Modelagem Matemática Aplicada a Finanças

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Cálculo Aplicado 
AULA 6 
Prof. Ernani João Silva 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa última aula sobre modelagem matemática 
aplicada a finanças. Hoje vamos completar nossos estudos abordando os temas: 
1. Processo inflacionário e índices de preços; 
2. Taxa de juros aparente e taxa real; 
3. Desvalorização: Valores monetários e taxas; 
4. Mensuração estatística: esperanças e riscos; 
5. Elementos básicos da análise de títulos de renda fixa. 
Nosso objetivo com esses temas é trazer-lhes compreensão sobre qual é 
o impacto da inflação no valor do capital e, também, quais são os postos-chaves 
que precisam ser abordados em análises financeiras sobre os riscos 
operacionais e sobre a rentabilidade de títulos de renda fixa. Então, vamos 
trabalhar! 
CONTEXTUALIZANDO 
Dois erros muito comuns nas decisões financeiras são: (a) confundir 
ganho nominal com ganho real; (b) não ponderar os riscos presentes na 
operação que é realizada. No primeiro caso, um investido despreparado 
confunde o simples aumento de numerário com aumento no poder de compra. 
Um aumento no poder de compra somente se concretiza quando o aumento do 
volume do capital supera a elevação generalizada dos preços da Economia. Ou 
seja, quando o ganho de capital vence a inflação. Assim, é de suma importância 
saber “onde e como” se obtém os valores das taxas inflacionárias, bem como 
quais informações essas taxas podem fornecer sobre a real rentabilidade de um 
investimento. Quanto ao segundo item, temos que o risco é uma condição que 
orbita a Esperança estatística dos valores de um fluxo de caixa. E quando esse 
horizonte de eventos é negligenciado, pode surgir cenários onde a percepção 
extremamente pessimista ou otimista sobre o fluxo de caixa desqualifica 
qualquer análise financeira que possa ser feita. Portanto, vamos, agora, busca o 
conhecimento que nos distancie desses erros. 
 
 
 
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TEMA 1 – PROCESSO INFLACIONÁRIO E OS ÍNDICES DE PREÇO 
Durante as aulas anteriores, trabalhamos com o conceito de que um 
capital é emprestado mediante uma recompensa, a qual é mensurada pelo valor 
da taxa de juro (também conhecida nesses casos como “custo do capital” ou 
“serviço da dívida”). Esta taxa de juro “i”, como foi visto, seria definida tanto pelo 
custo de oportunidade como, também, pelo risco incorrido no empréstimo feito. 
E, tudo isso que foi estudado, acredite, é a mais pura verdade, todavia... não é 
tudo o que existe sobre esse assunto. Agora, chegou a hora de acrescentarmos 
mais uma variável importante na análise de um fluxo de caixa: a inflação! 
Inflação é um conceito econômico que é utilizado para ilustrar que ocorreu 
em determinada economia, em dado período, um aumento generalizado nos 
preços dos bens e serviços transacionados. Por exemplo, quando aparece na 
mídia que a inflação do ano foi de 10%, isto quer dizer que, em geral, os produtos 
da economia ficaram 10% mais caros em relação ao que custavam no início do 
ano. Ou seja, nesse cenário tem-se que atualmente uma família, para adquirir 
os mesmos produtos (nas mesmas quantidades), precisará gastar 10% a mais 
do que gastou no início do ano. 
Mas cuidado! A inflação é um conceito sobre um comportamento 
agregado, isto é, trata-se de uma medição realizada para analisar a variação do 
valor total de uma cesta de produto. Portanto, nessa cesta, obviamente, poderá 
ter itens que subiram mais do que a inflação, itens que ficaram estáticos (sem 
alteração de preço) e itens que abaixaram de preço (obs.: logicamente, pode 
ocorrer que, em caso extremo, todos os itens de uma cesta aumentem). 
Reforçando, na medição da inflação, o que importa é o valor final da cesta e, 
portanto, trata-se de uma medida que considera tanto o valor dos bens/serviços 
como as quantidades que foram adquiridas destes (quanto maior o consumo, 
maior o impacto do produto na mensuração da inflação e vice-versa). 
Existem vários índices sobre o processo inflacionário brasileiro, cada qual 
referente a um tipo específico de cesta, por exemplo, temos: IPCA (Índice 
[Nacional] de Preços ao Consumidor Amplo), INPC (Índice Nacional de Preços 
ao Consumidor), IGP-DI (Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna), IGP-
M (Índice Geral de Preços – Mercado) etc. Atualmente, o IPCA é o índice oficial 
do governo federal para mensuração da inflação brasileira e, por isso, vamos 
usá-lo como exemplo para as modelagens que serão vistas nesta aula. 
 
 
4 
O IPCA é um produto elaborado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística – IBGE, o qual você pode acessar por meio do seguinte link: 
<https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/defaulti
npc.shtm>. Acesso em: 19 nov. 2017. Neste endereço você vai encontrar toda a 
metodologia utilizada para a apuração do índice, como: itens presentes na cesta, 
cidades pesquisadas, periodicidade da pesquisa etc. Fica a dica: Vale a pena 
acessar, é muito interessante. 
Como esta é uma aula da aplicação da matemática nas finanças, vamos 
focar somente na tabela final que traz as informações sobre a inflação, a qual 
segue abaixo exemplificada: 
Tabela 1 – Série Histórica do IPCA 
 
Fonte: IBGE, 2016. 
A tabela anterior é referente ao período entre set/2016 a set/2017. As 
duas primeiras colunas identificam o ano e o mês da mensuração. A terceira 
coluna é a do número índice, nesta temos qual seria o valor atual de uma cesta 
de produtos que mensurada em dezembro de 1993 como tendo o valor de 100 
unidades. As cinco colunas restantes são as variações percentuais do valor da 
cesta (= taxa da inflação), segundo os números índices, entre as datas indicadas, 
 
 
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ou seja, em relação aos últimos 3 meses, 6 meses, 12 meses e desde o início 
do presente ano. Vamos entender como essas taxas são calculadas: 
Fórmula 1 – Taxa de inflação 
π = � I t 
I 0 – 1� . 100 
Onde: 
• π: taxa de inflação do período entre tempo 0 (zero) e tempo t; 
• I t: Número índice no tempo “t” (tempo final para o período desejado); 
• I 0: Número índice no tempo “0” (tempo inicial para o período desejado). 
Vamos aplicar a fórmula usando como tempo “t” a linha de set/2017, 
portanto: I t: 4860,83 (tempo final para o período desejado: t = setembro) 
a. Inflação mensal em setembro/2017: I 0: 4853,07 (tempo inicial para o período desejado: 0 = agosto) 
π = � 4860,83
4853,07 – 1 � . 100 = (1,0016 – 1) . 100 = 0,0016 . 100 ∴ π = 
0,16% 
b. Inflação trimestral em setembro/2017: I 0 : 4832,27 (tempo inicial para o período desejado: 0 = junho) 
π = � 4860,83
4832,27 – 1 � . 100 = (1,0059 – 1) . 100 = 0,0059 . 100 ∴ π 
= 0,59% 
c. Inflação semestral em setembro/2017: I 0 : 4821,69 (tempo inicial para o período desejado: 0 = março) 
 
 
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π = � 4860,83
4821,69 – 1 � . 100 = (1,0081 – 1) . 100 ∴ π = 0,81% 
d. Inflação no ano em setembro/2017: I 0 : 4775,70 (tempo inicial para o período desejado: 0 = dezembro*) 
π = � 4860,83
4775,70 – 1 � . 100 = (1,0178 – 1) . 100 = 0,0178 . 100 ∴ π = 
1,78% 
*Obs.: “t” zero é dezembro do ano anterior, pois se fosse janeiro de 2017 
perderíamos o valor de inflação desse mês no acumulado do ano. 
e. Inflação nos últimos 12 meses em setembro/2017: I 0: 4740,53 (tempo inicial para o período desejado: 0 = setembro/2016*) 
π = � 4860,83
4740,53 – 1 � . 100 = (1,0254 – 1) . 100 = 0,0254 . 100 ∴π = 2,54% 
Observação: o valor de inflação acumulado nos últimos 12 meses sempre 
será o mês desejado contra o mesmo mês do ano anterior. 
Utilizando essa mesma lógica, poderemos obter quaisquer taxas de 
inflação que desejarmos, por exemplo, bimestral, quadrimestral, últimos dois 
anos etc. Ou seja, não precisamos ficarlimitados às informações de variação % 
da tabela. Vamos fazer um teste busca a taxa de inflação bimestral: 
f. Inflação bimestral em setembro/2017: I 0: 4843,87 (tempo inicial para o período desejado: 0 = julho) 
π = � 4860,83
4843,87 – 1 � . 100 = (1,0035 – 1) . 100 = 0,0035 . 100 ∴ 
π = 0,35% 
Agora que já sabemos calcular a inflação para qualquer período de tempo, 
vamos ver como usamos esse conhecimento nas análises financeiras. 
 
 
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TEMA 2 – TAXA DE JURO APARENTE E TAXA DE JURO REAL 
A taxa de juro aparente, segundo Castanheira e Macedo (2010), é aquele 
valor percentual que foi efetivamente utilizado no cálculo financeiro e que 
“aparentemente” satisfez a intenção de remuneração daquele que emprestou o 
capital. Por que “aparentemente”? Simples, dependendo do impacto do processo 
inflacionário a taxa de juro efetiva pode perder sua força, comprometendo seu 
valor real. Ficou um pouco confuso? Então, acompanhe esse raciocínio... 
a. Você tem R$1.000,00 no bolso e quer comprar o celular Top-10, porém, 
ele custa R$ 1.100,00. Por $1.000,00 você poderia até comprar o celular 
Top-5, mas o que você quer é o modelo Top-10 e não abre mão desse 
desejo. 
b. Por isso, você aplica seu dinheiro em um título de renda fixa que remunera 
efetivamente o capital em 10% ao ano. Ou seja, você vai ficar longe de 
seus R$ 1.000,00 por ano, vai ficar sem qualquer celular por um ano, tudo 
para aumentar em 10% seu poder de comprar e, assim, poder comprar o 
Top-10. 
c. Passado um ano, você, feliz da vida, saca seus R$ 1.100,00 (R$ 1.000+ 
R$100 de juro) para comprar o seu tão sonhado Top-10. 
d. Ao chegar à loja você descobre que o Top-5 e o Top-10 tiveram um 
reajuste de preço com base no IPCA, o qual foi de 10% no acumulado de 
12 meses. O Top-10 passou a ter um preço de $1.210,00 (R$ 1.100 + R$ 
110 de ajuste inflacionário) e o Top-5 passou para R$ 1100,00 (R$ 1.000 
+ R$ 100 de inflação). 
e. Portanto, você não pode comprar o Top-10, só tem poder de compra para 
o Top-5. Sendo assim, considerando o efeito inflacionário, o ganho real 
que você teve na aplicação financeira foi zero. Ou seja, aparentemente 
você ficou mais rico em 10%, pois seus R$ 1.000,00 viraram R$ 1.100,00, 
porém, depois de um ano, sua situação econômica real é a mesma. 
Entendeu? 
No exemplo anterior, fizemos um exercício com um produto apenas, mas 
no dia a dia essa lógica é aplicada em relação à nossa cesta de consumo. É, por 
isso, que a análise com base no índice inflacionário é válida, pois em uma cesta 
alguns itens podem até subir mais ou menos em relação à inflação oficial, outros 
 
 
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podem até cair ou manter seu preço... no final, o que importa é o valor final da 
cesta e quanto o poder de compra de nosso capital foi alterado com a inflação. 
Portanto, segundo essa lógica que foi vista, temos que a primeira coisa 
que precisamos fazer em uma análise financeira sobre o ganho real do capital 
é... Reajustar a cesta de produto com o índice inflacionário! Somente depois é 
que devemos calcular qual foi o ganho real. Para nossa sorte, toda essa 
operação pode ser resumida em uma modelagem matemática bem simples: 
Fórmula 2 – Cálculo do ganho real 
r = � 1+ 𝑖𝑖
1+ 𝜋𝜋 – 1� . 100 
Onde: 
• i: taxa de real entre tempo 0 (zero) e tempo t; 
• i: taxa de efetiva (aparente) entre tempo 0 (zero) e tempo t; 
• π: taxa de inflação do período entre tempo 0 (zero) e tempo t. 
Vamos entender essa fórmula usando outro exemplo. Você entrou em 
uma empresa ganhando R$ 1.000,00; após 12 meses de trabalho recebeu um 
aumento em seu salário no valor de 15%. Sabendo que nesse período a inflação 
foi de 10%, qual foi seu ganho real com o aumento? 
Solução 
Atenção → Você “NÃO PODE” fazer 15% -10% = 5%. Fazer isso é muito 
errado! 
Agora, vamos resolver o problema de duas formas: a demorada e a fácil: 
a. Resolvendo o problema com muito trabalho (forma demorada): 
 
Primeiro, devemos ajustar o salário original com o índice inflacionário. 
VP ajustado = VP original . (1 + π) → VP ajustado = 1000 . (1 + 10% ) 
VP ajustado = R$1100,00 
Depois, devemos calcular o novo valor do salário com o aumento recebido 
VF = VP original . (1 + i) → VF = 1000 . (1 + 15%) → VF = R$ 1150,00 
 
 
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Por fim, vamos encontrar a taxa real entre esses dois valores calculados. 
VF = VP ajustado . (1 + r) → 1150 = 1100 . (1 + r) → 1+ r = 1150/1100 ∴ 
r = 1,04545 – 1 → i = 0,04545 ≅ 4,5% (viu? A taxa real não é 5%) 
b. Resolvendo o problema com menos trabalho (forma fácil): 
r = � 1+ 15%
1+ 10% – 1� . 100 → r = ( 1,04545 – 1 ) . 100 → r = 4,5% 
Agora que já você já entendeu o conceito, vamos encerrar esse tópico 
complicando um pouco as coisas: vamos utilizar dois conceitos em um mesmo 
problema: “taxa real” e “taxa equivalente”. 
A loja de veículos “Lata velha Ltda” financia seus veículos com uma taxa 
de juros de 24% ao ano, capitalização composta mensal e postecipada. Sabendo 
que a taxa inflacionária da Economia é estimada em 10% ao ano, qual é a taxa 
real mensal cobrada pela loja? 
Solução 
i nominal = 24% ao ano ∴ i efetivo = 24% / 12 meses = 2% ao mês 
i inflação = π =10% ao ano 
a. Cálculo da taxa inflação mensal equivalente para 10% ao ano: 
i q = ( 1 + i t )
q/t – 1 = ( 1 + 10% ) 1 / 12 – 1 = 1,1 1/12 – 1 
i q = 1,007974 – 1 = 0,007974 
π ≅ 0,7974% ao mês 
b. Cálculo da taxa real mensal: 
r = 1 + 𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 
1 + 𝜋𝜋 ─ 1 = 1 + 2%1 + 0,7974% ─ 1 = 1,011931 ─ 1 ∴ 
r = 1,011931 – 1 = 0,011931 ∴ r ≅ 1,19% ao mês 
 
 
10 
Não achou interessante? Todo o conteúdo que estamos estudando, 
desde a primeira aula, quando usados juntos, ampliam nossa compreensão 
sobre o significado dos dados financeiros. Por isso, a percepção sistêmica na 
análise financeira é tão importante. 
TEMA 3 – O IMPACTO DA INFLAÇÃO: VALORES MONETÁRIOS E TAXAS 
Se quisermos a entender o comportamento de nossas aplicações 
financeiras – títulos, estoques, operações comerciais etc. – em nossas análises 
o impacto da inflação precisa estar presentes nos números gerados. E, para 
tanto, podemos utilizar os três procedimentos que seguem para isso. 
3.1 Taxa de desvalorização da moeda: TDM 
Segundo Assaf Neto (2016, p. 66): “Enquanto a inflação representa uma 
elevação nos níveis de preços, a taxa de desvalorização da moeda (TDM) mede 
a queda no poder de compra da moeda”. Ou seja, a TDM é um valor numérico 
percentual que representa a perda que o capital sofre dado o processo 
inflacionário. Nesse sentido, Assaf Neto (2016) exemplifica que se a inflação for, 
em certo período, igual a 100% (isto é, se ela dobrar os preços), então as famílias 
dessa economia terão uma redução de 50% no poder de compra (se os preços 
dobram, então a mesma renda somente compra a metade do que comprava 
antes). Seguindo essa lógica, tem-se a seguinte modelagem para o cálculo da 
TDM: 
Fórmula 3 – Cálculo da TDM 
TDM = π 
1 + 𝜋𝜋 . 100 
Onde: 
• TDM: axa de desvalorização da moeda; 
• π: taxa de inflação do período entre tempo 0 (zero) e tempo t. 
Vamos praticar! Sabendo que a taxa inflacionária da Economia é estimada 
em 10% ao ano, qual é a taxa de desvalorização da moeda para esse período? 
 
 
 
11 
Solução 
TDM = 10%
1 + 10% . 100 = 0,11,1 . 100 = 9,09% 
Ou seja, se os preços subirem 10%, o poder de compra cai 9,09%. 
3.2 Análise do comportamento real dos valores monetários 
Vamos imaginar que uma empresa obteve, ao longo de setes meses, as 
seguintes receitas: 
Tabela 2 – Receitas de uma empresa 
Dezembro R$ 100,00 
Janeiro 
Fevereiro 
Março 
Abril 
Maio 
JunhoR$ 120,00 
R$ 150,00 
R$ 198,00 
R$ 265,32 
R$ 366,14 
R$ 512,60 
 
Analisando esses números, informe: 
a. Quais as taxas mensais de crescimento da receita de janeiro a junho (isto 
é, para cada mês do primeiro semestre do ano que foi iniciado)? 
Para atender esse pedido é bem fácil, pois basta dividir a receita de cada 
mês pela receita do mês anterior e subtrair por 1 e multiplicar o resultado por 100 
(a gente fez exatamente isso para achar taxa real mensal, lembrou?) 
Tabela 3 – Solução 
 Dezembro R$ 100,00 Solução: taxas de crescimento 
Janeiro 
Fevereiro 
Março 
Abril 
Maio 
Junho 
R$ 120,00 
R$ 150,00 
R$ 198,00 
R$ 265,32 
R$ 366,14 
R$ 512,60 
[ (120,00/100,00) -1 ] . 100 = 20% 
[ (150,00/120,00) -1 ] . 100 = 25% 
[ (198,00/150,00) -1 ] . 100 = 32% 
[ (265,32/198,00) -1 ] . 100 = 34% 
[ (366,14/265,32) -1 ] . 100 = 38% 
[ (512,60/366,14) -1 ] . 100 = 40% 
 
 
 
12 
Sabe o que isso significa? Nada, pois se a gente não souber o valor da 
taxa de inflação desse período, não dá para dizer se a empresa está bem ou mal 
em suas vendas. Sendo assim, vamos considerar que esses dados são 
referentes ao ano de 1994 (portanto, antes da moeda real entrar em circulação). 
Sendo assim, segue o IPCA de 1994, entre janeiro e junho. 
Tabela 4 – IPCA de 1994, entre janeiro e junho 
Mês Receita 
Taxas de 
crescimento 
Taxa de 
Inflação* 
Janeiro 
Fevereiro 
Março 
Abril 
Maio 
Junho 
R$ 120,00 
R$ 150,00 
R$ 198,00 
R$ 265,32 
R$ 366,14 
R$ 512,60 
20% 
25% 
32% 
34% 
38% 
40% 
41,31% 
40,27% 
42,75% 
42,68% 
44,03% 
47,43% 
*Observação: Não tem nenhum erro, essas são taxas mensais verdadeiras do IPCA/1994. 
Agora que temos a taxa de inflação mensal do IPCA, responda: 
b. Quais as taxas reais de crescimento ao mês da receita de janeiro a junho? 
Para atender esse pedido é bem fácil, pois basta aplica a fórmula da taxa 
real de juros (ver Tema 2). 
Tabela 5 – Taxas reais de crescimento ao mês da receita de janeiro a junho 
Mês Receita 
Taxas de 
crescimento 
(Nominal) 
Taxa de 
Inflação 
Taxas de crescimento 
(Real) 
Jan. 
Fev. 
Mar. 
Abril 
Mai. 
Jun. 
R$120,00 
R$150,00 
R$198,00 
R$265,32 
R$366,14 
R$512,60 
20% 
25% 
32% 
34% 
38% 
40% 
41,31% 
40,27% 
42,75% 
42,68% 
44,03% 
47,43% 
[(1+20%)/(1+41,31%) -1].100= -15% 
[(1+25%)/(1+40,27%) -1].100= -11% 
[(1+32%)/(1+42,75%) -1].100= -08% 
[(1+34%)/(1+42,68%) -1].100= -06% 
[(1+38%)/(1+44,03%) -1].100= -04% 
[(1+40%)/(1+47,43%) -1].100= -05% 
 
Agora sim podemos analisar o comportamento da receita dessa empresa. 
Nesse sentido, podemos observar que ela teve crescimento real negativo em 
todos os meses se for considerando IPCA (isto é, a receita real contraiu). 
 
 
13 
Portanto, podemos concluir que esta empresa teve um péssimo primeiro 
semestre. 
3.3 Taxa média de juros: inflação e crescimento 
Agora vamos encerrar esse tema apresentando como podemos obter 
tanto a taxa média de crescimento como, também, a taxa média de inflação de 
um período. Para tanto, vamos começar entendendo qual é o comportamento da 
taxa de crescimento e de inflação mensal. E, nesse sentido, temos que tanto a 
taxa de inflação como a taxa de crescimento, na condição mensal, apresentam 
um comportamento de acréscimo ou decréscimo sucessivo. Sendo assim, as 
inúmeras taxas presente em dado período podem ser convertidas em uma única 
taxa média. A qual, dependendo dos dados que dispomos, pode ser obtida por 
duas formas diferentes: 
a. Taxa média quando temos os valores monetários 
Taxa média = ( �
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛 ─ 1 ).100 
Vamos exemplificar! 
Exemplo 1 
Vamos usar a fórmula com os dados da tabela presente no item 3.2. 
Tabela 6 – Receitas de uma empresa 
n Mês Receita 
0 Dezembro R$ 100,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Janeiro 
Fevereiro 
Março 
Abril 
Maio 
Junho 
R$ 120,00 
R$ 150,00 
R$ 198,00 
R$ 265,32 
R$ 366,14 
R$ 512,60 
Taxa média = ( �
512,60
100
6 ─ 1 ) . 100 = 0,3131 . 100 =31,31% 
Exemplo 2 
 
 
14 
Vamos usar a fórmula na Tabela IPCA presente no Tema 2. 
Tabela 7 – Série Histórica do IPCA 
 
Taxa média = ( �
4860,83
4775,709 ─ 1 ) . 100 = 0,1965% ao mês (dez/16 → n=0) 
b. Quando temos somente os valores percentuais 
Taxa média = ( �∏ xtnt=1n ─ 1) . 100 , sendo: x t = 1 + taxa t 
Onde: 
• Π: é o produtório (o produto da multiplicação dos x t ); 
• x t: é o índice de cada tempo t do período (a partir do item 1). 
Vamos exemplificar usando a fórmula na Tabela IPCA presente no Tema 
2. 
 
 
 
15 
Tabela 8 – Série Histórica do IPCA 
 
 
Passo 1: vamos encontrar os valore de x t 
X1=1+0,38% = 1 + 0,0038 = 1,0038 
... 
X6 = 1 + (-0,23%) = 1 – 0,0023 = 0,9977 
... 
X9= 1 + 0,16% = 1,0016 
Observação: as “...” (reticências) indicam que será feito o mesmo cálculo 
para os demais xt, ( isto é, para “x2; x3; x4; x5” e “x7; x8”). 
Passo 2: vamos encontrar o produto dos valores de x t 
∏ 𝐱𝐱𝐭𝐭
𝐧𝐧
𝐭𝐭=𝟏𝟏 =1,0038 . 1,0033 . 1,0025 . 1,0014 . 0,0031 . 0,9977 . 1,0024 . 
 1,0019 .0,0016 = 1,0178269 
Passo 3: vamos encontrar a taxa média da inflação mensal: 
Taxa média = ( √1,0178269 9 ─ 1) . 100 = 0,1965% ao mês 
Como você pode notar, tanto um modo como outro exige apenas 
organização e atenção, pois um deslize pode comprometer o resultado final. 
Todavia, o cálculo não é complexo, quando muito, pode ser dito como 
 
 
16 
trabalhoso. Dito isso, podemos encerrar esse tema e partir para nosso próximo 
assunto: o risco de um investimento segundo a percepção estatística. 
TEMA 4 – A ESTATÍSTICA NA MEDIÇÃO DO RISCO E DA ESPERANÇA 
Antes de começarmos, um alerta semântico! Caso você, meu caro leitor, 
queira se aprofundar na análise estatística dos riscos, saiba que em seus 
estudos encontrará certa divergência entre os autores se as modelagens que 
aqui serão vistas são análises de risco ou de incertezas. Para alguns, é a mesma 
coisa, para outros, não. Dado esse fato, para evitar confusão, aqui usaremos 
uma das distinções que se faz presente no artigo de Andrade (2011, p.172), o 
conceito de Knight sobre risco e incerteza: 
[...] o risco é considerado como uma probabilidade mensurável, e a 
incerteza, como uma situação expressa por valores indeterminados e 
não quantificáveis, isto é, refere-se a uma situação de “probabilidade 
numericamente imensurável. (Knight, 1921, p. 19) 
Portanto, nesse penúltimo tema da aula, tendo como base a citação 
anterior, iremos estudar como um investimento financeiro pode ser analisado 
segundo seus valores de Esperança (média ponderada por probabilidade 
estatística) e Risco estatístico (desvio padrão em torno da Esperança). 
4.1 Esperança estatística de um investimento 
Quando um fluxo de caixa não apresenta um comportamento estável 
quanto aos valores de encaixes e desencaixes de capital – isto é, quando existe 
um risco de oscilação desses valores – se faz necessário estabelecer algum 
critério que permita mitigar o risco da operação realizada. Nesse caso, a primeira 
etapa a ser feita é definir qual é a Esperança estatística que temos para cada 
evento do fluxo de caixa da a presença dessa citada oscilação. Ou seja, 
buscaremos o valor médio para cada momento “t” considerando as 
possibilidades que acreditamos existirem para ele; para tanto, usamos: 
Fórmula 4 – Valor médio para cada momento “t” 
𝐸𝐸𝑡𝑡 = ∑ 𝑃𝑃 𝑗𝑗 . 𝑉𝑉 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 
Onde: 
• 𝐸𝐸𝑡𝑡: Esperança no momento “t”; 
 
 
17 
• 𝑃𝑃 𝑗𝑗 .𝑉𝑉 𝑗𝑗:Produto entre Probabilidade “P j” e Valor estimado “V j” no 
momento “t”; 
• ∑ . 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 : Somatória do produto entre as probabilidades e valores possíveis, 
desde a primeira possibilidade (j=1) até a última (j=m ou apenas m). 
Agora que já temos a fórmula base da Esperança, precisamos definir os 
valores de “P”, para isso, vamos utilizar o desenvolvimento presente em Hirshfeld 
(2000, p.493, grifo nosso), onde temos que “Apesar de o número de estimativa 
de cada contribuição do fluxo de não necessitar ser o mesmo para todas as 
contribuições, adota-se, de forma geral, por simplificação ou sistematização, 
um número igual para todas elas”. O que Hishfeld quer dizer é que para 
simplificar o procedimento de análise ou mesmo estabelecer um critério 
sistêmico, na prática, utiliza-se um mesmo valor probabilístico para cada possível 
ocorrência. Qual? Bem, isso depende de qual literatura você utilizar, aqui será 
uma que foi citada pelo próprio Hirshfeld (2000, p. 493): 
“[...] recebe boa aceitação (principalmente do PERT) é o [número] igual 
a 3 [possibilidades], onde as probabilidades mais viáveis se situam, 
respectivamente, ao redor dos valores: 66% (valor mais provável), 17% 
(valor otimista) e 17% (valor pessimista).”1 
Vamos entender o que tudo isso significa praticando. Imagine que 
queremos comprar uma máquina no valor de R$ 220,31, a qual terá para nós 
uma serventia operacional de 3 anos, sendo vendida após esse tempo. Para 
tanto, conversamos com vários especialistas sobre qual será o fluxo de caixa 
desse investimento, considerando um horizonte de possibilidades: mais provável 
(66%), otimista (17%) e pessimista (17%). Os resultados obtidos foram: 
Tabela 6 – Fluxo de caixa desse investimento 
Possibilidade j P V P j . V j 
Valor mais provável 1 66% 9,50 6,27 
Valor otimista 2 17% 14,05 2,39 
Valor pessimista 3 17% 7,90 1,34 
 Esperança para momento t =1 → 10,00 = 𝐸𝐸𝑡𝑡 = ∑ 𝑃𝑃 𝑗𝑗 . 𝑉𝑉 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 
 
 
1 PERT significa Program Evaluation and Review Technique, trata-se de um programa elaborado 
para o gerenciamento de projetos que é praticado desde meados do século passado. 
 
 
18 
 
 
Possibilidade j P V P j . V j 
Valor mais provável 1 66% - 0,90 - 0,59 
Valor otimista 2 17% - 0,20 - 0,03 
Valor pessimista 3 17% - 2,20 - 0,37 
 Esperança para momento t =2 → - 1,00 = 𝐸𝐸𝑡𝑡 = ∑ 𝑃𝑃 𝑗𝑗 . 𝑉𝑉 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 
 
 
Possibilidade j P V P j . V j 
Valor mais provável 1 66% 212,00 139,92 
Valor otimista 2 17% 249,66 42,44 
Valor pessimista 3 17% 192,01 32,64 
 Esperança para momento t =3 → 215,00 = 𝐸𝐸𝑡𝑡 = ∑ 𝑃𝑃 𝑗𝑗 . 𝑉𝑉 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 
 
E, sendo assim, com esses dados de Esperança, o fluxo de caixa que 
podemos esperar para o investimento que será feito com a compra da máquina 
é... 
Figura 1 – Fluxo de caixa 
 
Agora que definimos qual é a nossa esperança de fluxo, podemos aplicar 
todas as modelagens que foram vistas nas aulas anteriores. Todavia, surge uma 
dúvida: qual o risco que estaríamos correndo com esses dados em nossas 
análises? Para responder isso, precisamos ver o próximo item. 
4.2 Risco estatística de um investimento 
De forma intuitiva, podemos dizer que o risco estatístico em valores 
absolutos é definido como sendo o valor médio de variação dos valores que 
geraram a Esperança (Item 4.1) em torno do valor da Esperança. Quanto maior 
for esta dispersão em torno da Esperança, maior o risco e, na mesma forma, 
quanto menor seu valor, menor o risco. Este valor médio da variação em torno 
da Esperança é denominado de desvio padrão. Também podemos mensurar o 
risco de forma relativa, para tanto, basta dividirmos o valor do desvio padrão pelo 
 
 
19 
valor da esperança e multiplicar o resultado por 100, este valor obtido é chamado 
de Coeficiente de variação. Como eles são obtidos? Por meio de três passos 
bem simples: 
Passo 1 
Precisamos encontrar a variância dos valores, por meio da seguinte 
fórmula: 
𝜎𝜎𝑡𝑡
2 = ∑ ( 𝑉𝑉 𝑗𝑗 − 𝐸𝐸 𝑡𝑡)2. 𝑃𝑃 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 
Onde: 
• 𝜎𝜎𝑡𝑡
2: Variância no momento “t”; 
• 𝑉𝑉 𝑗𝑗: Valor estimado “V j” no momento “t”; 
• 𝐸𝐸𝑡𝑡: Esperança no momento “t”; 
• 𝑃𝑃 𝑗𝑗: Probabilidade estimada “P j” no momento “t”. 
Vamos entender o porquê do valor quadrado. Acontece que se a gente 
subtrair de cada Vj o valor da Esperança, logicamente, obtemos o valor de 
variação de cada item... o problema é que, sempre que somarmos esses valores, 
o resultado será zero, ou seja, assim não conseguiremos fazer a média das 
variações... Para contornar esse problema, elevamos cada valor de variação ao 
quadrado, assim, temos como somar os valores ao quadrado (pois todos são 
positivos) e, desta forma, calcular variação da média “ao quadrado” desses 
dados em torno da Esperança. Todavia, essa solução exige a realização do 
próximo passo. 
Passo 2 
Precisamos encontrar o desvio padrão dos valores (risco em valores 
absolutos). 
𝜎𝜎𝑡𝑡 = �𝜎𝜎𝑡𝑡2
2 
 
Onde: 
• 𝜎𝜎𝑡𝑡: Desvio padrão no momento “t”; 
• 𝜎𝜎𝑡𝑡
2: Variância no momento “t”. 
É isso mesmo que você entendeu: o desvio padrão nada mais é que a raiz 
quadrada da variância (o resultado do passo anterior). Ou seja, o desvio padrão 
 
 
20 
é a variação dos dados em torno da Esperança, agora sem estarem na condição 
ao quadrado. Além do que, seu resultado é uma variação com +/- (pois é o 
resultado de uma raiz), ou seja, a variação pode ser para cima ou para baixo em 
torno da Esperança. Só tem um problema: esse valor obtido é um valor absoluto, 
sendo assim, caso seja necessário compará-lo com outros valores, teremos o 
problema das escalas... quando isso acontece, precisamos transformá-los em 
valores relativos, o terceiro passo. 
Passo 3 
Precisamos encontrar o Coeficiente de variação (= risco em valores 
relativos), utilizando a seguinte fórmula: 
CV = 
σt
Et
 . 100 
Onde: 
𝐶𝐶𝑉𝑉 : Coeficiente de variação no momento “t” 
𝜎𝜎𝑡𝑡 : Desvio padrão no momento “t” 
𝐸𝐸𝑡𝑡 : Esperança no momento “t” 
Se você não multiplicar por 100 o CV nos informa qual é o desvio em torno 
da Esperança a cada 1 unidade de Esperança. Agora, se você multiplicar por 
100, teremos o desvio a cada 100 unidades de Esperança, isto é, o desvio 
percentual. Vamos praticar! 
Tabela 7 – Desvio percentual 
Possibilidade j P V (V – E) 2 . P 
Valor mais provável 1 66% 9,50 (9,5 - 10)2 . 66% = 0,17 
Valor otimista 2 17% 14,05 (14,05 - 10) 2 . 17% = 2,79 
Valor pessimista 3 17% 7,90 (7,9 - 10) 2 . 17% = 0,75 
 Variância do momento t =1 → 3,70 = 𝜎𝜎𝑡𝑡2 
 Desvio padrão do momento t =1 → 1,92 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 
 Coeficiente de variação do momento t=1 → 19,2% = CV % 
 
 
Possibilidade j P V (V – E) 2 . P 
Valor mais provável 1 66% - 0,90 (-0,9 - (-1) ) 2 . 66% = 0,01 
Valor otimista 2 17% - 0,20 (-0,2 - (-1) ) 2 . 17% = 0,11 
Valor pessimista 3 17% - 2,20 (-2,2 - (-1) ) 2 . 17% = 0,24 
Variância do momento t =2 → 0,36 = 𝜎𝜎𝑡𝑡2 
 Desvio padrão do momento t =2 → 0,60 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 
 Coeficiente de variação do momento t=2 → 60,0% = CV % 
 
 
 
21 
 
Possibilidade j P V (V – E) 2 . P 
Valor mais provável 1 66% 212,00 (212 - 215 ) 2 . 66% = 5,94 
Valor otimista 2 17% 249,66 (249,66 - 215 ) 2 . 17% = 204,22 
Valor pessimista 3 17% 192,01 (192,01 - 215 ) 2 . 17% = 89,85 
 Variância do momento t =3 → 300,02 = 𝜎𝜎𝑡𝑡2 
 Desvio padrão do momento t =3 → 17,32 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 
 Coeficiente de variação do momento t=3 → 8,1% = CV % 
 
Portanto, com base nos dados mostrados anteriormente,temos que o 
menor risco em valores absolutos é o do momento t=3, pois em torno da 
Esperança de valor -1 (Ver item 4.1), temos o desvio de +/- 0,6. Já o maior risco 
em valor absoluto é o do momento t=3, pois em torno da Esperança de valor 215 
(ver item 4.1) o risco é de +/- 17,32. Todavia, o momento t=2 é o que tem maior 
risco relativo, pois seu coeficiente de variação é de 60%, já o momento t=3 é o 
que tem menor risco relativos uma vez que seu CV é igual 8%. Convenhamos, 
é trabalhoso, porém, não é difícil fazer uma análise dessa! 
Antes de encerrarmos esse tema, é conveniente explicar que existem 
muito mais artefatos na estatística do que apenas Esperança e Riscos, por 
exemplo: mediana, moda, quartil, distribuições (z, t, χ2 etc.), teste de hipóteses 
etc. O que vimos aqui é apenas uma introdução ao tema, dentro das limitações 
de nossa ementa e do tempo que dispomos. Caso você tenha gostado do 
assunto, sugiro buscar mais informações em livros e textos da disciplina de 
estatística aplicada... Acredite, vale a pena! 
TEMA 5 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE TÍTULOS DE RENDA FIXA 
Basicamente, existem dois tipos possíveis de rendas nas operações 
financeiras: as rendas fixas e as rendas variáveis. As rendas variáveis são 
aquelas em que não existem garantias sobre o que ocorrerá até a data do 
resgate/término da operação realizada. Pode ser que ocorra um ganho muito 
alto, pode ser que haja estagnação do capital e, também, pode ocorrer que o 
resultado da operação seja prejuízo (redução do capital). Esse é o caso das 
operações financeiras realizadas no mercado de ações e de mercado futuro. As 
rendas fixas, por sua vez, segundo Vieira Sobrinho (2004, p.143), são assim 
denominadas por garantirem “[...] ao aplicador determinado rendimento, fixado 
no dia da aplicação, isto é, o investidor seguramente receberá no vencimento um 
valor maior que o desembolsado [...] podem ser [elas] pré e pós-fixadas”. 
 
 
22 
Neste último tópico, iremos trabalhar de forma introdutória as operações 
de renda fixa, tanto as do grupo de rendas pré-fixadas como, também, as do 
grupo de rendas pós-fixadas. Nesse sentido, no desenvolvimento deste tema 
vamos listar alguns dos principais títulos desses dois subgrupos da renda fixa e, 
também, veremos um exemplo com um título hipotético em cada uma das duas 
listas geradas. Quanto ao que abordaremos nesses dois exemplos, teremos 
neles uma demonstração básica sobre alguns itens que devem ser ponderados 
em uma análise de investimento, sendo esses: 
a. Valor nominal bruto na data do resgate; 
b. Valor nominal líquido de tributos e taxas na data do resgate; 
c. Taxa efetiva líquida de tributos; 
d. Taxa real líquida de tributos. 
O valor nominal bruto – VNB – é aquele que, nas aulas anteriores, 
denominávamos de Valor futuro – VF – ou Montante – M. Ou seja, é o valor 
original acrescido de juros oriundos do processo de capitalização. O valor 
nominal líquido – VNL – de tributos e taxas é o valor que realmente receberemos 
de capital após o período de aplicação devido ao processo tributário – como 
imposto de renda – IP – e imposto sobre operações financeiras – IOF – e de 
taxas contratuais – como taxas administrativas, custódia, desempenho etc. 
Com relação às taxas, temos que a Taxa efetiva líquida (i L) representa a 
taxa efetiva da operação, segundo a percepção do que fica em nossos bolsos 
no final. Ou seja, a TEL foi taxa de juro utilizada na Aula 5 para comparar a 
eficiência da operação frente ao valor da TMA (Taxa Mínima de Atratividade). E, 
por fim, a Taxa real líquida (i RL) é a análise que realizamos para verificar se nosso 
poder de compra aumentou, estagnou ou regrediu dado o impacto inflacionário 
sobre a aplicação realizada. Ou seja, a taxa real é taxa efetiva líquida 
considerando o efeito da inflação. E, dito tudo isso, vamos trabalhar! 
5.1 Renda fixa: pré-fixada 
a. Conceito 
 
Segundo Vieira Sobrinho (2004, p.143), uma renda fixa é tida como “[...] 
prefixada quando o valor de resgate é conhecido no dia da aplicação”. Ou seja, 
 
 
23 
já no ato contratual, o valor futuro (ou montante) já pode ser projetado com 
segurança. 
b. Alguns exemplos de títulos pré-fixados: 
• CDB: Certificados de Depósitos Bancários; 
• RDB: Recibos de Depósitos Bancários; 
• BBC: Bônus do Banco Central; 
• LTN: Letras do Tesouro Nacional; 
• Etc. 
c. Um exemplo numérico com um título hipotético na condição pré-fixada: 
Vamos calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$ 100 mil feita 
em título X para vencimento em 3 anos, nas seguintes condições: 
I. Taxa de juros 24% ao ano; 
II. Capitalização composta mensal; 
III. 15% de imposto de renda retido na fonte; 
IV. 0% de taxa de administração; 
V. 10% de inflação do período. 
Solução 
• Valor nominal bruto na data do resgate 
VNR → VF = VP . (1 + i ) n 
VNR → VF = VP . (1 + 24%/12meses) 3x12 meses 
VNR → VF = 100 mil . (1 + 2% ao mês ) 36 meses 
VNR → VF = 100 mil . 2,039887 ∴ VNR = 203,99 mil 
• Valor nominal líquido de tributos e taxas na data do resgate 
VNL = VNR – IR 
VNL = VNR – (VNR – VP) . IR% 
VNL = 203,99 mil – (203,99 mil – 100 mil) . 15% 
VNL = 203,99 mil – 103,99 mil . 15% 
VNL = 203,99 mil – 15,60 mil ∴ VNL = 188,39 mil 
 
 
24 
• Taxa efetiva líquida de tributos 
VNL = VP . ( 1 + i L ) n 
188,39 mil = 100 mil . ( 1 + i L ) 36 
 ( 1 + i L ) 36 = 188,39 mil / 100 mil 
( 1 + i L ) 36 = 1,8839 
 1 + i L = √1,883936 
i L = 1,017749 – 1 ∴ i L = 1,77% 
• Taxa real líquida de tributos 
Primeiro, vamos achar a inflação equivalente mensal: 
i q = ( 1 + i t )q/t – 1 
i q = ( 1 + 10% ) 
1 / 12 – 1 ∴ π ≅ 0,7974% ao mês 
 Agora, vamos fazer o cálculo da taxa real mensal: 
r = 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒊𝒊𝒆𝒆𝒆𝒆 
𝟏𝟏 + 𝝅𝝅 ─ 1 
r = 
1 + 1,77%
1 + 0,7974% ─ 1 ∴ r ≅ 0,97% ao mês 
Ou seja, a presente aplicação, apesar de ter uma taxa efetiva mensal de 
2%, após considerarmos o imposto de renda e a inflação, o que realmente sobra 
para aumentar nosso poder de compra/riqueza é 0,97% ao mês. 
 
 
 
25 
5.2 Renda fixa: pós-fixada 
a. Conceito 
Segundo Vieira Sobrinho (2004, p.143), uma renda fixa é denominada 
como pós-fixada quando: 
[...] esse valor somente é determinado no dia (ou alguns dias antes) do 
vencimento. As aplicações com renda pós-fixada pagam juros 
calculados sobre o principal corrigido, ou seja, sobre o valor da 
aplicação adicionado da correção monetária do período. 
Ou seja, o título é de renda fixa, pois todas as condições já estão fixadas 
em contrato (a taxa de juro e o índice de correção monetária), todavia, o valor da 
correção somente será conhecido a posteriori. 
b. Alguns exemplos de títulos pós-fixados: 
• CDB: Certificados de Depósitos Bancários (sim , pode ser pós ou pré) 
• RDB: Recibos de Depósitos Bancários (sim , pode ser pós ou pré) 
• NTN: Notas do Tesouro Nacional 
• Caderneta de poupança 
• Etc. 
a) Um exemplo numérico com um título hipotético na condição pós-fixada: 
Vamos calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$ 100 mil feita 
em título X para vencimento em 1 ano, nas seguintes condições: 
I. Índice de correção TR anual = 6%; 
II. Taxa de juros 5% ao ano; 
III. Capitalização anual; 
IV. 22,5% de imposto de renda retido na fonte; 
V. 0% de taxa de administração; 
VI. 10% de inflação do período. 
Solução 
• Valor nominal bruto na data do resgate 
VNR → VF = VP . (1 + TR) ) n . (1 + i ) n 
VNR → VF = 100 mil . (1 + 6%) 1 . (1 + 5%) 1 
VNR → VF = 100 mil . 1,06 . 1,05 
 
 
26 
VNR → VF = 100 mil . 1,1130 ∴ VNR = 111,30 mil 
Ou seja, primeiroaplicamos o índice e depois o juros. 
• Valor nominal líquido de tributos e taxas na data do resgate 
VNL = VNR – IR 
VNL = VNR – (VNR – VP) . IR% 
VNL =111,3 mil – (111,3 mil – 100 mil) . 22,5% 
VNL = 111,3 mil – 11,3 mil . 22,5% 
VNL = 111,3 mil – 2,54 mil ∴ VNL = 108,76 mil 
• Taxa efetiva líquida de tributos 
VNL = VP . ( 1 + i L ) n 
108,76 mil = 100 mil . ( 1 + i L ) 1 
 ( 1 + i L ) 1 = 108,76 mil / 100 mil 
( 1 + i L ) 1 = 1,0876 
 i L = 1,0876 – 1 ∴ i L = 8,76% 
• Taxa real líquida de tributos 
r = 1 + 𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 
1 + 𝜋𝜋 ─ 1 = 1 + 8,76%1 + 10% ─ 1 = 0,9887 ─ 1 ∴ 
r = - 0,0113 ∴ r ≅ - 1,13% ao ano 
Ou seja, a presente aplicação, apesar de ter uma taxa efetiva mensal de 
2%, após considerarmos o imposto de renda e a inflação, o que realmente ocorre 
é que nosso poder diminuiu em um ano em 1,13%. 
E, assim, com esse último parágrafo, encerramos nosso conteúdo e 
também, nossa disciplina. Parabéns para você que se manteve firme em seus 
estudos até esse momento derradeiro. E, dito isso, desejo-lhe sucesso nesse 
 
 
27 
novo mundo que você começou a desbravar a partir dessas aulas... Lembre-se: 
O conhecimento é um investimento que realizamos para melhorar nosso futuro! 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos vários 
conceitos sobre o processo inflacionário. Agora, entre no Fórum da disciplina e, 
usando este conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares sobre a 
seguinte questão: Será que a população brasileira que se tornou 
economicamente ativa após o plano real compreende qual é o verdadeiro 
impacto da inflação no resultado de suas aplicações financeiras? O que vocês 
observam no comportamento dessas na gestão do próprio capital? 
NA PRÁTICA 
a. Leitura do caso 
Um investidor aplicou R$ 20.000,00 e após um ano obteve como valor 
montante a quantia de R$ 24.000,00. Sabendo que neste citado período a 
inflação acumulada foi de 15%, responda: qual foi o ganho real desse investidor 
em forma de taxa de juros? 
b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
Para resolver esse problema precisamos utilizar o conhecimento presente 
nos temas 1, 2 e 3, pois nestes encontraremos os conceitos básicos sobre o que 
é a inflação e a essência matemática para o uso da fórmula que fornece a taxa 
real de juros. 
c. Apresentação da solução do problema 
Taxa de juros efetiva aparente = �24 000 / 20 0001 - 1 
Taxa de juros efetiva aparente = √1,21 - 1 
Taxa de juros efetiva aparente = 20% 
Taxa de juros real = (1+20%) / (1+15%) – 1 
Taxa de juros real = 1,043478 – 1 
Taxa de juros real = 4,35% (resposta) 
 
 
28 
FINALIZANDO 
Nesta aula estudamos, primeiramente, os elementos básicos do processo 
inflacionário, respondendo implicitamente as seguintes questões ao longo do 
texto: o que é a inflação, como ela é mensurada, o que são índices de preços, 
como eles podem ser utilizados etc. Na sequência, nosso foco foi buscar a 
compreensão sobre o que são riscos estatísticos e que relações apresentam 
com os valores da Esperança estatística em dados presentes em um fluxo de 
caixa. Por fim, em nosso último bloco de conteúdo, essas laudas trouxeram 
alguns elementos básicos na análise de títulos de renda fixa tanto na condição 
pré-fixada como, também, pós-fixada. 
 
 
 
29 
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, R. P. de. A construção do conceito de incerteza: uma comparação 
das contribuições de Knight, Keynes, Shackle e Davidson. Revista Nova 
Economia, v. 21, n. 2, p. 171-195, 2011. 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 13. ed. São 
Paulo: Atlas, 2016 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: InterSaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010. 
HIRSHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. São Paulo: Atlas, 
2000, 7. ed. 
IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. IPCA. 2016. Disponível 
em: 
<https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/defaulti
npc.shtm>. Acesso em: 19 nov. 2017. 
KNIGHT, F. Risk, uncertainty and profit. London: Houghton Mifflin, 1921. 
_____. Risk, uncertainty and profit. 2. ed. London: Houghton Mifflin, 1933. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. Edição Compacta. 3. ed. São 
Paulo: Atlas, 2004. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011. 
 
	Conversa inicial
	Contextualizando
	*Observação: Não tem nenhum erro, essas são taxas mensais verdadeiras do IPCA/1994.
	X1=1+0,38% = 1 + 0,0038 = 1,0038
	...
	X6 = 1 + (-0,23%) = 1 – 0,0023 = 0,9977
	...
	X9= 1 + 0,16% = 1,0016
	Observação: as “...” (reticências) indicam que será feito o mesmo cálculo para os demais xt, ( isto é, para “x2; x3; x4; x5” e “x7; x8”).
	,𝐭=𝟏-𝐧-,𝐱-𝐭.. =1,0038 . 1,0033 . 1,0025 . 1,0014 . 0,0031 . 0,9977 . 1,0024 .
	1,0019 .0,0016 = 1,0178269
	Taxa média = ( ,9-1,0178269 . ─ 1) . 100 = 0,1965% ao mês
	Trocando ideias
	Na prática
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS