Limite e Fcao Contínua Teoria

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Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Câmpus Curitiba 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Departamento Acadêmico de Matemática 
- 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1  Profª Silvana Heidemann Rocha 
 
LIMITE DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 
E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO 
Exemplo de notação de função real de uma variável real: 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ→ ℝ, 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
1) Conceitos Preliminares 
Vizinhança e ponto de acumulação, no sistema linear (reta real). 
 
Observação: Ver esses conceitos num livro de Cálculo Diferencial e Integral ou no material de Pré-Cálculo. 
 
2) Notação 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ou 𝑓(𝑥) 
𝑥→𝑎
→ 𝐿 
sendo 𝑎 um ponto de acumulação do domínio da função real 𝑓. 
Consequentemente, 𝐿 é um ponto de acumulação do conjunto-imagem de 𝑓. 
 
Observação: O domínio de 𝑓 é denotado por D(𝑓) e a imagem de 𝑓 é denotada por Im(𝑓). 
 
3) Convenção 
• 𝛿: raio da vizinhança do ponto de acumulação 𝑎, no eixo x; com 𝛿 > 0 
• 𝜀: raio da vizinhança do ponto de acumulação L, no eixo y; com 𝜀 > 0 
• 𝑥 → 𝑎+ ⇔ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑎 + 𝛿) obs.: 𝑥 ≠ 𝑎 ; o intervalo é aberto 
• 𝑥 → 𝑎− ⇔ 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎) obs.: 𝑥 ≠ 𝑎 ; o intervalo é aberto 
• 𝑥 → 𝑎 ⇔ 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) obs.: 𝑥 ≠ 𝑎 ; o intervalo é aberto 
 
4) Definição de Limite de uma Função Real de uma Variável Real, num Ponto 
 Dados uma função 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ→ ℝ, definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥), e um ponto de acumulação 𝑎 do 
domínio de 𝑓, o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 é 𝐿 , e denota-se por 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 , se, e somente, se ∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 
 
Observações 
• 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 , com 𝛿 > 0 ⇔ −𝛿 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 e 𝑥 ≠ 𝑎 ⇔ 
 ⇔ 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 e 𝑥 ≠ 𝑎 ⇔ 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) e 𝑥 ≠ 𝑎 
 
• |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 , com 𝜀 > 0 ⇔ −𝜀 < 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀 ⇔ 𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 𝜀 ⇔ 
⇔ 𝑓(𝑥) ∈ (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀) 
2 
 
5) Limites Laterais e Existência de Limite num Ponto 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
6) Unicidade do Limite 
 O limite de uma função 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ→ ℝ, definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥), quando ele existe, ele é único. 
 Em símbolos: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 , lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿2 ⇒ 𝐿1 = 𝐿2 
 
7) Propriedades do Limite de Função Real de uma Variável Real, num Ponto 
 
 Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) existem, então: 
 
a) lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 com 𝑐 ∈ ℝ b) lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎 
c) lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) , com 𝑐 ∈ ℝ 
d) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
e) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
f) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
g) lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 
] =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
, com lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
h) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
, com 𝑛 ∈ ℕ∗ 
 
i) lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛 = √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑛 , com {
𝑛 ∈ ℕ∗ , lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≥ 0 
 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑛 ímpar, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≤ 0 
 
 
 
j) lim
𝑥→𝑎
𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] = 𝑙𝑛 [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ], com lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) > 0 
 
k) lim
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛[𝑓(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑛 [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ] l) lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑜𝑠[𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑜𝑠 [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ] 
m) lim
𝑥→𝑎
𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
3 
 
8) Teorema do Limite de uma Função Polinomial 
lim
𝑥→𝑏
𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑏) 
com 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 
 
 
9) Teorema do Confronto 
Se 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 pertencente a um intervalo aberto contendo 𝑎, exceto 
possivelmente em 𝑥 = 𝑎, e se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 , então 
 lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿 
 
 
10) Limite no Infinito (exemplos) 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
10.1) Propriedades de Limite no Infinito 
As propriedades de limite de uma função real de uma variável real, num ponto, 
enunciadas anteriormente, continuam válidas se substituir-se 
𝑥 → 𝑎 por 𝑥 → +∞ ou 𝑥 → −∞ 
 
 
10.2) Teoremas 
lim
𝑥→+∞
 
1
𝑥𝑛
= 0, com 𝑛 ∈ ℕ∗ 
lim
𝑥→−∞
 
1
𝑥𝑛
= 0, com 𝑛 ∈ ℕ∗ 
 
4 
 
 
11) Limite Infinito (exemplos) 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞ 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞ lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞ 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = +∞ lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞ 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞ lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
11.1) Teoremas 
lim
𝑥→0+
 
1
𝑥𝑛
= +∞, com 𝑛 ∈ ℕ∗ 
lim
𝑥→0−
 
1
𝑥𝑛
= {
+∞, se 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑛 par 
−∞, se 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑛 ímpar
 
 
11.2) Propriedades de Limite Infinito e Indeterminações 
As propriedades de limite de uma função real de uma variável real num ponto, 
enunciadas anteriormente, continuam válidas para limites infinitos, desde que o resultado 
obtido por meio da aplicação de tais propriedades não seja igual a uma das seguintes 
expressões indeterminadas: 
0
0
 ; 
∞
∞
; ∞ −∞; 0 ∙ ∞; 00; ∞0; 1∞ 
Caso tal resultado seja uma dessas indeterminações, pode-se fazer um trabalho 
algébrico na função, se possível, a fim de contornar a indeterminação; por exemplo, utilizar 
fatoração, racionalização, teorema de L’Hospital, dentre outros. 
O teorema de L’Hospital se fundamenta em conhecimentos sobre derivada. Por isso, 
em Cálculo Diferencial e Integral 1, o uso de tal teorema só será admitido após o ensino do 
conteúdo curricular sobre derivada. 
 
 
5 
 
12) Limites Fundamentais 
 
a) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 
b.1) lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 ≅ 2,7182... 
b.2) lim
𝑥→−∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 ≅ 2,7182... 
b.3) lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒 ≅ 2,7182... (corolário dos limites dos itens b.1 e b.2) 
c) lim
𝑥→0
𝑎𝑥−1
𝑥
= 𝑙𝑛 𝑎, com 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13) Condição de continuidade de uma função 𝒇, em um ponto 𝒙 = 𝒂 
Para que uma função real 𝑓 seja contínua num ponto de acumulação 𝑎, é necessário que o 
limite de 𝑓 em 𝑎 seja igual à imagem de 𝑓 em 𝑎. 
Em símbolos, tem-se: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
 Essa igualdade significa que: 
• a função 𝑓 está definida em 𝑎, isto é: 
𝑎 ∈ 𝐷(𝑓) e 𝑓(𝑎) ∈ 𝐼𝑚(𝑓) 
• existe o limite da função no ponto de acumulação 𝑎, isto é: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
(o que equivale a dizer lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿) 
 
 
14) Definição de função contínua num intervalo 
 Uma função 𝑓 definida num intervalo fechado [𝑎, 𝑏] é contínua em [𝑎, 𝑏] se, e somente se: 
i) 𝑓 é contínua no intervalo aberto (𝑎, 𝑏) 
ii) lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) (continuidade à direita em 𝑎 ) 
iii) lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) (continuidade à esquerda em 𝑏 ) 
 
 
 
 
 
 
7 
 
15) Propriedades das funções contínuas 
 Se as funções 𝑓 e 𝑔 são contínuas em 𝑥 = 𝑎, então: 
a) (𝑓 + 𝑔)( 𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎; 
b) (𝑓 − 𝑔)( 𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎;c) (𝑓𝑔)( 𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎; 
d) (𝑓/𝑔)( 𝑥) = (
𝑓
𝑔
) (𝑥) = 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 é contínua em 𝑎, se 𝑔(𝑎) ≠ 0 , ou tem uma descontinuidade em 
𝑎, se 𝑔(𝑎) = 0 . 
e) (𝑐𝑓)( 𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎, em que 𝑐 ∈ 𝑅 
 
16) Teoremas das funções contínuas 
16.1) Uma função polinomial é contínua em toda parte. (Ou seja, é contínua em todo seu domínio) 
 Diz-se “função contínua em toda parte” para uma função real contínua em (−∞,+∞ ) . 
 
16.2) Uma função racional 𝑓, definida por 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥) 
𝑄(𝑥)
 , em que 𝑃 e 𝑄 são polinômios, é contínua 
em todo número real, exceto em 𝑥 tal que 𝑄(𝑥) = 0 . (Ou seja, é contínua em todo seu domínio). 
 
16.3) Se lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 e 𝑓 é uma função contínua em 𝐿, então 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿) = 𝑓(lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)) 
 Esse teorema continua válido nos casos de 𝑥 → 𝑎−, 𝑥 → 𝑎+, 𝑥 → −∞ , 𝑥 → +∞ 
 
16.4) Se 𝑔 é uma função contínua em 𝑎 e 𝑓 é contínua em 𝑔(𝑎) , então 
i) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑔(𝑎)) 
ii) a função composta 𝑓o𝑔 , definida por (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) é contínua em 𝑎 
 
16.5) Se a função 𝑔 for contínua em toda parte e a função 𝑓 for contínua em toda parte, então a 
composição 𝑓o𝑔 é contínua em toda parte. 
8 
 
16.6) (Teorema do Valor Intermediário) Se 𝑓 for contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] e se 
𝑘 é um número qualquer entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), então existe ao menos um número 𝑥 em (𝑎, 𝑏) 
tal que 𝑓(𝑥) = 𝑘 . 
 
16.7) Se uma função 𝑓 é contínua e não tem zeros em um intervalo, então 𝑓(𝑥) > 0 ou 𝑓(𝑥) < 0 
para todo 𝑥 pertencente a esse intervalo. 
 
16.8) Se 𝑓 for contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] e se 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) forem diferentes de zero 
e tiverem sinais opostos, então há no mínimo uma solução da equação 𝑓(𝑥) = 0 no 
intervalo aberto (𝑎, 𝑏) . 
 
 
17) Princípio da Aproximação 
 
 Suponha que a equação 𝑓(𝑥) = 0 tenha uma raiz 𝑥0 no intervalo [𝑎, 𝑏] e que esse intervalo 
tenha tamanho 𝜖 = 𝑏 − 𝑎. Então qualquer número no intervalo [𝑎, 𝑏] aproxima-se de 𝑥0 com um 
erro de, no máximo, 𝜖, e o ponto médio do intervalo aproxima-se de 𝑥0 com um erro de, no 
máximo, 
𝜖
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
_______________________________________ 
REFERÊNCIAS 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. V. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. Cálculo de George B. Thomas Jr. 10. ed. v. 1. São Paulo: 
Addison Wesley, 2002. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 5 ed. São Paulo: 
Makron, 1992. 
STEWART, J. Cálculo. 4. ed. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. v. 1. São Paulo: Makron Books, 1994.