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Cálculo Aplicado AULA 2 Prof. Ernani João Silva 2 CONVERSA INICIAL Olá! Nesta rota iremos falar sobre a modelagem matemática pela ótica dos fluxos de caixa, isto é, referentes ao movimento de entrada e saída do capital ao longo do tempo. No encontro de hoje, nosso foco será a capitalização simples dos juros, em que vamos estudar cinco temas básicos sobre esse assunto. São eles: (i) valor presente e valor futuro – fórmulas, fatores de cálculo e calculadora financeira; (ii) algumas operações financeiras comuns; (iii) desconto racional e comercial; (iv) relação entre os descontos e a taxa implícita presente no desconto simples e (v) desconto médio para vários títulos. Com esta lista de assuntos, objetivamos que, ao término desta aula, você seja capaz de aplicar os instrumentos básicos de análise de um fluxo de caixa por capitalização simples de juros e, logicamente, explicar o significado dos resultados numéricos que eles geram. Agora, vamos trabalhar! CONTEXTUALIZANDO Uma empresa, uma pessoa, um governo, enfim, qualquer entidade que vislumbre ao longo do tempo entrada(s) e saída(s) de capital em seu bolso ou em sua conta bancária observa, em verdade, o comportamento de seu capital segundo o conceito do fluxo de caixa. Nesse sentido, essa pessoa (física ou jurídica) precisa analisar quanto vale seu capital hoje e no futuro. Ou seja, ela precisa verificar se o Valor Presente do capital (VP) é maior ou menor em comparação ao seu Valor Futuro (VP). Por que isso é importante? Simplesmente porque assim ela poderá decidir se vai aplicar o capital ou, ainda, conforme o caso, antecipar o pagamento de uma dívida. Decisões como essas são de suma importância para maximizar a riqueza e, assim, garantir no futuro a continuidade de um negócio lucrativo ou, ainda, uma confortável aposentadoria. Entendeu a importância desse conteúdo? Acreditamos que sim. Então vamos ao encontro da “avaliação por capitalização simples de juros”. TEMA 1 – VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO, CONCEITOS BÁSICOS Como vimos na aula 1, as operações financeiras que realizamos em nosso dia a dia podem ser modeladas por meio dos artefatos da matemática. Nesse sentido, o tempo das operações financeiras também pode ser expresso na forma de um modelo, chamado “diagrama do fluxo de caixa”: 3 Figura 1 – Diagrama do fluxo de caixa Ele é simples e elegante, pois nos fornece tudo do que precisamos para uma análise financeira. Temos o valor presente do capital (VP) – na aula 1 ele era chamado de “Principal”; há também o período de tempo entre o momento presente (tempo = zero) e o momento futuro (tempo = n); temos a taxa de juro (= custo do capital); e, logicamente, há o valor futuro do capital (VF) – o que na aula 1 era denominado de “Montante”. Agora vamos entender como este modelo funciona nas operações financeiras. Quando entra dinheiro no caixa (isto é, no bolso, na carteira, no cofre, na conta do banco etc.), este valor é lançado na parte de cima da linha do tempo e, por isso, recebe o sinal matemático positivo. Por outro lado, quando esse dinheiro sai do caixa, este valor é lançado na parte de baixo da linha do tempo e, por isso, respeitando os ditames cartesianos, recebe o sinal negativo. Para um melhor entendimento, veja este exemplo: Figura 2 – Diagrama do fluxo de caixa 2 Aqui temos que R$ 10 mil reais que saíram do caixa, por isso o sinal negativo e a localização abaixo da linha do tempo. Este valor presente de R$ 10 mil foi capitalizado (rendeu juros) por 9 períodos (n é número total de períodos) em aplicação financeira com uma taxa de juros i igual a 20%. Isso, por sua vez, gerou um valor futuro de R$ 12 mil que entrou no caixa. Bem simples, não acha? Para encerrar este exemplo, observe a explicação a seguir: Este “z” deitado expressa a passagem do tempo. No exemplo, o salto é do período 2 até o período “n – 1”, como n é 9, então n – 1 = 4 8. Usamos isso para não ter que escrever todos os números de 2 a 8. Bem, agora que já sabemos como funciona o fluxo de caixa entre o momento do valor presente e futuro, vamos estudar como o VP torna-se VF e vice-versa, pelo uso de: (i) fórmula, (ii) fator de cálculo e (iii) HP 12c. 1.1 Fórmula completa Aqui a lógica é a mesma vista na aula 1, ou seja: M = M + J M = P . ( 1 + i . n ) O que muda? Na lógica nada. Na fórmula, vamos substituir “M” por VF (Valor Futuro) e “P” por Valor Presente (VP). Sendo assim, a nova fórmula fica: VF = VP + J VF = VP . ( 1 + i . n ) Em que: VF: Valor Futuro (valor no término do período) VP: Valor Presente (valor no início do período) J: Juros (valor total) J = VP . i . n i: Taxa de juro ajustada à condição de capitalização n: Período de capitalização (1) Esta fórmula nos permite, como foi visto na aula 1, encontrar qualquer um dos valores das quatro variáveis do modelo (VF, VP, i , n), desde que nos sejam apresentados no mínimo três valores. Veja esses exemplos: a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros simples, qual será o valor futuro dessa aplicação? VF = VP . ( 1 + i . n) VF = R$ 100 . ( 1 + 24% / 12* . 10) Lembre que a taxa precisa ser coerente com a condição de capitalização, por isso dividimos 24% ao ano por 12 meses, para assim termos 2% a.m. VF = R$ 100 . (1+ 2% . 10 ) VF = R$ 100 . ( 1 + 0,2 ) VF = R$ 100 . 1,2 VF = R$ 120,00 (Resposta) 5 Agora vem o “pulo do gato”! Na fórmula, não usamos os sinais de negativo e positivo, que foram discutidos na explicação do fluxo de caixa, porém no final fazemos os ajustes necessários. Sendo assim, nesse exemplo, temos que: VP = – R$100 (desencaixe); VF = + R$ 120 (encaixe). b. Paulo quer ter R$ 120 ao término de um investimento bancário de 10 meses que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros simples, qual é o valor que Paulo precisa colocar na aplicação hoje (Valor Presente) para ter o que deseja no futuro? VF = VP . ( 1 + i . n) R$ 120 = VP . ( 1 + 24% / 12 . 10) R$ 120 = VP . (1 + 2% . 10 ) R$ 120 = VP . ( 1 + 0,2 ) VP = R$ 120 / (1 + 0,2) VP = R$ 120 / 1,2 VP = R$ 100,00 (Resposta) Sinais no fluxo: VP = – R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 120 (encaixe) c. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário para ao término desse tempo ter R$ 120. Sabendo que a capitalização é mensal por juros simples, qual é o valor de taxa de juro ao ano que essa aplicação precisa ter? VF = VP . ( 1 + i . n) R$ 120 = R$ 100 . ( 1 + i . 10 meses) R$ 120 = R$ 100 . (1 + i . 10 ) 120 / 100 = ( 1 + i . 10 meses) 1,2 = 1 + i . 10 i . 10 = 1,2 – 1 i = 0,2 / 10 i = 0,02 = 2% ao mês Como a resposta é “ao ano” => 2% ao mês . 12 meses = 24% ao ano d. Paulo quer aplicar R$ 100 em um investimento bancário para que este capital, ao término de “n” períodos de tempo, torne-se R$ 120. Sabendo que a capitalização é mensal por juros simples e que a taxa de juros é de 24% ao ano, qual é o valor de tempo dessa aplicação em meses? VF = VP . ( 1 + i . n) R$ 120 = R$ 100 . (1 + 24%/12 . n) R$ 120 = R$ 100 . (1 + 2% . n ) 120 / 100 = ( 1 + 0,02 . n ) 1,2 = 1 + 0,02 . n 0,02 . n = 1,2 – 1 n = 0,2 / 0,02 n = 10 meses e. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a 6 capitalização1 é mensal por juros simples, qual será o valor dojuro dessa aplicação? VF = VP . ( 1 + i . n) VF = VP + VP . i . n Sendo: VF = VP + J; Então: J = VP . i . n J = R$ 100 . 24% / 12 . 10 J = R$ 100 . 2% . 10 J = R$ 100 . 0,2 J = R$ 20,00 Ou , ainda, você pode fazer o VF e depois aplicar a seguinte conta: VF = VP + J R$ 120 = R$ 100 + J J = R$ 120 – R$ 100 J = R$ 20 Muito fácil! Afinal de contas é praticamente o que foi visto na aula 1. Agora vamos ver como usamos o fator de cálculo. 1.2 Fator de cálculo para capitalização simples de juros Muitas vezes, certo valor presente (VP) precisa ser calculado para diferentes valores de n, porém considerando uma mesma taxa de juro. Outras vezes é o valor da taxa que varia é o n é o valor constante. Nesses casos, é conveniente usar o fator de cálculo.... Talvez você esteja achando que é conversa fiada. Vamos provar que não. Sabe aquelas tabelas de números que quase todo vendedor tem atrás da calculadora de quatro operações que carrega no bolso? É essa mesma, aquela que eles usam para dizer quanto um produto vai custar se ele for pago em 30, 60 ou 90 dias. Pois é, aqueles números são os fatores de cálculos. O vendedor só precisa multiplicar o preço à vista (valor presente) pelo fator e já tem o preço a prazo (valor futuro). A ideia do fator é a seguinte. Se a fórmula financeira da capitalização simples de juro é “VF = VP . ( 1 + i . n)”; então podemos estabelecer que o valor “( 1 + i . n)” é o fator de cálculo da fórmula quando queremos o VF partindo do VP. Por sua vez, sendo “VP = VF / (1 + i . n)”, então podemos estabelecer que o fator de cálculo é “1 / (1+ i . n)” para quando queremos o VP partindo do VF. Então, quando esses valores são conhecidos, basta multiplicá- los pelo VP ou VF para alcançarmos o valor desejado. Veja estes exemplos: a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização 1 Lembre-se de que, no juro simples, sempre as taxas proporcionais irão gerar o mesmo valor futuro em um mesmo período de tempo (ver aula 1, tema 5). Por esse motivo, muitas vezes a condição de capitalização não é mencionada em exercícios de juros simples, pois qualquer igualdade obtida entre a unidade “i” e “n” alcançará o mesmo valor futuro. Aqui citamos sempre a condição para que você se acostume com ela. Isso facilita a posterior compreensão dos juros compostos. 7 é mensal por juros simples, qual é o fator de cálculo dessa operação e qual seria o valor futuro dessa aplicação? Sendo: VF = VP . (1 + i . n) VF = R$ 100 . ( 1 + 24% / 12 . 10) Então, o fator de cálculo: (1 + i . n) = (1 + 24%/12 . 10) = 1,2 Portanto: VF = R$ 100 . 1,2 VF = R$ 120,00 Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 120 (encaixe). b. Paulo mudou de ideia sobre a quantia que vai aplicar. Agora ele quer aplicar R$ 300 nas mesmas condições anteriores. Isto é, 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros simples, qual será o valor futuro? c. Muitas pessoas fazem todos os cálculos de novo, porém não precisa. Pense conosco: se todas as condições são iguais, basta aplicar o fator de cálculo feito no item “a” no novo valor presente: VF = R$ 300 . 1,2 => VF = R$ 360. d. Sinais no fluxo: VP = –R$ 300 (desencaixe); VF = +R$ 360 (encaixe). A mesma ideia pode ser usada para o cálculo do valor presente com base no valor futuro. Veja esses exemplos: a. Paulo quer ter R$ 120 ao término de um investimento bancário de 10 meses, que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal, por juros simples, qual é o fator de cálculo e o valor que Paulo precisa colocar na aplicação hoje (= Valor Presente)? Sendo: VF = VP . ( 1 + i . n) VP = VF ( 1 + i . n) VP = VF . 1 ( 1 + i . n) Então, o fator de cálculo: 1 ( 1 + i . n) 1 ( 1 + 24%/12 .10) 1 1,2 = 0,83333 Portanto: VP = R$ 120 . 0,8333 VP = R$120 . 0,8333 VP = R$ 100,00 Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 1200 (encaixe). b. Caso o Paulo queira ter R$ 360 ao término de um investimento bancário nas mesmas condições vistas acima, qual é o valor que ele precisa colocar na aplicação hoje (= Valor Presente)? Usando o fator de cálculo, temos que: VP = R$ 360 . 0,8333 VP = R$ 300. 8 Sinais no fluxo: VP = –R$ 300 (desencaixe); VF = +R$ 360 (encaixe). Viu? É muito fácil. Então vamos ver duas tabelas para encerrarmos este tópico sobre fatores, em que n é o número de dias e taxa é o valor efetivo: Tabela A: VP para VF Tabela B: VF para VP a. Investindo R$ 10, qual é o valor futuro para 90 dias de aplicação com taxa 0,5%? Resposta: R$ 10 . 1,45 = $14,50. b. Para ter R$ 14,50 em 90 dias em uma aplicação com taxa efetiva de 0,5%, qual é o valor de aplicação? Resposta: R$ 14,50 . 0,69 = R$ 10. Para utilizar as tabelas de fatores de cálculo, basta encontrar o valor de intersecção entre a taxa efetiva do juro simples e o valor desejado de n. Depois, deve-se multiplicar esse valor (= fator de cálculo) com valor futuro ou valor presente. Esta é a lógica das tabelas dos vendedores. Agora que você já sabe deduzir e usar o fator de cálculo, então só falta estudar como resolvemos a capitalização por juros simples em uma calculadora financeira. Nesse caso, vamos ver a resolução na HP 12c. 1.3 Capitalização simples de juros na calculadora financeira Na HP 12c, vamos precisar dos comandos que estão na primeira linha de cima da máquina. Lá usaremos os comandos brancos “n , i , PV” e, também, o comando laranja “INT”. Além da 1º linha de cima, vamos usar o sinal de adição (+) e o comando F (para acimar o comando laranja). O melhor jeito de explicar é demonstrar um exemplo. Mas, antes, um aviso: a Hp 12c, no juro simples somente calcula o VF, ela não encontra os valores de “i, n, VP”. Concordamos com você, é uma pena, mas, se serve de consolação, lá nos juros compostos ela faz tudo. Dito isso, vamos ao exemplo do juro simples na Hp 12c: 9 Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros simples, qual o juro e o valor futuro da aplicação? 1º passo: ajustar os dados para uso na HP 12c: n = 10 meses = 10 meses x 30 dias = 300 dias (a HP 12c no juro simples sempre tem lançamentos em número de dias); i = 24% ao ano (por mais que a capitalização seja mensal, no juro simples a HP 12c sempre recebe a taxa na condição anual). 2º passo: lançar os dados: F CLx (limpa a máquina); 300 n (lançamento dos dias); 24 i (a taxa é lançada ao ano, como se tivesse %, ou seja, não pode 0,24); 100 CHS PV (CHS para trocar o sinal para negativo, pois é desencaixe); F INT (F é para acessar o INT, que é na cor laranja; INT = juros simples); Na tela aparece o valor do juro = R$ 20,00 (juros); + (para somar o valor do juro ao valor principal); Na tela aparece o valor futuro = +R$ 120,00 (VF, na HP os sinais atendem a lógica do fluxo de caixa: se R$ 100 era desencaixe, então R$ 120 é encaixe, por isso, sinal positivo). E, assim, encerramos esse tema de conceitos básicos e podemos nos aprofundar em operações mais específicas no uso do juro simples. Então, vamos lá! TEMA 2 – ALGUMAS OPERAÇÕES IMPORTANTES COM JUROS SIMPLES Tendo como base os conceitos vistos no tema 1 desta aula e todo o conteúdo visto na aula 1, vamos explorar algumas possibilidadesde aplicação da capitalização simples dos juros. 10 2.1 Período de capitalização e taxa efetiva em condição exata A condição exata significa que temos tanto o n como o i ajustados à condição de capitalização segundo a contagem exata do tempo. Portanto, para o ajuste para a condição de capitalização, os anos terão ou 365 dias ou 366 dias (ano bissexto) e os meses 28 ou 29 (para fevereiro) ou 30 ou 31 dias (para os demais meses). Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples na condição temporal exata, qual será o valor futuro dessa aplicação? Como a condição temporal exata foi genérica, vamos tratar o n e o i assim: I = 32,85% a.a / 365 dias = 0,09% a.d.; n = 30 dias + 31 dias + 31 dias = 92 dias. Sendo assim: VF = VP . ( 1 + i . n) VF = R$100 . ( 1 + 0,09% . 92) VF = R$ 100 . 1,08280 VF = R$ 108,28 Sinais no fluxo: VP = – R$ 100 (desencaixe); VF = + R$108,28 (encaixe) Na Hp 12 c, fica: F CLx (limpa a máquina) g.DMY (ajusta a HP 12c para dia/mês/ano. “G” aciona o comando azul) 01.062017 (ano de início da aplicação) ENTER 01.092017 (ano de término da aplicação) g ∆ DYS (comando para calcular a diferença entre as datas) Na tela aparece o valor de dias entre as datas = 92 dias 92 n (lançamento dos dias) 32,85 i (a taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 100 CHS PV (CHS é para trocar o sinal para negativo) F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) Na tela aparece o valor do juro = R$ 8,39 (juro comercial) R (rola a pilha de registro da HP 12c) Na tela aparece o VP = R$ 100 + (para somar o juro exato, que está na pilha de registro, ao VP) Na tela aparece o valor futuro = +R$ 108,28 (VF) 11 2.2 Período de capitalização e taxas efetivas em condição comercial Quando é dito que a condição é comercial ou ordinária, o que temos é que tanto o n como o i serão ajustados à condição de capitalização segundo a contagem aproximada do tempo. Portanto, os anos terão sempre 360 dias e os meses terão 30 dias (todos eles). Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples na condição temporal comercial, qual é o valor futuro dessa aplicação? Como a condição temporal comercial foi genérica, vamos tratar o n e o i. Assim: i = 32,85% a.a. / 360 dias = 0,09125% a.d.; n = 30 dias . 3 meses = 90 dias. Sendo assim: VF = VP . ( 1 + i . n) VF = R$ 100 . (1 + 0,09125% . 90) VF = R$ 100 . 1,082125 VF = R$ 108,21 Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 108,21 (encaixe) Na Hp 12 c fica: F CLx (limpa a máquina) 90 n (lançamento dos dias) 32,85 i (taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 100 CHS PV (o CHS é para trocar o sinal para negativo) F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) Na tela aparece o valor do juro com “i” comercial = R$ 8,21 (juros) + (para somar o juro que está na tela ao valor presente) Na tela aparece o valor futuro = +R$ 108,21 (VF) 2.3 Período de capitalização e taxas efetivas pela regra do banqueiro Na regra do banqueiro, temos que o n será ajustado à condição de capitalização segundo a contagem exata do tempo e o i será ajustado segundo a contagem aproximada do tempo (forma comercial/ordinária). Portanto, temos aqui uma forma híbrida das duas condições anteriores. Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. 12 Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples segundo a regra do banqueiro, qual é o valor futuro dessa aplicação? Vamos tratar o n e o i. Assim: Forma comercial para o “i” i = 32,85% / 360 dias = 0,09125%; Forma exata para o n n = 30 + 31 + 31 = 92 dias. Sendo assim: VF = VP . (1 + i . n) VF = R$ 100 . (1 + 0,09125% . 92) VF = R$ 100 . 1,0839 VF = R$ 108,39 Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 108,39 (encaixe). Na Hp 12 c, fica: F CLx (limpa a máquina) g.DMY (ajusta a HP 12c para dia/mês/ano, “G” aciona o comando azul) 01.062017 (ano de início da aplicação) 01.092017 (ano de término da aplicação) g ∆ DYS (comando para calcular a diferença entre as datas) Na tela aparece o valor de dias entre as datas = 92 dias 92 n (lançamento dos dias) 32,85 i (a taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 100 CHS PV (o CHS é para trocar o sinal para negativo) F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) Na tela aparece o valor do juro com “i” comercial = R$ 8,39 (juros) + Na tela aparece o valor futuro = +R$ 108,39 (VF) 2.4 Período de capitalização comercial e taxa efetiva exata Aqui temos que o n será ajustado à condição de capitalização segundo a contagem comercial do tempo e o i será ajustado segundo a contagem exata do tempo. Portanto, temos aqui, também, uma forma híbrida das duas condições anteriores. Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples com período de capitalização ordinal e taxa de juro com contagem exata, qual é o valor futuro dessa aplicação? 13 Como a condição temporal comercial foi genérica, vamos tratar o n e o i. Assim: i = 32,85% / 365 dias = 0,09%; n = 90 dias. Sendo: VF = VP . ( 1 + i . n) VF = R$100 . ( 1 + 0,09% . 90) Então: VF = R$ 100 . 1,081 VF = R$ 108,10. Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 108,10 (encaixe). Na Hp 12c, fica: F CLx (limpa a máquina) 90 n (lançamento dos dias) 32,85 i (a taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 100 CHS PV (o CHS é para trocar o sinal para negativo) F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) Na tela aparece o valor do juro com “i” comercial = R$ 8,21 (juros) R (rola a pilha de registro da HP 12c) Na tela aparece o VP = R$ 100 + (para somar o juro exato, que está na pilha de registro, ao VP) Na tela aparece o valor futuro = –R$ 108,10 (VF) Bem, assim encerramos as quatro formas em que podemos aplicar a fórmula básica dos juros simples, ou seja: n i 1º. Exato Exato 2º. Ordinal Ordinal 3º. Exato Ordinal 4º. Ordinal Exato TEMA 3 – DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL Uma operação de desconto é uma operação inversa ao processo de capitalização. Nela, retiramos o juro que está incorporado no valor futuro (aqui chamado de valor nominal) até o momento em que estamos antecipando o pagamento: VA = VN – D Em que: VA: valor atual no momento do efetivo pagamento; 14 VN: valor nominal = valor na data original de vencimento da dívida; D: Desconto até o momento do efetivo pagamento. A questão-chave aqui é que este cálculo – isto é, o procedimento de desconto – pode ser por feito tanto por dentro (desconto racional) como por fora (desconto comercial); tudo depende do contrato firmado entre o que cede e o que recebe o capital. Vamos ver o que isso significa. 3.1 Desconto racional O desconto racional é assim chamadopor seu cálculo ser feito por meio do uso de uma razão, dado o fato de partimos do uso da fórmula de capitalização para definir o “valor atual” e o “valor do desconto”: a. Valor atual: VF = VP . (1 + i . n ), em que VP = VF / (1 + i . n) Substituindo o VP (valor presente) por VA (valor atual) e o VF (valor futuro) por VN (valor nominal), temos: VAr = VN / (1 + i . n) Em que: VAr = Valor atual no momento do pagamento pelo método racional VN = Valor nominal = valor da dívida na data original de vencimento b. Desconto racional: D r = VN - VA D r = VA . (1 + i . n) – VA D r = VA + VA . i . n – VA Dr = VA . i . n (fórmula base do desconto racional) Obs.: Pelo fato de o desconto racional ser calculado em relação ao valor atual, ele é denominado pelo mercado como um desconto por dentro. Vamos exercitar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata de um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. 15 Sendo assim, ele vai até um amigo e pede para ele descontar a duplicada (isto é, o amigo fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um desconto). O amigo aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao dia, por meio do cálculo do desconto racional. Qual é o valor do desconto e qual é o valor que o dono da loja vai receber? Resposta: No desconto racional, a primeira coisa é achar o valor atual: VAr = VN / (1 + i . n) VAr = 1000 / (1 + 1,5% . 20) VAr = 1000 /1,3 VAr = R$ 769,23 (valor que o dono da loja vai receber) Após determinar o valor atual, encontramos o valor do desconto: Dr = VA . i . n Dr = 769,23 . 1,5% . 20 Dr = 769,23 .0,3 Dr = 230,77 (desconto cobrado pelo amigo para ficar com a duplicata) 3.2 Desconto comercial O desconto comercial é assim chamado por seu cálculo ser amplamente utilizado nas operações comerciais de desconto de títulos para antecipação de recebíveis (por exemplo, se uma loja quer antecipar o valor de uma duplicata que iria receber daqui a 20 dias, o banco antecipa o dinheiro por meio deste desconto). Seu cálculo é feito em relação ao valor nominal (o valor de face da dívida) e, na mesma forma que o racional, tem duas fórmulas: “valor atual a pagar” e o “valor do desconto”: a. Desconto comercial (Dc): Dc = VN . i . n. Esta é a fórmula-base do desconto comercial. Obs.: Pelo fato de o desconto comercial ser calculado em relação ao valor nominal (ou seja, o valor futuro da dívida), ele é denominado pelo mercado como um desconto por fora. b. Valor atual a pagar comercial (VAc): VAc= VN – Dc VAc= VN – VN . i . n VAc = VN . ( 1 – i . n ). Esta é a fórmula-base (mas recomendamos: VN – Dc). 16 Vamos exercitar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata de um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. Sendo assim, ele vai até um amigo é pede para ele descontar a duplicada (isto é, o amigo fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um desconto). O amigo aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao dia, por meio do cálculo do desconto comercial. Qual é o valor do desconto e qual é o valor que o dono da loja vai receber? Resposta: No desconto comercial, a primeira coisa é achar o valor do desconto: Dc = VN . i . n Dc = 1000 . 1,5% . 20 Dc = 1000 . 0,3 Dc = R$ 300 (desconto cobrado pelo amigo para ficar com a duplicata) Após determinar o valor do desconto, encontramos o valor atual: VAc = VN – Dc VAc = 1000 – 300 VAc = 700 VAc = R$ 700 (valor que o dono da loja vai receber) Antes de encerrarmos o desconto comercial, convém apresentar que existe um tipo desconto que deriva dele. Estamos falando do desconto bancário. Neste caso, temos que: Db = Dc + VN . h Em que: Db = Desconto bancário; Dc = Desconto comercial VN = Valor nominal; h = taxa administrativa bancária Vamos exercitar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata de um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. Sendo assim, ele vai até um banco e pede para este descontar a duplicada (isto é, o banco fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um desconto). O gerente do banco apresenta que a taxa de desconto é de 1,5% ao dia, por meio do cálculo do desconto comercial, e mais uma taxa de administração de 10% sobre o valor de face do título. Qual é o valor do desconto e qual é o valor que o dono da loja vai receber? Resposta: 17 No desconto bancário, a primeira coisa é achar o valor do desconto comercial: Dc = VN . i . n Dc = 1000 . 1,5% . 20 Dc = 1000 . 0,3 Dc = R$ 300 (desconto cobrado pelo amigo para ficar com a duplicata) Após determinar o valor do desconto comercial, temos que encontramos o valor do desconto bancário: Db = Dc + VN . h Db = 300 + 1000 . 10%; Db = 300 + 100 Db = R$ 400 (desconto efetivo cobrado pelo banco para ficar com a duplicata). Por fim, calculamos o valor atual: VAb = VN – Db VAb = 1000 – 400 VAb = 600 VAb = R$ 600 (valor que o dono da loja vai receber). TEMA 4 – RELAÇÕES IMPORTANTES SOBRE OS DESCONTOS No tema anterior, vimos duas formas desconto (ou três, se considerarmos o desconto bancário um caso à parte). Agora vamos ver quais as relações que esses descontos apresentam entre si. 4.1 A relação entre desconto simples comercial e racional Considerando um cenário com igualdade de valores no “i, n, VN”, temos que: Dc – Dr = VN . i . n – VAr . i . n Dc – Dr = (VN – VAr) . i . n Dc – Dr = Dr . i . n Dc = Dr + Dr . i . n Dc = Dr . (1 + i . n ). Fórmula-base da relação entre Dc e Dr ! Ou seja, em um cenário de igualdade de taxa, período e valor nominal, sempre o Dc será maior que o Dr. Sendo essa variação igual a “Dr . i . n”. Vamos testar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata de um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. Sendo assim, ele vai até um amigo é pede para ele descontar a duplicada (isto 18 é, ele fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um desconto). O amigo apresenta que a taxa de desconto é de 1,5% ao dia, por meio do cálculo do desconto comercial ou racional. Qual é o melhor desconto para o dono da loja? (Informe os descontos) Resposta: Dc = Dr . (1 + i . n ) M . i . n = Dr . (1 + i . n ) 1000 . 1,5% . 20 = Dr . (1 + 1,5% . 20 ) 300 = Dr . (1 + 30%) Dc = R$ 300,00 e a diferença do Dr para o Dc é de +30%, sendo assim: 300 = Dr . (1 + 30% ) Dr = 300 / 1,3 Dr = R$ 230,77. A melhor opção para o dono da loja é aquela que apresenta menor valor de desconto, pois assim ele recebe mais dinheiro na antecipação da duplicata. Nesse sentido, o desconto racional no valor de R$ 230,77 é a melhor opção, pois o desconto comercial é 30% maior que esse valor. Resumindo, temos que, graças a esse modelo de relação entre descontos, podemos obter em apenas três linhas os dois valores de desconto (racional e comercial) e, além disso, a diferença percentual entre eles. 4.2 Taxa implícita de juros no desconto comercial Segundo Assaf Neto (1998, p. 43-46)2, nas operações de descontos simples, é possível obter da taxa de desconto utilizada a taxas efetiva do juros compostos que estáimplícita (que está escondida) no cálculo. Vejamos, por meio de alguns exemplos, a lógica de seu argumento. a. A taxa do desconto simples racional e a taxa efetiva composta implícita: Se um título de R$ 100 for antecipado em 2 meses por desconto simples racional, por meio de uma taxa de desconto de 10% ao mês, teremos que: VAr = VN / (1 + i . n) VAr = 100 / (1 + 10% . 2) VAr = 100 / 1,2 VAr = 83,33 2ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 4 ed. São Paulo: Atlas, 1998. 19 Dr = VA . i . n Dr = 83,33 . 10% . 2 Dr = 16,67 (desconto) Sobre esse cenário, podemos obter a taxa implícita efetiva, pela ótica do juro composto, por meio de dois passos bem simples: 1º. passo: achar a taxa de juro do período. Como a lógica do desconto do período é “Dr = VAr . i . n”, em que n = 1, Então podemos dizer que “i = Dr / VAr”. Sendo assim: i = 16,67 / 83,33 i = 0,2 = 20% ao bimestre (em dois meses) 2º. passo: achar a taxa equivalente de juro composto (tema 5, aula 1) iq = ( 1 + i t) nq/nt-1 i q = ( 1 + 20%) 1 mês / 2 meses – 1 iq = 1,095445 – 1 i q = 0,095445 = 9,5445% ao mês (taxas efetiva implícita). Estes dados nos permitem observar que a taxa do desconto simples racional tende a ser maior que a taxa efetiva da operação por juro simples, apesar de ambas resultarem em um mesmo valor nominal. b. A taxa do desconto simples comercial e a taxa efetiva composta implícita Se um título de R$ 100 for antecipado em dois meses por desconto simples comercial, por meio de uma taxa de desconto de 10% ao mês, teremos que: Dc = VN . i . n Dc = 100 . 10% . 2 Dc = 20 (desconto) VA c = VN – Dc VAc = 100 – 20 VAc = 80 (valor atual) Sobre esse cenário, poderíamos obter a taxa implícita efetiva, pela ótica do juro composto, por meio de dois passos bem simples: 20 1º. passo: achar a taxa de juro do período Como a lógica do desconto do período é “Dc = VN . i . n”, em que n = 1, então podemos dizer que “ i = Dr / VAr”. Sendo assim: i = Dc / VN ─ 1 i = 20 / 80 i = 0,25 – 1 = 25% ao bimestre Ou que nos permite extrair o seguinte modelo para achar a taxa no período: i = 𝑖𝑐 . 𝑛 1− 𝑖𝑐 . 𝑛 i = 10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 . 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 1 − 10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 . 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 i = 20% 80% = 25% 2º. passo: achar a taxa equivalente de juro composto (tema 5, aula 1) iq = (1 + i t) nq/nt-1 i q = (1 + 25%) 1 mês / 2 meses – 1 i q = 1,118034 – 1 i q = 0,118034 = 11,8034% ao mês (taxa efetiva implícita) Estes dados nos permitem observar que a taxa do desconto simples comercial tende a ser menor que a taxa efetiva da operação por juro simples, apesar de ambas resultarem em um mesmo valor nominal. Isso ocorre porque, em verdade, se a taxa de desconto comercial for transformada em taxa de desconto racional, veremos que ela é bem superior aos 10% ao mês. Vejamos. Se usarmos o valor do desconto comercial e o valor atual comercial na fórmula racional, teremos que: Dr = VA . i . n 20 = 80 . i . 2 n i = 20 / 160 = 0,125 i = 12,5% ao mês Ou seja, para termos o mesmo valor de desconto na fórmula de desconto racional, teríamos que usar uma taxa de 12,5% de juro. É, por isso, que a taxa efetiva encontrada acima foi de 11,8034%. 21 Antes de encerrarmos esse tema, vamos lembrar que: Dr < Dc < Db. Ou seja, em um cenário de igualdade de taxa, de período e de valor nominal, sempre teremos que o desconto racional será menor que o desconto comercial e o desconto comercial sempre será menor que o desconto bancário (desde que a taxa de administração não seja zero). Por isso, temos que: VAb < VAc < VAr. TEMA 5 – DESCONTO MÉDIO PARA VÁRIOS TÍTULOS No mercado, normalmente não se desconta apenas 1 título. As operações são feitas em lotes com vários títulos. Sendo assim, faz-se necessário estabelecer algum artefato matemático que nos auxilie a compreender qual foi a taxa média dessa operação em lote. Dentre as possibilidades existentes, costuma-se utilizar, segundo Assaf Neto (1998), o valor do prazo médio ponderado na fórmula de taxa de juro. Vamos ver como isso é feito por meio de um exemplo. Uma empresa levou um lote com quatro títulos para antecipação de recebíveis conforme os valores e prazos apresentados na tabela que segue. Sabendo que o valor recebido pela empresa foi de R$ 15,5 mil pela operação de desconto comercial por esse lote, responda: qual foi a taxa de desconto da operação? Tabela 1 – Lote com quatro títulos para antecipação de recebíveis Títulos VN n (dias de antecipação) 1 R$ 8.000,00 7 2 R$ 3.000,00 8 3 R$ 7.000,00 10 4 R$ 2.000,00 15 Primeiro passo: Vamos estabelecer o valor do lote. 8 mil + 3 mil + 7 mil + 2 mil = R$ 20 mil Segundo passo: 22 Vamos obter o prazo médio do lote por ponderação pelos valores dos títulos n̅ = (8 mil . 7 dias) + (3 mil . 8 dias) + ( 7 mil . 10 dias) + ( 2 mil . 15 dias) 8 mil + 3 mil + 7 mil + 2 mil n̅ = 180 mil 20 mil = 9 dias (este é o prazo médio do lote de títulos) Terceiro passo: Vamos encontrar o valor do desconto dado para este lote: D c = VN – VA Dc = 20 mil – 15,5 mil Dc = 4,5 mil Quarto passo: Vamos encontrar o valor da taxa aplicado no desconto comercial simples: Dc = VN . i . n 4,5 mil = 20 mil . i . 9 dias (valor médio) i = 4,5 mil / (20 mil . 9 dias) i = 4,5 mil / 180 mil i = 2,5% ao dia Seguindo sempre os quatro passos, não há erro. Logicamente é necessário prestar atenção, além de outros itens, se a. o problema está fornecendo o desconto ou valor atual; b. o cenário é de desconto racional ou comercial; c. a taxa e o período estão na unidade correta. Você está um pouco inseguro? Então vamos refazer este exemplo com algumas alterações. Uma empresa levou para um lote com quatro títulos para antecipação de recebíveis conforme os valores e prazos apresentados na tabela que segue. Sabendo que o valor do desconto foi de R$ 3.166,40 pela operação de desconto racional por esse lote, responda: qual foi a taxa de desconto da operação? 23 Tabela 2 – Lote com quatro títulos para antecipação de recebíveis Títulos VN n (Dias de antecipação) 1 R$ 8.000,00 7 2 R$ 3.000,00 8 3 R$ 7.000,00 10 4 R$ 2.000,00 15 Primeiro passo: Vamos estabelecer o valor do lote: R$ 20 mil (igual ao exemplo anterior). Segundo passo: Vamos obter o prazo médio do lote por ponderação pelos valores dos títulos n̅ = 180 mil 20 mil = 9 dias (prazo médio do lote = idem ao exemplo anterior). Terceiro passo: Agora o valor do desconto nós já temos: Dr = R$ 3.166,40 Então vamos encontrar o valo atual: VA r = VN – Dr VAr = 20 mil – 3 166,40 VAr = 16 833,60 Quarto passo: Vamos encontrar o valor da taxa aplicado no desconto comercial simples: Dr = VA r . i . n3 166,40 = 16 833,60 . i . 9 dias (valor médio) i = 3 166,40 / (16 833,60 . 9 dias) i = 3 166,40 / 151 502,40 i = 2,09% ao dia Bem, assim encerramos o conteúdo desta aula. Esperamos que você tenha gostado! 24 TROCANDO IDEIAS Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos as aplicações do juro simples e vimos sinteticamente como os descontos podem ser feitos de maneirabem diferente. Agora, entre no fórum da disciplina e, usando este conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares qual dessas formas de descontos é a mais justa para as operações comerciais para uma empresa de pequeno porte. NA PRÁTICA a. Leitura do caso O Sr. Kenenóis tem uma dívida no valor de R$ 2,5 mil que vai vencer em 10 dias, porém ele deseja quitá-la hoje. Sabendo que o desconto contratual é por desconto simples comercial e que a taxa de juro é de 15% ao mês, responda: qual seria o valor do desconto do Sr. Kenenóis se o contrato fosse de desconto racional, em vez de comercial? b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o problema Para resolver esse problema, precisamos encontrar o valor do desconto comercial (tema 3) e depois aplicar na fórmula de relação entre descontos (tema 4). c. Apresentação da solução do problema 1º passo: encontrar o desconto comercial Dc = VN . i . n Dc = 2,5 mil . (15% /30 dias) . 10 dias Dc = 2,5 mil . 0,5%; 10 Dc = 2,5 mil . 5% Dc = R$ 125,00 2º passo: encontrar o desconto racional Dc = Dr . (1 + i . n ) 125 = Dr . (1 + 0,5% . 10) Dr = 125 / (1 +5%) Dr = 125 / 1,05 Dr = 119,05 25 FINALIZANDO Nesta rota estudamos os juros simples. Vimos as diferentes formas de obtermos o valor presente e o valor futuro (fórmulas, fator de cálculo e HP 12c). Também estudamos as três formas possíveis de desconto (racional, comercial e do banqueiro), em que exploramos as relações que elas têm entre si e, também, com a taxa efetiva nos juros compostos. E, por fim, vimos como é possível encontrar o valor médio de prazos e taxas de juros em operações de desconto de lotes de títulos. Tudo isso foi visto utilizando exemplos numéricos em que os cenários foram sendo alterados didaticamente para facilitar sua aprendizagem. 26 REFERÊNCIAS ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. Curitiba: Intersaberes, 2013. CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex, 2010. RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da engenharia econômica. Curitiba: Ibpex, 2011.
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