Introdução à Probabilidade e Estatística

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UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBA
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Departamento de Estatística – UFPB
Luiz Medeiros
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos
Introdução
• Determinísticos: Os resultados são sempre os
mesmos e determinados pelas condições sob as quais o
procedimento seja executado .
• Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade 
média, leis da física…
• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) : 
Larson/Farber Ch. 3
• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) : 
Aplicados em situações que envolvem incerteza. 
Resultados variam de uma observação para outra,
mesmo em condições normais de experimentação.
As condições do experimento determinam apenas o
comportamento probabilístico do resultado observável .
• Exemplo: Lançamento de um dado, índices 
econômicos, tempo de vida de um paciente, …
� A teoria das probabilidades é o fundamento para a
inferência estatística. O objetivo desta parte é que o
aluno compreenda os conceitos mais importantes da
probabilidade.
• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia
dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu
Introdução
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dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu
conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,
podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70%
de ser aprovado em uma determinada disciplina. Um
professor está 90% seguro de que um novo método de
ensino proporcione uma melhor compreensão pelos
alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma
nova máquina reduz em 20% o tempo de produção de
um bem.
• Experimentos Aleatórios: São aqueles onde o
processo de experimentação está sujeito a
influências de fatores casuais que conduzem a
resultados incertos.
Termos importantes
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resultados incertos.
• Exemplo: Lançar um dado, lançar uma
moeda, retirar uma carta do baralho, preço do
dólar ao fina do dia.
Termos importantes
• Espaço Amostral (U): É o conjunto de todos os
possíveis resultados de um experimento aleatório.
• Exemplo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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• n(U): É o número de combinações do espaço
amostral.
• Exemplo: n(U) = 6 combinações
Termos importantes
• Evento (E): Dado um espaço amostral U,
associado a um experimento aleatótio qualquer,
definimos como evento qualquer subconjunto
desse espaço amostral .
• Exemplo: E = {sair nº PAR} = {2, 4, 6}
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• Exemplo: E = {sair nº PAR} = {2, 4, 6}
• n(E): É o número de elementos do evento.
• Exemplo: n(E) = 3 elementos
• Características de um experimento aleatório : 
Pode ser repetido indefinidamente sob as
mesmas condições .
Podemos descrever todos os possíveis
resultados.
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resultados.
Aproximação da Probabilidade pela 
Freqüência Relativa
Realize um experimento um grande número de
vezes e conte o número de vezes que o evento A
ocorre. Baseado nesses resultados efetivos, P(A)
é definido como:
ocorreuA evento o que vezesde número)( =AP
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repetido foi oexperiment o que em vezesde número
ocorreuA evento o que vezesde número)( =AP
A medida que um experimento é repetido várias
vezes, a probabilidade dada pela freqüência
relativa de um evento tende a se aproximar da
verdadeira probabilidade.
•Definição: é uma medida com a qual podemos
esperar a chance de ocorrência de um
determinado evento, atribuindo-a um número
(valor) entre 0 e 1.
• As probabilidades podem ser usadas como
medidas do grau de incerteza associado a
Probabilidade
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medidas do grau de incerteza associado a
determinado evento.
A probabilidade próxima de zero indica um evento
improvável de ocorrer. Uma probabilidade próximo de um
indica um evento quase certo.
Para obtermos o resultado em termos de percentual é só
multiplicar a probabilidade por 100.
Clássica
Probabilidade
número de maneiras que o evento A pode ocorrer
número total de resultados no espaço amostral
P(A)
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Principais Axiomas
1) 0 ≤ P(Ai) ≤ 1 , para todo i;
2) P(A1) + P(A2) + … + P(An) = P(U) = 1;
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3) Se A1 e A2 forem mutuamente
exclusivos, ou seja, disjuntos (A1∩A2=∅),
então P(A1∪A2) = P(A1) + P(A2).
Diagrama de Árvore
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Diagrama de Venn
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Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn
• A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se 
A ou B ou ambos ocorrerem.
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• A ∩ B é o evento que ocorrerá se e somente se 
A e B ocorrerem simultaneamente.
Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn
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Exemplo 1
• Em uma prefeitura 10% dos
profissionais possuem curso de
inglês, 40% possuem curso de
informática e apenas 5% possuem os
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informática e apenas 5% possuem os
dois cursos. Qual a probabilidade de
um funcionário não possuir nenhum
dos dois cursos?
Exemplo 2
• Uma multinacional pretende expandir a sua capacidade operacional
através da construção de uma nova fábrica na PB. No entanto, devido
a mudanças na legislação brasileira, a empresa só dispõem de 10
meses para finalizar o projeto e ser incluído em um programa de
isenção de IPI e ICMS por 15 anos. Devido a alta carga tributária
brasileira, a construção dessa nova fábrica só se torna viável com a
isenção desses impostos. O projeto de expansão está dividido em
dois estágios sequênciais: estágio 1 (Projeto) e estágio 2 (Licenças
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dois estágios sequênciais: estágio 1 (Projeto) e estágio 2 (Licenças
ambientais). Embora cada um dos estágios venha a ser programado e
controlado tão de perto, a administração não poderá prever de
antemão o tempo exato exigido para se completar cada estágio do
projeto. Uma análise de projetos similares tem mostrado tempos de
término para o estágio 1 de 2, 3 ou 4 meses com probabilidades de
0,80, 0,15 e 0,05 respectivamente, e um tempo de término para o
estágio 2 de 6, 7 ou 8 meses com probabilidades de 0,75, 0,15 e 0,10.
A empresa só levará o projeto adiante se a chance de sucesso for
maior que 97%. Baseado nas informações coletadas, qual deverá ser
a decisão da empresa.
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se
não puderem ocorrer na mesma tentativa, isto é, a
ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na
teoria dos conjuntos representamos que dois eventos
são mutuamente exclusivos por A∩B = ∅.
Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}
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Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}
B = {sair IMPAR} = {1, 3, 5}
A B Exclusão mútua
Eventos não mutuamente exclusivos
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa,
eles não são mutuamente exclusivos, ou seja,
A∩B ≠ ∅.
Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}
B = {sair nº maior que 4} = {5, 6}
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A BSem exclusão mútua
A ∩ B
Eventos complementares
O complemento do evento A é o evento .
consiste em todos os resultados do espaço
amostral que não estejam incluídos no evento A.
)(1)( APAP −=
A
A
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Um gerente de vendas, após rever alguns relatórios,
declara que 80% dos novos contatos com clientes não
resultaram em vendas. Qual a probbilidade de que um
contato com o cliente resulte em venda?
)(1)( APAP −=
• ocorrerá se e somente se não ocorrer A.A
A
Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn
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A
A Regra da Adição
Dado dois eventos A e B, utilizaremos a regra da adição
quando desejarmos determinar a probabilidade de
ocorrência do evento A OU do evento B. Simbolicamente,
podemos representar por P(A∪B).
Assim, a probabilidade de que um ou outro dos dois
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eventos ocorram é:
P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩B)
A B
A∪∪∪∪ B
Tabela de contingência
Revela a existência de eventos combinados, e
facilita o tratamento probabilístico de tais
eventos.
É uma tabela que disponibiliza informações
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É uma tabela que disponibiliza informações
diretamente nas linhas e colunas, e que além
dessas informações é possível visualizar
também o número de casos comuns às
interseções de eventos.
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles
eram a favor da pena de morte. Os resultados estão a seguir.
Tabela de contingência
João Pessoa Curitiba Belém Total
Sim 100 150 150 400
Não 125 130 95 350
Não sabe 75 170 5 250
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Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1.000
Determine a probabilidade de sortear um adulto de Belém
ou que tenha respondido SIM
P(Belém ∪ SIM)
Perguntou-se a uma amostra de adultos com nível superior
completo, em três capitais, se eles atuavam na área. Os
resultados estão a seguir.
João Pessoa Recife Natal Total
Sim 160 220 180 560
Não 135 80 95 310
Exemplo 3
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1. P(Natal U Sim)
2. P(Recife ∩ Não)
3. P(João Pessoa)
4. Qual a probabilidade do adulto não ser de Recife
80 310
Total 295 300 275 870
Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:
Frequentemente, a probabilidade de um evento é
influenciada pela ocorrência de um evento paralelo.
Probabilidade condicional
Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer,
dado (ou na condição de) que outro evento B já
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0)( para,)(
)()|( >∩= BP
BP
BAPBAP
dado (ou na condição de) que outro evento B já
ocorreu.
Perguntou-se a uma amostra de adultos com nível superior
completo, em três capitais, se eles atuavam na área. Os
resultados estão a seguir.
João Pessoa Recife Natal Total
Sim 160 220 180 560
Não 135 80 95 310
Exemplo 4
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1. P(Natal | Sim)
2. P(Não | Recife)
3. P(João Pessoa | Atua na área)
4. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo que
ele não é de natal
80 310
Total 295 300 275 870
Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:
Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status de
promoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabela
abaixo (dados fictícios):
Exemplo 5
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Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiais
levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos
receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A
administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de
promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas ao
fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,
como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu
questionamento da acusação de discriminação?