aula05 fator atrito

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Aula 05: 09/03/2012
Cálculo da energia de atrito. 
Atrito de parede de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. 
Fator de atrito de Darcy e de Fanning. Gráfico de Moody. 
Gráfico de Dodge-Metzner. 
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I 
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Quais são os termos do balanço de energia mecânica? 
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(P1/ρ + v12/2α + Z1) + Weixo
We = (P2-P1)/ρ + (v22-v12)/2α + (Z2 – Z1) + Ef
= (P2/ρ + v22/2α + Z2) + Ef 
O trabalho mecânico gera uma mudança na Energia de pressão, na Energia cinética e na Energia potencial do fluido e libera calor devido ao atrito com o meio.
Energia que entra com o fluido + Energia mecânica
= Energia que sai com o fluido + Calor
onde: Zi = hi * g
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Energia gasta no atrito no escoamento de um fluido em um tubo horizontal 
(Êp1 + Êh1 + Êk1) + We = (Êp2 + Êh2 + Êk2) + Êf
Ponto 1
Ponto 2
Como:
Assim:
Balanço de Energia Mecânica
Êm1 + We = Êm2 + Êf
Expandindo os termos de Êm:
Êh1= Êh2 
We = 0
h1 = h2
Êf = ∆P/ρ
Êf = f(L, vz ,ε, µ, ρ, D)
Êk1 = Êk2 
v1 = v2
Êf = Êp2 -Êp1 = (p2–p1)/ρ
Energia de atrito:
Perda de pressão 
ρ = constante
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CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO
	1.1. Fluidos Newtonianos
		1.1.1. Regime Laminar
Fazemos um balanço de forças em um elemento de volume de raio r dentro do tubo onde o fluido escoa na direção horizontal z:
Em primeiro lugar vamos fazer a análise do escoamento de um fluido newtoniano viscoso em uma tubulação horizontal de seção constante.
Regime laminar
Fluido incompressível
Não há efeitos terminais 
Considerações:		
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Para que haja escoamento é necessário aplicar uma força ao fluido. Geralmente eleva-se a pressão do fluido no ponto inicial da tubulação usando uma bomba. 
P
P-∆P
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Figura 1.1.b. Análise de forças na tubulação
L
Comprimento
Direção do escoamento
R
Desenvolvimento gradual do perfil de velocidades do regime laminar e escoamento do fluido.
Pressão aplicada
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Figura 1.1.c. Movimento e resistência no elemento de volume 
P
P-∆P
vz(r)
vmax
σr z
σp
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Pressão * Área transversal = Tensão * Área longitudinal 
∆P*An = ∆ *At
Onde:
P = pressão em um ponto z ao longo da tubulação
P-dP = pressão em um ponto z + dz ao longo da tubulação
r = um ponto entre o centro e a parede, ao longo do raio
 = tensão de cisalhamento
dz = elemento de distância ao longo do comprimento do tubo
	[P  (P  dP)]  r2 =  2 r dz 
(1.1)
Em estado estacionário:
Força normal= Força de cisalhamento
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É interessante expressar a perda de carga linear (dP/dz) em função da tensão de cisalhamento:	
Rearranjando, para expressar a tensão de cisalhamento
(1.4)
(1.2)
(1.3)
(1.5)
	[P  (P  dP)]  r2 =  2 r dz 
(1.1)
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 A tensão de cisalhamento máxima se dá na parede (p ) quando r=R e pode ser expressa como:
 Considerando o comprimento L :
onde: R= raio do tubo
(1.6)
(1.7)
Onde:
 ∆P= diferença de pressão no comprimento de tubulação L
 D = diâmetro da tubulação
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Substituindo (1.6) em (1.5) tem-se: 
De acordo com a equação (1.8), a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo do raio do tubo, variando desde zero em r = 0 até um valor máximo na posição r = R.
Como os fluidos newtonianos obedecem à lei de Newton:
µ = viscosidade newtoniana
dvz / dr = variação de velocidades ao longo do raio do tubo
(1.8)
(1.9)
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No interior de uma tubulação a medida que o raio aumenta, a velocidade diminui, e por isso dvz/dr é negativo. 
Rearranjando os termos de (1.10):
(1.10)
(1.11)
 A transferência de impulso é feita da região de maior concentração de movimento para a de menor concentração.
No centro do tubo, dvz/dr=0, a tensão de cisalhamento é nula,
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Integrando a relação (1.11) entre um ponto r e a parede R:
Para a integração deve-se observar que trata-se de um integral indefinida; vz(r) e r não são pontos conhecidos. Surge, assim, uma constante arbitrária que chamaremos de C1.
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As condições de contorno deste caso são:
(a) r = R  vz = 0
(b) r = r  vz = vz (r)
C1 é obtido da aplicação da condição de contorno (a) para a qual são conhecidos os valores de vz e de r.
Então: 
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Da substituição de C1 na resultante da integral indefinida, obtém-se a equação do perfil parabólico de velocidade para um fluido newtoniano em escoamento laminar. 
(1.12)
Rearranjando os termos da equação acima temos: 
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Por outro lado, a velocidade média pode ser calculada pela definição: 
Ou ainda: 
Onde:
dA = elemento diferencial de área = 2r dr
(1.13)
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Integrando (1.13) do centro do tubo (r=0) até a parede (r = R): 				
Substituindo vz(r), equação (1.12), na expressão acima temos:
(1.14)
(1.15)
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(1.16)
(1.18)
(1.17)
(1.19)
Chegamos a expressão da velocidade média:
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Substituindo (1.7) em (1.19) para incluir o termo ∆P:	
Rearranjando (1.20) e dividindo tudo por  :
(1.20)
(1.21)
(1.7)
(1.19)
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Multiplicando ambos os lados por
Lembrando que o número de Reynolds (Re) para fluidos Newtonianos em tubulações cilíndricas é definido como:	
(1.22)
Rearranjando para separar o termo 1/Re da expressão (1.22):
(1.23)
tem-se que:
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Finalmente, chegamos a expressão geral para cálculo da energia gasta no atrito para fluidos newtonianos em regime laminar:
Geralmente usa-se o termo Êf para expressar a energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg)
(1.24)
Então:
(1.25)
fF= fator de atrito de Fanning 
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A expressão define o fator de atrito de Fanning (fF) como:
A literatura cita o fator de atrito de Darcy (fD):
Os dois podem ser usados. Porém, na bibliografia recente tem-se empregado principalmente fF e, por isso, quando se menciona ao fator de atrito refere-se geralmente à fF.
	 16
 fF = 	
 Re
(1.25)
(1.26)
*
	 64
 fD = 	
 Re
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CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO
	 1.1. Fluidos Newtonianos
			1.1.2. Região de transição
O fator de atrito na região de transição, ou seja, quando 2100< Re< 4000, não pode ser predito, com o qual deve-se usar a solução gráfica.
No caso de fluidos Newtonianos,emprega-se o Diagrama de Moody (Figura 1.2). Neste gráfico deve-se destacar que o fator de atrito é função da rugosidade relativa ( / D). 
Segue-se a tradução dos materiais de tubos que estão escritos em inglês:
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	Em inglês				Em português
	Smooth pipes	 		Tubos lisos
	Drawn tubing				Tubos estirados
	Commercial steel				Aço comercial
	Wrought iron				Ferro forjado
	Asphalted cast iron			Ferro fundido asfaltado
	Galvanized iron				Ferro galvanizado
	Cast iron					Ferro fundido
	Wood stove				Aduela de madeira
	Concrete					Concreto
	Riveted Steel				Aço rebitado 
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Materiais de construção do Diagrama de Moody
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 f = 16/Re
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CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO
	1.1. Fluidos Newtonianos
			1.1.3. Regime turbulento
 Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos
	(2.103 < Re < 105):
	fF = 1,28. Re -0,25				(1.27a) 
 fD = 0,32. Re -0,25				(1.27b) 
 Correlação de von Karman válida para tubos lisos:
	 
							(1.28)	
Quando o regime de escoamento é turbulento, ou seja, Re> 4000, existem várias maneiras de se obter fF. Existem algumas equações para tubos lisos e rugosos e solução gráfica.	
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c) Equação de Churchill válida para tubos rugosos:
	 
								
No site do professor Ortega, encontra-se um applet em JAVA útil para o cálculo de bomba centrífuga para água no qual aplicou-se a equação de Churchill.
http://www.unicamp.br/fea/ortega/info/cursojava/CalcBomba.htm
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Solução gráfica por meio do Diagrama de Moody, visto no item anterior. 
 Os dados necessários são:
As propriedades do fluido: densidade e viscosidade à temperatura de trabalho;
Velocidade média do fluido: obtém-se conhecendo (volume/tempo/área);
Diâmetro internoda tubulação;
A rugosidade relativa da tubulação (/D); no caso do processamento de alimentos e de instalações sanitárias, usa-se tubo liso, ou seja, rugosidade igual a zero ( ε =0 ).
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1.2. Fluidos não-newtonianos
	1.2.1. Fluidos lei da potência
		1.2.1.1. Regime laminar
Para obter expressões para cálculo do fator de atrito foram usadas as mesmas considerações da dedução do item 1.1.
Sabendo que a tensão de cisalhamento para esses fluidos é definida como:
1.29
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A variação da velocidade do fluido ao longo do raio se expressa como a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como:	
Por outro lado, a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como:
			 	
1.31
1.30
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Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento pode ser expressa como:
(1.33)
A equação (1.33), quando inserida na expressão do fator de atrito, proporciona uma expressão do tipo:
(1.34)
Ou ainda:
(1.32)
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(1.35)
A equação (1.34) é apropriada para o escoamento de fluidos lei da potência em regime laminar, que ocorre quando a seguinte desigualdade é satisfeita:
(1.36)
Dados experimentais indicam que a equação (1.34) superestima o fator de atrito para muitos fluidos lei da potência. Isso pode ser devido ao escorregamento na parede ou mudanças nas propriedades reológicas em emulsões e suspensões.
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(1.37)
1.2. Fluidos não-newtonianos 	1.2.1. Fluidos lei da potência 		1.2.1.2. Regime turbulento
O fator de atrito nessa região, para fluidos lei da potência, pode ser predito pela Equação de Dodge-Metzner. Essa equação só é válida para tubos lisos.
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1.2. Fluidos não-newtonianos 	1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham
	 1.2.2.1. Regime laminar
(1.38)
para R0 r  R. 
O raio crítico (R0), que define o contorno externo do pistão, pode ser calculado a partir da tensão de cisalhamento inicial ( ):
(1.39)
O perfil de velocidades de um fluido plástico de Bingham pode ser escrito como:
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É interessante levar em consideração que o fluido não sofrerá tensão de cisalhamento na região empistonada central, ou seja, quando  < 0 . Então, a função tensão de cisalhamento será integrada entre a tensão de cisalhamento inicial (0) e a tensão de cisalhamento na parede (p ).
(1.40)
pode ser calculada a partir da vazão volumétrica de uma maneira similar àquela usada para fluidos pseudoplásticos:
A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos plásticos de Bingham, cujo modelo reológico é:
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Onde c é uma função implícita do fator de atrito e quanto maior for esse valor, mais difícil será iniciar o escoamento:
(1.41)
Escrito em termos de velocidade média, a equação (1.40) torna-se:
(1.42)
Portanto, o cálculo do fator de atrito fica:
(1.43)
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O fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He):
(1.44)
e
(1.45)
(1.46)
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As equações (1.43) e (1.44) poderiam ser usadas para estimar fF em estado estacionário no regime laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade:
(1.47)
(1.48)
cc varia de 0 a 1 e o valor crítico do número de Reynolds de Bingham aumenta com o número de Hedstrom.
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1.2. Fluidos não-newtonianos 	1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham
	 		1.2.2.2. Regime turbulento
(1.49)
O fator de atrito para escoamento em regime turbulento de um fluido plástico de Bingham pode ser considerado um caso especial de um fluido Herschel-Bulkley e pode-se usar a seguinte relação:
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(1.50)
Com o aumento dos valores de tensão de cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta significativamente. 
Neste caso, quando a perda de carga é muito alta, c poderia ser muito pequeno, nesse caso a equação (1.49) se simplifica, ela ficaria da seguinte forma:
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1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley
 	 1.2.3.1. Regime laminar
(1.51)
A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em função do raio pode ser descrita como:
A velocidade do pistão se obtém substituindo r= R0 na equação (1.51).
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 Solução numérica
Há duas maneiras de se calcular o fator de atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley, cujo moedelo reológico é:
O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar de fluidos Herschel-Bulkley 
pode ser calculado a partir das seguintes relações:
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(1.52)
(1.53)
c pode ser expresso como uma função implícita de ReLP e uma forma modificada do número de Hedstrom (HeM):
(1.54)
*
*
(1.35)
(1.55)
e
Para encontrar fF para fluidos Herschel-Bulkley, c é determinado através de uma iteração da equação (1.54) usando a equação (1.53) e o fator de atrito poderia ser calculado a partir da equação (1.52).
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b) Solução gráfica
Existem soluções gráficas que facilitam os problemas computacionais. 
Essas figuras(Figuras 1.6-1.15) indicam o valor do número de Reynolds crítico a diferentes HeM para um valor particular de n. 
O número de Reynolds crítico é baseado em princípios teóricos e tem pouca verificação experimental.
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1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley
 1.2.3.2. Regime turbulento
Utilizam-se as soluções gráficas vistas no item anterior. 
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As equações são úteis para: 
desenvolvimento de modelos computacionais para aplicações diversas cuja solução gráfica não esteja pronta!
Recordando outras soluções gráficas: 
Fluido Newtoniano, Diagrama de Moody
Pseudoplásticos, Gráfico de Dodge-Metzner
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Como calcular o fator de atrito para cada caso?
RESUMO DA AULA:
1. Fluidos Newtonianos
1.1. Regime laminar
1.2. Região de transição
Diagrama de Moody
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1. Fluidos Newtonianos
1.3. Regime turbulento
3 modos de se obter fF
a) Equação de Blasius 
 válida para tubos lisos
 (2.103 < Re < 105):
 fF = 1,28. Re -0,25				
 fD = 0,32. Re -0,25				
b) Correlação de von Karman 
 válida para tubos lisos:
	
c) Diagrama de Moody
*
*
2. Fluidos Não-newtonianos
2.1. Fluidos Lei da Potência
2.1.1. Regime laminar
Fluido Lei da potência em regime laminar satifaz 
a desigualdade: 
*
*
2.1.2. Regime turbulento
2.1. Fluidos não-newtoniano Lei da Potência
Equação de Dodge-Metzner
Diagrama de Dodge-Metzner
válida para tubos lisos
*
*
2. Fluidos Não-newtonianos
2.2. Plástico de Bingham
2.2.1. Regime laminar
Ou, o fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He):
Fluido Plástico de Bingham em regime laminar satifaz a desigualdade: 
*
*
2.2. Plástico de Bingham
2.2.2. Regime turbulento
Quando a perda de carga é muito alta, c (τ0/τp) pode ser muito pequeno e nesse caso a equação acima se simplifica:
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2. Fluidos Não-newtonianos
2.3. Fluido Herschel-Bulkley
2.3.1. Regime laminar: 
2 modos
a) Solução Numérica: cálculos iterativos
b) Solução Gráfica: figuras Re crítico, 
diferentes HeM e n específico
HeM é Hedstrom modificado
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Exemplo de gráfico
2.3.2. Regime turbulento: solução gráfica
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