Estrutura II - Exercício 3

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Estrutura da Mate´ria II - Exerc´ıcio no 3
Bruno C. Credidio
Professora Maria do Rosa´rio Zucchi
(i) O diagrama pode ser representado como mostrado a seguir:
Figura 1: Diagrama representativo da barreira e da onda.
(ii) A soluc¸a˜o geral para o problema pode ser escrita como:
ψ(x) =
 ψ1(x) = Ae
ikx +Be−ikx
ψ2(x) = Ce
iβx +De−iβx
ψ3(x) = Fe
ikx
(1)
Onde
k =
√
2mE
}
e β =
√
2m(E − V0)
}
(2)
1
(iii) As condic¸o˜es de contorno sa˜o:
ψ1(0) = ψ2(0)⇒ A+B = C +D (3)
dψ1(0)
dx
=
dψ2(0)
dx
⇒ k(A−B) = β(C −D) (4)
ψ2(a) = ψ3(a)⇒ Ceiβa +De−iβa = Feika (5)
dψ2(a)
dx
=
dψ3(a)
dx
⇒ β (Ceiβa −De−iβa) = kFeika (6)
Vamos chamar:
γ =
β
k
e Γ = Feika (7)
Assim, (4) fica:
A−B = γ(C −D) (8)
(5) fica:
Ceiβa +De−iβa = Γ (9)
E (6):
Ceiβa −De−iβa = Γ
γ
(10)
Somando (9) com (10):
C =
Γ(γ + 1)
2γ
e−iβa (11)
E (9) de (10):
D =
Γ(γ − 1)
2γ
eiβa (12)
Substituindo C e D em (3), temos:
A+B =
Γ(γ + 1)
2γ
e−iβa +
Γ(γ − 1)
2γ
eiβa (13)
= Γ
[
(γ + 1)e−iβa
2γ
+
(γ − 1)eiβa
2γ
]
(14)
= Γ
[
�γe
iβa + �γe
−iβa
2�γ
+
e−iβa − eiβa
2γ
]
(15)
= Γ
[
eiβa + e−iβa
2
− 1
γ
eiβa − e−iβa
2
]
(16)
A+B = iΓ
[
cos(βa)− 1
γ
sin(βa)
]
(17)
2
Agora, substituindo C e D em (8), obtemos:
A−B = �γ
[
Γ(γ + 1)
2�γ
e−iβa − Γ(γ − 1)
2�γ
eiβa
]
(18)
= Γ
[
γe−iβa + e−iβa
2
− γe
iβa − eiβa
2
]
(19)
= Γ
[
γ
e−iβa − eiβa
2
+
eiβa + e−iβa
2
]
(20)
A−B = iΓ [cos(βa)− γ sin(βa)] (21)
Somando (17) com (21), chegamos a:
A =
iΓ
2
[
2 cos(βa)−
(
γ +
1
γ
)
sin(βa)
]
(22)
E subtraindo (17) de (21), encontramos:
B = − iΓ
2
[(
γ − 1
γ
)
sin(βa)
]
(23)
De (7) tiramos que:
F = Γe−ika (24)
A partir de A e F chegamos ao coeficiente de transmissa˜o T 1:
T =
F ∗F
A∗A
=
1 + sin2(βa)
4 EV0
(
E
V0
− 1
)
−1 (25)
(iv) Aplicac¸o˜es interessantes para o estudo quaˆntico das barreiras sa˜o diversas
para o caso em que a energia da part´ıcula e´ menor que a do potencial, como
o microsco´pio eletroˆnico de tunelamento, o entendimento do decaimento de
a´tomos pesados por part´ıculas α, que conseguem transpor o potencial do
a´tomo mesmo tendo energia menor do que o mesmo e a fusa˜o nuclear, que
tambe´m ocorre apenas pelo fato de o tunelamento ocorrer, ou os pro´tons
na˜o conseguiriram chegar ate´ o nu´cleo dos a´tomos para que ocorra a fusa˜o.
No entanto, na˜o foram encontradas aplicac¸o˜es diretas para o caso em que
a part´ıcula possui menor energia do que o potencial. Entendeu-se, toda-
via, que qualquer que seja a barreira de potencial em que uma part´ıcula
esteja sendo sujeitada a transpor, mesmo que sua energia seja muito maior
que a do potencial, existe ao menos uma pequena probabilidade de que a
part´ıcula seja refletida e na˜o atravesse o potencial. Compreender isto e´
muito importante, pois diferentemente de como se pensava classicamente,
1Na˜o consegui fazer passo a passo para chegar na fo´rmula do coeficiente de transmissa˜o;
ocorreram algumas inconsisteˆncias na tentativa. Talvez seja suficiente o que fiz.
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para garantir a transposic¸a˜o de uma part´ıcula num potencial e´ necessa´rio
que sua energia total seja muito maior do que o potencial; se sua energia
for levemente maior, a probabilidade de reflexa˜o da part´ıcula pode na˜o
ser desprez´ıvel e pode causar efeitos indesejados num experimento, por
exemplo.
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