livros escrevem a fdp exponencial na forma 
   /xe/1
, de forma que  = 1/. 
 
 O valor esperado de uma va X exponencialmente distribuída é: 
 



0
x dxex)x(E
 
 
 Para obter o valor esperado se requer integrar por partes. A variância se calcula usando o fato de que 
V(X) = E(X2) – [ E(X) ]2. O cálculo de E(X2) requer integrar por partes, duas vezes. Os cálculos dão como 
resultado: 
 
2
2 11




 
 
 É importante ressaltar que  é o recíproco da média, e á variância é igual à média elevada ao quadrado. 
Algumas curvas de densidade exponencial para valores diferentes de  mostram-se abaixo: 
 
 
 
 A fdp exponencial é fácil de integrar para obter a função de densidade acumulativa F(X): 
 








 0xparae1
0xpara0
e)xX(P);x(F
x
x
0
x
 
 
 Devore (2008) menciona que uma aplicação importante da distribuição exponencial é modelar a 
distribuição da duração de um componente. O fato de que a distribuição exponencial seja a única 
distribuição contínua a ter a propriedade de “falta de memória” dá a ela uma grande popularidade. A falta 
de memória consiste do seguinte: Suponha que a duração de um componente seja exponencialmente 
x
f (x)

2
1
0,5
0
= 2
= 0,5
= 1
Curvas de densidade exponencial 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 19 
distribuído com parâmetro  ( > 0), Depois de pôr o componente em serviço, se deixa que passe um 
período de t0 horas e depois se vê se o componente segue trabalhando. Qual seria agora a probabilidade de 
que dure pelo menos “t” horas a mais?. Em símbolos matemáticos é uma probabilidade condicional, da 
seguinte forma: 
P(X  t0 + t | X  t0). 
 
 Por definição da probabilidade condicional, teremos: 
 
)tX(P
])tX()ttX([P
)tX|ttX(P
0
00
00



 
 
 Mas o evento X  t0 no numerador é redundante, pois ambos eventos podem ocorrer se e somente se X 
 t0 + t, portanto: 
 
t
t
tt
t
)tt(
0
0
0
0
00 e
e
ee
e
e
);t(F1
);tt(F1
)tX(P
)ttX(P
)tX|ttX(P
0
0
0
0












 
 
 Essa probabilidade condicional é idêntica à probabilidade original P(X  t), ou seja, a probabilidade de 
que o componente dure “t” horas. Portanto, a distribuição da duração adicional é exatamente a mesma que 
a distribuição original da duração, isso implica que em cada ponto do tempo o componente não mostra 
nenhum efeito de desgaste. 
 Embora a propriedade de falta de memória se justifica pelo menos em forma aproximada em muitos 
problemas reais, em outras situações os componentes se deterioram com o tempo, ou às vezes melhoram 
com ele (até certo ponto). As distribuições Gama, Weibull e Lognormal proporcionam modelos mais 
próximos da realidade do que a distribuição Exponencial (Devore, 2008). 
 
Problema: Suponha que o tempo de resposta X em um servidor de computador em linha (o tempo 
transcorrido entre o final da consulta de um usuário e o início da resposta do sistema a àquela consulta) tem 
uma distribuição exponencial com tempo de resposta esperado de 5 segundos. 
a) Determine a probabilidade de que o tempo de resposta seja quando muito 10 segundos. 
b) Determine a probabilidade de que o tempo de resposta fique entre 5 e 10 segundos. 
Solução: 
a) Note que o tempo de resposta esperado se refere ao valor esperado E(X) [ u.t./u ], que é o recíproco 
da média de eventos por unidade de tempo [ u /u.t. ], ou seja, o recíproco de . 
 Como E(X) = 5 = 1/, então  = 0,2 
 P(X  10) = F(10; 0,2) = 1 – e – (0,2) (10) = 1 – e -2 = 1 – 0,135 = 0,865 
b) P(5  X  10) = F(10; 0,2) – F(5; 0,2) = (1 - e -2 ) – (1 - e -1 ) = 0,233 
 
Problema: Suponha que se recebem chamadas durante 24 horas em uma linha de emergência para prevenção 
de suicídios, de acordo com um processo de Poisson com  = 0,5 chamadas por dia. 
a) Determine a probabilidade de que transcorram mais de 2 dias entre chamadas. 
b) Determine o tempo esperado entre chamadas sucessivas. 
Solução: 
a) P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1 – F(2; 0,5) = 1 – (1 - e – (0,5) (2) ) = 0,368 
b) E(X) = 1/ = 1/0,5 = 2 dias 
 
Problema: Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários as sistema podem 
ser modeladas como um processo de Poisson, com uma média de 25 conexões por hora. 
a) Qual é a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? 
b) Qual é a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos? 
c) Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer no intervalo 
seja 0,90, o valor esperado e o desvio padrão até a próxima conexão. 
Solução: 
a) Faça X denotar o tempo, em horas, do início do intervalo até a primeira conexão. 
  = 25 conexões por hora 
Pede-se P(X > 6 min) = P(X > 0,1 horas), note que as probabilidades devem estar nas mesmas 
unidades daquelas encontradas em . 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 20 
P(X > 0,1) = 



1,0
x25 dxe25
 = e – (25) (0,1) = 0,082 
Note que se usarmos  = 25/60 conexões/min = 25 conexões/hr deveríamos calcular P(X > 6 
min), confira esse cálculo, deve dar 0,082. 
Note também que P(X > 0,1) = 1 – P(X  1) 
b) P(0,033 < X < 0,05) = 
152,0edxe25
05,0
033,0
x2505,0
033,0
x25  
 
c) Pede-se P(X > x) = 0,90 
 P(X > x) = e -25 x = 0,90, tomando logaritmos naturais a ambos os lados: 
 ln e -25 x = ln 0,90, então – 25 x = ln 0,90, portanto, x = – ln 0,90/25 
 x = 0,00421 hora = 0,25 minuto 
 O tempo médio (valor esperado) até a próxima conexão é  = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 min 
 O desvio padrão até a próxima conexão é  = 1/25 hora = 2,4 min 
 
Problema: A ampla experiência na fabricação de ventiladores utilizados em motores diesel há sugerido que a 
distribuição exponencial é um bom modelo do tempo até falhar o ventilador. Suponha que o tempo médio 
até a falha é de 25.000 horas. Qual é a probabilidade de que: 
a) Um ventilador selecionado aleatoriamente dure pelo menos 20.000 horas? Quando muito 30.000 
horas? Entre 20.000 e 30.000 horas? 
b) Exceda a duração média de um ventilador por mais de 2 desvios padrões? Por mais de três 
desvios padrões? 
Respostas: a) P(X > 20.000) = 0,440; P(X  30.000) = 0,699; P(20.000  X  30.000) = 0,148 
 b) P(X >  + 2) = 0,05; P(X >  + 3) = 0,018 
 
Problema: O tempo entre as chegadas de táxis a um cruzamento movimentado é distribuído 
exponencialmente, com uma média de 10 minutos. 
a) Qual é a probabilidade de você esperar mais de uma hora por um táxi? 
b) Supondo que você já estivesse esperando uma hora por um táxi, qual será a probabilidade de que 
um táxi chegue dentro dos próximos 10 minutos? 
c) Determine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x minutos seja 0,10. 
d) Determine x tal que a probabilidade de você esperar menos de x minutos seja 0,90. 
e) Determine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x minutos seja 0,50 
Respostas: c)23,03% d) 23,03% e) 6,93% 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 21 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
Segundo Montgomery e Runger (1999), um experimento aleatório, consistindo de n repetidas tentativas, 
de modo que: 
 
a) as tentativas sejam independentes, 
b) cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e “falha”, 
c) a probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, permaneça constante 
 
é chamado de experimento binomial. 
 
 A va X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial 
com parâmetros p e n = 1, 2, .... 
 
Em geral, a notação usada para identificar uma distribuição binomial é a seguinte: Bin(n, p). Bin de 
binomial, n relacionado com o número de sucessos e p como a probabilidade de sucesso para uma tentativa. 
 
A função de probabilidade de uma va binomial X é: 
 













contráriocaso0
n......,,2,1,0xpara)p1(p
x
n
)x(f)p,n;x(b
xnx 
 
A letra “b” indica que é uma va binomial, a letra “x” indica que o número de sucessos, a letra “n” 
indica o número de tentativas e a letra “p” indica a probabilidade de obter um sucesso numa única 
tentativa. 
 
É bom ressaltar que geralmente (1 – p) se representa como q, ou seja, (1 – p) = q. 
Na fórmula anterior se indica que 






x
n
 é igual ao número total de sequências diferentes de tentativas 
que contém x sucessos e (n – x) falhas. O número total de sequências diferentes de tentativas que contém x 
sucessos e (n – x) falhas vezes a probabilidades de cada sequência é igual a P(X = x). 
 
Em geral a média µ de uma distribuição binomial e a variância 2 são iguais a: 
 
µ = np e 2 = n p (1 – p) = n p q 
 
A forma de uma distribuição binomial poderia ser a seguinte: 
 
 
 
 
Para uma va X  Bin (x, n, p), a função de distribuição acumulativa será denotada por: 
 
n.....,,1,0xpara)p;n;y(b)p;n;x(B)xX(P
x
0y
 

 
Problema: Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente com a fórmula para b(x; n; p): 
Binomial (p, n)
x
f (x)
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 22 
a) b(3; 8; 0,6) b) b(5; 8; 0,6) 
c) P(3  X  5), quando n = 7 e p = 0,6 d) P(1  X), quando n = 9 e p = 0,1 
Respostas: 
a) 0,124 b) 0,279 c) 0,635 d) 0,718 
 
Problema: Use as tabelas da binomial para obter as seguintes probabilidades: 
a) B(4; 10; 0,3) b) b(4; 10; 03) 
c) b(6; 10; 0,7) d) P(2  X  4), quando X  Bin (10; 0,3) 
e) P(2  X), quando X  Bin (10; 0,3) f) P(2 < X < 6), quando X  Bin (10; 0,3) 
Respostas: 
a) 0,85 b) 0,20 c) 0,2 d) 0,701 e) 0,851 f) 0,57 
 
Problema: Seis lotes de peças estão prontos para ser enviados a um fornecedor. O número de peças 
defeituosas em cada lote é: 
 
Lote 1 2 3 4 5 6 
Número de peças com defeito 0 2 0 1 2 0 
 
Um lote desses tem que ser selecionado aleatoriamente para ser enviado a um cliente em particular. Se 
X é o número de peças defeituosas no lote selecionado, determine: 
 
a) A distribuição de probabilidade de X 
b) A probabilidade de enviar um lote com 1 peça defeituosa 
 
Respostas: 
a) p(0) = 0,5; p(1) = 0,167; p(2) = 0,333 b) 0,167 
 
Problema: Uma companhia produz lâmpadas entre as quais 2% estão defeituosas. 
a) Se 50 lâmpadas forem selecionadas para teste, qual é a probabilidade de que exatamente duas 
sejam defeituosas? 
b) Se o distribuidor recebe um lote de 1.000 lâmpadas, qual seria a média e a variância do número 
de lâmpadas defeituosas? 
Respostas: 
a) 0,1859 b) 20 e 19,6 
 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 23 
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
 As suposições que conduzem à distribuição hipergeométrica são as seguintes: 
 
a) A população ou conjunto da qual se vai a tirar uma amostra se compõe de N indivíduos, objetos ou 
elementos (uma população finita). 
b) Cada individuo pode ser caracterizado como sucesso (S) ou falha (F) e há M sucessos na população. 
c) Seleciona-se uma amostra de “n” indivíduos sem substituição de forma que cada subconjunto de 
tamanho “n” é igualmente provável de ser selecionado. 
 
 Em geral, se X é o número de sucessos (S) numa amostra aleatória de tamanho “n” extraída de uma 
população composta de M sucessos e (N - M) falhas, então a distribuição de probabilidade de X se 
denomina distribuição hipergeométrica, definida como: 
 





















n
N
xn
MN
x
M
)N;M;n;x(h)xX(P 
 
 com x sendo um inteiro que satisfaze máx (0, n – N + M)  x  mín (n, M). 
 
 A média e a variância da va hipergeométrica X cuja função de massa de probabilidade é h (x; n; M; N) 
são: 
 























N
M
1
N
M
n
1N
nN
)X(V;
N
M
n)X(E
 
 
Observações: 
 
1) Note que o termo M/N é a proporção de sucessos na população. Se substituirmos M/N por “p” em 
E(X) e V(X) obtemos: 
 
   p1pn
1N
nN
)X(V;pn)X(E 










 
 
2) Note que as médias das va binomiais e hipergeométricas são iguais. As variâncias diferem pelo fator (N 
– n)/(N – 1), chamado de fator de correção por população finita. Quando “n” é pequeno em relação à N, 
esse fator pode se escrever como (1 – n/M) (1 – 1/N). 
 
3) Quando não se conhece o tamanho da população N, mas se conhece o valor de x (número de sucessos 
na amostra) e “n” (tamanho da amostra), e se deseja estimar o valor de N, é possível usar a seguinte 
estimação: 
 
x
nM
Nˆ 
 
 
Essa estimação é adequada devido a que é razoável igualar a proporção amostral observada de sucessos 
(x/n) à proporção populacional de sucessos (M/N). 
 
 
Problema: Supondo uma maço de 52 cartas, determine: 
a) A probabilidade de que, em uma mão de 13 cartas, um jogador não tivesse nenhum as, rei, rainha ou 
valete. 
b) Qual seria a probabilidade de que, em uma mão com 13 cartas, ele obtivesse os 4 ases. 
c) Qual seria a probabilidade de que, em uma mão com 13 cartas, ele obtivesse um ou mais ases. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 24 
Solução: 
a) Numa mão de 13 cartas, são 4 cartas (as, rei, rainha e valete) que não devem sair, portanto, 16 
cartas no total não devem sair: 
 
%36,00036,0
13
52
013
1652
0
16
p 




















 
 
b) Numa mão de 13 cartas, para que saiam os 4 ases teríamos: 
 
%24,00024,0
13
52
413
452
4
4
p 




















 
 
c) Numa mão de 13 cartas, para que saiam um ou mais ases teríamos: 
 
%62,696962,0
13
52
013
452
0
4
1p 




















 
 
Problema: Uma população ou lote contém 200 itens, com uma probabilidade de itens defeituosos igual à y %. 
Um plano de inspeção demanda uma amostra de 5 itens. O limite de resistência mínimo que um item pode 
ter é de 70.000 psi. O gerente do Departamento de Pesquisas e Desenvolvimento deseja saber qual a 
probabilidade de se aceitar essa população se: 
a) y = 5%, sendo que nenhum item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados. 
b) y = 10%, e nenhum item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados. 
c) y = 5%, e apenas um item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados. 
d) y = 5%, e um máximo de dois itens defeituosos poderão ser encontrados entre os cinco itens 
testados. 
e) y = 5%, eum máximo de três itens defeituosos poderão ser encontrados entre os cinco itens 
testados. 
 
Solução: 
a) Nenhum item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Como y = 5%, teremos um total 
de 0,05  200 = 10 itens com o limite de resistência menor do que 70.000 psi, isso é, 10 itens 
defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade de se aceitar a população ou lote será 
dada por: 
 
 aceitarP
=



















5
200
05
190
0
10
=
!195!5
!200
!185!5
!190
!10!0
!10

=
196197198199200
186187188189190


=
11
11
1004278,3
103481606,2


 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 ou 77,17155% 
 
b) Nenhum item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Aqui, y = 10%, e desse modo 
teremos 0,10  200 = 20 itens defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade de se 
aceitar a população será dada por: 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 25 
 aceitarP
 = 



















5
200
05
180
0
20
 = 
!195!5
!200
!175!5
!180
!20!0
!20

 = 
196197198199200
176177178179180


 
 
 aceitarP
= 
11
11
1004278,3
10786617,1


 = 0,587166 ou 58,7166% 
 
c) Um item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Como y = 5%, teremos um total de 
0,05  200 = 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. Desde que é permitido a presença 
de um item defeituoso entre os cinco itens testados, a probabilidade de se aceitar a população será 
dada por: 
 
P(aceitar)=P(zero defeituoso) +P(um defeituoso) 
 
A probabilidade de se ter nenhum item defeituoso entre os cinco testados já foi calculada no item a, 
e é igual à 0,7717155. Logo, a probabilidade de se aceitar a população será dada por: 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 



















5
200
4
190
1
10
 = 0,7717155 

!195!5
!200
!186!4
!190
!9!1
!10

 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 

234196197198199200
234518718818919010


 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 

12
12
103026721,7
105149424,1


; Então: 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 ou 97,91659% 
 
d) É permitido um máximo de dois itens defeituosos entre os cinco testados. Novamente, com y = 5%, 
teremos um total de 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. Desde que é permitido a 
presença de dois itens defeituosos entre os cinco itens testados, a probabilidade de se aceitar a 
população será dada por: 
 
P(aceitar) = P(zero defeituoso) + P(um defeituoso) + P(dois defeituosos) 
 
A probabilidade de zero item defeituoso mais a probabilidade de um item defeituoso entre os cinco 
itens testados já foi calculada no item c, e é igual à 0,9791659. Logo, a probabilidade de se aceitar a 
população será dada por: 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 



















5
200
3
190
2
10
 = 0,9791659 

!195!5
!200
!187!3
!190
!8!2
!10

 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 

232196197198199200
2345188189190910


 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 

12
10
106513361,3
102911664,7


; Logo: 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 26 
 aceitarP
 = 0,9991343 ou 99,91343% 
 
e) É permitido um máximo de três itens defeituosos entre os cinco itens testados. Uma vez mais, com 
y = 5%, teremos um total de 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade 
de se aceitar a população será dada por: 
 
P(aceitar)=P(zero defeituoso) +P(um defeituoso) +P(dois defeituosos) +P(três defeituosos) 
 
A probabilidade de zero item defeituoso mais a probabilidade de um item defeituoso mais a 
probabilidade de dois itens defeituosos entre os cinco itens testados já foi calculada no item d, e é 
igual à 0,9991343. Logo, a probabilidade de se aceitar a população será dada por: 
 
 aceitarP
 = 0,9991343 



















5
200
2
190
3
10
 = 0,9991343 

!195!5
!200
!188!2
!190
!7!3
!10

 
 
 aceitarP
 = 0,9991343 

223196197198199200
23451891908910


 
 
 aceitarP
 = 0,9991343 

12
9
106513361,3
10102624,3


; Finalmente: 
 
 aceitarP
 = 0,999984 ou 99,9984% 
 
 
Problema: Um comprador adquire lotes de má qualidade, pagando barato por eles, mas sem possibilidade de 
devolução. Ele não quer correr muitos riscos e pretende aceitar lotes que no máximo tenham 25% das peças 
defeituosas. Oferecido um lote com 12 peças (que contem 8 peças boas e quatro defeituosas, mas o 
comprador não sabe disso), testa a qualidade do lote da seguinte forma: escolhe aleatoriamente 4 peças, se 
nessa amostra existir no máximo uma peça defeituosa, aceita o lote. Baseado em seus conhecimentos de 
estatística, o que você aconselharia ao comprador, continuar com esse procedimento ou mudar de 
procedimento?. Explique com cálculos sua resposta. 
Solução: 
Para esse teste (lote de N = 12 peças, amostra de n = 4 peças), a probabilidade de se encontrar x = 0 
peças defeituosas é: 
 
%14,141414,0
4
12
04
412
0
4
)0(p 




















 
 
Para esse teste (lote de N = 12, amostra de n = 4), a probabilidade de se encontrar x = 1 peça defeituosa 
é: 
 
%25,454525,0
4
12
14
412
1
4
)1(p 




















 
 
Portanto, como p(0) + p(1) = 14,14 + 45,25 = 59,39, ele não deve continuar com esse procedimento, ele 
na verdade está aceitando lotes com aproximadamente 60% de probabilidade de que pelo menos uma 
peça esteja ruim. Ele deve aceitar só lotes com amostras com nenhuma peça defeituosa (nesse caso a 
probabilidade de que o lote seja ruim é de 14% aproximadamente e não 25% como ele quer). 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 27 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 28 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
 Considere um intervalo de números reais e suponha que contagens (sobre algum evento) ocorram 
através do intervalo (ou região). Se o intervalo pode ser dividido em subintervalos com comprimentos 
suficientemente pequenos tal que: 
 
1) A probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja próxima de zero; 
2) A probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e 
proporcional ao comprimento do subintervalo, e 
3) A contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos, 
 
então nesse caso o experimento aleatório será chamado de “processo de Poisson”. 
 
 Se o número médio de contagens no intervalo for  > 0, a variável aleatória X, que é igual ao número 
de contagens no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro , sendo a função de 
distribuição de probabilidade de X é dada por: 
 
!x
e
)x(f);x(p
x


, x = 0, 1, 2, ..... 
 
 A função acumulativa da distribuição de Poisson está dada por: 
 






r
0x
xr
0x !x
e
);x(p);r(P
 
 
Em geral a média µ de uma distribuição de Poisson e a variância 2 são iguais a: 
 
µ =  e 2 =  
 
A forma de uma distribuição de Poisson poderia ser a seguinte: 
 
 
 
Problema: Durante um experimentode laboratório a média de partículas radiativas que passa através de um 
contador em um milissegundo é 4. Qual é a probabilidade de que 6 partículas passem pelo contador num 
milissegundo dado? 
Solução: 
x = 6;  = 4, então: 
1042,07851,08893,0)4;x(p)4;x(p
!6
4e
)4;6(p
6
0x
5
0x
64
  
 

 
 
Problema: A média de caminhões que chega cada dia a uma cidade portuária é 10. As instalações no porto 
toleram até 15 caminhões por dia. Qual é a probabilidade de que num dia algum caminhão não chegue a ser 
atendido no porto. 
Solução: 
x = 15;  = 10, então: 
0487,09513,01)10;x(p1)15X(P1)15X(P
15
0x
 

 
x
f (x)
)(Poisson 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 29 
Problema: Um determinado equipamento eletrônico utilizado em turbinas de usinas hidroelétricas possui 
uma distribuição de falhas Poisson com  = 
seˆm/3,0
. Novas unidades de reposição desse equipamento 
são enviadas a uma determinada usina hidroelétrica em intervalos de 0,5 meses. Sabendo-se que a 
probabilidade de que essa usina não tenha unidades desse equipamento para reposição (quando necessário) 
não possa ser maior do que 2%, um gerente de operação deseja determinar o número de unidades em 
estoque desse equipamento que a usina deverá ter no início de cada um dos intervalos de 0,5 meses. 
Sabe-se que a probabilidade de que o número de unidades do equipamento eletrônico que venham a falhar 
em um período de 0,5 meses seja maior do que 
on
 será dada por: 
 onXP 
 = 1



on
0x
 
!x
et tx 
 
Solução: 
Como desejamos que a probabilidade de falta de estoque fosse no máximo de 2%, teremos: 
 
 0XP 
 = 1
  
!0
e5,03,0 5,03,00 
 = 1

15,0e
 = 1

0,8607 = 0,1393 ou 13,93% 
 
 1XP 
 = 1
  
!0
e5,03,0 5,03,00    
!1
e5,03,0 5,03,01 
 = 0,0102 ou 1,02% 
 
Então existe menos de 2% de probabilidade de que mais de 1 unidade do equipamento eletrônico 
venha a falhar durante o período de 0,5 meses. Logo, uma unidade desse equipamento deverá ser 
mantida em estoque no início de cada período de 0,5 meses. 
 
Problema: Se um gramado contém em média 1 pé de erva daninha em cada 600 
2cm
, qual deverá ser a 
distribuição de r = número de ervas daninhas em uma área de 400 
2cm
? Com a distribuição escolhida, 
calcule as probabilidades de: 
a) r = 0 b) r = 1 c) r = 2 d) r = 3 e) r = 4 
 
Solução: 
Um modelo adequado nesse caso é a distribuição Poisson, com uma média de 
600
400
 = 
3
2
. 
Logo, 
 
!r
3
2
e
rP
r
32








. Cada termo ou probabilidade poderá ser encontrado diretamente ou 
calculado através do termo anterior. Então: 
 
a) 
 0rP 
 = 
32e
 = 0,51342 ou 51,34% 
 
b) 
 1rP 
 = 
3
2
32e
 = 
3
2  0rP 
 = 0,34228 ou 34,23% 
 
c) 
 2rP 
 = 
!2
e
3
2 32
2







 = 
2
1

3
2  1rP 
 = 0,11409 ou 11,41% 
 
d) 
 3rP 
 = 
!3
e
3
2 32
3







 = 
3
1

3
2
 
 2rP 
 = 0,025354 ou 2,54% 
 
e) 
 4rP 
 = 
!4
e
3
2 32
4







 = 
4
1

3
2
 
 3rP 
 = 0,004226 ou 0,42% 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 30 
Aproximação da a distribuição Binomial pela distribuição Poisson: 
 
 Embora a distribuição de Poisson tenha aplicações principalmente em problemas de espaço e tempo, 
ela também é vista como uma forma limitante da distribuição binomial, isto é, a distribuição de Poisson 
poderia ser usada para aproximar probabilidades binomiais. De fato, isso ocorrerá quando numa binomial 
“n” seja grande (n  ) e “p” próximo de 0 (n  0), mas com o produto np permanecendo constante. Nesse 
caso se pode usar a distribuição de Poisson com média  = np. 
 
 Assim, seja X uma variável aleatória binomial com distribuição de probabilidade b (x; n, p), então, 
quando temos que n → ∞, p → 0 e np 
 
n
  permanece constante, termos que b (x; n, p) 
 
n
 p (x; 
). 
!x
e
)x(f);x(p
x


, x = 0, 1, 2, ..... 
 
 É bom ressaltar que muitas das distribuições discretas e contínuas adquirem cada vez mais a forma 
simétrica a medida que a média vira mais grande. 
 
 
Problema: A probabilidade de que determinado componente eletrônico apresente qualquer tipo de 
defeito quando utilizado em um avião 747 é de 0,15% por viagem. Assumindo-se uma distribuição de 
falhas Poisson, um inspetor de segurança deseja determinar a probabilidade de que em 3.000 viagens 
desse avião, o componente eletrônico venha a falhar em 
a) Mais de 3 vezes. 
b) Exatamente 2 vezes. 
Solução: 
a) Mais de 3 vezes. Sabemos que  = np = 3.000  0,0015 = 4,50. Além disso, 
 xXP 
 = 
!x
ex 
; Logo, teremos: 
 
 3XP 
 = 1 

 
        3XP2XP1XP0XP 
 
 3XP 
 = 1 

5,4e
 
   







!3
5,4
!2
5,4
5,41
32
 = 1 

 0,0111089  30,8125 
 
 3XP 
 = 0,6577 ou 65,77% 
 
b) Exatamente 2 vezes. Com  = 4,5, teremos: 
 
 2XP 
 = 
!x
ex 
 = 
 
!2
e5,4 5,42 
 = 0,112478 ou 11,247% 
 
Problema: Em certas instalações industriais os acidentes ocorrem com muita pouca freqüência. Sabe-se 
que a probabilidade de acontecer um acidente em um dia qualquer é 0,005 e que os acidentes são 
independentes entre eles, 
a) Qual é a probabilidade de que em qualquer período dado de 400 dias haverá um acidente num 
dia qualquer? 
b) Qual é a probabilidade de que nesse período, aconteça 1 acidente em três dias diferentes? 
Solução: 
a) n = 400, p = 0,005   = np = (400) (0,005) = 2 
 1XP 
 = 
!x
ex 
 = 
 
!1
e2 21 
 = 0,271 
b) 
 3XP 
 = 


3
0x
x
!x
e
 = 
        3XP2XP1XP0XP 
 = 0,857 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 31 
INSPEÇÃO DA QUALIDADE 
 
 Este capítulo de “Inspeção da Qualidade” foi tomado da apostila de Controle Estatístico da Qualidade, 
da Universidade Federal de São Carlos, preparada pelos professores José Carlos de Toledo e Dário 
Henrique Alliprandini (2004). 
 
Objetivos da Inspeção da Qualidade 
 
 Determinar se há ou não conformidade de um produto, ou lote, já produzido, em relação às 
especificações de projeto 
 Gerar informações que permitam tomar ações corretivas sobre o lote ou processo 
 
Pontos de Inspeção 
A inspeção pode ocorrer nas seguintes fases da Produção: 
 
a) Inspeção de recebimento 
A extensão da inspeção em produtos (matéria-prima ou produto acabado) recebidos de terceiros 
depende da capacidade do fornecedor, devidamente avaliada previamente e continuamente 
acompanhada. Em um extremo, temos a inspeção utilizando-se o conceito de "auditoria da decisão", 
onde o comprador compara os dados obtidos por sua inspeção com os dados recebidos do 
fornecedor. Quando os dados recebidos do fornecedor forem e continuarem a ser confiáveis, a 
inspeção se transforma em apenas uma identificação do produto recebido. No outro extremo, a 
inspeção de recebimento torna-se um controle da qualidade do fornecedor. 
 
b) Inspeção durante a fabricação 
A inspeção durante a fabricação tem o objetivo de fornecer informações para a tomada de decisão 
sobre o produto, isto é, se o produto está ou não conforme com a especificação e para a tomada de 
decisão sobre o processo, isto é, se o processo deve prosseguir ou parar. A freqüência de inspeção 
pode ser mais facilmente estabelecida se o processo é estável (um processo estável implica que no 
processo só estão atuando fontesde variação usuais). 
 
c) Inspeção de produto acabado 
A inspeção de produtos acabados (também conhecida como inspeção final) pode ser executada 
tanto na linha de produção (nos pontos de inspeção), como em áreas de inspeção separadas. Muitas 
vezes a inspeção é feita em 100% dos produtos acabados, simulando as condições de uso ou 
realizando uma checagem completa no produto (check list) por meio de inspeção sensorial (se 
utilizada a sensibilidade humana como instrumento de medição). 
 
Tipos de Inspeção 
 
a) Inspeção 100% 
A inspeção 100% é conveniente quando a característica é crítica ou a capacidade do processo é 
inerentemente insuficiente (incapaz) para alcançar os requisitos das especificações. É bom lembrar 
que o excesso de inspeção pode ser tão custoso quanto a falta de inspeção. A experiência mostra que 
a inspeção 100% não garante produtos perfeitos, isto é, não há garantias de segregação de todos os 
defeituosos. Vários estudos demonstram que o inspetor encontra aproximadamente 80% dos 
defeitos presentes. 
 
b) Inspeção por amostragem 
Os objetivos principais dessa inspeção são de aceitação de um lote por meio de uma amostra 
representativa que forneça auxílio no controle do processo. A inspeção por amostragem é 
conveniente para reduzir os custos da inspeção, manter a área de produção informada a respeito da 
qualidade dos produtos ao longo do processo e em situações onde o julgamento da conformidade se 
dá através de um ensaio destrutivo. Para que a inspeção por amostragem tenha eficácia, alguns 
cuidados devem ser observados: 
 Procedimentos adequados para seleção da amostra 
 
 Representatividade da amostra (aleatoriedade) 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 32 
c) Inspeção Sensorial 
A qualidade sensorial é aquela para a qual há dificuldade de se ter instrumentos tecnológicos de 
medição, sendo utilizada a sensibilidade humana como instrumento de medição. As características 
normalmente avaliadas por inspeção sensorial são: 
 sabor 
 odor 
 ruído 
 aparência 
 
As formas de padrões para a inspeção sensorial são: 
 amostras para comparação 
 fotografias 
 sons gravados 
 amostras com cheiro ou sabor 
 
A característica visual é uma categoria especial de qualidade sensorial. O resultado de uma 
inspeção visual é bastante influenciado pela iluminação (tipo, cor e intensidade), pelo ângulo de 
visão, pela distância da observação, etc. Devem-se padronizar essas condições‚ para assegurar uma 
maior uniformidade nos resultados. 
 
d) Outros tipos de inspeção de conformidade 
 Inspeção automatizada (inspeção utilizando robôs, software, leitor óptico, etc.) 
 Inspeção auxiliada por computador (isto se aplica especialmente à inspeção de peças de 
maquinas de precisão) 
 Inspeção de preparação antes da produção (em processos estáveis: se a preparação estiver 
correta o lote também deverá estar) 
 Inspeção volante (para processos que não permanecem estáveis durante a produção de um 
lote) 
 
Considerações gerais sobre a inspeção da qualidade 
 
Atividades da Inspeção: 
 
Interpretação da especificação 
Medição da característica de qualidade 
Julgamento da conformidade 
Tratamento dos casos conformes 
Tratamento dos casos não-conformes 
Registros dos dados obtidos 
 
Conhecimentos necessários para a atividade de inspeção: 
 
Que características da qualidade verificar 
Como determinar se um produto está ou não conforme aos padrões requeridos 
Qual o critério de aceitação de lotes de produtos 
O que fazer com os produtos conformes e não-conformes 
O que deve ser registrado 
 
O Perfil desejado de um inspetor deve considerar: 
 
Conhecimentos imprescindíveis 
· Regulamentos e procedimentos da empresa 
· Produtos e processos aplicados 
· Elementos de medição de precisão 
· Matemática aplicada à fabricação 
· Segurança 
· Sistemas de unidades de medida 
· Teoria dos erros de medição 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 33 
Conhecimentos desejáveis: 
· Organização do controle da qualidade e suas funções 
· Conhecimento de física básica 
· Elaboração de relatórios técnicos 
· Controle estatístico da qualidade básico 
 
Habilidades Técnicas: 
· Encontrar defeitos 
· Interpretar especificações 
· Relatar com exatidão 
 
Habilidades Pessoais: 
· Controle emocional 
· Temperamento 
· Aptidão 
· Atenção/ Concentração 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 34 
PLANOS DE AMOSTRAGEM (por atributos) 
 
A inspeção da qualidade faz-se em um produto já existente (já produzido), que pode ser uma matéria 
prima, um produto semi-acabado (em processo) ou um produto acabado, com a finalidade de verificar se a 
qualidade do lote atende os padrões ou especificações de aceitação. Os Planos de Amostragem são aplicados 
na Inspeção de Recebimento, na Inspeção Final (de Produto Acabado) ou na passagem de uma etapa para 
outra de um processo de produção (por ex. na passagem de um produto da seção A para a seção B; da 
produção para a linha de montagem; da produção para uma câmara de resfriamento; da produção para o 
almoxarifado; etc). A inspeção não impede a produção de defeituosos, mas permite separar os lotes bons 
dos defeituosos (lotes com problemas, que não cumprem os requisitos mínimos de qualidade definidos 
entre o cliente e o fornecedor), ou seja, separar os lotes conformes dos não-conformes. A inspeção pode ser: 
 
(1) inspeção para aceitação: neste caso os lotes aprovados serão aceitos, contendo, eventualmente, itens 
defeituosos. 
 
(2) inspeção retificadora: neste caso, além da situação descrita em 1, os lotes rejeitados passam por uma 
inspeção completa, todos os itens defeituosos são substituídos por bons, e aí o lote é aceito. 
 
Níveis de Qualidade, Risco do Produtor e Risco do Consumidor 
 
Define-se P0 como sendo o Nível de Qualidade Aceitável – NQA (em inglês, Acceptable Quality Level 
– AQL) e P1 como o Nível de Qualidade Inaceitável – NQI (em inglês, Lot Tolerance Percent Defective - 
LTPD). P0 e P1 se referem a porcentagens de defeituosos do lote. Um plano de amostragem consiste na 
definição de um tamanho de amostra e de um critério de decisão para aceitar (ou não) um lote: 
 
“n” é o tamanho da amostra, 
“d” é a quantidade de defeituosos na amostra, e, 
“c” é a quantidade máxima de defeituosos aceitável na amostra para se poder aprovar o lote. 
 
Como se trabalha com amostras, existe o risco de se tirar conclusões erradas sobre o lote. O exemplo a 
seguir mostra isso. 
 
Exemplo: níveis de qualidade, risco do produtor e risco do consumidor 
Imagine um lote N=100, o qual contem (sem se saber) 5 itens defeituosos e 95 bons. Suponha que o 
Plano de Amostragem seja: n = 5 e c = 1, para P0 (NQA) = 6% (isso implica que se aceitam até 6%(100) = 6 
itens defeituosos no lote). Se soubéssemos esses valores, o lote poderia ser considerado bom, atendendo o 
que foi especificado. Entretanto, neste caso existe o risco da amostra com n = 5 conter, por exemplo, 
exatamente os 5 itens defeituosos e portanto de se rejeitar o lote sendo que ele é bom, pois tem 5% de 
defeituosos e o NQA é de 6% (se aceitam até 6 defeituosos no lote). 
Imagine agora um lote N=100, o qual contém: 95 itens defeituosos e 5 bons. Suponha o mesmo plano 
de amostragem anterior. Neste caso existe o risco da amostra conter exatamente os 5 itens bons e portanto 
de se aceitar um lote ruim. O produtor deseja uma proteção contra a rejeição de lotes bons e o consumidor 
(cliente) deseja proteção contra a aceitação de lotes de má qualidade. Para tanto se distingue 2 tipos de 
riscos: 
 
Risco do produtor (): é a probabilidade de que um lote de boa qualidade (P < P0) seja rejeitado. 
 
Risco do consumidor (): é a probabilidade de que um lote de má qualidade (P > P1) seja aceito. 
 
Observação:P = porcentagem de defeituosos na amostra. 
 
 
Tipos de Planos de Amostragem 
 
Existem 3 tipos de planos de amostragem, conforme a quantidade de amostras que se toma: Simples, 
Duplo e Múltiplo. A continuação se explicaram os dois primeiros tipos de planos de amostragem. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 35 
PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES (para atributos) 
 De forma simples o plano de amostragem simples consiste do seguinte: A quantidade de unidades de 
produto inspecionada deve ser igual ao tamanho da amostra dada pelo plano. Se o número de unidades 
defeituosas encontradas na amostra for igual ou menor do que o número de Aceitação (c), o lote deverá ser 
considerado aceito. Se o n° de unidades defeituosas for maior do que “c” o lote deve ser rejeitado. Assim: 
 
d = número de unidades defeituosas na amostra 
c = número de aceitação 
 
Se na amostra d  c, então aceitar o lote 
Se na amostra d > c, então rejeitar o lote 
 
Agora, suponha que se vai a fazer a inspeção de um lote de tamanho N. O plano de amostragem 
simples está definido pelo tamanho de amostra “n” e pelo número de aceitação “c”. Assim, se o tamanho do 
lote é N = 10.000, n = 89 e c = 2; significa que se vai a inspecionar uma amostra aleatória de n = 89 unidades 
do lote de tamanho N = 10.000 e que se o número de itens defeituosos observados “d” é menor igual que c = 
2, o lote será aceito. Se o número de itens defeituosos “d” é maior que 2, o lote será rejeitado. 
 Note que se pode inspecionar um ou mais atributos na mesma amostra. Em geral se diz que uma 
unidade que é desconforme em relação às especificações, em um ou mais atributos, é uma unidade 
defeituosa. O plano de amostragem simples deriva seu nome do fato de que se analisa somente a 
informação de uma única amostra, informação com a qual se faz a tomada de decisão de aceitar ou rejeitar o 
lote (Montgomery, 2004). Considerando a seguinte notação: 
 
N = número de itens de um lote 
n = número de itens da amostra (n < N) 
M = número de itens defeituosos no lote 
 = risco do consumidor (probabilidade de um lote ruim ser aceito) 
 = risco do produtor (probabilidade de um lote bom ser rejeitado) 
c = número de aceitação do lote 
d = número de itens defeituosos na amostra 
p = proporção de itens defeituosos no lote (p = M/N) 
p0 = É uma proporção que define o Nível de qualidade aceitável (NQA) 
p1 = É uma proporção que define o Nível de qualidade inaceitável (NQI) 
 (em inglês lot tolerance percent defective – LTPD) 
 
 Segundo Nahmias (2007), o objetivo de todos os procedimentos de amostragem consiste de estimar as 
propriedades de uma população a partir das propriedades da amostra. Em especial se deseja testar as 
seguintes hipóteses: 
H0: O lote tem uma qualidade aceitável (p  p0) 
H1: O lote tem uma qualidade inaceitável (p  p1) 
 
 O teste seria da forma: Rejeite H0 se d > c. 
 
O valor de “c” depende da seleção de , a probabilidade do erro tipo I. A probabilidade do erro tipo I é 
a probabilidade de rejeitar H0, quando H0 é verdadeiro. No contexto do controle da qualidade, é a 
probabilidade de rejeitar o lote quando ele é aceitável. Isso se conhece também como risco do produtor. Em 
forma de equação seria: 
 
 = P [ Rejeitar H0| H0 é verdadeira ] = P [ Rejeitar o lote| O lote é bom ] = P [ d > c|p = p0 ] 
 
A distribuição exata de “d” é a distribuição hipergeométrica, com parâmetros n, N e M. Isto é: 
 
!)nN(!n
!N
n
N
onde),n,M(mínm0para
n
N
mn
MN
m
M
)md(P




























 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 36 
 Na maioria de aplicações, N é muito maior que “n”, de forma que é satisfatória a aproximação da 
distribuição hipergeométrica pela distribuição binomial. Nesse caso teríamos: 
 
nm0para)p1(p
m
n
)md(P mnm 





 
 
onde: 
 p = M/N é a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote. 
 
Usando a aproximação binomial, o risco do produtor e o risco do consumidor são dados por: 
 
mn
0
m
0
n
1cm
0 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
 
 
mn
1
m
1
d
0m
1 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
 
 
 A maioria dos testes estatísticos requerem a especificação de  (probabilidade do erro tipo 1). Os 
valores de , n e p0 determinarão um valor único de “c”, que pode ser obtido nas tabelas da distribuição 
binomial acumulada. Porém, como a distribuição binomial é uma distribuição discreta, tal vez não seja 
possível encontrar um valor de “c” que coincida exatamente com o valor desejado de  (lembre que “c” 
deve ser inteiro). Se “p” é pequeno e “n” é moderadamente grande (n > 25 e np < 5), a distribuição de 
Poisson proporciona uma distribuição adequada da binomial. Para valores muito grandes de “n” tal que 
np(1 – p) > 5, a distribuição normal fornece uma distribuição adequada da binomial (Nahmias, 2007). 
 
Exemplo (Nahmias, 2007, p. 647): A Spire Records é uma cadeia de lojas que se especializa na venda de 
DVD’s. Um dos fornecedores da Spire Records é a B&G Records que envia DVD’s à Spire em lotes de 100 
DVD’s. Depois de uma negociação, a Spire e a B&G acordaram que uma taxa de 10% de itens defeituosos é 
aceitável, e uma taxa de 30% é inaceitável. De cada lote de 100 discos, a Spire há estabelecido o seguinte 
plano de amostragem: se coleta uma amostra de 10 discos e se tiver mais de 2 DVD’s defeituosos se rejeita o 
lote. Calcule o risco do consumidor e do produtor associado com esse plano de amostragem. 
Solução: 
Dos dados temos que p0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n = 10; c = 2 
Sabe-se que: 
mn
0
m
0
n
1cm
0 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
, ou seja: 
 
]1,0p|2d[P1)1,0p|2d(P 
 
 
%02,70702,09298,01)9,0(1,0
k
10
1 k10k
2
0k






 


 
 
Sabe-se que 
mn
1
m
1
d
0m
1 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
, ou seja: 
 
%28,383828,0)7,0(3,0
k
10
)3,0p|2d(P k10k
2
0k






 


 
 
O valor  = 0,3828 implica que a Spire está passando quase 40% dos lotes que contem 30% de itens defeituosos. 
Além disso, não se descarta a probabilidade de aceitar lotes com proporções de itens defeituosos tão altos como 
40% e ainda 50%. O valor  = 0,0702 implica que a Spire está rejeitando quase 7% dos lotes que tem até 10% de 
defeituosos. 
 
Observe que os valores dos parâmetros n = 10; p0 = 0,1 e n = 10, p1 = 0,3 implicam que nem a 
distribuição normal nem a aproximação de Poisson são exatas (verifique o dito aqui para a distribuição 
de Poisson com  = np, que fornece os valores aproximados de  = 0,0803 e  = 0,4216). 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 37 
Problema: Se extraem amostras de tamanho 20 de lotes de 100 itens. Os lotes se rejeitam se o número de itens 
defeituosos na amostra passa de 2. Se a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é 5%, determine a 
probabilidade de aceitar um lote usando: 
a) A distribuição Hipergeométrica exata 
b) A aproximação pela Binomial 
c) A aproximação de Poisson (Sugestão: calcule a média  = np) 
d) A aproximação da Normal (Sugestão: calcule a média µ = np) 
 
Problema: Um produtor de calculadoras compra chips em lotes de 1.000 unidades. Ele gostaria de ter uma 
taxa de itens defeituosos de 1%, mas geralmente não vai rejeitar um lote a menos que tenha 4% ou mais de 
itens defeituosos. Extraem-se amostras de tamanho 50 de cada lote, e o lote se rejeita quando se encontram 
mais de 2 itens defeituosos. 
a) Calcule p0, p1, “n” e “c”. 
b) Calcule 