Exercicios de Madeiras UFPR

Prévia do material em texto

miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.2 pg. 1/2 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP222 
AAAÇÇÇÕÕÕEEESSS EEE SSSEEEGGGUUURRRAAANNNÇÇÇAAA NNNAAASSS EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss 
Exercício 2.1 : Combinação de Ações : Determinar as combinações das ações para a 
barra indicada de uma tesoura de madeira, de acordo com o critério da NBR-7190. 
Considerar Estados Limites Últimos e Combinações Ultimas Normais. 
Esforços internos característicos na barra : 
NG,k = 5 kN (peso próprio + telhas + acessórios) 
NQ,k = 8 kN (carga acidental vertical) 
Nw1,k = 12 kN (vento = sobrepressão) 
Nw2,k = -15 kN (vento = sucção) 
Solução : 
Usa-se a convenção de valores positivos para esforços de tração e negativos para 
esforços de compressão. 
Observando-se os valores dos esforços característicos nas barras, pode-se imaginar que 
das várias combinações possíveis, haverá uma delas que apresentará o máximo esforço 
de tração, e outra que apresentará o máximo esforço de compressão. 
Utilizaremos a expressão genérica para Estados Limites Últimos, Combinações Normais 
(equação 2.2) : 
���� ����
==== ====
����
����
����
����
����
����
++++++++====
m
1i
n
2j
k,Qjj0k,1QQk,GiGid F.F.F.F ψγγ 
a) combinação 1: 
G desfavorável + Q (ação variável principal) + w1 (vento sobrepressão): 
kN60,26)12.5,08(.4,15.4,1)N.N(.N.N k,1w0k,QQk,GG1d ====++++++++====++++++++==== ψγγ 
 
b) combinação 2: 
G desfavorável + Q + w1 (vento sobrepressão = ação variável principal): 
w1 
w2 Q 
G 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.2 pg. 2/2 
kN08,24)8.4,012.75,0(.4,15.4,1)N.N.75,0(.N.N k,Q0k,1wQk,GG2d ====++++++++====++++++++==== ψγγ 
 
c) combinação 3 : 
G favorável + w2 (vento sucção = ação variável principal) : 
kN25,11)15(.75,0.4,15.9,0N.75,0.N.N k,2wQk,GG3d −−−−====−−−−++++====++++==== γγ 
 
Resposta : a) máxima solicitação de tração : Nd = 26,60 kN. 
 b) máxima solicitação de compressão : Nd = - 11,25 kN. 
miguel@vetorestrutras.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.3 pg. 1/2 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP333 
PPPRRROOOPPPRRRIIIEEEDDDAAADDDEEESSS MMMEEECCCÂÂÂNNNIIICCCAAASSS DDDAAA MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss ::: 
 Exercício 3.1 : Determinação das propriedades mecânicas : determinar os valores das 
propriedades mecânicas das seguintes madeiras : 
1- Conífera pertencente à classe de resistência C-30. 
2- Dicotiledônea pertencente à classe de resistência C-30. 
3- Madeira de Eucalipto Dunnii. 
4- Madeira de Itaúba. 
Solução 
a) Valores característicos das propriedades mecânicas : 
 fc0k (MPa) fv0k (MPa) Ec0m (MPa) 
Conífera C-30 30 6 14.500 
Dicotiledônea C-30 30 5 14.500 
Eucalipto Dunnii 0,7 x 48,9 = 34,2 0,54 x 9,8 = 5,3 18.029 
Itaúba 0,7 x 78,9 = 55,2 0,54 x 11,0 = 5,9 22.613 
b) Uniformização de unidades (kN,cm) : 
 fc0k (kN/cm2) fv0k (kN/cm2) Ec0m (kN/cm2) 
Conífera C-30 3,00 0,60 1.450,0 
Dicotiledônea C-30 3,00 0,50 1.450,0 
Eucalipto Dunnii 3,42 0,53 1.802,9 
Itaúba 5,52 0,59 2.261,3 
 
miguel@vetorestrutras.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.3 pg. 2/2 
c) Valor de modk : 
1mod,k = 0,7 classe de carregamento : longa duração / madeira serrada. 
2mod,k = 1,0 classe de umidade 1 / madeira serrada. 
3mod,k = 0,8 madeira de 2a. categoria. 
3mod,2mod,1mod,mod k.k.kk ==== ; 56,08,0.0,1.7,0kmod ======== . 
 
d) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
w
k
modd
X
.kX
γ
==== ; 
c
k,0c
modd,0c
f
.kf
γ
==== ; 
c
k,0c
modd,90c
f.25,0
.kf
γ
==== ; 
d,0c
k,0c
mod
t
k,0c
modd,0t f39,1
f
.k)8,1(
77,0/f
.kf ≅≅≅≅====
====
====
γ
 ; 
v
k,0v
modd,0v
f
.kf
γ
==== ; 
4,1c ====γ ; 8,1vt ======== γγ ; m,0cmodef,0c E.kE = . 
(kN/cm2) fc0d ~ ft0d fc90d fv0d 
Conífera C-30 1,20 0,30 0,18 
Dicotiledônea C-30 1,20 0,30 0,16 
Eucalipto Dunnii 1,37 0,34 0,17 
Itaúba 2,21 0,55 0,19 
 
(kN/cm2) Ec0ef 
Conífera C-30 812,0 
Dicotiledônea C-30 812,0 
Eucalipto Dunnii 1.009,6 
Itaúba 1.266,3 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 1/59 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP444 
SSSOOOLLLIIICCCIIITTTAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS NNNAAASSS BBBAAARRRRRRAAASSS DDDAAASSS EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
 
EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss ::: 
Exercício 4.1 : Elemento tracionado : Verificar a condição de segurança da barra tracionada 
de uma tesoura de madeira indicada nas figuras : 
1- Conífera pertencente à classe de resistência C-30. 
2- Parafusos φ = 3/8”, com furo prévio de 10 mm de 
diâmetro. 
3- Dimensões indicadas em centímetros. 
4- Critério da NBR-7190 / 1997. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 3 kN (permanente), e NQk = 8 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Td = 1,4 x (TGk + TQk) = 
1,4 x (3 + 8) = 15,4 kN 
Determinação da área livre : 
Aliv = (((( ))))[[[[ ]]]]{{{{ }}}} 2cm400,1.210.5,2.2 ====−−−− 
c) Verificação da condição de segurança : 
d,0t
*
livre
d
d,0t f5,1.A
T
≤≤≤≤====σ ; 2d,0t
*
d,0t cm
kN2,1f58,05,1.
40
4,15
====<<<<========σ Verifica ! 
* Considera-se, na prática, em casos correntes, uma majoração de 50% no valor do 
esforço normal, ao invés de considerar a excentricidade atuante, por conta do fato de 
Seção
 
Elevação
 
5
 
2,5
 
2,5
 4 3
 
3
 
Nk Nk 
Planta 
10 
Elevação 10 
1 
1 
2,5 
2,5 
5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 2/59 
que a peça é dupla. A consideração da excentricidade levaria a verificação para o caso 
de flexo-tração. Isto é desnecessário nas aplicações correntes, visto que os efeitos da 
mesma são de pequena intensidade. 
Se, no entanto, ao fazer a verificação da condição de segurança, são atingidos valores 
próximos do limite, convém refazê-la, através do critério de flexo-tração. 
 
 Exercício 4.2 : Elemento comprimido (peça curta) e Compressão normal às fibras : 
Verificar a condição de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras : 
1- Dicotiledônea, pertencente à classe de resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Reação de apoio : R ; Rk = RGk + RQk ; 
 RGk = 2 kN (permanente), e RQk = 15 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 1,2 kN/cm2 ; 
fc90,d = 0,25 . fc0,d = 0,25 . 1,2 = 0,3 kN/cm2 ; 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Rd = Nd = 1,4 x (RGk + RQk) = 1,4 x (2 + 15) = 23,8 kN ; 
 
c) Verificação da peça vertical (elemento comprimido : peça curta) : 
c.1) grau de esbeltez : 
imin = iX = iY = cm44,15.5
12
5.5
A
I
3X
======== ; 35
44,1
50
i
L
MIN
0
MAX ============λ ; 
a peça é curta : 40<<<<λ . 
c.2) verificação da segurança : 
d,0c
d
Ndd,0c fA
N
≤≤≤≤======== σσ (equação 4.3) : 
R 
peça 5x5 
50 5 10 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 3/59 
2
d,0c
2
d,0c cm/kN2,1fcm/kN95,05.5
8,23
====<<<<========σ verifica ! 
 
d) Verificação da peça horizontal (compressão normal às fibras) : 
d,90c
d
d,90c fA
N
≤≤≤≤====σ e nd,0cd90,c .f.25,0f α==== (equações 4.17 e 4.18) : 
α n = 1,3 para c = 5 cm (tabela 19) 
2
d
d,90c
cm/kN39,03,1.2,1.25,095,0A
R
=≤==σ Não verifica ! 
Solução : aumentar a seção da peça vertical para diminuir as tensões de contato. (ver 
exercício proposto 4.29. 
 
 Exercício 4.3 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) : Verificar a condição 
de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras, submetida ao esforço 
de compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço Normal : Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 8 kN (permanente), e NQk = 20 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc0,d = 1,37 kN/cm2 , e Ec0,ef = 1.009,6 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (8 + 20) = 39,2 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
IX = 12
10.5,7 3
= 625 cm4 ; 
Y 
X 
 Seção 
 Transversal 
10 
7,5 
S S 
Nk 
Nk 
L = L0 = 150 cm 
c = 5 
R 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 4/59 
IY = 12
5,7.10 3
= 352 cm4 ; 
IMIN = IY ; 
imin = iY = cm17,210.5,7
352
A
IY
======== ; 
69
17,2
150
i
L
MIN
0
MAX ============λ ∴ a peça é medianamente esbelta : 8040 <<<<<<<< λ . 
 
d) Determinação de Md (equações 4.6 a 4.11) : 
cm25,0
30
5,7
30
h0
2,39
0
N
M
e Y
d
d1
i ========≥≥≥≥============ ; 
cm5,0
300
150
300
L
e 0a ============ ; 
e1 = ei + ea = 0,25 + 0,50 = 0,75 cm ; 
kN156
150
352.6,1009.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E ============
pipi
 ; 
002,1
2,39156
156
.75,0
NF
F
.ee
dE
E
1d ====





−−−−
====





−−−−
==== ; 
Md = Nd . ed = 39,2 . 1,002 = 39,3 kN.cm . 
 
e) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN52,010.5,7
2,39
A
N
============σ ; 
2
22
d
Md cm/kN42,0
6
5,7.10
3,39
6
h.bW
M
========





====
====σ . 
 
f) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
0,169,0
37,1
42,0
37,1
52,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <<<<====++++====++++
σσ
 Verifica ! 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 5/59 
 Exercício 4.4 : Elemento comprimido (peça esbelta) : Verificar a condição de segurança do 
pilar de madeira indicado nas figuras, submetido ao esforço de compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, de Itaúba. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 5 kN (permanente), 
e NQk = 15 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 2,21 kN/cm2 , e 
Ec0,ef = 1.266,3 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 15) = 28 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = 280 cm) : 
IX = 12
10.5 3
= 417 cm4 ; iX = cm89,210.5
417
A
IX
======== ; 97
89,2
280
i
L
X
X
X ============λ . 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 160 cm) : 
IY = 12
5.10 3
= 104 cm4 ; iY = cm44,110.5
104
A
IY
======== ; 111
44,1
160
i
L
Y
Y
Y ============λ . 
c.3) grau de esbeltez máximo : 
111YMAX ======== λλ ; a peça é esbelta : 14080 <<<<<<<< λ . 
Apesar de que relativamente ao eixo Y, o comprimento de referência é menor 
(160 cm), seu grau de esbeltez é superior. 
 
d) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
10 
5 
160 
120 
Y 
X 
 Seção 
 Transversal 
10 
5 
Nk 
L = 280 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 6/59 
cm17,0
30
5
30
h0
28
0
N
M
e Y
d
d1
i ========≥≥≥≥============ ; cm53,0300
160
300
L
e 0a ============ ; 
kN8,50
160
104.3,1266.
L
I.E.
F 2
2
2
0
Yef,0c
2
E ============
pipi
 ; φ = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 5 kN ; NQk = 15 kN ; ψ 1 = 0,3 ; ψ 2 = 0,2 ∴ 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c
ψψ
ψψφ
++++++++−−−−
++++++++
==== = 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]] 261,015.2,03,058,50
15.2,03,05.8,0
====
++++++++−−−−
++++++++
 ; 
(((( )))) (((( ))))1e.eee caigc −−−−++++==== (((( )))) (((( )))) cm21,01e.53,017,0 261,0 ====−−−−++++==== ; 
e1ef = ei + ea + ec= 0,17 + 0,53 + 0,21 = 0,91 cm ; 
cm.kN8,56
288,50
8,50
.91,0.28
NF
F
.e.NM
dE
E
ef,1dd ====





−−−−
====





−−−−
==== . 
 
e) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN56,010.5
28
A
N
============σ ; 
2
22
Y
d
Md cm/kN36,1
6
5.10
8,56
6
h.bW
M
========





====
====σ . 
 
f) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
0,187,0
21,2
36,1
21,2
56,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <<<<====++++====++++
σσ
 Verifica ! 
 
Exercício 4.5 : (5o. TE/2005) - Para a barra comprimida indicada nas figuras, verificar a 
condição de segurança. 
Dados : 
1) critério da NBR-7190/1997. 
2) dimensões em centímetros. 
3) madeira = CEDRO DOCE : 
2a. Categoria = qualidade estrutural , 
fc,0,m = 31,5 MPa.; Ec,0,m = 8.058 MPa. 
4) ELU = Combinação Normal. 
7,5 
10 
 Seção Transversal 
L= 150 
7,5 
Elevação 
 
Nk 
Nk 
1 
2 
X 
Y 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 7/59 
5) esforço normal : Nk = Ngk + Nqk ; Ngk = 5 kN (permanente) ; 
Nqk = 8 kN (vento de sobrepressão). 
6) vinculação das extremidades da peça : 
ponto 1 : indeslocável no plano vertical , deslocável no plano horizontal . 
ponto 2 : indeslocável no plano vertical , indeslocável no plano horizontal . 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcom = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2 ; 
fcok = 0,7. fcom = 0,7. 3,15 MPa = 2,21 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN88,04,1
21,2
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ecom = 8058 MPa = 805,8 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 805,8 = 451,2 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 0,75. 8) = 15,4 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 150 cm = dois extremos indeslocáveis) : 
IX = 12
5,7.10 3
= 351,6 cm4 ; 
A = 10 . 7,5 = 75 cm2 ; 
iX = cm17,275
6,351
A
IX
== ; 
69
17,2
150
i
L
X
X
X ===λ (peça medianamente esbelta). 
c.2) considerando o eixoY (L0 = 2 L = 2. 150 = 300 cm ; um extremo deslocável) : 
IY = 12
10.5,7 3
= 625 cm4 ; 
iY = cm89,275
625
A
IY
== ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 8/59 
104
89,2
300
i
L
Y
Y
Y ===λ (peça esbelta). 
c.3) grau de esbeltez máximo : 
104YMAX =λ=λ ; a peça é esbelta : 14080 <<<<<<<< λ . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y ( λ MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1 Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm33,0
30
10
30
h0
4,15
0
N
M
e Y
d
d1
i ==≥=== ; 
cm0,1
300
300
300
L
e 0a === ; 
kN9,30
300
625.2,451.
L
I.E.F 2
2
2
0
Yef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
φ = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 5 kN ; NQk = 8 kN ; ψ 1 = 0,2 ; ψ 2 = 0 ∴ 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c
ψψ
ψψφ
++++++++−−−−
++++++++
==== = 
( )[ ]
( )[ ] 217,08.02,059,30
8.02,05.8,0
=
++−
++
 ; 
(((( )))) (((( ))))1e.eee caigc −−−−++++==== ( ) ( ) cm32,01e.0,133,0 217,0 =−+= ; 
e1ef = ei + ea + ec= 0,33 + 1,0 + 0,32 = 1,65 cm ; 
cm.kN6,50
4,159,30
9,30
.65,1.4,15
NF
F
.e.NM
dE
E
ef,1dd =





−
=





−
= . 
d.2 Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN21,075
4,15
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md cm/kN41,0125
6,50
W
M
===σ . 
d.3 Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,171,0
88,0
41,0
88,0
21,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 9/59 
Exercício 4.6 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1oTE/2006) : Verificar a 
condição de segurança da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras. 
 Dados : 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira TATAJUBA, 2a. categoria ; 
qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 20 kN (permanente) ; NQk = 75 kN (sobrecarga). 
6) Vinculos dos extremos da barra : Indeslocáveis nos dois planos. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcom = 79,5 MPa = 7,95 kN/cm2 ; 
fcok = 0,7. fcom = 0,7. 7,95 MPa = 5,57 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN23,24,1
57,5
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ecom = 19.583 MPa = 1958,3 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1958,3 = 1.096,6 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (20 + 75) = 133 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X : 
IX = 12
10.15 3
= 1250 cm4 ; 
A = 15 . 10 = 150 cm2 ; 
iX = cm89,2150
1250
A
IX
== ; 
7,7989,2
230
i
L
X
X,0
X ===λ (peça medianamente esbelta) ; 
WX = 6
10.15
6
h.b 22
= = 250 cm3. 
c.2) considerando o eixo Y : 
IY = 12
15.10 3
= 2.812,5 cm4 ; 
15 
X 
Y 
10 
L 
=
 
23
0 
Nk 
Nk 
Seção 
Elevação 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 10/59 
 iY = cm33,4150
5,2812
A
IY
== ; 
1,5333,4
230
i
L
Y
Y,0
Y ===λ (peça medianamente esbelta). 
c.3) grau de esbeltez máximo : 
7,79XMAX =λ=λ ; a peça é medianamente esbelta : 8040 <λ< . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo X ( λ MAX = 79,7) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm33,0
30
10
30
h0
133
0
N
M
e X
d
d1
i ==≥=== ; 
cm77,0
300
230
300
L
e 0a === ; 
e1 = ei + ea = 0,33 + 0,77 = 1,10 cm ; 
kN7,255
230
1250.6,1096.
L
I.E.F 2
2
2
0
Xef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
ed = 





− dE
E
1 NF
F
.e = 





−1337,255
7,255
.1,10 = 2,29 cm ; 
cm.kN8,30429,2.133e.NM ddd === . 
d.2) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN89,0150
133
A
N
===σ ; 2
X
d
Md cm/kN22,1250
8,304
W
M
===σ . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,195,0
23,2
22,1
23,2
89,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
 
Exercício 4.7 : Elemento comprimido (peça esbelta) (1oTE/2006) : Verificar a condição de 
segurança da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras. 
 Dados : 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA-CLASSE C- 40, 
2a. categoria ; qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
L 
=
 
24
0 
Nk 
Nk 
Elevação 
1 
2 
15 
X 
Y 
Seção 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 11/59 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 10 kN (permanente) ; 
NQk = 30 kN (sobrecarga). 
6) Vinculos dos extremos da barra : 
ponto : indeslocável nos dois planos (X e Y). 
ponto : deslocável no plano Y. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN60,14,1
0,4
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ecom = 19.500 MPa = 1950 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950 = 1.092 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (10 + 30) = 56 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 240 cm ; dois extremos indeslocáveis) : 
IX = IY = 64
15. 4pi
= 2.485 cm4 ; 
A = 4
15. 2pi
= 176,6 cm2 ; 
WY= 3Y cm3,3315,7
2485
x
I
== ; 
iX = iY = cm75,36,176
2485
A
IX
== ; 
6475,3
240
i
L
X
X,0
X ===λ (peça medianamente esbelta). 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 240 = 480 cm ; um extremo deslocável) : 
12875,3
480
i
L
Y
Y,0
Y ===λ (peça esbelta). 
c.3) 128YMAX =λ=λ ; a peça é esbelta : 14080 <<<<<<<< λ . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y ( λ MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm5,0
30
15
30
h056
0
N
Me Y
d
d1
i ==≥=== ; 
1 
2 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 12/59 
cm6,1
300
480
300
L
e 0a === ; 
2
0
Yef,0c
2
E L
I.E.F pi= ; kN3,116
480
2485.1092.F 2
2
E =
pi
= ; 
φ = 0,8(tabela 18) ; 
NGk = 10 kN ; NQk = 30kN ; 
ψ 1 = 0,3 ; ψ 2 = 0,2 ; 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c
ψψ
ψψφ
++++++++−−−−
++++++++
==== = 
( )[ ]
( )[ ] 219,030.2,03,0103,116
30.2,03,010.8,0
=
++−
++
 ; 
(((( )))) (((( ))))1e.eee caigc −−−−++++==== ( ) ( ) cm51,01e.6,15,0 219,0 =−+= ; 
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,5+1,6+0,51 = 2,61 cm ; 
cm.kN0,282
563,116
3,116
.61,2.56
NF
F
.e.NM
dE
E
ef,1dd =





−
=





−
= 
d.2) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN32,07,176
56
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md cm/kN85,05,331
282
W
M
===σ . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,173,0
6,1
85,0
6,1
32,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
 
Exercício 4.8 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1oTE/2007) : 
Verificar a condição de segurança da barra de madeiramaciça, submetida à compressão 
simples, indicada nas figuras. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira CONÍFERA classe C-25, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk . 
NGk = 20 kN (permanente); NQk = 60 kN (sobrecarga). 
6- Vinculação dos extremos da barra : 
ELEVAÇÃO
 
SEÇÃO
 
20 
Nk 
L=
 
18
0 
Y
 
20
 
5 
X 
10
 
5 
5 
5 10 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 13/59 
Eixo X : 2 extremos indeslocáveis. Eixo Y : 1 extremo indeslocável. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN00,14,1
5,2
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ecom = 8.500 MPa = 850 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 850 = 476 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (20 + 60) = 112 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 180 cm ; dois extremos indeslocáveis) : 
IX = IY = 12
10.5.2
12
20.10 33
− = 7.500 cm4 ; 
A = (20. 20) – 4. (5. 5) = 300 cm2 ; 
WY= 3Y cm750)2/20(7500x
I
== ; 
iX = iY = cm0,5300
7500
A
IX
== ; 
360,5
180
i
L
X
X,0
X ===λ (peça curta). 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 180 = 360 cm ; um extremo deslocável) : 
720,5
360
i
L
Y
Y,0
Y ===λ (peça medianamente esbelta). 
c.3) 72YMAX =λ=λ ; a peça é medianamente esbelta : 8040 <λ< . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y ( λ MAX = 72) , pois se trata de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm67,0
30
20
30
h0112
0
N
Me Y
d
d1
i ==≥=== ; 
cm2,1
300
360
300
L
e 0a === ; 
2
0
Yef,0c
2
E L
I.E.F pi= ; kN9,271
360
7500.476.F 2
2
E =
pi
= ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 14/59 
e1 = ei + ea = 0,67+1,2 = 1,87 cm ; 
cm18,3
1129,271
9,271
.87,1
NF
F
.ee
dE
E
1d =





−
=





−
= ; 
== ddd e.NM 112. 3,18 = 356,1 kN.cm . 
d.2) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN37,0300
112
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md cm/kN48,0750
1,356
W
M
===σ . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,185,0
0,1
48,0
0,1
37,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
 
Exercício 4.9 : Elemento comprimido (peça esbelta) (1oTE/2007) : Verificar a condição de 
segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas 
figuras. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- Critério da NBR-7190/1997. 
4- ELU - Combinação normal. 
5- Madeira CANELA, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
6- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 40 kN (permanente); NQk = 120 kN (sobrecarga). 
7- Vinculação dos extremos da barra : Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fc0m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 4,87 = 3,41 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN36,14,1
41,3
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ec0m = 17.592 MPa = 1759,2 kN/cm2 ; 
Ec0ef = kmod. Ecom = 0,56. 1759,2 = 985,1 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (40 + 120) = 224 kN . 
Nk 
L 
=
 
L o
=
 
60
0 
20 
X 
Y 
5 5 10 
Y
 
30
 
10
 
10
 
10
 
ELEVAÇÃO
 
SEÇÃO
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 15/59 
c) Grau de esbeltez : 
A = (20. 30) – (10. 10) = 500 cm2; 
c.1) eixo X : 
L0 = L = 600 cm : dois extremos indeslocáveis ; 
IX = 12
10.10
12
30.20 33
− = 44166,7 cm4 ; 
iX = cm44,9500
7,44166
A
IX
== ; 
64~44,9
600
i
L
X
X,0
X ==λ (peça medianamente esbelta). 
c.2) eixo Y : 
L0 = L = 600 cm ; dois extremos deslocáveis ; 
IY = 12
10.10
12
20.30 33
− = 19166,7 cm4 ; 
IY = cm19,6500
7,19166
A
IY
== ; 
9719,6
600
i
L
Y
Y,0
Y ===λ (peça esbelta). 
WY= 3Y cm7,1916)2/20(7,19166x
I
== ; 
c.3) 97YMAX =λ=λ ; a peça é esbelta : 14080 <<<<<<<< λ . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y ( λ MAX = 97) , pois se trata de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm67,0
30
20
30
h0224
0
N
Me Y
d
d1
i ==≥=== ; 
cm0,2
300
600
300
L
e 0a === ; 
2
0
Yef,0c
2
E L
I.E.F pi= ; kN6,517
600
7,191666.1,985.F 2
2
E =
pi
= ; 
φ = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 40 kN ; NQk = 120 kN ; 
ψ 1 = 0,3 ; ψ 2 = 0,2 ; 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c
ψψ
ψψφ
++++++++−−−−
++++++++
==== = 
( )[ ]
( )[ ] 192,0120.2,03,0406,517
120.2,03,040.8,0
=
++−
++
 ; 
(((( )))) (((( ))))1e.eee caigc −−−−++++==== ( ) ( ) cm57,01e.0,267,0 192,0 =−+= ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 16/59 
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,67+ 2,0+ 0,57 = 3,24 cm ; 
cm.kN5,1279
2246,517
6,517
.24,3.224
NF
F
.e.NM
dE
E
ef,1dd =





−
=





−
= . 
d.2) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN45,0500
224
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md cm/kN67,07,1916
5,1279
W
M
===σ . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,182,0
36,1
67,0
36,1
45,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
 
Exercício 4.10 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1º.TE-2008) - Verificar a 
condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, 
indicada nas figuras : 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , 
NGk = 30 kN (permanente), NQk = 100 kN (sobrecarga). 
6- Vinculação dos extremos da barra : 
Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN6,14,1
0,4.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ecom = 19.500 MPa = 1950,0 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (30 + 100) = 182 kN . 
 
ELEVAÇÃO
 
SEÇÃO
 
21,2 
Nk 
L=
 
28
0 
21
,
2 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 17/59 
c) Grau de esbeltez : 
considerando o eixo X = eixo Y ; 
lados do quadrado = 21,2. sen 45o = 15 cm ; 
IX = IY = 12
15.15 3
= 4218,8 cm4 ; 
A = 15. 15 = 225 cm2 ; 
iX = iY = cm33,42258,4218A
I
X
== ; 
7,6433,4280i
L
X
X,0
YX
===λ=λ (peça medianamente esbelta) ; 
WX = 6
15.15
6
h.b 22
= = 562,5 cm3. 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas um eixo (X) ( λ MAX = 64,7) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm5,030
15
30
h0182
0
N
Me X
d
d1
i
==≥=== ; 
cm93,0300280
300
Le 0
a
=== ; 
e1 = ei + ea = 0,5 + 0,93 = 1,43 cm ; 
kN0,580280
8,4218.0,1092.
L
I.E.F
2
2
2
0
Xef,0c
2
E
=
pi
=
pi
= ; 
ed = 





− dE
E
1 NF
F
.e = 





−1820,580
0,580.1,43 = 2,09 cm ; 
cm.kN2,38009,2.182e.NM
ddd
=== . 
d.2) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2
d
Nd
cm/kN81,0225
182
A
N
===σ ; 
 
2
X
d
Md
cm/kN68,05,562
2,380
W
M
===σ . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,193,060,1
68,0
60,1
81,0
ff
d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 18/59 
Exercício 4.11: Elemento comprimido (peça esbelta) (1º.TE-2008)- Verificar a segurança da 
barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas figuras : 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , 
NGk = 15 kN (permanente), NQk = 80 kN (sobrecarga). 
6- Vinculação dos extremos da barra : 
Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN6,14,1
0,4.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ecom = 19.500 MPa = 1950,0 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (15 + 80) = 133 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
considerando o eixo X = eixo Y ; 
IX = IY = 12
15.15 3
= 4218,8 cm4 ; 
A = 15. 15 = 225 cm2 ; 
iX = iY = cm33,42258,4218A
I
X
== ; 
8,8733,4380i
L
X
X,0
YX
===λ=λ (peça esbelta) ; 
WX = 6
15.15
6
h.b 22
= = 562,5 cm3. 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas um eixo (X) ( λ MAX = 87,8) , pois trata-se de compressão simples. 
ELEVAÇÃO
 
SEÇÃO
 
15 
Nk 
L=
 
38
0 
15
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 19/59 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm5,030
15
30
h01330N
Me X
d
d1
i
==≥=== ; 
cm27,1300
380
300
Le 0
a
=== ; 
kN9,314380
8,4218.0,1092.
L
I.E.F
2
2
2
0
Xef,0c
2
E
=
pi
=
pi
= ; 
φ = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 15 kN ; NQk = 80 kN ; 
ψ 1 = 0,3 ; ψ 2 = 0,2 ; 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c
ψψ
ψψφ
++++++++−−−−
++++++++
==== = 
( )[ ]
( )[ ] 169,080.2,03,0159,314
80.2,03,015.8,0
=
++−
++
 ; 
(((( )))) (((( ))))1e.eee caigc −−−−++++==== ( ) ( ) cm33,01e.27,15,0 169,0 =−+= ; 
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,5+ 1,27+ 0,33 = 2,1 cm ; 
cm.kN82,4811339,314
9,314.1,2.133NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd
=





−
=





−
= . 
d.2) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2
d
Nd
cm/kN59,0225
133
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md
cm/kN86,05,562
8,481
W
M
===σ . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,190,060,1
86,0
60,1
59,0
ff
d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
 
Exercício 4.12 : Encaixe entre peças de madeira : Projetar o nó de extremidade da tesoura de 
madeira, indicada no exercício 4.3, cuja barra inclinada (asna) é solicitada por um esforço de 
compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço Normal Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 5 kN (permanente), e 
 NQk = 8 kN (sobrecarga). 
Elevação 
Seção 
10 7,5 
Nk 
400 
10 
15 
S 
S 
Nk 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 20/59 
Solução 
a) Soluções para o encaixe : 
a.1) solução clássica : 
Esta solução é teoricamente a mais indicada : a seção 
crítica para a compressão é a pequena área de contato AB, 
em que a resistência à compressão fc(90-β),d é igual nas 
peças horizontal e inclinada. 
a.2) solução corrente : 
Esta solução é mais prática, do ponto de vista executivo. É 
menos econômica porque a resistência de calculo na área 
AB (a mais crítica), é menor na peça inclinada. Esta 
solução será adotada no presente exercício. 
a.3) construção do encaixe : 
A confecção do encaixe não deve aprofundar o recorte na 
peça além de 25% de sua altura. 
Além de enfraquecer muito a peça recortada, cria-se uma 
excentricidade alta para o esforço de tração na mesma (a 
força de tração na barra horizontal faz parte do equilíbrio 
estático entre os esforços Nk e a reação de apoio). 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 8) = 18,2 kN ; 
 
c) Esforços gerados nas áreas respectivas criadas com 
a confecção do encaixe : 
A força Nd , aplicada na barra inclinada do banzo 
superior (asna) da tesoura, transmite-se ao nó de 
extremidade através das áreas de contato AB e BC. 
O ângulo θθθθ é diferente, mas parecido com 90o. Por simplicidade 
de calculo, adota-se : 
.kN1,17
2
40
cos.2,18
2
40
cos.NN
oo
dd,AB ========≅≅≅≅ 
β = (180 - α) / 2 
C 
B 
A 
β 
β α 
3,75 
C B 
A 
500 900 
40o 
θθθθ
 
NAB,d 
NBC,d Nd 
40o 
β = (90 - α) 
C B 
A 
900 
α 
β 
Nd x 
3,75 
C 
B 
A 
Rd 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 21/59 
A componente da força NBC,d , é desconsiderada no calculo : sua 
intensidade é pequena, e a área de contato BC é muito grande, 
gerando tensões muito baixas, absorvidas com facilidade pelas 
peças de madeira. 
Por outro lado, o apoio da tesoura no pilar indicado, gera tensões 
de contato que solicitarão normalmente as fibras da peça 
horizontal : 
.kN7,1140sen.2,1840sen.NR oodd ============ 
.kN0,1440cos.2,1840cos.NH oodd ============ 
d) Características mecânicas do Eucalipto Dunnii : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc0,d = 1,37 kN/cm2 ; fV0,d = 0,17 kN/cm2 ; fc90,d = 0,34 kN/cm2 ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,40,c cm/kN61,040cos.34,040sen.37,1
34,0.37,1
40cos.f40sen.f
f.ff ====
++++
====
++++
==== . 
 
e) Verificação das tensões de contato na área AB : 
2
d,40,c
AB
d,AB
AB cm/kN61,0f60,05,7.75,3
1,17
A
N
====<<<<============σ . Verifica ! 
A verificação ao esmagamento por compressão será feita pela peça menos resistente, 
no caso, a peça inclinada, pois as tensões formam um ângulo de 40o com as fibras, ao 
contrário da peça horizontal, cujas tensões são paralelas às fibras. 
 
f) Verificação do encaixe ao cisalhamento horizontal : 
d,0v*
d
vd fx.5,7
H
≤≤≤≤====τ ∴∴∴∴ cm11~
17,0.5,7
0,14
f.5,7
H
x
d,0V
d
========≥≥≥≥ 
* largura das peças = 7,5 cm. 
 
g) Verificação das tensões de compressão no apoio da tesoura sobre o pilar : 
2
nd,90cd90,c cm/kN37,010,1.34,0.ff ============ α ; αααα n = 1,1 para c = 10 cm (tabela 19) ; 
d,90c
PILARCONTATO
d
d,90c f16,010.5,7
7,11
A
R
≤≤≤≤============σ = 0,37 kN/cm2 . Verifica ! 
Hd 
90o 
Rd 
Nd 
40o 
Hd 
Nd 
x 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturasde Madeira CAP.4 pg. 22/59 
Observação : 
Se não houvessem sido verificadas as tensões atuantes na face AB, poder-se-ia lançar 
mão do recurso de executar dentes duplos. Com esta providência, as tensões de contato caem 
pela metade, por dispor-se de duas áreas AB. 
A técnica para realização do encaixe segue o critério anterior : 
A componente de força NAB é absorvida nas duas áreas AB, e a componente Hd é 
absorvida na área b.x . 
Quando se optar pelos dois encaixes, há a possibilidade de reduzir a profundidade do 
encaixe e. 
 
Exercício 4.13 : Encaixe entre peças de madeira (2oTE/2006) : Determinar, pela condição de 
segurança, o máximo valor do esforço “NQk” que pode ser aplicado ao nó de extremidade da 
tesoura de madeira, indicado nas figuras. 
Em seguida, para este máximo valor de “NQk”,determinar o mínimo valor de “x”. 
1- Madeira : CANELA – 2a. categoria – 
 qualidade estrutural. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço Atuante : Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 10 kN (permanente), e 
 NQk = ? kN (sobrecarga). 
5- Estado Limite Último : Combinação Normal. 
 Solução 
a) Características mecânicas da Canela : 
fc0,m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2, 
fc0,k = 0,7 x 4,87 = 3,41 kN/cm2, 
2
c
k0c
modd0c cm/kN36,14,1
41,3
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
2
d0cd,90,c cm/kN34,036,1.25,0f.25,0f === ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,30,c cm/kN78,030cos.34,030sen.36,1
34,0.36,1
30cos.f30sen.f
f.ff =
+
=
+
= ; 
10 
Nk 
5 30
0 
15 
Nk 10 
Elevação 
Seção 
S 
S 
A 
B C 
x = ? 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 23/59 
fV0,m = 9,6 MPa = 0,96 kN/cm2, 
fV0,k = 0,54 x 0,96 = 0,52 kN/cm2, 
2
V
k0V
modd0V cm/kN16,08,1
52,0
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
b) Combinação das ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (10 + NQk). 
 
c) Esforços gerados em AB : 
o
d
o
dd,AB 15cos.N2
30
cos.NN =≅ 
dd,AB N.9659,0N ≅ 
d
o
dd N.8666,030cos.NH == 
 
d) Verificação das tensões de contato na área AB : 
2
d,30,c
dd
AB
d,AB
AB cm/kN78,0f765,51
N
10.5
N.9659,0
A
N
=====σ ∴ 
Nd = 40,3 kN. 
 
e) Valor máximo de NQk : 
Nd = 40,3 = 1,4 x (10 + NQk) ∴ 
NQk = 18,8 kN. 
 
f) Valor mínimo de “x” : 
d,0v
d
vd f
x.10
H ≤=τ ∴∴∴∴ cm22~8,21
16,0.10
3,40.8666,0
f.10
H
x
d,0V
d
==≥ 
 
 
Exercício 4.14 : Encaixes (2o. TE 2007) : Determinar o máximo valor característico (Gk) do 
esforço permanente aplicado à barra inclinada do nó indicado nas figuras : 
θθθθ 
NAB,d 
NBC,d 
Nd 
30o 
Hd 
90o 
Rd 
Nd 
30o 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 24/59 
a) em função do cisalhamento na barra horizontal. 
b) Em função das tensões de contato no encaixe (área AB). 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira de CEDRO DOCE, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforço atuante : Gk = ? kN (permanente). 
 Solução 
a) Características mecânicas do CEDRO DOCE : 
fc0,m = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2, 
fc0,k = 0,7 x 3,15 = 2,21 kN/cm2, 
2
c
k0c
modd0c cm/kN88,04,1
21,2
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
2
d0cd,90,c cm/kN22,088,0.25,0f.25,0f === ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,35,c cm/kN44,035cos.22,035sen.88,0
22,0.88,0
35cos.f35sen.f
f.ff =
+
=
+
= ; 
fV0,m = 5,6 MPa = 0,56 kN/cm2, 
fV0,k = 0,54 x 0,56 = 0,30 kN/cm2, 
2
V
k0V
modd0V cm/kN09,08,1
30,0
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Gd = 1,4 x Gk . 
 
c) Esforços gerados nos encaixes : 
o
k
o
dd,AB 5,17cos.G.4,12
35
cos.GG =≅ = 1,335. Gk , 
.G147,135cos.G.4,135cos.GH kokodd === 
 
d) Verificação das tensões de contato na área AB : 
S 
Seção 
7,5 
Gk 
7,5 
2,5 
Elevação 
7,5 
350 
10 
Gk 
10 
Gd 10 
2,5 C 
B 
A 
GAB,d 
Hd 
Gd 
35o 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 25/59 
2
d,35,c
kd,AB
AB
d,AB
AB cm/kN44,0f5,7.5,2
G.335,1
5,7.5,2
G
A
G
=====σ 
Gk = 6,18 kN. 
 
e) Verificação do encaixe ao cisalhamento horizontal : 
2
d,0v
kd
vd cm/kN09,0f10.5,7
G.147,1
10.5,7
H
=≤==τ ; 
.kN89,5
147,1
10.5,7.09,0Gk =≤ 
 Resposta : Gk = 5,89 kN. 
 
Exercício 4.15 : Encaixe entre peças de madeira (2oTE/2008) : Projetar a ligação (por encaixe) 
entre as peças 1 e 2, indicada nas figuras, estabelecendo o valor do encaixe (e), pelas tensões 
decorrentes do contato entre elas. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira : PINUS ELLIOTTII, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , 
NGk = 5 kN (permanente), NQk = 3 kN (sobrecarga). 
 Solução 
a) Características mecânicas do PINUS ELIOTTII : 
fc0,m = 40,4 MPa = 4,04 kN/cm2 ; 
fc0,k = 0,7 x 4,04 = 2,83 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN13,14,1
41,3.56,0f.kf ==
γ
= ; 
2
d0cd,90,c
cm/kN28,013,1.25,0f.25,0f === ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,60,c
cm/kN35,060cos.28,060sen.13,1
28,0.13,1
60cos.f60sen.f
f.ff =
+
=
+
= ; 
fV0,m = 7,4 MPa = 0,74 kN/cm2 ; 
fV0,k = 0,54 x 0,74 = 0,40 kN/cm2 ; 
Hd 
Gd 
10 
15 
750 
Nk 
450 
600 
e=? 
Elevação Seção 
2,
5 
Nk 
2,
5 
7,
5 
1 
2 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 26/59 
2
V
k0V
modd0V
cm/kN12,08,1
40,0.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
b) Combinação das ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 3) = 11,2 kN. 
 
c) Esforços gerados em AB : 
o
d
o
dd,AB
30cos.N
2
60cos.NN =≅ 
kN7,92,11.866,0N
d,AB
=≅ . 
 
d) Verificação das tensões de contato na área AB : 
2
d,60,c
AB
d,AB
AB
cm/kN35,0f5,7.e
7,9
A
N
=≤==σ ∴ 
e ≥ 3,7 cm ; 
Considerando que o máximo valor indicado para o recorte da peça (e) é h/4 = 15/4 = 3,75 cm, 
um encaixe simples pode resolver a ligação com segurança. 
 
Exercício 4.16 : Flexão simples : Determinar o valor mínimo da altura “h” da viga de madeira 
indicada nas figuras, para que sejam respeitadas as condições de segurança. 
1- Madeira conífera, Classe de Resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Cargas aplicadas : 
gk = 1,0 kN/m (permanente), e 
Qk = 2,0 kN (sobrecarga). 
Solução 
 A solução deste exercício pode ser dada calculando-se teoricamente a altura “h” em função 
dos critérios da NBR-7190 / 1997. É uma solução matematicamente trabalhosa, razão pela 
qual, na prática, e neste exemplo, será feita por tentativa, arbitrando-se uma altura inicial 
h 
h=? 
5 
gk 
Qk L/2 
L 
400 20 20 
NAB,d 
NBC,d 
Nd 
60o 
15 
750 450 
600 
Detalhe 
e A 
B C 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 27/59 
“h” e fazendo-se as verificações. Em caso de fracasso, novas tentativas serão feitas 
sucessivamente, até uma solução adequada. 
O valor adotado para a primeira tentativa é h = 25cm. 
a) Vão de cálculo : 
 L = cm420
2
20400
2
20
====++++++++ , ou L = 400 + 25 ( cm10≤≤≤≤ ) = 400 + 10 ∴∴∴∴ L = 410 cm. 
 
b) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm2 ; fv0,d = 0,18 kN/cm2 ; Ec0,ef = 812 kN/cm2 ; 
 
c) Combinações de Ações : 
E.L.U.: Fd = .kN8,2
cm
kN014,00,2.4,101,0.4,1FFF.F. QdGdQQGG +=+=+=γ+γ ; 
E.L.Uti.: Fd = .kN0,2.2,0
cm
kN01,00,2.01,0F.FF.F 2Qd2GdQ2G ++++====++++====++++====++++ ψψψ 
 
d) Tensões normais de flexão (ELU) : 
d.1) momentos fletores : 
Md = cm.kN2,5814
410.8,2
8
410.014,0
4
L.Q
8
L.g 2d2d
====++++====++++ 
d.2) Verificação das tensões de flexão (equações 4.23 a 4.26) : 
 W = 3
22
cm8,520
6
25.5
6
h.b
======== ; 2
d
d,t/c cm
kN20,112,1
8,520
2,581
W
M
<<<<============σ , verifica! 
Considerou-se que a viga não tem possibilidade de flambagem da região 
comprimida. 
 
e) Tensões tangenciais de cisalhamento (ELU) : 
e.1) esforços cortantes : 
Vd = kN27,42
8,2
2
410.014,0
2
Q
2
L.g dd
====++++====++++ 
Md 
Vd 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 28/59 
e.2) Verificação das tensões de cisalhamento (equações 4.20 e 4.32) : 
2
d
vd cm
kN18,0051,0
25.5
27,4
.
2
3
h.b
V
.
2
3
<<<<============τ , verifica! 
e.3) Observação : 
Não foi necessário, mas a NBR-7190 permite a 
redução do valor de Vd nas regiões próximas aos 
apoios diretos (equação 4.33): 
Vred = 4,27 – 50. 0,014 = 3,57 kN. 
 
f) Flecha máxima (ELUti) (equações 4.35 e 4.36) : 
200
L
I.E.48
L.Q
.
I.E.384
L.g.5
u
Xef,0c
3
k
2
Xef,0c
4
k
d ≤ψ+= ; sendo IX = 4
3
cm6510
12
25.5
==== , 
cm05,2
200
410
cm81,0
6510.812.48
410.0,2
.2,0
6510.812.384
410.010,0.5
u
34
d ====≤≤≤≤====++++==== verifica! 
 
g) Conclusão : 
Foram verificadas as duas condições de segurança : Estados Limites Últimos, com as 
respectivas Tensões Normais de Flexão e Tensões Tangenciais de Cisalhamento, e 
Estados Limites de Utilização, com as deformações. 
Todas as três verificações ocorreram com uma certa distância dos valores limites de 
calculo, exceto pela verificação da flexão. 
Como o processo de verificação foi o de tentativas, caberia uma segunda tentativa, 
tomando-se h = 20 cm, se não houvesse uma proximidade tão grande na verificação da 
flexão. 
 
 h) Verificação da Instabilidade Lateral (equações 4.27 a 4.31) : 
Caso não houvesse o travamento da região comprimida da viga, deveríamos verificar a 
instabilidade lateral, considerando travamento apenas nas duas extremidades, isto é : 
L1 = L = 410 cm ; h/b = 25/5 = 5 ; L1/b = 410/5 = 82. 
Vred 
2.h = 50 cm 
Vd 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 29/59 
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) 7,1863,05
5
.5,3
63,0b
h
b
h
.5,3
2
1
2
3
2
1
2
3
M ====
−−−−
====
−−−−
====β ; 
 36
2,1.7,18
812
f.
E
d,0cM
ef,0c
========β ; 
L1/b = 82 > 36 ; 
 
M
1
ef,0c
d,1c
.b
L
E
β
σ






≤≤≤≤ ou seja : 53,0
7,18.82
81212,1 => não verifica ! 
 
Exercício 4.17 : (EF-2005) Flexão simples reta : Determinar o valor mínimo de “h” (múltiplo de 
2,5 cm), na seção transversal da viga de madeira indicada nas figuras, atendendo às 
condições de segurança previstas na NBR-7190. 
1) Critério da NBR-7190/1997. 
2) Dimensões em centímetros. 
3) Madeira MOGNO, de 2a. categoria : 
fc,0,m = 53,6 MPa , fv,0,m = 10,0 MPa , 
Ec,0,m = 14.487 MPa . 
4) ELU = Combinação Normal. 
5) Cargas aplicadas : 
 gk = 1 kN/m (permanente), Qk = 2 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) combinação das ações : 
E.L.U.: m/kN4,1kN8,21.4,12.4,1Q.4,1g.4,1F kkd +=+=+=
rrrrr
; 
E.L.Uti.: Fd = .kN4,0cm/kN01,0m/kN0,2.2,0cm/kN01,0F.F Q
2
G
+=+=ψ+ 
 
b) propriedades mecânicas do MOGNO : 
fcom = 53,6 MPa = 5,36 kN/cm2 ; 
fcok = 0,7. fcom = 0,7. 5,36 MPa = 3,75 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN5,14,1
75,3
.56,0f.kf ==
γ
= . 
fvom = 10,0 MPa = 1,0 kN/cm2 ; 
fvok = 0,54. fvom = 0,54. 1,0 = 0,54 kN/cm2 ; 
gk 
Qk 
300 
Qk 
100 100 100 
Esquema 
5 
h=? 
Seção 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 30/59 
2
c
vok
modd0v cm/kN17,08,1
54,0
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) altura “h” determinada pela condição de segurança à flexão : 
c.1) determinação do máximo momento fletor : 
Mgd = (1,4. 10-2 . 3002) / 8 = 157,5 kN.cm 
MQd = (2,8. 100. 200 / 300) / 8 = 186,7 kN.cm 
MQ1d = MQ2d = MQd. 150 / 200 = 140,0 kN.cm 
Md,MAX = Mgd + MQ1d + MQ2d 
Md,MAX = 157,5 + 140 + 140 = 437,5 kN.cm 
c.2) verificação da condição de segurança à flexão : 
2
d
d,t/c cm
kN50,1
W
5,437
W
M ≤==σ , 
W ≥ 437,5 / 1,5 = 291,7 cm3 , 
W = 
6
h.5
6
h.b 22
= ≥ 291,7 ∴ h ≥ 18,7 cm. 
 
d) altura “h” determinada pela condição de segurança ao cisalhamento : 
d.1) determinação do máximo esforço cortante : 
Vd = kN9,48,22
300.10.4,1Q
2
L.g 2
d
d
=+=+
−
 
d.2) verificação da condição de segurança ao esforço cortante : 
17,0
h.5
9,4
.
2
3
h.b
V
.
2
3 d
vd ≤==τ ∴ h ≥ 8,75 cm. 
 
e) altura “h” determinada pela deformação : 
cm5,1
200
300
200
L
I.3,811.2,28
300.0,2
.2,0
I.3,811.384
300.01,0.5
*
I.E.2,28
L.Q
.
I.E.384
L.g.5
u
X
3
X
4
Xef
3
k
2
Xef
4
k
==≤+=




ψ+=
 
* Esta expressão refere-se à máxima flecha proporcionada por um par de cargas 
concentradas aplicadas nos terços do vão da viga. 
IX,MIN = 1181 cm4 ∴ 1181,4 ≤ 12
h.5
12
h.b 33
= ∴ h ≥ 14,2 cm. 
h ≥ (18,7 ; 8,75 ; 14,2) ∴ Resposta : h = 20 cm. 
 
gd 
Qd 
Mgd 
Qd 
100 50 
+ 
50 
MQ1d 
MQ2d 
MQd 
100 
M
d,
M
A
X 
+ 
= 
Vgd 
+ 
VQ2d 
V d
,M
A
X 
= 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 31/59 
Exercício 4.18 : (2O.TE-2006) : Flexão simples reta : Determinar, para a viga de madeira 
indicada nas figuras, o máximo valor da carga uniforme distribuída “qk” que pode ser aplicada, 
em função das condições de segurança (flexão, cisalhamento e deformação). Considerar 
travamento lateral da região comprimida da seção, ao longo de todo o vão (sem instabilidade 
lateral). 
Considerar : 
1) Madeira DICOTILEDÔNEA, classe de resistência C-60, 2a. categoria ; qualidade 
estrutural. 
2) Dimensões indicadas em centímetros. 
3) Critério da NBR-7190/1997. 
4) Cargas aplicadas : 
gk = 2 kN/m (permanente); 
qk = ? kN/m (sobrecarga). 
5) E.L.U. = Combinação Normal. 
 E.L.Uti.= Combinação de Longa Duração. 
Solução : 
a) Características mecânicas da Dicotiledônea C-60 : 
fc0,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2, 
2
d0c cm/kN4,24,1
0,6
.56,0f == ; 
fV0,k = 8 MPa = 0,8 kN/cm2, 
2
d0V cm/kN25,08,1
8,0
.56,0f == ; 
Ec0,m = 24.500 MPa = 2.450 kN/cm2, 
2
ef,0c cm/kN13722450.56,0E == . 
 
b) ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS : 
b.1) Tensões de Flexão : 
Md = 8
400.)q02,0(
.4,1
8
L.q
8
L.g 2k2d2d +
=+ = 28.000 . )q02,0( k+ ; 
 W = 3
22
cm67,666
6
20.10
6
h.b
== ; 
67,666
)q02,0.(28000
W
M kd
d,t/c
+
==σ = 2,4 ∴ 
gk 
400 
1020 
Esquema 
Seção 
qk = ? 
Md 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 32/59 
qk = 0,0371 kN/cm = 3,71 kN/m. 
b.2) Tensões de Cisalhamento : 
Vd = 2
400.)q02,0(
.4,1
2
L.q
2
L.g kdd +
=+ = 280. )q02,0( k+ ; 
25,0
20.10
 )q(0,02280.
.
2
3
h.b
V
.
2
3 kd
vd =
+
==τ ; 
∴∴∴∴ qk = 0,099 kN/cm = 9,90 kN/m. 
 
 c) ESTADO LIMITE de UTILIZAÇÃO : 
IX = 4
3
cm7,6666
12
20.10
= ; 
cm0,2
200
400
200
L
7,6666.1372.384
400.q.5
.20,0
7,6666.1372.384
400.02,0.5
u
4
k
4
d ==≤+= ; 
∴∴∴∴ qk = 0,1744 kN/cm = 17,44 kN/m. 
d) RESPOSTA : 
qk,MAX = 3,71 kN/m. 
 
Exercício 4.19 : (2o. TE - 2007) : Flexão simples reta - Determinar o diâmetro mínimo “d” da 
escora de madeira roliça sujeita à flexão simples, conforme indicado nas figuras. Considerar 
apenas o critério das tensões de flexão e deformações (omitir o cálculo pelo cisalhamento). 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - combinação normal, 
e ELUTI – combinação de longa duração. 
4- Madeira de EUCALIPTO CITRIODORA, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
Pk = 5 kN (sobrecarga), e 
gk = 3 kN/m (permanente). 
 
Solução 
a) Propriedades mecânicas do EUCALIPTO CITRIODORA : 
Vd 
gk 
d =? 
Pk 
H 
=
 
30
0 15
0 
SEÇÃO 
ELEVAÇÃO 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 33/59 
fc0m = 62,0 MPa = 6,20 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 6,20 = 4,34 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN74,14,1
34,4
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
fv0m = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 ; 
fv0k = 0,54. fv0m = 0,54. 1,07 = 0,58 kN/cm2 ; 
2
V
k0V
modd0V cm/kN18,08,1
58,0
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ec,0,m = 18421 MPa = 1842,1 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1842,1 = 1031,6 kN/cm2 . 
 
b) combinação das ações : 
b.1) E.L.U.: kN7m/kN042,05.4,103,0.4,1Q.4,1g.4,1F kkd +=+=+=
rrr
 
b.2) E.L.Uti.: Fd = .kN0,1cm/kN03,00,5.2,003,0F.F Q2G +=+=ψ+ 
 
c) Esforços atuantes : 
Md = cm.kN5,9974
300.7
8
300.042,0
4
L.P
8
L.g 2d2d
=+=+ . 
 
d) Tensões normais de flexão (ELU) : 
;f
W
M
d0c
d
Md ≤=σ 32
d.
2
d
64
d.
y
IW
3
4
X pi
=
pi
== ; 
;74,1f
32
d.
5,997
d0c3Md =≤pi
=σ d ≥≥≥≥ 18 cm 
a) Deformações : 
uef = ug + uP ; 
cm5,1
200
300
I.6,1031.48
300.0,5
.2,0
I.6,1031.384
300.03,0.5
u
34
ef =<+= ; 
I ≥ 2408,27 cm4 ; 
I = 64
d. 4pi
= 2408,27 ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 34/59 
d ≥≥≥≥ 15 cm 
Resposta : d = 18 cm. 
 
Exercício 4.20 : (2O.TE-2008) : Flexão simples reta : 
Determinar o máximo valor do vão “L” da viga de madeira 
indicada nas figuras, sujeita à flexão simples reta, para que 
sejam respeitadas as condições de segurança. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : gk = 0,4 kN/m (permanente), qk = 2,4 kN/m (sobrecarga). 
Solução : 
a) Características mecânicas da Dicotiledônea C-60 : 
fc0,k = 40 MPa = 4,0 kN/cm2, 
2
d0c
cm/kN6,14,10,4.56,0f == ; 
fV0,k = 6 MPa = 0,6 kN/cm2 ; 
2
d0V
cm/kN19,08,16,0.56,0f == ; 
Ec0,m = 19.500 MPa = 1.950 kN/cm2 ; 
2
ef,0c
cm/kN10921950.56,0E == . 
 
 b) Propriedades Geométricas da Seção Transversal : 
IX = 4
3
cm4,210912
15.5,7
= ; 
WX = 3
22
cm25,2816
15.5,7
6
h.b
== . 
c) ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS : 
gk = 0,4 kN/m = 0,004 kN/cm ; 
 qk = 2,4 kN/m = 0,024 kN/cm. 
c.1) Verificação da segurança pelas Tensões de Flexão : 
gk 
L=? 
7,5 
15 
qk 
SEÇÃO 
ELEVAÇÃO 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 35/59 
Md = 8
L.)024,0004,0(.4,18
L.q
8
L.g 22
d
2
d
+
=+ = 0,0049. L2 (kN. cm) 
6,1f25,281
L.0049,0
W
M
d0c
2
d
d,t/c
====σ ∴ 
L ≤ 303 cm. 
 c.2) Verificação da segurança pelas Tensões de Cisalhamento : 
Vd = 2
L.)024,0004,0(.4,12
L.q
2
L.g
dd
+
=+ = 0,020 . L ; 
19,015.5,7
 L). (0,020.2
3
h.b
V.2
3
d
vd
===τ ∴∴∴∴ 
 L ≤ 712 cm. 
 
d) ESTADO LIMITE de UTILIZAÇÃO : 
 gd = gk ; qd = 
2
ψ . qk 
 d.1) Verificação da flecha : 
200
L
4,2109.1092.384
L.024,0.5.20,04,2109.1092.384
L.04,0.5u
44
d
≤+= ∴∴∴∴ 
L ≤ 462 cm. 
 
e) RESPOSTA : 
LMAX = 300 cm. 
 
Exercício 4.21 : (Nv.Av. - 2008) Flexão simples reta : Verificar as condições de segurança da 
viga de madeira indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
gk = 1,5 kN/m (permanente), Pk = 1 kN (sobrecarga). 
Solução 
Md 
Vd 
20 
7,5 
SEÇÃO 
X 
ELEVAÇÃO 
gk 
Pk 
450 
Pk 
150 150 150 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 36/59 
a) propriedades mecânicas da DICOTILEDÔNEA C-40 : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN6,14,1
0,4.56,0f.kf ==
γ
= . 
fvok = 6 MPa = 0,6 kN/cm2 ; 
2
c
vok
modd0v
cm/kN19,08,1
6,0.56,0f.kf ==
γ
= ; 
Ec,0,m = 19500 MPa = 1950 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1950 = 1092kN/cm2 . 
 
 b) Propriedades Geométricas da Seção Transversal : 
IX = 4
3
cm500012
20.5,7
= ; 
 WX = 3
22
cm5006
20.5,7
6
h.b
== . 
 
c) Determinação dos esforços solicitantes de cálculo : 
c.1) determinação do máximo momento fletor : 
Md,MAX = 





+ 150.18
450.100
5,1.4,1
2
; 
Md,MAX = 741,6 kN.cm . 
c.2) determinação do máximo esforço cortante : 
Vd,MAX = 




 + 2
1
2
450.100
5,1.4,1 ; 
Vd,MAX = 5,43 kN. 
 
 d) Verificação das condições de segurança : 
 d.1) verificação da condição de segurança à flexão : 
2
d0c
X
d
d,M cm
kN60,1f48,1500
6,741
W
M
=≤===σ . Verifica! 
d.2) verificação da condição de segurança ao cisalhamento : 
2
d0v
d
vd cm
kN19,0f06,020.5,7
43,5.2
3
h.b
V.2
3
=≤===τ . Verifica! 
d.3) verificação das deformações : 
gd 
Pd 
Mgd 
Pd 
150 75 
+ 
75 
MP1d 
MP2d 
MPd 
150 
M
d,
M
A
X 
+ 
= 
Vgd 
+ 
VP2d 
V d
,M
A
X 
= 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 37/59 
;5000.1092.2,28
450.0,1.2,05000.1092.384
450.015,0.5*I.E.2,28
L.P.I.E.384
L.g.5u
34
Xef
3
k
2
Xef
4
k
d
+=




ψ+= 
cm25,2200
450
200
Lcm59,112,047,1u
d
==≤=+= . Verifica ! 
* Esta expressão refere-se à máxima flecha proporcionada por um par de cargas 
concentradas aplicadas nos terços do vão da viga. 
Conclusão : a viga suporta com segurança as cargas previstas. 
 
Exercício 4.22 : Flexão oblíqua : Verificar as condições de segurança da terça de madeira 
indicada nas figuras. 
1- Madeira dicotiledônea, Classe de Resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3-Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Cargas atuantes : 
gk = 0,80 kN/m2 (permanente= peso 
próprio + telhas), 
qk = 0,50 kN/m2 (sobrecarga). 
Solução 
a) Combinações de Ações : 
a.1) cargas atuantes na terça : 
 gk = 0,8 kN/m2 . 1,13 m = 0,904 kN/m = 0,00904 kN/cm ; 
 qk = 0,5 kN/m2 . 1,13 m = 0,565 kN/m = 0,00565 kN/cm . 
a.2) decomposição das ações nas direções X e Y : 
 gk,X = 0,00904 . cos 200 = 0,0085 kN/cm ; 
 gk,Y = 0,00904 . sen 200 = 0,0031 kN/cm ; 
 qk,X = 0,00565 . cos 200 = 0,0053 kN/cm ; 
 qk,Y = 0,00565 . sen 200 = 0,0020 kN/cm ; 
a.3) combinações de ações : 
 ELU : M + V : QQGGd F.F.F γ+γ= 
15
 
120
 
113
 
113
 
20o 
7,5
 
113
 
113
 
Planta telhado
 
qk 
gk 
L = 200 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 38/59 
 ELUti : f : Q2Gd F.FF ψ+= ; onde 2,02 =ψ . 
 
b) Características geométricas da seção transversal : 
A = 7,5 . 15 = 112,5 cm2 ; IX = 12
15.5,7
3
= 2109 cm4 ; IY = 12
5,7.15
3
= 527 cm4 ; 
WX = b.h2 / 6 = 7,5.152/6 = 281 cm3 ; WY= h.b2 / 6 = 15.7,52/6 = 141 cm3 . 
 
c) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fco,d = 1,2 kN/cm2 ; 
fvo,d = 0,16 kN/cm2 ; Ec0,ef = 812 kN/cm2 . 
 
d) Verificação das tensões de flexão (ELU) : 
d.1) Eixo X : 
 cm.kN6,96
8
200 . 0,0053 . 1,4
8
200 . 0,0085 . 1,4
 M
22
Xd, =+= . 
d.2) Eixo Y : 
 cm.kN7,35
8
200 . 0,0020 . 1,4
8
200 . 0,0031 . 1,4
 M
22
Yd, =+= . 
d.3) Verificação : 
2
X
d,X
d,X,M cm/kN35,0281
6,96
W
M
===σ ; 
2
Y
d,Y
d,Y,M cm/kN25,0141
7,35
W
M
===σ ; 
140,0
20,1
25,0
.5,0
20,1
35,0
f
.k
f wd
d,MY
M
wd
d,Mx <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
136,0
20,1
25,0
20,1
35,0
.5,0
ff
.k
wd
d,MY
wd
d,Mx
M <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
 
e) Verificação das tensões de cisalhamento (ELU) : 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 39/59 
e.1) Eixo X : 
 kN93,1
2
002 . 0,0053 . 1,4
2
002 . 0,0085 . 1,4
 V Xd, =+= ; 
e.2) Eixo Y : 
 kN72,0
2
002 . 0,0020 . 1,4
2
002 . 0,0031 . 1,4
 V Yd, =+= ; 
e.3) Verificação : 
2
d,0V
d,X
d,X cm/kN16,0f03,015.5,7
93,1
.
2
3
h.b
V
.
2
3
====<<<<============τ verifica ! 
2
d,0V
d,Y
d,Y cm/kN16,0f01,05,7.15
72,0
.
2
3
b.h
V
.
2
3
=<===τ verifica ! 
 
f) Verificação das flechas (ELUti) : 
f.1) Eixo X : 
.cm1
200
200
200
L
cm12,0
2109.812.384
002 . 0,0053 . 5
.2,0
2109.812.384
002 . 0,0085 . 5
 U
44
X ==<=+= verifica ! 
f.2) Eixo Y : 
.cm1
200
200
200
L
cm17,0
527.812.384
002 . 0,0020 . 5
.2,0
527.812.384
002 . 0,0031 . 5
 U
44
Y ==<=+= verifica ! 
 
g) Observação final : 
A norma NBR-6120, especifica, no item 2.2.1.4, que 
todo elemento isolado de coberturas (ripas, terças, 
barras de banzo superior de treliças), deve ser 
projetado, para receber, na posição mais 
desfavorável, uma carga vertical de 1 kN, além da 
carga permanente : 
g.1) Verificação das tensões de flexão (ELU) : 
g.1.1) Eixo X : 
 cm.kN3,125
4
200. )20 cos . (1 . 1,4
8
200 . 0,0085 . 1,4
 M
02
Xd, =+= . 
100 
Qk=1 kN 
L = 200 
gk 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 40/59 
g.1.2) Eixo Y : 
 cm.kN7,45
4
002 . )20sen.(1 . 1,4
8
200 . 0,0031 . 1,4
 M
02
Yd, =+= . 
g.1.3) Verificação : 
 
2
X
d,X
d,X,M cm/kN45,0281
3,125
W
M
===σ ; 2
Y
d,Y
d,Y,M cm/kN32,0141
7,45
W
M
===σ ∴ 
 151,0
20,1
32,0
.5,0
20,1
45,0
f
.k
f wd
d,MY
M
wd
d,Mx <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
 145,0
20,1
32,0
20,1
45,0
.5,0
ff
.k
wd
d,MY
wd
d,Mx
M <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
g.2) Verificação das tensões de cisalhamento (ELU) : 
g.2.1) Eixo X : 
 kN66,1
2
20 cos . 1
2
002 . 0,0085 . 1,4
 V
0
Xd, =+= . 
g.2.2) Eixo Y : 
 kN61,0
2
02 sen . 1
2
002 . 0,0031 . 1,4
 V
0
Yd, =+= . 
g.2.3) Verificação : 
 
2
d,0V
d,X
d,X cm/kN16,0f02,015.5,7
66,1
.
2
3
h.b
V
.
2
3
=<===τ verifica ! 
 
2
d,0V
d,Y
d,Y cm/kN16,0f01,05,7.15
61,0
.
2
3
b.h
V
.
2
3
=<===τ verifica ! 
g.3) Verificação das flechas (ELUti) : 
g.3.1) Eixo X : 
.cm1
200
200
200
L
cm12,0
2109.812.48
002 . 20 cos . 1
.2,0
2109.812.384
002 . 0,0085 . 5
 U
304
X ==<=+= verifica ! 
g.3.2) Eixo Y : 
.cm1
200
200
200
L
cm18,0
527.812.48
002 .20 sen . 1
.2,0
527.812.384
002 . 0,0031 . 5
 U
304
Y ==<=+= verifica ! 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 41/59 
Exercício 4.23 : Flexo-tração: Verificar a condição de segurança da barra horizontal da tesoura 
de madeira, indicada no exercício 4.3, supondo-se que não é possível apoiar o respectivo nó 
diretamente sobre o pilar. 
1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço normal no banzo superior : 
Nd = 18,2 kN (exercício 4.12) 
Solução 
a) Esforços gerados na barra : 
a.1) equilíbrio do nó : 
 Nd = 18,2 kN ; Rd = 18,2.sen 400 = 11,7 kN ; 
 Td = 18,2.cos 400 = 14,0 kN . 
a.2) momento fletor gerado na barra horizontal : 
 a.2.1) apoio deslocado : 
Md,1 = Rd.10 = 11,7 . 10 = 117 kN.cm ; 
a.2.2) excentricidade gerada pelo encaixe : 
Md,2 = Td. 2
75,3
 = 14,0 . 1,875 = 26,25 kN.cm ; 
Md = Md,1 + Md,2 = 117,0 + 26,25 =143,25 kN.cm 
a.3) esforços gerados na barra horizontal : 
Td = 14,0 kN ; Md = 143,25 kN.cm : 
Observar que a seção sujeita ao momento fletor máximo, corresponde ao ponto 
onde se realizou o encaixe do banzo superior, ou seja, está enfraquecida em 25% 
de sua altura. 
 
b) Características mecânicas do Eucalipto Dunnii : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
ft0,d = 1,37 kN/cm2 ; Ec0,ef = 1009,6 kN/cm2 . 
 
15 
115 
Td 
Elevação 
Seção 
10 7,5 
Nd 
400 
10 
S 
S 
Nd 
90o 
Td 
Rd 
Nd 
40o 
Md 
10 
Rd 
115 
e/2 Td 
e 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 42/59 
c) Verificação da segurança (equações 4.44 e 4.45) : 
Não há momento fletor em torno do eixo Y, razão pela qual, as expressões de 
verificação da segurança referidas ficam reduzidas à equação 4.44 : 
2
livre
d
d,Nt cm/kN17,025,11.5,7
0,14
A
T
============σ ; 
 
2
2
X
d,X
d,X,M cm/kN91,0
6
25,11.5,7
25,143
W
M
============σ ; 
178,0
37,1
91,0
37,1
17,0
f
0
.)5,0k(
ff d,0t
d,MY
M
d,0t
d,Mx
d,0t
d,Nt <<<<====++++====
====
====++++++++
σσσ
 verifica ! 
 
Exercício 4.24 : Flexo-compressão: Verificar a condição de segurança do pilar de madeira, 
indicado nas figuras, sujeito ao esforço de compressão concentrado excêntrico Gk e à carga 
transversal distribuída do vento qwYk. 
1- Madeira dicotiledônea, Itaúba. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço atuantes : 
Gk= 80,0 kN (permanente); eX = 5 cm ; 
 qwYk = 5 kN/m = 0,05 kN/cm (vento). 
Solução 
a) Combinação de ações (ELU) : 
QQGGd F.F.F γ+γ= = wGwGwQGGd F.05,1F.4,1F.4,1.75,0F.4,1F..75,0F.F ++++====++++====++++==== γγ 
 
b) Esforços gerados no pilar : 
b.1) ação permanente (carga concentrada 
excêntrica Gk) : 
 Gd = 1,4 . Gk = 1,4 . 80 = 112 kN. 
 MG,X,d = Gd . eX = 112 . 5 = 560 kN.cm 
 
qwYk 15 
Elevação 
eX 
L=L0 = 300 
Gk 
qwYk 
Gk 
20 
eX 
Y 
Seção 
X 
Gd= 112 kN 
MYd = 590,6 kN.cm 
X 
MXd = 560 kN.cm 
15 
20 
Y 
Seção 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 43/59 
b.2) ação variável (carga distribuída qwYk) : 
 qwYd = 1,05 . 0,05 = 0,053 kN/cm ; 
Mw,y,d = qwYd . L2 / 8 = 0,053 . 3002 / 8 = 590,6 kN.cm . 
 
c) Propriedades mecânicas da Itaúba : 
fc0,d = 2,21 kN/cm2 ; Ec0,ef = 1266,3 kN/cm2 . 
 
d) Características geométricas do pilar : 
d.1) Eixo X : 
A = 20 . 15 = 300 cm2 ; 
IX = 12
15.20 3
= 5625 cm4 ; 
cm33,4
300
5625
A
Ii XX ============ ; 
69
33,4
300
i
L
X
0
X ============λ ; 
3
22
X cm7506
15.20
6
h.bW ============ . 
d.2) Eixo Y : 
IY = 12
20.15 3
= 10000 cm4 ; 
cm77,5
300
10000
A
Ii YY ============ ; 
52
77,5
300
i
L
Y
0
Y ============λ ; 
 
3
22
Y cm10006
20.15
6
h.bW === . 
 
e) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
e.1) determinação das tensões atuantes : 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 44/59 
 
2d
Ncd cm/kN37,0300
112
A
G
============σ ; 
 
2
X
Xd
MXd cm/kN75,0750
560
W
M
============σ ; 
 
2
Y
Yd
MYd cm/kN59,01000
3,596
W
M
===σ ; 
e.2) Verificação (equações 4.48 e 4.49) : 
====++++++++







d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc
f
.k
ff
σσσ
150,0
21,2
59,0
.5,0
21,2
75,0
21,2
37,0 2
<=++





 verifica ! 
====++++++++







d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f
σσσ
146,0
21,2
59,0
21,2
75,0
.5,0
21,2
37,0 2
<=++





 verifica ! 
f) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : 
f.1) eixo X : 
 λλλλ X = 69 (peça medianamente esbelta) : 
f.1.1) determinação de Md : 
cm5,0
30
15
30
h5
112
560
N
M
e
d
d1
i ========>>>>============ ; 
cm1
300
300
300
L
e 0a ============ ; 
e1 = ei + ea = 5 + 1 = 6 cm ; 
kN2,781
300
5625.3,1266.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
cm7
1122,781
2,781
.6
NF
F
.ee
dE
E
1d =





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 112 . 7 = 784,5 kN.cm 
f.1.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2d
Nd cm/kN37,0300
112
A
N
============σ ; 
 
2
X
d
Md cm/kN05,1750
5,784
W
M
===σ . 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 45/59 
f.1.3) verificação : 
 0,164,0
21,2
05,1
21,2
37,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <<<<====++++====++++
σσ
 verifica ! 
f.2) eixo Y : 
 λλλλ Y = 52 (peça medianamente esbelta) : 
f.2.1) determinação de Md : 
!cm67,0
30
20
30
h3,5
112
6,590
N
M
e
d
d1
i ==>=== 
cm1
300
300
300
L
e 0a ============ ; 
e1 = ei + ea = 5,3 + 1 = 6,3 cm ; 
kN7,1388
300
10000.3,1266.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
cm8,6
1126,1388
6,1388
.3,6
NF
F
.ee
dE
E
1d =





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 112 . 6,8 = 764,3 kN.cm . 
f.2.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2d
Nd cm/kN37,0300
112
A
N
============σ ; 2
Y
d
Md cm/kN76,01000
8,772
W
M
===σ . 
f.2.3) verificação : 
 0,151,0
21,2
76,0
21,2
37,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
 
Exercício 4.25 : (5o. TE/2005) Flexo-compressão: Para o elemento flexo-comprimido indicado 
nas figuras, verificar a condição de segurança. 
Dados : 
1) critério da NBR-7190/1997. 
2) dimensões em centímetros. 
3) madeira = CONÍFERA C-25 : 
 2a. Categoria = qualidade estrutural 
 fc,0,k = 25 MPa.; Ec,0,m = 8.500 MPa. 
10 
Y 
15 
 Seção 
 Transversal 
gkY 
Elevação 
 
L=
L o
X=
 
L o
Y=
22
0 
Nk 
gkY 
Nk 
X 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 46/59 
4) ELU = Combinação Normal. 
5) Esforços aplicados : Nk = Ngk + Nqk; Ngk = 4 kN (permanente) ; 
 Nqk = 8 kN (sobrecarga) ; gkY = 3,0 kN/m (permanente). 
Solução : 
a) Combinação de ações (ELU) : 
MgdY = 1,4. 3,0. 10-2. 2202 / 8 = 254,1 kN.cm ; 
Nd = 1,4. (4 + 8) = 16,8 kN. 
 
b) Propriedades mecânicas da CONÍFERA C-25 : 
fco,k = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 
fco,d = 4,1
5,2
.56,0f.k
c
cok
mod =γ
 = 1,0 kN/cm2 ; 
Eco,m = 8500 Mpa = 850 kN/cm2 ; 
Ec0,ef = 850.56,0E.k commod = = 476 kN/cm2 . 
 
c) Características geométricas do pilar : 
c.1) Eixo X : 
A = 10 . 15 = 150 cm2 ; 
IX = 12
10.15 3
= 1250 cm4 ; 
cm89,2
150
1250
A
Ii XX === ; 
76
89,2
220
i
L
X
0
X ===λ ; 
3
22
X cm2506
10.15
6
h.bW === . 
c.2) Eixo Y : 
IY = 12
15.10 3
= 2812,5 cm4 ; 
cm33,4
150
5,2812
A
Ii YY === ; 
Nd= 16,8 kN 
MgYd = 254,1 kN.cm 
X 
10 
15 
Y 
Seção 
22
0 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 47/59 
51
33,4
220
i
L
Y
0
Y ===λ ; 
 
3
22
Y cm3756
15.10
6
h.bW === . 
Obs.: os dois eixos deverão ser verificados, pois somente um deles tem Momento fletor 
aplicado. 
 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
d.1) determinação das tensões atuantes : 
 
2d
Ncd cm/kN11,0150
8,16
A
N
===σ ; 
 0MXd =σ ; 
 
2
Y
Yd
MYd cm/kN68,0375
1,254
W
M
===σ . 
d.2) Verificação (equações 4.46 e 4.47) : 
====++++++++







d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f
σσσ
169,0
0,1
68,00.5,0
0,1
11,0 2
<=++





 verifica ! 
 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : 
e.1) eixo X : 
 λλλλ X = 76 (peça medianamente esbelta) : 
e.1.1) determinação de Md : 
cm33,0
30
10
30
h0
8,16
0
N
M
e
d
d1
i ==>=== ; 
cm73,0
300
220
300
L
e 0a === ; 
e1 = ei + ea = 0,33 + 0,73 = 1,06 cm ; 
kN3,121
220
1250.476.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 48/59 
cm23,1
8,163,121
3,121
.06,1
NF
F
.ee
dE
E
1d =





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 16,8. 1,23 = 20,7 kN.cm . 
e.1.2) determinação das tensões 
Nd
σ e Mdσ : 
2d
Nd cm/kN11,0150
8,16
A
N
===σ
; 
 
2
X
dX
Md cm/kN08,0250
7,20
W
M
===σ
. 
e.1.3) verificação : 
 0,119,0
0,1
08,00,1
11,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
e.2) eixo Y : 
 λλλλ Y = 51 (peça medianamente esbelta) : 
e.2.1) determinação de Md : 
cm5,0
30
15
30
h13,15
8,16
1,254
N
M
e
d
d1
i ==>=== ; 
cm73,0
300
220
300
L
e 0a === ; 
e1 = ei + ea = 15,13 + 0,73 = 15,86 cm ; 
kN0,273
220
5,2812.476.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
cm9,16
8,16273
273
.86,15
NF
F
.ee
dE
E
1d =





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 16,8. 16,9 = 283,9 kN.cm 
e.2.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2d
Nd cm/kN11,0150
8,16
A
N
===σ ; 
 
2
Y
d
Md cm/kN76,0375
9,283
W
M
===σ . 
e.2.3) verificação : 
 0,187,0
0,1
76,0
0,1
11,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 49/59 
 
Exercício 4.26 : (Nova Avaliação/2005) Verificar a condição de segurança da barra de 
madeira, flexo-comprimida, indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-60, 2a. categoria : 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 40 kN (permanente), eXG= 3 cm ; 
NQk = 50 kN (sobrecarga), eYQ= 2 cm ; e = excentricidades das cargas normais 
Solução : 
a) Combinação de ações (ELU) : 
Nd = 1,4. (40+50) = 126 kN , 
MGXd = 1,4. 40. 3 = 168 kN.cm , 
MQYd = 1,4. 50. 2 = 140 kN.cm . 
 
b) Propriedades mecânicas da dicotiledônea C-60 : 
fco,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2 ; 
fco,d = 4,1
0,6
.56,0f.k
c
cok
mod =γ
 = 2,4 kN/cm2 ; 
Eco,m = 24500 MPa = 2450 kN/cm2 ; 
Ec0,ef = 2450.56,0E.k commod = = 1372 kN/cm2. 
 
c) Características geométricas da barra : 
A = 20. 15 = 300 cm2 . 
c.1) Eixo X : 
IX = 12
15.20 3
= 5625 cm4 ; 
cm33,4
300
5625
A
Ii XX ============ ; 
69
33,4
300
i
L
X
0
X ============λ ; 
3
22
X cm7506
15.20
6
h.bW ============ . 
20 
eYQ=2 
X 
Y 
15 
eXG=3 
L=
L o
=
30
0 
Nk 
Nk 
Seção Elevação 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 50/59 
c.2) Eixo Y : 
IY = 12
20.15 3
= 10000 cm4 ; 
cm77,5
300
10000
A
Ii YY ============ ; 
52
77,5
300
i
L
Y
0
Y ============λ ; 
 
3
22
Y cm10006
20.15
6
h.bW === . 
 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
d.1) determinação das tensões atuantes : 
 
2d
Nd cm/kN42,0300
126
A
N
===σ ; 
2
X
Xd
MXd cm/kN22,0750
168
W
M
===σ ; 
 
2
Y
Yd
MYd cm/kN14,01000
140
W
M
===σ . 
d.2) Verificação: 
====++++++++







d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc
f
.k
ff
σσσ
115,0
4,2
14,0
.5,0
4,2
22,0
4,2
42,0 2
<=++





 verifica ! 
====++++++++







d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f
σσσ
114,0
4,2
14,0
4,2
22,0
.5,0
4,2
42,0 2
<=++





 verifica ! 
 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade : 
e.1) eixo X : 
 λλλλ X = 69 (peça medianamente esbelta) : 
e.1.1) determinação de Md : 
cm5,0
30
15
30
h33,1
126
168
N
M
e
d
d1
i ==>=== ; 
cm1
300
300
300
L
e 0a ============ ; 
e1 = e i+ ea = 1,33 + 1 = 2,33 cm; 
kN3,846
300
5625.1372.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 51/59 
cm74,2
1263,846
3,846
.33,2
NF
F
.ee
dE
E
1d =





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 126. 2,74 = 345 kN.cm . 
e.1.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2d
Nd cm/kN42,0300
126
A
N
===σ ; 
2
X
d
Md cm/kN46,0750
345
W
M
===σ . 
e.1.3) verificação : 
 0,137,0
4,2
46,0
4,2
42,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
e.2) eixo Y : 
 λλλλ Y = 52 (peça medianamente esbelta) : 
e.2.1) determinação de Md : 
cm67,0
30
20
30
h11,1
126
140
N
M
e
d
d1
i ==>=== ; 
cm1
300
300
300
L
e 0a ============ ; 
e1 = ei + ea = 1,11 + 1 = 2,11 cm; 
kN5,1504
300
10000.1372.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
cm3,2
1265,1504
5,1504
.11,2
NF
F
.ee
dE
E
1d =





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 126. 2,3 = 290 kN.cm . 
e.2.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2d
Nd cm/kN42,0300
126
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md cm/kN29,01000
290
W
M
===σ . 
e.2.3) verificação : 
 0,130,0
4,2
29,0
4,2
42,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
 
Exercício 4.27 : (3o. TE/2008) Flexo-compressão: Verificar a condição de segurança da barra 
de madeira, flexo-comprimida, indicadas nas figuras. 
Considerar : 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 52/59 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira : CONÍFERA-C20, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
NGk = 20 kN (permanente), eYG = 7,5 cm (Esforço Normal); 
MQk = 250 kN.cm (sobrecarga) (Momento Fletor). 
Solução 
a) Combinação de ações (ELU) : 
GGd
F.N γ= = 1,4. 20 = 28 kN ; 
MQXd = 
Q
γ . MXk = 1,4. 250 = 350 kN. cm ; 
MGYd = Nd. eYG = 28. 7,5= 210 kN. cm . 
 
b) Propriedades mecânicas da CONÍFERA C-20 : 
fco,k = 20 MPa = 2,0 kN/cm2 ; 
fco,d = 4,1
0,2.56,0f.k
c
cok
mod
=
γ
 = 0,8 kN/cm2 ; 
Eco,m = 3500 MPa = 350 kN/cm2 ; 
Ec0,ef = 350.56,0E.k
commod
= = 196 kN/cm2. 
 
c) Características geométricas do pilar : 
d.1) Eixo X : 
A = 15 . 20 = 300 cm2 ; 
IX = 12
20.15 3
= 10000 cm4 ; 
cm77,5300
10000
A
Ii X
X
=== ; 
6677,5
380
i
L
X
0
X
===λ ; 
Nd= 28 kN 
MGYd = 210 kN.cm 
X 
MQXd = 350 kN.cm 
20 
15 
Y 
SEÇÃO 
L=
L o
=
38
0 
cm
 
Nk 
Nk 
7,5 
MQX
 
ELEVAÇÃO 
X 
Y 
eYG= 7,5cm 
15 
20
 
MQXk 
SEÇÃO 
Nk 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 53/59 
3
2
2
X
cm1000
6
20.15
6
h.bW === . 
d.2) Eixo Y : 
IY = 12
15.20 3
= 5625 cm4 ; 
cm33,4300
5625
A
Ii Y
Y
=== ; 
8833,4
380
i
L
Y
0
Y
===λ ; 
 
3
22
Y
cm750
6
15.20
6
h.bW === . 
 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
e.1) determinação das tensões atuantes : 
 
2
d
Nd
cm/kN09,0300
28
A
N
===σ ; 
 
2
X
Xd
MXd
cm/kN35,01000
350
W
M
===σ ; 
 
2
Y
Yd
MYd
cm/kN28,0750
210
W
M
===σ ; 
e.2) Verificação (equações 4.48 e 4.49) : 
====++++++++







d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc
f
.k
ff
σσσ 163,080,0
28,0.5,080,0
35,0
80,0
09,0 2
<=++





 verifica ! 
====++++++++






d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f
σσσ 158,008,0
28,0
80,0
35,0.5,080,0
09,0 2
<=++





 verifica ! 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : 
f.1) eixo X : 
 λλλλ X = 66 (peça medianamente esbelta) : 
f.1.1) determinação de Md : 
cm67,030
20
30
h5,1228
350
N
Me
d
d1
i
==>=== ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 54/59 
cm27,1300
380
300
Le 0
a
=== ; 
e1 = ei + ea = 12,5 + 1,27 = 13,77 cm ; 
kN8,133380
10000.196.
L
I.E.F
2
2
2
0
eixoef,0c
2
E
=
pi
=
pi
= ; 
cm4,17288,133
8,133.77,13NF
F.ee
dE
E
1d
=





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 28. 17,4 = 487,3 kN.cm 
f.1.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2
d
Nd
cm/kN09,0300
28
A
N
===σ ; 
 
2
X
d
Md
cm/kN49,01000
3,487
W
M
===σ . 
f.1.3) verificação : 
 0,173,080,0
49,0
80,0
09,0
ff
d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
f.2) eixo Y : 
 λλλλ Y = 88 (peça esbelta) : 
f.2.1) determinação de Md : 
cm50,030
15
30
h5,728
210
N
Me
d
d1
i
==>=== ; 
cm27,1300
380
300
Le 0
a
=== ; 
e1 = ei + ea = 7,5 + 1,27 = 8,77 cm ; 
kN4,75380
5625.196.
L
I.E.F
2
2
2
0
eixoef,0c
2
E
=
pi
=
pi
= ; 
φ = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 20 kN ; NQk = 0 kN ; 
ψ 1 = 0,3 ; ψ 2 = 0,2 ; 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c
ψψ
ψψφ
++++++++−−−−
++++++++
==== = 
( )[ ]
( )[ ] 288,000.2,03,0204,75
0.2,03,020.8,0
=
++−
++
 ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 55/59 
(((( )))) (((( ))))1e.eee caigc −−−−++++==== ( ) ( ) cm93,21e.27,15,7 288,0 =−+= ; 
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 7,5+ 1,27+ 2,93 = 11,7 cm ; 
cm.kN1,521284,75
4,75.7,11.28NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd
=





−
=





−
= . 
f.2.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2
d
Nd
cm/kN09,0300
28
A
N
===σ ; 2
Y
d
Md
cm/kN69,0750
1,521
W
M
===σ . 
f.2.3) verificação : 
 0,198,080,0
69,0
80,0
09,0
ff
d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
 
Exercício 4.28 : (Exame Final/2008) Verificar a 
condição de segurança da barra de madeira, flexo-
comprimida, indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira CEDRO DOCE, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 5 kN (permanente), NQk = 10 kN (vento de sobrepressão); 
Mx = MGXk = 150 kN.cm (permanente) , MY = MQYk = 120 kN.cm (vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) Combinação de ações (ELU) : 
Nd = 1,4. (NGk + 0,75. NQk) = 1,4. (5 + 0,75. 10) = 17,5 kN ; 
MGXd = 1,4. MGXk = 1,4. 150 = 210 kN.cm ; 
MQYd = 0,75. 1,4. MQYd = 0,75. 1,4. 120 = 126 kN.cm . 
 
b) Propriedades mecânicas da CEDRO DOCE : 
fco,m = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2 ; 
fco,k = 0,7. fco,m = 0,7. 3,15 = 2,21 kN/cm2 ; 
fco,d = 4,1
21,2.56,0f.k
c
cok
mod
=
γ
 = 0,88 kN/cm2 ; 
Eco,m = 8058 MPa = 805,8 kN/cm2 . 
15 
10 
Y 
Seção 
X 
MX 
MY 
X Y 
Elevação 
L=
L 0
,X
,Y
 
=
 
22
0 
Nk MY MX 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 56/59 
 
c) Características geométricas da barra : 
A = 10. 15 = 150 cm2 . 
c.1) Eixo X : 
IX = 12
15.10 3
= 2812,5 cm4 ; 
cm33,4150
5,2812
A
Ii X
X
=== ; 
51~8,5033,4
220
i
L
X
0
X
===λ ; 
3
2
2
X
cm375
6
15.10
6
h.bW === . 
c.2) Eixo Y : 
IY = 12
10.15 3
= 1250 cm4 ; 
cm89,2150
1250
A
Ii Y
Y
=== ; 
76~1,7689,2
220
i
L
Y
0
Y
===λ ; 
 
3
22
Y
cm250
6
10.15
6
h.bW === . 
 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
d.1) determinação das tensões atuantes : 
 
2
d
Nd
cm/kN12,0150
5,17
A
N
===σ ; 
2
X
Xd
MXd
cm/kN56,0375
210
W
M
===σ ; 
 
2
Y
Yd
MYd
cm/kN50,0250
126
W
M
===σ . 
d.2) Verificação: 
====++++++++







d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc
f
.k
ff
σσσ 194,088,0
50,0.5,088,0
56,0
88,0
12,0 2
<=++





 verifica ! 
====++++++++







d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f
σσσ 191,088,0
50,0
88,0
56,0.5,088,0
12,0 2
<=++





 verifica ! 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 57/59 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade : 
e.1) eixo X : 
 λX = 51 (peça medianamente esbelta) : 
e.1.1) determinação de Md : 
cm5,030
15
30
h125,17
210
N
Me
d
d1
i
==>=== ; 
cm73,0300
220
300
Le 0
a
=== ; 
e1 = e i+ ea = 12 + 0,73 = 12,73 cm; 
kN8,258220
5,2812.8,805.56,0.
L
I.E.k.F
2
2
2
0
eixom0cmod
2
E
=
pi
=
pi
= ; 
cm65,135,178,258
8,258.73,12NF
F.ee
dE
E
1d
=





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 17,5. 13,65 = 239,0 kN.cm . 
e.1.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
 
2
d
Nd
cm/kN12,0150
5,17
A
N
===σ ; 
2
X
d
Md
cm/kN64,0375
239
W
M
===σ . 
e.1.3) verificação : 
 0,185,088,0
64,0
88,0
12,0
ff
d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
e.2) eixo Y : 
 λY = 76 (peça medianamente esbelta) : 
e.2.1) determinação de Md : 
cm33,030
10
30
h2,75,17
126
N
Me
d
d1
i
==>=== ; 
cm73,0300
220
300
Le 0
a
=== ; 
e1 = ei + ea = 7,2 + 0,73 = 7,93 cm; 
kN0,115220
1250.8,805.56,0.
L
I.E.k.F
2
2
2
0
eixom0cmod
2
E
=
pi
=
pi
= ; 
cm36,95,17115
115.93,7NF
F.ee
dE
E
1d
=





−
=





−
= ; 
Md = Nd . ed = 17,5. 9,36 = 163,7 kN.cm . 
e.2.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 58/59 
 
2
d
Nd
cm/kN12,0150
5,17
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md
cm/kN66,0250
7,163
W
M
===σ . 
e.2.3) verificação : 
 0,187,088,0
66,0
88,0
12,0
ff
d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 59/59 
EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss ppprrrooopppooossstttooosss ::: 
 Exercício 4.29 : Resolver o exercício 4.2, aumentando a dimensão c= 5 cm para 10cm e 
para 15 cm, respectivamente, em duas tentativas. A solução só aparece na terceira 
tentativa, com c = 20 cm (Atenção para a variação de nα , conforme varia c). 
 Exercício 4.30 : Resolver o exercício 4.3, reduzindo a seção da peça para 7,5 X 7,5 cm2 , 
verificando a possibilidadeda peça ter assim mesmo a condição de segurança 
estabelecida. 
 Exercício 4.31 : Resolver o exercício 4.3, mantendo a seção da peça em 7,5 X 10 cm2 , 
determinando o máximo valor de Nd, para que a mesma tenha a condição de segurança 
estabelecida. 
 Exercício 4.32 : Resolver o exercício 4.3, reduzindo a seção da peça para 5 X 10 cm2 , 
verificando a possibilidade da peça ter assim mesmo a condição de segurança 
estabelecida. 
 Exercício 4.33 : Resolver o exercício 4.4, mantendo a seção da peça em 5 X 10 cm2 , 
determinando o máximo valor de Nd, para que a mesma tenha a condição de segurança 
estabelecida. (Fixar o valor de NGk, variando o valor de NQk) 
 Exercício 4.34 : Resolver o exercício 4.4, reduzindo a seção da peça para 5 X 7,5 cm2 , 
verificando a possibilidade da peça ter assim mesmo a condição de segurança 
estabelecida. 
 Exercício 4.35: Resolver o exercício 4.4, reduzindo a seção da peça para 7,5 X 7,5 cm2 , 
verificando a possibilidade da peça ter assim mesmo a condição de segurança 
estabelecida. 
 Exercício 4.36 : Resolver o exercício 4.22, reduzindo a seção da peça para 5 X 15 cm2 , 
em uma primeira tentativa, e 7,5 X 10 cm2 , em uma segunda tentativa. 
 Exercício 4.37 : Resolver o exercício 4.24, reduzindo a sua seção para 15 X 15 cm2 . 
 Exercício 4.38 : Resolver o exercício 4.26, reduzindo a sua seção para 15 X 15 cm2 . 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 1/68 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP666 
LLLIIIGGGAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS NNNAAASSS PPPEEEÇÇÇAAASSS EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAAIIISSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
666...111 EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss 
Exercício 6.1 : Projetar a emenda entre as peças de 
madeira indicadas nas figuras, usando parafusos 
como meio ligante. 
1- Madeira : Garapa Roraima. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; 
TGk = 12 kN (permanente) ; 
TQk = 15 kN (vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) montagem da emenda : 
será feita uma tentativa adotando-se 
duas peças laterais (cobre-juntas, 
também denominadas “mata-juntas”, na 
obra) de 2,5 X 15 cm2 . 
O dimensionamento destas peças pode ser feito como já realizado no exercício 4.1. 
 
b) combinação das ações : 
Td = 1,4. (12 + 0,75. 15) = 32,6 kN. 
 
c) propriedades mecânicas da Garapa Roraima : 
fc0m = 78,4 MPa = 7,84 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 7,84 = 5,48 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN20,24,1
48,5
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
d) escolha do diâmetro do parafuso : 
2,5 2,5 7,5 
15 
Tk 
Elevação Seção 7,5 
Tk 
15 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 2/68 
Uma sugestão razoável, que costuma trazer bons resultados finais, é tomar o diâmetro 
do parafuso situado entre 1/6 e 1/5 da espessura da peça mais grossa. 
Sendo assim : 50,1d25,1;5,7.
5
1d5,7.
6
1 ≤≤≤≤ ; ou seja : d = 1/2” ou 5/8”; 
Adotaremos d = 5/8” (1,6 cm), esperando uma maior capacidade do pino, em relação a d 
= 1/2”. 
 
e) resistência do parafuso na ligação : 
Como todas as peças envolvidas na ligação têm esforço paralelo às fibras, basta 
verificar as peças laterais, onde t = 2,5 cm (mais delgada). 
 t = t1 = t3 = 2,5 cm ; 
56,1
6,1
5,2
d
t
===β : este diâmetro não pode ser usado, pois t < 2d ! 
re-escolhendo o diâmetro, tomamos d = 1/2“ (1,27 cm) ; 
0,2~
27,1
5,2
d
t
==β verifica ! ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fed = fc0d = 2,20 kN/cm2 ; 
93,3
20,2
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN75,220,2.
2
5,2
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2 . RVd1 = 2 . 2,75 = 5,50 kN . 
 
f) número de parafusos necessários : 
φ=== 6~9,5
5,5
6,32
R
T
n
2Vd
d
 ; total na ligação (emenda) = 12 φ 
 
g) disposição dos parafusos : 
g.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,27 = 8,9 ~ 10 cm (multiplos de 2,5 cm) ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,27 = 7,7 ~ 10 cm ; 
BD = bordo descarregado = 4 .d = não há BD nesta ligação. 
g.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5 . 1,27 = 1,9 ~ 2,5 cm ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 3/68 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3 . 1,27 = 3,9 ~ 5 cm 
 
h) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.2 : Projetar a ligação entre as peças de 
madeira indicadas nas figuras, usando parafusos 
como meio ligante. 
1- Madeira : Dicotiledônea C-40. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; 
TGk = 6 kN (permanente) ; 
TQk = 6 kN (sobrecarga). 
Solução : 
O dimensionamento das peças de madeira pode ser feito como já realizado no cap. 4. 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (6 + 6) = 16,8 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da dicotiledônea C-40 : 
fc0k = 40 MPa = 4 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN60,14,1
4
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do diâmetro do parafuso : 
sendo “e” a espessura da peça mais grossa envolvida na ligação : 
0,2d6,1;10.
5
1d10.
6
1;e.
5
1de.
6
1 ≤≤≤≤≤≤ ; 
ou seja : d = 5/8” ou 3/4”; 
2,5 
5 
5 
2,5 
10 10 10 1/2" 
20 130mm 
12 parafusos φφφφ = ½” – 6 cada ligação 
25 
10 3,75 3,75 
25 
Tk 
Elevação 
Seção 
15 
Tk 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 4/68 
Adotaremos d = 3/4” (1,9 cm), esperando uma maior capacidade do pino. 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 3,75 cm . 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 3,75 cm ; 
 
00=α ; 
2~
9,1
75,3
d
t
==β 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fed = fc0d = 1,60 kN/cm2 ; 
61,4
60,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN5,460,1.
2
75,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 4,5 = 9,0 kN . 
d.2) peça central : 
 ===
2
10
2
tt 2 5,0 cm ; 
 
090=α ; 
63,2
9,1
0,5
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,60 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,41 , para d = 1,9 cm ; 
fe90d = 0,25. 1,60. 1,41 = 0,56 kN/cm2 ; 
8,7
56,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN13,256,0.
63,2
0,5
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 5/68 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 2,13 = 4,25 kN . 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 4,25 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 4~9,3
25,4
8,16
R
T
n
2Vd
d
 . 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,9 = 13,3 ~ 15 cm ; 
 4.d = 4. 1,9 = 7,60 ~ 8 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,9 = 11,4 ~ 12 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,9 = 2,9 ~ 5 cm 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 1,9 = 2,9 ~ 3,75 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,9 = 5,79 ~ 7,5 cm 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
Em ligações entre peças não paralelas entre si, as distâncias exigidas para diâmetros 
adotados muito grandes, quase sempre são excessivas. Estas são , sem dúvida, as maiores 
dificuldades encontradas no projeto de estruturas de madeira. 
É mais conveniente, tendo-se escolha, optar em tais ligações por diâmetros não tão 
altos, e que apesar de oferecerem uma capacidade menor, podem adaptar-se melhor às 
dimensões das peças de madeira. 
3/4" 
20 
180mm 
4d 
1,5d 
6d 
7d 
7,5 
10 
Elevação 
5 
8 
12 
3,75 3,75 
Seção 
4 parafusos φφφφ = 3/4” 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 6/68 
Percebe-se com clareza que, no projeto de estruturas de madeira treliçadas, as 
dimensões finais das peças de madeira quase sempre obedecem às necessidades construtivas 
das ligações, ao invés de satisfazer aos esforços a elas aplicados. 
Isto pode ser constatado na verificação à tração do montante vertical tracionado desta ligação. 
 
Exercício 6.3 : Projetar a ligação proposta no exercício 6.2, usando parafusos com d = 5/8”. 
1- Madeira : Dicotiledônea C-40. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; 
TGk = 6 kN (permanente) ; 
TQk = 6 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (6 + 6) = 16,8 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da dicotiledônea C-40 : 
fc0k = 40 MPa = 4 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN60,14,1
4
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do diâmetro do parafuso : 
Adotaremos d = 5/8” (1,6 cm) . 
Verifica-se a condição d2t ≥ , qual seja : t = 3,75 > 2.1,6 = 3,2 . 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 3,75 cm ; 
 
00=α ; 
34,2
6,1
75,3
d
t
===β 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fed = fc0d = 1,60 kN/cm2 ; 
25 
Elevação 
Tk 
15 
25 
10 3,75 3,75 
Tk 
Seção 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 7/68 
61,4
60,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN85,360,1.
34,2
75,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 3,85 = 7,70 kN . 
d.2) peça central : 
 ===
2
10
2
tt 2 5,0 cm ; 
 
090=α ; 
13,3
6,1
0,5
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,60 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25. fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,52 , para d = 1,6 cm ; 
Notar que diâmetros menores acentuam o efeito de compressão localizada, melhorando 
a eficiência proporcional do pino. Eα passou de 1,41 para 1,52 . 
fe90d = 0,25. 1,60. 1,52 = 0,61 kN/cm2 ; 
47,7
61,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN95,161,0.
13,3
0,5
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 1,95 = 3,90 kN . 
Aqui pode-se quantificar a maior eficiência proporcional da adoção do diâmetro menor : 
aumentando o diâmetro do parafuso de 5/8“ para 3/4" (+ 18,75 %), ganha-se apenas um 
acréscimo de 9% na resistência unitária. 
d.3) resistência efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 3,90 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 5~3,4
90,3
8,16
R
T
n
2Vd
d
. 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 8/68 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,6 = 11,2 ~ 12,5 cm ; 
 4.d = 4. 1,6 = 6,4 ~ 7,5 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,6 = 9,6 ~ 10 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,6 =2,4 adotado: 7,5 cm (sobrou espaço) 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 1,6 = 2,4 ~ 2,5 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,6 = 4,8 ~ 5 cm . 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações : 
Como resultado das especulações sobre a conveniência da adoção de um diâmetro 
menor, constata-se que a troca de 4 φ 3/4" por 5 φ 5/8" resultou em uma ligação mais 
compacta (a parte das peças verticais que sobressaem à linha inferior da estrutura é 
menor). Resta estabelecer se o custo dos 5 φ 5/8" é menor do que 4 φ 3/4". 
 
Exercício 6.4 : Projetar a ligação entre as peças de madeira indicadas nas figuras, usando 
parafusos como meio ligante. 
1- Madeira : Pinho do Paraná. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforços atuantes : 
5 
5 
5 
Elevação 
7,5 
7,5 
10 
2,5 2,5 
Seção 
5 
5 
5/8" 
20 180mm 
5 
5 
7,5 
7,5 
10 
2,5 2,5 5 
2a. solução 
5 parafusos φφφφ = 5/8” 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 9/68 
Tk = TGk + TQk ; 
TGk = 10 kN (permanente) ; 
TQk = 10 kN (sobrecarga). 
 
 
 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (10 + 10) = 28 kN. 
 
b) propriedades mecânicas do Pinho do Paraná : 
fc0m = 40,9 MPa = 4,09 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7. 4,09 = 2,86 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN14,14,1
86,2
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do diâmetro do parafuso : 
sendo “e” a espessura da peça mais grossa envolvida na ligação : 
0,3d5,2;15.
5
1d15.
6
1;e.
5
1de.
6
1 ≤≤≤≤≤≤ ; 
Adotaremos d = 5/8” (1,6 cm), já que os diâmetros recomendados são muito grossos. 
Já se constatou nos exemplos anteriores que diâmetros grossos exigem distâncias muito 
grandes entre pinos, e aos bordos das peças. 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 5 cm . 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças laterais : 
t = t1 = t3 = 5 cm ; 
00=α ; 
13,3
6,1
5
d
t
===β 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fed = fc0d = 1,14 kN/cm2 ; 
47,5
14,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
5 
600 
15 
20 
15 5 
Tk 
Elevação Seção 
Tk 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 10/68 
limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN64,314,1.
13,3
5
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
RVd2 = 2 . RVd1 = 2 . 3,64 = 7,3 kN . 
d.2) peça central : 
t = ===
2
15
2
tt 2 7,5 cm ; 
060=α ; 
69,4
6,1
5,7
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,14 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
Eα = 1,52 , para d = 1,6 cm ; 
fe90d = 0,25 . 1,14 . 1,52 = 0,43 kN/cm2 ; 
60cos.f60sen.f
f.ff
cos.fsen.f
f.ff 2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
d,60,e2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de +
==
α+α
=α ; 
2
22d,60,e cm/kN51,060cos.43,060sen.14,1
43,0.14,1f =
+
= ; 
17,8
51,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN45,251,0.
69,4
5,7
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
RVd2 = 2 . RVd1 = 2 . 2,45 = 4,90 kN . 
d.3) resistência efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 4,90 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 6~7,5
90,4
28
R
T
n
2Vd
d
 . 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,6 = 11,2 ~ 12 cm ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 11/68 
 4.d = 4.1,6 = 6,4 ~ 7,5 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,6 = 9,6 ~ 10 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,6 = 2,4 ~ 2,5 cm 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 1,6 = 2,4 ~ 2,5 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,6 = 4,8 ~ 5 cm 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.5 – (4oTE-2005) Projetar a ligação entre as peças de madeira indicadas nas figuras, 
solicitada à compressão, usando parafusos (d = 5/8”= 1,6cm) como meio ligante : 
1- E.L.U.=Combinação normal. 
2- Critério da NBR-7190/1997. 
3- Dimensões em centímetros. 
4- Madeira ANGELIM PEDRA, 2a. categoria : 
 fc,0,m = 59,8 MPa. 
5- Esforços atuantes : 
Ck = Cgk + Cqk , Cgk = 10 kN (permanente), 
Cqk = 4 kN ;(vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Cd = 1,4 . (10 + 0,75 . 4) = 18,2 kN. 
 
b) propriedades mecânicas de ANGELIM PEDRA : 
fc0m = 59,8 MPa = 5,98 kN/cm2 ; 
7,5 
2,5 
2,5 
7d 
Seção 
7,5 
Elevação 
2,5 
10 6d 
4d 
1,5d 
5 5 
5/8" 
20 250mm 
6 parafusos φφφφ = 5/8” 
Elevação 
120o 
16,5 
9 
Ck 
6,5
 
6,5
 
9 
 
5
 
Seção 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 12/68 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7 . 5,98 = 4,19 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN67,14,1
19,4
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) resistência do parafuso na ligação : 
a escolha do diâmetro do parafuso já foi estabelecida no enunciado : d = 5/8”. 
c.1) verificação da condição da NBR-7190 : 
d2)tmenor(t ≥ , ou seja : t = 4,5 > 2 . 1,6 = 3,2 . 
c.2) peças laterais : 
t = t1= 6,5 cm ; 060=α ; 
feod = fc0d = 1,67 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25. fc0d . Eα ; Eα =1,52 para d = 5/8” 
fe90d = 0,25. 1,67. 1,52 = 0,64 kN/cm2 ; 
α+α
=α 2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de cos.fsen.f
f.ff ; 
2
22d,60,e cm/kN75,060cos.64,060sen.67,1
64,0.67,1f =
+
= ; 
06,4
6,1
5,6
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
73,6
75,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
∴ limβ<β embutimento da madeira : 
kN13,375,0.
06,4
5,6
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
c.3) peça central : 
 ===
2
9
2
tt 2 4,5 cm ; 00=α ; 
8,2
6,1
5,4
d
t
===β ; 
2
yd cm/kN8,21f = ; 
fe0d = fc0d = 1,67 kN/cm2 ; 
52,4
67,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 13/68 
limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN81,467,1.
81,2
5,4
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
c.4) resistência efetiva do pino : 
prevalece o menor : RVd1 = 3,13 kN ∴ RVd2 = 2. RVd1 = 2. 3,13 = 6,26 kN . 
 
d) número de parafusos necessários : 
φ=== 3~9,2
26,6
2,18
R
C
n
2Vd
d
. 
 
e) disposição dos parafusos : 
e.1) direção paralela à carga : 
 BC = 4.d = 4. 1,6 = 6,4 ; 
BD = 4.d = 4. 1,6 = 6,4 ; 
1,5.d = 1,5. 1,6 = 2,4 . 
e.2) direção normal à carga : 
 BE = 1,5 . d = 1,5. 1,6 = 2,4 ; 
 EP = 3.d = 3. 1,6 = 4,8 . 
 
f) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.6 – (EF-2005) Projetar a ligação entre as peças de madeira indicadas nas figuras, 
solicitada à compressão, usando parafusos (d = 1/2”= 1,27 cm) como meio ligante : 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-20, 2a. categoria : 
 fc,0,K = 20,0 MPa. 
5) Esforços atuantes : 
Ck = Cgk + Cqk , Cgk = 3 kN (permanente), 
5 
3,25 
3,25 
2,5 6,5 
3 parafusos φφφφ = 5/8” 
130o 
Elevação 
Ck 
12 
16 Seção 
4 4 
Ck 
6,5 
5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 14/68 
Cqk = 7 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Cd = 1,4 . (3 + 7) = 14,0 kN. 
 
b) propriedades mecânicas de DICOTILEDÔNEA C-20: 
fcok = 20 MPa = 2,0kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN8,04,1
0,2
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) resistência do parafuso na ligação : 
a escolha do diâmetro do parafuso já foi estabelecida no enunciado : d = 1/2” (1,27 cm) . 
c.1) verificação da condição da NBR-7190 : 
 d2)tmenor(t ≥ , ou seja : t = t2/2 = 6,5/2 = 3,25 > 2. 1,27 = 2,54. verifica ! 
c.2) peças laterais : 
t = t1= 4 cm ; 050=α ; 
feod = fc0d = 0,8 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25. fc0d . Eα ; Eα =1,68 p/d=1/2” 
fe90d = 0,25. 0,8. 1,68 = 0,34 kN/cm2 ; 
α+α
=α 2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de cos.fsen.f
f.ff ; 
2
22d,50,e cm/kN45,050cos.34,050sen.8,0
34,0.8,0f =
+
= ; 
15,3
27,1
4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
74,8
45,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β . 
∴ limβ<β embutimento da madeira : 
kN90,045,0.
15,3
4
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
c.3) peça central : 
 ===
2
5,6
2
tt 2 3,25 cm ; 00=α ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 15/68 
56,2
27,1
25,3
d
t
===β ; 
2
yd cm/kN8,21f = ; 
fe0d = fc0d = 0,8 kN/cm2 ; 
53,6
8,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
limβ<β , 
portanto, embutimento da madeira : kN32,18,0.
56,2
25,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
c.4) resistência efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd1 = 0,91 kN ∴ RVd2 = 2. RVd1 = 2. 0,90 = 1,8 kN . 
 
d) número de parafusos necessários : 
"2/18~8,7
8,1
14
R
C
n
2Vd
d φ=== . 
 
e) disposição dos parafusos : f) croquis : 
e.1) direção paralela à carga : 
 BC = 4.d = 4. 1,27 = 5,1 ; 
 EP = 6.d = 6. 1,27 = 7,7 ; 
BD = 4.d = 4. 1,27 = 5,1 ; 
 1,5.d = 1,5. 1,27 = 1,9 . 
e.2) direção normal à carga : 
 BE = 1,5 . d = 1,5. 1,27 = 1,9 ; 
 EP = 3.d = 3. 1,27 = 3,9 . 
 
 
 
Exercício 6.7 : (4o. TE 2006) Projetar a ligação entre 
as peças (1) e (2) do nó de uma treliça de madeira 
indicado nas figuras, usando parafusos como meio 
ligante, segundo o critério da NBR-7190, 
considerando ; 
1- Diâmetro do parafuso d = ½” (1,27cm). 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Madeira : EUCALIPTO GRANDIS, 
8 parafusos φφφφ = 1/2” 
2 
3X4cm 
2 
4 
6 2 
Tk 
19
,5
 
3,25 
2,5 
90o 
SEÇÃO ELEVAÇÃO 
1 
2 45
o 
1 
2 
3,25 
9,5 
9,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 16/68 
2A. categoria, qualidade estrutural. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; TGk = 3 kN (permanente) ; TQk = 3,3 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (3 + 3,3) = 8,82 kN. 
 
b) propriedades mecânicas do EUCALIPTO GRANDIS : 
fc0m = 40,3 MPa = 4,03 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7 . 4,03 = 2,82 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN13,14,1
82,2
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do diâmetro do parafuso : 
Adotado d = 1/2” (1,27 cm), como estabelecido no enunciado. 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 3,25 cm : 
tMIN = 3,25 cm > 2 . 1,27 = 2,54. 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 3,25 cm ; 
 
00=α ; 
56,2
27,1
25,3
d
t
===β 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,13 kN/cm2 ; 
5,5
13,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN86,113,1.
56,2
25,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 1,86 = 3,72 kN . 
d.2) peça central : 
 ===
2
5,9
2
tt 2 4,75 cm ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 17/68 
 
090=α ; 
74,3
27,1
75,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,13 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,68 , para d = 1,27 cm ; 
fe90d = 0,25. 1,13. 1,68 = 0,47 kN/cm2 ; 
48,8
47,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN14,147,0.
74,3
75,4
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 1,14 = 2,28 kN . 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 2,28 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 4~9,3
28,2
82,8
R
T
n
2Vd
d
 . 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,27 = 8,9 cm ; 
 4.d = 4. 1,27 = 5,1 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,27 = 7,7 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,27 = 2 cm. 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 1,27 = 2 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,27 = 3,9 cm. 
 
g) croquis : 
 
 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 18/68 
Tk2 
Tk1 Tk,RES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.8 (EX.FINAL 2006) : Projetar a ligação entre as peças (1) e (2) do nó de uma 
treliça de madeira indicado nas figuras, usando parafusos como meio ligante, segundo o 
critério da NBR-7190, considerando ; 
1- Diâmetro do parafuso d = 5/8” (1,6cm). 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Madeira : AROEIRA DO SERTÃO, 
2A. categoria, qualidade estrutural. 
4- Esforços atuantes : 
Tk1 = TGk1 + TQk1 ; Tk2 = TGk2 + TQk2 
TGk1 = 30 kN ; TGk2 = 18 kN (permanentes) ; 
TQk1 = 50 kN ; TQk2 = 35 kN (sobrecargas) . 
 
Solução : 
a) combinação das ações : E.L.U. : Combinação normal : 
Tk,RESULTANTE = Tk1 - Tk2 = (TGk1 – TGk2) + (TQk1 – TQk2) ; 
Tk,RESULTANTE = (30 – 18) + (50 – 35) kN ; 
Tk,RESULTANTE = 12 kN + 15 kN ; 
Td = 1,4 . (12 + 18) = 37,8 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da AROEIRA DO SERTÃO : 
fc0m = 101,7 MPa = 10,17 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7 . 10,17 = 7,12 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN85,24,1
12,7
.56,0f.kf ==
γ
= . 
c) parafuso d = 5/8” = 1,6 cm. : 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 4,5 cm : 
tMIN = 4,5 cm > 2 . 1,6 = 3,2. 
 
 
Tk2 
Tk1 
2,5 
Tk2 
24
,5
 
ELEVAÇÃO 
1 
2 
2,5 
Tk1 
19,5 
4,5 
SEÇÃO 
9,5 4,5 
2 
1 
3 
3 
3 3 
3 
19,5 
6,5 
2,5 
2,5 
6,5 
8,0 
2,5 2,5 4,5 
4 parafusos φφφφ = 1/2” 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 19/68 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 4,5 cm ; 
 
00=α ; 
81,2
6,1
5,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,85 kN/cm2 ; 
46,3
85,2
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN2,885,2.
81,2
5,4
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 8,2 = 16,4 kN . 
d.2) peça central : 
 ===
2
5,9
2
tt 2 4,75 cm ; 
 
090=α ; 
97,2
6,1
75,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,85 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,52 , para d = 1,6 cm ; 
fe90d = 0,25. 2,85. 1,52 = 1,08 kN/cm2 ; 
61,5
08,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN29,308,1.
97,2
75,4
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 3,29 = 6,58 kN . 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 6,58 kN . 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 20/68 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 6~7,5
58,6
8,37
R
T
n
2Vd
d
 . 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 4.d = 4. 1,6 = 6,4 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,6 = 9,6 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,6 = 2,4 cm 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 1,6 = 2,4 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,6 = 4,8 cm. 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.9 : Projetar a ligação entre o montante e 
o banzo superior (asna) da tesoura composta por 
troncos de madeira, indicada nas figuras. 
1- Madeira : EUCALIPTO CITRIODORA, 
 2a. categoria, qualidade estrutural. 
2- Critério da NBR-7190. 
3- ELU : Combinação normal. 
4- Dimensões em centímetros. 
5- Esforços atuantes : Tk= TGk + TQk; 
TGk= 10 kN (permanente); 
TQk= 15 kN (vento de sobrepressão). 
Solução : 
A solução usual para este tipo de ligação é o 
uso de parafusos e cintas de aço, de pequena 
largura. A figura ao lado mostra esta solução. 
 
2,5 
24
,5
 
2,5 
19,5 
7 
10 2,5 
2,5 2,5 
2x 7,25 
6 parafusos φφφφ = 5/8” 
Seção 
Tk 
Elevação 
φφφφ =10 
φφφφ =10 
φφφφ =15 
Tk 
φφφφ =10 
φφφφ =15 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
L 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 21/68 
O dimensionamento da mesma será executado considerando-se o apoio dos 
parafusos na peça 2, e nas cintas de aço. 
Deverá ser feita a verificação das tensões de apoio da cinta de aço na peça 1, ao 
esmagamento. 
Também não deve deixar de ser ressaltado, o cálculo da capacidade dos parafusos, em 
contato com as tiras de aço : este cálculo será executado à luz da Norma NBR-8800. Estes 
mesmo procedimentos também foram indicados na solução do exercício proposto 6.19. 
As tensões de tração geradas na cinta de aço deverão ser verificadas para o esforço de 
tração respectivo. 
 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4. (10 + 0,75*. 15) = 29,8 kN. *redução da ação do vento, que é de curta 
duração, para transformar o resultado em efeito de longa duração. 
 
b) propriedades mecânicas do EUCALIPTO CITRIODORA : 
fc0m = 62,0 MPa = 6,2 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 6,2 = 4,34 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN74,14,1
34,4
.56,0f.kf ==
γ
= ; 
fc90d = 0,25. fc0d = 0,25. 1,74 = 0,43 kN/cm2 ; 
α+α
=α 2
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
dc cos.fsen.f
f.ff ; 
2
22d,60,c cm/kN53,060cos.43,060sen.74,1
43,0.74,1f =
+
= . 
 
c) escolha do diâmetro do parafuso : 
sendo “Φ” o diâmetro da peça a ser ligada (2) : 
0,2d6,1;10.
5
1d10.
6
1;.
5
1d.
6
1 ≤≤≤≤φ≤≤φ ; 
ou seja : d = 5/8” ou 3/4”; 
Adotaremos d = 5/8” (1,6 cm) ; 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o valor de “t” será 5,0 cm. 
( )cm2,36,1.2d.25t ==>= . 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) no contato com a chapa de aço (3) : 
 cálculo de acordo com a NBR-8800 : >> 11,12 kN . 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 22/68 
d.2) no contato com a peça central (2): 
 ===
2
10
2
tt 2 5,0 cm ; 
 
00=α ; 
13,3
6,1
0,5
dt
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,74 kN/cm2 ; 
43,4
74,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN56,574,1.
13,3
0,5
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 56,5 = 11,12 kN . 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 11,12 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 3~7,2
12,11
8,29
R
T
n
2Vd
d
. 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,6 = 11,2 ~ 12 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,6 = 9,6 ~ 10 cm ; 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5. d = 1,5. 1,6 = 2,4 ~ 5,0 cm. 
 
 
g) Verificação das tensões de contato na peça 1 : 
3.10
8,29
A
N
CONTATO
d
d1 ==σ = 0,99 kN/cm2 >> fc60d = 0,53. 
É necessário aumentar a área de contato ! 
L.10
8,29
A
N53,0
CONTATO
d
d1 ===σ ; 
1 
1 
d1σ 
L=3 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 23/68 
cm6,5
53,0.10
8,29L =≥ ~6 cm. 
 
h) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.10 : (4o. TE 2007) Projetar a ligação 
entre as peças de madeira indicadas nas figuras, 
usando parafusos como meio ligante. 
 DADOS : 
1- Diâmetro do parafuso d = ½” (1,25cm). 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Madeira : Dicotiledônea C-60, 
2A. categoria, qualidade estrutural. 
 4- Critério da NBR-7190. 
5- Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 5 kN (permanente) ; NQk = 25 kN (sobrecarga). 
 6- Estados limites últimos, combinações normais. 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Nd = 1,4. 5 + 1,4. 25 = 42 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da dicotiledônea C-60 : 
fc0k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN4,24,1
0,6
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) verificação da escolha do diâmetro do parafuso : 
Adotado d = 1/2” (1,25 cm), como estabelecido no enunciado. 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 3,75 (7,5/2) cm : 
tMIN = 3,75 cm > 2. 1,25 = 2,5. verifica! 
 
5/8" 
20 
110mm 
12 
10 
10 
5 
6 
SEÇÃO 
Nk 
5 5 7,5 
ELEVAÇÃO 
45o 
Nk 
15 
15 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 24/68 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peça central : 
 t = t2 /2 = 7,5 / 2 = 3,75 cm ; 
 
00=α ; 
3
25,1
75,3
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,4 kN/cm2 ; 
77,3
4,2
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento (esmagamento) da madeira : 
kN5,44,2.
0,3
75,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 4,5 = 9,0 kN . 
d.2) peças laterais : 
 cm5ttt 31 === ; 
 
045=α ; 
0,4
25,1
5
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,4 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,68 , para d = 1,27 cm ; 
fe90d = 0,25. 2,4. 1,68 = 1,01 kN/cm2 ; 
α+α
=α 2
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
dc cos.fsen.f
f.ff ; 
2
22d,45,c cm/kN42,145cos.01,145sen.4,2
01,1.4,2f =
+
= ; 
9,4
42,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN55,342,1.
4
5
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 25/68 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 3,55 = 7,1 kN . 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 7,1 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 6~9,5
1,7
42
R
T
n
2Vd
d
. 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 4.d = 4. 1,25 = 5,0 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,25 = 7,5 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,25 = 1,9 cm 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5.d = 1,5. 1,25 = 1,9 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,25 = 3,8 cm. 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
Exercício 6.11 : (EF 2007) Projetar a ligação entre 
as peças de madeira indicadas nas figuras, usando 
parafusos como meio ligante. 
 DADOS : 
1- Diâmetro do parafuso d = 3/8” (0,95cm). 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Madeira : CANELA, 2A. categoria, qualidade estrutural. 
 4- Critério da NBR-7190. 
5- Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 2 kN (permanente) ; NQk = 9,5 kN (vento). 
 6- Estados limites últimos, combinações normais. 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Nd = 1,4. 2 + 0,75. 1,4. 9,5 = 12,78 kN. 
6 parafusos φφφφ = 1/2” SEÇÃO ELEVAÇÃO 
15 
15 
2,5 
7,5 
5 
2,5 
2,5 5 5 
ELEVAÇÃO 
60o 
Nk 
12,5 
10 
SEÇÃO 
2,5 
Nk 
2,5 7,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 26/68 
 
b) propriedades mecânicas da CANELA : 
fc0m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. 4,87 = 3,41 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN36,14,1
41,3
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) verificação da escolha do diâmetro do parafuso : 
Adotado d = 3/8” (0,95 cm), como estabelecido no enunciado. 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 2,5 cm : 
tMIN = 2,5 cm > 2. 0,95 = 1,9 verifica! 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 2,5 cm ; 
 
00=α ; 
6,2
95,0
5,2
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,36 kN/cm2 ; 
0,5
36,1
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento (esmagamento) da madeira : 
kN30,136,1.
6,2
5,2
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 1,30 = 2,60 kN . 
d.2) peça central : 
 cm75,3
2
5,7
2
tt 2 === ; 
 
060=α ; 
95,3
95,0
75,3
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,36 kN/cm2 ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 27/68 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,95 , para d = 0,95 cm ; 
fe90d = 0,25. 1,36. 1,958 = 0,66 kN/cm2 ; 
α+α
=α 2
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
dc cos.fsen.f
f.ff ; 
2
22d,60,c cm/kN76,060cos.66,060sen.36,1
66,0.36,1f =
+
= ; 
68,6
76,0
8,21
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN08,176,0.
95,3
75,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 1,09 = 2,18 kN . 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 2,18 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 6~9,5
18,2
78,12
R
N
n
2Vd
d
. 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 4.d = 4. 0,95 = 3,8 ~ 4 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 0,95 = 5,7 ~ 6 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 0,95 = 1,5 cm. 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5.d = 1,5. 1,25 = 1,9 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,25 = 3,8 cm. 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
6 parafusos φφφφ = 3/8” 
2,0 
ELEVAÇÃO 
5,0 
3,0 
3,0 
2,0 
5,0 
2,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturasde Madeira CAP.6 pg. 28/68 
19 
ELEVAÇÃO 
60o 
Ck 
9 
SEÇÃO 
4 
Ck 
4 4 
Exercício 6.12 : (4º.TE 2008) Projetar a ligação entre 
as peças de madeira indicadas nas figuras, usando 
parafusos d=3/8” (0,95cm) como meio ligante. 
Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira : ANGELIM FERRO, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
Ck = CGk + CQk ; CGk = 8 kN (permanente),CQk = 12 kN (sobrecarga). 
 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (8 + 12) = 28 kN. 
 
b) propriedades mecânicas do ANGELIM FERRO : 
fc0m = 79,5 MPa = 7,95 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7. 7,95 = 5,565 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN226,24,1
565,5.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) diâmetro do parafuso : 
Indicado d = 3/8” (0,95 cm). 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 2 cm (peça central). 
 
d) resistências do parafuso na ligação : 
d.1) peça central : 
t = t2/2 = 4/2 = 2 cm ; 
00=α ; 
105,295,0
2
d
t
===β 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fed = fc0d = 2,226 kN/cm2 ; 
91,3226,2
8,21.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 29/68 
limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN69,1226,2.105,2
2.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd
==β= ; 
RVd2 = 2 . RVd1 = 2. 1,69 = 3,38 kN . 
d.2) peças laterais : 
t = ==
31
tt 4 cm ; 
060=α ; 
21,495,0
4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,226 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
Eα = 1,95 , para d = 0,95 cm ; 
fe90d = 0,25. 2,226. 1,95 = 1,085 kN/cm2 ; 
60cos.f60sen.f
f.ff
cos.fsen.f
f.ff 2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
d,60,e2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de +
==
α+α
=α ; 
2
22
d,60,e
cm/kN244,160cos.085,160sen.226,2
085,1.226,2f =
+
= ; 
23,5244,1
8,21.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN89,1244,1.21,4
4.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd
==β= ; 
RVd2 = 2 . RVd1 = 2. 1,89 = 3,78 kN . 
d.3) resistência efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 3,38 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 9~3,838,3
28
R
Cn
2Vd
d
. 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 4.d = 4. 0,95 = 3,8 ~ 4 cm ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 30/68 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 0,95 = 5,7 ~ 6 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 0,95 = 1,5 ~ 2 cm 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5. d = 1,5. 0,95 = 1,5 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 0,95 = 2,9 ~ 3 cm 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.13 : (Exame Final 2008) Projetar a ligação entre as peças de madeira indicadas 
nas figuras, usando parafusos (� = 3/8”) como meio ligante. 
1- Madeira : AROEIRA DO SERTÃO, 2ª. 
categoria, qualidade estrutural. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190/1997. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; TGk = 6 kN (permanente) ; 
TQk = 10 kN (sobrecarga). 
 5- Estado Limite Último – combinação normal. 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (6 + 10) = 22,4 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da AROEIRA do SERTÃO : 
fc0m = 101,7 MPa = 10,17 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0k = 0,7. 10,17 kN/cm2 = 7,12 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN85,24,1
12,7.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) verificação do diâmetro do parafuso : 
9 parafusos φφφφ = 3/8” 
19 
ELEVAÇÃO 
3 
SEÇÃO 
4 4 4 
3 
1,5 
1,5 
5 
6 
6 
4 
Elevação 
Tk 
10 
12,5 
12,5 
7,5 
 
2,5 
2,5 
Tk 
Seção 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 31/68 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 2,5 cm (2,5 > 2.0,95=1,9). 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 2,5 cm ; 
 
00=α ; 
63,295,0
5,2
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fed = fc0d = 2,85 kN/cm2 ; 
46,385,2
8,21.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN71,285,2.63,2
5,2.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd
==β= 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 2,71 = 5,42 kN . 
d.2) peça central : 
 === 2
5,7
2
tt 2 3,75 cm ; 
 
090=α ; 
95,395,0
75,3
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,85 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,95 , para d = 0,95 cm ; 
fe90d = 0,25. 2,85. 1,95 = 1,39 kN/cm2 ; 
95,439,1
8,21.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN98,139,1.95,3
75,3.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd
==β= 
 RVd2 = 2. RVd1 = 2. 1,98 = 3,96 kN . 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 32/68 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd2 = 3,96 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 6~7,596,3
4,22
R
Tn
2Vd
d
 . 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7. d = 7. 0,95 = 6,7 ~ 7 cm ; 
 4. d = 4. 0,95 = 3,8 ~ 4 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6. d = 6. 0,95 = 5,7 ~ 6 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5. d = 1,5. 0,95 = 1,5 ~ 2 cm. 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5. d = 1,5. 0,95 = 1,5 ~ 2 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3. d = 3. 0,95 = 2,9 ~ 3 cm 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.14 : (Nova Avaliação 2008) Projetar a ligação entre 
as peças de madeira indicadas nas figuras, usando parafusos (� 
= 3/8”= 0,95cm) como meio ligante. 
1- Madeira : PINUS ELLIOTTII, 2ª. categoria, 
qualidade estrutural. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190/1997. 
3/8" 
25 
125mm 
1,5d 
7d 
Elevação 5 
2 
Seção 
6 parafusos φφφφ = 3/8” 
1,5d 
6d 4d 1,5d 
6 4 2,5 
7,5 
2 
3 
3 
ELEVAÇÃO 
Tk 
12
,5
 
2,
5 5 
Tk 
SEÇÃO 
2,
5 5 5 
12
,5
 
7,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 33/68 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; TGk = 2,5 kN (permanente) ; TQk = 3,0 kN (sobrecarga). 
 5- Estado Limite Último – combinação normal. 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (2,5 + 3,0) = 7,7 kN. 
 
b) propriedades mecânicas do PINUS ELLIOTTII : 
fc0m = 40,4 MPa = 4,04 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0k = 0,7. 4,04 kN/cm2 = 2,83 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN13,14,1
83,2.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) verificação do diâmetro do parafuso : 
Verifica-se a condição d2t ≥ , já que o menor valor de “t” será 2,5 cm (2,5> 2.0,95=1,9). 
 
d) resistência do parafuso na ligação : 
d.1) peças verticais : 
 t = t1 ou t3/2 = 2,5 ou 5/2 = 2,5cm ; 
 
00=α ; 
63,295,0
5,2
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fed = fc0d = 1,13 kN/cm2 ; 
49,513,1
8,21.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN07,113,1.63,2
5,2.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd
==β= 
 RVd4 = 4. RVd1 = 4. 1,07 = 4,28 kN . 
d.2)peças horizontais : 
 === 2
0,5
2
tt 2 2,5 cm ; 
 
090=α ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 34/68 
63,295,0
5,2
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN8,2110,1
0,24ff ==
γ
= ; 
fe0d = 1,13 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
 Eα = 1,95 , para d = 0,95 cm ; 
fe90d = 0,25. 1,13. 1,95 = 0,55 kN/cm2 ; 
87,755,0
8,21.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
 limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN53,055,0.63,2
5,2.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd
==β= 
 RVd4 = 4. RVd1 = 4. 0,53 = 2,12 kN . 
d.3) capacidade efetiva do pino : 
prevalece o menor valor : RVd4 = 2,12 kN . 
 
e) número de parafusos necessários : 
φ=== 4~7,312,2
7,7
R
Tn
2Vd
d
 . 
 
f) disposição dos parafusos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7. d = 7. 0,95 = 6,7 ~ 7 cm ; 
 4. d = 4. 0,95 = 3,8 ~ 4 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6. d = 6. 0,95 = 5,7 ~ 6 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5. d = 1,5. 0,95 = 1,5 ~ 2 cm. 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5. d = 1,5. 0,95 = 1,5 ~ 2 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3. d = 3. 0,95 = 2,9 ~ 3 cm 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
3/8" 
25 
200mm 
4 parafusos φφφφ = 3/8” 1,5d 
5 
2 
4d 
1,5d 1,5d 3d 
3,5 2 
7d 2,5 
4 
6 6d 
Elevação 
Seção 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 35/68 
Exercício 6.15 : Projetar a emenda do exercício 6.1, 
entre as peças de madeira indicadas nas figuras, 
usando pregos como meio ligante. 
a. Madeira : Garapa Roraima. 
b. Dimensões em centímetros. 
c. Critério da NBR-7190. 
d. Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; TGk = 12 kN (permanente) ; TQk = 15 kN (vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) montagem da emenda : 
repetiremos a montagem do exercício 
6.1, adotando duas peças laterais de 
2,5 X 15 cm2 . 
 
b) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (12 + 0,75 . 15) = 32,6 kN. 
 
c) propriedades mecânicas da Garapa Roraima : 
fc0m = 78,4 MPa = 7,84 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7 . 7,84 = 5,48 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN20,24,1
48,5
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
d) escolha do prego : 
d.1) diâmetro do prego : 
Uma sugestão razoável, que costuma trazer bons resultados finais, é tomar o 
diâmetro do prego situado entre 1/10 e 1/7 da espessura da peça mais delgada. 
Sendo assim : mm6,3dmm5,2;mm25.
7
1dmm25.
10
1 ≤≤≤≤ ; 
Como d ≥ 3,0 mm (NBR-7190), os diâmetros sugeridos são d = 3,0 ou 3,4 mm. 
Adotaremos d = 3,4 mm, o mais grosso dos sugeridos, esperando uma maior 
capacidade do prego. 
d.2) comprimento do prego : 
Devemos sempre tentar a escolha de um comprimento do prego suficientemente 
longo, para possibilitar o maior número possível de seções de corte. 
Neste caso : 
2,5 2,5 7,5 
15 
Tk 
Elevação 
Seção 
7,5 
15 Tk 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 36/68 



=++
=++
=
mm125257525
mm1414,3.127525
valormenorL SC2,MIN
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consultando a tabela 23, vemos que para este diâmetro, o maior comprimento 
disponível comercialmente é 83 mm, impossibilitando as duas seções de corte. 
Desta forma, resta a opção de manter o diâmetro e projetar ligações com apenas 
uma seção de corte : 
 



=+
=+
=
mm1007525
mm664,3.1225
valormenorL SC1,MIN 
O prego utilizado portanto, será a bitola 
(18 X 30) : 
 
 
 
d.3) análise da interferência dos pregos que 
são cravados de faces opostas : 
Podemos usar pregos espaçados em 6d, 
na direção da carga, e considerar no 
calculo t = t2 = 7,5 cm, ou colocar os 
pregos de topo (desencontrados) e 
considerar t = t2/2 = 3,75 cm. Como no 
dimensionamento vai prevalecer t = t1 = 
2,5 cm, a segunda opção vai possibilitar 
uma ligação mais compacta. 
 
d.4) verificação das condições da NBR-7190 : 
 cm7,134,0.5)d4ou(d.5)adalgdemaispeçana(5,2t ==≥= . verifica ! 
 
t3 
t4 
t2 
t1 
d 
pregos : 
0ef ddse**
**d4oud5t
====
≥≥≥≥
*ou
t
2
t
,t
t
3
2
1





==== 



====
≥≥≥≥
3
4 t
d.12
t 
2
t2
 
2
t2
 
L = 69mm 
d = 3,4 mm 
t4 
t2 t1 
d 
pregos : 
0ef ddse**
**d4oud5t
====
≥≥≥≥
*ou
t
t
t
2
1



=



=
≥
2
4 t
d.12
t 
2
t2
2
t2
t4 
6d 
t2 
t4 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 37/68 
e) resistência do prego na ligação : 
Como todas as peças envolvidas na ligação têm esforço paralelo às fibras, basta 
verificar as peças laterais, onde t = 2,5 cm (mais delgada). 
 t = t1 = t3 = 2,5 cm ; 
35,7
34,0
5,2
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,20 kN/cm2 ; 
22,6
20,2
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ>β , portanto, flexão do pino ; 
kN63,055,54.
22,6
34,0
.625,0f.d.625,0R
2
yd
lim
2
1Vd ==β= . 
 
f) número de pregos necessários : 
52
63,0
6,32
R
T
n
1Vd
d
=== , 26 em cada face ; 
Serão colocados 54, por simetria ; total na ligação (emenda) = 108 φ 
 
g) disposição dos pregos : 
g.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 0,34 = 2,4 ~ 2,5 cm ; 
 EP = entre pregos consecutivos = 6.d = 6. 0,34 = 2,1 ~ 2,5 cm ; 
BD = bordo descarregado = 4.d = não há BD nesta ligação. 
g.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5 . 0,34 = 0,6 ~ 1,5 cm ; 
 EP = entre linhas de pregos = 3.d = 3 . 0,34 = 1,1 ~ 1,5 cm . 
 
h) croquis : 
 
 
 
 
 
 
2,5 2,5 2,5 2,5 
10
 
X 
1,
5 
cm
 
 
15
 
108 pregos 18X30, 54 cada face 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 38/68 
Exercício 6.16 : Projetar a emenda entre as peças de madeira indicadas nas figuras, usando 
pregos como meio ligante. 
1- Madeira : Garapa Roraima. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; 
TGk = 12 kN (permanente) ; 
TQk = 15 kN (vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) montagem da emenda : 
serão colocadas três cobre-juntas : 2 
peças laterais de 2,5 X 15 cm2 e 1 peça 
central de 3,75 X 15 cm2. 
 
b) combinação das ações : 
Td = 1,4. (12 + 0,75. 15) = 32,6 kN. 
 
c) propriedades mecânicas da Garapa Roraima : 
fc0m = 78,4 MPa = 7,84 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7. 7,84 = 5,48 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN20,24,1
48,5
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
d) escolha do prego : 
d.1) diâmetro do prego : 
Adotaremos d = 3,4 mm, como já feito no exercício anterior. 
d.2) comprimento do prego : 
Podemos tentar a escolha de um comprimento de prego suficientemente longo, 
para possibilitar ligação com 3 ou 4 seções de corte, mas não haverá 
comprimento disponível comercialmente. 
Neste caso : 



=++
=++
=
mm1005,375,3725
mm1044,3.125,3725
valormenorL SC2,MIN 
Consultando a tabela 23, vemos que para este diâmetro, o maior comprimento 
disponível comercialmente é 83 mm, impossibilitando as duas seções de corte. 
Tk 
Elevação 
Seção 
3x3,75 
Tk 
15 
2,5 
3x3,75 
2,5 
15 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 39/68 


=+
=+
=
mm1007525
mm664,3.1225
valormenorL SC1,MIN 
d.3) re-escolha do prego : 
Escolheremos d = 4,4 mm, que oferece comprimento de 100 mm, mínimo 
necessário para possibilitar uma ligação com 2 seções de corte. No caso de 5 
peças de madeira envolvidas na ligação, é importante que os pregos trabalhem no 
mínimo com duas seções de corte, para evitar que cada ligação tenha que ser 
executada em duas etapas. 
d.4) comprimento do prego : 
 



=++
=++
=
mm1005,375,3725
mm1154,4.125,3725
valormenorL SC2,MIN 
O prego utilizado portanto, será a bitola (20 X 48) : 
d.5) análise da interferência dos pregos que são cravados de faces opostas : 
Usaremos pregos espaçados em 6d, vindos de faces opostas, e consideraremos 
no calculo t = t3 = 3,75 cm. 
 
 
 
 
 
 
e) resistência do prego na ligação : 
Como todas as peças envolvidas na ligação têm esforço paralelo às fibras, basta 
verificar as peças laterais, onde t = 2,5 cm (mais delgada). 
 t = t1 = 2,5 ou t3 = 3,75 ; portanto t = 2,5 cm , 
 t = t2/2 = 3,75/2 = 1,875 ; 
Como se percebe, nesta ligação, o cálculo será feito em 
função de t2/2 = 1,875. Assim, não convém distanciar os 
pregos de faces opostas em 6d, mas sim, colocá-los de 
topo, o que condensa a ligação em termos de espaço 
ocupado, e não altera a resistência do prego. Estas 
circunstâncias ocorreram no exercício anterior, também. 
t = t2/2 = 3,75/2 = 1,875 ; 
26,4
44,0
875,1
d
t
===β ; 
L = 110 mm 
d = 4,4 mm 
6d 
3t
2
t3
2
t3
6d 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 40/68 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,20 kN/cm2 ; 
22,6
20,2
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira. 
 kN73,020,2.
26,4
875,1
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
RVd2 = 2 . RVd1 = 2 . 0,73 = 1,46 kN . 
Verificação das condições da NBR-7190 : 
cm20,244,0.5)d4ou(d.5)tpeçana(875,1t 2 ==≥= ; não verifica ! 
é necessário especificar d0 = def, e verificar t = 1,875 > 4.d = 4. 0,44 = 1,76 verifica ! 
 
f) número de pregos necessários : 
:24~4,22
46,1
6,32
R
T
n
1Vd
d
=== , 12 em cada face ; total na ligação (emenda) = 48 φ 
 
g) disposição dos pregos : 
g.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 0,44 = 3,1 ~ 5 cm ; 
 EP = entre pregos consecutivos = 6.d = 6. 0,44 = 2,7 ~ 5 cm ; 
BD = bordo descarregado = 4.d = não há BD nesta ligação. 
g.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5. d = 1,5. 0,44 = 0,7 ~ 2,5 cm ; 
 EP = entre linhas de pregos = 3. d = 3. 0,44 = 1,4 ~ 2,0 cm . 
 
 
h) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
2,
5 
 
2,
5 
 
5 
5 
X 
2,
0 
cm
 
 
15
 
48 pregos 20X48 – 24 cada face 
5 5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 41/68 
Exercício 6.17 : Projetar a ligação correspondente ao nó de uma tesoura de madeira, indicado 
nas figuras, usando pregos como meio ligante. 
1- Madeira : Conífera C-25. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; 
TGk = 6 kN (permanente) ; 
TQk = 5 kN (vento de sobrepressão). 
5- Notar que as peças de madeira têm dimensões finais correspondentes ao trabalho de 
plainagem em todas as faces. 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (6 + 0,75 . 5) = 13,7 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da Conífera C-25 : 
fc0k = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN0,14,1
5,2
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do prego : 
c.1) diâmetro do prego : 
Sendo “e” = 4 cm, a espessura da peça mais delgada : 
mm7,5dmm4;mm4.
7
1dmm4.
10
1 ≤≤≤≤ ; 
Os diâmetros sugeridos são d = 3,9 , 4,4 ou 4,9 mm. 
Escolhendo d = 4,9 mm, temos : 
 c.2) comprimento do prego : 
 



=++
=++
=
mm145406540
mm1649,4.126540
valormenorL SC2,MIN 
Consultando a tabela 23, vemos que para este diâmetro, o maior comprimento 
disponível comercialmente é 124 mm, impossibilitando as duas seções de corte. 
Temos portanto duas soluções para a ligação : 
1a.) ligação com 2 seções de corte : 
Adotamos um diâmetro maior, que ofereça um comprimento mínimo de 145 
mm, como pode ser a bitola 23 X 66 (d = 5,9 mm ; L = 152 mm). 
2a.) ligação com 1 seção de corte, mantendo o diâmetro d = 4,9 mm. 
Tk 
4 6,5 
Seção 
4 
Elevação 
Tk 
9 
9 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 42/68 
Esta opção será adotada em uma primeira tentativa, para avaliar o 
resultado. 
 



=+
=+
=
mm1056540
mm999,4.1240
valormenorL SC1,MIN 
O prego utilizado portanto, será a bitola (21 X 45) : 
 
c.3) análise da interferência dos pregos que 
serão cravados de faces opostas : 
 São duas possibilidades de disposição : 
 
1a.) dispor os pregos que serão cravados de 
faces opostas de topo (alinhados), com a 
precaução de desencontrá-los, e tomar para o 
cálculo da resistência t = t2 /2. 
 
2a.) Podemos usar pregos que serão cravados de faces opostas, espaçados em 6d, na 
direção da carga, e considerar no calculo t = t2. 
 Adotaremos a 2a. disposição : 
 
c.4) verificação das condições da NBR-7190 : 
 cm5,249,0.5)d4ou(d.5)adalgdemaispeçana(cm4t ==≥= verifica ! 
 
d) resistência do prego na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 4 cm ; α = 90o ; 
16,8
49,0
0,4
d
t
===β 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,0 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 2,5 para d < 0,62 cm ; 
fe90d = 0,25 . 1,0 . 2,5 = 0,625 kN / cm2 ; 
68,11
625,0
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira. 
L = 104 mm 
d = 4,9 mm 
6d 
t2 2
t2
2
t2
t4 
t4 
1a. disposição 2a. disposição 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 43/68 
kN49,0625,0.
16,8
4
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
d.2) peça central : 
 t = t2 = 6,5 cm ; α = 0o ; 
3,13
49,0
5,6
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,0 kN/cm2 ; 
23,9
0,1
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ>β , portanto, flexão do pino : 
kN89,055,54.
23,9
49,0
.625,0f.d.625,0R
2
yd
lim
2
1Vd ==β= . 
 Neste ponto, é possível fazer um raciocínio : a opção de desencontrar os 
pregos de faces opostas (2a. disposição, adotada nesta tentativa), revelou-se 
inócua : a definição de RVd1 dá-se pelo menor valor de calculo (para as peças 
laterais). É oportuno rever a escolha para a 1a. disposição, colocando os pregos 
que vêm de faces opostas de topo, tomando o cuidado de desencontrá-los. 
 
 1a. disposição : 
e) resistência do prego na ligação : 
e.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 4 cm ; α = 90o ; 
16,8
49,0
0,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,0 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 2,5 para d < 0,62 cm ; 
fe90d = 0,25 . 1,0 . 2,5 = 0,625 kN / cm2 ; 
68,11
625,0
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
limβ<β , portanto, esmagamento da madeira. 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 44/68 
kN49,0625,0.
16,8
4
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
e.2) peça central : 
t= t2 /2 = 6,5 /2 = 3,25 cm ; α = 0o ; 
63,6
49,0
25,3
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,0 kN/cm2 ; 
23,9
0,1
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira : 
kN64,00,1.
63,6
25,3
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
e.3) resistência efetiva do pino : 
 RVd1 = 0,49 kN . 
 Como se viu, a 1a. opção de disposição é a melhor; o valor de RVd1 
permaneceu igual (= 0,49 kN), e a disposição dos pregos ficará mais compacta, 
em termos de distâncias. A opção por defasar os pregos de faces opostas quase 
sempre não se mostra conveniente. 
 
f) número de pregos necessários : 
φ=== 30~28
49,0
7,13
R
T
n
1Vd
d
 (por simetria na disposição final), 15 em cada face. 
 
g) disposição dos pregos : 
g.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7. d = 7. 0,49 = 3,5 ~ 4 cm ; 
 = bordo carregado = 4. d = 4. 0,49 = 2,0 cm ; 
 EP = entre pregos consecutivos = 6. d = 6. 0,49 = 3,0 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5. d = 1,5. 0,49 = 0,8 ~ 2,0 cm . 
g.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5. d = 1,5. 0,49 = 0,8 ~ 1,5 cm ; 
 EP = entre linhas de pregos = 3. d = 3. 0,49 = 1,5 cm . 
 
h) croquis : 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 45/68 
Seção Elevação 
4x1,5cm 
1,5 1,5 
1 
2 
4 
 9 
 9 
3 
3 
30 pregos 21X45 – 15 cada face 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.18 : Projetar a ligação correspondente ao exercício 6.17, usando pregos com duas 
seções de corte, como meio ligante. 
1- Madeira : Conífera C-25. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; 
TGk = 6 kN (permanente) ; 
TQk = 5 kN (vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (6 + 0,75 . 5) = 13,7 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da Conífera C-25 : 
fc0k = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN0,14,1
5,2
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do prego : 
c.1) diâmetro do prego : 
adotemos o prego 23 X 66, conforme sugerido na 1a. solução, item “c”, do 
exercício 6.7 : 
 d = 5,9 mm , L = 152 mm. 
 
L = 152 mm 
d = 5,9 mm 
Elevação 
Tk 
Tk 
6,5 
Seção 
9 
9 
4 4 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 46/68 
c.2) verificação do comprimento do prego : 
 



=++
=++
=
mm145406540
mm1769,5.126540
valormenorL SC2,MIN verifica ! 
c.3) verificação das condições da NBR-7190 : 
 cm0,359,0.5)d4ou(d.5cm25,3t ==≥= verifica ! 
 
d) resistência do prego na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 4 cm ; α = 90o ; 
78,6
59,0
0,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,0 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 2,5 para d < 0,62 cm ; 
fe90d = 0,25 . 1,0 . 2,5 = 0,625 kN / cm2 ; 
68,11
625,0
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira : 
kN59,0625,0.
78,6
4
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
RVd2 = 2 . RVd1 = 2 . 0,59 = 1,18 kN . 
d.2) peça central : 
 t = t2 /2 = 6,5 /2cm = 3,25 cm ; α = 0o ; 
51,5
59,0
25,3
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,0 kN/cm2 ; 
23,9
0,1
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira : 
kN77,00,1.
51,5
25,3
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 47/68 
RVd2 = 2 . RVd1 = 2 . 0,77 = 1,54 kN . 
d.3) resistência efetiva dos pregos : 
prevalece o menor valor : kN18,1R 2Vd = . 
 
e) número de pregos necessários : 
φ=== 12~6,11
18,1
7,13
R
T
n
2Vd
d
 (todos podem ser cravados na mesma face). 
 
f) disposição dos pregos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7. d = 7. 0,59 = 4,2 ~ 5 cm ; 
 = bordo carregado = 4. d = 4. 0,59 = 2,5 cm ; 
 EP = entre pregos consecutivos = 6. d = 6. 0,59 ~ 3,5 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5. d = 1,5. 0,59 = 0,9 ~ 1,0 cm . 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5 . 0,59 = 0,9 ~ 1,0 cm ; 
 EP = entre linhas de pregos = 3.d = 3 . 0,59 = 1,8 ~ 2,0 cm . 
 Na montagem da disposição dos pregos, percebe-se que não há espaço 
suficiente para acomodar os 12 pregos necessários, com as dimensões das peças 
disponíveis. Este fato vem corroborar a afirmativa feita anteriormente, já na 
solução do exercício 6.2, que diâmetros mais finos, são mais convenientes sob o 
ponto de vista da disposição. 
Por outro lado, quanto mais grossos os diâmetros, maiores as resistências 
unitárias dos pinos. A conciliação destes dois fatores, tanto nas ligações com 
pregos, como também nas ligações com parafusos, é fator determinante para se 
alcançar sucesso nas ligações de estruturas de madeira. 
Não existem critérios seguros, no início do projeto de ligações, que 
apontem as escolhas que levariam a soluções finais otimizadas (usar peças 
simples ou duplas de madeira, escolha do diâmetro, ligações pregadas com 1, 2 
ou mais seções de corte, etc.). Conclui-se portanto que o processo é de 
tentativas. Tantas quantas forem necessárias, como foi feito em alguns dos 
exemplos resolvidos e propostos neste capítulo. 
De qualquer modo, estes dilemas não são exclusivos das estruturas de 
madeira, pelo contrário, abrangem também as estruturas metálicas e de concreto. 
Para a solução deste exercício, duas opções podem ser oferecidas : 
1a.) aumentar a largura da peça vertical para 14 cm. 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 48/68 
2a.) aumentar a largura das peças horizontais para 14 cm. 
 
Adotaremos a 1a. das duas soluções : 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.19 : (4oTE-2005) Projetar a ligação entre as peças de madeira indicadas nas 
figuras, solicitada à tração, usando pregos (bitola = 23X66) como meio ligante : 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-60, 
2a. categoria : fc,0,k = 60 MPa. 
5) Esforços atuantes : 
Tk = Tgk + Tqk , 
Tgk = 20 kN (permanente), 
Tqk = 40 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (20 + 40) = 84 kN. 
 
b) propriedades mecânicas de DICOTILEDÔNEA C-60 : 
fc0k = 60 MPa = 6,0 kN /cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN4,24,1
0,6
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) resistência do prego na ligação : 
a escolha do prego já foi estabelecida no enunciado : 23 X 66 ; d= 0,59 cm ; L= 152 mm. 
Seção 
Aumentada de 9 para 14 cm ! 7 x 2,0cm 
2,5 
Elevação 
 9 
5 
4 
2,5 
2,5 
 12 pregos 23X66 
2,5 
7,
5 
10 
Elevação Seção 
5 
7,
5 
Tk 
135o 2,5 
10 
Tk 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 49/68 
c.1) verificação da condição da NBR-7190 : 
nesta situação, a solução é tomar t1 = 2,5 , colocando os pregos de topo ; 
d4ou5)tmenor(t ≥ , ou seja : t = 2,5 > 4 . 0,59 = 2,36 aumentar o furo ! 
c.2) verificação do comprimento do prego : 
LMIN,2SC = 25 + 75 + (50 ou 12 x 5,9) = 150 , como L = 152, verifica! 
c.3) peças horizontais : 
t = t1= 2,5 cm ; 
00=α ; 
feod= fc0d = 2,4 kN/cm2 ; 
23,4
59,0
5,2
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN54,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
96,5
4,2
54,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
∴ limβ<β embutimento da madeira : 
kN42,140,2.
23,4
5,2
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
c.4) peças inclinadas : 
 ===
2
5,7
2
tt 2 3,75 cm ; 
045=α ; 
fe90d = 0,25. fc0d . Eα ; 
Eα = 2,5 p/d = 0,59 ; 
fe90d = 0,25. 2,40 . 2,5 = 1,50 kN/cm2 ; 
α+α
=α 2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de cos.fsen.f
f.ff ; 
2
22d,45,e cm/kN85,145cos.50,145sen.40,2
50,1.40,2f =
+
= ; 
36,6
59,0
75,3
d
t
===β ; 
79,6
85,1
54,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 50/68 
kN64,185,1.
36,6
75,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
c.5) resistência efetiva do prego : 
prevalece o menor valor : RVd1 = 1,423 kN ∴ RVd2 = 2. RVd1 = 2.1,42 = 2,84 kN . 
 
d) número de pregos necessários : 
φ=== 30~6,29
84,2
84
R
T
n
2Vd
d
 ; 15 em cada face. 
 
e) disposição dos parafusos : f) croquis : 
e.1) direção paralela à carga : 
 BC = 7.d = 7. 0,59 = 4,2 ; 
 4.d = 4. 0,59 = 2,4 ; 
 EP = 6.d = 6. 0,59 = 3,6 ; 
BD = 4.d = 4. 0,59 = 2,4 ; 
1,5.d = 1,5. 0,59 = 0,9 . 
e.2) direção normal à carga : 
 BE = 1,5.d = 1,5. 0,59 = 0,9 ; 
 EP = 3.d = 3. 0,59 = 1,8 . 
 
Exercício 6.20 : (Nova Avaliação - 2005) Projetar a 
ligação entre as peças de madeira indicadas nas 
figuras, usando pregos como meio ligante : escolher 
o maior diâmetro entre os recomendados. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
 2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira CEDRO DOCE, 2a. categoria : 
fc,0,m = 31,5 MPa. 
5) Esforços atuantes : 
Tk = Tgk + Tqk , Tgk = 2 kN (permanente), Tqk = 2 kN (vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Nd = 1,4 . (2,0 + 0,75. 2,0) = 4,9 kN. 
 
b) propriedades mecânicas do CEDRO DOCE : 
Elevação 
Seção 
6 3 
Tk Tk 
135o 6 
6 
3 
2 
2 3 
3 
2 
1 
1 
4x 2cm 
30 pregos 23X66 
 15 cada face 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 51/68 
fc0m = 31,5 MPa = 3,15 kN /cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 3,15 = 2,21 kN /cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN88,04,1
21,2
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do prego : 
c.1) diâmetro do prego : 
mm3,4dmm0,3;mm30.
7
1dmm30.
10
1 ≤≤≤≤ ; 
Os diâmetros sugeridos são d = 3,0mm , 3,4 mm ou 3,9 mm. Adotaremos d = 3,9 
mm, o mais grosso dos sugeridos, conforme estabelece o enunciado do 
problema. 
c.2) comprimento do prego : 



=++
=++
=
mm120306030
mm1379,3.126030
valormenorL SC2,MIN 
Consultando a tabela 23, vemos que para este diâmetro, o maior comprimento 
disponível comercialmente é 90 mm, impossibilitando as duas seções de corte. 
Desta forma, resta a opção de manter o diâmetro e projetar ligações com apenas 
uma seção de corte : 



=+
=+
=
mm906030
mm779,3.1230
valormenorL SC1,MIN 
O prego utilizado portanto, será a bitola (19 X 36) : 
c.3) interferência dos pregos que são cravados de faces opostas : 
Podemos usar pregos cravados de topo (desencontrados) e considerar t = t2/2 = 
3,0 cm, porque no dimensionamento vai prevalecer t = t1 = 3,0 cm, com o ângulo 
α = 45o. 
c.4) verificação das condições da NBR-7190 : 
 cm239,0.5)d4ou(d.5)adalgdemaispeçana(0,3t ==≥= verifica ! 
 
d) resistência do prego na ligação : 
d.1) peça central (esforço paralelo às fibras) : 
t = t2/2 = 3,0 cm ; 
00=α ; feod = fc0d = 0,88 kN/cm2 ; 
77,7
39,0
0,3
d
t
===β ; 
L = 83mm 
d = 3,9 mm 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 52/68 
2
s
yk
yd cm/kN54,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
84,9
88,0
54,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ∴ 
limβ<β ; embutimento da madeira : 
kN41,088,0.
77,7
0,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
d.2) peças laterais (esforço inclinado às fibras) : 
t = t1 = 3,0 cm ; 
045=α ; feod = 0,88 kN/cm2 ; 
Eα = 2,5 para d = 0,39 ; 
fe90d = 0,25. fc0d . Eα ; 
fe90d = 0,25. 0,88 . 2,5 = 0,55 kN/cm2 ; 
α+α
=α 2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de cos.fsen.f
f.ff ; 
2
22d,45,e cm/kN68,045cos.55,045sen.88,0
55,0.88,0f =
+
= ; 
36,6
59,0
75,3
d
t
===β ; 
2,11
68,0
54,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ∴ 
limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN32,068,0.
77,7
0,3
.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
d.3) resistência efetiva do prego : 
prevalece o menor valor : RVd1 = 0,32 kN. 
 
e) número de pregos necessários : 
φ=== 16~3,15
32,0
9,4
R
T
n
1Vd
d
, 8 em cada face. 
 
f) disposição e croquis dos pregos : 
f.1) direção paralela à carga : f.3) croquis : 
 
 BC = 7.d = 7. 0,39 = 2,8 ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 53/68 
 4.d = 4. 0,39 = 1,6 ; 
 EP = 6.d = 6. 0,39 = 2,4 ; 
BD = 1,5.d = 1,5. 0,39 = 0,6 . 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = 1,5.d = 1,5. 0,39 = 0,6 ; 
 EP = 3.d = 3. 0,39 = 1,2 . 
 
Exercício 6.21 : (4o.TE 2006) : Projetar a ligação 
entre as peças (1) e (2) do nó de uma treliça de 
madeira indicado nas figuras, usando pregos como 
meio ligante, segundo o critério da NBR-7190, 
considerando ; 
1- Diâmetro do prego d = 6,4 mm. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Madeira : EUCALIPTO GRANDIS, 
2A. categoria, qualidade estrutural. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; TGk = 3 kN (permanente) ; 
TQk = 3,3 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (3 + 3,3) = 8,82 kN. 
 
b) propriedades mecânicas do EUCALIPTO GRANDIS : 
fc0m = 40,3 MPa = 4,03 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7 . 4,03 MPa = 2,82 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN13,14,1
82,2
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do prego : 
Adotado d = 6,4 mm, como estabelecido no enunciado. 
Verifica-se a condição d5t ≥ , já que o menor valor de “t” será 3,25 cm : 
tMIN = 3,25 cm > 5 . 0,64 = 3,2. 
c.1) comprimento do prego : 
 



=++
=++
=
mm1605,32955,32
mm2054,6.12955,32
valormenorL SC2,MIN 
0,75 
0,75 
3x1,5 
3x2,0 
Tk 
19
,5
 
3,25 
2,5 
90o 
Seção Elevação 
1 
45o 
1 
2 
9,5 
9,5 
2 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 54/68 
Consultando a tabela 23, vemos que para este diâmetro, o maior comprimento 
disponível comercialmente é 152 mm, impossibilitando as duas seções de corte. 
 
Portanto, a solução para a ligação, usando o diâmetro pré-estabelecido, se fará 
com apenas 1 seção de corte. 
 



=+
=+
=
mm128955,32
mm1104,6.125,32
valormenorL SC1,MIN 
O prego utilizado portanto, será a bitola (24 X 60) : 
 
d) resistência do prego na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 3,25 cm ; α = 0o ; 
1,5
64,0
25,3
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,13 kN/cm2 ; 
7,8
13,1
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira. 
kN94,013,1.
1,5
25,3
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
d.2) peça central : 1A. hipótese : pregos cravados de topo :t2 = 4,75 cm. 
 t = t2 = 4,75 cm ; α = 90o ; 
4,7
64,0
75,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 1,95 para d = 0,64 cm ; 
fe90d = 0,25 . 1,13 . 1,95 = 0,55 kN / cm2 ; 
45,12
55,0
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira : 
kN67,055,0.
4,7
75,4
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
L = 138 mm 
d = 6,4 mm 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 55/68 
d.3) peça central : 2A. hipótese : pregos cravados alternados : t2 = 9,5 cm. 
 t = t2 = 9,5 cm ; α = 90o ; 
8,14
64,0
5,9
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 1,95 para d = 0,64 cm ; 
fe90d = 0,25 . 1,13 . 1,95 = 0,55 kN / cm2 ; 
45,12
55,0
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ>β , portanto, flexão do pino : 
kN12,155,54.
45,12
64,0
.625,0f.d.625,0R
2
yd
lim
2
1Vd ==β= . 
d.4) Resistência efetiva dos pregos : 
 1a. hipótese : Rvd1 = 0,67 KN (< valor entre 0,94 e 0,67). 
2a. hipótese : Rvd1 = 0,94 KN (< valor entre 0,94 e 1,12). 
 
e) número de pregos necessários : 
1a. hip.: φ=φ=== 1614~2,13
67,0
82,8
R
T
n
1Vd
d
 (por simetria na disposição final), 8 cada face. 
2a. hip.: φ=φ=== 1210~4,9
94,0
82,8
R
T
n
1Vd
d
 (por simetria na disposição final), 6 cada face. 
A solução final mais conveniente (mais econômica) leva 12 pregos (contra 16 pregos). 
Há, no entanto, que se verificar a possibilidade de dispor os pregos de forma 
desencontrada, nas faces opostas. 
 
f) disposição dos pregos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 0,64 = 4,5 cm ; 
 = 4.d = 4. 0,64 = 2,6 cm ; 
 EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 0,64 = 3,9 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 0,64 = 1,0 cm . 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 0,64 = 1,0 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 0,64 = 2,0 cm. 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 56/68 
g) croquis : 1A. hipótese : 2A. hipótese : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.22 (Nova Aval. 2006) : Projetar a ligação entre as peças (1) e (2) do nó de 
uma treliça de madeira indicado nas figuras, usando pregos como meio ligante, segundo 
o critério da NBR-7190/1997, considerando : 
1) Dimensões indicadas em centímetros. 
2) ELU – combinação normal. 
3) Madeira DICOTILEDÔNEA, C-30, 
2a. categoria ; qualidade estrutural. 
4) Esforços atuantes : Ck = CGk + CQk ; 
CGk= 7 kN (permanente); 
CQk= 7 Kn (sobrecarga). 
 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Cd = 1,4. (7 + 7) = 19,6 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da DICOTILEDÔNEA C-30 : 
fc0k = 30 MPa = 3,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN20,14,1
0,3
.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) escolha do prego : 
4,6d5,4;5,4.
7
1d5,4.
10
1;e.
7
1de.
10
1 ≤≤≤≤≤≤ ; 
Adotado d = 6,4 mm. 
Verifica-se a condição d5t ≥ , já que o menor valor de “t” será 3,5 cm : 
tMIN = 3,5 cm > 5 . 0,64 = 3,2. 
c.1) comprimento do prego : 
1 
19,5 4,0 
10,0 
2,5 
3,0 
1 
3x2,5 
16 pregos 24X60 
3x4,0 19,5 
4,0 
2,0 
2,5 
3,0 
2 2 
2x2,25 
12 pregos 24X60 
Ck 
4,5 
7 
4,5 
Seção 
9,5 
300 
9,5 
9,5 
9,5 Elevação 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 57/68 



=++
=++
=
mm160457045
mm1924,6.127045
valormenorL SC2,MIN 
Consultando a tabela 23, vemos que para este diâmetro, o maior comprimento 
disponível comercialmente é 152 mm, impossibilitando as duas seções de corte. 
Portanto, a solução para a ligação, usando o diâmetro pré-estabelecido, se fará 
com apenas 1 seção de corte. 
 



=+
=+
=
mm1157045
mm1224,6.1245
valormenorL SC1,MIN 
O prego utilizado portanto, será a bitola (24 X 60) : 
 
d) resistência dos pregos na ligação : 
d.1) peça central : 
 t = t2/2 = 7/2 = 3,5 cm ; 
α = 30o ; 
47,5
64,0
5,3
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,20 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 1,95 para d = 0,64 cm ; 
fe90d = 0,25. 1,20. 1,95 = 0,59 kN / cm2 ; 
30cos.f30sen.f
f.ff
cos.fsen.f
f.ff 2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
d,30,e2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de +
==
α+α
=α ; 
2
22d,30,e cm/kN95,030cos.59,030sen.20,1
59,0.20,1f =
+
= ; 
45,9
95,0
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
limβ<β , portanto, esmagamento da madeira. 
kN85,095,0.
47,5
5,3
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
 
d.2) peças laterais : 
t = t1 = t3 =4,5 cm ; α = 0o ; 
03,7
64,0
5,4
d
t
===β ; 
L = 138 mm 
d = 6,4 mm 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 58/68 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 1,20 kN/cm2 ; 
43,8
20,1
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
limβ<β , portanto, esmagamento da madeira. 
kN38,120,1.
03,7
5,4
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
d.3) Resistência efetiva dos pregos : 
Rvd1 = 0,85 KN (< valor entre 0,85 e 1,38). 
 
e) número de pregos necessários : 
).finaldisposiçãonasimetriapor(facecada1224~23
85,0
6,19
R
C
n
1Vd
d φ=φ=== 
 
f) disposição dos pregos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7.d = 7. 0,64 = 4,5 cm ; 
 4.d = 4. 0,64 = 3,0 cm ; 
 EP = entre pregos consecutivos = 6.d = 6. 0,64 = 4,0 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 0,64 = 1,0 cm ; 
 4.d = 4. 0,64 = 3,0 cm . 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5.d = 1,5. 0,64 = 1 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 0,64 = 2,0 cm. 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 pregos 24X60 – 
12 cada face. 
1 
2,0 
1 
9,5 
3x 2,5cm 
3x 2,5cm 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 59/68 
Exercício 6.23 (4o. TE-2007) : Projetar a ligação entre as peças de madeira indicadas nas 
figuras, usando pregos como meio ligante. 
1- Diâmetro do prego = 7,6 mm. 
2- Madeira : Aroeira do Sertão – 2A. categoria, 
qualidade estrutural. 
3- Dimensões em centímetros. 
4- Critério da NBR-7190. 
5- Estados Limites Últimos – combinações normais. 
6- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk ; TGk = 3 kN (permanente) ; TQk = 7 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Td = 1,4 . (3 + 7) = 14,0 kN. 
 
b) propriedades mecânicas da Aroeira do Sertão : 
fc0m = 101,7 MPa = 10,17 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 10,17 = 7,12 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN85,24,1
12,7
.56,0f.kf ==
γ
= . 
c) escolha do prego : 
c.1) diâmetro do prego : 
adotaremos o prego indicado na questão , com d = 7,6 mm. 
 
c.2) verificação do comprimento do prego : 
 



=++
=++
=
mm220659065
mm2466,7.129065
valormenorL SC2,MIN não existe ! 



=+
=+
=
mm1559065
mm1566,7.1265
valormenorL SC1,MIN prego : 26 X 72 
c.3) verificação das condições da NBR-7190 : 
 cm8,376,0.5)d4ou(d.5cm5,42/9t ==≥== . verifica ! 
 
d) resistência do prego na ligação : 
d.1) peças laterais : 
 t = t1 = t3 = 6,5 cm ; α = 0o ; 
55,8
76,0
5,6
d
t
===β ; 
L = 166 mm 
d = 7,6 mm 
ElevaçãoTk 
9 
Seção 
6,5 
Tk 
14 
9 90
o 
6,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 60/68 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,85 kN/cm2 ; 
47,5
85,2
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ>β , portanto, flexão do prego : 
kN60,355,54.
47,5
76,0
.625,0f.d.625,0R
2
ed
lim
2
1Vd ==β= . 
d.2) peça central : 
 t = t2/2 = 9/2 = 4,5 cm ; α = 90o ; 
92,5
76,0
5,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,85 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 1,95 para d = 0,76 cm ; 
fe90d = 0,25 . 2,85 . 1,95 = 1,39 kN / cm2 ; 
84,7
39,1
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ<β , portanto, esmagamento da madeira : 
kN90,139,1.
92,5
5,4
.4,0f.t.4,0R
2
ed
2
1Vd ==β= . 
Neste ponto, cabe um raciocínio : pode-se usar t2/2 para apoiar os pregos na 
metade da espessura da peça central, e mantê-los alinhados nas faces opostas, 
ou, espaçá-los da distância regulamentar, e usar toda a espessura da peça 
central para apoio dos pregos. Vamos determinar as duas possibilidades : 
 t = t2 = 9 cm ; α = 90o ; 
84,11
76,0
0,9
d
t
===β ; 
84,7
39,1
55,54
.25,1
f
f
.25,1
ed
yd
lim ===β ; 
 limβ>β , portanto, flexão do prego : 
kN51,255,54.
84,7
76,0
.625,0f.d.625,0R
2
ed
lim
2
1Vd ==β= . 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 61/68 
Pode-se agora estabelecer a conveniência da adoção de t = t2/2 = 4,5 cm, ou t = 
t2 = 9,0 cm : quem define a capacidade final dos pregos é a peça central, já que nas 
peças laterais a capacidade é de 3,60 kn (d.1) e teremos na peça central uma 
capacidade maior, 2,51 kN, ao invés de 1,90 kN. Se não houver falta de espaço para 
colocar os pregos, serão necessários menos pregos na ligação. 
d.3) resistência efetiva dos pregos : 
prevalece o menor valor, entre 2,51 e 3,60 : kN51,2R 1Vd = . 
 
e) número de pregos necessários : 
φ=== 6~6,5
51,2
14
R
T
n
1Vd
d
 (3 pregos em cada face). 
 
f) disposição dos pregos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 7. d = 7. 0,76 = 5,4 ~ 5,5 cm ; 
 = bordo carregado = 4. d = 4. 0,76 = 3,1 cm ~ 3,5 cm ; 
 EP = entre pregos consecutivos = 6. d = 6. 0,76 ~ 4,65 cm ~5,0 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5. d = 1,5. 0,76 = 1,2 cm ; 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5 . 0,76 = 1,2 ~ 2,0 cm ; 
 EP = entre linhas de pregos = 3.d = 3 . 0,76 = 2,3 ~ 2,50 cm . 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
Exercício 6.24 (Nova avaliação-2007) : Para o nó de uma treliça de madeira indicado nas 
figuras, considerar : 
1- Dimensões indicadas em cm. 
2- Critério da NBR-7190. 
3- Madeira: JATOBÁ, 2a. cat., qualidade estrutural. 
4- Esforços atuantes : 
Tk = TGk + TQk e Ck = CGk + CQk. 
TGk= 3 kN e CGk = 3,6 kN (permanentes) ; 
Elevação 
9 
Seção 
6,5 
14 
9 
6,5 
5,5 
5 
3,5 
2 2 
2x2,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 62/68 
TQk= 7 kN e CQk = 8 kN (sobrecargas). 
Determinar : 
a- o mínimo valor de “e”, para encaixe simples 
(valor arredondado para numero inteiro) 
b- A condição de segurança da diagonal (3), 
comprimida, com L=L0=110 cm. 
c- Projetar a ligação entre as peças (1) e (2), 
usando parafusos d=3/8” como meio ligante.
 
 
 
Solução : 
a) Propriedades mecânicas do JATOBÁ : 
fc0m= 93,3 MPa= 9,33 kN/cm2; 
fc0k= 0,7. 9,33= 6,53 kN/cm2; 
2
d0c cm/kN61,24,1
53,6
.56,0f == ; 
fv0m= 15,7 MPa= 1,57 kN/cm2; 
fv0k= 0,54. fv0m= 0,54. 1,57= 0,85 kN/cm2; 
2
d0v cm/kN26,08,1
85,0
.56,0f == ; 
Ec,0,m= 23607 MPa= 2360,7 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef= 0,56. 2360,7= 1322,0 kN/cm2 . 
 
b) ELU : Combinação Normal : 
Td= 1,4. (3+ 7)= 14,0 kN ; Cd= 1,4. (3,6+ 8)= 16,2 kN . 
 
c) Encaixe simples : 
c.1) Esforço na área AB : 
.kN97,142
45cos.2,16C od,AB =



= 
c.2) Tensões na área AB : 
fc90,d=0,25.fc0,d=0,25.2,61=0,65kN/cm2; 
)45cos.65,045sen.61,2(
65,0.61,2f 22d,45,c += ; 
fc,45,d 2cm/kN04,1= ; 
d,45,cAB f04,1e.5
97,14
===σ ∴ 
.cm3~89,204,1.5
97,14e =≥ 
ELEVAÇÃO 
2,5 
2 
1 
2,5 5 
SEÇÃO 
3 
Tk 
e=? 90o 
1 45
o 
10 2 
3 
15
 
10 
Ck 
L=L0=110 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 63/68 
 
d) Diagonal comprimida : 
d.1) Grau de esbeltez : 
IX = 12
10.5 3
= 416,7 cm4 ; 
IY = 12
5.10 3
= 104,2 cm4 ∴ 
IMIN = IY ; 
3
2
cm67,416
5.10W == ; 
imin=iY= cm44,110.5
2,104
= ; 
7644,1
110
MAX ==λ ∴peça medianamente esbelta: 8040 <<<<<<<< λ . 
d.2) Determinação de Md (equações 4.6 a 4.11) : 
cm17,030
5
30
h0e Yi ==≥= ; 
cm37,0300
110ea == ; 
e1= 0,17+ 0,37= 0,54 cm ; 
kN3,112110
2,104.0,1322.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
62,02,163,112
3,112
.54,0ed =



−
= ; 
Md= 16,2. 0,62= 10,04 kN.cm . 
d.3) Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2
Nd cm/kN32,010.5
2,16
==σ ; 
2
Md cm/kN24,067,41
04,10
==σ . 
d.4) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,121,0
61,2
24,0
61,2
32,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 Verifica ! 
e) Ligação entre as peças (1) e (2) : 
e.1) verificação dos parafusos : 
tMIN = 2,5 (menor t) > 2. 0,95 = 1,9. Verifica ! 
e.2) resistência do parafuso na ligação : 
t = t1 = t3 = 2,5 cm para as peças laterais , e 
t = 2
t2 = 2
0,5
= 2,5 cm para a peça central ; 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 64/68 
00=α , para as peças laterais, e 090=α , para a peça central : 
Basta verificar a peça central, para t = 2,5 cm, e 090=α (mais desfavorável) : 
63,295,0
5,2
==β ; 
2
yd cm/kN8,2110,1
0,24f == ; 
fe0d = fc0d = 2,61 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . Eα ; 
Eα = 1,95 , para d = 0,95 cm ; 
Eα fe90d= 0,25. 2,61. 1,95 = 1,27 kN/cm2 ; 
18,527,1
8,21
.25,1lim ==β ; limβ<β , portanto, embutimento da madeira : 
kN21,127,1.63,2
5,2
.40,0R
2
1Vd === ; RVd2= 2. 1,21 = 2,42 kN . 
e.3) número de parafusos necessários : 
 φ=== 6~8,542,2
0,14n . 
e.4) disposição dos parafusos : 
e.4.1) direção paralela à carga : 
BC = 7.0,95 = 6,7 cm ; 
BC = 4.0,95 = 3,8 cm ; 
EP = 6.0,95 = 5,7 cm ; 
BD = 1,5.0,95 = 1,5 cm. 
e.4.2) direção normal à carga : 
BE = 1,5.0,95 = 1,5 cm ; 
EP = 3.0,95 = 2,9 cm. 
e.5) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.25 (4º.TE 2008) : Projetar a ligação entre as peças de madeira indicadas nas 
figuras, usando pregos 19 X 36 como meio ligante. 
Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
15 
2 2 
3 3 
5 
2 
6 
4 
3 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 65/68 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira : ANGELIM FERRO, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
Ck = CGk + CQk ; CGk = 3,5 kN (permanente), 
CQk = 4 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) combinação das ações : 
Cd = 1,4. (3,5 + 4) = 10,5 kN. 
 
b) propriedades mecânicas de ANGELIM FERRO : 
fc0m = 79,5 MPa = 7,95 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7 . fc0m = 0,7. 7,95 = 5,565 kN/cm2 ; 
2c
k0c
modd0c
cm/kN226,24,1
565,5.56,0f.kf ==
γ
= . 
 
c) verificação do prego : 
Adotada a bitola 19X36 : d = 3,9 mm, L= 83 mm. 
Verifica-se a condição d5t ≥ , já que o menor valor de “t” será 4 ou 2 cm (peça central) : 
tMIN = 2 cm > 5. 0,39 = 2. 
c.1) comprimento do prego : 
Os pregos conseguem ultrapassar as duas peças (80 mm), sobrando apenas 3 
mm., impossibilitando duas seções de corte. Portanto, a solução para a ligação, usando 
o diâmetro pré-estabelecido, se fará com apenas 1 seção de corte. 
 
d) resistência dos pregos na ligação : 
 Há duas possibilidades de dimensionamento da ligação, considerando uma seção de 
corte : a primeira delas, com o posicionamento dos pregos de faces opostas 
desencontrados, mobilizando na peça central apoio dos pregos de cada face em toda 
espessura da peça central : t = t2. A resistência individual será maior, exigindo menos 
pregos, com menor espaço para disposição. Já a segunda, com o posicionamento dos 
pregos de faces opostas de topo, mobilizando na peça central apoio dos pregos de cada 
face em apenas metade da espessura da peça : t = t2/2. A resistência individual será 
menor, exigindo mais pregos, com maior espaço para disposição. 
 Faremos a tentativa da 1ª. opção : 
 
L = 83 mm 
d = 3,9 mm 
11,5 
ELEVAÇÃO 
60o 
Ck 
SEÇÃO 
Ck 
4 4 4 
6,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 66/68 
d.1) peça central : 
 t = t2 = 4 cm ; 
α = 60o ; 
25,1039,0
4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,226 kN/cm2 ; 
fe90d = 0,25 . fc0d . αE ; 
αE = 2,5 para d = 0,39 cm ; 
fe90d = 0,25. 2,226. 2,5 = 1,391 kN / cm2 ; 
60cos.f60sen.f
f.ff
cos.fsen.f
f.ff
2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
d,30,e
2
d,90,e
2
d,0,e
d,90,ed,0,e
de
+
==
α+α
=α ; 
2
22
d,60,e
cm/kN534,160cos.391,160sen.226,2
391,1.226,2f =
+
= ; 
45,7534,1
55,54.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
lim
β>β , portanto, flexão do pino. 
kN70,055,54.45,7
39,0.625,0f.t.625,0R
2
ed
2
1Vd
==β= . 
d.2) peças laterais : 
t = t1 = t3 =4 cm ; 
α = 0o ; 
25,1039,0
0,4
d
t
===β ; 
2
s
yk
yd cm/kN55,5410,1
0,60ff ==
γ
= ; 
fe0d = fc0d = 2,226 kN/cm2 ; 
187,6226,2
55,54.25,1f
f.25,1
ed
yd
lim
===β ; 
lim
β>β , portanto, flexão do pino. 
kN84,055,54.19,6
39,0.625,0f.t.625,0R
2
ed
2
1Vd
==β= . 
d.3) Resistência efetiva dos pregos : 
Rvd1 = 0,70 KN (< valor entre 0,84 e 0,70). 
 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 67/68 
e) número de pregos necessários : 
).finaldisposiçãonasimetriapor(16~1570,0
5,10
R
Cn
1Vd
d φ=== 
 
f) disposição dos pregos : 
f.1) direção paralela à carga : 
 BC = bordo carregado = 4.d = 4. 0,39 = 1,6 ~ 2 cm ; 
 EP = entre pregos consecutivos = 6.d = 6. 0,39 = 2,4 ~ 2,5 cm ; 
BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 0,39 = 0,6 ~ 1,0 cm ; 
f.2) direção normal à carga : 
 BE = bordo externo = 1,5.d = 1,5. 0,39 = 1 cm ; 
 EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 0,39 = 1,2 ~ 1,5 cm. 
 
g) croquis : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,5 
3 x 2,5 
2,5 
1,0 
1,0 3 x 1,5 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.6 pg. 68/68 
666...222 EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss ppprrrooopppooossstttooosss 
Exercício 6.26 – Resolver novamente o exercício 6.1, 
substituindo os dois cobre-juntas de 2,5 X 15 cm2, por 
novos cobre-juntas de 3,75 X 15 cm2 . 
 
Exercício 6.27 – Resolver novamente o exercício 6.1, 
utilizando dois cobre-juntas metálicos (chapas de aço MR-
250) de # 1/4" . 
 
 
Exercício 6.28 – Resolver novamente o 
exercício 6.4, usando como diagonal 
uma peça de madeira maciça, de 15 
cm de espessura, com dois cobre-
juntas metálicos (chapas de aço MR-
250) de # 1/4" . 
Para a solução, lembrar que as duas ligações (das peças 1 e 2) são independentes, e podem 
(devem) ser dimensionadas separadamente. 
Para a peça 1 : t = t2 /2 e α = 60o ; 
Para a peça 2 : t = t2 /2 e α = 0o ; 
Desta forma, as resistências do parafuso são diferentes, e o número deles também. 
Lembrar também que na verificação das chapas de aço, a NBR-8800 exige distâncias menores 
aos bordos da peça (de aço) do que a NBR-7190 exige para as peças de madeira. 
 
Exercício 6.29 – Determinar o custo do material (parafusos e pregos) usados para a ligação 
exemplificada nos exercícios 6.1 e 6.15. 
 
Exercício 6.30 – Comparar os resultados obtidos com as várias opções para a solução das 
ligações exemplificadas nos exercícios 6.1 , 6.15 , 6.17 e 6.18. 
 
Exercício 6.31 – Resolver novamente o exercício 6.2, usando pregos como meio ligante. 
 
Exercício 6.32 – Resolver novamente o exercício 6.4, usando pregos como meio ligante. 
 
3,75 3,75 
7,5 
15 
#1/4” #1/4” 
7,5 
15 
7d 
6d 
#1/4” #1/4” 
600 
15 
20 
15 
Tk 
Elevação 
Seção 
Tk 
2 
1 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.9 pg. 1/3 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP999 
CCCOOONNNTTTRRRAAAVVVEEENNNTTTAAAMMMEEENNNTTTOOO DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
 
 
 
999...111 EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss ::: 
Exercício 9.1 : Projetar o contraventamento da estrutura de cobertura ilustrada na figura 83 do 
capítulo 8. 
1- Madeira : Dicotiledônea C-40. 
2- Dimensões em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190. 
4- Esforço atuante no contraventamento : 
Fd = 5 kN (vento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução : 
Será considerada a aplicação da força horizontal Fd = 5 kN, aplicada ao quadro de 
contraventamento. Não há um esforço ou uma resultante de compressão no elemento 
transversal correspondente. Existem apenas vigas, como se observa nos detalhes. 
A solução de contraventamento consiste na colocação de duas diagonais contrapostas, 
no plano vertical, trabalhando à compressão. Quando o vento atuar da esquerda para a direita, 
a diagonal que desce funciona à compressão, levando esta carga para o pé do pontalete 
seguinte (o da direita). Invertendo-se o sentido do vento, a outra diagonal dirige a carga para o 
pé do pontalete à esquerda do contraventamento. 
A A 
SEÇÃO AA 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.9 pg. 2/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) características geométricas das barras de travejamento : 
A = 10 . 5 = 50 cm2 ; 
L0X = 
22 60150 +
= 162 cm ; 
L0Y = 2 . 162 = 324 cm ; 
a.1) eixo X (plano vertical) : 
IX = 10 . 53 / 12 = 104,2 cm4 ; 
WX = IX / y = 104,2 / (5/2) = 41,7 cm4 ; 
502,104AIi XX == = 1,44 cm ; 
λX = 162 / 1,44 = 112 (peça esbelta). 
a.2) eixo Y (plano horizontal) : 
IY = 5 . 103 / 12 = 416,7 cm4 ; 
507,416AIi YY == = 2,89 cm ; 
λY = 324 / 2,89 = 112 (peça esbelta). 
Tem-se o mesmo grau de esbeltez, para os dois eixos : basta verificar um deles. 
 
b) propriedades mecânicas da Dicotiledônea C-40 : 
fc0k = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN60,14,1
0,4
.56,0f.kf ==
γ= 
Ec,0,ef = kmod . Ec,0,ef = 0,56 . 19.500 MPa = 10.920 MPa = 1.092 kN/cm2 . 
 
c) verificação das barras de travejamento : 
c.1) esforço atuante : 
 (Fd = 0,75 . 1,4 . Fk) (ação do vento!) ; Fd = 5 kN. 
 θ = arc.tg. 120 / 300 = 21,8o ; 
 Nd = 5 / cos 21,8o = 5,39 kN ; Nk = 5,39 / 1,4 . 0,75 = 5,13 kN. 
 
10 
10 
SEÇÃO 
pontalete pontalete 
S 
S 
5 5 
terças 
laje 
5 
10 
Y 
X 
L0Y 
L0X 
0,6 
0,6 
1,5 1,5 
300
 
120
 
θθθθ 
Nd 
Fd 
miguel@vetorestruturas.com.br UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.9 pg. 3/3 
c.2) verificação à compressão : 
 será verificado o eixo X, já que λX = λY . 
cm17,0
30
5
30
h0e Xi ==≥= ; 
cm54,0
300
162
300
L
e X,0a === ; 
kN8,42
162
2,104.1092.
L
I.E.F 2
2
2
X,0
Xef,0c
2
E =
pi
=
pi
= ; 
φ = 0,8 (tabela 18) ; NGk = 0 ; NQk = 5,13 kN ; ψ1 = 0,2 ; ψ2 = 0,0 (vento) ∴ 
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c
ψψ
ψψφ
++++++++−−−−
++++++++
==== = 
( )[ ]
( )[ ] 02,013,5.02,008,42
13,5.02,00.8,0
=
++−
++
 ; 
(((( )))) (((( ))))1e.eee caigc −−−−++++==== ( ) ( ) cm014,01e.54,017,0 02,0 =−+= ; 
e1ef = ei + ea + ec= 0,17 + 0,54 + 0,014 = 0,72 cm ; 
cm.kN44,4
39,58,42
8,42
.72,0.39,5
NF
F
.e.NM
dE
E
ef,1dd =





−
=





−
= ; 
Determinação das tensões MdNd eσσ : 
2d
Nd cm/kN108,050
39,5
A
N
===σ ; 
2
Y
d
Md cm/kN106,07,41
44,4
W
M
===σ ; 
Verificação da segurança (equação 4.4) : 
0,113,0
60,1
106,0
60,1
108,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd <<<=+=
σ
+
σ
 Verifica com folga ! 
Observação : o maior problema na verificação da segurança das barras de 
contraventamento à compressão é o seu grau de esbeltez (λmax ≤ 140, de acordo com a NBR-
7190). Os esforços são bastante pequenos, habitualmente. 
 
 
 
 
 
 
 
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS BBB 
222ººº... TTTEEE --- 222000000999 
2a. parte : Madeira : valor 5 pontos : 3a. questão : (2,5 pontos) – Encaixes/Compressão/Cisalhamento. 
Projetar a ligação (por encaixe) entre as peças 1 
e 2, indicada nas figuras, estabelecendo o valor 
do encaixe (e), pelas tensões decorrentes do 
contato entre elas. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira CONÍFERA C-30, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 5 kN (permanente), NQk = 10 kN (vento de sobrepressão). 
SOLUÇÃO: 
a) Características mecânicas da CONÍFERA C-30 : 
fc0,k = 30 MPa = 3,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c
cm/kN2,14,1
0,3.56,0f.kf ==
γ
= ; 
2
d0cd,90,c
cm/kN30,02,1.25,0f.25,0f === ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,30,c
cm/kN69,030cos.3,030sen.2,1
3,0.2,1
30cos.f30sen.f
f.ff =
+
=
+
= ; 
fV0,k = 6,0 MPa = 0,6 kN/cm2 ; 
2
V
k0V
modd0V
cm/kN19,08,1
60,0.56,0f.kf ==
γ
= . 
b) Combinação das ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + 0,75. NQk) = 1,4 x (5 + 0,75. 10) = 17,5 kN. 
c) Esforços gerados em AB : 
o
d
o
dd,AB
15cos.N
2
30cos.NN =≅ = kN9,165,17.966,0N
d,AB
=≅ . 
d) Verificação das tensões de contato na área AB : 
2
d,30,c
AB
d,AB
AB
cm/kN69,0f0,5.e
9,16
A
N
=≤==σ ∴e ≥ 4,9 cm ; 
Considerando que o máximo valor indicado para o recorte da peça (e) é h/4 = 20/4 = 5,0 cm, 
um encaixe simples pode resolver a ligação com segurança. 
Elevação Seção 
20 
Nk 
300 
600 
e=? 5 2,5 2,5 
1 
2 
NAB,d 
NBC,d 
Nd 30o 
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS BBB 
222ººº... TTTEEE --- 222000000999 
2a. parte : Madeira : valor 5 pontos : 4a. questão : (2,5 pontos) – Flexão Simples. 
Verificar as condições de segurança da viga de madeira indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira EUCALIPTO DUNNII, 
 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : gk = 0,5 kN/m (permanente), Pk = 1 kN (sobrecarga). 
6) Mom. Estático da semi-seção circular : Ms = d3/12. 
 
SOLUÇÃO: 
a) propriedades mecânicas da DICOTILEDÔNEA C-40 : 
fc0m = 48,9 MPa = 4,89 kN/cm2 ; fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 4,89 = 3,42 kN/cm2 ; 
2
d0c
cm/kN37,1)4,1/42,3(.56,0f == ; 
fV0m = 9,8 MPa = 0,98 kN/cm2 ; fV0k = 0,54. fV0m = 0,54. 0,98 = 0,53 kN/cm2 ; 
2
d0v
cm/kN165,0)8,1/53,0(.56,0f == ; Ec,0,m = 18029 MPa = 1802,9 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef = 0,56. 1802,9 = 1009,6 kN/cm2. 
b) Propriedades Geométricas da Seção Transversal : 
IX = pi. (204/64) = 7854 cm4; WX = 7854/(20/2) = 785,4 cm3. 
c) Determinação dos esforços solicitantes de cálculo : 
c.1) determinação do máximo momento fletor : 
Md,MAX = 1,4.(0,5/100).(7502/8) + 1,4. 1. 250 = 842,2 kN.cm . 
c.2) determinação do máximo esforço cortante : 
Vd,MAX = 1,4.(0,5/100).(750/2) + 1,4.(1) = 4,03 kN. 
d) Verificação das condições de segurança : 
d.1) verificação da condição de segurança à flexão : 
σMd = 842,2/785,4 = 1,07 ≤ fc0d = 1,37 kN/cm2. Verifica! 
d.2) verificação da condição de segurança ao cisalhamento : 
Ms = ( ) 3R.32 = Ms = ( ) 310.32 = 666,7 cm3 ; 
ζVd = Vd. Ms/b. I = 4,03. 666,7/(20. 7854)= 0,02 ≤ 0,16 kN/cm2. 
 Verifica! 
d.3) verificação das deformações : 
ud = (5. 0,005. 7504)/(384. 1009,6. 7854) + 
0,20.(1,0. 7503)/(28,2.1009,6. 7854) ; 
ud = 2,6 + 0,38 = 2,98 cm ≤ 750/200 = 3,75 cm. Verifica ! 
 
 
ELEVAÇÃO 
gk 
Pk 
750 
Pk 
250 250 250 
SEÇÃO 
20
 X 
gd 
Pd 
Mgd 
Pd 
250 125 
+ 
125 
MP1d 
MP2d 
MPd 
250 
M
d,
M
A
X 
+ 
= 
Vgd 
+ 
VP2d 
V d
,M
A
X 
= 
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS BBB 
333ººº... TTTEEE --- 222000000999 
2a. parte : Madeira : valor 5 pontos : 3a. questão : (2,5 pontos) – Flexo-compressão. 
Verificar as condições de segurança do pilar de madeira indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira AROEIRA DO SERTÃO, 
 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 20 kN (permanente), e= 6 cm; 
NQk = 100 kN (sobrecarga) , e= 4cm. 
SOLUÇÃO: 
a) Combinação de ações (ELU) : 
Nd =1,4.(20+100)=168 kN ; MGXd=1,4.20.6=168 kN.cm ; MQYd=1,4.100.4=560 kN.cm . 
b) Propriedades mecânicas da AROEIRA DO SERTÃO : 
fco,m=101,7 MPa=10,17 kN/cm2 ; fco,k=0,7.fco,m=0,7.10,17=7,12 kN/cm2 ; fco,d = 0,56.(7,12/1,4)=2,85 kN/cm2 ; 
Eco,m = 23393 MPa = 2339,3 kN/cm2 . 
c) Características geométricas da barra : 
A = pi .182/4=254,5 cm2 ; Propriedades do Eixo X : Eixo Y : IX = pi .182/4=5154,3 cm4 ; 
cm5,45,254/3,5154i
X
== ; 7850,4/350
X
==λ ; 3
X
cm7,572)2/18/(3,5154W == . 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
d.1) determinação das tensões atuantes : 2
Nd
cm/kN66,05,254/168 ==σ ; 
2
MXd
cm/kN29,07,572/168 ==σ ; 2
MYd
cm/kN98,07,572/560 ==σ . 
d.2) Verificação: 150,085,2/9,0.0,185,2/29,0)85,2/66,0( 2 <=++ verifica ! 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade : 
Basta verificar o eixo Y (mesmas propriedades geométricas que o eixo Y), já que é o eixo mais solicitado por 
momento fletor : 
e.1) eixo Y : λX = 78 (peça medianamente esbelta) : 
e.1.1) determinação de Md : 
cm6,030/1830/h33,3168/560e
i
==>== ; cm17,1300/350e
a
== ; e1 = 3,33 + 1,17 = 4,50 cm; 
kN0,5443,5154.3,2339.56,0.)350/(F 2
E
=pi= ; ( ) cm51,6168544/(544.50,4e
d
=−= ; 
Md = 168. 6,51 = 1093,8 kN.cm . 
e.1.2) determinação das tensões Ndσ e Mdσ : 
2
Nd
cm/kN66,05,254/168 ==σ; 2
MdY
cm/kN91,17,572/1093 ==σ . 
e.1.3) verificação : 0,190,085,2
91,1
85,2
66,0
ff
d,0c
Md
d,0c
Nd <=+=
σ
+
σ
 verifica ! 
 
18 
X 
Y NGk NQk 
eQY= 4 
eGX= 6 
SEÇÃO 
L=
L X
0=
 
L Y
0=
35
0 
Nk 
Nk 
ELEVAÇÃO 
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS BBB 
333ººº... TTTEEE --- 222000000999 
2a. parte : Madeira : valor 5 pontos : 4a. questão : (2,5 pontos) – Elemento composto Comprimido. 
Verificar as condições de segurança do pilar de madeira indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira JATOBÁ, 2a. categoria, 
qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 30 kN (permanente), 
NQk = 200 kN (sobrecarga). 
SOLUÇÃO: 
a) propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,m= 93,3 MPa= 9,33 kN/cm2; fc,0,k= 0,7.9,33= 6,53 kN/cm2; 2
d0c
cm/kN61,24,1/53,6.56,0f == ; 
Ec,0,m = 23607 MPa = 2360,7 kN/cm2 ; 2
ef0c
cm/kN0,13227,2360.56,0E == . 
b) características da peças isoladas : 
A1 = 7,5 X 15 = 112,5 cm2 ; A= 3X 112,5= 337,5 cm2; I1 = 7,5. 153 / 12 = 2109,4 cm4 ; 
a1= (7,5 + 10) = 17,5 cm ; I2 = 15. 7,53 / 12 = 527,3 cm4 ; 3
2
cm6,14075,3/3,527W == . 
c) características da seção composta : 
c.1) Eixo X : 
4
1X
cm1,63284,2109.3I.3I === ; cm33,45,337/1,6328i
X
== ; 5933,4/255
X
==λ : 
 a peça é medianamente esbelta em relação ao eixo X ; 
c.2) Eixo Y : 
 m = 4 ; 42
Y
cm2,704885,17.5,112.23,527.3I =+= ; 
051,0)2,70488.25,24.3,527/(4.3,527 22
I
=+=β ; 4
ef,Y
cm6,35602,70488.051,0I == ; 
cm25,35,337/6,3560i
Y
== ; 7925,3/255
Y
==λ : 
peça é medianamente esbelta em relação ao eixo Y . 
d) Combinação das Ações – ELU-CN : 
Nd = γG. NGk + γQ. NQk = 1,4. (30 + 200) = 322 kN. 
e) verificação da segurança : 
Basta verificar o eixo mais desfavorável (Y), visto tratar-se de compressão simples. 
d.1) verificação da estabilidade 
d.1.1) – eixo Y : λY = 79 ∴ 
cm42,130/5,42 0 e
i
=≥= ∴ cm 1,42 e
i
= ; cm85,0300/255e
a
== ; 
( ) kN5,7146,3560.1322.255/F 2
Y,E
=pi= ; e1 = 1,42 + 0,85 = 2,27 cm ; 
( ) cm13,43325,714/5,714.27,2e
d
=−= ; cm.kN7,32813,4.332M
d
== ; 
d0c
ef,Y
2
11
d
2ef,Y
2dd f
I
I
.n1.
A.a.2
M
W.I
I.M
A
N
≤






−++ ; 
2
d0c
cm/KN61,2f54,26,3560
3,527.31.5,112.5,17.2
7,1328
6,140.6,3560
3,527.7,1328
5,337
322
=≤=





−++ = verifica ! 
 
ligações 
15
 
3,
75
 
3,
75
 
a1 
10 
15
 
7,5 
Y 
X 
Nk 
10 7,5 7,5 
SEÇÃO
 
Nk 
15 
60 
60 
60 
L=
L 0
 
=
 
25
5 
60 
ELEVAÇÃO