Estruturas de concretoarmado 1 -Solicitações tangenciais - Ver1-2013

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8. SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
8.1. Introdução 
 
 
As teorias desenvolvidas a partir da hipótese do material ser homogêneo apresentam 
deficiências para descrever o comportamento das estruturas de concreto armado. Isso 
porque as vigas de concreto armado são formadas de dois materiais diferentes que 
solidários desenvolvem mecanismos próprios de resistência às diferentes solicitações. 
 
Exceções a essa regra são as estruturas de concreto-massa, como as barragens de 
gravidade e os alargamentos de base dos tubulões, onde, nesses casos, há a 
possibilidade de emprego da teoria da elasticidade visto que os critérios de segurança são 
outros que nada tem a ver com o estado limite último por deformação plástica excessiva 
do concreto. 
 
Para estabelecer as ideias do funcionamento das peças de concreto armado sujeitas à 
flexão simples considere uma viga formada de dois materiais, funcionando em regime 
elástico e sem fissuras. Dessa viga vão se determinar as tensões principais. 
 
 Na figura 8.1 está esquematizada a viga simplesmente apoiada sujeita por duas forças 
Adotando-se as hipóteses clássicas da teoria da flexão, chega-se às seguintes 
expressões: 
 
tensão normal:
 conc Z
est
z
I
M, 
1
 e a tensão de cisalhamento
 
Ms
b I
V
est 1
, 
sendo: 
       1
2
1 1 42( ) ( ) ( )n n nh
, 
x d 
, 
n
E
E
s
c

, 
h
h
d

, 
 I n
bd
est h1
3
1
2
3
3 1
3
        ( ) ( )
, 
Ms    bz dz
z
x e 
1 
A
bd
s
. 
a b a
L
P P
 
As
h
d
b
x
z'
dz'
L N
 
 
 
Figura 8.1 - Viga simplesmente apoiada. Esquema estático e seção transversal. 
 
Na figura 8.2 mostram-se as trajetórias das tensões principais 
1
 e 
 2
. No trecho inicial à 
esquerda, onde acontece flexão simples, as trajetórias são curvas. Um ponto tomado na 
linha neutra vai corresponder tensões principais que formam com o eixo longitudinal da 
viga ângulo de 45º. 
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Figura 8.2. Tensões principais. 
 
O concreto é um material de pequena resistência à tração, portanto esperam-se as 
fissuras orientadas como se cortassem as trajetórias de tração (linha pontilhada), 
dispondo-se perpendicularmente às tensões principais 
1
. Como o uso de armaduras nas 
estruturas de concreto armado é para suprir a deficiência do concreto em resistir trações, 
um arranjo lógico é colocar a armação inclinadamente, seguindo as tensões de tração ou, 
de modo a “costurar” as possíveis fissuras de tração. 
 
Na figura 8.3 apresentam-se os arranjos práticos das armaduras das peças. O arranjo da 
figura 8.3.a consiste em ter a armadura longitudinal reta e a armadura transversal 
constituída por uma parte da armação longitudinal que foi dobrada a 45o e estribos 
verticais. Já no arranjo da figura 8.3.b aparecem armadura longitudinal reta e armação 
transversal constituída pelos estribos verticais. 
 
 
a) Arranjo de armadura transversal constituída por 
armação longitudinal dobrada e estribos 
verticais. 
 b) Arranjo de armadura transversal 
somente c/ estribos verticais. 
 
Figura 8.3. Armaduras usuais de cisalhamento. 
 
Em vigas o estribo nunca é dispensado. Além da função de “costurar“ as possíveis 
fissuras quando dispostos com espaçamento adequado, têm função de manter as 
armaduras longitudinais na posição correta. O primeiro arranjo parece ser o melhor 
porque as armaduras acompanham melhor as tensões 
1
. O segundo arranjo é mais 
prático, ensaios mostram que é eficiente e é o mais utilizado por ser mais simples. 
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8.2. Resistência à força cortante no estado limite último. 
 
8.2.1 Aspectos iniciais 
 
Os mecanismos resistentes das peças de concreto armado, derivados da observação 
sistemática de corpos de provas ensaiados por diversos pesquisadores, podem ser 
estudados segundo um modelo básico em que as tensões de compressão são 
resistidas pelas porções de concreto íntegro e as trações pelas armaduras. 
 
O fato de uma viga de concreto armado, munida de armações longitudinais e transversais 
eficientemente distribuídas, apresentar equilíbrio na proximidade do colapso, possibilita 
imaginar um mecanismo resistente formado das porções íntegras da peça. Essas partes 
íntegras são os volumes de concreto não destruídos existentes entre as fissuras e as 
partes metálicas. 
 
Ocorre, então, a formação de um arcabouço que desenvolve equilíbrio a partir do contato 
entre as diferentes partes íntegras, daí supor a formação de uma treliça, nas quais as 
bielas diagonais apoiam-se contra os nós formados pelas partes metálicas (armadura 
longitudinal e transversal) ou pelo concreto e armadura transversal (figura 8.4). 
 
 
 
Figura 8.4. (a) Configuração de ruína de uma viga. (b) Treliça idealizada 
 
A teoria clássica da treliça, idealizada por E. Mörsch, admitia que a treliça além de 
isostática possuía bielas com inclinação de 45o. Constituiu-se numa das mais fecundas 
idéias sobre o comportamento das vigas de concreto. 
 a) b) c) 
Figura 8.5. Modelo de treliça. a) Viga real; b) treliça; c) treliça de Mörsch. 
 
Cada montante da treliça representa z
s
 estribos e diagonais existentes no trecho. Deduzir 
equações para o dimensionamento a partir das hipóteses adotadas por Mörsch é simples 
porque são envolvidas apenas condições de equilíbrio. 
 
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Foi constatado experimentalmente que as vigas devem apresentar armaduras em 
quantidade suficiente e ter arranjos adequados para a formação e a manutenção da 
treliça. 
 
Para definir os critérios do dimensionamento das armaduras de cisalhamento devem-se 
entender os modos de ruptura das peças de concreto armado submetidas à flexão. 
Ruptura por Flexão, Ruptura de cisalhamento por tração, Ruptura por compressão devido 
ao esforço cortante, Ruptura de cisalhamento por esmagamento da biela comprimida, 
Ruptura de cisalhamento por esmagamento da biela comprimida, Ruptura por ancoragem 
deficiente da armadura principal. 
 
8.2.1.1 Ruptura por Flexão 
 
A ruptura por flexão pode ser de duas maneiras, uma é essencialmente dúctil e a outra é 
frágil, conforme é discutido a seguir. 
 
As vigas com ruína dúctil são as dimensionadas de modo que o estado limite último 
aconteça nos domínios 2 ou na região inicial do domínio 3. Têm a ruptura iniciando na 
armadura longitudinal. Com o progresso da deformação da armadura, na fase em que há 
escoamento, ocorre progressiva modificação da posição da linha neutra e a diminuição da 
zona de compressão, sendo possível ocorrer o esmagamento da região comprimida da 
viga. A ruptura da peça ocorre com grande flecha e com acentuado quadro de fissuração. 
 
No caso das vigas com seção transversal reduzida e estado limite último acontecendo no 
final do domínio 3, dotadas ou não de armadura dupla, a ruptura se dará pelo 
esmagamento da região comprimida do concreto, e o colapso da peça terá sido 
alcançado antes do colapso das armaduras, ou seja, sem haver franco escoamento. Por 
este motivo, a ruína não será antecedida por grandes deformações, sendo ruptura sem 
aviso prévio. 
 
 
8.2.1.2 Ruptura de cisalhamento por tração 
 
É o tipo mais comum de ruptura por cisalhamento, resultante da deficiência na armadura 
transversal destinada a resistir às trações inclinadas por influência dos esforçoscortantes. 
A peça tende a se dividir em duas partes, ficando caracterizada uma linha de separação. 
 
 
 
8.2.1.3 Ruptura por compressão devido ao esforço cortante 
 
No caso de armadura de cisalhamento insuficiente, além da ruptura por tração, pode vir a 
ocorrer uma ruptura por compressão, explicada pelo fato da fissura inclinada avançar para 
essa região e seccioná-la. A região comprimida, debilitada por essa fissuração, pode 
entrar em processo de ruptura por esmagamento do concreto, mesmo submetida a um 
momento fletor menor que o momento máximo existente em outra seção da peça. 
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8.2.1.4 Ruptura de cisalhamento por esmagamento da biela comprimida 
 
No caso das vigas com larguras muito reduzidas, face às solicitações atuantes, as 
tensões principais de compressão poderão atingir valores excessivamente elevados, 
incompatíveis com a capacidade de resistência do concreto por compressão, quando 
solicitado simultaneamente por tração perpendicular (estado duplo). A ruptura da diagonal 
comprimida determina o limite superior da capacidade resistente à força cortante das 
almas de viga. 
 
 
8.2.1.5 Ruptura por ancoragem deficiente da armadura principal 
 
A armadura longitudinal é altamente solicitada sobre o apoio, pelo efeito de arco, de modo 
que no caso de ancoragem insuficiente pode ocorrer o colapso no local da junção da 
diagonal comprimida vizinho ao apoio com o banzo tracionado. A ruptura por falha de 
ancoragem ocorre bruscamente, usualmente se propagando e provocando também uma 
ruptura ao longo da altura útil da viga. Após ocorrer a destruição da ancoragem por 
deslizamento da armadura longitudinal pode haver ruptura por cisalhamento da alma; a 
rigor, este tipo de ruptura não é ruptura por força cortante porque os elementos da alma 
não rompem, mas sim, a ancoragem do banzo tracionado na diagonal comprimida na 
proximidade do apoio. 
 
 
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Na Tabela 8.1 apresenta-se uma síntese desses diferentes modos de ruptura, justificando 
sua ocorrência e indicando as medidas de projeto necessárias para evitá-los. 
 
Tabela 8.1. Modos de ruptura das vigas de concreto armado. 
MODO DE 
RUPTURA 
ASPECTO DESCRIÇÃO TIPO MEDIDAS PARA 
EVITAR A RUÍNA 
CORTANTE 
FLEXÃO 
 
INTERAÇÃO MOMENTO / 
CORTANTE. O AVANÇO DA 
FISSURA DIAGONAL CORTA 
O BANZO COMPRIMIDO DA 
PEÇA 
F DIMENSIONA-
MENTO ADEQUADO 
À FLEXÃO. 
COLOCAÇÃO DE 
ARMADURAS 
LATERAIS QUE 
RESTRIJAM A 
FISSURAÇÃO 
DIAGONAL. 
 
CORTANTE 
TRAÇÃO 
 
RUPTURA DA ARMADURA DE 
CISALHAMENTO POR 
TRAÇÃO 
D ARMADURA EM 
QUANTIDADE 
SUFICIENTE 
CORTANTE 
COMPRESSÃO 
 
ESMAGAMENTO DA BIELA 
COMPRIMIDA NA REGIÃO 
JUNTO AO APOIO 
F LIMITAR A TENSÃO 
NA BIELA 
COMPRIMIDA 
FLEXÃO DA 
ARMADURA 
LONGITUDI-
NAL 
ROMPIMENTO DA ARMADURA 
DE FLEXÃO DEVIDO AO 
GRANDE ESPAÇAMENTO DA 
ARMADURA DE 
CISALHAMENTO 
F ESPAÇAMENTO 
ADEQUADO DA 
ARMADURA DE 
CISALHAMENTO. 
USO DE EMENDAS 
ADEQUADAS DA 
ARMADURA DE 
FLEXÃO. 
ROMPIMENTO 
DA LIGAÇÃO 
AÇO-
CONCRETO 
FENDILHAMENTO DO 
CONCRETO. ESGOTAMENTO 
DA CAPACIDADE DE 
ADERÊNCIA. 
F RESPEITO ÀS 
REGRAS DE 
ANCORAGENS. 
EMENDAS BEM 
ESTUDADAS. 
 
 
Assim, os parâmetros de principal importância para o correto funcionamento das vigas de 
concreto armado são as ancoragens das armaduras de cisalhamento, a manutenção de 
continuidade e a ancoragem das armaduras longitudinais e a limitação das tensões nas 
bielas diagonais. 
 
Tendo em vista que é frágil a maioria dos modos de ruptura, o conjunto de regras a serem 
atendidas no dimensionamento e no detalhamento das armaduras de cisalhamento não 
deve invalidar o dimensionamento a momento fletor, onde se consegue ruptura dúctil. 
 
 
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8.2.2 Determinação das tensões nas diagonais e na armadura transversal 
 
Na Figura 8.6 mostra-se um trecho destacado de uma viga fissurada onde serão 
desenvolvidas todas as ideias do mecanismo de treliça. Admite-se o seguinte: 
 
 
z
z(cotg  + cotg )
z(cotg  + cotg ) sen 
As1 z(cotg  + cotg ) / s
z


90 - 
L
M
s
 
Figura 8.8. Formação da treliça. 
 
a) inclinação  da biela diagonal; 
b) armadura de cisalhamento com inclinação ; 
c) banzo comprimido horizontal; 
d) viga com seção transversal retangular constante de largura bw e altura h; 
e) o arranjo da armadura é eficiente e garante o aparecimento do mecanismo de 
treliça. 
 
 O significado da notação empregada é: 
 z é o braço de alavanca interno; 
 st o espaçamento da armadura de cisalhamento (ou armadura transversal), 
suposto constante no trecho examinado; 
 Asw1 é a área da unidade utilizada como armação transversal; 
 w é a taxa de armadura de cisalhamento referida a uma área de concreto 
correspondente a um componente da armação de cisalhamento; 
 
 c,
 é a tensão de compressão na biela; 
 
s w,
é a tensão no elemento de armadura de cisalhamento; 
 Vs,d a força cortante na seção de corte, resistida pela treliça fictícia; 
 Md, i momento fletor na seção de corte i; 
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 Rc resultante de compressão na diagonal; 
 Rst resultante de tração no montante inclinado 
 Rcc força resultante do banzo comprimido; 
 Rst,x força resultante do banzo tracionado. 
 
A treliça fictícia da figura 8.8.b é formada por diagonais comprimidas, por montantes 
inclinados tracionados, e por dois banzos: o banzo tracionado inferior e o banzo 
comprimido superior (ambos horizontais). Os símbolos Ac, At e AsL denotam, 
respectivamente, as áreas das seções transversais da diagonal comprimida, do montante 
tracionado e do banzo tracionado. 
 
O montante tracionado de área At substitui toda a armação existente ao longo de LM, 
conforme é mostrado na figura 8.8.b. Essa armação “costura” a fissura e mantém unidas 
as porções acima e abaixo da linha AA. 
 
A área desse montante inclinado é dada por: 
A nAt sw 1
 , onde n é o número de barras 
inclinadas do trecho, portanto: 
ts
)gcotg(cotz
n


. (8.1) 
Na figura 8.8.c é mostrada a área em compressão da diagonal. Essa área é definida 
tomando-se a seção transversal de todas as bielas existentes ao longo da extensão L-M. 
Logo, a área Ac é dada por: 
A b hc w D
, sendo: 
 
 sen)gcotg(cotzhD
. (8.2) 
 
A partir de agora serão determinadas as solicitações nas armaduras transversais, nas 
bielas diagonais e no tirante horizontal considerando a treliça indicada na figura 8.8.b. 
 
8.2.2.1 Determinação da força e da tensão na diagonal 
 
Considere a figura 8.7. Em 8.7.a representa-se o modelo de treliça correspondente ao 
trecho de viga fissurada. A força na diagonal é determinada por equilíbrio de uma das 
partes da treliça obtida por meio da seção de Ritter I-I, esquematizada na figura 8.7.b. 
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z
1
2
Rcc
Vd
Rst_x
Rc_
CORTE 1
Rst_x
Rst
CORTE 2
Vd
 
Figura 8.7. Determinação das forças na diagonal e no montante inclinado. 
 
 
Equilibrando na direção vertical tem-se: 
 
dc VsenR 
, então: 


sen
V
R
d
c
. 
 
A tensão de compressão na diagonal é dada por 
 

c
c
c
R
A

, logo: 

 
sen)gcotg(cotzb
1
sen
V
w
d
c
, então: 
 

  2w
d
c
sen)gcotg(cotzb
V
 (8.3) 
 
 
8.2.2 Determinação da força e da tensão nos montantes tracionados 
 
 A força de tração no montante inclinado é determinada por equilíbrio da parte da treliça 
obtida com a seção de Ritter II-II, esquematizada na figura 8.7.c. 
 
Equilibrando na direção vertical tem-se: 
 
dst VsenR 
, então: 


sen
V
R
d
st
. 
A tensão de tração no montante inclinado é dada por 
t
st
sw
A
R

, logo: 
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)gcotg(cotzA
s
sen
V
1sw
td
sw


. (8.4) 
 
 
8.2.3 Determinação da força no tirante horizontal 
 
Considere a figura 8.8, a força no tirante horizontal Rstx é determinada a partir do equilíbrio 
da porção LMN indicada na figura 8.8.b. A equação de equilíbrio de momentos em torno 
de M é: 
M,d
n
i
isw1swxst McAzR 
. 
 


dRsw
L
M
Rbc
Rst L
Md,M
z
Rs
w
L
M 
Md,L
Vd
z(cotg + cotg)
dRsw = 0,5z(cotg + cotg) sen

zcotg
Vd
 
Figura 8.8. Determinação da força no banzo tracionado. 
 
O termo 
A csw sw i
i
n
1
tem por equivalente o momento da resultante das forças de tração 
na armadura transversal, portanto a força Rst, posicionada no centro de forças 
c LN0 5, sen
. Logo: 
 
M,dstxst M
2
)cot(cotz
RzR sen
gg



. 
 
O momento Md,M é determinado em função da força cortante e do momento fletor na 
seção L onde foi dado o corte, então, considerando a figura 8.8.a tem-se: 
 zVMM dL,dM,d
cotg  
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Dessa forma fica-se com: 
















 sen
2
)cot(cotz
sen
V
gcotzVM
z
1
R
ggd
dL,dxst
, 
simplificando chega-se à expressão final: 
 

z
M
R
L,d
xst 
2
Vd
(cotg  – cotg ) (8.5) 
 
Observe que a força de tração na armadura longitudinal na seção L é maior que a dada 
no dimensionamento pelo momento fletor M
z
d L,
. Ter uma peça que apresente a 
configuração de ruína aqui imaginada, implica em considerar no detalhamento um 
acréscimo de solicitação na armadura longitudinal, que é função da força cortante. Esse 
acréscimo é 

2
Vd
(cotg  – cotg ) 
 
8.3. Modelo de treliça de Mörsch 
 
Também chamado de modelo de treliça clássica, por este modelo o projeto das 
armaduras e o detalhamento das peças são feitos com as seguintes considerações: 
 a. a força cortante é integralmente resistida pela treliça; 
b. a treliça é isostática; 
c. as diagonais comprimidas (bielas) têm inclinação de 45o, e 
d. a armação longitudinal deve ser distribuída em função de um diagrama de 
momentos fletores modificado de modo a ter resistência às solicitações adicionais que 
aparecem em virtude da mobilização do mecanismo de treliça. 
 
 
8.3.1 Equações para o dimensionamento. 
 
A. Peças armadas com estribos verticais. 
 
A.1 Tensão na diagonal comprimida: 

  2
w
d
c
sen)gcotg(cotzb
V. 
Substituindo-se  = 45o e  = 90o e fixando um valor realista de 
15,1
d
z
, tem-se: 
 
db
V
3,2
2
2
)01(
15,1
d
b
V
w
d
2
w
d
c 









 
. 
Definindo tensão convencional de cisalhamento 
db
V
w
d
wd
, lembrando que é admitido 
nesse cálculo que toda a força cortante é resistida pela treliça, então Vs,d = Vd , fica-se 
com: 
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wdc 3,2  
 (8.6) 
 
A.2 Tensão no estribo: 
)cotg(cotzA
s
sen
V
g1sw
td
sw


. 
Substituindo-se  = 45o e  = 90o e 
15,1
d
z
, tem-se: 
 
15,1
d
A
sV
1sw
td
sw 
 
 
Lembrando da definição de taxa de armação transversal 
sb
A
w
1sw
w 

, sendo 
 senss t
, 
tem-se: 
o
tww
t
dsw
90sensdb
s
V15,1


, 
finalmente: 
w
wd
sw
15,1



 (8.7) 
 
Com as equações (8.6) e (8.7) consegue-se dimensionar as armaduras transversais 
desde que sejam definidos valores adequados das tensões máximas nas bielas, 
simbolicamente 
biela,d,cf
, e as tensões máximas nas armaduras de cisalhamento, 
simbolicamente 
swA,d,y
f
. 
 
Na grande maioria dos casos da prática o cálculo das armaduras de cisalhamento é feito 
após o dimensionamento das armaduras longitudinais. Portanto, a geometria da viga já 
está definida, assim sendo procede-se da seguinte forma: 
 
a) Cálculo de verificação de resistência da biela à compressão: 
 
 Determinar por meio de (8.6) a tensão de compressão na biela 
c
e comparar com a 
resistência 
biela,d,cf
. A condição de segurança a ser satisfeita é: ; 
 
b) Cálculo da armação: 
 
Determinada por meio de (8.7), fazendo 
swA,d,yws
f
, então: 
wsA,d,y
wd
w
f
15,1 

 (8.8) 
 
 
8.4. Modelo da treliça generalizada – versão da NBR 6118:2003 
 
Experiências desenvolvidas por diferentes pesquisadores mais a prática das construções 
têm confirmado que as peças de concreto armado mobilizam outros mecanismos para 
bielad,cc f 
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resistir forças cortantes além daquele de treliça. São eles que justificam a dispensa de 
armadura de cisalhamento em lajes e em vigas largas. 
 
Os modos de ruína das peças de concreto armado indicam que o banzo comprimido é 
inclinado e os arranjos das fissuras diagonais sugerem uma treliça complexa, com 
diagonais múltiplas sendo, no mínimo, hiperestática. A inclinação do banzo comprimido 
produz uma componente de força vertical de sentido oposto ao da força cortante externa, 
reduzindo o esforço a ser resistido pela armadura de cisalhamento e bielas diagonais, 
porém, aumentando o esforço no banzo comprimido (figura 8.9). 
 
 
Figura 8.9. Treliça com banzo inclinado. 
 
Equilibrando o arranjo da figura 8.9b chega-se em 



sen
senRV
R bcd,c
. Equilibrando o da 
figura 8.9c: 
 senRVR bcd,sts
. Quando se considera o arranjo 8.9a não aparece o termo 
 senR cb
, que reduz a força cortante. 
 
Os outros mecanismos que aparecem nas peças de concreto armado para resistir a força 
cortante são: arqueamento dos esforços, engrenamento do agregado e o efeito de pino 
da armadura longitudinal. 
O arqueamento dos esforços ocorre principalmente em peças altas, aonde o valor 
quociente vão / altura da seção é pequeno (< 5). Nelas, as cargas aplicadas são 
transmitidas para os apoios mobilizando uma zona de alta compressão que tem 
desenvolvimento curvo (Figura 8.10a). Também ocorre a transmissão direta de forças 
concentradas aplicadas próximas do apoio, mobilizando uma diagonal comprimida (Figura 
8.10b). 
 
Figura 8.10. Arqueamento e transmissão direta. 
 

b cR
R c 0
R c 0
b cR


s tR
 b cR
a )
c )
b )
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100 
O engrenamento confere às peças uma capacidade de transmissão de força cortante a 
partir do apoio das bielas diagonais nos dentes de agregado graúdo íntegro que se 
formam ao longo das fissuras (Figura 8.11). Em lajes delgadas esse efeito é maior que 
nas lajes espessas, pois o tamanho do agregado em relação à espessura da laje é 
preponderante nesse mecanismo de resistência. 
 
 
Figura 8.11. Ilustração do mecanismode engrenamento do agregado. 
 
O efeito de pino das armaduras longitudinais desempenha um papel semelhante aos dos 
pinos de ligação que solidarizam duas porções de concreto situadas entre duas fissuras. 
Este mecanismo depende da resistência do concreto do cobrimento sob a armadura, 
porque é nele que a armadura longitudinal se apóia (Figura 8.12), assim espera-se uma 
limitação de capacidade desse mecanismo independentemente da quantidade de 
armadura de flexão existente. 
 
Figura 8.12. Ilustração do efeito de pino da armadura longitudinal. 
 
Na prática o cálculo das armaduras é feito com o modelo de treliça ajustado. 
 
Conforme a seção 17.4 da NBR 6118, a resistência da seção de uma viga deve ser 
considera satisfatória quando forem atendidas simultaneamente as seguintes condições: 
 
Vd  VRd2 e 
 Vd  VRd3 = Vc + VSw , 
sendo: 
Vd a força cortante de cálculo atuante na seção considerada, VRd2 é a força cortante 
resistente de cálculo relativa à ruína das bielas diagonais e VRd3 = Vc + VSw é a força 
cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela de 
resistência mobilizada por outros mecanismos que não o de treliça e VSw é a parcela 
resistente pela armação transversal. 
 
A versão de 2003 da NBR 6118 trouxe dois procedimentos que serão apresentados a 
seguir. 
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101 
 
8.4.1 Modelo de cálculo 1 
 
Adota-se a inclinação das bielas  = 45o. 
 
Resistência complementar resultante de outros mecanismos que não o de treliça tem 
valor constate dado por: 
Vc = Vc0 = 0,6 fctd bw d. 
 
Resistência da diagonal comprimida: 
 
VRd2 = 0,27V2fcd bw.d, sendo V2 = 1 - 
250
fck
 (fck em MPa); 
 
Resistência da treliça e outros: 
Vrd3 = VC + Vsw, sendo Vsw = 
)cos(senfd9,0
s
A
ywd
sw 
, sendo  o ângulo de inclinação 
da armadura transversal. 
 
 
A) Cálculo Prático da Armadura Transversal em Estribos Verticais – Modelo de Cálculo 1 
 
Introduzindo-se o conceito de tensão convencional de cisalhamento 
db
V
w
sd
wd 
, tem-se: 
a) Verificação da resistência da biela 
 é comprovada comparando-se o valor de da tensão convencional com a 
resistência convencional 
cd2V
w
2Rd
2WRd f27,0
db
V

 
wd
 
b) A resistência mobilizada por outros mecanismos que não o de treliça vale: 
 
ctd
w
C
0C f6,0
db
V

, 
c) A taxa de armação transversal 
sb
A
w
sw
w 
 é determinada por: 
 Vsd = Vrd3 = VC + Vsw, sendo: 
Vsw = 
)cos(senfd9,0
s
A
ywd
sw 
. Sendo =90o, tem-se: 
Vsd = 0,6 fctd bw d + 
ywd
sw fd9,0
s
A
 = 0,6 fctd bw d + w bw 0,9 d fywd, ou seja: 
 
ywd
ctdwd
w
f
)f6,0(11,1 

. 
A taxa de armação mínima é dada por wmin = 0,2
ywk
ctm
f
f
. 
 
 
 
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102 
Tabela 8.2.Tabela auxiliar para dimensionamento das armaduras transversais. 
 Aço CA 50. 
fck 
(MPa) 
fctm 
(MPa) 
fctd 
(MPa) 
Rd 
(MPa) 
wmin (CA50) 
% 
20 2,2 1,1 3,5 0,09 
25 2,6 1,3 4,3 0,10 
30 2,9 1,4 5,1 0,12 
35 3,2 1,6 5,8 0,13 
40 3,5 1,8 6,5 0,14 
45 3,8 1,9 7,1 0,15 
 
 
8.4.2 Modelo de cálculo 2 
 
Admite diagonais comprimidas com inclinações variando entre 30o e 45o. 
 
Resistência da diagonal comprimida: 
VRd2 = 0,54.V2.fcd. bw.d sen
2 (cotg  + cotg ), sendo V2 = 1 - 
250
fck
; 
 
Cálculo da armadura transversal: 
 
Vrd3 = VC + Vsw, sendo: 
 
VC = VC1 que depende de Vsd, conforme adiante descrito. 
Vsw = 
 sen)gcotg(cotfd9,0
s
A
ywd
sw
, sendo  o ângulo de inclinação da armadura 
transversal. 
 
 
 
A) Cálculo Prático da Armadura Transversal em Estribos Verticais – Modelo de Cálculo 2 
 
Introduzindo-se o conceito de tensão convencional de cisalhamento 
db
V
w
sd
wd 
, tem-se: 
 
a) Verificação da resistência da biela 
 é comprovada comparando-se o valor de da tensão convencional com a 
resistência convencional 
 cossenf54,0
db
V
cd2V
w
2Rd
2WRd
. 
sendo V2 = 1 - 
250
fck
; 
 
b) A resistência mobilizada por outros mecanismos que não o de treliça tem valor 
máximo limitado a: 
 
ctd
w
0C
0C f6,0
db
V

, 
 
Assim, obtêm-se Vc igual a: 
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103 
Vc = 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da 
seção; 
Vc = Vc1, na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0 
Vc1 = 0 quando VSd = VRd2 , interpolando-se linearmente para valores intermediários (figura 
8.13). 
Vc0 é valor obtido no item anterior (pelo do Modelo de Cálculo 1) 
 
 
 
 
Figura 8.13. Gráfico de Vc – Modelo de Cálculo 2 
 
c) A taxa de armação transversal 
sb
A
w
sw
w 
 é determinada por: 
 Vsd = Vrd3 = VC + Vsw, sendo Vsw = 
gcotfd9,0
s
A
ywd
sw
. Então 
Vsd = C bw d + 
gcotfd9,0
s
A
ywd
sw
 = C bw d + w bw 0,9 d fywd cotg , ou seja: 



gcotf
)(11,1
yw d
cw d
w
, 
Sendo: 
)(
)(
wd2Rd
0c2Rd
0c
c 



. 
 
A taxa de armação mínima é dada por: wmin = 0,2
ywk
ctm
f
f
.