Guia de Estudos da Unidade 3 Matemática Financeira

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Matemática Financeira
UNIDADE 3
1
UNIDADE 3
DICIPLINA: MATEMÁTICA FINANCEIRA
APRESENTAÇÃO
Nesta unidade estudaremos as séries de pagamentos, até agora estudamos o 
pagamento de um montante (valor futuro) ou recebimento de um capital (valor 
presente) de uma só vez. Precisamos estudar como calcular esses pagamentos ou 
recebimentos em prestações.
 
A relação entre compra e venda de produtos e/ou serviços nem sempre tem o 
pagamento ou recebimento imediato em uma só vez. Segundo Gimenes, No Brasil, a 
compra financiada (ou a prazo) é uma questão cultural e fortemente enraizada. 
 
A sequência de depósitos ou de pagamentos, em períodos distintos, destinados a formar 
um capital ou a pagar uma dívida é chamada de séries uniformes de pagamentos. 
 
A séries uniformes de pagamentos podem ser classificadas em:
•	 Antecipadas – paga-se uma das parcelas logo no início da operação;
•	 Postecipadas - paga-se a primeira parcela após o fim do primeiro período da 
operação.
Costumamos ver esses dois tipos de série nas propagandas dos produtos vendidos a 
prazo, por exemplo:
•	 “1 + 2” → é um exemplo de uma série antecipada, pois prevê 3 pagamentos, 
sendo o primeiro no ato da compra (entrada).
•	 “0 + 3” → é um exemplo de uma série postecipada, pois prevê 3 pagamentos, 
não sendo necessário o primeiro no ato da compra (entrada).
 
Antes de prosseguir, faça uma leitura do capítulo 7 (rendas ou séries uniformes, do livro 
de Matemática Financeira aplicada, de Nelson Pereira Castanheira e Luiz Roberto 
Dias Macedo, que você encontra acessando a biblioteca virtual. Neste capítulo você 
irá encontra como as séries uniformes de pagamentos são classificadas quanto ao 
prazo (temporária ou perpétua), quanto ao valor (constante ou variável), quanto à 
forma (Imediata ou diferida) e quanto à periodicidade (periódica ou não periódica). 
 
Neste guia, para uma fácil compreensão do assunto, iremos utilizar, para cálculos, a 
calculadora HP 12c e o Microsoft Excel. Vamos começar a compreender as séries 
uniformes de pagamentos!
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Séries uniformes de pagamentos postecipados
Já vimos, na introdução desse guia, que quando a série de pagamentos é postecipada 
isso implica que o primeiro pagamento ocorre somente no final do primeiro período. 
Veja um exemplo para encontrar o valor das prestações em função do valor presente, 
da taxa e do número de prestações:
Você comprou um produto a prazo, sem entrada, cujo preço à vista é R$ 2.000,00 em 
5 prestações mensais, de igual valor, à uma taxa de 2 % ao mês. Qual o valor de cada 
prestação?
1º Passo: Identificar se a série é antecipada ou postecipada.
- Esta série é postecipada, pois não tem entrada.
2º Passo: Organizar as informações.
VP = 2000 n = 5 (quantidade de prestações ou períodos)
i = 2 % a.m. PMT = ? (payment ou prestação) 
3º Passo: Utilização da ferramenta.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Você deve ter visto que a HP 12C apresenta muitas funções financeiras, dentre elas 
temos algumas funções financeiras básicas listadas abaixo:
 Present Value, traduzindo → Valor Presente
 Future Value, traduzindo → Valor Futuro
 Payments, traduzindo → Pagamentos/prestações
 Interest Rate, traduzindo → Taxa de Juros
 Number of periods, traduzindo → Número de períodos
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
3
Inserindo as informações na HP 12c:
2000 
2 
5 
 → visor – 424,32
Devemos concluir que se você comprou um produto a prazo, sem entrada, cujo preço 
à vista é R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais, de igual valor, à uma taxa de 2 % ao 
mês. O valor de cada prestação que você deve pagar é R$ 424,32.
 
Interpretando essa operação utilizando o diagrama de operações financeiras, temos:
Imagem do autor
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
Observe que uma das informações é o valor futuro, e foi colocado o número 0, isso 
quer dizer que quando você efetuar o pagamento da última prestação, o valor futuro 
de sua dívida é zero, ou seja, você liquidou sua dívida.
4
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo da prestação seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “PGTO”. Você verá a imagem abaixo.
 
Agora, insira os dados:
Taxa = 2%
Nper = 5
VP = 2000
Vf = 0
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor – R$ 424,32, como na figura abaixo.
 
 
5
A função PGTO pode ser aplicada toda vez que você desejar calcular o valor das 
prestações de uma série de pagamento uniforme a partir do valor presente e da 
quantidade de prestações.
Veja um exemplo para encontrar o valor presente numa série uniforme postecipada 
em função do valor das prestações, da taxa e do número de prestações:
•	 Você comprou uma moto em (0 + 24) prestações mensais no valor de R$ 
279,12, a financeira informou que a taxa cobrada foi de 2,1% ao mês. Qual o 
valor dessa moto à vista?
1º Passo: Identificar se a série é antecipada ou postecipada.
- Esta série é postecipada, pois não tem entrada (0 + 24).
2º Passo: Organizar as informações.
VP = ? n = 24 (quantidade de prestações ou períodos)
i = 2,1 % a.m. PMT = 279,12 (payment ou prestação) 
3º Passo: Utilização da ferramenta.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
 
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
6
279,12 (A tecla serve para mudar o sinal, isso significa que você vai 
ter que pagar 279,12 de prestação, por tanto sairá do seu bolso)
2,1 
24 
 → visor 5.219,94 (Observe que o valor mostrado é positivo, significando que 
você recebeu esse valor no início da operação)
Devemos concluir que se você comprou uma moto a prazo, sem entrada, cujo valor 
das prestações é de R$ 279,12, em 24 prestações mensais, o valor da moto à vista é 
R$ 5.219,24.
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
Observe que a informação “pagamento” está negativa, significando “saída” e uma das 
informações é o valor futuro, e foi colocado o número 0, isso quer dizer que quando 
você efetuar o pagamento da última prestação, o valor futuro de sua dívida é zero, ou 
seja, você liquidou sua dívida.
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do valor presente seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
7
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “VP”. Você verá a imagem abaixo.
 
Agora, insira os dados:
Taxa = 2,1%
Per = 24
Pgto = -279,12
Vf = 0
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor R$ 5.219,94, como na figura abaixo.
 
 
Veja um exemplo extraído do livro: Matemática financeira, do autor Cristiano Marchi 
Gimenes (p. 108), encontrada na Biblioteca Virtual, para encontrar o número de 
prestações numa série postecipada em função do valor presente, da taxa e do valor 
das prestações:
•	 Você está planejandocomprar um carro novo. Para tanto, seu antigo veículo será 
dado como entrada, sobrando R$ 9.300,00 para ser financiado. A taxa cobrada 
pela financeira é de 1,5 % ao mês. Se você pode pagar R$ 1.000,00 todo mês, 
quantas parcelas serão necessárias para pagar o financiamento?
8
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
 
Resolução:
 
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
9300 (Valor tem que ser positivo, pois você está recebendo R$ 9300,00)
1,5 
1000 (Valor tem que ser negativo, pois você vai pagar R$ 1.000,00)
 → visor = 11
Será que serão necessárias 11 prestações? Bem, você viu no capítulo anterior que 
para o cálculo do tempo, é ideal que se utilize o método algébrico, pois utilizando as 
funções financeiras da HP 12c, o valor encontrado, mesmo que o valor correto for 
fracionário, sempre será inteiro. 
 
Você pode verificar a dedução da fórmula e a resolução pelo método algébrico 
acessando o livro: Matemática financeira, do autor Cristiano Marchi Gimenes (p. 
110 - 112) na Biblioteca Virtual.
Vamos verificar, se esse valor de 11 prestações está correto ou se foi arredondado, 
utilizando o Excel.
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
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2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do tempo seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “Nper”. Você verá a imagem abaixo.
 
Agora, insira os dados:
Taxa = 1,5%
Pgto = -1000 (Significa que você vai pagar prestações de R$ 1.000,00)
Vp = 9300 (Positivo, pois você está recebendo emprestado esse valor)
Vf = 0
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor 10,09, como na figura abaixo.
 
 
10
Por tanto 10,09 prestações, esse é o valor correto, diferente das 11 prestações que 
encontramos quando utilizamos as funções financeiras da HP 12c.
Veja um exemplo para encontrar a taxa numa série postecipada em função do 
valor presente, do número de prestações e do valor das prestações:
•	 A que taxa foi contraída a dívida de R$ 67.952, se ela deve ser paga em 20 
prestações mensais de R$ 5.000?
1º Passo: Identifique se a série é postecipada ou antecipada.
Veja que o exemplo não explicita, então trata-se de uma série postecipada pois é a 
mais utilizada (não sendo necessário informar no problema).
2º passo: Organize as informações.
VP = 67952 i = ? % ao mês n = 20 prestações PMT = 5000
3º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo na mesma unidade.
4º passo: utilização da HP 12C
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
 
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
67952 (Valor tem que ser positivo, pois o cliente está recebendo R$ 67.952,00)
20 
5000 (Valor tem que ser negativo, pois você vai pagar R$ 5.000,00)
 → visor = 4
 
A taxa encontrada foi de 4 % ao mês.
11
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo da taxa seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “TAXA”. Você verá a imagem abaixo.
 
12
Agora, insira os dados:
Nper = 20
Pgto = -5000 
Vp = 67952
Vf = 0
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor 4%, como na figura abaixo.
 
 
 
Veja que os exemplos que vimos anteriormente sobre série de pagamentos uniformes 
postecipadas, o valor futuro foi sempre zero, isso quer dizer que se trata de exemplos 
relacionados a “amortização”, pois há uma dívida adquirida e essa dívida será 
diminuída (amortizada) após o pagamento de cada prestação e anulada (valor futuro 
igual a zero) depois do pagamento de todas as prestações.
Vejamos agora exemplos de séries de pagamentos uniformes postecipadas que 
chamamos de “capitalização” onde faremos uma sucessão de depósitos (prestações) 
destinados a formar um capital (montante) no futuro.
Veja um exemplo para encontrar o valor futuro em uma série de pagamentos 
uniformes postecipados
•	 Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 
meses, a quantia de R$ 500,00. Calcule o montante da renda, sabendo 
que essa financeira paga juros compostos de 3% ao mês, capitalizados 
mensalmente.
1º Passo: Identificar se a série é antecipada ou postecipada.
- Esta série é postecipada, pois não tem entrada.
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2º Passo: Organizar as informações.
VF = ? n = 5 (quantidade de prestações ou períodos)
i = 3 % a.m. PMT = 500 (payment ou prestação) 
3º Passo: Utilização da ferramenta.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
500 (a mudança de sinal é para a calculadora identificar que irá sair R$ 
500) 
3 
5 
 → visor 2.654,57 (valor positivo por que depois de 5 meses a pessoa receberá 
R$ 2.654,57)
Devemos concluir que se essa pessoa fizer 5 depósitos mensais de R$ 500,00, à uma 
taxa de 3 % ao mês, receberá no fim do prazo R$ 2.654,57)
 
Interpretando essa operação utilizando o diagrama de operações financeiras, temos:
 
Imagem do autor
14
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
Observe que uma das informações é o valor presente, e foi colocado o número 0, isso 
quer dizer que não está entrando dinheiro (não há dívida).
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do valor futuro seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “VF”. Você verá a imagem abaixo.
 
15
Agora, insira os dados:
Taxa = 3%
Nper = 5
Pgto = -500
Vp = 0
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor R$ 2.654,57, como na figura abaixo.
 
 
Veja um exemplo para encontrar o valor das prestações numa série uniforme 
postecipada em função do valor futuro, da taxa e do número de prestações:
•	 Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada 
ano, à taxa de 4% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao 
fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 300.000,00?
1º Passo: Identificar se a série é antecipada ou postecipada.
- Esta série é postecipada, pois não está sendo identificado.
2º Passo: Organizar as informações.
VF = 300000 n = 10 (quantidade de prestações ou períodos)
i = 4 % a.m. PMT = ? (payment ou prestação) 
3º Passo: Utilização da ferramenta.16
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
300000 
4 
10 
 → visor – 24.987,28
Devemos concluir que devem ser feitos dez depósitos mensais de R$ 24.987,28 que 
serão capitalizados mensalmente a uma taxa de 4% para se obter a importância de 
R$ 300.000,00.
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do valor da prestação seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
17
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “PGTO”. Você verá a imagem abaixo.
 
Agora, insira os dados:
Taxa = 4%
Nper = 10
Vp = 0
Vf = 300000
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor - R$ 24.987,28, como na figura abaixo.
 
 
Veja um exemplo extraído do livro: Matemática financeira, do autor Cristiano 
Marchi Gimenes (p. 118, na sua Biblioteca Virtual), para encontrar o número de 
prestações numa série postecipada em função do valor futuro, da taxa e do valor 
das prestações.
•	 Você pretende acumular R$ 800.000,00 em alguns anos, tendo em vista, 
obviamente, sua aposentadoria. Para tanto, você pode aplicar R$ 1.700,00 
ao término de cada mês em um fundo de renda fixa que paga 1 % de juros ao 
mês. Determine em quanto tempo você poderá se aposentar.
18
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
 
Resolução:
 
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
800000 
1 
1700 (Valor tem que ser negativo, pois você vai pagar R$ 1.700,00)
 → visor = 176
 
Será que serão necessários 176 depósitos? Bem, você viu no capítulo anterior que 
para o cálculo do tempo, é ideal que se utilize o método algébrico, pois utilizando as 
funções financeiras da HP 12c, o valor encontrado, mesmo que o valor correto for 
fracionário, sempre será inteiro. 
 
Você pode verificar a dedução da fórmula e a resolução pelo método algébrico 
acessando o livro: Matemática financeira, do autor Cristiano Marchi Gimenes (p. 
119 e 120) na Biblioteca Virtual.
Vamos verificar, se esse valor de 176 depósitos está correto ou se foi arredondado, 
utilizando o Excel.
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
19
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do tempo seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “Nper”. Você verá a imagem abaixo.
 
Agora, insira os dados:
Taxa = 1%
Pgto = -1700 (Significa que você vai depositar R$ 1.700,00)
Vp = 800000 (Positivo, pois você vai receber esse valor)
Vf = 0
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor 175,02, como na figura abaixo.
 
 
20
Por tanto 175,02 depósitos, esse é o valor correto, diferente das 176 prestações que 
encontramos quando utilizamos as funções financeiras da HP 12c.
Veja um exemplo para encontrar a taxa numa série postecipada em função do 
valor futuro, do número de prestações e do valor das prestações:
•	 A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de 
R$ 7.000,00, forma um capital de R$ 140.000,00 ao fazer o décimo quinto 
depósito?
1º Passo: Identifique se a série é postecipada ou antecipada.
Veja que o exemplo não explicita, então trata-se de uma série postecipada pois é a 
mais utilizada (não sendo necessário informar no problema).
2º passo: Organize as informações.
VF = 140000 i = ? % ao mês n = 15 prestações PMT = 7000
3º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo na mesma unidade.
4º passo: utilização da HP 12C
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
140000 (Valor tem que ser positivo, pois a pessoa receberá R$ 140.000,00)
15 
7000 (Valor tem que ser negativo, pois você vai depositar R$ 7.000,00)
 → visor = 3,98
A taxa encontrada foi de 3,98 % ao mês.
21
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo da taxa seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “TAXA”. Você verá a imagem abaixo.
 
22
Agora, insira os dados:
Nper = 15
Pgto = -7000 
Vp = 0
Vf = 140000
Tipo = 0 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no final do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor 3,98%, como na figura abaixo.
 
 
Bem, finalizamos os exemplos com relação às séries uniformes de pagamentos 
postecipados.
 
Vejamos agora:
Séries uniformes de pagamentos antecipados
Já vimos, na introdução desse guia, que quando a série de pagamentos é antecipada 
isso implica que o primeiro pagamento ocorre no início da transação, ou seja, é dada 
uma entrada de mesmo valor das demais parcelas. 
Veja um exemplo para encontrar o valor das prestações em função do valor 
presente, da taxa e do número de prestações (Amortização):
•	 Você comprou um produto a prazo em 5 prestações mensais (1 + 4) de igual 
valor, entrada e mais 4 prestações, cujo preço à vista é R$ 2.000,00 à uma 
taxa de 2 % ao mês. Qual o valor de cada prestação?
1º Passo: Identificar se a série é antecipada ou postecipada.
- Esta série é antecipada, pois tem entrada (1 + 4).
23
2º Passo: Organizar as informações.
VP = 2000 n = 5 (quantidade de prestações ou períodos)
i = 2 % a.m. PMT = ? (payment ou prestação) 
3º Passo: Utilização da ferramenta.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
 
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
 
Nesse caso é necessário manter visível, no visor da HP, a palavra BEGIN (começo), 
para indicar que a primeira parcela será paga no ato (entrada), para isso tecle 
, para retirar a palavra BEGIN do seu visor, quando estiver fazendo cálculo de 
uma série postecipada é só teclar (END = FIM), assim a palavra BEGIN 
será apagada.
Vamos lá! Tecle:
 
2000 
2 
5 
 → visor – 416,00
Devemos concluir que se você comprou um produto a prazo, com entrada, cujo preço 
à vista é R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais (1 + 4), de igual valor, à uma taxa de 
2 % ao mês. O valor de cada prestação que você deve pagar é R$416,00.
 
Interpretando essa operação utilizando o diagrama de operações financeiras, temos:
 
24
Imagem do autor
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
Observe que uma das informações é o valor futuro, e foi colocado o número 0, isso 
quer dizer que quando você efetuar o pagamento da última prestação, o valor futuro 
de sua dívida é zero, ou seja, você liquidou sua dívida.
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo da prestação seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
25
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “PGTO”. Você verá a imagem abaixo.
 
Agora, insira os dados:
Taxa = 2%
Nper = 5
VP = 2000
Vf = 0
Tipo = 1 (Significa dizer que o 1º pagamento ocorrerá no início do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor – R$ 416,00, como na figura abaixo.
 
Note que, o que difere o cálculo das séries de pagamentos antecipadas com relação 
ao cálculo das séries postecipadas é:
- utilizando as funções da HP, temos que apertar as teclas , para aparecer no 
visor a palavra BEGIN, indicando que a primeira parcela será paga no início.
- utilizando o Microsoft Excel, temos apenas que inserir o no 1 na lacuna correspondente 
ao Tipo, no quadro de argumentos da função. 
 
26
Então, todos os exemplos que fizemos neste guia sobre séries de pagamentos 
postecipados podem também ser calculados (Utilizando essas observações anteriores) 
se forem modificados para uma série de pagamentos antecipados, ou seja, se ao 
invés do 1º pagamento ser feito no final de cada período ele for feito no início.
 
Veja mais um exemplo, agora de capitalização (valor futuro).
Veja um exemplo para encontrar o valor das prestações numa série uniforme 
antecipada em função do valor futuro, da taxa e do número de prestações:
•	 Qual a importância constante a ser depositada em um banco, no início de 
cada ano, a taxa de 4% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, 
ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 300.000,00?
1º Passo: Identificar se a série é antecipada ou postecipada.
- Esta série é antecipada, pois será depositado no início de cada ano.
2º Passo: Organizar as informações.
VF = 300000 n = 10 (quantidade de prestações ou períodos)
i = 4 % a.m. PMT = ? (payment ou prestação) 
3º Passo: Utilização da ferramenta.
Resolução utilizando as funções financeiras da HP 12C
Resolução:
 
Antes de resolver, zere os registros teclando , verifique se aparece um “c” 
no visor de sua calculadora, em caso negativo, tecle , para que você possa 
programar sua calculadora para o regime de capitalização composta.
Inserindo as informações na HP 12c:
 
 
300000 
4 
10 
 → visor – 24.026,23
 
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Devemos concluir que devem ser feitos dez depósitos mensais de R$ 24.026,23 que 
serão capitalizados mensalmente a uma taxa de 4% para se obter a importância de 
R$ 300.000,00, sendo o primeiro depósito no início da aplicação.
Resolução utilizando as funções financeiras básicas do Excel
1º passo: Organize as informações no próprio Microsoft Excel, por exemplo:
 
2º passo: Na célula B6, observe figura acima, selecione a função relacionada ao 
cálculo do valor da prestação seguindo os seguintes passos:
- Tecla, com o cursor do mouse, fx (Observe figura abaixo).
 
Em seguida, dentro do menu “categoria da função”, clique em “Financeira” e depois 
clique na função “PGTO”. Você verá a imagem abaixo.
 
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Agora, insira os dados:
Taxa = 4%
Nper = 10
Vp = 0
Vf = 300000
Tipo = 1 (Significa dizer que o pagamento ocorrerá no início do período)
Tecle OK.
 
Aparecerá na célula B6 o valor - R$ 24.026,23, como na figura abaixo.
 
Bem, veja mais alguns exemplos sobre séries de pagamentos uniformes antecipados 
da página 121 até 133 no livro: Matemática Financeira de Cristiano Marchi Gimenes 
que você encontra na biblioteca virtual.
 
No livro: Matemática Financeira Aplicada de Castanheira e Macedo, você encontrará 
no capítulo 7, mais exemplos sobre séries de pagamentos postecipadas e antecipadas. 
Este livro está na biblioteca virtual.
Bons estudos e até mais!