Cap 24 - Potencial eletrico

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Capítulo 24: 
Potencial Elétrico 
 Energia Potencial Elétrica 
 Potencial Elétrico 
 Superfícies Equipotenciais 
 Cálculo do Potencial a Partir do Campo 
 Potencial Produzido por uma Carga Pontual 
 Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais 
 Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico 
 Potencial Produzido por uma Distribuição de Cargas Contínuas 
 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial 
 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais 
 Potencial de um Condutor Carregado 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
 Força Elétrica é Conservativa, portanto é possível associar à 
Força Elétrica uma Energia Potencial Elétrica. 
 Uma Força é dita conservativa quando o trabalho realizado por 
ela não depende da trajetória. 
  0sdF

Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Na Mecânica, nós definimos que a variação na energia potencial, ΔU, está 
associada a um trabalho realizado (Força gravitacional) sobre a partícula que 
desloca d da posição i até f. 
  sdFWUUU if

Como o trabalho de uma força conservativa não 
depende da trajetória, podemos escolher a 
trajetória que facilite os cálculos e leve aos 
mesmos pontos iniciais e finais. 
Por conveniência, usamos como configuração 
de referencia um sistema de partículas 
carregadas, a configuração na qual a distância 
entre as partículas é infinita e definimos que a 
energia potencial de referencia é zero. 
Nesse caso, 
 WU
EqF


Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Exemplo 
 
1. Elétrons estão sendo constantemente arrancados das moléculas de ar da 
atmosfera por partículas de raios cósmicos provenientes do espaço sideral. Uma 
vez liberados, esses elétrons estão sujeitos a uma força eletrostática F associada a 
um campo elétrico E produzido na atmosfera por partículas carregadas já 
existentes na Terra. Perto da superfície terrestre, este campo elétrico tem um 
módulo de 150 N/C e aponta para o centra da Terra. Qual a variação de energia 
potencial elétrica de um elétron livre na atmosfera da Terra quando a força 
eletrostática faz com que se mova verticalmente para cima de uma distância d = 
520 m? (-1,2 x 10-14 J) 
  sdFWU

dEqU


Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial elétrico é definido como a energia potencial elétrica por 
unidade de carga associada a uma carga de prova q0 neste ponto. O 
potencial é uma propriedade do campo elétrico existente em uma região 
do espaço. 
• V é uma grandeza escalar, função de ponto. 
• Unidade de Potencial Elétrico no SI é Volt (V = J/C) 
0q
U
V 
00 q
W
q
U
V 


Diferença de potencial (ΔV = voltagem): 
Podemos associar uma energia à carga elementar e à diferença de potencial da 
seguinte forma: 
1 eV (eletron-volt) = e (1V) = 1,6 x 10-19 J. 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
A 
B 
Cálculo do potencial a partir do campo Elétrico. 

f
i
if sdEVV

.
Se Vi = 0, i está no infinito, temos o potencial V em 
qualquer ponto f em relação ao potencial no 
infinito, tomado como sendo zero : 

f
i
sdEV

.

f
i
sdEqWU

.0
Para uma partícula de carga q0 que está inicialmente no infinito: 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Exemplo 2: 
(a) A figura mostra dois pontos i e f na 
presença de um campo elétrico uniforme E. 
Os pontos estão sobre a mesma linha de 
campo elétrico (que não aparece na figura), 
separados por uma distância d. Determine a 
diferença de potencial Vf – Vi deslocando uma 
carga de prova q0 do ponto i ao ponto f ao 
longo da trajetória indicada, que é paralela à 
direção do campo. (b) Determine a diferença 
de potencial deslocando a carga de prova 
positiva q0 ao longo da trajetória icf na figura. 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial Produzido por uma Carga Pontual. 
r
q
V
04
1


Gráfico gerado em computador do potencial 
elétrico V(r) produzido por uma carga 
positiva situada na origem do plano xy. 
Calculamos o potencial 
deslocando uma carga 
de prova q0 do ponto P 
ao infinito (V∞ = 0). 
Partícula de carga q positiva → potencial elétrico positivo. 
Partícula de carga q negativa → potencial elétrico negativo. 



i
if sdEVV

Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial Produzido por uma Carga Pontual. 
r
q
V
04
1


n cargas pontuais (V∞ = 0). 
Também pode ser usada pra calcular o potencial elétrico 
fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com 
simetria esférica desde que (V∞ = 0). Neste caso q é a 
carga total da esfera e r a distância que separa o centro da 
esfera ao ponto que se deseja determinar o potencial. 
Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais. 



n
i i
i
n
i
i
r
q
VV
101 4
1

Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Exemplo 3: 
Considerando V = 0 no infinito, qual o valor do potencial elétrico no ponto P, 
situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na figura 
abaixo? A distância d = 1,3 m e as cargas são: 
q1 = +12 nC 
q2 = -24 nC 
q3 = +31 nC 
q4 = +17 nC 
 
 
 



n
i i
i
n
i
i
r
q
VV
101 4
1
 (R: V = 350 V) 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Exercício: 
24.9) O campo elétrico em uma certa região do espaço tem componentes Ey = Ez 
= 0 e Ex = 4x N/C. O ponto A está sobre o eixo y em y = 3 m e o ponto B está 
sobre o eixo x em x = 4 m. a) Qual é a diferença de potencial VB – VA? b) Qual o 
trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de 2 nC na condição 
acima citada? 
(a) -32V; b) 64 nJ) 
 
24.17) Na figura abaixo, partículas de carga q1 = +5e e q2 = -15e são mantidas 
fixas , separadas por uma distância d = 24 cm. Tomando V = 0 no infinito, 
determine o valor de x, a) positivo e b) negativo, no qual o potencial elétrico 
sobre o eixo x é nulo. (a) x = 6cm; b) x = - 12 cm). 
 
x não poderá ser maior que d, pois q2 gera um 
potencial negativo que sempre será maior que 
o potencial de q1 nesta região! 
 
x positivo será menor que d! 
 
 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Exercício: 
24.18) A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas, com a 
= 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pC e q2 = 6 pC. Com 
V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (2,21 V) 
 
 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico. 
Dipolo Elétrico 
2
0
cos
4
1
r
p
V



Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Momento Dipolar Induzido. 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial Produzido por distribuição contínua de cargas. 
 r
dq
V
04
1

Distribuição contínua de 
cargas 
Potencial Produzido por Linha de cargas. 
 







 

d
dLL
V
2122
0
ln
4

  2/1220 04
1
dx
dx
V
L

 


  LdxxV 02/122
0
|)(ln
4
 

Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial Produzido por um Disco carregado. 
 zRzV  22
02

    



RR
zr
rdr
zr
rdr
V
0
2/122
0
2/122
0 0
2
2
4
1



 h
dq
V
04
1

Mudança de Variável: 
 
 
rdrdu
zru
2
22


  RzruduuV 0
2/122
0
2/1
2/1
|
22
 



h 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Exercício: 
24.24) Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga uniformemente 
distribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um arco de circunferência R = 3,71 cm e um 
ângulo centra de 120°. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, o 
centro da curvaturada barra? (-6.20 V) 
 
24.26) Uma esfera gaussiana de 4 cm de raio 
envolve uma esfera de 1,0 cm de raio que contém 
uma distribuição uniforme de cargas. As duas 
esferas são concêntricas e o fluxo através da 
superfície da esfera gaussiana é 5,6 x 104 N.m2/C. 
Qual é o potencial elétrico a 12 cm do centro das 
esferas? (3.71*104 V) 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
24.27) Na figura abaixo, determine o potencial elétrico produzido na origem por 
um arco de circunferência de carga Q1 = 7,21 pC e duas partículas de carga Q2 = 
4Q1 e Q3 = -2Q1. O centro do arco está na origem, o raio é R = 2m e o ângulo 
indicado é θ = 20°. (V = 32,4 mV) 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Superfícies Equipontenciais 
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície 
potencial. 
Linhas de campo elétrico e superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares. 
O trabalho realizado quando uma partícula se desloca em uma mesma superfície 
equipotencial é zero. 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
O Campo Elétrico a partir do Potencial 
Para coordenadas 
cartesianas: 
Para campo elétrico 
 é uniforme: 
VE 

x
V
Ex



y
V
Ey



z
V
Ez



s
V
E



Onde s é perpendicular às 
 superfícies equipotenciais 
A componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo da 
taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção. 
k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ









Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Exemplo 5: 
O potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central de um disco uniformemente 
carregado é : 
 
 
 
 
A partir dessa equação, determine o campo elétrico em qualquer ponto sobre o 
eixo central do disco. 
 
 
24.39) Qual o módulo do campo elétrico no ponto (3î - 2j + 4k) m se o potencial é 
dado por V = 2xyz2? (150,1 V/m) 
 zRzV  22
02

Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais 
W = trabalho realizado contra o campo e não pelo campo. 
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao 
trabalho que deve ser executado por um agente externo para montar o sistema, 
começando com as cargas a uma distância infinita umas das outras. 
r
qq
WU 21
04
1


Energia potencial elétrica de 
um par de cargas 
0 UUi
cefif WUUUU 
Wce = trabalho realizado pelo campo. 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial de um condutor carregado. 
Em um condutor o potencial elétrico é constante! 
i. Interior: Vi = Vf = potencial na superfície! 
R
q
VV fi
04
1


0E
ii. Exterior (casca esférica condutora): 
2
04
1
r
q
E


r
q
V
04
1


VE 

Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Potencial de um condutor carregado. 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico 
Lista de Exercícios Cap. 24 
3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 18, 21, 24, 25, 27, 28, 31, 37, 39, 41, 45, 53, 55, 59, 67, 77 
Referências 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. 
 
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. 
 
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: 
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.