As 7 Ferramentas Básicas da Qualidade

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TQT
Formação em Qualidade Total
As 7 Ferramentas Básicas da Qualidade
adapt MINISTÉRIO DO
TRABALHO E DA
SOLIDARIEDADE
FSEESCOLA SUPERIOR DE BIOTECNOLOGIA
UNIVERSIDADE CATÓLICA PORTUGUESA
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
ÍNDICE
1 Introdução 1
1.1 Fluxograma 3
1.2 Diagrama de Pareto 6
1.3 Diagrama de causa-efeito (Ishikawa) 11
1.4 Diagrama de barras ou histograma 12
1.4.1 Medidas de tendência central 22
1.4.2 Medidas de dispersão 24
1.5 Diagrama de dispersão 25
1.6 Folha de verificação 28
1.7 Carta de controlo 30
1.7.1 Cartas de controlo por variáveis 32
1.7.1.1 Cartas de controlo de médias e amplitudes (X /R) 33
1.7.1.2 Cartas de controlo de médias e desvios padrão (X /s) 44
1.7.1.3 Cartas de controlo de medianas ( ~X ) 45
1.7.1.4 Cartas de controlo de valores individuais e amplitudes móveis (Xi/Rm) 47
1.7.2 Cartas de controlo por atributos 48
1.7.2.1 Cartas do tipo np e do tipo p 51
1.7.2.2 Cartas do tipo c e do tipo u 57
1.7.3 Capacidade do processo 60
1.8 Exercícios de aplicação 63
2 Bibliografia 74
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1
1. Introdução
A experiência quotidiana demonstra ser inevitável encontrar diferenças (por mais
pequenas que estas sejam) entre duas peças ou objectos que aparentam, à primeira vista, ser
idênticas. A mediação, quantificação e redução de tais diferenças, que constituem variações
em torno do valor ou característica pretendida, são o objecto da melhoria de qualquer
processo produtivo ou serviço.
A estatística revela-se fundamental nesta fase do processo ao se apresentar como uma
ferramenta eficaz na recolha, compilação, tratamento e análise dos dados recolhidos. Por ser
impraticável (em termos de tempo e custos), e na maior parte das vezes impossível, o
conhecimento da característica em questão relativamente a toda a produção, torna-se mais
compensatório fazer a análise de apenas uma pequena parte desta (amostra) generalizando
depois as conclusões tiradas ao resto da produção (população). O recurso à amostragem
justifica-se sempre que é impossível analisar toda a população devido à sua grande dimensão,
quando não existem recursos disponíveis ou vantagens em inspeccionar a 100%, quando se
utilizam testes destrutivos (por exemplo testes de tracção ou de compressão), quando o teste
a toda a população se torna perigoso (por exemplo o teste de um novo medicamento) ou
quando os custos associados à inspecção se tornam demasiado elevados.
A validade das conclusões sobre uma população depende, no entanto, do facto da
recolha da amostra ser feita coerentemente e por forma a representar toda a população:
amostragem aleatória. É aqui que começa a intervenção da estatística, intervenção essa que
se irá prolongar pelo tratamento e análise dos dados, pelas conclusões e sua generalização.
O grau de confiança depositado nas inferências efectuadas poderá também depois ser
avaliado através de métodos estatísticos.
As ferramentas estatísticas são utilizadas na indústria por se ter a consciência que ao
remover as causas dos problemas se obtém uma maior produtividade e que a resolução de
problemas utilizando técnicas gráficas e específicas produz melhores resultados do que os
processos de procura não estruturados. Tais técnicas, que permitem saber onde estão os
problemas, qual a sua importância relativa e que alterações irão provocar os efeitos desejados,
podem ser divididas em quatro grupos distintos:
a) Ferramentas básicas (também conhecidas pelas “seven QC tools”)
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2
− Gráfico de fluxo
− Diagrama de Pareto
− Diagrama de Ishikawa ou de Causa e Efeito
− Folha de verificação
− Histograma
− Diagrama de dispersão
− Carta de controlo
 
b) Ferramentas intermédias
− Técnicas de amostragem
− Inferência estatística
− Métodos não paramétricos
 
c) Ferramentas avançadas
− Métodos de Taguchi (desenho de experiências)
− Análises multi-variáveis
− Análise de séries temporais
− Técnicas de investigação operacional
 
d) Ferramentas de planeamento
− Desenvolvimento da função qualidade (QFD)
− Análise modal de falhas e efeitos (AMFE)
As 7 ferramentas referidas no ponto (a) revelam-se de importância fudamental na análise
estruturada dos dados e factos disponíveis e são de aplicação generalizada a quase todos os
níveis da empresa. Para a resolução de um determinado problema é necessário, antes de
mais, identificá-lo, isto é, decidir sobre qual o problema a considerar e caracterizá-lo
convenientemente. A fase de resolução que se segue passa por listar todas as suas
potenciais causas, seleccionar as mais importantes, desenvolver um plano para implementar
efectivamente as soluções, implementá-las e, sempre que possível, avaliar o efeito da sua
implementação. A fase em que cada uma das 7 ferramentas básicas a seguir descritas
intervém é indicada na figura 1.
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3
 Identificação do problema Análise do problema
Diagrama do processo Histograma
Pareto
Gráficos
Folha de verificação
Ishikawa 
 Carta de controlo
Figura 1 - A utilização das ferramentas básicas na resolução de problemas
1.1 Fluxograma
O fluxograma (ou flowsheet) é uma das primeiras ferramentas a utilizar quando se
pretende estudar um processo. Trata-se de um diagrama sistemático que pretende
representar de uma forma bastante simples, ordenada e facilmente compreensível as várias
fases de qualquer procedimento, processo de fabrico, funcionamento de sistemas ou
equipamentos, etc., bem assim como as relações de dependência entre elas. Estes
diagramas são constituídos por passos sequenciais de acção e decisão, cada um dos quais
representado por simbologia própria que ajuda a compreender a sua natureza: início, acção,
decisão, etc.
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4
Figura 2 - Fases e simbologia utilizada num fluxograma
Início do processo
Fase do processo
Final do processo
Decisão
Controlo
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Exemplo 1
Construir um fluxograma sobre o procedimento de tirar uma fotografia:
Tem
máquina?
Tem
rolo?
N
N
Comprar
Comprar
S
S
Tirar a fotografia
Escolher o objectivo
Enquadrar
Máquina
automática?
Boa luz?
S
N
Tem flash?
N
S
Ligar
Regular velocidade
S
Focar
Regular abertura
Deixar a máquina
ajustar a velocidade,
abertura e focar
N
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A utilização de fluxogramas permite a identificação de possíveis causas e origens para
problemas surgidos na linha de fabrico, assim como contribuí para, ao detectar passos
desnecessários no processo, efectuar nele simplificações significativas. Nos fluxogramas dos
processos, o controlo de qualidade encontra-se associado aos pontos de decisão.
1.2 Diagrama de Pareto
Foi no século passado, ao analisar a sociedade, que o economista italiano Alfredo Pareto
concluíu que grande parte da riqueza se encontrava nas mãos de um número reduzido de
pessoas. A partir desta observação, e por tal conclusão poder ser generalizada a muitas áreas
da vida quotidiana, foi estabelecido o designado método de análise de Pareto, também
chamado método ABC ou dos 20-80%. De uma forma sucinta, este método diz-nos que a
grande maioria dos efeitos é devida a um número reduzido de causas.
A grande aplicabilidade deste princípio à resolução dos problemas da qualidade reside
precisamente no facto de ajudar a identificar o reduzido número de causas que estão muitas
vezes por trás de uma grande parte dos problemas e variações que ocorrem. Uma vez
identificadas dever-se-à proceder à sua análise, estudo e implementação de processos que
conduzam à sua redução ou eliminação.
O princípio de Pareto pode ser usado para diferentes tipos de aplicações em termos de
qualidade. Assim, uma vez que os problemas da qualidade aparecemnormalmente sobre a
forma de perdas (items defeituosos e seus custos), é de extrema importância tentar esclarecer
o porquê da sua ocorrência. A análise de Pareto diz que, em muitos casos, a maior parte das
perdas que se fazem sentir são devidas a um pequeno número de defeitos considerados
vitais (vital few). Os restantes defeitos, que dão origem a poucas perdas, são considerados
triviais (trivial many) e não constituem qualquer perigo sério. Por outro lado, este princípio
pode também ser aplicado à redução dos custos de defeitos. Tais custos compõem-se
principalmente do custo das reparações e das rejeições devidos a defeitos nos produtos em
curso de fabrico ou devolvidos pelos clientes. Mais uma vez o que se verifica é que uma
pequena porção (cerca de 20%) dos produtos defeituosos ou do número de defeitos de uma
mesma produção é muitas vezes responsável pela maior parte (cerca de 80%) do custo global
dos defeitos, quer ao nível da empresa, quer ao nível do produto considerado.
É na detecção das 20% das causas que dão origem a 80% dos efeitos que o que o
diagrama de Pareto se revela uma ferramenta muito eficiente. Trata-se de uma representação
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gráfica ordenada na qual, para cada causa se representa, sob a forma de barras, a respectiva
consequência (nº. de defeitos, custo, etc.). A elaboração deste tipo de diagrama pode ser
sistematizada da seguinte forma:
1. decidir o tipo de problema a ser investigado (exº: nº. de items defeituosos, perdas em
valores monetários, ocorrência de acidentes);
2. identificar e listar o tipo de causas que lhe dá origem (exº. processo, máquina,
operador, método);
3. recolher dados e, para cada tipo de causa, registar o nº. de vezes que estes
contribuem para o efeito em questão;
4. ordenar as causas por ordem decrescente da respectiva frequência começando pela
classe com maior frequência. Se várias das causas apresentarem uma frequência de
ocorrência de defeitos muito baixa quando comparadas com as outras, elas poderão
ser reunidas numa única classe denominada “outros”;
5. construir um diagrama de barras por esta ordem decrescente;
6. desenhar a curva acumulada (curva de Pareto) ao unir com segmentos de recta os
valores percentuais acumulados até cada item;
7. descobertas as causas das não-conformidades mais importantes há depois que tomar
as acções correctivas apropriadas para as eliminar.
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Exemplo 2
Num processo de fabrico de peças de plástico aparecem os defeitos abaixo indicados
com as respectivas ocorrências e custos associados. Construir o respectivo diagrama de
Pareto.
Tipo de defeitos Nº. de peças defeituosas Custo unitário reparação/sucata
Fissuras 10 50
Bolhas 2 50
Rebarbas 56 5
Falta de material 3 50
Descoloração 3 50
Borbotos 24 30
Picadelas 2 50
Resolução:
Tipo de defeitos Nº. de peças
defeituosas
% de peças
defeituosas
% acumulada de peças
defeituosas
Rebarbas 56 56 56
Borbotos 24 24 80
Fissuras 10 10 90
Falta de material 3 3 93
Descoloração 3 3 96
Bolhas 2 2 98
Picadelas 2 2 100
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Diagrama de Pareto de defeitos
0
10
20
30
40
50
60
Rebarbas Borbotos Fissuras Falta de material Descoloração Bolhas Picadelas
Tipo de defeitos
N
º.
 d
e 
pe
ça
s 
de
fe
it
uo
sa
s
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
%
 acum
ulada de peças
defeituosas
Pela análise do gráfico verifica-se que, dos 7 defeitos, 2 deles (29%) são responsáveis por 80% do
número de peças defeituosas.
Sempre que possível, e uma vez que as implicações financeiras de um problema são da
máxima importância, dever-se-à associar um valor monetário aos dados no traçado dos
diagramas de Pareto. Desta forma conseguir-se-ão detectar quais as razões responsáveis pela
grande maioria dos custos e, por conseguinte, aquelas que sob o ponto de vista financeiro
convém reduzir.
Voltando ao exemplo anterior teremos que
Tipo de defeitos Custo unitário
reparação/sucata
Custo total
Rebarbas 5 280
Borbotos 30 720
Fissuras 50 500
Falta de material 50 150
Descoloração 50 150
Bolhas 50 100
Picadelas 50 100
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Fazendo agora a ordenação por ordem decrescente de custos a tabela acima
transformar-se-à em
Tipo de defeitos Custo total % do custo total % acumulada
do custo total
Borbotos 720 36 36
Fissuras 500 25 61
Rebarbas 280 14 75
Falta de material 150 7,5 82,5
Descoloração 150 7,5 90
Bolhas 100 5 95
Picadelas 100 5 100
Diagrama de Pareto de custos
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Borbotos Fissuras Rebarbas Falta de material Descoloração Bolhas Picadelas
Tipo de defeitos
C
us
to
 t
ot
al
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
%
 acum
ulada do custo total
Apesar dos borbotos constituirem apenas 24% das peças defeituosas e as fissuras
10% destas, são eles os principais responsáveis pela grande maioria dos custos: 36%
dos custos são devidos às peças com borbotos e 25% dos custos às peças com
fissuras. As rebarbas que, como visto atrás totalizavam 56% das peças defeituosas, são
apenas responsáveis por 14% dos custos.
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1.3 Diagrama de causa-efeito (Ishikawa)
O diagrama de causa-efeito, também chamado diagrama de Ishikawa (por ser esse o
nome da pessoa que primeiro o usou) ou de espinha de peixe (por ser esta a forma que
apresenta), é uma ferramenta simples muito utilizada em qualidade. Trata-se de um processo
que permite a identificação e análise das potenciais causas de variação do processo ou da
ocorrência de um fenómeno, bem assim como da forma como essas causas interagem entre
si. Este tipo de diagrama mostra a relação entre a característica da qualidade em questão e
essas causas que podem, usualmente, ser de 5 naturezas diferentes (também designadas
por 5 M’s): materiais, métodos, mão de obra, máquinas e meio ambiente. Casos há, no
entanto, em que são de uma outra natureza qualquer.
O procedimento a seguir para elaborar um diagrama deste tipo pode ser sistematizado da
forma seguinte:
1. Determinar a característica de qualidade cujas causas se pretendem identificar;
2. Através da investigação e discussão com um grupo de pessoas (brainstorming),
determinar quais as causas que mais directamente afectam essa característica, isto é,
aquelas que têm uma influência directa no problema a ser resolvido (causas primárias
ou causas de nível 1);
3. Traçar o esqueleto do diagrama colocando, numa das extremidades, a característica
da qualidade em questão. A partir desta deverá partir ‘a espinha do peixe’, isto é, uma
linha horizontal de onde deverão irradiar as ramificações com as causas consideradas
como primárias;
4. Identificar as causas (secundárias ou causas de nível 2) que afectam as causas
primárias anteriormente identificadas, bem assim como aquelas (causas terciárias) que
afectam as causas secundárias, etc. Cada um destes níveis irá constituir ramificações
nas causas de nível imediatamente inferior.
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Exemplo 3
Traçar um diagrama de Causa-Efeito para o excesso de consumo de um automóvel
Um outro tipo de diagrama de causa e efeito que se pode construir é o diagrama de
classificação do processo. Tal consiste em, a partir do diagrama de fluxo do processo em
causa, ir identificando para cada fase todas as potenciais causas ou características que
influenciam a qualidade.
A combinação dos diagramas de Causa e Efeito e diagramas de Pareto revela-se
extremamente útil na resolução de problemas.
1.4 Diagrama de barras ou histograma
A análise dos dados recolhidos ao longo de qualquer processo irá permitir avaliar a forma
como este está a decorrer, bem assimcomo tirar conclusões sobre ele. No entanto, caso o
número dos dados recolhidos seja grande, o seu tratamento e análise tornar-se-à difícil a
menos que se recorra a métodos que permitam a sua fácil ordenação e apresentação. Os
histogramas apresentam-se como um método de simples elaboração que, através da
representação gráfica do número de vezes que determinada característica ou fenómeno
ocorre (distribuição de frequência), permitem obter uma impressão visual objectiva sobre a
dispersão e localização dos valores recolhidos e, caso a amostra seja representativa, da
Excesso de consumo
de combustível
Tipo de condução Mecânico
Manutenção Ambiente exterior
Excesso velocidade 
Condução irregular 
Peso vs . Potência
Cilindrada 
Aerodinâmica Motor 
Àlcool Urgência
Excesso carga Àlcool Piso
Subidas e descidas
Óleo
Velas
Filtros
Pneus
Escape
Mau estado
Pressão
Tipo e condição
do piso
Clima
Trânsito
Altura do ano
/ mês /dia
Condições
atmosféricas
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totalidade da população. Tais diagramas podem assim ser utilizados para o controlo e melhoria
do processo.
A construção dos histogramas passa pelas seguintes fases:
1. recolha dos valores;
2. cálculo da amplitude total da amostra;
3. caso necessário, divisão em classes e cálculo da amplitude e limites de cada classe;
4. determinação da frequência (absoluta ou relativa) de cada valor ou classe;
5. para cada valor da característica, desenhar uma barra cuja altura seja proporcional à
frequência com que esse valor ocorre. As barras correspondentes a valores consecutivos
devem estar todas unidas e todas elas apresentam normalmente larguras semelhantes.
Exemplo 4
Construir um histograma que represente o número de clientes de um dado restaurante
ao longo de 15 dias
12 13 10
10 15 11
12 11 14
9 12 13
12 13 12
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Tabela de frequência
Valor Frequência absoluta Frequência absoluta
acumulada
Frequência relativa
(%)
Frequência relativa
acumulada (%)
9 | 1 1 6,7 6,7
10 || 2 3 13,3 20
11 || 2 5 13,3 33,3
12 ||||| 5 10 33,3 66,6
13 ||| 3 13 20,0 86,6
14 | 1 14 6,7 93,3
15 | 1 15 6,7 100
Histograma de frequências absolutas
0
1
2
3
4
5
9 10 11 12 13 14 15
Nº. clientes
F
re
qu
ên
ci
a 
ab
so
lu
ta
Histograma de frequências absolutas acumuladas
0
5
10
15
9 10 11 12 13 14 15
Nº. clientes
F
re
qu
ên
ci
a 
ab
so
lu
ta
 a
cu
m
ul
ad
a
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A forma dos histogramas de frequências absolutas e de frequências relativas, assim
como os de frequências absolutas acumuladas e frequências relativas acumuladas, são iguais.
A única diferença reside na escala de valores abrangida. Para o exemplo considerado
anteriormente os valores das frequências relativas e relativas acumuladas encontram-se já
marcados na tabela de frequências.
Histograma de frequências relativas
0
5
10
15
20
25
30
35
9 10 11 12 13 14 15
Nº. clientes
F
re
qu
ên
ci
a 
re
la
ti
va
 (
%
)
Histograma de frequências relativas acumuladas
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9 10 11 12 13 14 15
Nº. clientes
F
re
qu
ên
ci
a 
re
la
ti
va
 a
cu
m
ul
ad
a
(%
)
A utilização de classes (intervalos de valores) é comum quando as variáveis são do tipo
contínuo ou quando a amplitude dos valores é muito grande. No primeiro dos casos torna-se
muito difícil a contagem da frequência com que cada valor ocorre, enquanto que no segundo
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se corre o risco de perder ao definição da forma da distribuição devido ao grande número de
valores com frequências muito semelhantes.
Os intervalos das classes são usualmente de igual amplitude por forma a que a altura das
barras seja proporcional à frequência que representam. Um dos aspectos a ter em conta no
estabelecimento das classes é que se deverá sempre garantir que o limite inferior da primeira
classe seja menor ou igual ao menor dos valores observados, da mesma forma que o limite
superior da última classe deverá ser maior ou igual ao maior dos valores observados. Por outro
lado, deverá ficar desde logo estabelecido se os limites das classes são inclusivos ou
exclusivos, isto é, cada valor só poderá pertencer a um único intervalo, razão pela qual se os
limites superiores das classes forem fechados (i.e. o máximo dos valores encontra-se incluído
nesse intervalo), os limites inferiores das classes que a sucedem deverão ser abertos e vice-versa.
Não existem regras exactas sobre a forma de determinar o número e a amplitude das
classes a considerar. Como referência, sendo N o número total de dados, poder-se-ão utilizar
as fórmulas seguintes para a determinação do número aproximado de classes:
n deº
log
 classes = 1+ N
log 2
ou
n deº classes = N
sendo depois a amplitude de cada classe calculada através da fórmula
Amplitude = 
valor maximo - valor minimo
nº classes
Outra forma possível será determinar o número de classes em função do número total de
dados recorrendo à tabela seguinte
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Nº. de observações Nº. de classes
20 a 50
51 a 100
101 a 200
201 a 500
501 a 1000
> 1000
6
7
8
9
10
11 a 20
Como foi referido, estes métodos permitem estimar um número aproximado de classes a
utilizar. A correcta amplitude de cada uma (e consequentemente o número de classes) poderá
também ser determinada por simples inspecção dos dados da forma que mais convenha para
estabelecer a amplitude dos intervalos (por exemplo de 5 em 5 ou de 0,02 em 0,02) desde
que daí não resulte um número de classes exageradamente grande ou pequeno que
conduza à total perda de definição da forma do histograma.
Exemplo 5
Construir o histograma das frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas
que represente a variação do diâmetro de uma peça
2,525 2,543 2,532 2,510 2,517 2,522 2,519 2,510 2,511 2,522
2,527 2,529 2,518 2,527 2,528 2,521 2,519 2,531 2,511 2,519
2,527 2,536 2,506 2,541 2,512 2,515 2,521 2,536 2,529 2,524
2,534 2,518 2,538 2,543 2,528 2,519 2,523 2,523 2,529 2,523
2,520 2,522 2,524 2,545 2,531 2,519 2,519 2,529 2,522 2,513
2,515 2,519 2,527 2,542 2,528 2,540 2,522 2,526 2,520 2,525
2,533 2,542 2,530 2,522 2,540 2,535 2,526 2,532 2,502 2,522
2,520 2,514 2,512 2,534 2,526 2,530 2,532 2,526 2,523 2,520
2,510 2,524 2,521 2,535 2,528 2,523 2,525 2,522 2,530 2,514
Neste caso existem 90 dados que variam entre 2,502 e 2,545 (amplitude total = 0,043).
Por forma a estabelecer o número e a amplitude das classes, é de ter em atenção que os
valores 2,502 e 2,545 devem também estar incluídos, pelo que será razoável que a gama total
coberta pelas classes varie entre 2,500 e 2,550. Ao utilizar as fórmulas anteriores para prever
o número de intervalos, verifica-se que este pode variar entre 7 (pela tabela) e 9. Há também
que ter em linha de consideração a melhor forma de estipular a sua amplitude por forma a que
seja lógica a marcação dos seus limites. Por simples inspecção dos valores apresentados
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parece apropriado fazer uma divisão em classes com uma amplitude de 0,005. Mais uma vez é
importante relembrar a necessidade de definir desde logo a natureza dos limites inferiores e
superiores (i.e. abertos ou fechados). Apresenta-se de seguida a tabela de frequências bem
como os histogramas de frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas
contruidos a partir desta.
Classe
Frequência
absoluta
Frequência
absoluta
acumulada
[2,500;2,505[ \ 1 1
[2,505;2,510[ \ 1 2
[2,510;2,515[ \\\\\\\\\\ 10 12
[2,515;2,520[ \\\\\\\\\\\\ 12 24
[2,520;2,525[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 23 47
[2,525;2,530[ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 19 66
[2,530;2,535[ \\\\\\\\\\\ 11 77
[2,535;2,540[ \\\\\ 5 82
[2,540;2,545[ \\\\\\\ 7 89
[2,545;2,550[ \ 1 90
0
5
10
15
20
25
Diâmetro (cm)
F
re
qu
ên
ci
a 
ab
so
lu
ta
2,500 2,505 2,510 2,515 2,520 2,525 2,530 2,5402,535 2,5502,545
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Diâmetro (cm)
F
re
qu
ên
ci
a 
ab
so
lu
ta
 a
cu
m
ul
ad
a
2,500 2,505 2,510 2,515 2,520 2,525 2,530 2,535 2,540 2,545 2,550
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
19
É possível obter informações úteis sobre a população pela análise da forma do
histograma. De seguida apresentam-se algumas das formas mais típicas bem como algumas
possíveis interpretações para elas conforme se pretende avaliar a centralidade (Figura 3) ou a
dispersão (Figura 4).
No que respeita à centralidade, podemos considerar os diagramas de tendência central
representados nas figuras 3a. Neste tipo de representações (muitas vezes simétricas) a maior
frequência corresponde ao valor médio que se encontra centrado relativamente aos restantes
dados. Tendências não centrais podem ser observadas nos histogramas representados na
figura 3c e 3d. O primeiro destes apresenta uma tendência assimétrica do tipo negativo
(deslocado para a direita) verificando-se que a diminuição da frequência é abrupta para a direita
e mais lenta para o lado esquerdo. Tendências assimétricas do tipo positivo correspondem a
histogramas deslocados para a esquerda.
Na figura 3d encontra-se representado um histograma truncado. Neste tipo de
histogramas o valor ou classe à qual corresponde a maior frequência coincide com uma das
extremidades do histograma.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
A B C D E F G
Característica
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
A B C D E F G H I
Categoria
0
10
20
30
40
50
60
A B C D E F G H I
Característica
0
10
20
30
40
50
60
A B C D E F G H I
Característica
Figura 3 - Possíveis formas de distribuição que um histograma pode apresentar em torno do valor com maior frequência
a b
c d
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
20
Na figura 3b encontra-se representada um histograma multi-modal (i.e. apresenta mais do
que um valor máximo) também conhecido como histograma do tipo pente. Estes histogramas
são particularmente importantes uma vez que podem indicar que aí estão representadas duas
populações distintas, cada uma das quais apresentando distribuições de frequências que se
sobrepõem mas que apresentam máximos não coincidentes.
Quando as frequências dos valores ou classes são mais ou menos idênticas, o
histograma pode ainda tomar um aspecto achatado. Se se estiver a trabalhar com classes, o
ideal neste tipo de situações será tentar redifinir os intervalos por forma a conseguir procurar
uma forma no histograma com base na qual seja possível tirar conclusões.
É ainda de referir a possibilidade de surgir nos histogramas um pico isolado. Tal é comum
quando se verifica uma pequena inclusão de dados provenientes de uma distribuição
diferente que podem, por exemplo, ser devidos à ocorrência de causas especias no processo
conducentes a valores atípicos.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
Característica
0
10
20
30
40
50
60
70
80
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
Característica
Figura 4 - Possíveis formas de um histograma em termos de dispersão em torno do valor com maior frequência
Em termos de dispersão, os valores podem ser bastante concentrados em torno do valor
com maior frequência (Figura 4a) ou, alternativamente, apresentar apresentar uma grande
dispersão em torno dele (Figura 4b). Tal como anteriormente referido, é importante que o
produto apresente características o mais uniformes possível pelo que há que continuamente
tentar reduzir a variabilidade do processo. Desta forma, será possível concluir que é de todo o
interesse que os histogramas apresentem uma forma semelhante ao da Figura 4a em que a
amplitude dos valores observados é pequena. Histogramas semelhantes ao da Figura 4b
querem dizer que existe ainda um grande número de causas comuns a afectar o processo,
causas essas que é necessário reduzir e eliminar.
a
b
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
21
Outra das utilidades dos histogramas consiste na possibilidade de, dados os limites de
especificação (tolerâncias), verificar em que medida essas especificações estão a ser
obedecidas.
CaracterísticaLIE LSE CaracterísticaLIE LSE
CaracterísticaLIE LSE
 
CaracterísticaLIE LSE
CaracterísticaLIE LSE
Figura 5 - Comparação entre o histograma e os limites de especificação
Nos casos retratados nas Figuras 5a e 5b os limites de especificação são obedecidas
pelo, à partida, a produção obedece às especificações pré-definidas. No entanto, enquanto
que na Figura 5a existe uma folga que permite que a eventual ocorrência de pequenas
variações não conduza a uma produção fora dos limites, o mesmo não se verifica na Figura 5b.
Aqui, uma vez que não existe qualquer margem extra, é de todo o interesse tentar reduzir a
variação da característica do produto considerada por forma a evitar produtos fora das
especificações.
a b
c d
e
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
22
Nas restantes Figuras (5c, 5d e 5e) o histograma não obedece às especificações pelo
que há que tomar medidas para centrar o processo para valores próximos do valor nominal
óptimo (Figura 5c) e para reduzir a variação (Figuras 5d e 5e).
Juntamente com os histogramas, existe todo um conjunto de estatísticas amostrais que
é possível calcular e que não só são medidas da centralidade e dispersão dos dados como
também ajudam a interpretar os histogramas do processo.
1.4.1 Medidas de tendência central
As medidas de tendência central indicam o valor médio em torno do qual se agrupam os
dados. A mais conhecida destas medidas é, sem sombra de dúvida, a média aritmética (X ). O
seu cálculo permite a determinação do valor central relativamente ao qual os dados que
constituem a amostra se distribuem.
O cálculo da média aritmética pode ser feita por várias formas diferentes consoante os
dados são do tipo discreto ou contínuo e se se encontram ou não agrupados em classes.
Assim, no caso dos dados não se encontrarem agrupados em classes, a sua média aritmética
é determinada simplesmente somando-os todos e dividindo pelo número total de dados (n)
de acordo com a seguinte fórmula:
X
1
n
xi
i 1
n
= ∑
=
ou, alternativamente por
X f xi
i 1
n
i= ∑
=
em que fi representa a frequência relativa de cada valor xi e n o número total de valores cuja
média se está a calcular.
No caso dos valores se encontrarem agrupados em J classes o cálculo da sua média é
aproximado através da fórmula
X f Mj
j 1
J
j≈ ∑
=
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
23
onde fj representa agora a frequência relativa da classe j cujo ponto médio (ponto
representativo da classe) é Mj. O símbolo ≈ utiliza-se precisamente por se considerar o ponto
médio como representativo da respectiva classe.
A mediana é outra das medidas de tendência central a considerar. Este parâmetro
estatístico é definido como sendo o valor que, numa série de n valores observados e
ordenados por ordem crescente os divide em dois grupos com o mesmo número de
elementos. Assim, se o número total de valores for ímpar, a mediana será o valor central do
conjunto. Por exemplo, para o conjunto de valores
2 2 5 7 7 10 19 30 31
a mediana será o valor 7 uma vez que à sua direita ficam o mesmo número de valores que à sua
esquerda (i.e. 4).
No caso do número total de valores ser par, a mediana será a média aritméticados dois
valores que dividem a série (previamente ordenada) em dois grupos iguais: Assim, para o
conjunto de valores
2 4 4 5 9 10 15 16 16 20
a mediana será a média dos valores 9 e 10, isto é 9,5.
Quando estamos em presença de variáveis do tipo contínuo ordenadas em classes há
que, numa fase inicial, definir a classe mediana como sendo a que contém o termo central dos
dados. Se f representar a frequência relativa dessa classe, LI for o seu limite inferior, D a sua
amplitude e fa- a frequência relativa acumulada da célula que a precede, a mediana poderá ser
estimada através da fórmula
Md LI
0 5 f
f
a
≈ +
−
−
,
∆
A última medida de tendência central que interessa para já considerar é a moda. Esta
indica o valor ou gama de valores na qual a concentração dos dados é máxima.
Quando os dados amostrais são realizações de uma variável discreta, a moda será o valor
dos dados que ocorre com maior frequência, isto é, o valor que mais se repete. Em ambos os
atrás apresentados existem então duas modas: no primeiro caso estas são 2 e 7 e no
segundo 4 e 16.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
24
Se estivermos a tratar com variáveis contínuas agrupadas em classes, pode-se, por
aproximação, dizer que a moda coincide com o ponto médio da classe modal, isto é, da classe
com maior frequência. No exercício 6 a classe modal seria a classe [2,520;2,525] cujo ponto
médio (assumido como sendo a moda) é 2,5225.
Se um histograma for perfeitamente simétrico verifica-se que média, mediana e moda
coincidem. Tal já não acontece no caso de histogramas assimétricos. Se a assimetria for
positiva (histograma deslocado para a esquerda) o que acontece na maior parte dos casos é
que a mediana < média < moda. Esta situação inverte-se para histogramas com assimetria
negativa.
1.4.2 Medidas de dispersão
São duas as formas mais simples de medir a variabilidade ou dispersão dos dados. A
amplitude (R) consiste unicamente na diferença entre o valor máximo e o valor mínimo dos n
valores observados e permite ter uma ideia da “largura” da gama de valores observados.
R = xmax - xmín
A outra medida do grau de dispersão dos n valores xi observados é o desvio padrão (s)
que pode ser calculado através da fórmula
s
x X
n 1
i
2
i 1
n
=
−∑
−
=
( )
ou
s
n
n 1
f x Xi
i 1
n
i
2
=
−
∑ −
=
( )
em que n representa o número total de dados e f a sua frequência relativa de ocorrência.
Se considerarmos por exemplo os valores
2 5 8 1
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
25
cuja média vale 4 e a amplitude 7, o seu desvio padrão será calculado da seguinte forma
s
2 4 5 4 8 4 1 4
4 1
4 1 16 9
3
30
3
10 3 16
2 2 2 2
=
− + − + − + −
−
=
+ + +
= = =
( ) ( ) ( ) ( )
,
Quanto maior for o desvio padrão maior será a dispersão dos valores em torno da média.
À medida que o número de dados aumenta (n>30) torna-se, na fórmula do desvio
padrão, indiferente dividir por n ou por n-1, pelo que é válido fazer a aproximação de n ≈ n-1.
Neste caso o desvio padrão da amostra (s) tenderá para o desvio padrão da população (s).
1.5 Diagrama de dispersão
Na prática é muitas vezes importante verificar se duas variáveis (por exemplo
concentração e pH) estão ou não relacionadas e, caso positivo, qual o tipo de relação que
existe entre elas. Os diagramas de dispersão tornam-se uma ferramenta extremamente
poderosa para atingir esse objectivo. Caso exista, essa relação é usualmente do tipo causa-
efeito não sendo no entanto possível, através dos diagramas de dispersão, identificar qual
das variáveis é a causa e qual é o efeito. A construção destes diagramas passa por recolher os
pares de dados (x,y) entre os quais se pretende analisar a relação, organizar esses dados
numa tabela, encontrar os valores máximos e mínimos para x e para y, marcar as escalas
respectivas por forma a que sejam mais ou menos iguais e marcar os pontos no gráfico.
Na análise destes gráficos a primeira coisa a fazer será verificar se existem ou não pontos
nitidamente afastados do grupo principal (pontos com comportamento atípico). O afastamento
desses pontos poderá ser explicado por eventuais erros na medição ou registo de dados,
bem assim como por variações ocorridas durante o processo. Pontos atípicos deverão ser
excluídos da análise, não sem no entanto tentar descobrir a causa de tal comportamento. Da
marcação dos pontos poderão surgir uma das três situações ilustradas abaixo: (a) correlação
positiva (em que o aumento de uma variável conduz ao aumento da outra), (b) correlação
negativa (em que o aumento de uma variável conduz à diminuição da outra) e (c) ausência de
correlação (quando não parece haver qualquer tipo de ligação entre as variáveis
consideradas).
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
26
Figura 6 - Tipos de correlação que se podem obter: (a) positiva, (b) negativa e (c) sem qualquer tipo de correlação
Exemplo 6
Verificar se existe algum tipo de relação entre as alturas e os pesos de um grupo de
pessoas
Altura (m) Peso (kg)
1,57 60
2,00 95
1,67 66
1,90 85
1,50 45
1,75 78
1,63 64
1,78 75
1,94 92
1,82 80
1,77 75
1,59 60
40
50
60
70
80
90
100
1,4 1,6 1,8 2
Altura (m)
a b c
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
27
Por simples inspecção do gráfico resultante parece ser óbvio que o peso
das pessoas parece aumentar com a sua altura tratando-se, por isso, de
uma correlação do tipo positivo. No entanto, e dado que a altura não é a
única condicionante do peso, verifica-se a existência de situações em que
uma menor altura implica, no entanto, um maior peso.
As correlações entre as variáveis podem ser de vários tipos: lineares, quadráticas,
cúbicas, logarítmicas, etc. Por forma a poder prever o comportamento de uma das variáveis em
função da outra é útil conseguir encontrar aquilo a que se chama função ou equação de
ajuste. Trata-se da equação matemática que melhor ajusta o comportamento e a dependência
dos dados e que é função do tipo de dependência que existe entre elas. Por exemplo,
quando o aumento de uma variável implica o aumento da outra (tal como no exercício anterior)
a função de ajuste assume normalmente a equação de uma recta do tipo y = a + b x em que y
representa a variável dependente (no caso do exercício anterior y seria o peso) e x a variável
dependente (no caso do exercício anterior x seria a altura). Desta forma, e se conseguirmos
uma recta que aproxime a evolução dos pontos de uma forma razoável, será possível prever y
(i.e. o peso de uma pessoa) se soubermos o valor x (i.e. a sua altura) e vice versa. Tal previsão
poderá ser mais ou menos exacta consoante o modelo se ajusta melhor ou pior aos dados. O
coeficiente de correlação (r) é um parâmetro que permite avaliar se o ajuste feito é ou não
bom. Os valores admissíveis para r variam entre -1 e 1 (-1 ≤ r ≤ 1). Se r assumir valores
negativos (-1 ≤ r < 0) isso significa que a correlação é do tipo negativo, isto é, que o aumento
de uma variável implica a diminuição da outra. Se, pelo contrário, r estiver compreendido entre
0 e 1 (0 < r ≤ 1) isso quererá dizer que a correlação é do tipo positivo. Quanto mais próximo de
1 ou de -1 estiver r, melhor o ajuste. Se r = 0 (ou próximo dele) isso quer dizer que não há
qualquer tipo de correlação.
Voltando ao exemplo 6, se tentarmos passar uma recta pelos vários pontos veremos que
aquela que melhor os ajusta é a que tem por equação
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
28
peso (kg) = - 86,8 + 91,6 x altura (m)
40
50
60
70
80
90
100
1,4 1,6 1,8 2
Altura (m)
O coeficiente de correlação (r) para este ajuste é de 0,9839 pelo que se
pode dizer que se trata de um ajuste bastante aceitável. Se agora
pretendessemos prever o peso de uma pessoa que mede 1,70 m
bastaria substituireste valor na equação acima. O valor por ela estimado
seria de 69,1 kg.
1.6 Folha de verificação
É importante garantir bastante objectividade na recolha de dados sendo para tal, antes
de mais, necessário definir com precisão quais os dados que é necessário recolher. Avaliar
parâmetros ou fazer leituras que não nos interessam apenas conduz a perdas de tempo e a
uma maior confusão em termos do seu armazenamento. Por forma a que isso não aconteça
convém dispôr de um formulário/ficha bastante simples e convenientemente elaborado onde
as perguntas para as quais se deseja a resposta se encontram perfeitamente definidas e que
permita a qualquer utilizador identificar correctamente quais os items a medir/registar e em que
altura e sequência tal deverá ser feito.
 As folhas de verificação não só facilitam a recolha de dados como também a sua
organização. Com base nelas será mais fácil posteriormente encontrar dados que sejam
necessários, bem assim como fazer estudos retrospectivos. Não existe uma folha de
verificação standard uma vez que estas devem ser elaboradas em função do fim a que se
destinam. Na figura 7 dá-se o exemplo de uma folha de verificação que poderia ser utilizada na
realização de ensaios às matérias primas recepcionadas.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
29
EMPRESA ABC Resultados dos ensaios às matérias primas
Nome do produto: ______________________________________________________________
Fornecedor: __________________________________________________________________
Endereço: ___________________________________________________________________
________________________________________ Telefone: ___________________________
Data de recepção: _____ / _____ / _____
Resultados dos ensaios laboratoriais:
Características:
Observações:
O responsável do DQ: Data: ____ / ____ / ____
Resultados dos ensaios industriais:
Características:
Observações:
O responsável do DP: Data: ____ / ____ / ____
Apreciação global:
Assinatura: Data: ____ / ____ / ____
Figura 7 - Exemplo de um boletim de ensaio às matérias primas
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
30
1.7 Carta de controlo
Um dos métodos mais utilizados para ficar a conhecer, não só a forma como as causas
comuns provocam variações nos processos mas também de identificar a existência de causas
especiais, consiste na utilização de cartas de controlo e foi desenvolvido nos anos 20 pelo Dr.
Walter Shewhart dos laboratórios Bell.
Uma carta de controlo trata-se de um método gráfico em que se marcam pontos
representativos de várias fases consecutivas de um processo, permitindo assim seguir a sua
evolução. O controlo estatístico do processo (do inglês, S.P.C.) baseia-se na utilização das
cartas de controlo e é o modo de, seguindo essa evolução, conseguir interpretar as variações
que ocorrem por forma a se poder decidir se devem ou não ser feitas alterações.
A primeira fase da construção destes gráficos consiste na recolha de uma série de dados
relativos à característica a ser estudada (dimensões, nº. de peças defeituosas, nº. de defeitos
nas peças produzidas, tempos, etc.). Uma vez que, quer por uma questão de dinheiro como
de tempo, na grande maioria das vezes é impossível fazer o controlo de todas as peças, há
que seleccionar apenas algumas que sejam representativas das restantes (amostragem). Para
ser feito de forma correcta, tal deverá seguir um plano e, uma vez que existem vários tipos de
planos de amostragem disponíveis, é importante escolher aquele que dá mais e melhor
informação. Amostragens bem feitas irão permitir que, verificando apenas uma pequena
quantidade de peças, seja possível dizer o que se passa com a totalidade delas.
Numa fase seguinte os dados recolhidos deverão ser reunidos e, dependendo do tipo
da carta de controlo a usar, convertidos numa forma tal que permita a sua marcação.
A utilização das cartas de controlo é frequentemente vista como um processo de
monitoragem. No entanto, para poderem assumir esse papel, terão antes que ser definidos
quais os limites de controlo para além dos quais as características avaliadas do produto,
processo ou serviço não poderão passar. É de ter em atenção que os limites de controlo não
são especificações limites nem objectivos. De facto, cada característica (por exemplo o
diâmetro de um parafuso) tem um valor objectivo em torno do qual, devido às causas comuns,
os valores realmente observados se irão dispôr. Consciente de que é impossível que todos
os produtos apresentem esse valor objectivo, o cliente estabelece ainda as especificações
máximas admissíveis (tolerâncias) para além das quais os produtos não deverão passar: limites
máximo e mínimo de especificação. Por outro lado, o produtor tem que dispôr de meios que
garantam a qualidade e homogeneidade do seu produto. Com esse objectivo marca nas
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
31
cartas de controlo limites para além dos quais considera que o seu produto não é
suficientemente bom para seguir para o cliente: limite máximo e mínimo de controlo. Estes
limites de controlo utilizados pelo produtor deverão ser inferiores aos admitidos pelo cliente
por forma a evitar que cheguem a este produtos fora das especificações
O conjunto de dados recolhidos que irá constituir a primeira das cartas de controlo é
também utilizado para, através de fórmulas baseadas na variabilidade natural do processo e no
plano de amostragem, determinar os limites de controlo das cartas subsequentes. O controlo
e melhoria do processo usando cartas de controlo deve ser encarado como um processo
iterativo em que se repetem as fases fundamentais de recolha de dados, controlo e análise.
De facto, calculados os limites de controlo com esse primeiro conjunto de dados, se for
evidente a existência de causas especiais de variação que leve pontos para fora dos limites ou
que tornem evidentes tendências na variação dos pontos, o processo deverá ser estudado
para se conseguir determinar o que o está a afectar e se tomarem depois as devidas acções
para eliminar essas causas especiais. Após eliminadas, dever-se-ão recolher mais dados e
recalcular os limites de controlo, fundamentais para interpretar os dados para o controlo
estatístico.
A partir do momento em que todas as causas especiais tenham sido eliminadas e o
processo se encontrar em controlo estatístico, a carta irá servir de ferramenta de
monitorização. Sempre que algum ponto saia fora dos limites de controlo ou que apresentem
alguma tendência marcada de variação, o processo deverá ser interrompido e a razão de ser
de tal ocorrência ser investigada uma vez que não vale a pena estar a produzir peças que
provavelmente irão ter defeitos ou estar fora das especificações. Identificadas as causas
especiais que levaram à ocorrência destes pontos fora de controlo o processo deverá ser
alterado por forma a contornar os problemas que as originaram. O ciclo recomeça novamente à
medida que mais dados são recolhidos, interpretados e usados como base de actuação.
Nesta fase, o processo poderá ser interpretado em termos da sua capacidade. Será
então possível prever a performance do processo podendo, quer o produtor quer o cliente,
confiar em níveis de qualidade consistentes e em custos estáveis para atingir esse nível de
qualidade.
Por outro lado, atingido o controlo estatístico não se deve ficar por aí. Caso a variação
oriunda das causas comuns seja excessiva, o resultado do controlo do processo não irá de
encontro às necessidades uma vez que o produto continuará a apresentar pouca
homogeneidade. O processo em si deverá ser investigado e corrigido por forma a eliminar
e/ou reduzir essas comuns e, para isso, tipicamente, uma atitude superior a níveldas chefias
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
32
deverá ser tomada para melhorar o sistema. O objectivo é que os produtos se tornem cada vez
mais homogéneos e, consequentemente, que os limites de controlo se vão tornando mais
estreitos.
As cartas de controlo, que se apresentam assim como uma ferramenta de controlo e de
melhoria do processo, podem ser de dois tipos distintos consoante o controlo que é
efectuado: controlo por variáveis ou controlo por atributos. Cada um destes tipos de cartas
será de seguida desenvolvido.
1.7.1 Cartas de controlo por variáveis
As cartas de controlo por variáveis são usadas quando a característica que está a ser
estudada se pode medir. Por exemplo, no caso de se estar a controlar o diâmetro de um veio,
o comprimento de uma chapa, o tempo necessário para completar uma operação, o peso das
garrafas numa linha de enchimento, etc.. O processo seguido para elaborar este tipo de cartas
passa por, ao longo do tempo, ir recolhendo amostras da produção, processar os dados
recolhidos, marcar na carta de controlo os pontos correspondentes, analisar o seu
comportamento e generalizar as conclusões à restante produção.
As cartas de controlo por variáveis permitem explicar os dados processuais em termos da
localização central das medidas e da sua variabilidade, razão pela qual cartas de controlo por
variáveis são sempre construídas aos pares: uma para uma medida de tendência central e
outra para uma medida de variabilidade. As cartas de controlo por variáveis mais comuns são as
cartas de controlo de médias (X ), de valores individuais (Xi), de medianas ( ~X ), de amplitudes
(R) e de desvios padrão (s).
As cartas de controlo de médias e amplitudes são as que aparecem mais frequentemente
e, normalmente, em conjunto. As cartas de controlo de desvios padrão (s), menos utilizadas
que as cartas de controlo de amplitudes (R), aparecem normalmente como um substituto
destas e em conjunto com as cartas de controlo de médias (X ). As cartas de controlo por
medianas ( ~X ) aparecem normalmente individualmente por substituirem simultaneamente as
cartas de médias e as de amplitudes. Todas estas cartas são construídas com base na recolha
de amostras ou subgrupos com mais do que um elemento (o tamanho de amostra mais
comum é 5). No entanto, sempre que por algum motivo as decisões tenham que ser tomadas
com base em valores individuais ou que o próprio processo não permita a recolha de mais do
que um valor de cada vez usam-se as cartas de controlo por valores individuais. Cada um
destes tipo de cartas de controlo irá ser de seguida analisado.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
33
1.7.1.1 Cartas de controlo de médias e amplitudes (X /R)
Como para qualquer outra, a primeira fase de construção de uma carta do tipo
médias/amplitudes consiste na recolha de dados que, como já anteriormente referido, para
ser feita de uma forma correcta, deverá ser baseada num plano. O primeiro passo será decidir
qual o tamanho das amostras a retirar. Essas amostras deverão ser representativas do resto da
produção (população) e são normalmente constituídas por 4 ou 5 elementos cada.
Uma vez que o objectivo será detectar as variações no processo ao longo do tempo, as
amostras deverão ser recolhidas suficientes vezes e a tempos apropriados por forma a
poderem refectir as eventuais alterações que estão a ocorrer (por exemplo: diferenças dos
turnos, variações de temperatura, lotes de materiais, diferenças entre a produção diurna e
nocturna, etc.). Geralmente 25 grupos são suficientes para construir uma carta de controlo
pois contêm já leituras suficientes que permitam avaliar a variabilidade e localização do
processo.
Ao elaborar uma carta do tipo X /R a carta das médias aparece normalmente na parte
superior e a carta das amplitudes imediatamente abaixo. Na figura 8 pode-se ver um exemplo
deste tipo de cartas.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
34
LC
SX
 =
M
áq
ui
na
:
Pe
ça
:
Ca
ra
ct
er
íst
ic
a:
Ca
rta
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º:
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LC
IX
 
=
Pr
oc
es
so
:
Su
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r.:
LC
SR
 =
A
M
O
ST
RA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
D
AT
A
H
O
RA
R
U
BR
IC
A
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
So
m
at
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io
M
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itu
deM É D I A A M P L I T U D E
CO
N
TR
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LO
 E
ST
AT
ÍST
IC
O
 D
O
 P
RO
CE
SS
O
 - 
CA
RT
A 
X
/R
Figura 8 - Exemplo de uma carta de controlo do tipo médias/amplitudes
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
35
Como se pode ver, no eixo das ordenadas marcam-se as escalas das médias e das
amplitudes, respectivamente, enquanto que na escala das abcissas se vai marcando a sua
evolução ao longo do tempo. Na maioria das cartas de médias e amplitudes, aparecem na
parte inferior e verticalmente abaixo das linhas verticais sobre as quais devem ser marcados os
pontos relativos a cada uma das amostras, espaços disponíveis para registar os valores das
várias leituras para cada uma das amostras sequenciais. Dado que se trata de uma carta de
médias e amplitudes, existe ainda uma célula para marcar o valor da soma das leituras da
amostra respectiva, bem como a média e a amplitude dos seus valores. A média e a amplitude
são então os valores representativos de cada amostra e irão ser marcados nas cartas
respectivas. Para uma amostra (ou subgrupo) constituída por n leituras (por exemplo 5) estas
estatísticas serão calculadas por
X = 
x x ... x
n
1 2 n 
+ + +
R x xmáx mín= −
em que x1, x2, ... são os valores individuais, n é o tamanho da amostra e xmáx e xmín representam,
respectivamente, o valor máximo e o valor mínimo dos n valores da amostra.
Consideremos, a título de exemplo, um conjunto de amostras constituída cada uma por 5
leituras. Para a primeira das amostras, os valores das 5 leituras são
14,2; 14;4; 14,0; 14,3 e 14,2.
A média destes valores será calculada por
X
14,2 14,4 14,0 14,3 14,2
5
14,22=
+ + + +
=
e a amplitude por
R = 14,4 - 14,0 = 0,4
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
36
A primeira das colunas na parte inferior do gráfico da Figura 8 deverá, assim, apresentar a
seguinte aparência:
AMOSTRA 1
DATA 8/9
HORA 22 h
RUBRICA
X1 14,2
X2 14,4
X3 14,0
X4 14,3
X5 14,2
Somatório 71,1
Média (X) 14,2
Amplitude (R) 0,4
Relativamente a esta amostra, dever-se-à agora representar na linha vertical respectiva o
valor de 14,2 para a média e 0,4 para a amplitude. O mesmo procedimento deverá ser seguido
para as restantes amostras.
Com base nos resultados das 25 amostras recolhidas para a primeira das cartas de
controlo serão calculados os denominados limites de controlo. Também a marcação das
escalas para a carta das médias e para a carta das amplitudes deverá ser feita após a obtenção
de todos os resultados relativos a essas amostras pois só assim se saberá a amplitude das
escalas a traçar. Uma vez marcados todos os pontos, estes deverão depois ser unidos com
linhas por forma a melhor visualizar as variações e tendências que estão a ocorrer.
Numa fase seguinte serão determinados o limites de controlo superior (LCS), a linha
central (LC) e o limite de controlo inferior (LCI). Cada tipo de carta tem fórmulas apropriadas
para a determinação dos limites de controlo e da linha central. Para as cartas de controlo de
médias e amplitudes estas encontram-se na Tabela I.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
37
Tabela I
Fórmulas a usar na determinação das linhas centrais e limites de controlo para as cartas de controlo por médias e
amplitudes
Carta X Carta R
LCS X = X + A2 R LCSR = D4 R
LC X = X LCR = R
LCI X = X - A2 R LCIR = D3 R
Nestas fórmulas, X e R representam,respectivamente, a média dos valores das médias
das amostras e a média das amplitudes das várias amostras que constituem a carta de controlo
(normalmente 25). Os parâmetros A2, D3 e D4 são valores que se encontram tabelados (Tabela
II) e que são função do tamanho das amostras recolhidas.
Tabela II
Parâmetros a utilizar nas fórmulas de cálculo dos limites de controlo das cartas de controlo por médias e amplitudes
Gráfico X Gráfico R
n A2 D3 D4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1,880
1,023
0,729
0,577
0,483
0,419
0,373
0,337
0,308
0,285
0,266
0,249
0,235
0,224
0,212
0,203
0,194
0,187
0,180
0,173
0,167
0,162
0,157
0,153
0
0
0
0
0
0,076
0,136
0,184
0,223
0,256
0,284
0,308
0,329
0,348
0,364
0,380
0,391
0,404
0,414
0,425
0,434
0,443
0,452
0,459
3,267
2,575
2,282
2,115
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
1,744
1,716
1,692
1,671
1,652
1,636
1,621
1,608
1,596
1,586
1,575
1,566
1,557
1,548
1,541
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
38
As linhas centrais X e R deverão ser marcadas a cheio nas cartas de controlo e os
limites de controlo superior e inferior a tracejado. Por forma a facilitar a sua identificação, a cada
uma das linhas dever-se-à fazer corresponder as iniciais dos limites a que correspondem.
Caso a variabilidade no processo seja apenas devida a causas comuns, os pontos
representativos das médias e das amplitudes das amostras não deverão sair fora dos limites de
controlo e dispôr-se-ão aleatoriamente em torno do valor médio. Neste caso esses limites
poder-se-ão manter como limites de controlo para a carta seguinte. Caso tal não aconteça, i.e.
se algum dos pontos ficar fora dos limites de controlo ou caso apresentem alguma tendência
que possa parecer não natural dever-se-à tentar investigar se algo está a correr mal no
processo, corrigir e, após retirar novas amostras, recalcular os limites de controlo. A alternativa
será retirar os pontos que se encontram fora de controlo e recalcular os limites com os
restantes pontos. Caso algum dos pontos continue fora dos limites, o processo deverá ser
repetido até que tal não aconteça. No entanto, se tal não for conseguido ao fim de 2 ou 3
tentativas isso quererá significar que a variação a que o processo está sujeito não é apenas
devida a causas comuns. Deverão também existir causas especiais a afectar a sua
performance.
As fórmulas e os factores usados para calcular os limites de controlo (Tabelas I e II) foram
determinados de modo a garantir que a variação dentro dos limites de controlo é praticamente
devida apenas a causas comuns (existem 3 desvios padrões entre cada um dos limites e linha
central, num total de 6 desvios padrões o que significa que, se o processo estiver a ser
afectado apenas por causas comuns, 99,73% dos pontos deverão ficar entre os limites de
controlo). Deste modo, qualquer ponto fora dos limites de controlo será de levantar suspeitas
devendo-se prestar especial atenção e tentar averiguar se algo está a correr mal (exº.
inadvertência dos operadores, mudança de turno, máquina defeituosa, etc.).
No entanto, não são apenas os pontos fora de controlo que devem ser alvo de especial
atenção. Como já se referiu, também tendências no traçado dos pontos deverão ser foco de
estudo, nomeadamente:
∗ padrões oscilantes;
∗ tendências continuamente crescentes ou decrescentes (7 pontos seguidos
a aumentar ou a diminuir);
∗ padrões em zig-zag;
∗ alteração do valor médio em torno do qual os pontos oscilam;
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
39
∗ 7 pontos seguidos do mesmo lado da linha central;
∗ 2 em 3 pontos acima de X + 2s ou abaixo de X - 2s;
∗ 4 em 5 pontos entre X + 2s e X + s ou entre X - 2s e X - s.
As linhas X ± 2s são designadas por limites de vigilância e, por vezes, são também
marcadas nas cartas de controlo juntamente com os limites de controlo.
Exemplo 7
Traçar as cartas de controlo de médias e amplitudes para o conjunto de 25 amostras
representadas abaixo. Determinar para cada uma das cartas os limites de controlo e verificar se
o processo está ou não sob controlo estatístico.
Amostra nº. Valores observados
1 28,0 25,2 26,4 26,2 24,2
2 26,4 26,6 25,4 26,8 24,2
3 27,0 25,6 26,0 25,6 24,8
4 27,8 24,8 26,6 26,2 26,4
5 26,0 26,0 24,2 24,4 26,6
6 27,4 24,0 25,0 24,8 24,8
7 27,8 24,2 25,4 26,8 26,0
8 26,8 27,2 26,0 24,8 27,0
9 28,8 24,8 24,4 24,8 25,0
10 26,6 24,8 25,2 25,8 25,6
11 26,6 25,6 26,0 26,0 26,2
12 27,2 25,0 26,6 27,0 25,6
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
40
(continuação)
Amostra nº. Valores observados
13 26,8 26,6 24,0 26,0 26,2
14 27,8 26,2 27,0 25,2 25,6
15 28,4 25,4 25,8 25,8 25,0
16 27,2 25,2 24,8 25,0 24,4
17 28,0 26,4 24,8 26,0 26,0
18 26,2 25,8 27,0 24,6 25,6
19 29,2 27,4 26,8 24,4 25,0
20 27,8 26,0 26,0 26,4 25,2
21 26,6 25,4 25,2 25,6 25,4
22 27,8 24,8 25,4 24,8 25,6
23 26,4 24,6 25,2 26,2 25,4
24 26,4 25,6 25,6 24,6 25,2
25 26,6 25,6 26,0 24,6 24,4
Numa primeira fase dever-se-ão calcular as médias e amplitudes para cada uma das
amostras:
Amostra nº. Valores observados X R
1 28,0 25,2 26,4 26,2 24,2 26,0 3,8
2 26,4 26,6 25,4 26,8 24,2 25,9 2,6
3 27,0 25,6 26,0 25,6 24,8 25,8 2,2
4 27,8 24,8 26,6 26,2 26,4 26,4 3,0
5 26,0 26,0 24,2 24,4 26,6 25,4 2,4
6 27,4 24,0 25,0 24,8 24,8 25,2 3,4
7 27,8 24,2 25,4 26,8 26,0 26,0 3,6
8 26,8 27,2 26,0 24,8 27,0 26,4 2,4
9 28,8 24,8 24,4 24,8 25,0 25,6 4,4
10 26,6 24,8 25,2 25,8 25,6 25,6 1,8
11 26,6 25,6 26,0 26,0 26,2 26,1 1,0
12 27,2 25,0 26,6 27,0 25,6 26,3 2,2
13 26,8 26,6 24,0 26,0 26,2 25,9 2,8
14 27,8 26,2 27,0 25,2 25,6 26,4 2,6
15 28,4 25,4 25,8 25,8 25,0 26,0 3,4
16 27,2 25,2 24,8 25,0 24,4 25,3 2,8
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
41
 (continuação)
Amostra nº. Valores observados X R
17 28,0 26,4 24,8 26,0 26,0 26,2 3,2
18 26,2 25,8 27,0 24,6 25,6 25,8 2,4
19 29,2 27,4 26,8 24,4 25,0 26,6 4,8
20 27,8 26,0 26,0 26,4 25,2 26,3 2,6
21 26,6 25,4 25,2 25,6 25,4 25,6 1,4
22 27,8 24,8 25,4 24,8 25,6 25,7 3,0
23 26,4 24,6 25,2 26,2 25,4 25,6 1,8
24 26,4 25,6 25,6 24,6 25,2 25,5 1,8
25 26,6 25,6 26,0 24,6 24,4 25,4 2,2
O passo seguinte será calcular o valor médio das várias médias X bem assim como
o valor médio das amplitudes R . Somando todas 25 e as 25 amplitudes tem-se que
X = 647 e R = 67,6ii=1
25
i=1
25
∑ ∑
e, portanto,
X = 25,9 e R = 2,7
Aplicando agora as fórmulas para a determinação dos limites de controlo para cartas
do tipo X /R temos que, dado que o tamanho da amostra é 5, da tabela III A2 = 0,577, D3
= 0 e D4 = 2,115 e, portanto:
Carta das médias:
L CS = X + A R 25,9 0,577x 2,7 27,52 = + =
LC = X 25,9=
LCI = X - A R 25,9 - 0,577 x 2,7 = 24,3
2
=
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
42
Carta das amplitudes:
LCS = D
4
R 2,115 x 2,7 = 5,71=
LCI = R 2,7=
LCI = D
3
R 0 x 2,7 = 0=
Traçando as cartas de controlo verifica-se que, em qualquer delas, não só não
existem quaisquer pontos fora dos limites de controlo como também estes não
apresentam qualquer tendência na sua variação. É assim possível concluir que o
processo se encontra sob controlo estatístico não sendo evidente a existência de
causas especiais a afectá-lo. As linhas de controlo calculadas serão utilizadas nas cartas
de controlo seguintes.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
43
LC
SX
 =
M
áq
ui
na
:
Pe
ça
:
Ca
ra
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Ca
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M
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2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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2
X
3
X
4
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27 26
,5
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2
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 2
6,
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26
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3
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 1
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1
,8
 2
,2
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
44
1.7.1.2 Cartas de controlo de médias e desvios padrão (X /s)
Tal como as cartas de X /R, as cartas de X /s aparecem em conjunto. A principal razão
pela qual se usam muito frequentemente as cartas de amplitudes (R) como medida da variação
do processo é o facto da amplitude (R) ser um parâmetro bastante fácil de calcular além de se
mostrar relativamente eficiente para amostras de pequenos tamanhos (n<9). Apesar de se
apresentar como um indicador muito mais eficiente da variabilidade do processo
especialmente para amostras de tamanho superior, o desvio padrão (s) é, no entanto, muito
menos utilizado que a amplitude. Tal deve-se à maior complexidade do seu cálculo e à sua
menor sensibilidade na detecção da existência de causas especiais de variação. Uma vez que
se estão a analisar amostras, se apenas um dos pontos apresentar um valor atípico, este
passará muito mais despercebido ao utilizar o desvio padrão como medida de amplitude do
que se utilizar R.
Como já visto anteriormente, o desvio padrão que caracteriza uma amostra constituída
pelos valores x1, x2, …, xn é calculado através da fórmula
s
x X
n 1
i
2
i 1
n
=
−∑
−
=
( )
em queX representa a média dos n valores da amostra.
Na tabela III apresentam-se as fórmulas utilizadas para o cálculo dos limites de controlo
nas cartas do tipo X /s
Tabela III
Fórmulas a usar na determinação das linhas centrais e limites de controlo para as cartas de controlo por médias e
desvios padrão
Carta X Carta s
LCS X = X + A3 s
LCSs = B4 s
LC X = X
LCs = s
LCI X = X - A3 s
LCIs = B3 s
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
45
em que s e X representam, respectivamente, a média dos desvios padrões e a média das
médias das diversas amostras. A3, B3 e B4 são constantes que variam com o tamanho da
amostra. Estas encontram-se registadas na Tabela IV.
Tabela IV
Parâmetros a utilizar nas fórmulas de cálculo dos limites de controlo das cartas de controlo por médias e desvios
padrão
Gráfico X Gráfico s
n A3 B3 B4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,66
1,95
1,63
1,43
1,29
1,18
1,10
1,03
0,98
0
0
0
0
0,03
0,12
0,19
0,24
0,28
3,27
2,57
2,27
2,09
1,97
1,88
1,82
1,76
1,72
A construção e interpretação deste tipo de cartas de controlo é exactamente análogo ao
descrito para as cartas de médias e amplitudes, residindo a única diferença no facto de, em
vez de se calcular a amplitude R para cada amostra se calcular o seu desvio padrão.
Pelas razões atrás descritas, o uso deste tipo de cartas de controlo não é muito
frequente.
1.7.1.3 Cartas de controlo de medianas ( ~X )
As cartas de controlo por medianas são uma alternativa à utilização das cartas de controlo
por médias e amplitudes. Este tipo de cartas, mais apropriadas quando a amostra apresentam
um tamanho inferior a 10 e, preferencialmente, ímpar, são mais fáceis de utilizar uma vez que
não requerem muitos cálculos.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
46
Por forma a analisar as tendências na variabilidade dos valores observados, opta-se na
maioria dos casos por traçar também a carta de controlo por amplitudes (R). As fórmulas para
determinação dos limites de controlo e linhas centrais para as cartas de controlo por medianas
e amplitudes encontram-se na Tabela V.
Tabela V
Fórmulas a usar na determinação das linhas centrais e limites de controlo para as cartas de controlo por medianas e
amplitudes
Carta ~X Carta R
LCS ~X = 
~
X + 
~
A2 R LCSR = D4 R
LC ~X = 
~
X LCR = R
LCI ~X = 
~
X - 
~
A2 R LCIR = D3 R
~
X e R representam, respectivamente, a média das medianas e a média das amplitudes das
diversas amostras. Os factores ~A2 , D3 e D4 necessários para o cálculo dos limites de controlo
encontram-se na Tabela VI.
Tabela VI
Parâmetros a utilizar nas fórmulas de cálculo dos limites de controlo das cartas de controlo por medianas e
amplitudes
Gráfico ~X Gráfico R
n ~
A 2 D3 D4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,88
1,19
0,80
0,69
0,55
0,51
0,43
0,41
0,36
0
0
0
0
0
0,08
0,14
0,18
0,22
3,27
2,57
2,28
2,11
2,00
1,92
1,88
1,82
1,78
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
47
1.7.1.4 Cartas de controlo de valores individuais e amplitudes móveis (Xi/Rm)
Embora não sejam tão sensíveis na detecção de variações como as cartas de controlo
por médias e amplitudes, casos há em que é necessário ou é conveniente construir cartas de
controlo a partir de leituras individuais de valores. No entanto, dadas as limitações inerentes à
utilização deste tipo de cartas, sempre possível será preferível utilizar cartas de médias e
amplitudes mesmo que o subgrupo considerado seja muito pequeno.
Dado o interesse em analisar a forma como a amplitude vai variando ao longo do
processo, e uma vez que dentro do grupo (n=1) esta é nula, o que se faz é calcular a diferença
entre duas leituras consecutivas. Ao valor absoluto desta diferença chama-se amplitude
móvel. No final da carta o número de amplitudes móveis irá ser inferior em uma unidade ao
número de leituras.
O procedimento seguido na elaboração das cartas de controlo é exactamente análogo ao
anteriormente descrito: ao longo do processo vai-se fazendo a recolha de amostrascada uma
das quais constituida apenas por uma única leitura. Os valores lidos/medidos são então
marcados na carta de controlo de valores individuais. Na carta de amplitudes móveis vão-se
marcando os valores absolutos das diferenças entre cada valor e o recolhido imediatamente
antes. As fórmulas para determinação dos limites de controlo e linhas centrais para as cartas de
controlo por medianas e amplitudes encontram-se na Tabela VII.
Tabela VII
Fórmulas a usar na determinação das linhas centrais e limites de controlo para as cartas de controlo por valores
individuais e amplitudes móveis
Carta Xi Carta Rm
LCSXi= X i + E2 R
LCXi = X i
LCIXi = X i - E2 R
LCSRm = D4 R
 m
LCRm = R
m
LCIRm = D3 R
m
X i e R
 m
 representam, respectivamente, a média dos valores recolhidos e a média das
diversas amplitudes móveis. Os factores E2, D3 e D4 necessários para o cálculo dos limites de
controlo encontram-se na Tabela VIII.
Tabela VIII
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
48
Parâmetros a utilizar nas fórmulas de cálculo dos limites de controlo das cartas de controlo por valores individuais e
amplitudes móveis
Gráfico Xi Gráfico Rm
n
E2 D3 D4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,66
1,77
1,46
1,29
1,18
1,11
1,05
1,01
0,98
0
0
0
0
0
0,08
0,14
0,18
0,22
3,27
2,57
2,28
2,11
2,00
1,92
1,86
1,82
1,78
1.7.2 Cartas de controlo por atributos
As cartas de controlo por atributos são usadas quando se pretendem avaliar
características do tipo qualitativo como por exemplo conformidade, cor, brilho ou existência de
defeitos. Os critérios de avaliação no caso dos atributos podem ser do tipo passa/não passa,
conforme/não conforme, alto/baixo, bom/mau, etc. Estas cartas de controlo são muito
aplicadas na prática quer à detecção de unidades defeituosas quer à detecção de defeitos.
Para a detecção de unidades defeituosas podemos ter:
∗ cartas do tipo np (usadas para número de unidades defeituosas);
∗ cartas do tipo p (usadas para proporção ou fracção de unidades defeituosas);
 
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
49
 As cartas de controlo usadas na detecção de não conformidades são:
∗ cartas do tipo c (usadas para o número de defeitos);
∗ cartas do tipo u (usadas para o número de defeitos por peça).
As cartas de controlo por atributos podem ter um aspecto semelhante ao da carta
apresentada na Figura 9. Esta carta pode ser utilizada para funcionar quer como carta np, p, c
ou u dependendo do tipo e quantidade de dados recolhidos.
O procedimento a seguir na elaboração de cartas de controlo por atributos é exactamente
análogo ao já visto para cartas de controlo por variáveis. Assim, há que recolher amostras com
um determinado tamanho, das unidades recolhidas contar aquelas que apresentam a caracte-
rística em questão (por exemplo, quantas delas são não conformes), tratar os resultados obtidos
por forma a poder marcar os pontos no gráfico, determinar os limites de controlo e, depois dos
pontos marcados, verificar a existência de pontos fora dos limites de controlo ou que apresen-
tem tendências na sua evolução. Ao contrário da situação anterior em que as cartas surgiam
sempre aos pares devido à necessidade de avaliar não só a centralidade como também a varia-
bilidade dentro da amostra, as cartas de controlo por atributos surgem sempre individualmente.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
50
LC
S 
=
M
áq
ui
na
:
Pe
ça
:
Ca
rta
 N
º:
Fr
eq
.:
LC
 =
Pr
oc
es
so
:
Ca
ra
ct
er
íst
ic
a:
Ta
m
. 
m
éd
io
 am
os
tra
:
LC
I =
A
M
O
ST
RA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
D
AT
A
H
O
RA
R
U
BR
IC
A
Ta
m
an
ho
 d
a
am
o
st
ra
 (n
)
N
úm
er
o
(np
, c
)
Pr
op
or
çã
o
(p,
 u)
p
c
n
p
u
CO
N
TR
O
LO
 D
E 
CO
N
TR
O
LO
 P
A
RA
 
AT
R
IB
U
TO
S
Figura 9 - Exemplo de carta de controlo para atributos 
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
51
De seguida ir-se-ão analisar as diferenças entre cada um dos tipos de cartas de controlo acima
mencionados.
1.7.2.1 Cartas do tipo np e do tipo p
Quando se pretende controlar o número de peças defeituosas na linha de produção
poder-se-à utilizar uma carta do tipo np ou do tipo p. A única diferença entre estes dois tipos
de cartas reside no facto de, para o caso das cartas do tipo np, em que se conta o número de
unidades defeituosas, o tamanho da amostra recolhida ter de ser constante. De facto, só se
todas as amostras tiverem o mesmo número de elementos é que será possível comparar o
número de peças defeituosas que cada uma delas tem.
Se o tamanho da amostra recolhida for variável, como a base de comparação já não será a
mesma, não poderemos falar em termos de número de unidades defeituosas mas sim em termos da
proporção de unidades defeituosas e a carta de controlo a utilizar deverá ser do tipo p.
Na tabela IX apresentam-se as fórmulas a utilizar para a determinação dos limites de
controlo para ambas as cartas.
Tabela IX
Fórmulas a usar na determinação das linhas centrais e limites de controlo para as cartas de controlo do tipo np e do
tipo p
Carta np Carta p
L CS np 3 np 1 pnp = + −( ) L CS p 3
p(1-p)
p = +
n
L C npnp = L C pp =
L C I n p 3 np 1 pnp = − −( ) L CI p 3
p(1-p)
p = −
n
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
52
Exemplo 8
Determinar os limites de controlo para o conjunto de dados representados abaixo e, por
simples inspecção, avaliar se o processo se encontra ou não em controlo estatístico.
Amostra nº. Tamanho do subgrupo n np (nº. de items defeituosos)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
4
2
0
5
3
2
4
3
2
6
1
4
1
0
2
3
1
6
1
3
3
2
0
7
3
Total Σ = 2500 Σ pn = 68
Uma vez que neste caso o tamanho da amostra é constante (n=100) será mais apropriado
utilizar uma carta de controlo do tipo np para o número de unidades defeituosas.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
53
Em 2500 unidades, o número total de unidades defeituosas é de 68. A percentagem
média de unidade defeituosas será
p
68
2500
= = 0,0272
e o número médio de unidades defeituosas
n p 100
68
2500
2 72= = ,
Aplicando agora as fórmulas cima para a determinação dos limites de controlo teremos
que
L CS pn 3 pn 1 p 2 72 3 2 72 1 0 0272 7 6= + − = + − =( ) , , ( , ) ,
LC pn 2 72= = ,
LCI p n 3 pn 1 p 2 72 3 2 72 1 0 0272 2 2= − − = − − = −( ) , , ( , ) ,
Dado não fazer sentido ter um limite de controlo inferior negativo considera-se, neste
tipo de casos, que o LCI vale 0. Desta forma, para o processo se encontrar em controlo
estatístico, o número de peças defeituosas em cada uma das amostras recolhidas terá que
estar entre 7 (arredonda-se para o inteiro imediatamente inferior) e 0) o que, por análise dos
valores da tabela, de facto acontece.
G E S T Ã O D A Q U A L I D A D E
54
Exemplo 9
Determinar os limites de controlo para o conjunto de dados representados abaixo e, por
simples inspecção, avaliar se o processo se encontra ou não em controlo estatístico.
Amostra nº. Tamanho do subgrupo n np (nº. de items defeituosos)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
724
763
748
748
724
727
726
719
759
745
736
739
723