Controle da Qualidade-Apostila

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE 
 
CONTROLE DA QUALIDADE 
 
 
Prof. William Morán 
 

LSC
LIC
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 2 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 3 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 4 
CONTROLE DA QUALIDADE 
 
 
 Segundo Souza (1998), o termo “Qualidade” pode ser definido como adequação ao uso. Isto significa que, 
se espera comprar produtos e serviços que satisfazem nossos requerimentos ou desejos. Assim, a qualidade 
ou adequação ao uso é determinada através da interação da “qualidade do projeto” e da “qualidade de 
conformidade”. A qualidade do projeto relaciona-se com os níveis de desempenho, de confiabilidade, de 
serviço e de função que são o resultado de decisões deliberadas no departamento de engenharia e 
executadas pela gerencia geral. A qualidade de conformidade é a redução sistemática da variabilidade e a 
eliminação de defeitos até que cada unidade produzida seja idêntica e livre de defeitos. Atualmente 
considera-se que a melhoria da qualidade significa a “eliminação de desperdícios”. Desperdiço é tudo 
aquilo que é feito de forma errada, uma ou mais de uma vez. 
 Uma definição moderna de qualidade é: A qualidade é inversamente proporcional à variabilidade 
(Montgomery, 2004). Note que essa definição implica que se a variabilidade das características importantes 
de um produto diminuem, a qualidade do produto aumenta. 
Um processo é a transformação de um conjunto de entradas, as quais podem incluir materiais, ações, 
métodos e operações, em um conjunto de saídas desejadas, na forma de produtos, serviços, informações ou 
simplesmente resultados. Em cada área ou função de uma organização existem muitos processos que são 
levados a cabo. Cada processo pode ser analisado pela checagem das entradas e das saídas. Isso 
determinará a ação ou ações necessárias a serem tomadas para melhorar o processo e/ou a qualidade. 
As saídas de um processo são tudo aquilo que geralmente interessa ao cliente. Certamente, para 
produzir uma saída que reúna os requerimentos do cliente, é necessário definir, monitorar e controlar as 
entradas do processo, as quais por sua vez são resultados de processos anteriores. Em cada interface cliente-
fornecedor acontece um processo de transformação. Além disso, cada tarefa pode ser vista na organização 
como um processo em si. 
Para começar a analisar e monitorar qualquer processo, é necessário primeiro identificar todas as 
entradas e todas as saídas que fazem parte do processo. Muitos processos podem ser facilmente 
identificados e entendidos como perfurar uma chapa de aço, comprimir um gás, encher uma garrafa, etc. 
Outros processos são mais difíceis de identificar e entender, como atender um cliente, recitar uma poesia, 
armazenar um produto, inicializar uma máquina, etc. Portanto, em algumas ocasiões será difícil definir, 
identificar e entender um processo. Por exemplo, se o processo consiste de realizar vendas pelo telefone, é 
vital conhecer se o escopo do processo inclui obter acesso a um cliente potencial ou a um cliente. Assim, é 
vital definir o escopo do processo, portanto, também será vital determinar os requerimentos das entradas e 
os resultados das saídas. 
 Em geral, o Controle da Qualidade ou mais comumente chamado de Controle Estatístico da Qualidade 
(CEQ), é um conjunto de métodos estatísticos e de engenharia, que são usados na medida, na monitoração, no controle 
e na melhoria da qualidade. O CEQ começou a se desenvolver a partir dos anos 20’s, sendo um dos pioneiros o 
Dr. Walter Shewart, dos Laboratórios da Companhia Telefônica Bell. Ele estabeleceu a utilização de cartas 
de controle (cartas de controle, diagramas de controle e gráficos de controle significam o mesmo) na 
produção dos produtos da Companhia Telefônica Bell, fato que se traduziu na melhora da qualidade dos 
produtos e na redução de desperdícios. 
 Devemos ter em consideração que a grande contribuição da Estatística não se baseia tanto no fato de 
juntar um grupo de estatísticos altamente qualificados da indústria, mas no fato de criar uma geração de 
físicos, químicos, engenheiros e outros profissionais com uma mentalidade estatística, os quais irão, de 
algum modo, dar uma ajuda no desenvolvimento e no direcionamento dos processos de produção no 
futuro. 
 O Controle Estatístico de Processos (CEP) é um instrumento do CEQ, que visa predizer se o processo 
sob estudo se encontra estável ou sob controle. O CEP utiliza principalmente as seguintes ferramentas para 
atingir seu alvo: 
 
 Histogramas 
 Gráfico de Pareto 
 Diagrama de Causa – Efeito 
 Gráficos de Controle 
 Diagramas de Dispersão 
 Amostragem de aceitação 
 
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 Denomina-se “CEP em tempo real” (on-line) quando se obtêm dados do processo enquanto ele esta 
sendo executado (principalmente os gráficos de controle). Aos experimentos planejados (Análise de 
Regressão, Análise de Regressão Múltipla, ANOVA, Comparações Múltiplas, teste de medidas individuais, 
etc) denominam-se “CEP Off-line”, já que eles são realizados fora do tempo de execução do processo. 
 Assim, o CEP visa basicamente detectar: 
 
 O aumento/diminuição dos produtos/serviços defeituosos. 
 As tendências ou variações na fabricação/prestação de produtos/serviços que fiquem fora dos 
padrões estabelecidos. 
 
 Devido a que não existem dois produtos ou serviços exatamente iguais, inclusive quando os processos 
estiverem operando conforme o previsto, devido a que os processos usados para produzi-los contêm muitas 
fontes de variação. As fontes de variação basicamente são duas (Souza, 1998): 
 
a) Fontes Usuais: As fontes usuais de variação representam àquelas causas puramente aleatórias, as 
quais se caracterizam por ser inevitáveis e não-identificáveis, isto é, elas só podem ser reduzidas por 
meio de modificações no sistema. Exemplo: Em uma máquina que enche uma bolsa de batatas 
fritas, pode-se observar que apesar de que o peso e a quantidade de batatinhas por bolsa deveriam 
ser iguais, nós sabemos que tanto o peso quanto o número de batatinhas são diferentes. 
b) Fontes Especiais ou Identificáveis: As fontes especiais representam padrões (grandes flutuações) que 
acontecem nos dados que não são inerentes a um processo, isto é, são aquelas causas passíveis de 
correção sem modificar o sistema. Exemplo: Um trabalhador inexperiente comandando uma 
máquina. 
 
 
 
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Diagramas de Ramo e Folhas: 
 O Diagrama de Ramo e Folhas é especialmente utilizado quando o número de dados for 
moderadamente alto. Ele fornece uma apresentação visual informativa de um conjunto de dados x1, x2, ....., 
xn, em que cada número xi consiste em, no mínimo, dois dígitos. Para construir o diagrama de ramo e folhas, 
dividimos cada número xi em duas partes: um ramo, consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e uma folha, 
consistindo nos dígitos restantes. 
 
Exemplo: Para ilustrar a construção de um diagrama de ramo e folha, considere os seguintes 40 dados 
do rendimento semanal de uma fábrica de semicondutores: 
 
Semana Rendimento Semana Rendimento Semana Rendimento Semana Rendimento 
1 48 11 59 21 68 31 75 
2 53 12 54 22 65 32 85 
3 49 13 47 23 73 33 81 
4 52 14 49 24 88 34 77 
5 51 15 45 25 69 35 82 
6 52 16 64 26 83 36 76 
7 63 17 79 27 78 37 75 
8 60 18 65 28 81 38 91 
9 53 19 62 29 86 39 73 
10 64 20 60 30 92 40 92 
 
 Segundo esses dados, o diagrama de ramo e folha ficaria da seguinte forma (observe que os 
valores da variável rendimento são de dois dígitos): 
 
Ramo Folha Freqüência 
4 8 9 7 9 5 5 
5 3 2 1 2 3 9 4 7 
6 3 0 4 4 5 2 0 8 5 9 10 
7 9 3 8 5 7 6 5 38 
8 8 3 1 6 5 1 2 7 
9 2 1 2 3 
 
 O diagrama nos permite observar que a distribuição do rendimento tem uma forma 
aproximadamente simétrica, com um pico só (no ramo 6). 
 Uma variante do diagrama é o Diagrama de Ramo e Folha Ordenado, o qual apresenta as folhas 
ordenadas pela sua magnitude, como mostrado abaixo: 
 
Ramo Folha Freqüência Frequência Acumulada 
4 5 7 8 9 9 5 5 
5 1 2 2 3 3 4 9 7 12 
6 0 0 2 3 4 4 5 5 8 9 10 22 
7 3 3 5 5 6 7 8 9 8 30 
8 1 1 2 3 5 6 8 7 37 
9 1 2 2 3 40 
 
 A variante permite fazer o cálculo dos percentis, dos quartis e da mediana, de forma simples. 
 
Desde um ponto de vista prático, sabe-se que: S(p) = [ (n) (0,p) + (k/2) ] 
 Onde: 
 “S(p)” indica a posição do termo da amostra ordenada que define o percentil procurado. 
 “n” é o número de observações da amostra 
 “p” é o percentil procurado 
 “k” é uma constante 
 
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


)p(Spordefinidoseirosinttermosdosmédiaàigualé)p(P,contráriocaso
)p(Spordefinidotermoaoigualé)p(Pentão,eirointnúmeroumé)p(S
Se
 
 onde: 
 P(p) é o percentil procurado. 
 
Assim, utilizando a fórmula indicada acima, o “percentil 10” é determinado pelo termo com a posição 
(40) (0,10) + 0,5 = 4,5 (ponto médio entre o quarto e o quinto termo), ou seja: (49 + 49) / 2 = 49 
 
O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior é o termo com a posição (0,25) (40) + 0,5 = 10,5 (ponto médio 
entre o décima e o décima primeiro termo), ou seja: (53 + 54) / 2 = 53,5. 
 
O qüinquagésimo percentil equivale a falar segundo quartil ou ainda chamar de mediana é a observação 
com a posição (0,50) (40) + 0,5 = 20,5 (ponto médio entre a vigésima e a vigésima primeira observação), 
ou seja: (65 + 68) / 2 = 66,5. 
 
O terceiro quartil (Q3) ou quartil superior é a observação com a posição (0,75) (40) + 0,5 = 30,5 (ponto 
médio entre a trigésima e a trigésima primeira observação), ou seja: (79 + 81) / 2 = 80. 
 
A Faixa Interquartil (ou Intervalo Interquartil) = IQR = Q3 – Q1 = 80 – 53,5 = 26,5 
 
Problema: Se registraram nove medições da temperatura (em °F) de um forno para o processo de fabricação 
de uma peça metálica, obtendo-se os seguintes dados: 
 
953 955 948 
951 957 949 
954 950 959 
 
a) Calcule a média amostral e o desvio padrão amostral 
b) Determine a mediana amostral desses dados. 
 
Problema: Foram registrados 30 dados sobre as taxas de octanagem de combustível para motor (leia por 
linha), de várias misturas de gasolina: 
 
88,5 87,7 83,4 86,7 87,5 94,7 91,1 91,0 94,2 87,8 
84,3 86,7 88,2 90,8 88,3 90,1 93,4 88,5 90,1 89,2 
89,0 96,1 93,3 91,8 92,3 88,9 92,3 89,8 89,6 87,4 
 
Os mesmos dados ordenados de forma crescente seriam (leia por linha, de esquerda para direita): 
 
83,4 84,3 86,7 86,7 87,4 87,5 87,7 87,8 88,2 88,3 
88,5 88,5 88,9 89,0 89,2 89,6 89,8 90,1 90,1 90,8 
91,0 91,1 91,8 92,3 92,3 93,3 93,4 94,2 94,7 96,1 
 
a) Construa um diagrama de ramo e folha para esses dados. 
b) Que características importantes podem ser observadas nos dados. 
 
Problema: Um fabricante de giz implantou um programa de qualidade para controlar a densidade da giz. 
Foram registrados os seguintes dados: 
 
0,204 0,315 0,096 0,184 0,230 0,212 0,322 0,287 
0,145 0,211 0,053 0,145 0,272 0,351 0,159 0,214 
0,388 0,187 0,150 0,229 0,276 0,118 0,091 0,056 
 
Sabe-se que o maior valor é 0,388 e o menor valor é 0,053. 
 
a) Construa um diagrama de caixa (leia por linha). 
b) Comente sobre as informações fornecidas pelo diagrama. 
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Problema: Foram registrados os tempos entre chegadas (em minutos) de peças, para uma estação de 
trabalho, como mostrado na tabela abaixo (leia por linha): 
 
18 3 13 24 3 14 40 24 9 8 
1 1 17 5 29 6 2 10 22 54 
20 5 5 12 8 2 6 14 10 12 
15 12 8 5 1 46 23 18 29 2 
15 4 2 4 1 2 1 19 40 1 
 
a. Construa um diagrama de ramo e folha ordenado (leia por linha). 
b. Determine o valor do percentil 60. 
c. Se a média amostral é 12,9 e o desvio padrão amostral é 12,4708, interprete as características dos 
dados. 
 
 
 
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Diagrama de Caixa (Diagrama de Caixa e Linha): 
 O diagrama de pontos, o diagrama de ramo e folhas e o diagrama de freqüências fornecem 
impressioneis visuais gerais acerca de um conjunto de dados, enquanto quantidades numéricas, tais como 
x
 e S fornecem informação sobre somente uma característica dos dados. O Diagrama de Caixa (às vezes 
chamado de Diagrama de Caixa e Linha) é uma apresentação gráfica que descreve simultaneamente várias 
características importantes de um conjunto de dados, tais como centro, dispersão, desvio da simetria e 
identificação das observações que estão surpreendentemente longe do seio dos dados (essas observações são 
chamadas de ”outliers”). 
 O diagrama de caixa apresenta três quartis, o mínimo e o máximo dos dados em uma caixa retangular, 
podendo estar alinhados tanto vertical quanto horizontalmente. A caixa inclui a amplitude interquartil 
(IQR), com o canto esquerdo (ou inferior) no primeiro quartil (Q1), e o canto direito (ou superior) no terceiro 
quartil (Q3). Uma linha é desenhada, através da caixa, no segundo quartil, que é o percentil 50 ou a mediana 
(Q2 = 
x~
). Uma linha (bigode) estende-se de cada extremidade da caixa. A linha inferior (bigode esquerdo 
ou inferior) começa no primeiro quartil indo até o menor valor do conjunto de pontos dentro da faixa de 1,5 
interquartil (1,5 IQR) a partir do primeiro quartil. A linha superior (bigode direito ou superior) começa no 
terceiro quartil indo até o maior valor do conjunto de pontos dentro da faixa de 1,5 interquartil (1,5 IQR) do 
terceiro quartil. Dados mais afastados do que os bigodes são desenhados como pontos individuais. Um 
ponto além do bigode, porém a menos de 3 amplitudes interquartis da extremidade da caixa, é chamado de 
“outliers”. Um ponto a mais de 3 amplitudes interquartis da extremidade da caixa é chamado de “outliers 
extremo”. Geralmente os outliers são representados como círculos fechados e os outliers extremos são 
representados como círculos abertos. A descrição de um diagrama de caixa se mostra na seguinte figura: 
 
 
 
 
Exemplo: Para os dados do exemplo anterior (dados da resistência à compressão de 80 corpos de prova 
de liga de Alumínio-Lítio), determine o diagrama de caixa desses dados. 
Solução: 
Note que os dados não se aproximam da curva normal. Fazendo um diagrama de freqüências fica mais 
claro de enxergar ou calculando o C(as). Classificando os dados de menor a maior, temos: 
 
76 123 145 154 163 171 181 200 
87 131 146 156 163 172 181 201 
97 133 148 157 164 174 183 207 
101 133 149 158 165 174 184 208 
105 134 149 158 167 175 186 218 
110 135 150 158 167 176 190 221 
115 135 150 158 168 176 193 228 
118 141 151 160 169 178 196 229 
120 142 153 160 170 180 199 237 
121 143 154 160 171 180 199 245 
 
Como (0,25) (80) + 0,5 = 20,5; para calcular Q1, temos que encontrar a média dos termos 20 e 21: 
Bigode esquerdo:
A linha se estende, a partir do 
primeiro quartil, até o menor 
ponto dado que esteja na faixa 
de 1,5 interquartil Primeiro quartil
Segundo quartil
Terceiro quartil
Outliers
Outliers:
Outlier extremo:
Bigode direito:
A linha se estende, a partir do 
terceiro quartil, até o maior 
ponto dado que esteja na faixa 
de 1,5 interquartil
IQR1,5 IQR 1,5 IQR 1,5 IQR 1,5 IQR 
Ponto além do bigode, porém a 
menos de 3 amplitudes interquartis 
da extremidade da caixa
Ponto a mais de 3 
amplitudes interquartis da 
extremidade da caixa
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 Q1 = (143 + 145) /2 = 144 
Como (0,50) (80) + 0,5 = 40,5; para calcular Q2, temos que encontrar a média dos termos 40 e 41: 
 Q2 = (160 + 163) / 2 = 161,5 
Como (0,75) (80) + 0,5 = 60,5; para calcular Q3, temos que encontrar a média dos termos 60 e 61: 
 Q3 = (180 + 181) / 2 = 180,5 
O intervalo interquartil = IQR = Q3 – Q1 = 180,5 – 144 = 36,5 
 1,5 IQR = 54,75 e 3 IQR = 109,5 
Como Q1 – 1,5 IQR = 144 – 54,75 = 89,25; então o bigode da esquerda será: 97 ; 
 Outlier (e) 1: 87; Outlier (e) 2: 76 
Como Q3 + 1,5 IQR = 180,5 + 54,75 = 235,25; o bigode da direita será: 229; 
 Outlier (d) 1: 237; Outlier (d) 2: 245 
Não existem outliers extremos. 
 
 A curva formada pelos dados têm forma mesocúrtica, leptocúrtica ou platicúrtica? 
 
 (0,10) (80) + 0,5 = 8,5 , então, P(10) = (118 + 120) / 2 = 119 
 (0,90) (80) + 0,5 = 72,5 , então, P(90) = (201 + 207) / 2 = 204 
 
215,0
)119204(2
)1445,180(
)PP(2
)QQ(
C
)10()90(
13 






 , então, curva leptocúrtica, curva de freqüência mais 
fechada que a normal ou mais aguda ou afilada em sua parte superior. 
 
O diagrama de caixa ficaria da seguinte forma: 
 
 
 
Problema: Uma empresa utiliza duas máquinas diferentes para fabricar certo tipo de arruelas. Durante um 
turno só, se obteve uma amostra de n = 20 arruelas produzidas por cada máquina e se determinou o valor 
do diâmetro externo das arruelas. As especificações geralmente variam entre 100  5 mm. Analise os 
diagramas de caixa de cada máquina e explique qual delas compraria. O diagrama de caixa comparativa 
mostra-se abaixo: 
 
 
Problema: Os seguintes são dados da sincronização de um dispositivo elétrico em milissegundos (leia por 
linha de acima para abaixo): 
 
195 204 195 211 204 200 196 201 
200 203 195 193 200 199 189 198 
198 206 197 196 202 204 199 194 
 
a) Calcule a média, mediana, desvio padrão amostral e a variância amostral. 
b) Construa um diagrama de caixa dos dados e comente sobre a informação nesse diagrama. 
100 150 200 250
Resistência
85 95 105 115100
Máquina 1
Máquina 2
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c) Encontre os percentis 5% e 95% dos dados. 
d) O desvio dos dados é para a esquerda ou para a direita? 
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Diagrama da Distribuição de Freqüências: 
 Uma distribuição de Freqüências é um sumário mais compacto dos dados, em relação ao diagrama de 
ramo e folhas. Para construir uma distribuição de freqüências, temos de dividir a faixa de dados em 
intervalos, que são geralmente chamados de intervalos de classe ou células. Se possível, os intervalos devem 
de iguais larguras de modo a aumentar a informação visual na distribuição de freqüências. O número de 
intervalos depende do número de observações e da quantidade de dispersão dos dados. Uma distribuição 
de freqüência não será informativa se usar um número muito baixo ou muito alto de intervalos de classe. 
Em geral, de 5 a 20 intervalos são considerados satisfatórios na maioria dos casos, sendo que o número de 
intervalos deve crescer com “n”. Na prática, trabalha-se bem se o número de intervalos de classe for 
aproximadamente igual à raiz quadrada do numero de observações (
n
). Outro método é usar a regra de 
Sturges, a qual estabelece que o número de intervalos seja igual a (1 + 3,3 log n). 
 Um histograma da Distribuição de Freqüências é mais efetivo na apresentação de dados para amostras 
relativamente grandes, tipo n  75. É bom lembrar que enquanto maior seja o valor de “n”, o histograma 
poderá ser um indicador confiável da forma geral da população de medidas da qual a amostra foi retirada. 
 Ao observar uma distribuição de freqüências dá para enxergar com facilidade a simetria dos dados da 
amostra. Na figura mostrada abaixo, nota-se que os dados podem ter um desvio à esquerda (a), uma forma 
simétrica (b) ou ter um desvio à direita (c). Se 
x
 é a média, 
x~
 é a mediana e 
x

 a moda, então, para os 
dados que tiverem um desvio à esquerda encontraremos que média < mediana < moda. Se os dados fossem 
simétricos moda = mediana = média (para dados aproximadamente simétricos esses três parâmetros seriam 
próximos). Se os dados tiverem um desvio à direita encontraremos que moda < mediana < média. 
 
 
 
 
 
 Finalmente agregar que quando os dados não sejam quantitativos, mais sejam por categorias (alto, 
médio, baixo, etc) os intervalos devem ter a mesma largura. 
 
 
Exemplo: Para a seguinte tabela, onde se mostram os dados da resistência à compressão de 80 corpos de 
prova de liga de Alumínio-Lítio, faça um histograma que mostre a distribuição de freqüências dos 
dados. 
 
105 221 183 186 121 181 180 143 
97 154 153 174 120 168 167 141 
245 228 174 199 181 158 176 110 
163 131 154 115 160 208 158 133 
207 180 190 193 164 133 156 123 
134 178 76 167 184 135 229 146 
218 157 101 171 165 172 158 169 
199 151 142 163 145 171 148 158 
160 175 149 87 160 237 150 135 
196 201 200 176 150 170 118 149 
 
Como n = 80, então 
80
 = 8,9  9 intervalos de classe; x(máximo) = 245; x(mínimo) = 76. Assim, dos 
dados da tabela anterior obtemos a seguinte tabela de distribuição de freqüências para um conjunto de 
dados de resistência à compressão: 
 
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Intervalo de classe (psi) Código do intervalo Freqüência Freq. Relativa Freq. Acumulada 
70  x < 90 1 2 0,0250 0,0250 
90  x < 110 2 3 0,0375 0,0625 
110  x < 130 3 6 0,0750 0,1375 
130  x < 150 4 14 0,1750 0,3125 
150  x < 170 5 22 0,2750 0,5875 
170  x < 190 6 17 0,2125 0,8000 
190  x < 210 7 10 0,1250 0,9250 
210  x < 230 8 4 0,0500 0,9750 
230  x < 250 9 2 0,0250 1,0000 
 
 
O gráfico de distribuição de freqüências relativas seria: 
 
24020016012080
30
25
20
15
10
5
0
Resistência à Compressão (psi)
Fr
eq
uê
nc
ia
 r
el
at
iv
a
2,50
5,00
12,50
21,25
27,50
17,50
7,50
3,75
2,50
Distribuição de Frequências Relativas
 
 
O gráfico de barras da distribuição de freqüências acumuladas seria o seguinte: 
 
24020016012080
100
80
60
40
20
0
Resitência à Compressão (psi)
Fr
eq
uê
nc
ia
s 
A
cu
m
ul
ad
as
100,00
97,50
92,50
80,00
58,75
31,25
13,75
6,25
2,50
Distribuição de Frequências Acumuladas
 
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A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 Com certeza a Distribuição Normal é a distribuição mais importante tanto na teoria como na prática da 
estatística. Se x é uma variável aleatória normal, então a distribuição de probabilidade de x se define como 
segue: 











xondee
2
1
)x(f
2
x
2
1 
 
A média da distribuição normal é  (-  <  < ) e a variância é 2 > 0. 
 
 A utilização da distribuição normal é tão freqüente que muitas vezes se emprega uma notação especial 
x  N(, 2), para denotar que x segue uma distribuição normal com média  e variância 2. A forma da 
distribuição normal é uma curva simétrica, unimodal, em forma de campana, a qual se mostra na figura 
abaixo: 
 
 
 Há uma interpretação simples do desvio padrão  de uma distribuição normal, a qual se mostra na 
figura abaixo. Note que 68,26% dos valores da população se localizam entre os limites 1, definidos pela 
média mais menos um desvio padrão (  1). 95,46% dos valores da população se localizam entre os 
limites 2, definidos pela média mais menos dois desvios padrão (  2); já os limites 3 determinam 
99,73% dos valores da população e se localizam entre os limites definidos pela média mais menos três 
desvios padrão (  3). 
 
 
 A distribuiçãonormal acumulada se define como a probabilidade de que a variável aleatória normal x 
seja menor ou igual que certo valor “a”, o qual em termos matemáticos significa: 
dxe
2
1
)a(F}ax{P
2
x
2
1
a 







 
 
 
 
 Esta integral é fácil de integrar utilizando a seguinte mudança de variável: 



x
z
. Assim, ao fazer a 
mudança de variável e resolver a integral teríamos: 
Curva

),(N 2
f (x)
x
Área = 0,6826

Área = 0,9546
  2  3 2 3
Área = 0,9973
Limites 1
Limites 2
Limites 3



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

















aa
zP}ax{P
 
 
 Onde 
(.)
 é a distribuição acumulada da distribuição normal padrão (média = 0, variância = 1). À 
mudança de variável 



x
z
 é comum de chamar-la de “padronização”, já que converte uma variável 
aleatória N (, 2) em uma variável aleatória N (0, 1). 
 
Observação: Devido à simetria da curva normal sempre se cumprirá que P { x  - a } = P { x  a } 
 
Exercício: A tensão do papel empregado para fazer as sacolas é uma característica importante de qualidade. 
Sabe-se que resistência tem uma distribuição normal com média  = 40 lb/pol2 e variância 2 = 4 lb/pol2 (se 
denota como x  N (40, 4). O comprador das sacolas requer que elas tenham uma resistência de pelo menos 
35 lb/pol2. Qual é a probabilidade de que uma sacola feita com esse papel cumprirá com essa especificação? 
Solução: 
Nota-se que a probabilidade de que uma sacola feita com esse papel cumpra com essa especificação é 
de: 
 P { x  35} = 1 - P { x  35} 
De forma gráfica, significa que devemos encontrar a área sombreada para o gráfico mostrado abaixo. 
Para padronizar a variável resistência devemos fazer z = (35 – 40)/2 = - 2,5. O sinal negativo da 
variável padronizada z, significa que o valor de z se encontra à esquerda da média  = 0. O gráfico da 
direita é o gráfico padronizado da variável resistência. 
 
 
Nota-se que a probabilidade de que a variável resistência tenha uma resistência de pelo menos 35 
lb/pol2, equivale a dizer que a probabilidade seja  a 35 ou ainda, que após de padronizada, equivale a 
dizer que a probabilidade seja  - 2,5, então da “tabela da normal” (a tabela se encontra no final da 
apostila): 
 P { x  35} = P { 35  x  40 } + P { x > 40} 
 = P { – 2,5  z  0 } + P { 0  z   } 
 = 0,4938 + 0,5 
 = 0,9938 = 99,38% 
 
Com a “tabela da normal acumulada” o cálculo seria da seguinte forma (a tabela se encontra no final 
da apostila): 
 P { x  35} = 1 – P { x  35} 
 = 1 – P { z  – 2,5 } 
 = 1 – (1 – 0,9938) 
 = 0,9938 = 99,38% 
 
Exercício: Supondo uma variável x  N (10, 9), determine o valor de “a”, tal que P{ x > a } = 0,05. 
Solução: 
Nesse caso, teremos que fazer o caminho inverso do exercício anterior, assim: 
 
45,0
3
10a
zPou05,0
3
10a
zP}ax{P 





 






 

 
Da tabela, temos que z = 1,645. Portanto, 
935,14aentão;645,1
3
10a


 
 
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Exercício: Suponha que X é uma variável aleatória distribuída de acordo com a distribuição normal N(3, 28). 
Um gerente de vendas deseja saber: (a) P(0 < X < 8); (b) P(-5 < X < 1); (c) P ( 3 < X < 4); (d) P ( 4,5 < X < 6) 
Solução (foi usada a tabela acumulada da curva normal): 
Aqui, teremos 
a. P ( 0 < X < 8 ) = 





 

28
38
zP
 - 





 

28
30
zP
 
Da tabela: P (0<X< 8) = 

(z 0,94) 

 

 (z  

0,57)  0,8264 – (1-0,7157)  0,5421 ou 54,21% 
 
b. P (

5 < X < 1 ) = 





 

28
31
zP
 - 





 

28
35
zP
 
Da tabela: P (

5< X< 1 ) = 

(z  - 0,38) -

(z  - 1,51)  (1-0,6480) – (1-0,9345)  0,2865 ou 28,65% 
 
 c. P (3 < X < 4 ) = 





 

28
34
zP
 - 





 

28
33
zP
 
 
Da tabela: P (3 < X < 4 ) = 

 (z  0,19) - 

 (z  0,00)  0,5753 - 0,5000  0,0753 ou 7,53% 
 
 d. P (4,5 < X < 6 ) = 





 

28
36
zP
 - 





 

28
35,4
zP
 
 
Da tabela: P (3 < X < 4) = 

 (z  0,57) - 

 (z  0,28)  0,7157 - 0,6103  0,1054 ou 10,54% 
 
Exercício: O processo de fabricação de o diâmetro de um eixo metálico (em polegadas) segue uma 
distribuição N (0,2508; 25 x 10 – 8). Um pedido chegou à empresa com especificações de um eixo com 0,25  
0,0015 polegadas. 
a) Determine a fração de eixos que se ajustam às especificações 
b) Determine a fração de eixos que não se ajustam às especificações 
c) Se fosse economicamente fatível aceitar até um máximo de 6% de defeitos por pedido, você aceitaria 
o pedido? 
d) Se os eixos pudessem ser retrabalhados para que se ajustem às especificações, qual seria a 
porcentagem de itens que se ajustam às especificações? 
Respostas: 
a) 0,9192 = 91,92% b) 0,0808 = 8,08% c) Não aceitaria o pedido d)  100% 
 
Problema: Encontrou-se que o valor médio de ruptura na produção de provetas era de 5.600 lb/pol2. 
a. Se o desvio padrão é de 840 lb/pol2 e a distribuição é aproximadamente normal, que porcentagem 
das provetas cairá entre 5.000 e 6.200? 
b. Que porcentagem será maior a 4.000? 
c. Que porcentagem será menor a 3.500? 
Respostas: 
a. 52,22% b. 97,13% c. 0,62% 
 
Problema: Num processo de empacotamento de batatas fritas, se obtiveram os seguintes resultados em 
relação ao peso (em gramas): 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ 
Observação 1 195 204 195 199 200 204 196 201 200 203 
Observação 2 201 190 197 199 202 193 198 197 202 201 
Observação 3 194 199 205 197 195 197 197 206 204 209 
ix
 196,67 197,67 199,00 198,33 199,00 198,00 197,00 201,33 202,00 204,33 1993,33 
Ri 7 14 10 2 7 11 2 9 4 8 74 
 
 Determine o valor de σ (lembre que 
2d
R
ˆ 
). 
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Problema: Uma empresa que vende batatas fritas em pacotes vai a começar a controlar o peso (em gramas) 
por pacote de seu processo produtivo. Dez subgrupos (amostras) de tamanho 8 foram tiradas do processo 
registrando os seguintes valores: 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ 
ix
 10,04 10,19 9,93 10,22 10,10 9,984 10,024 10,15 10,20 10,38 101,218 
Ri 1,03 0,46 0,49 0,64 0,34 0,63 0,66 0,35 0,50 0,27 5,37 
‘ 
Determine o valor de σ (lembre que 
2d
R
ˆ 
) 
Exercício: De um processo de produção de anéis para pistões, onde se controla o diâmetro interno (em mm), 
se obtiveram os seguintes dados: 
 
 Observações 
ix
 Si 
A
m
o
st
ra
s 
1 74,000 73,984 74,005 73,998 73,996 73,9966 0,00780 
2 74,006 74,010 74,018 74,005 74,000 74,0078 0,00672 
3 73,984 74,002 74,003 74,003 73,997 73,9978 0,00811 
4 74,000 74,010 74,013 74,005 74,003 74,0062 0,00526 
5 74,004 73,999 73,990 74,005 74,009 74,0014 0,00730 
6 74,010 73,989 73,990 74,009 74,014 74,0024 0,01193 
7 74,015 74,008 73,993 74,000 74,010 74,0052 0,00870 
8 73,982 73,984 73,995 74,017 74,013 73,9982 0,01618 
 592,0156 0,071997 
Média 
 
Determine o valor de σ (lembre que 
4c
S
ˆ 
)UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 18 
A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
 A discussão da distribuição de Poisson definiu uma variável aleatória como o número de falhas ao 
longo do que poderia ser o comprimento (no caso da distribuição de Poisson também pode ser a área ou 
ainda o volume) de algum objeto. A distância entre as falhas é outra variável aleatória que é frequentemente 
de interesse, sendo essa basicamente a definição da distribuição exponencial (Montgomery e Rutger, 1999). 
 
 Em geral, se diz que X tem uma distribuição exponencial com parâmetro  ( > 0) se a função de 
densidade de probabilidade de X é (Devore, 2008): 
 


 


contráriocaso0
0xparae
);x(f
x
 
 
 Alguns livros escrevem a fdp exponencial na forma 
   /xe/1
, de forma que  = 1/. 
 
 O valor esperado de uma va X exponencialmente distribuída é: 
 



0
x dxex)x(E
 
 
 Para obter o valor esperado se requer integrar por partes. A variância se calcula usando o fato de que 
V(X) = E(X2) – [ E(X) ]2. O cálculo de E(X2) requer integrar por partes, duas vezes. Os cálculos dão como 
resultado: 
 
2
2 11




 
 
 É importante ressaltar que  é o recíproco da média, e á variância é igual à média elevada ao quadrado. 
Algumas curvas de densidade exponencial para valores diferentes de  mostram-se abaixo: 
 
 
 
 A fdp exponencial é fácil de integrar para obter a função de densidade acumulativa F(X): 
 








 0xparae1
0xpara0
e)xX(P);x(F
x
x
0
x
 
 
 Devore (2008) menciona que uma aplicação importante da distribuição exponencial é modelar a 
distribuição da duração de um componente. O fato de que a distribuição exponencial seja a única 
distribuição contínua a ter a propriedade de “falta de memória” dá a ela uma grande popularidade. A falta 
de memória consiste do seguinte: Suponha que a duração de um componente seja exponencialmente 
x
f (x)

2
1
0,5
0
= 2
= 0,5
= 1
Curvas de densidade exponencial 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 19 
distribuído com parâmetro  ( > 0), Depois de pôr o componente em serviço, se deixa que passe um 
período de t0 horas e depois se vê se o componente segue trabalhando. Qual seria agora a probabilidade de 
que dure pelo menos “t” horas a mais?. Em símbolos matemáticos é uma probabilidade condicional, da 
seguinte forma: 
P(X  t0 + t | X  t0). 
 
 Por definição da probabilidade condicional, teremos: 
 
)tX(P
])tX()ttX([P
)tX|ttX(P
0
00
00



 
 
 Mas o evento X  t0 no numerador é redundante, pois ambos eventos podem ocorrer se e somente se X 
 t0 + t, portanto: 
 
t
t
tt
t
)tt(
0
0
0
0
00 e
e
ee
e
e
);t(F1
);tt(F1
)tX(P
)ttX(P
)tX|ttX(P
0
0
0
0












 
 
 Essa probabilidade condicional é idêntica à probabilidade original P(X  t), ou seja, a probabilidade de 
que o componente dure “t” horas. Portanto, a distribuição da duração adicional é exatamente a mesma que 
a distribuição original da duração, isso implica que em cada ponto do tempo o componente não mostra 
nenhum efeito de desgaste. 
 Embora a propriedade de falta de memória se justifica pelo menos em forma aproximada em muitos 
problemas reais, em outras situações os componentes se deterioram com o tempo, ou às vezes melhoram 
com ele (até certo ponto). As distribuições Gama, Weibull e Lognormal proporcionam modelos mais 
próximos da realidade do que a distribuição Exponencial (Devore, 2008). 
 
Problema: Suponha que o tempo de resposta X em um servidor de computador em linha (o tempo 
transcorrido entre o final da consulta de um usuário e o início da resposta do sistema a àquela consulta) tem 
uma distribuição exponencial com tempo de resposta esperado de 5 segundos. 
a) Determine a probabilidade de que o tempo de resposta seja quando muito 10 segundos. 
b) Determine a probabilidade de que o tempo de resposta fique entre 5 e 10 segundos. 
Solução: 
a) Note que o tempo de resposta esperado se refere ao valor esperado E(X) [ u.t./u ], que é o recíproco 
da média de eventos por unidade de tempo [ u /u.t. ], ou seja, o recíproco de . 
 Como E(X) = 5 = 1/, então  = 0,2 
 P(X  10) = F(10; 0,2) = 1 – e – (0,2) (10) = 1 – e -2 = 1 – 0,135 = 0,865 
b) P(5  X  10) = F(10; 0,2) – F(5; 0,2) = (1 - e -2 ) – (1 - e -1 ) = 0,233 
 
Problema: Suponha que se recebem chamadas durante 24 horas em uma linha de emergência para prevenção 
de suicídios, de acordo com um processo de Poisson com  = 0,5 chamadas por dia. 
a) Determine a probabilidade de que transcorram mais de 2 dias entre chamadas. 
b) Determine o tempo esperado entre chamadas sucessivas. 
Solução: 
a) P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1 – F(2; 0,5) = 1 – (1 - e – (0,5) (2) ) = 0,368 
b) E(X) = 1/ = 1/0,5 = 2 dias 
 
Problema: Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários as sistema podem 
ser modeladas como um processo de Poisson, com uma média de 25 conexões por hora. 
a) Qual é a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? 
b) Qual é a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos? 
c) Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer no intervalo 
seja 0,90, o valor esperado e o desvio padrão até a próxima conexão. 
Solução: 
a) Faça X denotar o tempo, em horas, do início do intervalo até a primeira conexão. 
  = 25 conexões por hora 
Pede-se P(X > 6 min) = P(X > 0,1 horas), note que as probabilidades devem estar nas mesmas 
unidades daquelas encontradas em . 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 20 
P(X > 0,1) = 



1,0
x25 dxe25
 = e – (25) (0,1) = 0,082 
Note que se usarmos  = 25/60 conexões/min = 25 conexões/hr deveríamos calcular P(X > 6 
min), confira esse cálculo, deve dar 0,082. 
Note também que P(X > 0,1) = 1 – P(X  1) 
b) P(0,033 < X < 0,05) = 
152,0edxe25
05,0
033,0
x2505,0
033,0
x25  
 
c) Pede-se P(X > x) = 0,90 
 P(X > x) = e -25 x = 0,90, tomando logaritmos naturais a ambos os lados: 
 ln e -25 x = ln 0,90, então – 25 x = ln 0,90, portanto, x = – ln 0,90/25 
 x = 0,00421 hora = 0,25 minuto 
 O tempo médio (valor esperado) até a próxima conexão é  = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 min 
 O desvio padrão até a próxima conexão é  = 1/25 hora = 2,4 min 
 
Problema: A ampla experiência na fabricação de ventiladores utilizados em motores diesel há sugerido que a 
distribuição exponencial é um bom modelo do tempo até falhar o ventilador. Suponha que o tempo médio 
até a falha é de 25.000 horas. Qual é a probabilidade de que: 
a) Um ventilador selecionado aleatoriamente dure pelo menos 20.000 horas? Quando muito 30.000 
horas? Entre 20.000 e 30.000 horas? 
b) Exceda a duração média de um ventilador por mais de 2 desvios padrões? Por mais de três 
desvios padrões? 
Respostas: a) P(X > 20.000) = 0,440; P(X  30.000) = 0,699; P(20.000  X  30.000) = 0,148 
 b) P(X >  + 2) = 0,05; P(X >  + 3) = 0,018 
 
Problema: O tempo entre as chegadas de táxis a um cruzamento movimentado é distribuído 
exponencialmente, com uma média de 10 minutos. 
a) Qual é a probabilidade de você esperar mais de uma hora por um táxi? 
b) Supondo que você já estivesse esperando uma hora por um táxi, qual será a probabilidade de que 
um táxi chegue dentro dos próximos 10 minutos? 
c) Determine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x minutos seja 0,10. 
d) Determine x tal que a probabilidade de você esperar menos de x minutos seja 0,90. 
e) Determine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x minutos seja 0,50 
Respostas: c)23,03% d) 23,03% e) 6,93% 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 21 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
Segundo Montgomery e Runger (1999), um experimento aleatório, consistindo de n repetidas tentativas, 
de modo que: 
 
a) as tentativas sejam independentes, 
b) cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e “falha”, 
c) a probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, permaneça constante 
 
é chamado de experimento binomial. 
 
 A va X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial 
com parâmetros p e n = 1, 2, .... 
 
Em geral, a notação usada para identificar uma distribuição binomial é a seguinte: Bin(n, p). Bin de 
binomial, n relacionado com o número de sucessos e p como a probabilidade de sucesso para uma tentativa. 
 
A função de probabilidade de uma va binomial X é: 
 













contráriocaso0
n......,,2,1,0xpara)p1(p
x
n
)x(f)p,n;x(b
xnx 
 
A letra “b” indica que é uma va binomial, a letra “x” indica que o número de sucessos, a letra “n” 
indica o número de tentativas e a letra “p” indica a probabilidade de obter um sucesso numa única 
tentativa. 
 
É bom ressaltar que geralmente (1 – p) se representa como q, ou seja, (1 – p) = q. 
Na fórmula anterior se indica que 






x
n
 é igual ao número total de sequências diferentes de tentativas 
que contém x sucessos e (n – x) falhas. O número total de sequências diferentes de tentativas que contém x 
sucessos e (n – x) falhas vezes a probabilidades de cada sequência é igual a P(X = x). 
 
Em geral a média µ de uma distribuição binomial e a variância 2 são iguais a: 
 
µ = np e 2 = n p (1 – p) = n p q 
 
A forma de uma distribuição binomial poderia ser a seguinte: 
 
 
 
 
Para uma va X  Bin (x, n, p), a função de distribuição acumulativa será denotada por: 
 
n.....,,1,0xpara)p;n;y(b)p;n;x(B)xX(P
x
0y
 

 
Problema: Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente com a fórmula para b(x; n; p): 
Binomial (p, n)
x
f (x)
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 22 
a) b(3; 8; 0,6) b) b(5; 8; 0,6) 
c) P(3  X  5), quando n = 7 e p = 0,6 d) P(1  X), quando n = 9 e p = 0,1 
Respostas: 
a) 0,124 b) 0,279 c) 0,635 d) 0,718 
 
Problema: Use as tabelas da binomial para obter as seguintes probabilidades: 
a) B(4; 10; 0,3) b) b(4; 10; 03) 
c) b(6; 10; 0,7) d) P(2  X  4), quando X  Bin (10; 0,3) 
e) P(2  X), quando X  Bin (10; 0,3) f) P(2 < X < 6), quando X  Bin (10; 0,3) 
Respostas: 
a) 0,85 b) 0,20 c) 0,2 d) 0,701 e) 0,851 f) 0,57 
 
Problema: Seis lotes de peças estão prontos para ser enviados a um fornecedor. O número de peças 
defeituosas em cada lote é: 
 
Lote 1 2 3 4 5 6 
Número de peças com defeito 0 2 0 1 2 0 
 
Um lote desses tem que ser selecionado aleatoriamente para ser enviado a um cliente em particular. Se 
X é o número de peças defeituosas no lote selecionado, determine: 
 
a) A distribuição de probabilidade de X 
b) A probabilidade de enviar um lote com 1 peça defeituosa 
 
Respostas: 
a) p(0) = 0,5; p(1) = 0,167; p(2) = 0,333 b) 0,167 
 
Problema: Uma companhia produz lâmpadas entre as quais 2% estão defeituosas. 
a) Se 50 lâmpadas forem selecionadas para teste, qual é a probabilidade de que exatamente duas 
sejam defeituosas? 
b) Se o distribuidor recebe um lote de 1.000 lâmpadas, qual seria a média e a variância do número 
de lâmpadas defeituosas? 
Respostas: 
a) 0,1859 b) 20 e 19,6 
 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 23 
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
 As suposições que conduzem à distribuição hipergeométrica são as seguintes: 
 
a) A população ou conjunto da qual se vai a tirar uma amostra se compõe de N indivíduos, objetos ou 
elementos (uma população finita). 
b) Cada individuo pode ser caracterizado como sucesso (S) ou falha (F) e há M sucessos na população. 
c) Seleciona-se uma amostra de “n” indivíduos sem substituição de forma que cada subconjunto de 
tamanho “n” é igualmente provável de ser selecionado. 
 
 Em geral, se X é o número de sucessos (S) numa amostra aleatória de tamanho “n” extraída de uma 
população composta de M sucessos e (N - M) falhas, então a distribuição de probabilidade de X se 
denomina distribuição hipergeométrica, definida como: 
 





















n
N
xn
MN
x
M
)N;M;n;x(h)xX(P 
 
 com x sendo um inteiro que satisfaze máx (0, n – N + M)  x  mín (n, M). 
 
 A média e a variância da va hipergeométrica X cuja função de massa de probabilidade é h (x; n; M; N) 
são: 
 























N
M
1
N
M
n
1N
nN
)X(V;
N
M
n)X(E
 
 
Observações: 
 
1) Note que o termo M/N é a proporção de sucessos na população. Se substituirmos M/N por “p” em 
E(X) e V(X) obtemos: 
 
   p1pn
1N
nN
)X(V;pn)X(E 










 
 
2) Note que as médias das va binomiais e hipergeométricas são iguais. As variâncias diferem pelo fator (N 
– n)/(N – 1), chamado de fator de correção por população finita. Quando “n” é pequeno em relação à N, 
esse fator pode se escrever como (1 – n/M) (1 – 1/N). 
 
3) Quando não se conhece o tamanho da população N, mas se conhece o valor de x (número de sucessos 
na amostra) e “n” (tamanho da amostra), e se deseja estimar o valor de N, é possível usar a seguinte 
estimação: 
 
x
nM
Nˆ 
 
 
Essa estimação é adequada devido a que é razoável igualar a proporção amostral observada de sucessos 
(x/n) à proporção populacional de sucessos (M/N). 
 
 
Problema: Supondo uma maço de 52 cartas, determine: 
a) A probabilidade de que, em uma mão de 13 cartas, um jogador não tivesse nenhum as, rei, rainha ou 
valete. 
b) Qual seria a probabilidade de que, em uma mão com 13 cartas, ele obtivesse os 4 ases. 
c) Qual seria a probabilidade de que, em uma mão com 13 cartas, ele obtivesse um ou mais ases. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 24 
Solução: 
a) Numa mão de 13 cartas, são 4 cartas (as, rei, rainha e valete) que não devem sair, portanto, 16 
cartas no total não devem sair: 
 
%36,00036,0
13
52
013
1652
0
16
p 




















 
 
b) Numa mão de 13 cartas, para que saiam os 4 ases teríamos: 
 
%24,00024,0
13
52
413
452
4
4
p 




















 
 
c) Numa mão de 13 cartas, para que saiam um ou mais ases teríamos: 
 
%62,696962,0
13
52
013
452
0
4
1p 




















 
 
Problema: Uma população ou lote contém 200 itens, com uma probabilidade de itens defeituosos igual à y %. 
Um plano de inspeção demanda uma amostra de 5 itens. O limite de resistência mínimo que um item pode 
ter é de 70.000 psi. O gerente do Departamento de Pesquisas e Desenvolvimento deseja saber qual a 
probabilidade de se aceitar essa população se: 
a) y = 5%, sendo que nenhum item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados. 
b) y = 10%, e nenhum item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados. 
c) y = 5%, e apenas um item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados. 
d) y = 5%, e um máximo de dois itens defeituosos poderão ser encontrados entre os cinco itens 
testados. 
e) y = 5%, eum máximo de três itens defeituosos poderão ser encontrados entre os cinco itens 
testados. 
 
Solução: 
a) Nenhum item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Como y = 5%, teremos um total 
de 0,05  200 = 10 itens com o limite de resistência menor do que 70.000 psi, isso é, 10 itens 
defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade de se aceitar a população ou lote será 
dada por: 
 
 aceitarP
=



















5
200
05
190
0
10
=
!195!5
!200
!185!5
!190
!10!0
!10

=
196197198199200
186187188189190


=
11
11
1004278,3
103481606,2


 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 ou 77,17155% 
 
b) Nenhum item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Aqui, y = 10%, e desse modo 
teremos 0,10  200 = 20 itens defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade de se 
aceitar a população será dada por: 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 25 
 aceitarP
 = 



















5
200
05
180
0
20
 = 
!195!5
!200
!175!5
!180
!20!0
!20

 = 
196197198199200
176177178179180


 
 
 aceitarP
= 
11
11
1004278,3
10786617,1


 = 0,587166 ou 58,7166% 
 
c) Um item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Como y = 5%, teremos um total de 
0,05  200 = 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. Desde que é permitido a presença 
de um item defeituoso entre os cinco itens testados, a probabilidade de se aceitar a população será 
dada por: 
 
P(aceitar)=P(zero defeituoso) +P(um defeituoso) 
 
A probabilidade de se ter nenhum item defeituoso entre os cinco testados já foi calculada no item a, 
e é igual à 0,7717155. Logo, a probabilidade de se aceitar a população será dada por: 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 



















5
200
4
190
1
10
 = 0,7717155 

!195!5
!200
!186!4
!190
!9!1
!10

 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 

234196197198199200
234518718818919010


 
 
 aceitarP
 = 0,7717155 

12
12
103026721,7
105149424,1


; Então: 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 ou 97,91659% 
 
d) É permitido um máximo de dois itens defeituosos entre os cinco testados. Novamente, com y = 5%, 
teremos um total de 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. Desde que é permitido a 
presença de dois itens defeituosos entre os cinco itens testados, a probabilidade de se aceitar a 
população será dada por: 
 
P(aceitar) = P(zero defeituoso) + P(um defeituoso) + P(dois defeituosos) 
 
A probabilidade de zero item defeituoso mais a probabilidade de um item defeituoso entre os cinco 
itens testados já foi calculada no item c, e é igual à 0,9791659. Logo, a probabilidade de se aceitar a 
população será dada por: 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 



















5
200
3
190
2
10
 = 0,9791659 

!195!5
!200
!187!3
!190
!8!2
!10

 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 

232196197198199200
2345188189190910


 
 
 aceitarP
 = 0,9791659 

12
10
106513361,3
102911664,7


; Logo: 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 26 
 aceitarP
 = 0,9991343 ou 99,91343% 
 
e) É permitido um máximo de três itens defeituosos entre os cinco itens testados. Uma vez mais, com 
y = 5%, teremos um total de 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade 
de se aceitar a população será dada por: 
 
P(aceitar)=P(zero defeituoso) +P(um defeituoso) +P(dois defeituosos) +P(três defeituosos) 
 
A probabilidade de zero item defeituoso mais a probabilidade de um item defeituoso mais a 
probabilidade de dois itens defeituosos entre os cinco itens testados já foi calculada no item d, e é 
igual à 0,9991343. Logo, a probabilidade de se aceitar a população será dada por: 
 
 aceitarP
 = 0,9991343 



















5
200
2
190
3
10
 = 0,9991343 

!195!5
!200
!188!2
!190
!7!3
!10

 
 
 aceitarP
 = 0,9991343 

223196197198199200
23451891908910


 
 
 aceitarP
 = 0,9991343 

12
9
106513361,3
10102624,3


; Finalmente: 
 
 aceitarP
 = 0,999984 ou 99,9984% 
 
 
Problema: Um comprador adquire lotes de má qualidade, pagando barato por eles, mas sem possibilidade de 
devolução. Ele não quer correr muitos riscos e pretende aceitar lotes que no máximo tenham 25% das peças 
defeituosas. Oferecido um lote com 12 peças (que contem 8 peças boas e quatro defeituosas, mas o 
comprador não sabe disso), testa a qualidade do lote da seguinte forma: escolhe aleatoriamente 4 peças, se 
nessa amostra existir no máximo uma peça defeituosa, aceita o lote. Baseado em seus conhecimentos de 
estatística, o que você aconselharia ao comprador, continuar com esse procedimento ou mudar de 
procedimento?. Explique com cálculos sua resposta. 
Solução: 
Para esse teste (lote de N = 12 peças, amostra de n = 4 peças), a probabilidade de se encontrar x = 0 
peças defeituosas é: 
 
%14,141414,0
4
12
04
412
0
4
)0(p 




















 
 
Para esse teste (lote de N = 12, amostra de n = 4), a probabilidade de se encontrar x = 1 peça defeituosa 
é: 
 
%25,454525,0
4
12
14
412
1
4
)1(p 




















 
 
Portanto, como p(0) + p(1) = 14,14 + 45,25 = 59,39, ele não deve continuar com esse procedimento, ele 
na verdade está aceitando lotes com aproximadamente 60% de probabilidade de que pelo menos uma 
peça esteja ruim. Ele deve aceitar só lotes com amostras com nenhuma peça defeituosa (nesse caso a 
probabilidade de que o lote seja ruim é de 14% aproximadamente e não 25% como ele quer). 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 27 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 28 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
 Considere um intervalo de números reais e suponha que contagens (sobre algum evento) ocorram 
através do intervalo (ou região). Se o intervalo pode ser dividido em subintervalos com comprimentos 
suficientemente pequenos tal que: 
 
1) A probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja próxima de zero; 
2) A probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e 
proporcional ao comprimento do subintervalo, e 
3) A contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos, 
 
então nesse caso o experimento aleatório será chamado de “processo de Poisson”. 
 
 Se o número médio de contagens no intervalo for  > 0, a variável aleatória X, que é igual ao número 
de contagens no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro , sendo a função de 
distribuição de probabilidade de X é dada por: 
 
!x
e
)x(f);x(p
x


, x = 0, 1, 2, ..... 
 
 A função acumulativa da distribuição de Poisson está dada por: 
 






r
0x
xr
0x !x
e
);x(p);r(P
 
 
Em geral a média µ de uma distribuição de Poisson e a variância 2 são iguais a: 
 
µ =  e 2 =  
 
A forma de uma distribuição de Poisson poderia ser a seguinte: 
 
 
 
Problema: Durante um experimentode laboratório a média de partículas radiativas que passa através de um 
contador em um milissegundo é 4. Qual é a probabilidade de que 6 partículas passem pelo contador num 
milissegundo dado? 
Solução: 
x = 6;  = 4, então: 
1042,07851,08893,0)4;x(p)4;x(p
!6
4e
)4;6(p
6
0x
5
0x
64
  
 

 
 
Problema: A média de caminhões que chega cada dia a uma cidade portuária é 10. As instalações no porto 
toleram até 15 caminhões por dia. Qual é a probabilidade de que num dia algum caminhão não chegue a ser 
atendido no porto. 
Solução: 
x = 15;  = 10, então: 
0487,09513,01)10;x(p1)15X(P1)15X(P
15
0x
 

 
x
f (x)
)(Poisson 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 29 
Problema: Um determinado equipamento eletrônico utilizado em turbinas de usinas hidroelétricas possui 
uma distribuição de falhas Poisson com  = 
seˆm/3,0
. Novas unidades de reposição desse equipamento 
são enviadas a uma determinada usina hidroelétrica em intervalos de 0,5 meses. Sabendo-se que a 
probabilidade de que essa usina não tenha unidades desse equipamento para reposição (quando necessário) 
não possa ser maior do que 2%, um gerente de operação deseja determinar o número de unidades em 
estoque desse equipamento que a usina deverá ter no início de cada um dos intervalos de 0,5 meses. 
Sabe-se que a probabilidade de que o número de unidades do equipamento eletrônico que venham a falhar 
em um período de 0,5 meses seja maior do que 
on
 será dada por: 
 onXP 
 = 1



on
0x
 
!x
et tx 
 
Solução: 
Como desejamos que a probabilidade de falta de estoque fosse no máximo de 2%, teremos: 
 
 0XP 
 = 1
  
!0
e5,03,0 5,03,00 
 = 1

15,0e
 = 1

0,8607 = 0,1393 ou 13,93% 
 
 1XP 
 = 1
  
!0
e5,03,0 5,03,00    
!1
e5,03,0 5,03,01 
 = 0,0102 ou 1,02% 
 
Então existe menos de 2% de probabilidade de que mais de 1 unidade do equipamento eletrônico 
venha a falhar durante o período de 0,5 meses. Logo, uma unidade desse equipamento deverá ser 
mantida em estoque no início de cada período de 0,5 meses. 
 
Problema: Se um gramado contém em média 1 pé de erva daninha em cada 600 
2cm
, qual deverá ser a 
distribuição de r = número de ervas daninhas em uma área de 400 
2cm
? Com a distribuição escolhida, 
calcule as probabilidades de: 
a) r = 0 b) r = 1 c) r = 2 d) r = 3 e) r = 4 
 
Solução: 
Um modelo adequado nesse caso é a distribuição Poisson, com uma média de 
600
400
 = 
3
2
. 
Logo, 
 
!r
3
2
e
rP
r
32








. Cada termo ou probabilidade poderá ser encontrado diretamente ou 
calculado através do termo anterior. Então: 
 
a) 
 0rP 
 = 
32e
 = 0,51342 ou 51,34% 
 
b) 
 1rP 
 = 
3
2
32e
 = 
3
2  0rP 
 = 0,34228 ou 34,23% 
 
c) 
 2rP 
 = 
!2
e
3
2 32
2







 = 
2
1

3
2  1rP 
 = 0,11409 ou 11,41% 
 
d) 
 3rP 
 = 
!3
e
3
2 32
3







 = 
3
1

3
2
 
 2rP 
 = 0,025354 ou 2,54% 
 
e) 
 4rP 
 = 
!4
e
3
2 32
4







 = 
4
1

3
2
 
 3rP 
 = 0,004226 ou 0,42% 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 30 
Aproximação da a distribuição Binomial pela distribuição Poisson: 
 
 Embora a distribuição de Poisson tenha aplicações principalmente em problemas de espaço e tempo, 
ela também é vista como uma forma limitante da distribuição binomial, isto é, a distribuição de Poisson 
poderia ser usada para aproximar probabilidades binomiais. De fato, isso ocorrerá quando numa binomial 
“n” seja grande (n  ) e “p” próximo de 0 (n  0), mas com o produto np permanecendo constante. Nesse 
caso se pode usar a distribuição de Poisson com média  = np. 
 
 Assim, seja X uma variável aleatória binomial com distribuição de probabilidade b (x; n, p), então, 
quando temos que n → ∞, p → 0 e np 
 
n
  permanece constante, termos que b (x; n, p) 
 
n
 p (x; 
). 
!x
e
)x(f);x(p
x


, x = 0, 1, 2, ..... 
 
 É bom ressaltar que muitas das distribuições discretas e contínuas adquirem cada vez mais a forma 
simétrica a medida que a média vira mais grande. 
 
 
Problema: A probabilidade de que determinado componente eletrônico apresente qualquer tipo de 
defeito quando utilizado em um avião 747 é de 0,15% por viagem. Assumindo-se uma distribuição de 
falhas Poisson, um inspetor de segurança deseja determinar a probabilidade de que em 3.000 viagens 
desse avião, o componente eletrônico venha a falhar em 
a) Mais de 3 vezes. 
b) Exatamente 2 vezes. 
Solução: 
a) Mais de 3 vezes. Sabemos que  = np = 3.000  0,0015 = 4,50. Além disso, 
 xXP 
 = 
!x
ex 
; Logo, teremos: 
 
 3XP 
 = 1 

 
        3XP2XP1XP0XP 
 
 3XP 
 = 1 

5,4e
 
   







!3
5,4
!2
5,4
5,41
32
 = 1 

 0,0111089  30,8125 
 
 3XP 
 = 0,6577 ou 65,77% 
 
b) Exatamente 2 vezes. Com  = 4,5, teremos: 
 
 2XP 
 = 
!x
ex 
 = 
 
!2
e5,4 5,42 
 = 0,112478 ou 11,247% 
 
Problema: Em certas instalações industriais os acidentes ocorrem com muita pouca freqüência. Sabe-se 
que a probabilidade de acontecer um acidente em um dia qualquer é 0,005 e que os acidentes são 
independentes entre eles, 
a) Qual é a probabilidade de que em qualquer período dado de 400 dias haverá um acidente num 
dia qualquer? 
b) Qual é a probabilidade de que nesse período, aconteça 1 acidente em três dias diferentes? 
Solução: 
a) n = 400, p = 0,005   = np = (400) (0,005) = 2 
 1XP 
 = 
!x
ex 
 = 
 
!1
e2 21 
 = 0,271 
b) 
 3XP 
 = 


3
0x
x
!x
e
 = 
        3XP2XP1XP0XP 
 = 0,857 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 31 
INSPEÇÃO DA QUALIDADE 
 
 Este capítulo de “Inspeção da Qualidade” foi tomado da apostila de Controle Estatístico da Qualidade, 
da Universidade Federal de São Carlos, preparada pelos professores José Carlos de Toledo e Dário 
Henrique Alliprandini (2004). 
 
Objetivos da Inspeção da Qualidade 
 
 Determinar se há ou não conformidade de um produto, ou lote, já produzido, em relação às 
especificações de projeto 
 Gerar informações que permitam tomar ações corretivas sobre o lote ou processo 
 
Pontos de Inspeção 
A inspeção pode ocorrer nas seguintes fases da Produção: 
 
a) Inspeção de recebimento 
A extensão da inspeção em produtos (matéria-prima ou produto acabado) recebidos de terceiros 
depende da capacidade do fornecedor, devidamente avaliada previamente e continuamente 
acompanhada. Em um extremo, temos a inspeção utilizando-se o conceito de "auditoria da decisão", 
onde o comprador compara os dados obtidos por sua inspeção com os dados recebidos do 
fornecedor. Quando os dados recebidos do fornecedor forem e continuarem a ser confiáveis, a 
inspeção se transforma em apenas uma identificação do produto recebido. No outro extremo, a 
inspeção de recebimento torna-se um controle da qualidade do fornecedor. 
 
b) Inspeção durante a fabricação 
A inspeção durante a fabricação tem o objetivo de fornecer informações para a tomada de decisão 
sobre o produto, isto é, se o produto está ou não conforme com a especificação e para a tomada de 
decisão sobre o processo, isto é, se o processo deve prosseguir ou parar. A freqüência de inspeção 
pode ser mais facilmente estabelecida se o processo é estável (um processo estável implica que no 
processo só estão atuando fontesde variação usuais). 
 
c) Inspeção de produto acabado 
A inspeção de produtos acabados (também conhecida como inspeção final) pode ser executada 
tanto na linha de produção (nos pontos de inspeção), como em áreas de inspeção separadas. Muitas 
vezes a inspeção é feita em 100% dos produtos acabados, simulando as condições de uso ou 
realizando uma checagem completa no produto (check list) por meio de inspeção sensorial (se 
utilizada a sensibilidade humana como instrumento de medição). 
 
Tipos de Inspeção 
 
a) Inspeção 100% 
A inspeção 100% é conveniente quando a característica é crítica ou a capacidade do processo é 
inerentemente insuficiente (incapaz) para alcançar os requisitos das especificações. É bom lembrar 
que o excesso de inspeção pode ser tão custoso quanto a falta de inspeção. A experiência mostra que 
a inspeção 100% não garante produtos perfeitos, isto é, não há garantias de segregação de todos os 
defeituosos. Vários estudos demonstram que o inspetor encontra aproximadamente 80% dos 
defeitos presentes. 
 
b) Inspeção por amostragem 
Os objetivos principais dessa inspeção são de aceitação de um lote por meio de uma amostra 
representativa que forneça auxílio no controle do processo. A inspeção por amostragem é 
conveniente para reduzir os custos da inspeção, manter a área de produção informada a respeito da 
qualidade dos produtos ao longo do processo e em situações onde o julgamento da conformidade se 
dá através de um ensaio destrutivo. Para que a inspeção por amostragem tenha eficácia, alguns 
cuidados devem ser observados: 
 Procedimentos adequados para seleção da amostra 
 
 Representatividade da amostra (aleatoriedade) 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 32 
c) Inspeção Sensorial 
A qualidade sensorial é aquela para a qual há dificuldade de se ter instrumentos tecnológicos de 
medição, sendo utilizada a sensibilidade humana como instrumento de medição. As características 
normalmente avaliadas por inspeção sensorial são: 
 sabor 
 odor 
 ruído 
 aparência 
 
As formas de padrões para a inspeção sensorial são: 
 amostras para comparação 
 fotografias 
 sons gravados 
 amostras com cheiro ou sabor 
 
A característica visual é uma categoria especial de qualidade sensorial. O resultado de uma 
inspeção visual é bastante influenciado pela iluminação (tipo, cor e intensidade), pelo ângulo de 
visão, pela distância da observação, etc. Devem-se padronizar essas condições‚ para assegurar uma 
maior uniformidade nos resultados. 
 
d) Outros tipos de inspeção de conformidade 
 Inspeção automatizada (inspeção utilizando robôs, software, leitor óptico, etc.) 
 Inspeção auxiliada por computador (isto se aplica especialmente à inspeção de peças de 
maquinas de precisão) 
 Inspeção de preparação antes da produção (em processos estáveis: se a preparação estiver 
correta o lote também deverá estar) 
 Inspeção volante (para processos que não permanecem estáveis durante a produção de um 
lote) 
 
Considerações gerais sobre a inspeção da qualidade 
 
Atividades da Inspeção: 
 
Interpretação da especificação 
Medição da característica de qualidade 
Julgamento da conformidade 
Tratamento dos casos conformes 
Tratamento dos casos não-conformes 
Registros dos dados obtidos 
 
Conhecimentos necessários para a atividade de inspeção: 
 
Que características da qualidade verificar 
Como determinar se um produto está ou não conforme aos padrões requeridos 
Qual o critério de aceitação de lotes de produtos 
O que fazer com os produtos conformes e não-conformes 
O que deve ser registrado 
 
O Perfil desejado de um inspetor deve considerar: 
 
Conhecimentos imprescindíveis 
· Regulamentos e procedimentos da empresa 
· Produtos e processos aplicados 
· Elementos de medição de precisão 
· Matemática aplicada à fabricação 
· Segurança 
· Sistemas de unidades de medida 
· Teoria dos erros de medição 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 33 
Conhecimentos desejáveis: 
· Organização do controle da qualidade e suas funções 
· Conhecimento de física básica 
· Elaboração de relatórios técnicos 
· Controle estatístico da qualidade básico 
 
Habilidades Técnicas: 
· Encontrar defeitos 
· Interpretar especificações 
· Relatar com exatidão 
 
Habilidades Pessoais: 
· Controle emocional 
· Temperamento 
· Aptidão 
· Atenção/ Concentração 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 34 
PLANOS DE AMOSTRAGEM (por atributos) 
 
A inspeção da qualidade faz-se em um produto já existente (já produzido), que pode ser uma matéria 
prima, um produto semi-acabado (em processo) ou um produto acabado, com a finalidade de verificar se a 
qualidade do lote atende os padrões ou especificações de aceitação. Os Planos de Amostragem são aplicados 
na Inspeção de Recebimento, na Inspeção Final (de Produto Acabado) ou na passagem de uma etapa para 
outra de um processo de produção (por ex. na passagem de um produto da seção A para a seção B; da 
produção para a linha de montagem; da produção para uma câmara de resfriamento; da produção para o 
almoxarifado; etc). A inspeção não impede a produção de defeituosos, mas permite separar os lotes bons 
dos defeituosos (lotes com problemas, que não cumprem os requisitos mínimos de qualidade definidos 
entre o cliente e o fornecedor), ou seja, separar os lotes conformes dos não-conformes. A inspeção pode ser: 
 
(1) inspeção para aceitação: neste caso os lotes aprovados serão aceitos, contendo, eventualmente, itens 
defeituosos. 
 
(2) inspeção retificadora: neste caso, além da situação descrita em 1, os lotes rejeitados passam por uma 
inspeção completa, todos os itens defeituosos são substituídos por bons, e aí o lote é aceito. 
 
Níveis de Qualidade, Risco do Produtor e Risco do Consumidor 
 
Define-se P0 como sendo o Nível de Qualidade Aceitável – NQA (em inglês, Acceptable Quality Level 
– AQL) e P1 como o Nível de Qualidade Inaceitável – NQI (em inglês, Lot Tolerance Percent Defective - 
LTPD). P0 e P1 se referem a porcentagens de defeituosos do lote. Um plano de amostragem consiste na 
definição de um tamanho de amostra e de um critério de decisão para aceitar (ou não) um lote: 
 
“n” é o tamanho da amostra, 
“d” é a quantidade de defeituosos na amostra, e, 
“c” é a quantidade máxima de defeituosos aceitável na amostra para se poder aprovar o lote. 
 
Como se trabalha com amostras, existe o risco de se tirar conclusões erradas sobre o lote. O exemplo a 
seguir mostra isso. 
 
Exemplo: níveis de qualidade, risco do produtor e risco do consumidor 
Imagine um lote N=100, o qual contem (sem se saber) 5 itens defeituosos e 95 bons. Suponha que o 
Plano de Amostragem seja: n = 5 e c = 1, para P0 (NQA) = 6% (isso implica que se aceitam até 6%(100) = 6 
itens defeituosos no lote). Se soubéssemos esses valores, o lote poderia ser considerado bom, atendendo o 
que foi especificado. Entretanto, neste caso existe o risco da amostra com n = 5 conter, por exemplo, 
exatamente os 5 itens defeituosos e portanto de se rejeitar o lote sendo que ele é bom, pois tem 5% de 
defeituosos e o NQA é de 6% (se aceitam até 6 defeituosos no lote). 
Imagine agora um lote N=100, o qual contém: 95 itens defeituosos e 5 bons. Suponha o mesmo plano 
de amostragem anterior. Neste caso existe o risco da amostra conter exatamente os 5 itens bons e portanto 
de se aceitar um lote ruim. O produtor deseja uma proteção contra a rejeição de lotes bons e o consumidor 
(cliente) deseja proteção contra a aceitação de lotes de má qualidade. Para tanto se distingue 2 tipos de 
riscos: 
 
Risco do produtor (): é a probabilidade de que um lote de boa qualidade (P < P0) seja rejeitado. 
 
Risco do consumidor (): é a probabilidade de que um lote de má qualidade (P > P1) seja aceito. 
 
Observação:P = porcentagem de defeituosos na amostra. 
 
 
Tipos de Planos de Amostragem 
 
Existem 3 tipos de planos de amostragem, conforme a quantidade de amostras que se toma: Simples, 
Duplo e Múltiplo. A continuação se explicaram os dois primeiros tipos de planos de amostragem. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 35 
PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES (para atributos) 
 De forma simples o plano de amostragem simples consiste do seguinte: A quantidade de unidades de 
produto inspecionada deve ser igual ao tamanho da amostra dada pelo plano. Se o número de unidades 
defeituosas encontradas na amostra for igual ou menor do que o número de Aceitação (c), o lote deverá ser 
considerado aceito. Se o n° de unidades defeituosas for maior do que “c” o lote deve ser rejeitado. Assim: 
 
d = número de unidades defeituosas na amostra 
c = número de aceitação 
 
Se na amostra d  c, então aceitar o lote 
Se na amostra d > c, então rejeitar o lote 
 
Agora, suponha que se vai a fazer a inspeção de um lote de tamanho N. O plano de amostragem 
simples está definido pelo tamanho de amostra “n” e pelo número de aceitação “c”. Assim, se o tamanho do 
lote é N = 10.000, n = 89 e c = 2; significa que se vai a inspecionar uma amostra aleatória de n = 89 unidades 
do lote de tamanho N = 10.000 e que se o número de itens defeituosos observados “d” é menor igual que c = 
2, o lote será aceito. Se o número de itens defeituosos “d” é maior que 2, o lote será rejeitado. 
 Note que se pode inspecionar um ou mais atributos na mesma amostra. Em geral se diz que uma 
unidade que é desconforme em relação às especificações, em um ou mais atributos, é uma unidade 
defeituosa. O plano de amostragem simples deriva seu nome do fato de que se analisa somente a 
informação de uma única amostra, informação com a qual se faz a tomada de decisão de aceitar ou rejeitar o 
lote (Montgomery, 2004). Considerando a seguinte notação: 
 
N = número de itens de um lote 
n = número de itens da amostra (n < N) 
M = número de itens defeituosos no lote 
 = risco do consumidor (probabilidade de um lote ruim ser aceito) 
 = risco do produtor (probabilidade de um lote bom ser rejeitado) 
c = número de aceitação do lote 
d = número de itens defeituosos na amostra 
p = proporção de itens defeituosos no lote (p = M/N) 
p0 = É uma proporção que define o Nível de qualidade aceitável (NQA) 
p1 = É uma proporção que define o Nível de qualidade inaceitável (NQI) 
 (em inglês lot tolerance percent defective – LTPD) 
 
 Segundo Nahmias (2007), o objetivo de todos os procedimentos de amostragem consiste de estimar as 
propriedades de uma população a partir das propriedades da amostra. Em especial se deseja testar as 
seguintes hipóteses: 
H0: O lote tem uma qualidade aceitável (p  p0) 
H1: O lote tem uma qualidade inaceitável (p  p1) 
 
 O teste seria da forma: Rejeite H0 se d > c. 
 
O valor de “c” depende da seleção de , a probabilidade do erro tipo I. A probabilidade do erro tipo I é 
a probabilidade de rejeitar H0, quando H0 é verdadeiro. No contexto do controle da qualidade, é a 
probabilidade de rejeitar o lote quando ele é aceitável. Isso se conhece também como risco do produtor. Em 
forma de equação seria: 
 
 = P [ Rejeitar H0| H0 é verdadeira ] = P [ Rejeitar o lote| O lote é bom ] = P [ d > c|p = p0 ] 
 
A distribuição exata de “d” é a distribuição hipergeométrica, com parâmetros n, N e M. Isto é: 
 
!)nN(!n
!N
n
N
onde),n,M(mínm0para
n
N
mn
MN
m
M
)md(P




























 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 36 
 Na maioria de aplicações, N é muito maior que “n”, de forma que é satisfatória a aproximação da 
distribuição hipergeométrica pela distribuição binomial. Nesse caso teríamos: 
 
nm0para)p1(p
m
n
)md(P mnm 





 
 
onde: 
 p = M/N é a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote. 
 
Usando a aproximação binomial, o risco do produtor e o risco do consumidor são dados por: 
 
mn
0
m
0
n
1cm
0 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
 
 
mn
1
m
1
d
0m
1 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
 
 
 A maioria dos testes estatísticos requerem a especificação de  (probabilidade do erro tipo 1). Os 
valores de , n e p0 determinarão um valor único de “c”, que pode ser obtido nas tabelas da distribuição 
binomial acumulada. Porém, como a distribuição binomial é uma distribuição discreta, tal vez não seja 
possível encontrar um valor de “c” que coincida exatamente com o valor desejado de  (lembre que “c” 
deve ser inteiro). Se “p” é pequeno e “n” é moderadamente grande (n > 25 e np < 5), a distribuição de 
Poisson proporciona uma distribuição adequada da binomial. Para valores muito grandes de “n” tal que 
np(1 – p) > 5, a distribuição normal fornece uma distribuição adequada da binomial (Nahmias, 2007). 
 
Exemplo (Nahmias, 2007, p. 647): A Spire Records é uma cadeia de lojas que se especializa na venda de 
DVD’s. Um dos fornecedores da Spire Records é a B&G Records que envia DVD’s à Spire em lotes de 100 
DVD’s. Depois de uma negociação, a Spire e a B&G acordaram que uma taxa de 10% de itens defeituosos é 
aceitável, e uma taxa de 30% é inaceitável. De cada lote de 100 discos, a Spire há estabelecido o seguinte 
plano de amostragem: se coleta uma amostra de 10 discos e se tiver mais de 2 DVD’s defeituosos se rejeita o 
lote. Calcule o risco do consumidor e do produtor associado com esse plano de amostragem. 
Solução: 
Dos dados temos que p0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n = 10; c = 2 
Sabe-se que: 
mn
0
m
0
n
1cm
0 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
, ou seja: 
 
]1,0p|2d[P1)1,0p|2d(P 
 
 
%02,70702,09298,01)9,0(1,0
k
10
1 k10k
2
0k






 


 
 
Sabe-se que 
mn
1
m
1
d
0m
1 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
, ou seja: 
 
%28,383828,0)7,0(3,0
k
10
)3,0p|2d(P k10k
2
0k






 


 
 
O valor  = 0,3828 implica que a Spire está passando quase 40% dos lotes que contem 30% de itens defeituosos. 
Além disso, não se descarta a probabilidade de aceitar lotes com proporções de itens defeituosos tão altos como 
40% e ainda 50%. O valor  = 0,0702 implica que a Spire está rejeitando quase 7% dos lotes que tem até 10% de 
defeituosos. 
 
Observe que os valores dos parâmetros n = 10; p0 = 0,1 e n = 10, p1 = 0,3 implicam que nem a 
distribuição normal nem a aproximação de Poisson são exatas (verifique o dito aqui para a distribuição 
de Poisson com  = np, que fornece os valores aproximados de  = 0,0803 e  = 0,4216). 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 37 
Problema: Se extraem amostras de tamanho 20 de lotes de 100 itens. Os lotes se rejeitam se o número de itens 
defeituosos na amostra passa de 2. Se a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é 5%, determine a 
probabilidade de aceitar um lote usando: 
a) A distribuição Hipergeométrica exata 
b) A aproximação pela Binomial 
c) A aproximação de Poisson (Sugestão: calcule a média  = np) 
d) A aproximação da Normal (Sugestão: calcule a média µ = np) 
 
Problema: Um produtor de calculadoras compra chips em lotes de 1.000 unidades. Ele gostaria de ter uma 
taxa de itens defeituosos de 1%, mas geralmente não vai rejeitar um lote a menos que tenha 4% ou mais de 
itens defeituosos. Extraem-se amostras de tamanho 50 de cada lote, e o lote se rejeita quando se encontram 
mais de 2 itens defeituosos. 
a) Calcule p0, p1, “n” e “c”. 
b) Calcule e . Use a aproximação de Poisson nos seus cálculos. 
c) Calcule  e . Use a aproximação de Binomial nos seus cálculos. 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 38 
CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO (Nahmias, 2007): 
 
A Curva Característica de Operação (CCO) mede a efetividade de um teste para separar lotes de 
qualidade variável. A curva CCO é uma função de “p”, a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote, 
e está dada por: 
 
CCO(p) = p [ Aceitar o lote|Proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é igual a p ] 
 
Agora determinaremos a forma da curva CCO para o caso particular de um plano de amostragem 
simples com uma amostra de tamanho “n” e um nível de aceitação igual a “c”. Nesse caso: 
 
CCO(p) = p [ d  c|Proporção de itens defeituosos no lote é “p” ] 
 
 
knk
c
0k
)p1(p
k
n
)p(CCO 







 
 
 
Um bom plano de amostragem é aquele que tem um grande poder de discriminação (ou seja, uma boa 
capacidade de discriminar/separar os lotes bons dos defeituosos), o que é dado pela inclinação da curva 
CCO. A Figura mostrada abaixo seria a CCO ideal: 
 
 
 
Define-se a Função Característica de Operação como sendo: L(p) = F(), onde L(p) é a probabilidade de 
aceitação de um lote em função de “p”, ou seja, em função da proporção defeituosa do lote. 
 
A CCO é o gráfico da função L(p), mostrado na figura abaixo, para um dado plano: n e . 
 
nptodopara)d0(P)p(L 
 
 
 
 
A CCO deverá passar por dois pontos: (P0, L(P0)) e (P1, L(P1)), sendo L(P0) = (1 – ) e L(P1) =  
 
Tendo-se fixado previamente esses 4 valores (P0, P1, L(P0), L(P1)), determina-se o Plano de Amostragem 
(n e ), por meio das equações: 
 
1
p
L(p)
10p
Proporção de itens defeituosos no lote
Pr
ob
ab
ili
da
de
 d
e a
ce
ita
r o
 lo
te
1
p
L(p)
produtordorisco
consumidordorisco
1
)p(L 1
)p(L 0
1p0p
Proporção de itens defeituosos no lote
Pr
ob
ab
ili
da
de
 de
 ac
eit
ar 
o l
ote
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 39 
dn
0
d
0
c
0d
0 )p1(pd
n
1)P(L 







 
 
 
dn
1
d
1
c
0d
1 )p1(pd
n
)P(L 







 
 
 
Entretanto, procedendo-se assim, não se tem controle sobre o tamanho da amostra e pode-se chegar a 
um tamanho que não seja conveniente ou aceito pela empresa. Para tanto já existem planos de amostragem 
tabelados que fixam previamente os valores de “n” e “”, considerados convenientes, e fixa-se apenas um 
ponto da CCO, perdendo-se o controle do outro ponto. Assim, neste caso, se fixa (P0, 1-), perde-se o 
controle sobre o ponto (P1, ). 
 
Problema (Nahmias, 2007, p. 648): Considere o problema da Spire Records cujos dados eram p0 = 0,1; p1 = 0,3; 
N = 100; n = 10; c = 2. A curva CCO para seu plano de amostragem simples está dada por: 
 
k10k
2
0k
)p1(p
k
10
)p(CCO 








 
 
Encontrando pontos da curva CCO, para n = 10 e c = 2, para diferentes valores de “p”, incluindo p0 = 
0,1 e p1 = 0,3: 
 
Proporção de itens defeituosos no lote (p) 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 
Probabilidade de aceitação (pa) 0,9278 0,8202 0,6778 0,3828 0,1673 0,0547 
 
O esboço da gráfica da curva CCO da empresa Spire mostra-se abaixo. Uma análise da figura indica que 
esse plano de amostragem tem mais vantagens para o fornecedor B&G do que para a Spire. O valor  = 0,3828 implica 
que a Spire está passando quase 40% dos lotes que contem 30% de itens defeituosos. Além disso, não se descarta a 
probabilidade de aceitar lotes com proporções de itens defeituosos tão altos como 40% e ainda 50%. Isso concorda 
com o fato de que a Spire parecia ter muitas devoluções dos clientes de DVDs da marca B&G. 
 
 
 
João, um empregado da Spire, inscrito na faculdade local, foi requerido para analisar o problema dos 
DVDs da B&G. Ele descobriu a causa do problema analisando a curva CCO mostrada acima. Para diminuir 
a probabilidade de que a Spire receba lotes ruins da B&G, sugeriu que se modificara o plano de amostragem 
fazendo d = 0. Nesse caso o risco do consumidor é: 
 
%3028,0)3,01()3,0(
0
10
]3,0p|0d[p 0100 





 
 
1
p
L(p)
10,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
(0,3; 0,3828)
(0,1; 0,9278)
Proporção de itens defeituosos no lote
Pr
ob
ab
il
id
ad
e 
de
 a
ce
it
ar
 o
 lo
te
9278,01 
3828,0
)qualidadedeaceitávelNívelAQL(1,0p0 
)linaceitávequalidadedeNívelNQI(3,0p1 
2c;10n;100N 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 40 
aproximadamente 3%. Isso parecia ter um nível aceitável de risco (para o consumidor), e por esse motivo a 
Spire implantou essa política. Infelizmente, a proporção de grupos rejeitados aumentou dramaticamente. O 
valor resultante do risco do produtor () é: 
 
%656513,0)9,0()1,0(
0
10
1]1,0p|0d[p1]1,0p|0d[p 100 






 
 
Isso implica que a Spire está rejeitando aproximadamente 65% de grupos bons. A B&G ameaçou com deixar de 
entregar lotes à Spire se esta não voltasse ao plano de amostragem anterior. 
 
 A gerência da Spire não sabia o que fazer. Se voltasse ao plano original (p0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n = 
10; c = 2) corria o risco de perder clientes que iriam a outra loja que venda DVDs com mais qualidade. Se 
continuasse com o novo plano (p0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n = 10; c = 0) se arriscava a perder a B&G como 
fornecedor. Felizmente João, quem havia estado estudando o problema, propôs uma solução. Se aumentasse 
o tamanho da amostra, a potência do teste (1 - ) poderia melhorar. Dessa forma poderia se projetar um 
plano de amostragem que tivesse níveis aceitáveis tanto para o risco do consumidor () como para o risco 
do produtor (). Já que a B&G insistia em ter uma probabilidade de 10% de rejeitar os lotes bons, a Spire 
também queria ter no máximo uma probabilidade de 10% de aceitar os lotes ruins. 
 Depois de alguns testes, João encontrou que o tamanho de amostra n = 25 com um nível de aceitação c 
= 4 parecia cumprir com os requerimentos tanto da Spire quanto da B&G. Os valores de  e  para esse 
plano são: 
0980,0]25n;1,0p|4d[p 
 
 
0905,0]25n;3,0p|4d[p 
 
 
Encontrando pontos da curva CCO, para n = 25 e c = 4, para diferentes valores de “p”, incluindo p0 = 
0,1 e p1 = 0,3: 
 
Proporção de itens defeituosos no lote (p) 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 
Probabilidade de aceitação (pa) 0,0980 0,6821 0,4207 0,0905 0,0095 0,0005 
 
Com certeza que a eficiência melhorada desse plano não é de graça. O tempo do empregado requerido 
para inspecionar os DVDs da B&G aumentou duas vezes e meia (de 10 para 25). A B&G e a Spire 
concordaram em compartir o custo adicional da inspeção. A curva CCO do novo plano com n = 25 e c = 4 é: 
 
 
 
 Note que essa gráfica se aproxima muito mais à curva CCO ideal que a CCO original (n = 10 e c = 2). 
 
1
p
L(p)
10,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
(0,3; 0,0905)
(0,1; 0,9020)
Proporção de itens defeituosos num lote
P
ro
b
ab
il
id
ad
e 
d
e 
ac
ei
ta
r 
u
m
 lo
te
9020,01 
0905,0
)qualidadedeaceitávelNívelAQL(1,0p0 
)linaceitávequalidadedeNívelNQI(3,0p1 
4c;25n;100N 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 41 
FORMAS DE CALCULAR “n” E “c” PARA VALORES ESPECÍFICOS DE p0, , p1 E  
 
a) Mediante o uso de nomogramas. Ver o nomograma para determinar “n” e “c” no anexo de tabelas. 
 
O procedimento é muitosimples. Desenhar duas retas: uma que conecte p0 e (1 - ) e outra que conecte 
p1 e . A interseção das duas retas indicará a região do nomograma que define os valores de “n” e “c”. 
Note que o lado direito do nomograma é onde se localizam os valores de (1 - ) e , já o lado esquerdo é 
onde se localizam os valores de p0 e p1. 
 
Exemplo (Peter, 1990, p. 184): Suponha que um engenheiro deseja desenhar um plano de 
amostragem com  = 5% quando p = 0,02 e  = 10% quando p = 0,07. 
Solução: 
Segundo o nomograma n = 140 e c = 5. É bom conferir as probabilidades obtidas com n = 140 e c = 
5 para estar mais seguros de obter valores de  e  próximos dos desejados. 
Usando a binomial: 
0632,0]140n;02,0p|5d[p1]140n;02,0p|5d[p 
 
Usando a binomial: 
0680,0]140n;07,0p|5d[p 
 
 
b) Mediante o uso de tabelas. Ver tabela de fatores para determinar “n” e “c” no anexo de tabelas. 
 
Exemplo (Devore, 2008, p. 657): Determine “n” e “c” para um plano de amostragem com NQA = 0,01 
e NQI = 0,045. 
Solução: 
Considerando p0 = NQA = 0,01 e p1 = NQI = 0,045 
Então p1/p0 = 0,045/0,01 = 4,50 
Procurando na tabela de fatores, p1/p0 = 4,5 fica entre c = 3 e c = 4. 
 
Considerando usar c = 3 temos (o valor np0 e np1 são da tabela): 
n = np0/p0 = 1,366/0,01 = 136,6  137 
n = np1/p1 = 6,68/0,045 = 148,4  149 
De preferência usar n = 137 (o menor) por comodidade na amostragem 
Usando a binomial: 
05,0]137n;01,0p|3d[p1]137n;01,0p|3d[p 
 
Usando a binomial: 
131,0]137n;045,0p|3d[p 
 
 
Considerando usar c = 4 temos (o valor np0 e np1 são da tabela): 
n = np0/p0 = 1,97/0,01 = 197 
n = np1/p1 = 7,99/0,045 = 177,5  178 
De preferência usar n = 178 (o menor) por comodidade na amostragem 
Usando a binomial: 
034,0]178n;01,0p|4d[p1]178n;01,0p|4d[p 
 
Usando a binomial: 
094,0]178n;045,0p|4d[p 
 
 
Note que para um tamanho maior de amostra (178 > 137) tanto  e  diminuem como esperado. A 
escolha do plano n = 137 e c = 3 ou do plano n = 178 e c = 4 dependerá do gerente decisor. 
 
c) Cálculo de “n” e “c” mediante o método estatístico (Peter, 1990, p. 184): 
 
Por estatística nós sabemos que conhecendo  e , pode-se encontrar o tamanho da amostra 
mediante a distribuição normal. Na aproximação da binomial mediante a normal teríamos: 
 
qpn
pnX
Z0


 
 
Se p = p0 temos: 
000 qpnzpnc 
 
 
Se p = p1 temos: 
111 qpnzcpn 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 42 
Consequentemente: 
01
1100
pp
qpzqpz
n




 e “c” pode ser calculado depois de obter o 
valor de “n” 
 
Exemplo (Peter, 1990, p. 184): Suponha que um engenheiro deseja desenhar um plano de 
amostragem com  = 5% quando p = 0,02 e  = 10% quando p = 0,07. 
Solução: 
14,11
02,007,0
)93,0()07,0(28,1)98,0()02,0(64,1
pp
qpzqpz
n
01
1100








 
 
Então: n = (11,14)2  124 
Assim, substituindo n = 124 em 
000 qpnzpnc 
, ou em 
111 qpnzcpn 
, deve dar 
um valor de “c” similar, nesse caso, n  5. 
Para esses valores 
0390,0]124n;02,0p|5d[p1]124n;02,0p|5d[p 
 
Para esses valores 
1274,0]124n;07,0p|5d[p 
 
 
Curvas CCO tipo A e tipo B: 
 As curvas CCO que se construíram no exemplo anterior se denominam curvas CCO tipo B. Naquela 
construção se supõe que as amostras vinham de um lote grande ou que a amostragem se estava fazendo de 
um fluxo de lotes de um processo selecionado aleatoriamente. Nessa situação, a distribuição binomial é a 
distribuição de probabilidade exata para calcular a probabilidade de aceitar o lote. Esse tipo de curva CCO 
se conhece como curva CCO tipo B. 
 A curva CCO tipo A se usa para calcular probabilidades de aceitação de um lote isolado, de tamanho 
finito. Supor que o tamanho do lote é N, que o tamanho da amostra é “n” e que o número de aceitação é “c”. 
A distribuição de amostragem exata do número de itens defeituoso na amostra é a distribuição 
hipergeométrica. 
 É interessante ressaltar o fato que se o tamanho do lote é pelo menos 10 vezes o tamanho da amostra 
(n/N  0,10), as curvas CCO tipo A e tipo B são praticamente indistinguíveis. 
 A curva CCO tipo A sempre se localizará abaixo da curva tipo B. Isso significa que toda vez que se 
aproxima uma curva tipo A com uma tipo B, as probabilidades de aceitação calculadas para a curva tipo B 
sempre serão maiores do que as obtidas com uma curva tipo A. Porém, essa diferença só é significativa 
quando o tamanho do lote é relativamente pequeno em comparação com o tamanho da amostra. Nesta 
apostila serão consideradas curvas CCO do tipo B, a menos que se indique o contrário. 
 
Critérios para a construção de CCO’s: 
 
 
 
Observação: Embora esses critérios sejam de uso comum, não significa que deve ser seguido a risca. 
p = n/N
p > 0,10
Sim
Hipergeométrica
Não
k = c/n
k > 0,10
Sim
Binomial
Não
Poisson
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 43 
Problema: Esboce a curva CCO tipo B (no mínimo 5 pontos, para 0 < p < 0,20) para o plano de amostragem 
simples com n = 50 e c = 1. 
 
Problema: Esboce a curva CCO tipo B (no mínimo 5 pontos, para 0 < p < 0,12) para o plano de amostragem 
simples com n = 100 e c = 2. 
 
Problema: Suponha que um produto se despacha em lotes de N = 5.000. O procedimento de inspeção na 
recepção usado é um plano de amostragem simples com n = 50 e c = 1. 
a) Esboce a curva CCO tipo A para o plano. 
b) Esboce a curva CCO tipo B para o plano e compare com o esboço encontrado em “a”. 
c) Qual das curvas CCO é a adequada para essa situação? 
 
Problema: Encontre um plano de amostragem simples para p0 = 0,01;  = 0,05; p1 = 0,10 e  = 0,10: 
a) Usando o nomograma (Rta: n = 45; c = 1) 
b) A tabela para determinar “n” e “c” 
c) O método estatístico (Rta: n = 37; c = 1) 
 
Problema: Uma empresa utiliza o seguinte procedimento de amostragem de aceitação: se toma uma amostra 
igual a 10% do lote e se 2% ou menos dos itens da amostra são defeituosos, o lote é aceito; caso contrário é 
rejeitado. 
a) Se os tamanhos dos lotes considerados variam entre 5.000 e 10.000 unidades, o que se pode dizer em 
relação à proteção de esse plano? 
b) Se 0,05 é o NQI desejada, esse plano oferece uma proteção razoável ao consumidor? 
 
 
 
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AMOSTRAGEM DUPLA (para atributos) 
 
Cinco números definem um plano de amostragem duplo: n1, n2, c1, c2 e c3. O plano deve ser 
implementado da seguinte forma: Se extrai uma amostra inicial de tamanho n1 e se determina o número de 
itens defeituosos na amostra. Se o número de itens defeituosos na amostra é menor igual a c1, se aceita o 
lote. Se o número de itens defeituosos na amostra é maior que c2 se rejeita o lote. Porém, se o número de 
itens defeituosos é maior que c1 mas menor igual que c2, se extrai outra amostra de tamanho n2. Se o número 
de itens defeituosos nas amostras combinadas (d1 + d2) é menor igual que c3, se aceita o lote. Caso contrário 
se rejeita o lote. A maioria dos planos de amostragem duplos supõem c3 = c2. Em geral, consideramos essa 
hipótese a partir deste momento. 
 
Assim: 
d1 = número de unidades defeituosas na primeira amostra 
d2 = número de unidades defeituosas na segunda amostra 
c1 = primeiro número de aceitação 
c2 = segundo número de aceitação 
c3 = número de rejeição para a segunda amostra 
 
Considerando a primeira amostra: 
Se na primeira amostra d1  c1, então aceitar o lote 
Se na primeira amostra d1 > c2, então rejeitar o lote 
Se na primeira amostra c1 < d1  c2, tirar uma segunda amostra de tamanho dado pelo plano 
 
Para a segunda amostra somar (d1 + d2): 
Se na segunda amostra (d1 + d2)  c2, então aceitar o lote 
Se na segundaamostra (d1 + d2) > c3, então rejeitar o lote (em geral c3 = c2) 
 
Um plano de amostragem duplo é com certeza mais difícil de construir e mais difícil de implantar do 
que um plano de amostragem simples. Porém, o plano de amostragem duplo apresenta algumas vantagens 
sobre o plano de amostragem simples. As duas vantagens principais seriam: 
 
a) Um plano de amostragem duplo pode fornecer níveis similares aos riscos do produtor e do 
consumidor, com menos amostragem no longo prazo. 
 
b) Existe a vantagem psicológica de que os planos de amostragem duplos dão uma segunda 
oportunidade ao lote antes de rejeitá-lo. 
 
Exemplo (Nahmias, 2007, p. 651): Considere o exemplo anterior da Spire Records. João decide experimentar 
com alguns planos de amostragem duplos para tentar atingir níveis similares de eficiência com menos 
amostragem. Infelizmente, como o plano dependerá de 4 números diferentes, vai precisar de consideráveis 
tentativas e erros. Consideremos o cálculo dos riscos do consumidor e do produtor para o seguinte plano de 
amostragem duplo: 
 
 n1 = 20; n2 = 10; c1 = 3; c2 = 5; p0 = 0,1; p1 = 0,3 
 
Definindo: 
 X = número de itens defeituosos observados na primeira amostra 
 Y = número de itens defeituosos observados na segunda amostra 
 Z = número de itens defeituosos observados nas duas amostras (Z = X + Y) 
 
Solução: 
 
A curva CCO estará definida por: CCO(p) = p [ Aceitar o lote|p ] 
 
CCO(p) = p [ Aceitar o lote na 1° amostra|p ] + p [ Aceitar o lote na 2° amostra|p ], 
 
onde: 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 45 
p [ Aceitar o lote na 1° amostra|p ] = p [ X  3|p ] 
p [ Aceitar o lote na 2° amostra|p ] = p [ Nem aceitar nem rejeitar o lote na 1° amostra, e aceitar o lote 
 na 2° amostra|p ] 
 
 = p [ 3 < X  5, Z  5|p ] 
 
Observação: O cálculo de p [ Aceitar o lote na 2° amostra|p ], é o cálculo de uma probabilidade 
conjunta, e deve se fazer de forma cuidadosa, considerando X e Y como va independentes. 
 
Dos dados, temos que p0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n1 = 20; n2 = 10; c1 = 3; c2 = 5 
 
p [ Aceitar o lote na 1° amostra|p = 0,1] = p [ X  3|p = 0,1; n = 20 ] = 
k20k
3
0k
)9,0()1,0(
k
20









 = 0,8670 
 
p [ Aceitar o lote na 2° amostra|p = 0,1 ] = p [ X = 4|p = 0,1; n = 20 ]  p [ Y  1|p = 0,1; n = 10 ] + 
 p [ X = 5|p = 0,1; n = 20 ]  p [ Y  0|p = 0,1; n = 10 ] 
 
 = 

































 91100164 )9,0()1,0(
1
10
)9,0()1,0(
0
10
)9,0()1,0(
4
20
+ 
 



























 100155 )9,0()1,0(
0
10
)9,0()1,0(
5
20
 
 
 = (0,0898) (0,7361) + (0,0319) (0,3487) = 0,0772 
 
Portanto, p [ Aceitar o lote|p = 0,1 ] = 0,8670 + 0,0772 = 0,9442 
 
Repetindo os cálculos para p = 0,3 resulta: 
 
p [ Aceitar o lote|p = 0,3 ] = p [ X  3|p = 0,3; n=20 ] + p [ X=4|p=0,3; n=20 ]  p [ Y1|p =0,3; n=10 ] + 
 p [ X = 5|p = 0,3; n = 20 ]  p [ Y  0|p = 0,3; n = 10 ] 
 
 = 0,1071 + (0,1304) (0,1493) + (0,1789) (0,0282) = 0,1316 
 
Consequentemente temos que: 
 
1 –  = 0,9442   = 0,0558  = 0,1316 
 
Experimentando com outros valores de n1, n2, c1, e c2 pode-se chegar a planos de amostragem duplos 
que concordem ainda mais com os valores desejados de  e . 
 
Problema: Esboce a curva CCO para o plano de amostragem duplo com n1 = 20; n2 = 10; c1 = 3; c2 = c3 = 5. 
Avalie a curva para p = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 e 1. 
 
Problema: Considere o plano de amostragem duplo da Spire Records. 
a) Suponha que a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é 10%. Em média, quantos itens 
terão que passar por a amostragem antes que o lote seja aceito ou rejeitado? 
b) Suponha que a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é 30%. Em média, quantos itens 
terão que passar por a amostragem antes que o lote seja aceito ou rejeitado? 
c) Qual é a probabilidade que se rejeite um lote na primeira amostra, para p = 0,1. 
 
 
PLANO DE AMOSTRAGEM MÚLTIPLA 
 
Proceder conforme o plano de amostragem dupla, observando-se, porém, que o número de amostras 
sucessivas para decisão, deve ser maior do que dois. À medida que se passa do plano simples em direção ao 
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múltiplo, diminui-se, ao longo do tempo, a quantidade média de itens amostrados (e, portanto o custo de 
inspeção), entretanto, aumenta-se a complexidade no uso do respectivo plano. 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 47 
REGRAS PARA O USO DOS PLANOS DE AMOSTRAGEM 
 
O que diferencia esses tipos de inspeção é o tamanho da amostra e a rigidez do plano. Existem 
condições pré-estabelecidas para se mudar de um tipo de inspeção para outro, sendo que a inspeção comum 
geralmente é empregada no início do fornecimento. Uma regra para uso é a sistemática de comutação entre 
as categorias, descrita a seguir. 
 
Comum para severa 
Quando a inspeção comum estiver sendo aplicada, será necessário passar para inspeção severa, se, dentre 5 
(cinco) lotes consecutivos, 2 (dois) tiverem sido rejeitados na inspeção original. 
 
Severa para comum 
Quando estiver sendo aplicada a inspeção severa, a normal deve substituí-la, se 5 (cinco) lotes consecutivos 
tiverem sido aprovados na inspeção original. 
 
Comum para atenuada 
Estando em aplicação a inspeção comum, a inspeção atenuada deve ser usada desde que sejam satisfeitas as 
seguintes condições: 
 
 que os dez lotes precedentes (ou mais), tenham sido submetidos à inspeção comum e nenhuma 
sido rejeitado. 
 quando o número total de unidades defeituosas encontrado nas amostras dos dez ou mais lotes 
precedentes, submetidos a inspeção comum e não rejeitados for igual ou menor do que o numero 
limite dado na tabela de valores limites para introdução de inspeção atenuada. 
 quando a produção se desenvolve com regularidade. 
 se a inspeção atenuada for considerada apropriada pelo responsável. 
 
Se amostragens duplas ou múltiplas estão sendo aplicadas, deve ser computado o número total de 
unidades defeituosas encontrado em todas as amostras, para efeito de comparação com os números 
previstos na tabela acima mencionada. 
 
Atenuada para comum 
Estando em aplicação a inspeção atenuada, deve-se passar para a normal se qualquer uma das condições 
abaixo descritas ocorrer: 
 
 um lote rejeitado 
 um lote for aprovado, segundo critério estabelecido na seguinte observação: pode ocorrer na inspeção 
em regime atenuado que a seqüência de amostragem termine sem que tenha sido definido o critério de aceitação 
ou rejeição do lote. Considera-se, nestes casos, o lote “aceito” implantando-se, porém, Regime de Inspeção 
Normal no lote subseqüente. 
 a produção torna-se irregular. 
 a ocorrência de condições adversas que justifiquem a mudança para a inspeção normal. 
 
 
Também são previstos 3 níveis de inspeção para uso geral: 
 
Nível I: usado quando Planos de Amostragem com menor discriminação podem ser utilizados (“planos com 
menor poder de discriminar um lote bom de um ruim”) 
 
Nível II: usado no início de um fornecimento de lotes. 
 
Nível III: usadoquando são necessários planos com maior poder de discriminação. 
 
São previstos 4 outros níveis especiais para os casos em que amostras relativamente pequenas forem 
necessárias (ensaios destrutivos, caros, etc) e ou riscos grandes podem ser tolerados. Esses níveis são: S1, S2, 
S3, S4. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 48 
Observações Gerais: Na prática, nas empresas, utilizam-se principalmente planos de amostragem 
simples classificados pelo NQA. É comum o uso de programas chamados skeep lot, por meio dos quais 
as empresas acompanham o desempenho, lote a lote, dos fornecedores e vão, de forma dinâmica, 
ajustando o plano conforme muda o desempenho. Nesse programa é previsto, por exemplo, que em 
função de um bom desempenho, e consistente, o fornecedor seja considerado como de qualidade 
assegurada. Isso traz ao fornecedor uma série de vantagens, como por exemplo, ser fornecedor 
preferencial de clientes. 
 
Classificação dos Planos de Amostragem 
 
Os planos de amostragem podem ser agrupados em duas categorias, segundo o tipo de proteção que 
oferecem: 
 
a) Planos que especificam os riscos do produtor e do consumidor (2 pontos da CCO). Estes planos 
podem ser obtidos por meio do conjunto de equações mencionado anteriormente. 
 
b) Planos que especificam um ponto da CCO e impõem uma ou mais condições independentes. 
 
O ponto da CCO poderá ser: 
 
 NQA (ou: P0, L(P0)) 
 NQI ou FDT-Fração Defeituosa Tolerável (ou: P1, L(P1)) 
 Ponto de Controle (P; 0,50), ou ponto de qualidade indiferente 
 QMRL (Qualidade Média Resultante Limite) 
 
As condições independentes da CCO impostas ao plano de amostragem referem-se em geral à 
quantidade mínima de inspeção (“n” mínimo) ou à substituição dos defeituosos encontrados. Em ambos os 
casos são motivos de ordem econômica que impõem a adoção de planos com quantidade mínima de 
inspeção ou com inspeção retificadora. Nesta segunda categoria os planos têm sido classificados em 4 tipos: 
 
Planos classificados pelo NQA 
O NQA deve ser entendido como a máxima porcentagem de defeituosos que para fins de inspeção por 
amostragem, possa ser considerada satisfatória como média de um processo fornecendo diversos lotes ao 
longo do tempo. Supõe-se que as unidades do produto são produzidas em lotes que se repetem no tempo e 
a proteção oferecida pelo NQA se refere à qualidade média dos lotes inspecionados. 
 
Planos classificados pelo NQI ou FDT 
A FDT (fração defeituosa tolerável) deve ser entendida como a pior qualidade que pode ser tolerada 
em um único lote (ou lote isolado). Assim, o plano oferece proteção para lotes isolados, de qualidade não 
inferior ao FDT. 
 
Planos classificados pelo Ponto de Controle (P; 0,50) 
O P = 0,50 deve ser entendido como a fração de defeituosos para a qual os riscos do produtor e do 
consumidor são iguais, portanto é a fração defeituosa para a qual a probabilidade de aceitação do lote é 
50%. 
 
Planos classificados pela QMRL 
Esses planos supõem inspeção retificadora para os lotes rejeitados. A QMRL não é um ponto da CCO, 
mas sim a qualidade média resultante (porcentagem média de defeituosos), a longo prazo, de uma inspeção 
por amostragem, considerando-se todos os lotes aceitos e todos os lotes rejeitados após terem sido 
inspecionados em 100% e todas as unidades defeituosas terem sido substituídas. Ou seja, esse plano 
assegura que ao longo da inspeção de diversos lotes: 
,QMRL
doinspeciona
d



 
onde: 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 49 
d = Soma de todos os itens defeituosos dos lotes aceitos 
 inspecionado = Soma de todos os itens dos lotes inspecionados 
 
Os planos apresentados preveem 3 categorias de inspeção: 
· Inspeção comum: para o caso dos diferentes lotes manterem sua qualidade média ao longo do tempo. 
· Inspeção severa: quando a qualidade dos lotes piorarem ao longo do tempo 
· Inspeção atenuada: para o caso em que a qualidade dos lotes melhorar. 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 50 
TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
• Fundamento estatístico dos Gráficos de Controle: 
Supondo que uma característica de qualidade tenha uma distribuição normal com média  e desvio 
padrão , onde tanto  como  são conhecidos. Se x1, x2, ......., xn é uma amostra de tamanho “n”, então 
a média da amostra será: 
n
x.......xx
x n21


 
 Também, pela teoria, se sabe que 
x
segue uma distribuição normal com média  e desvio padrão 
x

, e que: 
nx


, 
onde 
x

é o desvio padrão da média da amostra, e  é desvio padrão populacional. 
 Além disso, se sabe que a probabilidade é de (1 - ) para qualquer média amostral que se localize 
entre: 
  )1(
n
Zpou)1(Zp 2/x2/ 






 
 
 
 Portanto, para um nível de confiança de (1 ─ ), a estimação da média populacional  , de realiza 
mediante o seguinte intervalo: 
x2/x2/
ZxZx  
 ou 
n
Zx
n
Zx 2/2/



 
 
• Passos necessários para construir um Gráficos de Controle: 
a) Selecionar a característica de qualidade a ser considerada 
b) Definir o método de amostragem e o tamanho da amostra 
c) Coletar os dados 
d) Determinar o valor central e os limites de controle 
e) Determinar os limites de controle revisados 
f) Utilizar o gráfico de controle para suas finalidades 
 
• Gráficos de Controle: 
Em relação aos Gráficos de Controle (também chamados de Cartas de Controle), já foi estabelecido que é 
um método visual, utilizado para se determinar se o processo continua ou não em um estado satisfatório de 
controle estatístico. Devemos entender que, na realidade, o gráfico não controla absolutamente nada, ele 
simplesmente fornece uma base para a ação e se tornará eficiente apenas quando aqueles que são 
responsáveis pela tomada de decisões utilizarem as informações apresentadas pelo gráfico de forma correta 
(Souza, 1998). Desse modo, a função principal dos gráficos de controle é a de informar a existência de tendências, 
padrões ou variações em alguma característica de interesse de um produto, como por exemplo composição 
percentual, peso ou dimensão, em relação aos limites (superior ou inferior) estabelecidos como aceitáveis 
para a característica que está sendo analisada. 
 
Existem dois tipos de erros que podem acontecer quando utilizamos os gráficos de controle: 
 
a) Considerar um valor observado como pertencente a uma causa usual (também chamadas de causas 
aleatórias ou ainda causas normais), quando na verdade pertence a uma causa identificável. Nesse 
caso, se estará fazendo um ajuste excessivo do processo, gerando um aumento na variação. 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 51 
b) Considerar um valor observado como pertencente a uma causa identificável (também chamadas de 
causas não aleatórias ou ainda causas especiais), quando na verdade pertence a uma causa usual. Nesse 
caso, acontecera que não serão adotadas medidas corretivas imediatas quando necessário. 
 
Quando se trabalha com amostras, a forma mais comum de apresentar um gráfico de controle é 
mediante a fixação da linha central de controle, do limite superior de controle e do limite inferior de 
controle (ver gráfico 3) , sendo: 
Limite Superior de controle = LSC = Média do Processo + 
x
3
 = 

 + 
x
3
 
Linha Central de controle = LCC = Média do Processo = 

 
Limite Inferior de controle = LIC = Média do Processo ― 
x
3
 = 

 ― 
x
3
 
Onde: 
x

 é o desvio padrão da média amostral da medida estatística de interesse. 
 
Em geral teremos que Limites de Controle = 
n
3x3x
x


 
 
 
Gráfico 3: Gráfico de ControleExiste um gráfico de controle denominado “gráfico de controle por zonas”, o qual oferece uma melhor 
forma de detecção de padrões que possam surgir a partir dos dados das amostras (ver gráfico 4). As zonas 
A, B e C são especialmente importantes ao momento de fazer a detecção de padrões via a utilização de 
regras. A habilidade para interpretar um padrão particular de comportamento em termos de causas 
identificáveis ou atribuíveis requer experiência e conhecimento do processo, isto é, é necessário conhecer os 
princípios estatísticos dos gráficos de controle e entender plenamente o processo. 
 
 
Gráfico 4: Gráfico de Controle por zonas 
 
LSC = Limite Superior de Controle
 = Linha Central de Controle
LIC = Limite Inferior de Controle
x
3
x
3

LSC = Limite Superior de Controle
 = Linha Central de Controle
LIC = Limite Inferior de Controle
Ponto fora dos limites de controle
Zona A
Zona A
Zona B
Zona B
Zona C
Zona C
 A
 A
B
B
C
C
68,
26 
%
99,
74 
%
95,
44 
%
x
3

x

x
2
x

x
3
x
2
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 52 
Detecção de Padrões: 
 O reconhecimento de padrões ou tendências nem sempre é tão obvia quando usamos os gráficos de 
controle. A pessoa que pense em detectar padrões via gráficos de controle deve ter experiência, saber de 
estatística e conhecer o processo. Além disso, deve usar regras de detecção de padrões, as quais lhe servirão 
como diretrizes de detecção. As regras mais comuns são as seguintes: 
 
r1. Um ponto cair fora dos limites de 
x
3
 (além da zona A). 
r2. Ter seis pontos consecutivos que estejam crescendo ou, seis pontos consecutivos que estejam 
decrescendo (ver gráfico 5). 
r3. Ter seis pontos consecutivos acima da linha central ou, seis pontos consecutivos abaixo da linha 
central (ver gráfico 5). 
r4. Dois de três pontos consecutivos caírem além do limite de 
x
2
 (além da zona B, ver gráfico 6). 
r5. Quatro de cinco pontos consecutivos caírem além do limite de 
x
1
 (além da zona C, ver gráfico 6). 
 
 
Gráfico 5: Reconhecimento de Tendências e padrões nos dados das amostras 
 
 
É importante ressaltar, que embora em alguns casos, as regras podem ser utilizadas de forma 
individual, é mais usual usar um grupo de regras de forma conjunta. 
Antes de introduzirmos os vários tipos de gráficos de controle utilizados na atualidade, precisamos 
lembrar de um teorema muito importante e básico, derivado do trabalho de Abraham DeMoivre, Laplace e 
Gauss. Esse teorema diz que a forma da distribuição da soma das amostras se aproxima da forma de uma 
distribuição normal, a medida em que o tamanho da amostra aumentar, não importando a forma da 
distribuição da qual a amostra foi gerada. Esse teorema é conhecido como o Teorema do Limite Central. Com 
esse fato em mente, iremos agora introduzir alguns dos tipos básicos de gráficos de controle. 
 
 
Gráfico 6: Situações consideradas como processo fora de controle, segundo regras 
 
x
3

x
3
Ten
dên
cia 
 Cre
scen
te
Tendência Decrescente
Pontos acima da
linha central
Pontos abaixo da
linha central
Ponto fora dos limites (superior)
Ponto fora dos limites (inferior)
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 53 
 Juran criou o conceito de Trilogia da Qualidade: Planejamento, Melhoria e Controle. O Planejamento da 
qualidade estabelece os objetivos de desempenho e o plano de ações para atingi-los. A melhoria da 
qualidade busca aperfeiçoar o patamar de desempenho atual, para novos níveis, visando tornar a empresa 
mais competitiva. O Controle da Qualidade consiste de avaliar o desempenho operacional, comparar com 
os objetivos e atuar no processo, quando os resultados se desviarem do desejado. Assim, quando uma 
empresa decide controlar seus processos mediante Gráficos de Controle, se obterá um diagrama como o 
mostrado abaixo: 
 
 
 
Planejamento da Qualidade
Melhoria
da
Qualidade
Controle da Qualidade
0
Tempo
Valor do 
parâmetro de 
controle
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 54 
GRÁFICOS (OU CARTAS) DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS 
 
 
a1) Gráficos de Controle 
X
 e R (Cartas de Controle 
X
 e R) 
Souza (1998) indica que quando lidamos com uma característica de qualidade que pode ser expressa 
como uma medida, é costume monitorar tanto o valor médio da característica de qualidade quanto sua 
variabilidade. Assim quando analisemos a média de alguma variável (X) também devemos analisar a 
amplitude (R). 
Devemos entender que o gráfico 
X
, é um gráfico de controle para variáveis que analisa a constância na 
variação da média do processo. O gráfico R, é um gráfico que analisa a constância na variação do desvio 
padrão do processo (variabilidade do processo). Portanto, os dois gráficos devem ser utilizados juntos, um 
para analisar a variação na média do processo (gráfico 
X
) e o outro para analisar a variação do processo 
(gráfico R). 
Podemos esperar que as médias sejam distribuídas normalmente, não importando a distribuição dos 
valores individuais da qual as médias são calculadas. Se estivermos agora obtendo amostras de um 
universo ou população distribuída normalmente, a distribuição resultante para as médias será normal, 
mesmo no caso de amostras muito pequenas. Em relação à Amplitude R, diremos que R é uma ordem 
estatística, e que sua avaliação depende do ordenamento de cada um dos valores individuais presentes em 
uma amostra. 
 
Os limites de controle para um gráfico 
X
 podem ser determinam da seguinte forma: 
 
RAXLSC 2x 
; 
X
; 
RAXLIC 2x 
 
Onde: 
X
 é a Média das Médias das Amostras, 
A2 é uma constante obtida de tabelas, que fornece os limites de 3x para a Média das amostras 
 
Em relação à amplitude, R é a diferença entre os valores extremos de cada amostra, isto é: 
 
mínmáx xxR 
 
 
 Os limites de controle Superior e Inferior para o gráfico R se calculam da seguinte forma: 
 
RDLSC 4R 
; 
R
; 
RDLIC 3R 
 
 
Onde D3 e D4 são obtidos de tabelas. 
 É bom observar que a diferencia entre os limites de controle diminui quando “m” ou “n” aumentam. 
 
Observações: 
 
1. Para n > 10 é melhor utilizar os gráficos 
X
 e S, pois o uso das amplitudes (R) para estimar o valor do 
desvio padrão () diminui dramaticamente a exatidão da estimação de , quando “n” se incrementa. 
 
2. Quando desconhecemos o valor de  (média do processo), deve-se estimar mediante 
X
 (os valores 
devem-se obter necessariamente quando o processo esteja sob controle) com a seguinte formula: 
 
m
X
X
m
1i
i


; m ≥ 25 
onde: 
X
 é a média das médias 
iX
 é a Média da Amostra “i”, 
“m” é o número de amostras . 
 
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3. Quando desconhecemos o valor de 
R
, deve-se estimar 
R
 (os valores usados na estimação devem 
necessariamente ser obtidos quando o processo está sob controle) com a seguinte formula: 
 
m
R
R
m
1i
i


, m ≥ 25 
onde: 
R
 é a Média das amplitudes das amostras 
Ri é a amplitude da amostra “i”; 
“m” é o número de amostras. 
 
4. Para qualquer gráfico, o 

 pode ser calculado da seguinte forma: 
3
LSC 

 
 
Exercício: Amostras de 5 itens foram examinadas e calculados os valores de 
x
 e R de cada amostra, 
com relação a uma variável x. Para as 20 primeiras amostras foram encontradas: 
   85Re6,145x
 
 
a) Calcular os limites de controle dos gráficos de controle da média e da amplitude. 
b) Considerando as seguintes regras: 
- Um ponto cair fora dos limites de 3 sigmas. 
- Doisde três pontos consecutivos caírem além do limite de 2 sigmas. 
- Quatro de cinco pontos consecutivos caírem além do limite 1 sigma. 
 Determine se para as novas amostras (mostradas abaixo) o processo se encontra sob controle: 
 
 Amostra 
 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
Média da Amostra 7,0 8,0 6,2 6,8 7,8 6,8 8,6 5,4 8,6 9,0 
Amplitude da Amostra 4 3 3 5 5 5 2 3 3 5 
 c) Para um caso real, comente as condições do problema. 
d) Se as especificações de um produto são 9,4  3, calcule o RCP e o RCPk do processo. 
 e) Se existem defeitos, em relação à pergunta (d), determine a proporção de defeitos. 
 f) Determine os limites para um gráfico X e S. 
 g) Diga se o gráfico X e S são recomendáveis nesse caso. 
 Respostas: 
 a. LSC
x
 = 12,7615; 
x
 = 7,28; LIC
x
 = 1,7985; 
x

 = 1,8272 
 LSC
R
 = 8,9888; 
R
 = 4,25; LICR = 0; 
R
 = 1,5796 
 b. No gráfico R, as amostras 24, 25, 26, 27 e 28 a regra 4 de 5 caírem além do limite 1 sigma. 
c. Como só temos os somatórios das 20 primeiras amostras, não dá para saber se alguma amostra 
ficou fora dos limites. Recomenda-se mínimo m  25. Não fala nada sobre as máquinas, operários 
ou matéria prima. 
d. 
ˆ
 = 
2d/R
 = 1,8272; RCP = 0,5473; RCPk = mín [0,16053; 09340] = 0,1605 (maioria de defeitos 
pela esquerda). 
e. pe = 0,3156; pd = 0,0026; p = 0,3156 + 0,0026 = 0,3182 = 31,82% de defeitos. 
 
Exercício: O gerente de uma agência de um banco local deseja estudar os tempos de espera de clientes 
para o serviço de atendimento durante o pique na hora do almoço, entre as 12 h e 13 h. Um subgrupo 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 56 
de 4 clientes é selecionado (um a cada intervalo de 15 minutos durante essa hora) e o tempo em 
minutos é medido, a partir do ponto em que cada cliente entra na fila até a hora em que o cliente 
começa a ser atendido. Os resultados durante o período de 10 dias úteis são os seguintes: 
 
Dia Tempo em minutos Média 
1 7,2 8,4 7,9 4,9 7,100 
2 5,6 8,7 3,3 4,2 5,450 
3 5,5 7,3 3,2 6 5,500 
4 4,4 8 5,4 7,4 6,300 
5 9,7 4,6 4,8 5,8 6,225 
6 8,3 8,9 9,1 6,2 8,125 
7 4,7 6,6 5,3 5,8 5,600 
8 8,8 5,5 8,4 6,9 7,400 
9 5,7 4,7 4,1 4,6 4,775 
10 1,7 4 3 5,2 3,475 
Total 59,950 
 
a) Determine os limites de controle dos gráficos 
x
 e R. 
Resposta: 
45079,3LIC995,5x53921,8LSC
xx

 
 
0LIC49,3R964,7LSC RR 
 
 
b) Considerando as seguintes regras: 
- Um ponto cair fora dos limites de 3 sigmas. 
- Dois de três pontos consecutivos caírem além do limite de 2 sigmas. 
- Quatro de cinco pontos consecutivos caírem além do limite 1 sigma. 
 Estabeleça se o processo se encontra sob controle. 
 Resposta: O processo está sob controle. 
 
Exercício: Amostras de 10 itens foram examinadas e calculados os valores de 
x
 e R de cada amostra, 
com relação a uma variável x. Para as 20 primeiras amostras foram encontradas: 
   85Re6,145x
 
 
a) Calcular os limites de controle dos gráficos de controle da média e do desvio padrão. 
b) Considerando as seguintes regras: 
- Um ponto cair fora dos limites de 3 sigmas. 
- Dois de três pontos consecutivos caírem além do limite de 2 sigmas. 
- Quatro de cinco pontos consecutivos caírem além do limite 1 sigma. 
 Determine se para as novas amostras (mostradas abaixo) o processo se encontra sob controle: 
 
 Amostra 
 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
Média da Amostra 7,0 8,0 6,2 6,8 7,8 6,8 8,6 5,4 8,6 9,0 
Amplitude da Amostra 4 3 3 5 5 5 2 3 3 5 
 
c) Para um caso real, comente as condições do problema, em relação às suposições teóricas 
das cartas de controle. 
 
 
 
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a2) Gráfico de Controle para Medidas Individuais (Carta de Controle para Medidas Individuais) 
Em muitas situações, o tamanho da amostra usada para o controle do processo é n = 1, ou seja, a 
amostra consiste em uma unidade individual. Em tais situações, o gráfico de controle para medidas 
individuais é útil. O gráfico de controle para medidas individuais usa a amplitude móvel de duas 
observações sucessivas para estimar a variabilidade do processo. As fórmulas usadas são: 
1ii xxAMi 
 
1m
AM
AM
i



 
128,1
AM
d
AM
ˆ
2

 
Onde: 
AMi é a Média Móvel, 
AM
 é a Média das amplitudes móveis, 
 é a estimação do desvio padrão do processo, 
d2 = 1,128 quando duas observações consecutivas são usadas para calcular uma amplitude móvel. 
Os limites de controle superior e inferior, e média são: 
 
128,1
AM
3xLSC
x

  = 
x
 
128,1
AM
3xLIC
x

 
 
 Os limites de controle para o gráfico R de medidas individuais serão: 
AM267,3AMDLSC 4R 
 e 
0AM0AMDLIC 3R 
 
Observações: 
Em muitas situações o tamanho da amostra pode ser n = 1. Por exemplo: 
- Quando a velocidade de produção é muito lenta e não é conveniente deixar que se acumulem 
tamanhos de amostras com n > 1 antes da análise. 
- Em processos com tecnologia de ponta, onde a inspeção e a medição possam ser automatizadas. 
- Quando medidas repetidas no processo diferem somente por causa do erro no laboratório ou na 
análise, como em muitos processos químicos. 
- Em plantas de processo, tal como na fábrica de papel, onde as medidas de alguns parâmetros, 
como a espessura de revestimento através do rolo, diferirão muito pouco, produzindo um desvio 
padrão que será muito pequeno se o objetivo for controlar a espessura do revestimento ao longo 
do rolo. 
 Além disso, sabe-se que: 
- As amplitudes móveis estão correlacionadas e essa correlação pode frequentemente induzir a 
um padrão de comportamento de corridas ou ciclos no gráfico. Portanto, qualquer padrão 
aparente no gráfico de controle de medidas individuais deve ser investigado cuidadosamente. 
- O gráfico de controle para medidas individuais é muito insensível a pequenas mudanças na 
média do processo. 
 
Exercício: A pureza de um produto químico é medida a cada 2 horas. Determinações de pureza para as 
últimas 48 horas são mostradas na seguinte tabela. 
 
Observação Pureza Observação Pureza 
1 81 13 83 
2 83 14 86 
3 82 15 84 
4 80 16 85 
5 84 17 81 
6 76 18 83 
7 83 19 77 
8 85 20 82 
9 79 21 75 
10 82 22 83 
11 75 23 85 
12 80 24 86 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 58 
a) Com as 12 primeiras amostras, construa um gráfico adequado e calcule os limites de controle. Plote 
os dados. Determine se o processo está sob controle estatístico. Se não esta sob controle, considere que 
causas atribuídas possam ser encontradas para eliminar essas amostras e reveja os limites de controle. 
b) Com as amostras 13-24, determine se o processo está sob controle. 
 
Exercício: A viscosidade de uma pintura é uma característica importante. O produto se produz por lotes 
e se tomam amostras a cada 24 horas. Os últimos 24 dias foram tomadas as seguintes amostras: 
 
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 
Viscosidade 33,75 33,50 34,00 33,81 33,46 34,02 33,68 33,27 
Dia 9 10 11 12 13 14 15 16 
Viscosidade 33,49 33,20 33,62 33,00 33,54 33,12 33,84 33,80 
 
a) Com as 8 primeiras amostras, construa um gráfico adequado e calcule os limites de controle. 
Plote os dados. Determine se o processo está sob controle estatístico. Se não esta sob controle, 
considere que causas atribuídas possam ser encontradas para eliminar essas amostras e reveja os 
limites de controle. 
b) Com as amostras 9-16, determine se o processo está sob controle. 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 59 
a3) Gráficos 
X
 e S (ou 
X
 e ): 
Ainda que é muito comum a utilização dos gráficos 
X
 e R, em ocasiões é desejável estimar o desvio 
padrão do processo diretamente em vez de indiretamente medianteo uso da amplitude R. Isto leva à 
utilização dos gráficos 
X
 e S, onde S é o desvio padrão amostral. Em geral, devemos entender que: 
 
1. Os gráficos 
X
 e S são preferíveis de usar em vez a seus equivalentes 
X
 e R, quando o tamanho 
das amostras (n) são maiores que 10 (n > 10). Lembre que a estimação do desvio padrão 
x

 
mediante a amplitude R perde eficiência estatística para amostras com n > 10. 
2. O tamanho das amostras (n) é variável. 
 
 Quando  é desconhecido, os limites de controle dos gráficos 
X
 e S, são: 
 LSC
X
 = 
X
 + A3
S
; 
X
; LIC
X
 = 
X
 ― A3
S
 
 LSCS = B4
S
; 
S
; LICS = B3
S
; 
onde: 
m
S
S
m
1i
i


 é a Média dos desvio padrões amostrais, e Si é o desvio padrão da amostra “i” 
 
1n
)xx(
S
n
1i
2
i





 é o desvio padrão amostral 
4c
S
ˆ 
 é a estimação do desvio padrão do processo quando usamos S. 
 
Quando µ e  são conhecidos (e também “n”), os limites de controle do gráficos 
X
 são: 
 
 LSC
X
 = 
n
3


 

; LIC
X
 = 
n
3


, 
nesse caso, fazendo 
n
3
A 
, (note que A é uma constante) teremos: 
LSC
X
 = 
 A
 

; LIC
X
 = 
 A
 
 Para um gráfico R, sendo conhecido , os limites serão: 
LSCR = D2 ; 
 2d
; LICR = D1 ; 
 Para um gráfico S, sendo conhecido , os limites serão: 
LSCS = B6 ; 
 4c
; LICS = B5 ; 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 60 
Exercício: De um processo de produção de anéis para pistões, onde se controla o diâmetro interno (em mm), 
se obtiveram os seguintes dados: 
 
 Observações 
ix
 Si 
A
m
o
st
ra
s 
1 74,000 73,984 74,005 73,998 73,996 73,9966 0,0078 
2 73,994 74,012 73,986 74,998 74,007 74,1994 0,4465 
3 74,006 74,010 74,018 74,005 74,000 74,0078 0,0067 
4 73,984 74,002 74,003 74,003 73,997 73,9978 0,0081 
5 74,000 74,010 74,013 74,005 74,003 74,0062 0,0053 
6 74,982 74,001 74,015 74,020 73,996 74,2028 0,4357 
7 74,004 73,999 73,990 74,005 74,009 74,0014 0,0073 
8 74,010 73,989 73,990 74,009 74,014 74,0024 0,0119 
9 74,015 74,008 73,993 74,000 74,010 74,0052 0,0087 
10 73,982 73,984 73,995 74,017 74,013 73,9982 0,0162 
 740,4178 0,9542 
Média 74,0418 0,0954 
 
a) Determine os limites de controle para os gráficos 
x
 e S. 
b) Novas amostras foram tomadas. Determine se o processo está sob controle. 
 
Amostra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
ix
 74,010 74,001 74,008 74,003 74,003 73,996 74,000 73,997 74,004 73,998 
Si 0,0148 0,0075 0,0147 0,0091 0,0122 0,0087 0,0055 0,0123 0,005 0,0163 
 
Respostas: 
a) As amostras 2 e 6 ficam fora dos limites. Portanto, devem ser recalculados os limites, com m = 8. 
Os limites seriam: 
9892,73LIC002,74x0148,74LSC
xx

 
 
0LIC009,0S0188,0LSC SS 
 
 
Exercício: De um processo de produção de anéis para pistões, onde se controla o diâmetro interno (em mm), 
se obtiveram os seguintes dados: 



25
1i
i
25
1i
i 2350,0Se028,1850x
. Determine os limites de controle 
para os gráficos 
x
 e S. Considere n = 10. 
 Respostas: LSC
x
 = 74,09277 
x
 = 
x
 = 74,00112 LIC
x
 = 73,90947 
 LSCS = 0,01613 S = 
S
 = 0,0094 LICS = 0,00267 
 
Exercício: Estimou-se para um processo os seguintes parâmetros (n = 4): 
 LSC
x
 = 710 
x
 = 
x
 = 700 LIC
x
 = 690 
 LSCS = 18,08 S = 
S
 = 7,979 LICS = 0 
 
(a) Estime a média e desvio padrão do processo 
(b) Estime os limites do processo (limites naturais do processo) 
(c) Suponha que a saída do processo está modelada adequadamente por uma distribuição normal. Se 
as especificações são 705  15, estimar a fração defeituosa. 
Respostas: 
(a)  = 700;  ≈ 8,6606 
(b) LSNT = 725,9818;  = 700; LINT = 674,0182 
(c) p = 0,1355 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 61 
O CONCEITO DE PROCESSO 
 
Um processo é um método físico de se realizar um determinado trabalho, o qual se desenvolve durante 
um certo intervalo de tempo, geralmente envolvendo um certo número de fases ou operações. Um processo 
é constituído de um número diferente de fatores ou variáveis. Essas variáveis incluem a matéria prima, 
método, máquinas ou equipamentos, a habilidade do operador, equipamentos de avaliação e competência 
para se realizar essas avaliações. Outras importantes variáveis ou fatores poderão também entrar como 
parte do processo, tais como dinheiro, meio ambiente, atitude, etc. Como sabemos, todo processo apresenta 
algum tipo de variação. As variações presentes no processo são basicamente de duas categorias: 
 
- Variações aleatórias (também chamadas de causas aleatórias ou ainda causas normais), as que ocorrem 
apenas por acaso. 
 
- Variações específicas (também chamadas de causas não aleatórias ou ainda causas especiais), as que 
ocorrem devido a causas que podem ser identificadas. 
 
Apenas as causas aleatórias devem estar presentes em um processo, desde que elas representam a 
quantidade mínima possível de variação. Geralmente uma causa aleatória de variação não poderá ser 
removida economicamente do processo. Como exemplos de causas aleatórias de variação, podemos citar o 
erro humano na ajustagem de controles em máquinas e equipamentos, pequenas variações apresentadas nas 
matérias primas, pequenas vibrações em equipamentos e máquinas, etc. 
As variações específicas ou determinadas podem ser detectadas, sendo geralmente economicamente 
justificada a tomada de medidas visando sua eliminação. Como exemplos de causas específicas de variação 
podem-se citar os erros causados pelos operadores, uma má ajustagem de equipamentos ou máquinas, um 
lote defeituoso de matéria prima. Qualquer tipo de causa específica poderá resultar em um elevado nível de 
variação, e consiste apenas de um ou de poucos casos individuais. 
O processo não estará operando em seu nível ótimo se estiverem presentes causas específicas ou 
identificáveis de variação. Agora, quando apenas causas aleatórias de variação estiverem presentes, o 
processo estará então operando em seu nível ótimo. No caso de se estar produzindo ainda itens ou peças 
defeituosas, deveremos revisar as especificações ou mesmo promover uma mudança básica no processo, 
afim de, reduzirmos o número de peças defeituosas sendo produzidas. 
Qualquer ponto fora dos limites de variação especificados no gráfico de controle sendo utilizado 
significará, na maioria das vezes, que o processo necessita ser investigado e corrigido. 
Agora, pontos ou observações dentro dos limites de controle da variação aleatória permitida 
significará que o processo não deve ser ajustado. Nós necessitamos ter um processo suficientemente estável 
para que possamos utilizar práticas de amostragem, afim de, prevermos a qualidade da produção total, ou 
para desenvolvermos estudos de otimização do processo. Isso não é possível com a presença de causas 
específicas de variação. Apenas com a presença de causas aleatórias de variação poderá o processo estar 
suficientemente estável de modo a permitir a realização desses estudos. 
Geralmente dizemos que o processo se encontra em um estado de controle estatístico, ou simplesmente 
“sob controle”, quando o processo estiver operando sem a presença de nenhuma causa específica de 
variação. Considerando que o termo “sob controle” significa o mínimo possível de variação no processo, 
deveremos desenvolver um gráfico central de análise e promover, se possível, a eliminação do processo de 
todas as causas específicas de variação,antes de calcularmos o valor de 6 para representar uma medida da 
capacidade do processo. Desse modo, o valor 6 irá efetivamente representar o valor real inerente à 
capacidade do processo. O gráfico de controle faz a distinção entre as causas específicas de variação e as 
causas aleatórias de variação através da escolha de seus limites de controle. O valor de 6 também se 
conhece como limites naturais de tolerância do processo (LNTP). De forma curta, também são conhecidos como 
limites naturais do processo. O limite superior natural de tolerância (LSNT) e o limite inferior natural de tolerância 
(LINT) se determinam com as seguintes formulas: 
 Limite Superior Natural de Tolerância = LSNT = 

 + 
3
 
 Média do Processo = 

 
 Limite Inferior Natural de Tolerância = LINT = 

 ― 
3
 
Onde: 

 é o desvio padrão do processo. O valor de 

 pode ser estimado com 
42 c
S
d
R
ˆ 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 62 
CAPACIDADE DO PROCESSO 
 
O Dr. J. M. Juran (Montgomery, 2004) definiu a Capacidade do Processo (também chamada de 
Capabilidade do Processo) como sendo uma medida da uniformidade inerente do processo. A capacidade do 
processo é uma medida relativa à precisão inerente do processo de fabricação. O Dr. Armand V. 
Feigenbaum definiu a capacidade do processo como sendo a capacidade de qualidade de desempenho de 
um processo, operando com fatores especificados e com uma condição de operação normal, isto é, sob 
controle. 
Existem dois elementos significativos no conceito de capacidade do processo; variáveis ou fatores do 
processo e condições do processo. Para ser efetiva, a capacidade de um processo necessita ser definida em 
função de um determinado grupo de variáveis ou fatores do processo, especificamente relacionados. Além 
disso, o processo sendo analisado deverá ser aquele que apresenta as observações distribuídas de acordo 
com a distribuição normal, estando ainda em um estado de controle estatístico. Para a identificação do 
padrão de atuação do processo, bem como da determinação da maneira como esse padrão interage com as 
especificações requeridas, torna-se essencial se ter essa condição de normalidade das observações. 
Para ser útil, o valor da capacidade do processo precisa ter um padrão estabelecido que seja consistente 
com o passar do tempo. Em termos estatísticos, a amplitude do processo é igual à  3, ou 6 no total. 
Cerca de 99,73% de toda as leituras para uma distribuição normal se encontram dentro da área limitada por 
 3 unidades de desvio padrão do valor médio. Lembremos que: 
 
 
6827,0x 
 
9544,02x 
 
9973,03x 
 
 
Um estudo sobre a capacidade de um processo constitui-se de uma análise de distribuição de 
freqüências, muito bem organizada e disciplinada, dos dados relativos ao processo sendo avaliado. 
 
Segundo John Kindwell, um processo poderá ser agrupado em uma das três categorias abaixo: 
 
 - Individualmente Controlado. O operador representará a maior fonte de variação presente no 
processo e o resultado da produção dependerá da habilidade do operador. 
 
 - Funcionalmente Controlado. Nesse caso, o operador participará também da operação, porém a 
variação presente no processo dependerá igualmente de toda entrada ( “input” ) do processo. 
 
 - Processamento Automático. Nesse caso, o operador se limita apenas a observar o funcionamento 
do processo, após o mesmo ter sido propriamente colocado em operação. 
 
As técnicas de controle estatístico de processo auxiliam aos gerentes a conseguir e a manter uma 
distribuição do processo que não se altera em termos de sua média e de sua variância. Assim, os gráficos de 
controle basicamente sinalizam quando a média ou a variabilidade do processo se altera. No entanto, o fato 
de que um processo esteja sob controle estatístico não implica que na fabricação de um novo produto, o qual 
se pretende que tenha certas especificações (ou tolerâncias), possa ser fabricado sem ter desperdícios 
significativos. Então, uma forma de saber se um produto novo pode ser fabricado sem desperdício, ou seja, 
saber se nosso processo é capaz de fabricar o novo produto sem ter desperdícios significativos, é mediante a 
“razão de capacidade do processo” (RCP ou Cp). A RCP se define como: 
 






6
LIELSE
LINTLSNT
LIELSE
CpRCPocessoPrdoCapacidadedaRazão
 
 
onde 

 = desvio padrão da distribuição do processo. 
 
 LSE = Limite Superior de Especificação (ou limite superior de tolerância) 
 LIE = Limite Inferior de Especificação (ou limite inferior de tolerância) 
 LSNT = Limite Superior Natural de Tolerância do Processo (ou LSP = Limite Superior do Processo) 
 LINT = Limite Inferior Natural de Tolerância do Processo (ou LIP = Limite Inferior do Processo) 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 63 
 
Gráfico 7: Razão de Capacidade de Processo 
 
Assim, quando o RCP > 1, a produção será SEM desperdícios e, quando o RCP < 1, a produção será 
COM desperdícios (ver gráfico 7). Na verdade, o RCP é uma “medida potencial” do processo, ou seja, a 
capacidade com um processo centralizado. A capacidade real do processo (para processo centralizados o 
descentralizados) é definida pelo RCPk, como veremos a continuação. 
Devido à dificuldade de obter o valor real do desvio padrão do processo () para casos reais onde 
geralmente se utilizam amostras, é comum usar a seguinte formula para estimar o desvio padrão do 
processo: 
42 c
S
d
R
ˆ 
 
 
CAPACIDADE REAL DO PROCESSO (RCPk): 
A capacidade real do processo se abrevia como RCPk (ou Cpk). Quando os limites de controle e os 
limites de especificação estão descentralizados, isto é, quando a Média de processo é diferente da Média das 
Especificações, o RCPk pode ser calculado da seguinte forma: 
 













3
xLSE
,
3
LIEx
mínimoCRCP pkk
 
 
onde: 
x
 = Média do processo; 

= Desvio padrão do processo 
 
Portanto, fica claro que para processos descentralizados, temos que: 
O RCPk pela esquerda é igual a:



3
LIEx
RCPkE
, e 
O RCPk pela direita é igual a:



3
xLSE
RCPkD
 
 
Note que: 
 Se 
x
 (média do processo) = e (média das especificações), então RCP = RCPk 
 Da mesma forma que o RCP, quando o RCPk > 1, a produção será SEM desperdícios consideráveis e, 
quando o RCPk < 1, a produção será COM desperdícios consideráveis. 
 Se RCPkE < 1 teremos desperdício pela esquerda, se RCPkD < 1, teremos desperdício pela direita. 
 
 
Em geral, podemos afirmar que o RCPk é uma razão unilateral de capacidade de processo, que é 
calculada relativa ao limite de especificação mais próximo da média do processo. Assim, tem-se que: 
 
Intervalo do RCP (ou RCPk) Capacidade do Processo 
 1,33  RCP (ou RCPk) Satisfatório 
 1,00  RCP (ou RCPk) < 1,33 Aceitável 
 RCP (ou RCPk) < 1 Inaceitável 
LSELIE
Produção SEM desperdício
LSELIE
Produção COM desperdício
Curva do processo
Curva do processo
LINT LSNT
1
6
LIELSE
RCP 


 1
6
LIELSE
RCP 



LINT LSNT
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 64 
Relação entre o RCPk e um Processo 6 sigma: 
Um processo com RCPk = 2,0 é referido como um processo de nível 6 sigma, ou simplesmente um processo 
6, porque a distância a partir da média do processo até a especificação mais próxima é seis desvios-padrão 
(do processo). A relação que se estabelece entre o RCP (ou RCPk) e o nível sigma (ou também chamada 
qualidade sigma da produção) é a seguinte:RCPk Processo de Nível  
0,33 1σ 
0,67 2 σ 
1,00 3 σ 
1,33 4 σ 
1,67 5 σ 
2,00 6 σ 
 
 Sabe-se que “6” é uma estratégia gerencial de mudanças para acelerar o aprimoramento em 
processos, produtos e serviços. O termo “sigma” mede a capacidade do processo de trabalhar livre de 
falhas. Quando falamos em 6, referimo-nos à redução na variação do resultado entregue aos clientes a uma 
taxa de 3,4 falhas por milhão ou 99, 99966% de perfeição (quando a média tem um corrimento de 1,5 ). A 
abordagem 6 foi desenvolvida pela Motorola, na década de oitenta, com o objetivo de reduzir a taxa de 
falhas em seus produtos eletrônicos manufaturados. O programa foi elaborado com o severo desafio do 
“desempenho livre de defeitos”, e tinha como principais objetivos o aprimoramento da confiabilidade do 
produto final e a redução de sucata. Pesquisas indicam que operar em um nível de 3 a 4 custa em torno de 
10 a 15% do faturamento da empresa, tudo vindo de desperdícios como inspeções, retrabalho, sucata, 
desgaste de imagem. Ao trabalhar em 6 estes custos serão eliminados. 
 O gráfico mostrado abaixo indica as perdas em porcentagem para um processo normalmente 
distribuído: 
 
 
 A tabela mostrada abaixo, indica as perdas em partes por milhão (ppm) para um processo 
normalmente distribuído e um processo com deslocamento de 1,5  na média: 
 
Sigma Porcentagem de produtos 
dentro dos padrões 
Número de erros por milhão de produtos 
Assumindo o processo 
centralizado 
Assumindo um deslocamento 
de 1,5  na média 
1σ 68,26 317.400 697.672,15 
2σ 95,45 45.500 308.770,21 
3σ 99,73 2.700 66.810,63 
4σ 99,9937 63 6.209,70 
5σ 99,999943 0,57 232,67 
6σ 99,9999998 0,002 3,40 

2
3
4
5
6
34,13%
13,60%
2,14%
0,0063%
0,00057%
0,0000002%

2
3
34,13%
13,60%
2,14%

UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 65 
CÁLCULO DA PORCENTAGEM DE DESPERDÍCIOS DE UM PROCESSO: 
 
 A porcentagem de desperdícios de um processo, pode ser calculada com a seguinte formula: 
 
)LSEx(p)LIEx(pp 
, onde: 
 
p = Porcentagem de desperdícios = Fração de itens defeituosos = Fração de itens não conformes, 
x = valor da variável analisada, 
)LIEx(p 
 = probabilidade de que x seja menor que o limite inferior de especificação 
)LSEx(p 
 = probabilidade de que x seja maior que o limite superior de especificação 
Como: 






















xLSE
zp)LSEx(pe,
xLIE
zp)LIEx(p
 
 
Então: 






















xLSE
zp
xLIE
zpp
 
 
 Enfatizamos que o cálculo da fração defeituosa considera que as observações sejam normalmente 
distribuídas e o processo esteja sob controle. Desvios da normalidade podem afetar seriamente os 
resultados. 
 
Exercício: Num processo eletrônico de fabricação, uma corrente tem especificações de 100  10 
miliampères. A média 
x
 e o desvio padrão  do processo são 107 e 1,5 respectivamente. 
a. Calcule o RCP e o RCPk. 
b. Se existem desperdícios, calcule a porcentagem de desperdícios gerados. 
Solução: 
Note que com os dados fornecidos, se pode calcular o RCP, o RCPk e a proporção de desperdícios, sem 
precisar determinar os limites de controle do processo. 
Portanto: 
 e = 100, LSE = 100 + 10 = 110 e LIE = 100 – 10 = 90 
 
Como 
x
  e, então RCP  RCPk. 
 
Portanto:
22,2
5,1*6
90110
RCP 


; como RCP>1, o processo é potencialmente sem desperdícios. 
  666,0555,1;666,0mín
5,1*3
100107
,
5,1*3
107110
mín
3
LIEx
,
3
xLSE
mínRCPk 




 














 
 
Como RCPk < 1, então o processo apresenta desperdícios. Note que LSE = 110 está mais perto da média 
do processo 
x
= 107, do que LIE = 100. Isso de forma prática, define que o LSE determinará o RCPk. 
 
Utilizando a tabela Normal para o calculo dos desperdícios, teremos: 
    033,11zp
5,1
10790
zp
xLIE
zpLIExp 




 












 
    023,02zp
5,1
107110
zp
xLSE
zpLSExp 




 












 
 
 Portanto, a fração defeituosa = p = pe + pd = 0 + 0,023 = 0,023. Ou seja, temos 2,3% de defeitos. 
 
Exercício: Na fabricação de arruelas, se está controlando o diâmetro interno. Amostras de 5 itens foram 
examinadas. Para as 10 primeiras amostras foram encontradas: 
 
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 Amostra 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Média da Amostra 7,0 8,0 6,2 6,8 7,8 6,8 8,6 5,4 8,6 9,0 
Amplitude da Amostra 4 3 3 5 5 5 2 3 3 5 
 
a) Se as especificações de um produto são 9,4  3, calcule o RCP e o RCPk do processo (Sugestão: 
determine se o processo se encontra sob controle e depois estime a média do processo) 
b) Se existem defeitos, determine a proporção de defeitos, e a proporção de peças recuperáveis. 
Respostas: 
 a) RCP = 0,611; RCPk = Min [ 0,2081; 1,0159] = 0,2081 b) p = 26,87% 
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ANÁLISE DA CAPACIDADE DO PROCESSO USANDO UM GRÁFICO DE CONTROLE: 
 
 Na tabela mostrada abaixo, estão registrados os dados de um processo que mede a resistência ao 
estouro de garrafas para refrigerantes: 
 
 Amostras 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
ix
 252,0 255,2 246,2 269,0 287,8 246,0 266,2 273,4 263,4 272,6 
R 102 84 89 104 104 113 93 49 71 73 
 
 
 Amostras 
 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
ix
 261,0 266,8 227,8 286,8 268,8 270,4 276,0 266,2 272,2 253,4 
R 128 55 87 69 56 34 89 28 48 70 
 
Determine a capacidade do processo, supondo amostras de tamanho 5 e especificações iguais a 250  100. 
 
Solução: 
 
Dos dados, temos: n = 5; 
x
 = 264,06 e 
R
 = 77,3 
 
23,33
326,2
3,77
d
R
ˆ
2

 
 
























23,333
06,264350
,
23,333
15006,264
mínimo
3
xLSE
,
3
LIEx
mínimoCRCP pkk
 
 
RCPk = mínimo (1,14; 0,86) = 0,86 
 
Portanto, a capacidade do processo é inadequada, isto é, existe desperdício. Nesse casso, o RCPkD < 1; 
conseqüentemente o desperdício é pela direita (veja no gráfico abaixo). 
 
 
 
 Gráfico 9: Limites de especificações e Limites do Processo 
 
Como: 
n
3x3xControledeLimites
x


, e 
 3xocessoPrdoLimites
, portanto: 
 
3
RA
então,3RA 2
xx2

, como 
nentão,
n xx



 
Assim, 
2444,335
3
3,77577,0





 

, 
que é aproximadamente igual a: 
23,33
326,2
3,77
d
R
ˆ
2

 
Mas, a recomendação é sempre usar 
23,33
326,2
3,77
d
R
ˆ
2

 
 
LIP LSP
164,37 363,75264,06
LIE LSE
150 350
x
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DESEMPENHO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
 Segundo Montgomery (2004), a determinação dos limites de controle (inclui determinar a freqüência 
de amostragem e o tamanho da amostra) é uma das decisões críticas que tem que ser feitas no projeto de um 
gráfico de controle. Além disso, o deslocamento dos limites de controle é uma situação muito freqüente nos 
processos produtivos e de serviços. Quando a média do processo se afasta da linha central do gráfico, 
acarretará a diminuição do risco de um erro tipo I (risco de um ponto cair além dos limites de controle, 
quando nenhuma causa atribuída estiver presente). No entanto,o afastamento dos limites de controle da 
linha central aumenta o risco de um erro tipo II (risco de um ponto cair entre os limites de controle, quando 
o processo estiver realmente fora de controle). Mover os limites de controle mais perto da linha central, 
significará aumentar o risco de erro tipo I enquanto que diminuirá o risco de erro tipo II. As probabilidades 
desses dois erros se denotam como: 
 
  = P(erro tipo I) = P (rejeitar Ho quando Ho é verdadeira) = Nível de significância = Risco do Produtor 
 
  = P(erro tipo II) = P (aceitar Ho quando Ho é falsa) = Risco do Consumidor 
 
Cálculo de : 
 
 A habilidade dos gráficos 
x
 e R de detectar deslocamentos na qualidade do processo se descreve por 
suas curvas Características de Operação (CO). Deve ficar claro que essas curvas CO não são iguais às encontradas 
no capítulo de amostragem de aceitação definidas como CCO. A seguir, vai se apresentar as curvas CO para 
gráficos usados para o controle on-line de um processo. 
 Considere a curva CO de um gráfico 
x
 com desvio padrão  conhecido e constante. Se a média tiver 
um deslocamento do valor sob controle µ0 para outro valor µ1 = µ0 + k , “a probabilidade de não detectar esse 
deslocamento na primeira amostra subsequente”, isto é, o risco , é: 
 






















n/
)k(LIC
n/
)k(LSC 00
 
 
 Supondo que o LSC = µ0 + L /
n
 e que o LIC = µ0 - L /
n
, a equação acima poderia se escrever 
como: 
)nkL()nkL( 
 
 
 Mais na frente ficará claro que para nós é mais importante encontrar “a probabilidade de que o 
deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente”, portanto, o que realmente estamos procurando é 
(1 - ). Um gráfico de uma curva CO de um gráfico 
x
 com limites de 3 sigma e valores diferentes de “n” 
seria: 
 
 
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O Comprimento Médio de Deslocamento (CMD) e : 
 
 Uma forma de avaliar as decisões relativas à freqüência de amostragem e do tamanho da amostra é 
através do “comprimento médio de deslocamento”, ou simplesmente CMD. Em geral, o número esperado de 
amostras tomadas antes de que se detecte o deslocamento da média é o CMD. Outra definição poderia ser: o CMD 
representa o número médio de pontos que têm de ser plotados antes de um ponto indicar uma condição de fora de 
controle. É bom ressaltar que o CMD pode ser calculado a partir da média de uma variável aleatória 
geométrica. 
 Assim, se “p” é a probabilidade de que qualquer ponto exceda os limites de controle, então: 
 
p
1
CMD 
 
 
quando a média está sob controle, o CMD se representa como CMD0, e se calcula como: 
 


1
CMD0
 
quando a média apresenta deslocamento, o CMD se representa como CMD1, e se calcula como: 
 


1
1
CMD1
 
 
 
Problema: Determine o CMD0, para um caso onde o processo tenha limites de controle 3 sigma. 
Solução: 
Nós sabemos que  = p = 0,0027, portanto: 
370
0027,0
1
p
1
CMD0 
 
Isso indicará que se o processo permanecer sob controle, um sinal de fora de controle será gerado 
a cada 370 pontos, em média. 
 
Problema: Supondo um processo 3 sigma, 
a) determine a probabilidade de detectar um deslocamento para µ1 = µ0 + 2, na primeira amostra 
após o deslocamento? 
b) Determine o número esperado de amostras antes de detectar o deslocamento da média. 
Solução: 
a) Nota-se que se busca calcular , pois há um deslocamento. 
 Além disso L = 3; k = 2 e n = 5 
 De: 
)nkL()nkL( 
, temos: 
 
)37,7()47,1()523()523( 
 
 Portanto   0,0708 
b) 
0708,01
1
1
1
CMD1




 = 1,0762; então após aproximadamente 1 amostra se detectará o 
deslocamento da média. 
 
 
Cálculo do Tempo Médio até o Sinal (TMAS): 
 
 O cálculo do CMD e do TMAS dependem da probabilidade “p” (probabilidade de que qualquer ponto 
exceda os limites de controle) e da freqüência de amostragem em horas “h” do processo. A probabilidade “p” 
será especialmente importante de calcular quando a média do processo se desloque, isto é, quando a média de 
processo varie em relação a seu valor natural µ0. O TMAS indica o tempo (em horas) em que será detectada 
uma mudança na média do processo. Assim, o cálculo de “p”, do CMD e do TMAS pode ser realizado da 
seguinte forma: 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 70 
Quando existe deslocamento sabe-se que: 






















n/
)k(LIC
n/
)k(LSC 00
 
 
Chamando de “Média deslocada” ou simplesmente µd = µ0 + k , teremos: 
 














x
d
x
d LSCz
LIC
p
, onde d = Média deslocada, portanto: 
 














x
d
x
d LSCz
LIC
p11p
 
 
p
1
CMD 
 
 
TMAS = CMC  h 
 
Exercício: Calcule a probabilidade “p” de que um ponto fique fora dos limites de controle, o CMD, e o 
TMAS, considerando os seguintes dados: 
Limites de controle = 74  0,0135 (note que x = 0,0045); 
Média deslocada = d = 74,0135; (note que o deslocamento da média é 3x á direita de  = 74); 
a freqüência da amostragem é uma amostra a cada hora. 
Solução: 
Nós sabemos que , então: 





 



0045,0
0135,740135,74
z
0045,0
0135,749865,73
p11p
 
 
  5,05,010z6p1p 
 
 
2
5,0
1
p
1
CMD,totanPor 
 
 
TMAS = (CMD) (h) = (2) (1) = 2 horas 
 
 Ou seja, o gráfico de controle requererá duas amostras para detectar a mudança da média no 
processo, em média; logo, passarão duas horas entre a mudança e sua detecção. 
 
Exercício: Um processo sob controle usa amostras de tamanho n = 4. A linha central está em 100 e os 
limites 
x
3
 de controle são 106 e 94, respectivamente. 
a. Qual é o desvio padrão do processo ()? 
b. Qual é o desvio padrão do gráfico de controle (
x

)? 
c. Suponha que a média do processo se desloque para 105. Calcule o valor do CMD. 
 
Exercício: Um processo é controlado mediante cartas 
x
 e S e em ambas o processo há mostrado 
controle estatístico. As amostras são tomadas a cada 30 minutos, sendo que o tamanho da amostra é n 
= 6. Os parâmetros das cartas de controle são as seguintes: 
Carta 
x
: LSC = 708,20;  = 706,00; LIC = 703,80 
Carta S: LSC = 3,420;  = 1,738; LIC = 0,052 
a) Estime a média e o desvio padrão do processo. 
b) Estime os limites de tolerâncias naturais do processo. 
c) Supondo que a saída do processo é adequadamente modelada por uma distribuição normal. Se 
o LSE = 709 e LIE = 703, estime a fração de itens fora dos padrões. 
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d) Suponha que a média do processo se desloque para 702,00, enquanto que o desvio padrão se 
mantém constante, qual seria a probabilidade de que ocorra um sinal de fora de controle na 
primeira amostra depois do deslocamento? 
e) Para o deslocamento da questão “d”, qual é a probabilidade de detectar o deslocamento na 
terceira amostra subseqüente? 
f) Em quanto tempo se detectará a mudança do TMAS? 
 
 
 
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA ATRIBUTOS 
 
 
b) Gráfico de Controle P (Carta de Controle P) 
O gráfico de controle P é um gráfico de controle por atributos, o qual determina a proporção ou 
percentagem de itens que estão fora de padrão na amostra inspecionada. A proporção defeituosa denomina-se “p”. 
Assim, nos gráficos usados para controlar atributos é contada a qualidade (“com defeito– sem defeito”, 
“conforme – não conforme”, “sim – não”, etc) do produto ou serviço. Utilizar este gráfico implica selecionar 
uma amostra aleatória, inspecionar cada item contido nela, e calcular a proporção de produtos “com 
defeito” na amostra. 
Como a amostra de um gráfico P normalmente implica “com defeito – sem defeito”, “conforme – não 
conforme”, “sim – não”, etc; ela obedece a uma distribuição binomial. No entanto, para tamanhos grandes 
de amostra, a distribuição normal oferece uma boa aproximação. Esse é o motivo de que gráficos de controle 
de do tipo p e np requerem um tamanho de amostra consideravelmente maior do que os correspondentes 
gráficos de variáveis (geralmente considera-se n ≥ 100). 
De forma prática, o gráfico P se utiliza quando a peça ou item inspecionado se julga como conforme ou 
não conforme, em relação ao padrão estabelecido. O padrão pode incluir uma característica a controlar ou 
mais de uma. Um exemplo de um padrão que controle só uma característica para o processo de fabricação 
de uma caneta seria , controlar que a tampa da caneta não fecha bem. Outro padrão a controlar poderia ser 
se a ponta da caneta não funciona bem, ou ainda, um outro padrão poderia ser que a tinta do logo se apaga-
se com facilidade. Um exemplo de um padrão que controle três características seria um padrão que inclua 
controlar que a tampa da caneta não fecha bem, a ponta da caneta não funciona bem e que a tinta do logo se 
apaga com facilidade. 
É bom ressaltar que o gráfico P geralmente se utiliza em processo com altos volumes de produção, 
onde obviamente, a inspeção de 100% dos itens produzidos seria uma impossibilidade dado o tamanho dos 
lotes e o custo baixo de cada item. 
 
A proporção “p” de defeitos da amostra “i” se calcula da seguinte forma: 
 
n
D
p ii 
, 
 
onde: 
Di é o número de unidades com defeito, na amostra “i”, 
“n” é o tamanho da amostra (n ≥ 100) 
 



m
1i
i
m
1i
i D
mn
1
p
m
1
p
; 
onde: 
p
 é a Média da Proporção de defeitos por amostra, 
Di é o número de itens com defeito na amostra “i” 
 Como o desvio padrão de uma binomial é igual a 
n
)p1(p 
, os limites de controle se calculam da 
seguinte forma: 
 
n
)p1(p
3pLSC


; 
p
; 
n
)p1(p
3pLIC


 
 
 Logicamente a linha central será o valor de 
p
. 
 
 Quando os tamanhos das amostras forem diferentes, teremos: 
 
n
)p1(p
3pLSC


; 





m
1i
i
m
1i
i
n
D
p
; 
n
)p1(p
3pLIC


; onde 
m
n
n
m
1i
i


 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 73 
c) Gráfico de Controle NP (Carta de Controle NP) 
Quando as amostras são todas do mesmo tamanho, uma alternativa desejável para o gráfico p é o 
“gráfico de controle NP”. Este também é um gráfico de controle por atributos, o qual verifica o número de 
itens fora de padrão na amostra inspecionada. Portanto, esse é o gráfico de controle para o número de itens fora 
de padrão. Aqui, “n” representa o número de peças inspecionadas, e “np” representa o número de peças 
defeituosas entre as “n” peças inspecionadas. Os limites de controle para o gráfico NP se calculam da 
seguinte forma: 
)p1(pn3pnLSC 
; 
pn
; 
)p1(pn3pnLIC 
 
 
 Note que o gráfico tem a linha central em 
pn
, e que 
p
 deve ser calculado segundo a fórmula 
utilizada no gráfico P. 
 
 Quando os tamanhos das amostras forem diferentes, teremos: 
)p1(pn3pnLSC 
; 
pn
; 
)p1(pn3pnLIC 
; onde 
m
n
n
m
1i
i


 
 
Exercício: Suponha que o seguinte número de itens defeituosos tenham sido encontrados em sucessivas 
amostras de tamanho 100: 
 
Amostra Itens 
Defeituosos 
Amostra Itens 
Defeituosos 
Amostra Itens 
Defeituosos 
 
1 9 9 13 17 6 
2 10 10 6 18 9 
3 13 11 3 19 8 
  230D i
 
4 8 12 5 20 11 
5 14 13 13 21 12 
6 9 14 10 22 14 
7 10 15 14 23 6 
8 15 16 7 24 5 
 
a) Faça um gráfico que controle a proporção de itens com defeito por amostra. Se necessário 
reveja os limites de controle. (Considere as regras r1, r2 e r3). 
b) Faça um gráfico que controle os itens com defeito por amostra. Se necessário reveja os limites 
de controle. (Considere as 5 regras). 
c) Caso o processo não esteja sob controle estatístico, considere que causas atribuídas possam ser 
encontradas. 
Respostas: 
a) Gráfico P; LSC = 0,184377;  = 0,095; LIC = 0,007036; p = 0,029321; o processo esta sob controle. 
b) Gráfico NP; pi = 2,28; LSC = 18,2965;  = 9,5; LIC = 0,7036;  = 2,93215; o processo esta fora de 
controle, cumpre r5. 
c) Quando se tem muita variação, o comum é que a máquina esteja sem manutenção, as 
ferramentas tenham sofrido desgaste ou devido a um operário inexperiente. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 74 
Exercício: Uma engarrafadora de refrigerantes dietéticos mantém um registro diário de ocorrências de 
garrafas recusadas, que saem da máquina de abastecimento e vedação. Inconformidades como 
abastecimento inadequado, latas com pontas e latas sem vedação adequada são anotadas. Os dados 
relativos à produção de um mês (com base em uma semana de trabalho de 5 dias) são os seguintes: 
 
 
Dia 
Latas 
produzidas 
Latas 
recusadas 
 
Dia 
Latas 
produzidas 
Latas 
recusadas 
1 5.043 47 12 5.314 70 
2 4.852 51 13 5.097 64 
3 4.908 43 14 4.932 59 
4 4.756 37 15 5.023 75 
5 4.901 78 16 5.117 71 
6 4.892 66 17 5.099 68 
7 5.354 51 18 5.345 78 
8 5.321 66 19 5.456 88 
9 5.045 61 20 5.554 83 
10 5.113 72 21 5.421 82 
11 5.247 63 22 5.555 87 
Total 55.432 635 Total 57.913 825 
 
a. Com as 11 primeiras amostras construa um gráfico que controle a proporção de latas 
recusadas por amostra. (considere r1) 
b. Determine se o processo está sob controle com as amostras de 12-22 (use todas as regras) 
c. Com as 11 primeiras amostras construa um gráfico que controle o número de latas recusadas. 
(considere r1) 
d. Determine se o processo está sob controle com as amostras de 12-22 (use todas as regras) 
Respostas: 
a. Gráfico Np 
c. Gráfico P 
 
d) Gráfico de Controle C (Carta de Controle C) 
O gráfico C, também chamado de Gráfico de Defeitos, é um gráfico de controle por atributos. Ele 
controla o total de não-conformidades em uma unidade. Esse caso ocorre em situações onde cada amostra 
apresenta um número diferente de não-conformidades, assim, a variável de interesse nesse caso passa a ser 
o número de não-conformidades ao invés do número de unidades ou itens defeituosos, os quais poderão 
apresentar, cada um, uma ou mais não-conformidades. O “gráfico de controle C” indica o número total de 
não-conformidades por unidade (ou lote de inspeção), por exemplo, por 10 carros, por 2 galões, etc. É 
importante notarmos que a ocorrência de uma não conformidade poderá ou não resultar na fabricação de 
um produto “ruim” ou “defeituoso”. Neste caso, “n” deverá ser necessariamente constante. 
A distribuição de amostras correspondentes a um gráfico C é a distribuição de Poisson. Ela se baseia na 
suposição de que os defeitos ocorrem ao longo de uma região contínua e de que a probabilidade de 
ocorrerem dois ou mais defeitos em qualquer local é insignificante. Devemos lembrar que numa 
distribuição de Poisson se cumpre que se a média = 

, então o desvio padrão será = 

 Assim, se forem 
inspecionadas “m” amostras, uma estimativa da média de defeitos por amostra (
c
) é dada por: 
 
m
D
c
k
1i
i


, 
 
onde: 
Di é o número de defeitos da amostra “i”. 
Portanto, os limites de controle do gráfico “c” estão dados por: 
c3cLSC 
; 
c
; 
c3cLIC 
 
 
UFPI – CONTROLEDA QUALIDADE: Prof. William Morán 75 
De forma prática, o gráfico C ou Gráfico de Defeitos, é utilizado na fabricação de itens maiores, de 
maior custo e complexidade, e infinitas possibilidades de encontrar não-conformidades, como carros, iates, 
aviões, geladeiras, paredes em construções grandes como arranha-céus (é particularmente interessante a 
utilização do gráfico de defeitos na área de construção civil), erros de datilografia num livro, na pintura de 
um avião, etc. Para esses casos, então surge a necessidade de contar o número de não-conformidades 
encontrados no item fabricado para melhorar a qualidade. Por exemplo, para controlar os defeitos na 
fabricação de geladeiras, teríamos que registrar todas as falhas que podem aparecer na geladeira: arranhões 
na tinta, porta que fecha de forma errada, pé da geladeira mal equilibrado, entre outros. Contando os 
defeitos por geladeira, teríamos os dados suficientes para a montagem do gráfico de controle. 
É importante ressaltar que existem alguns casos onde os gráficos de controle não são os mais 
adequados, sobretudo, quando os itens que precisam ser controlados envolvam a segurança de vidas 
humanas (falhas de motores de avião, de freios de carro, equipamentos eletrônicos, etc). Nesses casos outras 
ferramentas devem ser utilizadas, como os Testes de Vida, Análise de Confiabilidade, etc. 
 
Exercício: Placas de circuito impresso são montadas por uma combinação de montagem manual e 
automática. Uma máquina de soldagem contínua é usada para fazer as conexões mecânicas elétricas 
dos componentes de chumbo na placa. Essas placas são passadas, quase continuamente, através de 
processo de soldagem e, a cada hora, cinco placas são selecionadas e inspecionadas para finalidade de 
controle de processo. O número de não-conformidades em cada amostra de cinco placas é anotado. Os 
resultados para 20 amostras são mostrados a seguir: 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Número de defeitos 6 4 8 10 9 12 16 2 3 10 
Amostra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Número de defeitos 9 15 8 10 8 2 7 1 7 13 
 
a. Considerando as 10 primeiras amostras, determine os limites de controle para um gráfico que 
controle o número de defeitos por amostra (considere regra r1). 
b. Para a questão (a), foram tomadas as amostras de 11 à 20. Estabeleça se o processo está sob 
controle. 
 Respostas: 
a) Gráfico C; LSC = 16,48528;  = 8; LIC = 0;  = 2,828427; processo sob controle. 
 
Problema: A tabela mostrada abaixo apresenta o número de não-conformidades em 20 amostras sucessivas. 
Cada amostra consiste de 100 folhas de papel. 
a) Use as 10 primeiras amostras para determinar os limites de controle de um gráfico adequado para 
essa tarefa. 
b) Com as amostras de 11-20 determine se o processo está sob controle. 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Número de não-conformidades 21 24 16 12 15 5 28 20 31 25 
Amostra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Número de não-conformidades 20 24 16 19 10 17 13 22 30 39 
 
 
e) Gráfico de Controle U (Carta de Controle U) 
O gráfico u é um gráfico de controle por atributos, o qual determina o número médio de não-conformidades 
por unidade de inspeção. O gráfico u geralmente é utilizado por supervisores porque eles estão mais 
preocupados com o desempenho médio do produto. Se cada amostra consistir em “n” unidades e se houver 
um total de “c” não-conformidades na amostra, então: 
n
c
u ii 
, 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 76 
será o número médio de defeitos de defeitos por unidade na amostra “i”. Assim, se houver “m” amostras, 
então o estimador do número médio de defeitos por unidade é: 
 



m
1i
iu
m
1
u
, 
 
conseqüentemente, a linha central do gráfico u é 
u
, e os limites de controle serão: 
 
 
n
u
3uLSC 
; 
u
; 
n
u
3uLIC 
 
 
Devemos entender que os limites de controle do gráfico u são baseados na aproximação da distribuição 
de Poisson pela normal. Em um “gráfico u”, a média de “u” será , portanto, o estimador de  será 
u
; e a 
variância de “u” será 
n

. Quando a media  é pequena, a aproximação normal pode não ser sempre 
adequada. Em tais casos, podemos utilizar os limites de controle obtidos diretamente de uma tabela de 
probabilidades de Poisson. Se 
u
 for pequeno, o limite inferior de controle, obtido da distribuição normal, 
poderá ser um número negativo. Se isso ocorrer, é costume considerar o limite inferior de controle como 
zero. 
 
Como proceder quando o tamanho da amostra é variável: 
 Na maioria das situações reais, quando se emprega o gráfico “U”, é comum que o tamanho das 
amostras variem. Quando temos tamanhos de amostras diferentes, usar o gráfico “C” e fazer a interpretação do 
gráfico “C” seria muita complicado. Nesses casos o procedimento correto é usar o gráfico “U”, sendo que o gráfico “U” 
apresentará uma linha central constante, porem os limites de controle variaram inversamente com a raiz quadrada do 
tamanho da amostra, de cada amostra. Vejamos o problema a seguir. 
 
Problema: Numa fábrica têxtil inspeciona-se os rolos de tecido tingido para a ocorrência de defeitos a cada 50 
metros quadrados. Os dados são os seguintes: 
 
Rollo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Não-conformidades 14 12 20 11 7 10 21 16 19 23 
m2 500 400 650 500 475 500 600 525 600 625 
 
 Use um gráfico adequado e determine os limites de controle. 
 
Solução: 
 
Abordagem 1 
 
Deve ficar claro que o gráfico mais adequado é o gráfico “U”. Primeiro porque devem ser controladas 
as não conformidades e segundo porque a unidade de inspeção (ou também conhecida como unidade de 
controle) é uma partição do tamanho real das amostras. Note que a partição é de 50 m2 e que os 
tamanhos das amostras são diferentes, isto é, os tamanhos dos m2 dos rolos são diferentes. 
Calculando os ni, ou seja, os “novos tamanhos das amostras” e o número de não conformidades por 
unidade de inspeção. 
 
Rollo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Não-conformidades 14 12 20 11 7 10 21 16 19 23 
m2 500 400 650 500 475 500 600 525 600 625 
ni 500/50 = 10 8 13 10 9,5 10 12 10,5 12 12,5 
Não-conformidades/ni 14/10 = 1,4 1,5 1,54 1,10 0,74 1,0 1,75 1,52 1,58 1,84 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 77 
Calculando 42,1
5,107
153
n
D
u
m
1i
i
i
m
1i




 
 
Assim, os limites de controle ficariam da seguinte forma: 
 
Número do rolo, “i” m2 ni LSC = 
u
+
in/u3
 LSC = 
u
-
in/u3
 
1 500 10,0 2,55 0,29 
2 400 8,0 2,68 0,16 
3 650 13,0 2,41 0,43 
4 500 10,0 2,55 0,29 
5 475 9,5 2,58 0,26 
6 500 10,0 2,55 0,29 
7 600 12,0 2,45 0,39 
8 525 10,5 2,52 0,32 
9 600 12,0 2,45 0,39 
10 625 12,5 2,43 0,41 
 
Portanto, os limites de controle seriam: 
 
 
 
Abordagem 2 
 
Esta abordagem implicaria usar um estatístico padronizado, como o mostrado a seguir: 
 
 
 
Exercício: Um fabricante têxtil deseja elaborar um gráfico de controle para irregularidades (por exemplo, 
manchas de óleo, fios soltos e peças rasgadas) por cada 84 m2 (100 jardas quadradas) de carpete. Analisou-se 
uma peça (cada peça tem 84 m2) por dia, durante 20 dias, obtendo-se os seguintes resultados: 
 
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Irregularidades da amostra 11 8 9 12 4 16 5 8 17 10 
Dia 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Irregularidades da amostra 11 5 7 12 13 8 19 11 9 10 
 
a) Se tivesse que controlar o número de irregularidades por m2, que gráfico utilizaria? 
b) Calcule os limites de controle para um gráfico u (use regra r1). 
c) Suponha que cinco novas amostras tivessem 15, 18, 12, 9 e 0 irregularidades. O que você conclui? 
d) Calcule os limites de controle para um gráfico U que controle as irregularidades por jarda quadrada 
(use regra r1). 
Número do rolo
101 2 3 4 5 6 7 8 90,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Nã
o-c
onf
orm
ida
des
 po
r 
un
ida
de 
de 
con
tro
le u
i
2,55
0,16
2,41 2,45
2,52
2,68
2,43
2,58
0,26 0,29
0,32 0,39 0,41
0,43
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 78 
 Respostas: 
 a) Gráfico u. 
 b) LSC = 2,51866;  = 2,05; LIC = 1,58133;  = 0,1562. 
 c) Processo sob controle. 
 
Exercício: Uma fábrica de papel usa uma carta de controle para monitorar as imperfeições dos rolos durante 
sua produção. Registrou-se durante 20 dias amostras de 18 rolos na saída da produção, obtendo-se os 
resultados mostrados abaixo. 
 
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ 
Imperfeições 12 14 20 18 15 12 11 15 12 10 139 
Dia 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ∑ 
Imperfeições 13 12 14 18 18 15 19 18 15 14 156 
 
a. Sabendo que os rolos são vendidos em pacotes de três e supondo que as 10 primeiras amostras sejam 
suficientes para calcular os limites de controle, determine os limites de controle para um gráfico que 
controle o número de imperfeições por lotes de venda (de três em três) . Use r1. 
b. Considerando as amostras de 11-20, determine se o processo está sob controle (use todas as regras). 
c. Sabendo que no máximo são aceitos 3 imperfeições por rolo, qual é a proporção de rolos que deverão 
ser rejeitados por não cumprir as especificações?. Aproxime com a normal. 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 79 
f) Gráfico de Controle da Soma Acumulada - CUSUM 
Os gráficos de controle da soma acumulada, ou simplesmente Cusum, foram introduzidos por volta de 
1950. Existem alguns processos nas áreas mecânica, eletrônica, metalúrgica, nuclear e química, bem como 
em algumas atividades especiais, nas quais a necessidade de um controle altamente efetivo demanda uma 
elevada sensibilidade às variações apresentadas pelo processo. Desse modo, é muito importante se detectar 
qualquer variação tão logo ela ocorra, especialmente quando o processo é contínuo ou consiste de uma linha 
contínua de itens. Os gráficos Cusum são geralmente utilizados para detectarem essa variação. 
Basicamente, temos uma característica de qualidade, por exemplo, a quantidade de cobre na 
composição de um aço de alta resistência e baixa liga. Queremos avaliar os resultados dessa característica 
em relação ao valor percentual padrão de 0,35%, ou seja, 0,0035, através da acumulação dos desvios entre o 
valor observado e o valor padrão. Então, calculamos as diferenças; Cusum Cobre = 



n
1i
i )035,0S(
, onde 
iS
 
é o valor observado do item i. Desse modo, se 0,0035 estiver realmente perto dos valores observados de 
iS
, 
a soma das diferenças ficará muito próxima de zero. Mas se o valor médio da característica sendo observada 
for significativamente diferente de 0,0035, o Cusum irá se afastar de zero, aumentando ou diminuindo em 
relação à zero, caso a soma das médias dos valores observados seja maior ou menor do que 0,0035. 
Os gráficos Cusum podem ser usados também para amplitudes, e são ainda utilizados para detectarem 
variações pequenas que sejam constantes no desvio padrão do processo. 
Para encerrar o estudo dos gráficos de controle, mencionaremos que os tipos de gráficos de controle 
introduzidos até esse ponto são os utilizados normalmente nas organizações industriais e de serviços. 
Devemos ter em mente de que existem basicamente dois tipos de riscos de decisão associados com o uso de 
gráficos de controle. O risco de se assumir uma condição de fora de controle para um determinado processo 
quando na realidade não ocorreu nenhuma mudança na população ou universo de amostragem (conhecido 
como erro do Tipo I), e o risco de não se detectar uma variação real na população ou universo de 
amostragem quando na realidade ocorreu uma mudança na população (conhecido como erro do Tipo II). Os 
limites de controle, os quais representam os limites esperados de variação permitida, são estabelecidos com 
a finalidade de balancear esses dois tipos de riscos ou erros associados com o uso de gráficos de controle. 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE OS GRÁFICOS DE CONTROLE: 
 
 É importante fazer um uso correto dos gráficos de controle. Isso implica usar um gráfico adequado 
para o processo que vai ser ou está sendo controlado. Quando a variável sendo mensurada é contínua como 
peso ou volume, a situação exige o uso de gráficos para médias e variabilidade (
x
 e R ou 
x
 e S) a fim de 
monitorar as médias e a variabilidade (amplitudes ou desvios padrões) das amostras (ou subgrupos) e 
consequentemente as médias e a variabilidade do processo. E se os dados vêm em subgrupos de tamanho 
unitário, então é indicada a utilização dos gráficos de medidas individuais e de amplitude móvel. 
 Quando o dado é uma porcentagem que representa a proporção de peças defeituosas numa amostra, o 
gráfico correto seria o gráfico P ou NP. Gráficos para porcentagens não-conformes necessitam amostras 
muito maiores, mas a peça sendo amostrada é em geral quase insignificante em termos de custo por item, 
como lápis, fósforos, porcas e parafusos. É um erro comum e muito grave aplicar porcentagens num gráfico de 
médias 
x
. Como o desvio padrão não é o mesmo nesses dois gráficos, o cálculo dos limites de controle é 
diferente e não comparável. O resultado pode ser muitos alarmes falsos ou alarmes verdadeiros não dados. 
 Quando o dado é um número de defeitos num produto onde as possibilidades de encontrar defeitos 
são amplas, o gráfico correto é o gráfico C ou P. Gráficos para item não-conformes com defeitos de natureza 
ampla como o gráfico C ou P não necessitam amostras muito maiores, sendo que geralmente o item que está 
sendo amostrado é em geral bastante significativo em termos de custo por item, como geladeiras, 
computadores, televisores, etc. 
 Um gráfico de controle, mesmo utilizado de forma incorreta pode gerar benefícios para a empresa. No 
entanto, com alguns ajustes e algumas sugestões chave, os alarmes falsos que resultam diretamente do mau 
uso dos gráficos podem ser reduzidos ao mínimo e, consequentemente, tempo, esforço e recursos serão 
liberados para alocação em tarefas e áreas da empresa onde sejam mais necessários. Nada na empresa é 
mais real do que alarmes falsos, e naturalmente esses incorrem em custos altos e desnecessários, e devem 
ser mantidos em número mínimo. Nesses casos, o CMC e TMAS são ferramentas que podem ajudar a 
detectar os alarmes falsos com maior precisão. 
 Quando aparecem processos fora de controle, em primeiro lugar sempre se questiona a precisão dos 
aparelhos de medição, mesmo sendo dos mais modernos e mais na moda. Em geral, uma hora ou duas 
horas é suficiente para testar o seu equipamento e ficar mais confiante quanto às mensurações. Depois de 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 80 
fazer isso, é que devemos procurar quais causas identificáveis podem estar fazendo com que o processo não 
este sob controle. A sequência da busca das causas identificáveis deve estar determinada por uma análise de 
Pareto das mesmas. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 81 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) 
 
 Johnson e Bhattacharyya (1996) estabelecem que quando queremos comparar se alguma forma de 
tratamento (ou método) sobre algum objeto de estudo é o melhor, então a forma mais recomendável de 
abordar o problema é utilizar a Analise de Variância (ANalysis Of VAriance = ANOVA). Na ANOVA se 
supõem as seguintes condições: 
 
 De cada população sob estudo, é extraída uma amostra de forma aleatória (a amostragem deve ser 
aleatória). 
 Todas as variáveis são mantidas fixas, exceto aquela que é objeto de estudo (independência dos erros, o 
erro numa observação não deve corresponder ao erro em outra observação). 
 As populações “i” sob amostragem podem ser satisfatoriamente aproximadaspor distribuições normais 
),(N 2i 
, isto é, todas as populações têm uma média µi e uma variância comum 2 . Ter a variância 
comum implica que exista “homogeneidade da variância”. 
 
 Quando comparamos “k” tratamentos, podemos obter uma tabela inicial de dados, como a tabela 1, 
indicada abaixo: 
 
Tratamentos Observações Média do tratamento Soma dos Quadrados 
Tratamento 1 y11, y12, ....., 
1n1
y
 
1y
 



1n
1j
2
1j1
)yy(
 
Tratamento 2 y21, y22, ....., 
2n2
y
 
2y
 



2n
1j
2
2j2
)yy(
 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
Tratamento k yk1, yk2, ....., 
knk
y
 
ky
 



nk
1j
2
kjk
)yy(
 
Tabela 1: Tabela inicial de dados 
 
 
Nota-se que no âmbito da ANOVA, basicamente existem duas fontes de variação: 
 
 Devido à diferença entre as médias dos tratamentos, e 
 
 Devido à variação entre as populações (erro entre as populações). 
 
Assim, decompondo as diferenças entre as observações, em relação às fontes mencionadas, teremos: 
 
 Observação = Média de medias + Desvio entre os Tratamentos + Erro aleatório (dentro do mesmo grupo) 
 
jiy
 = 
y
 + (
yyi 
) + (
iji yy 
) 
 
quando os tamanhos das amostras são diferentes, a Média das Medias se calcula da seguinte forma: 
 
 Média de médias = 
k21
kk11
k21 n.....nn
yn.......yn
n.....nn
sobservaçõeastodasdeSoma
y





 
 
quando os tamanhos das amostras são iguais (n1 = n2 = .... = nk) se cumpre: 
 
k
y
ymédiasdasMédia
n
1i
i


 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 82 
 Também, considerando as duas fontes de variação, podemos decompor a soma total da diferença dos 
quadrados como a soma dos quadrados das diferenças em relação aos tratamentos, mais, a soma dos 
quadrados dos erros (no mesmo grupo), da seguinte forma: 
 
Soma dos Quadrados Total = Soma dos Quad. dos Tratamentos + Soma dos Quadrados dos Erros 
 
 SS Total = SST + SSE 
 
 



ni
1j
2
ji
k
1i
)yy(
 = 



k
1i
2
ii
)yy(n
 + 



ni
1j
2
iji
k
1i
)yy(
 
 
Em relação aos graus de liberdade de cada Soma de Quadrados teremos: 
 
Graus de Liberdade de SS Total = Graus de Liberdade de SST + Graus de Liberdade de SSE 
 
 
1n
k
1i
i 

 = 
1k 
 + 
kn
k
1i
i 

 
 
 É costumeiro apresentar a decomposição das Somas dos Quadrados numa tabela, denominada “tabela 
ANOVA”, da seguinte forma: 
 
Fonte Soma dos Quadrados 
Graus de 
Liberdade 
Média dos 
Quadrados 
Estatístico F 
Tratamento 



k
1i
2
ii
)yy(nSST
 V1 = 
1k 
 
1v
SST
MST 
 
MSE
MST
F 
 
Erro 



ni
1j
2
iji
k
1i
)yy(SSE
 V2 = 
kn
k
1i
i 

 
2v
SSE
MSE 
 
Total 



ni
1j
2
ji
k
1i
)yy(
 
1n
k
1i
i 

 
Tabela 2: Tabela ANOVA 
 
 
onde : 
k = Número de Tratamentos; 
ni = Tamanho da amostra do tratamento “i”; 
 
 
Nesta tabela, apresentam-se novos valores, os quais se denominam: 
 
 MST = Média dos Quadrados dos Tratamentos = 
1v
SST
1k
SST


 
 
 MSE = Média dos Quadrados dos Erros = 
2
k
1i
i
v
SSE
kn
SSE



 
 
 Estatístico F (ou simplesmente F) = 
licadaexpnãoVariância
licadaexpVariância
MSE
MST

 
 
 O estatístico F, é o valor que se utiliza no “teste F” que serve para determinar se existem diferenças 
significativas entre as médias dos “k” tratamentos. O teste consiste das seguintes hipóteses: 
 
 Hipótese Nula: H0 : μ1 = μ2 = ..... = μk 
 Hipótese Alternativa: H1: μ’s são ≠ 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 83 
 Assim, o “teste F” consiste de comparar o valor calculado do estatístico F, contra um valor tabelado de 
F, quase sempre identificado como F (v1,v2), onde: 
 
“” é o nível de significância, 
“v1” são os graus de liberdade da soma dos Quadrados dos Tratamentos (SST), e 
“v2” são os graus de liberdade da Soma dos Quadrados dos Erros (SSE). 
 
Observação: O “1 - ” indica percentualmente o quanto nós temos certeza de que o teste foi bem 
realizado, tudo isso é claro, desde o ponto de vista estatístico. 
 
 O “teste F” consiste de: 
 
 Se F ≥ Fα (v1,v2) rejeitar Ho e aceitar H1; 
 caso contrário (F < Fα (v1,v2)) , aceitar Ho e rejeitar H1. 
 
 Portanto: Se F > Fα (v1,v2), significará que pelo menos uma das médias dos tratamentos é diferente, 
conseqüentemente, existirá pelo menos uma média dos tratamentos que é melhor que as outras médias, sob 
as condições estatísticas estabelecidas. 
 
 Se F < Fα (v1,v2), significará que as médias dos tratamentos são iguais, conseqüentemente, poderá ser 
escolhido qualquer um dos tratamentos já que todos os tratamentos produzem resultados iguais, sob as 
condições estatísticas estabelecidas. 
 
Exercício: Deseja-se comparar três marcas de máquinas diferentes e decidir qual delas comprar. Para 
diminuir a variação aleatória, se decidiu que as mesmas sejam manipuladas por um mesmo operador e 
seja utilizada matéria prima de um mesmo fornecedor. Mediante uma amostragem aleatória, 
obtiveram-se os seguintes dados de produção: 
 
Máquina 1 48,4 49,7 48,7 48,5 47,7 
6,48
1
y
 
Máquina 2 56,1 56,3 56,9 57,6 55,1 
4,56
2
y
 
Máquina 3 52,1 51,1 51,6 52,1 51,1 
6,51
3
y
 
 
y
 52,2 
São realmente as marcas diferentes, desde o ponto de vista produtivo? (Use n.s. =  = 5%= 0,05). 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 84 
COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS 
 
 A ANOVA, só estabelece se existe (ou não existe) alguma diferença estatisticamente significativa entre 
as médias dos tratamentos. O próximo passo, sem dúvida nenhuma, seria determinar “qual ou quais 
medias dos tratamentos” são as melhores. 
 Nós poderíamos comparar as médias “por pares”, e depois decidir qual delas é a melhor. O termo “por 
pares” significa que si se estão comparando três tratamentos, nós teríamos que comparar primeiro o 
tratamento 1 vs. o tratamento 2, o tratamento 1 vs. o tratamento 3, e finalmente o tratamento 2 vs. o 
tratamento 3. Após todo esse processo, nos estaríamos em condições de determinar qual dos tratamentos é o 
melhor. Não é difícil notar que se o número de tratamentos aumenta-se, as comparações que precisaríamos 
fazer também aumentariam consideravelmente. 
 Sob as condições mencionadas no parágrafo anterior, poderíamos estabelecer, que se houvesse um 
procedimento com o qual comparássemos todas as médias dos tratamentos de uma vez só, esse 
procedimento seria mais factível, se fariam uma menor quantidade de cálculos e consequentemente seria 
mais rápido. 
 
Procedimento de Tukey-Kramer: 
 Existem muitos procedimentos para abordar o problema de determinar qual ou quais são as melhores 
médias dos tratamentos. Um deles é o Método de Tukey-Kramer. Esse procedimento nos possibilita examinar, 
simultaneamente comparações entre todos os pares de médias dos tratamentos. Suponha “k” sendo o 
número de linhas e “n” o número total de observações. 
 
Passo 1:Se ordenam as médias amostrais em ordem crescente. Depois se calculam as diferenças absolutas Ii =  
,yy ii 
 , (onde i ≠ i’) entre todos os pares de médias dos tratamentos. É bom ressaltar que se existem “k” 
tratamentos, se farão 
2
)1k(k 
 comparações. Note que se existirem 4 tratamentos, o passo 1 consiste de 
obter: 
 
436425324413312211
yyI;yyI;yyI;yyI;yyI;yyI 
; 
 
Passo 2: 
 Consiste de determinar o intervalo crítico para o procedimento de Tukey-Kramer. Ele é obtido da 
seguinte forma: 
 Intervalo Crítico de Tukey-Kramer = ICi = 









'n
1
n
1
2
MSE
Q
ii
)kn,k(
, 
Onde: 
 ni = Tamanho da amostra do tratamento “i”; 
 MSE = Soma dos quadrados dos erros; 
 
)kn,k(Q 
 = Valor crítico do intervalo Q de Student; 
 Note que se existirem 4 tratamentos, o passo 2 consiste de obter: 
 








 
21
)kn,k(1
n
1
n
1
2
MSE
QIC
;








 
31
)kn,k(2
n
1
n
1
2
MSE
QIC
; 
 








 
41
)kn,k(3
n
1
n
1
2
MSE
QIC
; 








 
32
)kn,k(4
n
1
n
1
2
MSE
QIC
; 
 








 
42
)kn,k(5
n
1
n
1
2
MSE
QIC
;








 
43
)kn,k(6
n
1
n
1
2
MSE
QIC
 
 
Passo 3: 
 Consiste de comparar Ii e ICi da seguinte forma: 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 85 
 Se Ii > ICi, então EXISTIRÁ uma diferença estatística significativa entra as médias dos 
tratamentos considerados, portanto: 
 se 
'yy
ii

, então estatisticamente 
iy
 é melhor que 
'y i
, 
 se 
'yy
ii

 , então estatisticamente 
'y i
 é melhor que 
iy
 
 
Observação: Quando Ii >> IC, teremos maior certeza de que uma das médias dos 
tratamentos é melhor (em função dos parâmetros considerados) que a outra média. 
 
 Se Ii  ICi, então NÃO EXISTIRÁ uma diferença estatística significativa entre as médias dos 
tratamentos considerados, portanto, estatisticamente teremos consideraremos que 
iy
 é 
equivalente 
'y i
 , 
 Note que se existirem 4 tratamentos, o passo 3 consiste de comparar: I1 com IC1; I2 com IC2 ; I3 com IC3 
; I4 com IC4 ; I5 com IC5 e I6 com IC6 . Finalmente, de acordo as regras do passo 3, se determinará se existe 
uma Média de Tratamento melhor (ou pior). 
 
Exercício: Uma grande firma de propaganda utiliza muitas fotocopiadoras, distribuídas entre 4 modelos 
diferentes. Durante os últimos 6 meses, o chefe do escritório registrou, para cada máquina, o número médio 
de minutos/semana em que esteve parada devido reparos; resultaram os seguintes dados: 
Modelo G 56 61 68 42 82 70 
Modelo H 74 77 92 63 54 
Modelo K 24 36 29 56 44 48 38 
Modelo M 78 86 89 101 61 
(a) Ao nível de 0,01 de significância, teste se as diferenças entre as quatro médias amostrais podem ser 
atribuídas ao acaso, ou seja, determine se os modelos podem ser considerados iguais. 
(b) Se existem diferenças significativas, determine qual das copiadoras tem a melhor média de 
minutos/semana. 
Respostas: 
(a): SST = 6438,996; SSE = 3370,261 
 F = 12,1 F(, v1, v2) = F(0,01; 3; 19) = 5,01; portanto: Existem diferenças significativas 
(b) Q(, k, n - k) = Q(0,01; 4; 19) = 5,05; O melhor Modelo é o modelo K. 
 
Exercício: Deseja-se comparar três marcas de máquinas diferentes e decidir qual delas comprar. Para 
diminuir a variação aleatória, se decidiu que as mesmas sejam manipuladas por um mesmo operador e seja 
utilizada matéria prima de um mesmo fornecedor. Mediante uma amostragem aleatória, obtiveram-se os 
seguintes dados de produção: 
 
Máquina 1 48,4 49,7 48,7 48,5 47,7 
6,48
1
y
 
Máquina 2 56,1 56,3 56,9 57,6 55,1 
4,56
2
y
 
Máquina 3 52,1 51,1 51,6 52,1 51,1 
6,51
3
y
 
 
y
 52,2 
 
a) São realmente as marcas diferentes, desde o ponto de vista produtivo? (Use n.s. =  = 5%= 0,05). 
b) Que marca é a mais produtiva, conseqüentemente, qual marca você compraria? 
c) Que marca é a menos produtiva, conseqüentemente, qual marca você não compraria? 
Respostas: 
a) F = 141,68; F(0,05; 2; 12) = 3,89; como F  F (0,05; 2; 12), então, se aceita H1, portanto, existe uma 
marca (ou marcas) melhor do que as outras. 
b) As marcas 2 e 3. c) A marca 1. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 86 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE DOIS FATORES 
(ANOVA DE DOIS FATORES) 
 
 Na Análise de Variância de um fator (ANOVA) uma questão importante é como reduzir a variância não 
explicada mediante a consideração de outros fatores (Wonnacott e Wonnacott, 1992). Considere a tabela 
abaixo. Suponha o caso da comparação de três tipos de máquinas (“i”), e ainda mais, pense que em geral as 
máquinas têm um desempenho similar (note que se uma máquina é muito melhor do que as outras, não 
seria necessário a comparação das mesmas mediante a ANOVA ou qualquer outro método). Agora, outra 
coisa importante é pensar que as máquinas são operadas por um trabalhador (“j”), e que a maioria das 
vezes não é o mesmo operador quem mexe nas máquinas. Portanto, note que as máquinas são uma fonte de 
variação e além disso, o operador também é uma fonte de variação, que no Anova de um fator não é 
considerada (aparece como variância não explicada) e no Anova de dois fatores sim é considerado. 
Portanto, a Anova de dois fatores considera tanto a variação (explicada) das máquinas e a variação 
(explicada) do operário. 
 
 j 
ix
 
 1 56,7 45,7 48,3 54,6 37,7 48,6 
i 2 64,5 53,4 54,3 57,5 52,3 56,4 
 3 56,7 50,6 49,5 56,5 44,7 51,6 
 
jx
 59,3 49,9 50,7 56,2 44,9 
x
52,2 
 
 Note que os valores ni são todos iguais, isto é, os tamanhos das amostras são iguais. A Tabela Anova 
de dois fatores fica da seguinte forma (“k” representa o número de linhas e “c” o numero de colunas): 
 
Fonte da 
Variação 
Variação 
Soma dos quadrados 
Graus de 
liberdade 
Variância 
F 
Explicada 
(linhas) 2ik
1i
k )X.X(cSS  

 k – 1 
1k
SS
MSS
k
k

 
u
k
MSS
MSS
 
Explicada 
(colunas) 2j
c
1j
c )X.X(kSS  

 c – 1 
1c
SS
MSS
c
c

 
u
c
MSS
MSS
 
Não 
explicada 
2
jiji
c
1j
k
1i
u )X.X.XX(SS  

 
(k – 1) (c – 1) 
uMSS
 
)1c)(1k(
SS u

 
 
Total 
2
ji
c
1j
k
1i
)XX(SS  

 k c – 1 
 
onde: 
c
X
"i"nívelnomantémseAfatoroquandoobtidasmediçõesdasMédia.X
ji
c
1j
i



 
k
X
"j"nívelnomantémseBfatoroquandoobtidasmediçõesdasMédia.X
ji
k
1i
j



 
ck
X
MédiagrandeAX
ji
c
1i
k
1i



 
 
 O termo da variação não explicada pode ser entendido da seguinte forma: 
Valor estimado de 
jiXˆ
 = 
X
 + Ajuste explicado das máquinas + Ajuste explicado dos trabalhadores 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 87 
 
jiXˆ
 = 
X
 + 
)X.X( i 
 + 
)X.X( j 
 
 
portanto, 
X.X.XXˆ jiji 
 
 
 Como a parte não explicada é a parte aleatória, essa parte aleatória na verdade é a diferença entre o 
valor real de 
jiX
 e o valor estimado 
jiXˆ
, consequentemente: 
 
X.X.XXXˆX jijijiji 
 
 Deve ficar claro que o elemento aleatório 
X.X.XXXˆX jijijiji 
 representa a parte não 
explicada dos dois fatores considerados. Note que a variação das linhas sedetermina quase que da mesma 
forma que a variação das colunas. Assim, a variação total se pode decompor da seguinte forma: 
 
2
jiji
c
1j
k
1i
2
j
c
1j
2
i
k
1i
2
ji
c
1j
k
1i
)X.X.XX()X.X(k)X.X(c)XX(  

 
 
 A partir da variação total mostrada acima se pode provar se existe uma diferença significativa entre as 
máquinas ou entre os trabalhadores. Em ambos casos se terá em contra a influência extrínseca do outro 
fator. Portanto os valores de F para as máquinas e os trabalhadores será: 
 
F(0,05; 2; 8) = 4,46; 
1,13
9,5
4,77
licadaexpnãoVariância
máquinaspelaslicadaexpVariância
MSS
MSS
F
u
k 
 
 
F(0,05; 4; 8) = 3,84; 
2,16
9,5
4,95
licadaexpnãoVariância
restrabalhadopeloslicadaexpVariância
MSS
MSS
F
u
c 
 
 
Portanto, tanto para as máquinas, quanto para os trabalhadores existem diferencias significativas, 
consequentemente se rejeita a hipótese nula em ambos os casos. 
Uma última advertência: o anova de dois fatores considera que não há interação entre os dois fatores, 
isto é, os trabalhadores não têm preferência de manipular alguma máquina, se existisse preferência seria 
necessário um modelo mais complexo e mais observações amostrais. 
 
Comparações múltiplas: 
 Supondo que “A” significa linha e “B” coluna. Para um problema de Anova de 2 fatores, quando H0A 
(hipótese alternativa das linhas) ou H0B (hipótese alternativa das colunas) foram rejeitadas, se pode utilizar o 
procedimento de Tukey-Kramer para identificar as diferenças significativas nas linhas ou nas colunas. Os 
passos são idênticos ao anova de um fator (Devore, 2008): 
 
Passo 1: Para comparar os níveis do fator A (as linhas) se obtém Q ; k; (k-1)(n–1). Para comparar os níveis 
do fator B (as colunas) se obtém Q ; c; (k-1)(n–1). 
 
Passo 2: Se calcula w = Q x (desvio padrão estimado das médias amostrais comparadas). Lembre que o 
desvio padrão de 
.X i
 é 
k/
. 
 










Bfatordoscomparaçõepara
k
MSS
)1n()1k(;c;Q
Afatordoscomparaçõepara
c
MSS
)1n()1k(;k;Q
w
u
u
 
 
Passo 3: Se ordenam as médias amostrais em ordem crescente, se sublinham os pares que diferem menos 
que w e se identificam os pares não sublinhados pela mesma linha como correspondentes à níveis 
significativamente diferentes do fator dado. 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 88 
Exercício: Uma grande firma de propaganda utiliza muitas fotocopiadoras, distribuídas entre 3 modelos 
diferentes. Os operários das máquinas variam. Durante os últimos 6 meses, o chefe do escritório registrou, 
para cada máquina, o número médio de minutos/semana em que esteve parada devido reparos. Resultaram 
os seguintes dados: 
 
Modelo G 56 61 68 42 82 
Modelo H 74 77 92 63 54 
Modelo M 78 86 89 101 61 
 
a) Ao nível de 0,01 de significância, teste se as diferenças entre as 3 médias amostrais podem ser atribuídas 
ao acaso, ou seja, determine se os modelos podem ser considerados iguais. 
b) Se existem diferenças significativas, determine qual das copiadoras tem a melhor média de 
minutos/semana. 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 89 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
CARNEIRO BRAVO, PAULO. Elementos de Controle Estatístico de Qualidade – 6° Simpósio Nacional de 
Probabilidade e Estatística, Editora da COPPE UFRJ, R.J., Brasil, 1984. 
 
CARPINETTI, LUIZ CESAR RIBEIRO; EPPRECHT, EUGENIO KAHN; COSTA, ANTONIO 
FERNANDO BRANCO COSTA. Controle Estatístico de Qualidade, Editora Atlas, 2ª Ed., S.P., Brasil, 
2005. 
 
DEVORE, JAY. Probabilidade e Estadística: para Engenharia e Ciências, Editora Cengage Learning, Brasil, 
2006. 
 
JOHN, PETER. Statistical Methods in Engineering and Quality Assurance, John Wiley & Sons Inc., USA, 
1990. 
 
MONTGOMERY, DOUGLAS. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade, Livros Técnicos e 
Científicos, 4ª Ed., S.P., Brasil, 2004. 
 
NAHMIAS, STEVEN. Análisis de la producción y las operaciones, Mc Graw Hill Intereamericana, México, 
2007. 
 
SOUZA JR., DANIEL I. Apostila de Controle Estatístico da Qualidade Industrial da Universidade Estadual 
do Norte Fluminense (UENF), Campos dos Goitacazes, R.J., Brasil, 1998. 
 
TOLEDO, JOSÉ; ALLIPRANDINI, DÁRIO. Apostila de Controle Estatístico da Qualidade Industrial da 
Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), São Paulo, Brasil, 2004. 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 90 
FORMULÁRIO CEQ 
 
 Histogramas: Regra Prática para encontrar os percentis P(p) 
 
 S(p) = n (0,p) + (k/2) 
 
 Onde: 
 “S(p)” indica a posição do termo da amostra que define o percentil procurado. 
 “n” é o número de observações 
 “p” é o percentil procurado 
 “k” é uma constante 
 
 



)p(Spordefinidoseirosinttermosdosmédiaàigualé)p(P,contráriocaso
)p(Spordefinidotermoaoigualé)p(Pentão,eirointnúmeroumé)p(S
Se
 
 onde: 
 P(p) é o percentil procurado. 
 
 Número de Intervalos (NI) num Diagrama de Frequências: 
 
 Regra Prática: NI = 
n
 Regra de Sturges: NI = 1 + 3,3 log n 
 
 Medidas de Curtose: 
Coeficiente Percentílico de Curtose = 
)PP(2
)QQ(
C
)10()90(
13



 
 Relativamente à curva normal, temos: 
C = 0,263 (curva mesocúrtica – curva normal) 
C < 0,263 (curva leptocúrtica – curva de frequência mais fechada que a normal ou mais aguda ou 
afilada em sua parte superior) 
C > 0,263 (curva platicúrtica – curva de frequência mais aberta que a normal ou mais achatada em sua 
parte superior) 
 
 Coeficiente de Assimetria de Person: 
 
 
padrãoDesvio
)MedianaMédia(3
)as(C


 
As escalas de assimetria são: 
 
 | C(as) | < 0,15 assimetria pequena (se aproxima da normal) 
0,15  | C(as) | < 1 assimetria moderada 
 | C(as)) |  1 assimetria elevada 
 
 Distribuição de Poisson: 
 
A função de distribuição de probabilidade de uma vad X de Poisson é dada por: 
 
!x
e
)x(f);x(p
x


, x = 0, 1, 2, ..... 
A função acumulativa da distribuição de Poisson está dada por: 
 






r
0x
xr
0x !x
e
);x(p);r(P
 
Em geral a média µ de uma distribuição de Poisson e a variância 2 são iguais a: 
 
µ =  e 2 =  
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 91 
Aproximação da Binomial com a Normal: 
 
 A distribuição binomial, em casos práticos, se aproxima da normal quando se trabalha com a função de 
distribuição acumulada e quando n → ∞. Se X é uma va binomial com média µ = np e variância σ2 = npq, 
então a forma limitante da distribuição de: 
 
qpn
pnX
Z


 
Se p = p0 temos: 
000 qpnzpnc 
 
 
Se p = p1 temos: 
111 qpnzcpn 
 
 
Consequentemente: 
01
1100
pp
qpzqpz
n




 e “c” pode ser calculado depois de obter o 
valor de “n” 
 
 Distribuição Hipergeométrica: 
 
A distribuição hipergeométrica, com parâmetros n, N e M é: 
 
!)nN(!n
!N
n
N
onde),n,M(mínm0para
n
N
mn
MN
m
M
)md(P




























 
 
 Distribuição Exponencial: 
 
 A fdp exponencial é fácil de integrar para obter a função de densidade acumulativa F(X): 
 








 0xparae1
0xpara0
e)xX(P);x(F
x
x
0
x
 
 
PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES 
 
N = número de itens de um lote 
n = número de itens da amostra (n < N) 
M = número de itens defeituososno lote 
 = risco do consumidor (probabilidade de aceitar lotes ruins) 
 = risco do produtor (probabilidade de rejeitar lotes bons) 
c = número de aceitação do lote 
d = número de itens defeituosos na amostra 
p = proporção de itens defeituosos no lote (p = M/N) 
p0 = É uma proporção que define o Nível de qualidade aceitável (NQA) 
p1 = É uma proporção que define o Nível de qualidade inaceitável (NQI) 
 
Testar: 
Se na amostra d  c, então aceitar o lote 
Se na amostra d > c, então rejeitar o lote 
 
Usando a aproximação binomial, o risco do produtor e o risco do consumidor são dados por: 
 
mn
0
m
0
n
1cm
0 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 92 
mn
1
m
1
c
0m
1 )p1(pm
n
)pp|cd(P 







 
 
 
Na maioria de aplicações, N é muito maior que “n”, de forma que é satisfatória a aproximação da 
distribuição hipergeométrica pela distribuição binomial. Nesse caso teríamos: 
 
nm0para)p1(p
m
n
)md(P mnm 





 
 
 
onde: p = M/N é a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote. 
 
CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO 
 
CCO(p) = p [ Aceitar o lote|Proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é igual a p ] 
 
Isso, para o caso particular de um plano de amostragem simples com uma amostra de tamanho “n” e 
um nível de aceitação “c”. Nesse caso: 
 
CCO(p) = p [ d  c|Proporção de itens defeituosos no lote é “p” ] 
 
 
knk
c
0k
)p1(p
k
n
)p(CCO 







 
 
 
Define-se a Função Característica de Operação como sendo: L(p) = F(), onde L(p) é a probabilidade de 
aceitação de um lote em função de “p”, ou seja, em função da proporção defeituosa do lote. 
 
dn
0
d
0
c
0d
0 )p1(pd
n
1)P(L 







 
 
 
dn
1
d
1
c
0d
1 )p1(pd
n
)P(L 







 
 
 
AMOSTRAGEM DUPLA 
 
d1 = número de unidades defeituosas na primeira amostra 
d2 = número de unidades defeituosas na segunda amostra 
c1 = primeiro número de aceitação 
c2 = segundo número de aceitação 
c3 = número de rejeição da segunda amostra 
 
Testar: 
 
Considerando a primeira amostra: 
Se na primeira amostra d1  c1, então aceitar o lote 
Se na primeira amostra d1 > c2, então rejeitar o lote 
Se na primeira amostra c1 < d1  c2, tirar uma segunda amostra de tamanho dado pelo plano 
 
Para a segunda amostra somar (d1 + d2): 
Se na segunda amostra (d1 + d2)  c2, então aceitar o lote 
Se na segunda amostra (d1 + d2) > c3, então rejeitar o lote (em geral c3 = c2) 
 
Definindo: 
 X = número de itens defeituosos observados na primeira amostra 
 Y = número de itens defeituosos observados na segunda amostra 
 Z = número de itens defeituosos observados nas duas amostras (Z = X + Y) 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 93 
 
A curva CCO estará definida por: CCO(p) = p [ Aceitar o lote|p ] 
 
CCO(p) = p [ Aceitar o lote na 1° amostra|p ] + p [ Aceitar o lote na 2° amostra|p ], 
onde: 
 
p [ Aceitar o lote na 2° amostra|p ] = p [ Nem aceitar nem rejeitar o lote na 1° amostra e aceitar o lote 
 na 2° amostra|p ] 
 
Observação: O cálculo de p [ Aceitar o lote na 2° amostra|p ], é o cálculo de uma probabilidade 
conjunta, e deve se fazer de forma cuidadosa, considerando X e Y como va independentes. 
 
 
REGRAS PARA O USO DOS PLANOS DE AMOSTRAGEM 
 
Comum para severa 
Severa para comum 
Comum para atenuada 
Atenuada para comum 
 
GRÁFICOS DE CONTROLE: 
 
“n” = Tamanho das amostras ou Número de observações por amostra; 
“m” = Número de Amostras 
Regras: 
r1. Um ponto cair fora dos limites de 
x
3
 (além da zona A). 
r2. Ter seis pontos consecutivos que estejam crescendo ou, seis pontos consecutivos decrescendo. 
r3. Ter seis pontos consecutivos acima da linha central ou, seis pontos consecutivos abaixo da 
linha central. 
r4. Dois de três pontos consecutivos caírem além dos limites de 
x
2
 (além da zona B). 
r5. Quatro de cinco pontos consecutivos caírem além dos limites de 
x
1
 (além da zona C). 
 
• Média Amostral: 
n
x
x i


 • Desvio Padrão Amostral: 
1n
)xx(
s
2
i




 
• Desvio padrão usado nas zonas de um gráfico de controle: 
3
LSC 

 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 94 
 Fórmulas para os Gráficos de Controle (estimando µ e ): 
 
 LIC  LSC Observações 
Limites 
Naturais 
de 
Tolerância 
 3X
 
m
x
X
m
1i
i


  3X
 Estimando µ e  
x
 
n
3X


 
X
 
n
3X


 Estimando µ 
e conhecendo , n 
Limites de 
Controle x3X 
 
X
 
x
3X 
 
Estimando µ e 
x

 
nx


 
x
 
RAX 2
 
X
 
RAX 2
 
mínmáx xxR 
 
R 
RD 3
 
m
R
R
m
1i
i


 RD 4
 
2d
R
ˆ 
 
 
x
 
SAX 3
 
X
 
SAX 3
 
S 
SB 3
 
m
S
S
m
1i
i


 SB 4
 
4c
S
ˆ 
 
x
 
128,1
AMx3
X 
 
X
 
128,1
AMx3
X 
 
AM
 0 
1m
AM
AM
m
1i
i



 AMx267,3
 
1iii xxAM 
 
P 
n
)p1(p
3p


 
m
p
p
m
1i
i


 
mn
D
p
m
1i
i


 
n
)p1(p
3p


 
Se “n” varia usar “
n
” 
NP 
n
)p1(pn3p 
 pn
 
n
)p1(pn3p 
 
Se “n” varia usar “
n
” 
C 
c3c 
 
m
c
c
k
1i
i


 c3c  
“n” dever ser 
constante 
U 
n
u
3u 
 



m
1i
iu
m
1
u
 
n
u
3u 
 ui = Di/n 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 95 
 Fórmulas para os Gráficos de Controle (Conhecendo µ e ): 
 
 LIC  LSC Observações 
Limites 
Naturais 
de 
Tolerância 
 3
 µ 
 3
 Conhecendo µ,  
x
 
n
3


 µ 
n
3


 Conhecendo µ,,n 
R LSCR = D2  
 2d
 LICR = D1  Conhecendo  
S LSCS = B6  
 4c
 LICS = B5  Conhecendo  
 
 
 
 Razão de Capacidade do processo (RCP 

 Cp e RCPk 

 Cpk): 
 



6
LIELSE
RCP
 













3
LIEx
,
3
xLSE
mínimoRCPk
 
 
 Comprimento médio de Corrida (CMC) e Tempo médio até o sinal (TMAS): 
 






















n/
)k(LIC
n/
)k(LSC 00
 
 
Supondo que o LSC = µ0 + L /
n
 e que o LIC = µ0 - L /
n
, a equação acima poderia se escrever 
como: 
)nkL()nkL( 
 
 
p
1
CMC 
 
 
quando a média está sob controle, o CMD se representa como CMD0, e se calcula como: 


1
CMD0
 
 
quando há deslocamento, o CMD se representa como CMD1, e se calcula como:


1
1
CMD1
 
 
TMAS = (CMC) (h) 
 














x
d
x
d LSCz
LIC
pp
, onde d = Média deslocada 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 96 
TABELA NORMAL 
 
 
 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,16640,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3646 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4356 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49897 0,49900 
3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929 
3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950 
3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965 
3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976 
3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 
3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989 
3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992 
3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995 
3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997 
 
 
0 Z
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 97 
TABELA NORMAL ACUMULADA 
 
 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8646 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9356 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99897 0,99900 
3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 
3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 
 
Z
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 98 
TABELA DE FATORES PARA CONSTRUIR GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
 
Gráfico 
x
 Gráfico R Gráfico S Cálculo de  
 
n A2 A3 D3 D4 B3 B4 d2 c4 n 
2 1,880 2,659 0 3,267 0 3,267 1,128 0,7979 2 
3 1,023 1,954 0 2,575 0 2,568 1,693 0,8862 3 
4 0,729 1,628 0 2,282 0 2,266 2,059 0,9213 4 
5 0,577 1,427 0 2,115 0 2,089 2,326 0,9400 5 
6 0,483 1,287 0 2,004 0,030 1,970 2,534 0,9515 6 
7 0,419 1,182 0,076 1,924 0,118 1,882 2,704 0,9594 7 
8 0,373 1,099 0,136 1,864 0,185 1,815 2,847 0,9650 8 
9 0,337 1,032 0,184 1,816 0,239 1,761 2,970 0,9693 9 
10 0,308 0,975 0,223 1,777 0,284 1,716 3,078 0,9727 10 
11 0,285 0,927 0,256 1,744 0,321 1,679 3,173 0,9754 11 
12 0,266 0,886 0,284 1,716 0,354 1,646 3,258 0,9776 12 
13 0,249 0,850 0,308 1,692 0,382 1,618 3,336 0,9794 13 
14 0,235 0,817 0,329 1,671 0,406 1,594 3,407 0,9810 14 
15 0,223 0,789 0,348 1,652 0,428 1,572 3,472 0,9823 15 
16 0,212 0,763 0,364 1,636 0,448 1,552 3,3532 0,9835 16 
17 0,203 0,739 0,379 1,621 0,466 1,534 3,588 0,9845 17 
18 0,194 0,718 0,392 1,608 0,482 1,518 3,640 0,9854 18 
19 0,187 0,698 0,404 1,596 0,497 1,503 3,686 0,9862 19 
20 0,180 0,680 0,414 1,586 0,510 1,490 3,735 0,9869 20 
21 0,173 0,663 0,425 1,575 0,523 1,477 3,778 0,9876 21 
22 0,167 0,647 0,434 1,566 0,534 1,466 3,819 0,9882 22 
23 0,162 0,633 0,443 1,557 0,545 1,455 3,858 0,9887 23 
24 0,157 0,619 0,452 1,548 0,555 1,445 3,895 0,9892 24 
25 0,153 0,606 0,459 1,541 0,565 1,435 3,931 0,9896 25 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 99 
NÚMEROS ALEATÓRIOS 
DISTRIBUÍDOS UNIFORMEMENTE [ 0, 1 ] 
 
 
0,06785 0,39867 0,90588 0,17801 
0,81075 0,876410,67964 0,43877 
0,98544 0,51653 0,44093 0,79428 
0,31479 0,75057 0,28248 0,26863 
0,12484 0,88287 0,78805 0,00907 
0,23882 0,82137 0,51759 0,24723 
0,23897 0,93060 0,94078 0,44676 
0,40374 0,57000 0,33415 0,9000 
0,73622 0,85896 0,36825 0,31500 
0,36952 0,39367 0,09426 0,79517 
0,14510 0,05047 0,01535 0,46997 
0,12719 0,35159 0,55903 0,01268 
0,99407 0,53816 0,64881 0,64309 
0,32694 0,57237 0,74242 0,68045 
0,42780 0,54704 0,63281 0,92243 
0,00633 0,87197 0,90597 0,95629 
0,38490 0,27804 0,06567 0,49591 
0,22363 0,96354 0,25298 0,88459 
0,54105 0,62235 0,93190 0,66122 
0,31786 0,84724 0,04084 0,98260 
0,47556 0,38855 0,52135 0,34085 
0,70850 0,55051 0,86505 0,21192 
0,64791 0,89438 0,86997 0,00898 
0,21424 0,34592 0,77920 0,16675 
0,77524 0,41976 0,08429 0,71506 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 100 
TABELA “t” de Student (G.L. = Graus de Liberdade) 
 
 Valor de  
G.L. 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
7 1,145 1,895 2,365 2,998 3,499 
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 
15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 
16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 
17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 
20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 
24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
0 t

UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 101 
Somatórios da Probabilidade da Binomial: 



r
0x
)p,n;x(b)p,n;x(B
(pag 742) 
 p 
n r 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
1 0 0.9000 0.8000 0.7500 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 
 1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
2 0 0.8100 0.6400 0.5625 0.4900 0.3600 0.2500 0.1600 0.0900 0.0400 0.0100 
 1 0.9900 0.9600 0.9375 0.9100 0.8400 0.7500 0.6400 0.5100 0.3600 0.1900 
 3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
3 0 0.7290 0.5120 0.4219 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.0080 0.0010 
 1 0.9720 0.8960 0.8438 0.7840 0.6480 0.5000 0.3520 0.2160 0.1040 0.0280 
 2 0.9990 0.9920 0.9844 0.9730 0.9360 0.8750 0.7840 0.6570 0.4880 0.2710 
 3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
4 0 0.6561 0.4096 0.3161 0.2401 0.1296 0.0625 0.0256 0.0081 0.0016 0.0001 
 1 0.9477 0.8192 0.7383 0.6517 04752 0.3125 0.1792 0.0837 0.0272 0.0037 
 2 0.9963 0.9728 0.9428 0.9163 0.8208 0.6875 0.5248 0.3483 0.1808 0.0523 
 3 0.9999 0.9984 0.9961 0.9919 0.9744 0.9375 0.8704 0.7599 0.5904 0.3439 
 4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
5 0 0.5900 0.3277 0.2373 0.1681 0.0778 0.0313 0.0102 0.0024 0.0003 0.0000 
 1 0.9185 0.7373 0.6328 0.5282 0.3370 0.1875 0.0870 0.0308 0.0067 0.0005 
 2 0.9914 0.9421 0.8965 0.8369 0.6826 0.5000 0.3174 0.1631 0.0579 0.0086 
 3 0.9995 0.9933 0.9844 0.9692 0.9130 0.8125 0.6630 0.4718 0.2677 0.0815 
 4 1.0000 0.9997 0.9990 0.9976 0.9898 0.9688 0.9222 0.8319 0.6723 0.4095 
 5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
6 0 0.5314 0.2621 0.1780 0.1176 0.0467 0.0156 0.0041 0.0007 0.0001 0.0000 
 1 0.8857 0.6554 0.5339 0.4202 0.2333 0.1094 0.0410 0.0109 0.0016 0.0001 
 2 0.9842 0.9011 0.8306 0.7443 0.5443 0.3438 0.1792 0.0705 0.0170 0.0013 
 3 0.9987 0.9830 0.9624 0.9295 0.8208 0.6563 0.4557 0.2557 0.0989 0.0159 
 4 0.9999 0.9984 0.9954 0.9891 0.9590 0.8906 0.7667 0.5798 0.3446 0.1143 
 5 1.0000 0.9999 0.9998 0.9993 0.9959 0.9844 0.9533 0.8824 0.7379 0.4686 
 6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
7 0 0.4783 0.2097 0.1335 0.0824 0.0280 0.0088 0.0016 0.0002 0.0000 
 1 0.8503 0.5767 0.4449 0.3294 0.1586 0.0625 0.0188 0.0038 0.0004 0.0000 
 2 0.9743 0.8520 0.7564 0.6471 0.4199 0.2266 0.0963 0.0288 0.0047 0.0002 
 3 0.9973 0.9667 0.9294 0.8740 0.7102 0.5000 0.2898 0.1260 0.0333 0.0027 
 4 0.9998 0.9953 0.9871 0.9712 0.9037 0.7734 0.5801 0.3529 0.1480 0.0257 
 5 1.0000 0.9996 0.9987 0.9962 0.9812 0.9375 0.8414 0.6706 0.4233 0.1497 
 6 1.0000 0.9999 0.9998 0.9984 0.9922 0.9720 0.9176 0.7903 0.5217 
 7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 102 
Somatórios da Probabilidade da Binomial: 



r
0x
)p,n;x(b)p,n;x(B
 (p 743) 
 p 
n r 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
8 0 0.4305 0.1678 0.1001 0.0576 0.1068 0.0039 0.0007 0.0001 0.0000 
 1 0.8131 0.5033 0.3671 0.2553 0.1064 0.0352 0.0085 0.0013 0.0001 
 2 0.9619 0.7969 0.6785 0.5518 0.3154 0.1445 0.0498 0.0113 0.0012 0.0000 
 3 0.9950 0.9437 0.8862 0.8059 0.5941 0.3633 0.1737 0.0580 0.0104 0.0004 
 4 0.9996 0.9888 0.9727 0.9420 0.8263 0.6367 0.4059 0.1941 0.0563 0.0050 
 5 1.0000 0.9996 0.9958 0.9887 0.9502 0.0.8555 0.6846 0.4482 0.2031 0.0381 
 6 0.9999 0.9996 0.9987 0.9915 0.9648 0.8936 0.7447 0.4967 0.1869 
 7 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9961 0.9832 0.9424 0.8322 0.5695 
 8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
9 0 0.3874 0.1342 0.0751 0.0404 0.0101 0.0020 0.0003 0.0000 
 1 0.7748 0.4362 0.3003 0.1960 0.0705 0.0195 0.0038 0.0004 0.0000 
 2 0.9470 0.7382 0.6007 0.4628 0.2318 0.0898 0.0250 0.0043 0.0003 0.0000 
 3 0.9917 0.9144 0.8343 0.7297 0.4826 0.2539 0.0994 0.0253 0.0031 0.0001 
 4 0.9991 0.9804 0.9511 0.9012 0.7334 0.5000 0.2666 0.0988 0.0196 0.0009 
 5 0.9999 0.9969 0.9900 0.9747 0.9006 0.7461 0.5174 0.2703 0.0856 0.0083 
 6 1.0000 0.9997 0.9987 0.9957 0.9750 0.9102 0.7682 0.5372 0.2618 0.0530 
 7 1.0000 0.9999 0.9996 0.9962 0.9805 0.9295 0.8040 0.5638 0.2252 
 8 1.0000 1.0000 0.9997 0.9980 0.9899 0.9596 0.8658 0.6126 
 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
10 0 0.3487 0.1074 0.0563 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 
 1 0.7361 0.3758 0.2440 0.1493 0.0464 0.0107 0.0017 0.0001 0.0000 
 2 0.9298 0.6778 0.5256 0.3828 0.1673 0.0547 0.0123 0.0016 0.0001 
 3 0.9872 0.8791 0.7759 0.6496 0.3832 0.1719 0.0548 0.0106 0.0009 0.0000 
 4 0.9984 0.9672 0.9219 0.8497 0.6331 0.3770 0.1662 0.0473 0.0064 0.0001 
 5 0.9999 0.9936 0.9803 0.9527 0.8338 0.6230 0.3669 0.1503 0.0328 0.0009 
 6 1.0000 0.9991 0.9965 0.9894 0.9452 0.8281 0.6177 0.3504 0.1209 0.0083 
 7 0.9999 0.9996 0.9984 0.9877 0.9453 0.8327 0.6172 0.3222 0.0530 
 8 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9893 0.9536 0.8507 0.6242 0.2252 
 9 1.0000 0.9999 0.9990 0.9940 0.9718 0.8926 0.6126 
 10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
11 0 0.3138 0.0859 0.0422 0.0198 0.0036 0.0005 0.0000 
 1 0.6974 0.3221 0.1971 0.1130 0.0302 0.0059 0.0007 0.0000 
 2 0.9104 0.6174 0.4552 0.3127 0.1189 0.0327 0.0059 0.0006 0.0000 
 3 0.9815 0.8389 0.7133 0.5696 0.2963 0.1133 0.0293 0.0043 0.0002 0.0000 
 4 0.9972 0.9496 0.8854 0.7897 0.5328 0.2744 0.0994 0.0216 0.0020 0.0003 
 5 0.9997 0.9883 0.9657 0.9218 0.7535 0.5000 0.2465 0.0782 0.0117 0.0020 
 6 1.0000 0.9980 0.9924 0.9784 0.9006 0.7256 0.4672 0.2103 0.0504 0.0028 
 7 0.9998 0.9988 0.9957 0.9707 0.8867 0.7037 0.4304 0.1611 0.0185 
 8 1.0000 0.9999 0.9994 0.9941 0.9673 0.8811 0.6873 0.3826 0.08969 1.0000 1.0000 0.9993 0.9941 0.9698 0.8870 0.6779 0.3026 
 10 1.0000 0.9995 0.9964 0.9802 0.9141 0.6862 
 11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 103 
Somatórios da Probabilidade da Binomial: 



r
0x
)p,n;x(b)p,n;x(B
 (pag 744) 
 p 
n r 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
12 0 0.2824 0.0687 0.0317 0.0138 0.0022 0.0002 0.0000 
 1 0.6590 0.2749 0.1584 0.0850 0.0196 0.0032 0.0003 0.0000 
 2 0.8891 0.5583 0.3907 0.2528 0.0834 0.0193 0.0028 0.0002 0.0000 
 3 0.9744 0.7946 0.6488 0.4925 0.2253 0.0730 0.0153 0.0017 0.0001 
 4 0.9957 0.9274 0.8424 0.7237 0.4382 0.1938 0.0573 0.0095 0.0006 0.0000 
 5 0.9995 0.9806 0.9456 0.8822 0.6652 0.3872 0.1582 0.0386 0.0039 0.0001 
 6 0.9999 0.9961 0.9857 0.9614 0.8418 0.6128 0.3348 0.1178 0.0194 0.0005 
 7 1.0000 0.9994 0.9972 0.9905 0.9427 0.8062 0.5618 0.2763 0.0726 0.0043 
 8 0.9999 0.9996 0.9983 0.9847 0.9270 0.7747 0.5075 0.2054 0.0256 
 9 1.0000 1.0000 0.9998 0.9972 0.9807 0.9166 0.7472 0.4417 0.1109 
 10 1.0000 0.9997 0.9968 0.9804 0.9150 0.7251 0.3410 
 11 1.0000 0.9998 0.9978 0.9862 0.9313 0.7176 
 12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
13 0 0.2542 0.0550 0.0238 0.0097 0.0013 0.0001 0.0000 
 1 0.6213 0.2336 0.1267 0.0637 0.0126 0.0017 0.0001 0.0000 
 2 0.8661 0.5017 0.3326 0.2025 0.0579 0.0112 0.0013 0.0001 
 3 0.9658 0.7473 0.5843 0.4206 0.1686 0.0461 0.0078 0.0007 0.0000 
 4 0.9935 0.9009 0.7940 0.6543 0.3530 0.1334 0.0321 0.0040 0.0002 
 5 0.9991 0.9700 0.9198 0.8346 0.5744 0.2905 0.0977 0.0182 0.0012 0.0000 
 6 0.9999 0.9930 0.9757 0.9376 0.7712 0.5000 0.2288 0.0624 0.0070 0.0001 
 7 1.0000 0.9988 0.9944 0.9818 0.9023 0.7095 0.4256 0.1654 0.0300 0.0009 
 8 0.9998 0.9990 0.9960 0.9679 0.8666 0.6470 0.3457 0.0991 0.0065 
 9 1.0000 0.9999 0.9993 0.9922 0.9539 0.8314 0.5794 0.2527 0.0342 
 10 1.0000 0.9999 0.9987 0.9888 0.9421 0.7975 0.4983 0.1339 
 11 1.0000 0.9999 0.9983 0.9874 0.9363 0.7664 0.3787 
 12 1.0000 0.9999 0.9987 0.9903 0.9450 0.7458 
 13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
14 0 0.2288 0.0440 0.0178 0.0068 0.0008 0.0001 0.0000 
 1 0.5846 0.1979 0.1010 0.0475 0.0081 0.0009 0.0001 
 2 0.8416 0.4481 0.281 0.1608 0.0398 0.0065 0.0006 0.0000 
 3 0.9559 0.6982 0.5213 0.3552 0.1243 0.0287 0.0039 0.0002 
 4 0.9908 0.8702 0.7415 0.5842 0.2793 0.0898 0.0175 0.0017 0.0000 
 5 0.9985 0.9561 0.8883 0.7805 0.1859 0.2120 0.0583 0.0083 0.0004 
 6 0.9998 0.9884 0.9617 0.9067 0.6925 0.3953 0.1501 0.0315 0.0024 0.0000 
 7 1.0000 0.9976 0.9897 0.9685 0.8499 0.6047 0.3075 0.0933 0.0116 0.0002 
 8 0.9996 0.9978 0.9917 0.9417 0.7880 0.5141 0.2195 0.0439 0.0015 
 9 1.0000 0.9997 0.9983 0.9825 0.9102 0.7207 0.4158 0.1298 0.0092 
 10 1.0000 0.9998 0.9961 0.9713 0.8757 0.6448 0.3018 0.0441 
 11 1.0000 0.9994 0.9935 0.9602 0.8392 0.5519 0.1584 
 12 0.9999 0.9991 0.9919 0.9525 0.8021 0.4154 
 13 1.0000 0.9999 0.9992 0.9932 0.9560 0.7712 
 14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 104 
Somatórios da Probabilidade da Binomial: 



r
0x
)p,n;x(b)p,n;x(B
 (pag 745) 
 p 
n r 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
15 0 0.2059 0.0352 0.0134 0.0047 0.0005 0.0000 
 1 0.5490 0.1671 0.0802 0.0353 0.0052 0.0005 0.0000 
 2 0.8159 0.3980 0.2361 0.1268 0.0271 0.0037 0.0003 0.0000 
 3 0.9444 0.6482 0.4613 0.2969 0.0905 0.0176 0.0019 0.0001 
 4 0.9873 0.8358 0.6865 0.5155 0.2173 0.0592 0.0093 0.0007 0.0000 
 5 0.9978 0.9389 0.8516 0.7216 0.4032 0.1509 0.0338 0.0037 0.0001 
 6 0.9997 0.9819 0.9434 0.8689 0.6098 0.3036 0.0950 0.0152 0.0008 
 7 1.0000 0.9958 0.9827 0.9500 0.7869 0.5000 0.2131 0.0500 0.0042 0.0000 
 8 0.9992 0.9958 0.9848 0.9050 0.6964 0.3902 0.1311 0.0181 0.0003 
 9 0.9999 0.9992 0.9963 0.9662 0.8491 0.5968 0.2784 0.0611 0.0022 
 10 1.0000 0.9999 0.9993 0.9907 0.9408 0.7827 0.4845 0.1642 0.0127 
 11 1.0000 0.9999 0.9981 0.9824 0.9095 0.7031 0.3518 0.0556 
 12 1.0000 0.9997 0.9963 0.9729 0.8732 0.6020 0.1841 
 13 1.0000 0.9995 0.9948 0.9647 0.8329 0.4510 
 14 1.0000 0.9995 0.9953 0.9648 0.7941 
 15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
16 0 0.1853 0.0281 0.0100 0.0033 0.0003 0.0000 
 1 0.5147 0.1407 0.0635 0.0261 0.0033 0.0003 0.0000 
 2 0.7892 0.3518 0.1971 0.0994 0.0183 0.0021 0.0001 
 3 0.9316 0.5981 0.4050 0.2459 0.0651 0.0106 0.0009 0.0000 
 4 0.9830 0.7982 0.6302 0.4499 0.1666 0.0384 0.0049 0.0003 
 5 0.9967 0.9183 0.8103 0.6598 0.3288 0.1051 0.0191 0.0016 0.0000 
 6 0.9995 0.9733 0.9204 0.8247 0.5272 0.2272 0.0583 0.0071 0.0002 
 7 0.9999 0.9930 0.9729 0.9256 0.7161 0.4018 0.1423 0.0257 0.0015 0.0000 
 8 1.0000 0.9985 0.9925 0.9743 0.8577 0.5982 0.2839 0.0744 0.0070 0.0001 
 9 0.9998 0.9984 0.9929 0.9417 0.7728 0.4728 0.1753 0.0267 0.0005 
 10 1.0000 0.9997 0.9984 0.9809 0.8949 0.6712 0.3402 0.0817 0.0003 
 11 1.0000 0.9997 0.9951 0.9616 0.8334 0.5501 0.2018 0.0170 
 12 1.0000 0.9991 0.9894 0.9349 0.7541 0.4019 0.0684 
 13 0.9999 0.9979 0.9817 0.9006 0.6482 0.2108 
 14 1.0000 0.9997 0.9967 0.9739 0.8593 0.4853 
 15 1.0000 0.9997 0.9967 0.9719 0.8147 
 16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 105 
Somatórios da Probabilidade da Binomial: 



r
0x
)p,n;x(b)p,n;x(B
 (pag 746) 
 p 
n r 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
17 0 0.1668 0.0225 0.0075 0.0023 0.0002 0.0000 
 1 0.4818 0.1182 0.0501 0.0193 0.0021 0.0001 0.0000 
 2 0.7618 0.3096 0.1637 0.0774 0.0123 0.0012 0.0001 
 3 0.9174 0.5489 0.3530 0.2019 0.0464 0.0064 0.0005 0.0000 
 4 0.9779 0.7582 0.5739 0.3887 0.1260 0.0245 0.0025 0.0001 
 5 0.9953 0.8943 0.7653 0.5968 0.2639 0.0717 0.0106 0.0007 0.0000 
 6 0.9992 0.9623 0.8929 0.7752 0.4478 0.1662 0.0348 0.0032 0.0001 
 7 0.9999 0.9891 0.9598 0.8954 0.6405 0.3145 0.0919 0.0127 0.0005 
 8 1.0000 0.9974 0.9876 0.9597 0.8011 0.5000 0.1989 0.0403 0.0026 0.0000 
 9 0.9995 0.9969 0.9873 0.9081 0.6855 0.3595 0.1046 0.0109 0.0001 
 10 0.9999 0.9994 0.9968 0.9652 0.8338 0.5522 0.2248 0.0377 0.0008 
 11 1.0000 0.9999 0.9993 0.9894 0.9283 0.7361 0.4032 0.1057 0.0047 
 12 1.0000 0.9999 0.9975 0.9755 0.8740 0.6113 0.2418 0.0221 
 13 1.0000 0.9995 0.9936 0.9536 0.7981 0.4511 0.0826 
 14 0.9999 0.9988 0.9877 0.9226 0.6904 0.2382 
 15 1.0000 0.9999 0.9998 0.9807 0.8818 0.5182 
 16 1.0000 0.9999 0.9977 0.9775 0.8332 
 17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
18 0 0.1501 0.0180 0.0056 0.0016 0.0001 0.0000 
 1 0.4503 0.0991 0.0395 0.0142 0.0013 0.0001 
 2 0.7338 0.2713 0.1353 0.0600 0.0082 0.0007 0.0000 
 3 0.9018 0.5010 0.3057 0.1646 0.0328 0.0038 0.0002 
 4 0.9718 0.7164 0.5187 0.3327 0.0942 0.0154 0.0013 0.0000 
 5 0.9936 0.8671 0.7175 0.5344 0.2088 0.0481 0.0058 0.0003 
 6 0.9988 0.9487 0.8610 0.7217 0.3743 0.1189 0.0203 0.0014 0.0000 
 7 0.9998 0.9837 0.9431 0.8593 0.5634 0.2403 0.0576 0.0061 0.0002 
 8 1.0000 0.9957 0.9807 0.9404 0.7368 0.4073 0.1347 0.0210 0.0009 
 9 0.9991 0.9946 0.9790 0.8653 0.5927 0.2632 0.0596 0.0043 0.0000 
 10 0.9998 0.9988 0.9939 0.9424 0.7597 0.4366 0.1407 0.0163 0.0002 
 11 1.0000 0.9998 0.9986 0.9797 0.8811 0.6257 0.2783 0.0513 0.0012 
 12 1.0000 0.9997 0.9942 0.9519 0.7912 0.4656 0.1329 0.0064 
 13 1.0000 0.9987 0.9846 0.9058 0.6673 0.2836 0.0282 
 14 0.9998 0.9962 0.9672 0.8354 0.4990 0.0982 
 15 1.0000 0.9993 0.9918 0.9400 0.7287 0.2662 
 16 0.9999 0.9987 0.9858 0.9009 0.5497 
 17 1.0000 0.9999 0.9984 0.9820 0.849918 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 106 
Somatórios da Probabilidade da Binomial: 



r
0x
)p,n;x(b)p,n;x(B
 (pag 747) 
 p 
n r 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
19 0 0.1351 0.0144 0.0042 0.0011 0.0001 
 1 0.4203 0.0829 0.0310 0.0104 0.0008 0.0000 
 2 0.7054 0.2369 0.1113 0.0462 0.0055 0.0004 0.0000 
 3 0.8850 0.4551 0.2631 0.1332 0.0230 0.0022 0.0001 
 4 0.9648 0.6733 0.4654 0.2822 0.0696 0.0096 0.0006 0.0000 
 5 0.9914 0.8369 0.6678 0.4739 0.1629 0.0318 0.0031 0.0001 
 6 0.9983 0.9324 0.8251 0.6655 0.3081 0.0835 0.0116 0.0006 
 7 0.9997 0.9767 0.9225 0.8180 0.4878 0.1796 0.0352 0.0028 0.0000 
 8 1.0000 0.9933 0.9713 0.9161 0.6675 0.3238 0.0885 0.0105 0.0003 
 9 0.9984 0.9911 0.9674 0.8139 0.5000 0.1861 0.0326 0.0016 
 10 0.9997 0.9977 0.9895 0.9115 0.6762 0.3325 0.0839 0.0067 0.0000 
 11 1.0000 0.9995 0.9972 0.9648 0.8204 0.5122 0.1820 0.0233 0.0003 
 12 0.9999 0.9994 0.9884 0.9165 0.6919 0.3345 0.0676 0.0017 
 13 1.0000 0.9999 0.9969 0.9682 0.8371 0.5261 0.1631 0.0086 
 14 1.0000 0.9994 0.9904 0.9304 0.7178 0.3267 0.0352 
 15 0.9999 0.9978 0.9770 0.8668 0.5449 0.1150 
 16 1.0000 0.9996 0.9945 0.9538 0.7631 0.2946 
 17 1.0000 0.9992 0.9896 0.9171 0.5797 
 18 0.9999 0.9989 0.9856 0.8649 
 19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
20 0 0.1216 0.0115 0.0032 0.0008 0.0000 
 1 0.3917 0.0692 0.0243 0.0076 0.0005 0.0000 
 2 0.6769 0.2061 0.0913 0.0355 0.0036 0.0002 
 3 0.8670 0.4114 0.2252 0.1071 0.0160 0.0013 0.0000 
 4 0.9568 0.6296 0.4148 0.2375 0.0510 0.0059 0.0003 0.0000 
 5 0.9887 0.8042 0.6172 0.4164 0.1256 0.0207 0.0016 0.0003 
 6 0.9976 0.9133 0.7858 0.6080 0.2500 0.0577 0.0065 0.0013 0.0000 
 7 0.9996 0.9679 0.8982 0.7723 0.4159 0.1316 0.0210 0.0051 0.0001 
 8 0.9999 0.9900 0.9591 0.8867 0.5956 0.2517 0.0565 0.0171 0.0006 
 9 1.0000 0.9974 0.9861 0.9520 0.7553 0.4119 0.1275 0.0480 0.0026 0.0000 
 10 0.9994 0.9961 0.9829 0.8725 0.5881 0.2447 0.1133 0.0100 0.0001 
 11 0.9999 0.9991 0.9949 0.9435 0.7483 0.4044 0.2277 0.0321 0.0004 
 12 1.0000 0.9998 0.9987 0.9790 0.8684 0.5841 0.3920 0.0867 0.0024 
 13 1.0000 0.9997 0.9935 0.9423 0.7500 0.5836 0.1958 0.0113 
 14 1.0000 0.9984 0.9793 0.8744 0.7625 0.3704 0.0432 
 15 0.9997 0.9941 0.9490 0.8929 0.5886 0.1330 
 16 1.0000 0.9987 0.9840 0.9645 0.7939 0.3231 
 17 0.9998 0.9964 0.9924 0.9308 0,6083 
 18 1.0000 0.9995 0.9992 0.9885 0.8784 
 19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 107 
Somatórios da Probabilidade de Poisson: 



r
0x
);x(p);x(F
 (pag 748) 
  
r 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 
0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 
1 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.7725 
2 0.9998 0.9989 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9659 0.9526 0.9371 
3 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.9865 
4 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.9977 
5 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9997 
6 1.0000 1.0000 1.0000 
 
 
 
  
r 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 
0 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 0.0498 0.0302 0.0183 0.0111 0.0067 
1 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 0.1991 0.1359 0.0916 0.0611 0.0404 
2 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 0.4232 0.3208 0.2381 0.1736 0.1247 
3 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576 0.6472 0.5366 0.4335 0.3423 0.2650 
4 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912 0.8153 0.7254 0.6288 0.5321 0.4405 
5 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 0.9161 0.8576 0.7851 0.7029 0.6160 
6 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 0.9665 0.9347 0.8893 0.8311 0.7622 
7 1.0000 0.9998 0.9989 0.9958 0.9881 0.9733 0.9489 0.9134 0.8666 
8 1.0000 0.9998 0.9989 0.9962 0.9901 0.9786 0.9597 0.9319 
9 1.0000 0.9997 0.9989 0.9967 0.9919 0.9829 0.9682 
10 0.9999 0.9997 0.9990 0.9972 0.9933 0.9863 
11 1.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9976 0.9945 
12 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9980 
13 1.0000 0.9999 0.9997 0.9993 
14 1.0000 0.9999 0.9998 
15 1.0000 0.9999 
16 1.0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 108 
Somatórios da Probabilidade de Poisson: 



r
0x
);x(p);x(F
 (pag 749) 
  
r 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 
0 0.0041 0.0025 0.0015 0.0009 0.0006 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 
1 0.0266 0.0174 0.0113 0.0073 0.0047 0.0030 0.0019 0.0012 0.0008 
2 0.0884 0.0620 0.0430 0.0296 0.0203 0.0138 0.0093 0.0062 0.0042 
3 0.2017 0.1512 0.1118 0.0818 0.0591 0.0424 0.0301 0.0212 0.0149 
4 0.3575 0.2851 0.2237 0.1730 0.1321 0.0996 0.0744 0.0550 0.0403 
5 0.5289 0.4457 0.3690 0.3007 0.2414 0.1912 0.1496 0.1157 0.0885 
6 0.6860 0.6063 0.5265 0.4497 0.3782 0.3134 0.2562 0.2068 0.1649 
7 0.8095 0.7440 0.6728 0.5987 0.5246 0.4530 0.3856 0.3239 0.2687 
8 0.8944 0.8472 0.7916 0.7291 0.6620 0.5925 0.5231 0.4557 0.3918 
9 0.9462 0.9161 0.8774 0.8305 0.7764 0.7166 0.6530 0.5874 0.5218 
10 0.9747 0.9574 0.9332 0.9015 0.8622 0.8159 0.7634 0.7060 0.6453 
11 0.9890 0.9799 0.9661 0.9467 0.9208 0.8881 0.8487 0.8030 0.7520 
12 0.9955 0.9912 0.9840 0.9730 0.9573 0.9362 0.9091 0.8758 0.8364 
13 0.9983 0.9964 0.9929 0.9872 0.9784 0.9658 0.9486 0.9261 0.8981 
14 0.9994 0.9986 0.9970 0.9943 0.9897 0.9827 0.9726 0.9585 0.9400 
15 0.9998 0.9995 0.9988 0.9976 0.9954 0.9918 0.9862 0.9780 0.9665 
16 0.9999 0.9998 0.9996 0.9990 0.9980 0.9963 0.9934 0.9889 0.9823 
17 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9984 0.9970 0.9947 0.9911 
18 1.0000 0.9999 0.9999 0.9997 0.9993 0.9987 0.9976 0.9957 
19 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9995 0.9989 0.9980 
20 0.9999 0.9998 0.9996 0.9991 
21 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 
22 1.0000 0.9999 0.9999 
23 1.0000 0.9999 
24 1.0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 109 
Somatórios da Probabilidade de Poisson: 



r
0x
);x(p);x(F
 (pag 750) 
  
r 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 
0 0.0000 0.0000 0.0000 
1 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 
2 0.0028 0.0012 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 
3 0.0103 0.0049 0.0023 0.0011 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 
4 0.0293 0.0151 0.0076 0.0037 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 
5 0.0671 0.0375 0.0203 0.0107 0.0055 0.0028 0.0014 0.0007 0.0003 
6 0.1301 0.0786 0.0458 0.0259 0.0142 0.0076 0.0040 0.0021 0.0010 
7 0.2202 0.1432 0.0895 0.0540 0.0316 0.0180 0.0100 0.0054 0.0029 
8 0.3328 0.2320 0.1550 0.0998 0.0621 0.0374 0.0220 0.0126 0.0071 
9 0.4579 0.3405 0.2424 0.1658 0.1094 0.0699 0.0433 0.0261 0.0154 
10 0.5830 0.4599 0.3472 0.2517 0.1757 0.1185 0.0774 0.0491 0.0304 
11 0.6968 0.5793 0.4616 0.3532 0.2600 0.1848 0.1270 0.0847 0.0549 
12 0.7916 0.6887 0.5760 0.4631 0.3585 0.2676 0.1931 0.1350 0.0917 
13 0.8645 0.7813 0.6815 0.5730 0.4644 0.3632 0.2745 0.2009 0.1426 
14 0.9165 0.8540 0.7720 0.6751 0.5704 0.4657 0.3675 0.2808 0.2081 
15 0.9513 0.9074 0.8444 0.7636 0.6694 0.5681 0.4667 0.3715 0.2867 
16 0.9730 0.9441 0.8987 0.8355 0.7559 0.6641 0.5660 0.4677 0.3751 
17 0.9857 0.9678 0.9370 0.8905 0.8272 0.7489 0.6593 0.5640 0.4686 
18 0.9928 0.9823 0.9626 0.9302 0.8826 0.8195 0.7423 0.6550 0.5622 
19 0.9965 0.9907 0.9787 0.9573 0.9235 0.8752 0.8122 0.7363 0.6509 
20 0.9984 0.9953 0.9884 0.9750 0.9521 0.9170 0.8682 0.8055 0.7307 
21 0.99930.9977 0.9939 0.9859 0.9712 0.9469 0.9108 0.8615 0.7991 
22 0.9997 0.9990 0.9970 0.9924 0.9833 0.9673 0.9418 0.9047 0.8551 
23 0.9999 0.9995 0.9985 0.9960 0.9907 0.9805 0.9633 0.9367 0.8989 
24 1.0000 0.9998 0.9993 0.9980 0.9950 0.9888 0.9777 0.9594 0.9317 
25 0.9999 0.9997 0.9990 0.9974 0.9938 0.9869 0.9748 0.9554 
26 1.0000 0.9999 0.9995 0.9987 0.9967 0.9925 0.9848 0.9718 
27 0.9998 0.9994 0.9983 0.9959 0.9912 0.9827 
28 0.9999 0.9997 0.9991 0.9978 0.9950 0.9897 
29 1.0000 0.9999 0.9996 0.9989 0.9973 0.9941 
30 0.9999 0.9998 0.9994 0.9986 0.9967 
31 1.0000 0.9999 0.9997 0.9993 0.9982 
32 1.0000 0.9999 0.9996 0.9990 
33 0.9999 0.9998 0.9995 
34 1.0000 0.9999 0.9998 
35 1.0000 0.9999 
36 0.9999 
37 1.0000 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 110 
FATORES PARA DETERMINAR “n” E “c” EM PLANOS DE AMOSTRAGEM 
 
c n p0 n p1 p1/p0 
0 0,051 2,30 45,10 
1 0,355 3,89 10,96 
2 0,818 5,32 6,50 
3 1,366 6,68 4,89 
4 1,970 7,99 4,06 
5 2,613 9,28 3,55 
6 3,285 10,53 3,21 
7 3,981 11,77 2,96 
8 4,695 12,99 2,77 
9 5,425 14,21 2,62 
10 6,169 15,41 2,50 
11 6,924 16,60 2,40 
12 7,690 17,78 2,31 
13 8,464 18,86 2,24 
14 9,246 20,13 2,18 
15 10,040 21,29 2,12 
 
 Fonte: Devore, 2008 (p. 657) 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 111 
NOMOGRAMA PARA DETERMINAR “n” E “c” EM PLANOS DE AMOSTRAGEM 
 
 
 
 Fonte: Devore, 2008 
 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 112 
TABELA F (  = 0,10) 
 
 
 Graus de Liberdade (gl) do Numerador (v1) 
Denominador (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 57,91 59,44 59,86 60,19 
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 
26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 
27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 
28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 
29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 
 
 

),( 21 vvF
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 113 
TABELA F (  = 0,05) 
 
 
 Graus de Liberdade (gl) do Numerador (v1) 
Denominador (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 
 
 
 
 
 
 

),( 21 vvF
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 114 
TABELA F (  = 0,01) 
 
 
 Graus de Liberdade (gl) do Numerador (v1) 
Denominador (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 4052 4999,5 5403 5625 5764 5859 5928 5982 6022 6056 
2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,36 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 
 
 
 

),( 21 vvF
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 115 
Valores Críticos do Intervalo Q de Student (  = 0,05) 
 
 Graus de Liberdade (gl) do Numerador (v1) 
Denominador (v2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 18,00 27,00 32,80 37,10 40,40 43,10 45,4 47,4 49,10 50,60 
2 6,09 8,30 9,80 10,90 11,70 12,40 13,00 13,5 14,00 14,40 
3 4,50 5,91 6,82 7,50 8,04 8,48 8,85 9,18 9,46 9,72 
4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,05 7,35 7,60 7,83 8,03 
5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 6,99 7,17 
6 3,46 4,34 4,90 5,31 5,63 5,89 6,12 6,32 6,49 6,65 
7 3,34 4,16 4,68 5,06 5,36 5,61 5,82 6,00 6,16 6,30 
8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 5,92 6,05 
9 3,20 3,95 4,42 4,76 5,02 5,24 5,43 5,60 5,74 5,87 
10 3,15 3,88 4,33 4,65 4,91 5,12 5,30 5,465,60 5,72 
11 3,11 3,82 4,26 4,57 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 5,61 
12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 5,40 5,51 
13 3,06 3,73 4,15 4,45 4,69 4,88 5,05 5,19 5,32 5,43 
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 5,36 
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,60 4,78 4,94 5,08 5,20 5,31 
16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 5,26 
17 2,98 3,63 4,02 4,30 4,52 4,71 4,86 4,99 5,11 5,21 
18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,49 4,67 4,82 4,96 5,07 5,17 
19 2,96 3,59 3,98 4,25 4,47 4,65 4,79 4,92 5,04 5,14 
20 2,95 3,58 3,96 4,23 4,45 4,62 4,77 4,90 5,01 5,11 
24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 4,92 5,01 
 
Valores Críticos do Intervalo Q de Student (  = 0,01) 
 Graus de Liberdade (gl) do Numerador (v1) 
Denominador (v2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 90,00 135,00 164,00 186,00 202,00 216,00 227,00 237,00 246,00 253,00 
2 14,00 19,00 22,30 24,70 26,60 28,20 29,50 30,70 31,70 32,60 
3 8,26 10,60 12,20 13,30 14,20 15,00 15,60 16,20 16,70 17,10 
4 6,51 8,12 9,17 9,96 10,60 11,10 11,50 11,90 12,30 12,60 
5 5,70 6,97 7,80 8,42 8,91 9,32 9,67 9,97 10,24 10,48 
6 5,24 6,33 7,03 7,56 7,97 8,32 8,61 8,87 9,10 9,30 
7 4,95 5,92 6,54 7,01 7,37 7,68 7,94 8,17 8,37 8,55 
8 4,74 5,63 6,20 6,63 6,96 7,24 7,47 7,68 7,87 8,03 
9 4,60 5,43 5,96 6,35 6,66 6,91 7,13 7,32 7,49 7,65 
10 4,48 5,27 5,77 6,14 6,43 6,67 6,87 7,05 7,21 7,36 
11 4,39 5,14 5,62 5,97 6,25 6,48 6,67 6,84 6,99 7,13 
12 4,32 5,04 5,50 5,84 6,10 6,32 6,51 6,67 6,81 6,94 
13 4,26 4,96 5,40 5,73 5,98 6,19 6,37 6,53 6,67 6,79 
14 4,21 4,89 5,32 5,63 5,88 6,08 6,26 6,41 6,54 6,66 
15 4,17 4,83 5,25 5,56 5,80 5,99 6,16 6,31 6,44 6,55 
16 4,13 4,78 5,19 5,49 5,72 5,92 6,08 6,22 6,35 6,46 
17 4,10 4,74 5,14 5,43 5,66 5,85 6,01 6,15 6,27 6,38 
18 4,07 4,70 5,09 5,38 5,60 5,79 5,94 6,08 6,20 6,31 
19 4,05 4,67 5,05 5,33 5,55 5,73 5,89 6,02 6,14 6,25 
20 4,02 4,64 5,02 5,29 5,51 5,69 5,84 5,97 6,09 6,19 
24 3,96 4,54 4,91 5,17 5,37 5,54 5,69 5,81 5,92 6,02 
 
UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 116 
Tabela de distribuição Qui-quadrado 
 
 0,995 0,99 0,975 0,95 0,5 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 
1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 
2 0,01 0,02 0,05 0,10 1,39 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 
3 0,07 0,11 0,22 0,35 2,37 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 
4 0,21 0,30 0,48 0,71 3,36 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 
5 0,41 0,55 0,83 1,15 4,35 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 
6 0,68 0,87 1,24 1,64 5,35 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 
7 0,99 1,24 1,69 2,17 6,35 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 
8 1,34 1,65 2,18 2,73 7,34 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 
9 1,73 2,09 2,70 3,33 8,34 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 
10 2,16 2,56 3,25 3,94 9,34 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 
11 2,60 3,05 3,82 4,57 10,34 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76 
12 3,07 3,57 4,40 5,23 11,34 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 
13 3,57 4,11 5,01 5,89 12,34 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 
14 4,07 4,66 5,63 6,57 13,34 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 
15 4,60 5,23 6,26 7,26 14,34 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 
16 5,14 5,81 6,91 7,96 15,34 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 
17 5,70 6,41 7,56 8,67 16,34 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 
18 6,26 7,01 8,23 9,39 17,34 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 
19 6,84 7,63 8,91 10,12 18,34 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 
20 7,43 8,26 9,59 10,85 19,34 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 
21 8,03 8,90 10,28 11,59 20,34 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 
22 8,64 9,54 10,98 12,34 21,34 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 
23 9,26 10,20 11,69 13,09 22,34 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 
24 9,89 10,86 12,40 13,85 23,34 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 
25 10,52 11,52 13,12 14,61 24,34 34,38 37,65 40,65 44,31 49,93 
26 11,16 12,20 13,84 15,38 25,34 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 
27 11,81 12,88 14,57 16,15 26,34 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64 
28 12,46 13,56 15,31 16,93 27,34 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 
29 13,12 14,26 16,05 17,71 28,34 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 
30 13,79 14,95 16,79 18,49 29,34 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 
40 20,71 22,16 24,43 26,51 39,34 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 
50 27,99 29,71 32,36 34,76 49,33 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 
60 35,53 37,48 40,48 43,19 59,33 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 
70 43,28 45,44 48,76 51,74 69,33 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21 
80 51,17 53,54 57,15 60,39 79,33 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32 
90 59,20 61,75 65,65 69,13 89,33 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30 
100 67,33 70,06 74,22 77,93 99,33 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17