ANALISE DE INVESTIMENTOS E ENGENHARIA ECONOMICA - Unidade 1 ( Generalidades sobre Análise de Investimentos e Engenharia financeira; Juros - simples e compostos ;Descontos e o valor do dinheiro no tempo ; Relações de equivalência )

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ASPECTOS INTRODUTÓRIOS À 
DISCIPLINA
Professor:
Dr. Daniel Eduardo dos Santos 
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C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação 
a Distância; SANTOS, Daniel Eduardo dos. 
 
 Análise de Investimentos e Engenharia Econômica. Daniel 
Eduardo dos Santos.
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. 
 46 p.
“Pós-graduação Universo - EaD”.
 1. Análise. 2. Investimentos. 3. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-0037-5
CDD - 22 ed. 658.152 
CIP - NBR 12899 - AACR/2
01
02
03
04
sumário
07| GENERALIDADES SOBRE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E 
 ENGENHARIA FINANCEIRA
13|	 JUROS	-	SIMPLES	E	COMPOSTOS
21|	 DESCONTOS	E	O	VALOR	DO	DINHEIRO	NO	TEMPO
26| RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 • Definir a importância da engenharia financeira no contexto atual no mundo 
dos negócios.
 • Compreender os efeitos do tempo sobre o capital.
 • Abordar sucintamente questões envolvendo Juros e Descontos Simples, 
Comercial e Racional.
 • Demonstrar e comparar as diferenças entre o regime de capitalização simples 
e o composto.
 • Tratar sobre questões envolvendo Juros Compostos e Fluxo de Caixa.
 • Sintetizar as relações de Equivalência, Séries Perpétuas, Taxas Efetiva, Nominal 
e Equivalente.
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 • Generalidades sobre Análise de Investimentos e Engenharia financeira
 • Juros - simples e compostos
 • Descontos e o valor do dinheiro no tempo
 • Relações de equivalência
ASPECTOS INTRODUTÓRIOS À DISCIPLINA
INTRODUÇÃO
introdução
Nosso objetivo é abordar, de forma didática e contextualizada, os assuntos re-
lacionados à engenharia financeira, permitindo conectar esse conteúdo com 
temas relacionados ao dia a dia empresarial, sustentado por exemplos de vivên-
cia profissional, dos meios de comunicação e, ainda, de bibliografias selecionadas 
pertinentes e relevantes ao seu estudo.
Inicialmente, vamos abordar, de forma concisa, o conteúdo de matemática 
financeira, que apresenta conceitos essenciais para avaliação de investimen-
to, principalmente em relação ao dinheiro e sua alteração ao longo do tempo. 
Muito mais do que fórmulas, tabelas e calculadoras financeiras, vamos discutir 
e analisar a importância do dinheiro em diferentes momentos no tempo.
No primeiro tópico dessa unidade, serão apresentados alguns conceitos 
básicos para entender o que são os recursos financeiros, a escassez e o custo do 
recurso financeiro. Todo recurso limitado acaba por ter um custo e, por isso, o di-
nheiro, que é um recurso que utilizamos para comprar, vender, pagar e receber, 
é limitado. Sendo assim, cobramos por ele quando emprestamos ou fornecemos 
tempo para que nos devolvam. Essa aplicação de recursos, podemos chamar 
de investimentos ou projetos, os quais são o material de estudo da análise de 
investimento e da engenharia financeira.
O uso racional dos recursos vem de encontro à necessidade de lidar com a 
escassez, ou seja, a falta ou a limitação dos recursos, por isso precisamos enten-
der como realizarão as escolhas que apresentam os melhores resultados. Como 
existem diferentes propostas para utilização de recursos e para cada uma delas 
podem ser apresentados diferentes benefícios e vantagens, torna-se necessá-
rio utilizar métodos lógicos para definir a opção mais adequada. Nesse sentido 
a análise de investimento e a engenharia financeira apresentam formas (con-
ceitos e métodos) que nos auxiliam a tomar essas decisões.
A partir da segunda parte da unidade, estudaremos aspectos matemáticos 
que nos ajudam a medir o valor do dinheiro ao longo do tempo. Serão apresen-
tados os diferentes conceitos e cálculos que aplicamos para identificar o valor 
do custo do dinheiro, conhecido como juros. Esses estão presentes no nosso 
dia a dia quando contraímos financiamentos, empréstimos e, até mesmo, nas 
compras nos crediários.
INTRODUÇÃO
introdução
Na terceira parte da unidade, estudaremos o uso da opção de antecipar o 
pagamento de títulos e obrigações com juros, pois, quando pagamos os com-
promissos antecipadamente, conseguimos a redução dos valores dos juros. 
Além disso, vamos discorrer sobre o processo para identificar o valor do dinheiro 
futuro no presente, haja vista que, com isso, podemos avaliar, hoje, o resultado 
futuro que as diferentes opções podem nos proporcionar.
Na última parte da nossa unidade, abordaremos as relações de equivalên-
cia entre taxas. Ao analisarmos o dinheiro, considerando o tempo, fica claro que 
não podemos simplesmente somar ou subtrair os valores apresentados em um 
fluxo de caixa. Os valores precisam, antes de qualquer operação, serem ajus-
tados a uma taxa e colocados no mesmo instante de tempo, e, assim, podem 
ser realizadas as desejadas comparações. Portanto, as relações de equivalência 
condicionam o cálculo dos fluxos de caixa com equivalência em determinado 
tempo ou momento.
Generalidades 
sobre análise de 
investimentos 
e engenharia 
financeira
Pós-Universo 8
Penso em dinheiro como algo que não tenho o suficiente, por isso devo escolher a 
forma mais vantajosa de gasta-lo. Certamente alguns de meus colegas economistas 
podem até execrar esse conceito, mas é uma boa simplificação para começarmos 
um bate-papo! Essa concepção traz em si um ponto importante: a engenharia finan-
ceira envolve atender alguma demanda pelo uso mais eficiente de recursos escassos 
- o trabalho, a energia, os materiais etc.
O Dinheiro e a Escassez
A princípio, vamos analisar esse recurso que é amplamente utilizado pela sociedade: o 
dinheiro. Nos primórdios da sociedade, as pessoas utilizavam as trocas como forma de 
obter aquilo que não possuíam, essa forma de negociação é conhecida como “escambo”. 
O problema desse método é que, para haver troca, tem de haver a coincidência de ne-
cessidades e ofertas, por exemplo: se desejo trocar um saco de arroz por dois de feijão, 
tenho que encontrar alguém que queira trocar os mesmos objetos e também concor-
de que as quantidades que “eu” acho justas são adequadas para a troca.
Depois de muito tempo, as pessoas começaram a usar mercadorias comuns e, em 
seguida, objetos e ferramentas de metal como “algo” que representa um valor comum 
para todas as pessoas. Esse “algo” representa uma quantidade de valor que é aceito pelas 
pessoas em geral e a essa representação, chamamos de “moeda”. Mais alguns séculos e 
as sociedades adotaram amplamente essa representação do valor dos objetos, produ-
tos, ou seja, para bens e serviços, os quais começaram a ganhar formas e características, 
segundo a cultura regional presente nas sociedades espalhadas pelo globo.
Após a adoção das moedas metálicas como forma de facilitador de troca entre 
as pessoas, a moeda passou por um novo processo, as moedas metálicas foram 
substituídas por representações de papel,títulos que valiam determinada quantia 
de moeda. Esses títulos facilitavam a movimentação dos valores, davam segurança 
para quem os utilizava, pois o usuário não mais necessitava carregar grandes quan-
tidades visíveis das moedas. A representação das moedas por título deu origem ao 
papel-moeda, conhecido por nós como “dinheiro”, o qual é representado por dife-
rentes modelos em todos os países do mundo.
O fato de o dinheiro ser a representação de um bem ou serviço, o torna por si um 
bem cujo valor é usado para trocar por qualquer outro bem ou serviço. Logo, o di-
nheiro também se tornou uma forma de medir o valor desses mesmos bens e serviço.
Pós-Universo 9
As quantidades de dinheiro que podem ser produzidas são, em geral, referentes 
à quantidade de bens e serviços produzidos por uma nação. À medida que a pro-
dução de dinheiro tem custo e seu valor limita-se à produção de bens e serviços, 
pode-se dizer que ele não é algo facilmente encontrado, logo, ele tem certo grau de 
escassez. Por isso é necessário a utilização de forma racional do dinheiro e, para isso, 
comparamos dentro das opções para identificar as que nos trazem mais vantagens, 
sendo essas as que tendem a ser escolhidas.
Para ter uma visão ampla de cada opção, principalmente quando envolvem 
grandes quantidades de dinheiro e outros recursos, podemos organizá-los de 
forma que possamos medir todos os recursos necessários e, também, a forma 
como serão utilizados, assim como os retornos que trarão no futuro. Essa forma 
de organização das opções, podemos chamar de projeto (ROSSETI, 2003; ASSAF 
NETO, 2012; PINHEIRO, 2014).
O dinheiro que recebemos perde seu valor quando fica parado, pois existe 
o fenômeno inflação, que é conceituado como: alta generalizada de preços. 
Logo, precisamos de mais dinheiro para comprar a mesma quantia de bens 
ou serviços. Sobre esse contexto pense sobre a seguinte questão: o que a 
gera a inflação?
ASSAF NETO, Alexandre. Mercado Financeiros. 12ª Ed. São Paulo: Atlas, 2014.
reflita
O que é um projeto?
Projetos estão sempre acontecendo, algo simples que ocorre em todas as áreas, 
desde a criação de um produto, como uma caneta, até a construção de uma cidade 
ou um ônibus espacial. Em termos simples, é “um empreendimento temporário rea-
lizado para criar um produto singular” (VALERIANO, 2005. p. 9). Em todos os projetos, 
há o envolvimento de recursos e conhecimentos dos mais variados. Mas, em todos 
eles, a questão principal é identificar claramente a relação custo-benefício. Os pro-
jetos, em geral, buscam melhorar ou aumentar essa relação, com redução de custo 
e/ou aumento de benefícios.
Pós-Universo 10
De forma conceitual, podemos definir projetos como sendo um esforço planejado 
para atingir determinado objetivo em um tempo delimitado, sendo que um projeto 
sempre tem começo e fim, não é algo continuo. Mas o que tem isso a ver com en-
genharia financeira? A importância das questões de dinheiro muda continuamente 
ao longo do tempo que especificamos em nosso cenário.
Análise de investimento e 
engenharia financeira
No exercício das atividades econômicas, seja profissionalmente ou de forma empreen-
dedora, é comum a necessidade de tomada de decisão sobre aplicação de recursos. 
Quando o assunto trata de alternativas que envolvem capital, podemos contar com 
ferramentas derivadas dos estudos econômicos. Nesse sentido, ao adicionar um novo 
equipamento, máquina, ampliar espaços físicos, ou mesmo a implantação de uma 
nova fábrica, são decisões que envolvem os estudos econômicos e necessitam de uma 
análise de viabilidade.
Os aspectos necessários para realizar uma análise de viabilidade de forma adequada 
consideram necessário avaliar dentre outros: os critérios econômicos - rentabilida-
de do investimento; e critérios financeiros – disponibilidade de recursos. Ainda, é 
apontado que o ideal é basear-se na perspectiva de longo prazo, levando em con-
sideração os desdobramentos não quantificáveis, porém é fato que as análises de 
viabilidade, quando simplificadas, sendo essas amplamente utilizadas, analisam os 
resultados finais com vistas no prazo reduzido, podendo caracterizar essa condição 
como tendo, principalmente, o objetivo de lucro imediato (SOUZA, 2007).
A aplicação de dinheiro em qualquer negócio é uma decisão intermediária rela-
tiva na busca por satisfação por meio de obtenção de retorno sobre as aplicações, 
com isso também vem à expectativa de obter, o mais imediato possível, o retorno 
sobre seus investimentos.
Pós-Universo 11
Sobre as formas utilizadas para avaliação de investimentos, abordaremos algumas 
técnicas sobre ela, nesse momento, em uma apresentação resumida (BUARQUE, 1984; 
CASSAROTO FILHO, 2010):
 • Fluxo de caixa – esses “fluxos de caixa” referem-se às operações que geram 
valores positivos e negativos, respectivamente entradas e saídas. Todo in-
vestimento deve se provar viável, principalmente, por essa ferramenta, visto 
que são efetivamente as entradas superiores às saídas ao longo do tempo 
que viabilizam a continuidade da organização.
 • Valor Presenta Líquido - VPL – essa técnica descapitaliza determinados 
valores, referindo-se aos valores futuros que serão registrados no fluxo de 
caixa e devido ao investimento realizado, até o momento atual por meio de 
uma taxa específica, se o montante encontrado for menor que 0, significa 
que os valores investidos irão render menos que o valor da taxa usada na 
descapitalização. Se o valor do montante encontrado for positivo, significa 
que o investimento irá gerar fluxos de caixa que são relativamente maiores 
que a renda gerada pela taxa superior e utilizada na descapitalização.
 • Taxa Interna de Retorno - TIR – essa técnica trata de uma proposta na 
qual igualamos o valor presente das entradas e saídas líquidas a 0 no 
momento atual, ou seja, encontramos a taxa que, quando aplicada com 
o intuito de descapitalizar determinado valor futuro até que o momento 
atual, iguala esse valor a 0. Logo, essa será considera a taxa que o inves-
timento renderá.
 • Payback – essa técnica aborda a identificação de tempo necessário para 
pagar o valor investido, ou seja, quanto tempo o investimento inicial 
demora para voltar para o caixa da empresa (são desconsideradas as 
atualizações monetárias).
Pós-Universo 12
O conceito do “bitcoin” foi criado no final de 2008 por um obscuro progra-
mador identificado, apenas, como Satoshi Nakamoto, nome tão comum no 
Japão quanto João da Silva é no Brasil (e, por isso mesmo, acredita-se que 
esse não seja o real nome dele - ou dela). A idéia era permitir transações 
financeiras diretamente entre duas pessoas, sem a necessidade da inter-
mediação de um banco ou de um sistema de pagamento online, como o 
PayPal. Isso resultaria primeiramente em taxas mais baratas, já que, quando 
um banco calcula sua tarifa sobre transferências, ele já prevê a cobertu-
ra das fraudes consideradas inevitáveis (e aí os bons clientes pagam mais 
para compensar os maus). Além disso, também seriam eliminados todos 
os custos relativos à impressão, transporte e distribuição do dinheiro físico.
Superinteressante. Edição de Novembro de 2011. Por Cristine Kist. Disponível 
em: <http://super.abril.com.br/tecnologia/dinheiro-futuro-647372.shtml>. 
Acesso em: 13 ago. 2013.
fatos e dados
Juros - simples 
e compostos
Pós-Universo 14
Os juros podem ser entendidos como o “aluguel” do dinheiro, como a remuneração 
de um investimento de capital e, finalmente, como o custo em uma operação de em-
préstimo, ou seja, “chamamos de juros (ou rendimento) o valor que diferencia uma 
etapa do processo financeiro de outras” (WAKAMATSU, 2012, p.7). O juro é determina-
do por meio de um coeficiente relacionado a determinado período de tempo. Esse 
coeficiente corresponde à remuneração do capital aplicado por um tempo equiva-
lente àquele índice.
Taxas de juros podem ser apresentadas de duas formas: a Forma percentual(%), aquela proporção de um valor em relação ao outro sobre uma base de 100 
(1/100 = 1%), e a Forma unitária (0,00) ou decimal, a taxa refere-se à unidade do 
capital (1/100 = 0,01).
Forma percentual Transformação Forma Unitária
10% a.a. 10/100 0,10 a.a.
5% a.s. 5/100 0,05 a.s.
1% a.m. 1/100 0,01 a.m.
Nas calculadoras financeiras, a tecla i é usada para designar a taxa, pois o inglês in-
terest rate pode ser traduzido para taxa de juros.
Regimes de Capitalização
A capitalização é o instante de tempo no qual a aplicação rende os juros contratados, 
sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos e os juros capitalizados mensalmente. 
Teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral será 12 pe-
ríodos; se a capitalização for semestral, será 4, e assim sucessivamente.
Capitalizar, em matemática financeira, indica o cálculo de juros e adicioná-los ao 
capital principal que foi utilizado. Duas maneiras de operar essa capitalização estão 
disponíveis: a simples e a composta. Para ambos, os regimes é necessário entender-
mos os elementos que são utilizados para no cálculo dos juros. São esses elementos 
(SANTOS, 2012):
 • Capital - qualquer valor monetário disponível para investimento ou em-
préstimo por tempo determinado. Nas calculadoras financeiras, o registrador 
está na tecla PV (PresentValue), que significa Valor Presente.
Pós-Universo 15
 • Montante - designa-se como montante o valor do capital inicial (ou Valor 
Presente, como vimos acima), que foi adicionado aos juros gerados nos pe-
ríodos anteriores. Também conhecido como Valor Futuro, nas calculadoras 
financeiras, sua tecla de registro é a FV (Future Value em inglês).
 • Tempo ou Período - nenhuma operação financeira se prolongará indefi-
nidamente, assim, entendendo que todas têm um prazo, ainda que longo. 
O tempo é importante parâmetro no processo de cálculo dos juros. Nas 
calculadoras financeiras, o prazo é designado pela letra n.
Em ambos os regimes de capitalização há uma forma especifica de realizar os cálcu-
los para identificar o valor dos juros. Segundo (SANTOS, 2012), os juros são calculados 
sempre sobre o valor do capital inicial e, quando multiplicados pelo número de pe-
ríodos da operação, a taxa resumem-se na seguinte fórmula:J = C .i . n
Em que:
 • J é o valor dos juros que se quer encontrar.
 • C é o valor do capital inicial, valor presente.
 • i é a taxa de juros.
 • n é o prazo a que se refere à taxa.
De forma sintética, veremos que os juros - na capitalização composta - são calcula-
dos período a período, pois o valor dos juros é resultado da incidência da taxa sobre o 
capital inicial somado aos produzidos no período anterior, razão pela qual é, também, 
conhecido como juros sobre juros. Em outras palavras, o montante calculado ao final 
de cada período torna-se o capital inicial do período seguinte, sobre o qual incidirá 
novos juros e esse processo repete-se até o final do prazo.
A fórmula desse sistema de capitalização é a seguinte:
Em que:
 • M é o valor do Montante que se quer encontrar.
 • C é o valor do capital inicial, valor presente.
 • i é a taxa de juros.
 • n é o prazo a que se refere à taxa.
Pós-Universo 16
Comparando: Juros Simples X Juros 
Compostos
Veja abaixo os resultados produzidos em operação, em que se pega emprestado o 
Capital de $1.000,00, à taxa de 10%a.m., pelo período de 5 meses, nos regimes de ca-
pitalização simples e composta.
Quadro 1 – Regime de Capitalização Simples
Período Base de Cálculo SD
1
Juros(J = C.i) SD
2
 = SD
1
 + J
1 1.000 1.000 100 1.100
2 1.000 1.100 100 1.200
3 1.000 1.200 100 1.300
4 1.000 1.300 100 1.400
5 1.000 1.400 100 1.500
Fonte: o autor.
Quadro 2 – Regime de Capitalização Composta
Período Base de Cálculo SD
1
Juros (J = SD
1
.i) SD
2 =
 SD
1
 + J
1 1.000 1.000 100 1.100
2 1.000 1.100 110 1.210
3 1.000 1.210 121 1.331
4 1.000 1.331 133 1.464
5 1.000 1.464 146 1.610
Fonte: o autor.
Como podemos observar, o mesmo Capital calculado sob as formas de ambos os 
regimes, produz um total de juros de $500,00 na capitalização simples e $610,00 na 
capitalização composta. Tal diferença entre as formas de cálculo é fruto da remune-
ração de juros sobre juros.
Pós-Universo 17
Calculando Juros
O nome já diz: juros simples, ou seja, os cálculos são os mesmos tanto para um 
empréstimo quanto para uma compra a crédito. A taxa de juros é um porcentual do 
capital para o período do empréstimo ou crédito. O percentual citado normalmente 
é uma taxa anual, podendo ser feito sua equivalência em taxa mensal. Uma alíquota 
de 10% significa que o pagamento de juros para um ano será de 10% do principal. 
Para calcular os juros simples sobre empréstimos de qualquer período, multiplique o 
capital pela taxa e depois multiplique pelo tempo, devendo esse tempo ser expres-
so em anos ou fração de anos (HAZZAN, POMPEU, 2007).
O detalhe mais característico desse tipo de juros é que o seu valor é sempre cal-
culado sobre o investimento ou dívida inicial (Valor Presente), significando, assim, que 
– a cada período, os juros calculados serão sempre iguais, como no exemplo a seguir.
Exemplo 1
Constâncio emprestou R$1.000 por um ano, a uma taxa de juros simples de 5% a.a. 
(ao ano). O capital é R$1.000 e por um ano a taxa de juros simples é 5% de R$1.000, 
ou seja, 0,05 x R$1.000 = R$50.
A maioria dos empréstimos, no entanto, não são para um período exato de um ano. 
Os empréstimos para períodos longos exigirão do mutuário pagamento de mais juros 
e, para períodos mais curtos, exigem menos juros. A fórmula básica para juros simples é:
Juros = Capital x Taxa x Tempo, cuja abreviação é J = C.i.n
Em que J é o valor dos Juros, C é o Capital utilizado, i refere-se à Taxa de juros e o 
Tempo é expresso em n períodos.
Para encontrar o valor de outros elementos de uma capitalização a juros simples, 
como, por exemplo, o Montante, que é o valor do capital somado aos juros calcula-
dos no período. A fórmula básica de Montante Simples é: M = C + J
Em que: M = Montante; C = Capital ; e J= Valor dos Juros. Levando em conside-
ração a fórmula apresentada para entender os juros, é possível, também, utilizar a 
seguinte fórmula para identificar o montante: M = C .( 1 + i . n ).
Vale dizer que o uso de um método ou de outro depende do problema em análise.
Pós-Universo 18
Calculando a Taxa de Juros
Consideremos, por exemplo, a seguinte situação: ao adquirir um novo notebook, você 
deixou, na loja, um cheque pré-datado com vencimento em três meses, no valor de 
$3.250,00. Sabendo-se que o valor à vista do equipamento é $2.500,00, para calcular 
a taxa de juros da operação e utilizando a fórmula de juros simples:
O mesmo cálculo por meio da fórmula do Montante:
Observe que, como a unidade de tempo utilizada no cálculo foi mês, a taxa 
descoberta fica relacionada, também, ao mesmo intervalo de tempo. Se 
buscássemos uma taxa trimestral, nosso cálculo teria um período (ou n) 
equivalente a 1, o que geraria uma taxa trimestral de 30%?
atenção
Pós-Universo 19
Calculando o Capital
Vamos admitir agora, em novo exemplo, que não se sabe qual é o valor à vista do 
bem adquirido. Utilizemos os mesmos dados, conforme abaixo:
Calculando o Período
O mesmo processo poderá ser realizado para, tendo-se a taxa de juros, o valor atual ou 
capital e, ainda, o valor nominal ou montante, que se pretenda conhecer de quanto 
tempo foi o período da operação. Veja abaixo o processo:
Como: 
M = C ( 1 + in )
Em que: 
 
 M = 3.250 
 n = ? 
 i = 10% a.m. 
 C = 2.500
-se os valores: 
3.250 = 2.500( 1 + 0,1 . n ) 
Aplica- 
3.250 = 2.500 . 1 + 2.500 . 0,1n  3.250 = 2.500 + 250n 
3.250 – 2.500 = 250n  750 = 250n 
n= 
750
250
 n = 3 meses
Pós-Universo 20
Quando queremos muito algum produto ou mesmo na hora de pagar por 
um serviço, por vezes, achamos que está muito caro. Nessa hora, ou aban-
donamos momentaneamente a ideia de compra ou pagamos a conta sem 
reclamar. Mas aindaexiste mais uma opção: negociar! Nesse contexto, o 
site Finanças Femininas apresenta a matéria: 7 dicas para conseguir des-
contos. Na matéria, a primeira dica é: deixe a vergonha de lado e peça uma 
diminuição na conta!
(Sandler)
reflita
Segundo a reportagem de Teo Cury, publicada na Revista eletrônica EXAME, 
a taxa média geral para pessoa física apresentou alta de 0,06 ponto percen-
tual no mês, para 6,14%, e de 1,38 ponto percentual na taxa ao ano, para 
104,43%, de acordo com a Associação Nacional dos Executivos de Finanças, 
Administração e Contabilidade (Anefac).
É a maior taxa de juros desde julho de 2012.
Essa elevação pode ser atribuída, de acordo com a Anefac, à elevação da 
taxa básica de juros (Selic) no final de outubro, que fez com que a taxa pas-
sasse a 11,25%.
Fonte: CURY,Teo. Revista eletrônica, EXAME.Juro no crédito sobe em 
novembro e alta continua, diz Anefacet. Publicado em 11/12/2011. 
Disponível em: <http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/noticias/juro-no-
-credito-sobe-em-novembro-e-vem-mais-alta-diz-anefac>. Acesso em: 12 
dez. 2014.
fatos e dados
Descontos 
e o valor do 
dinheiro no 
tempo
Pós-Universo 22
Grande parte das empresas e indivíduos já comprou, ao menos uma vez, algo sem 
realizar quitação total no momento da compra. O vendedor dá posse imediata do 
bem ao comprador, mas não exige pagamento senão até alguma data posterior. O 
vendedor que estende este crédito ao comprador final pode ou não cobrar por esta 
vantagem. A cobrança é chamada de juros e é, normalmente, indicada como um 
percentual do valor total de crédito concedido (o principal). Quando parte do preço 
é pago no momento da compra, essa parte é chamada de entrada.
Desconto Simples
A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário 
em determinadas condições. Segundo (HAZZAN; POMPEU, 2007), esse conceito se 
confunde com o costume popular quando uma compra é feita em grande quanti-
dade, e que o vendedor concede desconto no preço por unidade.
Outra relação é aquela na qual o vendedor concede um prazo para o pagamen-
to e, caso haja o desejo de quitar à vista, normalmente, se proporciona um desconto 
sobre o preço oferecido.
Em ambas as situações, o desconto é expresso por um percentual aplicado sobre 
o preço indicado, ou seja, a base de cálculo do desconto é preço “cheio”, de tabela, 
que deveria ser pago na data futura de vencimento, conforme exemplo anterior dado.
Desconto comercial ou desconto 
“por fora”
Chamamos de valor nominal e indicamos por N o valor do título a ser descontado. 
Utilizando-nos do prazo n para o vencimento do título e, como d, a taxa de descon-
to utilizada na operação, a fórmula básica dessa modalidade de desconto é dada por:
D = N .d . n
E, analogamente ao que foi exposto em juros simples, a diferença entre o valor nominal 
(N) e o valor do desconto (D) produz o que chamamos de Valor Descontado (Vd), 
que é o valor líquido recebido. Uma forma de construir em fórmula essa relação seria:
Vd = N - D
Pós-Universo 23
O mercado oferece atualmente muitas opções de empréstimo e oportunidades de in-
vestimento. Nesta seção, vamos explicar como esses cálculos financeiros são realizados 
para permitir uma escolha fundamentada entre as várias possibilidades disponíveis.
Quando tratamos sobre capitalização simples, compreendemos que o rendi-
mento ocorre linearmente (em linha) ou de forma proporcional, o que significa 
que a base de cálculo será sempre o capital inicial. Já neste regime de capitalização 
– o composto – dizemos que o rendimento se dá exponencialmente, pois os juros 
do período são calculados com base em um capital, formando um montante e, esse 
montante (capital + juros), será utilizado como capital na base de cálculo do período 
seguinte (MATHIAS, 2011).
Vejamos o exemplo 1 a seguir:
Vamos analisar uma operação de desconto, utilizando como exemplo um título de 
dívida com as seguintes características: data de emissão: 1/1/X12; data de venci-
mento: 1/1/X13; favorecido: João das Couves; emitente: José da Abóbora; e valor 
nominal no vencimento: $1.000,00. Em 1/3/X12, João das Couves vai ao Banco 
Bão e propõe a ele descontar esse título. O Banco, após considerar todos os aspec-
tos creditícios, libera a João a quantia de $700,00 pelo título naquela data. Não se 
esqueça de que o proprietário do crédito ainda é João, pois o banco não assume a 
responsabilidade plena pelo título. João das Couves é solidário com José Abóbora 
em sua dívida perante o banco. No caso de inadimplência de José, João deverá 
pagar o título ao banco.
Para o exemplo acima, que pode ser visualizado na Figura 7, tem-se o seguinte 
resumo de dados:
 • N = FV = $ 1.000.
 • Valor de compra = Valor Descontado (Vd) = PV = $ 700.
 • Desconto: D = FV - PV = 1.000 - 700 = $ 300.
Em outras palavras, o Banco Bão despendeu $ 700,00 em 1/3/X12 a favor de João e 
receberá $1.000,00 de José em 1/1/X13, percebendo, portanto, $300,00 pela presta-
ção desse serviço.
Pós-Universo 24
Figura 1 – Análise do Título de Credito no Banco Bão.
Fonte: o autor.
Valor Presente e Valor Futuro
Valores de decisões podem ser avaliados usando tanto técnicas de valor futuro como 
de valor presente. Embora essas técnicas, quando aplicadas corretamente, resultem 
nas mesmas decisões, essas são tomadas assumindo-se perspectivas diferentes. 
Segundo Souza, as técnicas de valor futuro “são utilizadas para encontrar os valores 
de medidas típicas do final da vida do projeto” (2007, p. 59), enquanto que as técni-
cas de valor presente são usadas para encontrar valores que são medidas do início 
da vida do projeto (tempo zero).
A técnica de valor futuro usa o valor composto para capitalizar e encontrar o valor 
futuro de cada fluxo de caixa no final da vida do investimento. Essa abordagem é ilus-
trada na Linha do tempo da figura abaixo, em que pode ser visto que o valor futuro 
de cada fluxo de caixa é medido ao final da vida do investimento de cinco anos.
Capitalização
Desconto
-10.000 3.000 5.000 4.000 3.000 2.000
543210
Valor
presente
Valor
futuro
Figura 2 - Capitalização e Desconto.
Fonte: o autor.
Pós-Universo 25
A técnica do valor presente, outra abordagem muito conhecida, usa o desconto para 
encontrar o valor presente de cada fluxo de caixa no tempo zero e, então, soma-os 
para encontrar o valor presente do investimento. A aplicação dessa abordagem é 
ilustrada na mesma linha do tempo da figura anterior. Embora o valor futuro e o valor 
presente, quando aplicados corretamente, resultem nas mesmas decisões, os admi-
nistradores financeiros têm a tendência de confiar, principalmente, em técnicas de 
valor presente, uma vez que eles tomam decisões no tempo zero.
Em qualquer conversa com empreendedores sobre novos investimentos, 
surge a opção das franquias, isso porque essa são negócios já formatado 
prontos para operarem. Sobre esse tema acompanhe a reportagem: Quem 
deseja empreender no setor de franquias em 2015?
Acompanhe um trecho: “Para quem pensa em iniciar o próximo ano abrindo 
uma franquia, o cenário mostra-se positivo. Em 2014, o setor cresceu 7%, 
acima do varejo (3%) e do PIB zero.”.
Para acessar a reportagem completa, acesse o site disponível em: <http://
www.isaebrasil.com.br/quem-deseja-empreender-no-setor-de-franquias-
-em-2015/>.
ISAEBRASIL Quem deseja empreender no setor de franquias em 2015? 
Publicado em 03/O2/2015. Disponível em: <http://www.isaebrasil.com.br/
quem-deseja-empreender-no-setor-de-franquias-em-2015/>.
fatos e dados
Pós-Universo 26
Relações de 
equivalência
Pós-Universo 27
Quando analisamos o dinheiro considerando o tempo, fica claro que não podemos 
simplesmente somar ou subtrair os valores apresentados em um fluxo de caixa, 
pois os valores precisam, antes de qualquer operação, serem ajustados a uma taxa e 
colocados no mesmo instante de tempo e, assim, serem realizadas as desejadas com-
parações. Portanto, as relações de equivalênciasão situações que “ocorrem quando 
duas operações, ainda que não apresentem o mesmo valor nominal em um determi-
nado momento apresentarão em alguma da focal” (WAKAMATSU,2012, p. 37). Além de 
calculadoras financeiras, outra ferramenta útil para realizar esses ajustes nos valores 
de fluxos de caixa é a tabela financeira.
De forma a facilitar a compreensão e utilização das expressões matemáticas ou 
fórmulas, uma simbologia específica é utilizada, como veremos a seguir:
 • P = recursos ou dinheiro disponível no tempo zero (hoje), também chamado 
Valor Presente. Na calculadora financeira, HP12c é identificado pelo regis-
trador financeiro (tecla) PV.
 • i = representa taxa de juros, aplicada conforme capitalização, identificada 
pela mesma letra na calculadora HP12c.
 • n = quantidade de períodos a serem capitalizados, identificada pela mesma 
letra na calculadora HP12c.
 • F = Dinheiro resultante no futuro, também reconhecido por Montante, pode 
ser identificada na calculadora financeira HP12c pela tecla FV.
 • A = Representa uma série uniforme de pagamento, comumente chamado 
de Prestação ou Parcela, ou na calculadora financeira HP12c reconhecida 
pela tecla PMT.
Relações entre Valor Presente (P) 
e Valor Futuro (F)
A relação entre o valor presente (P) e o valor futuro (F), pode ser compreendida con-
siderando-se a figura seguir:
Pós-Universo 28
F
P
0 1 20 1 2 n
n
Figura 3 - Relações entre Valor Presente (P) e Valor Futuro (F).
Fonte: o autor.
O valor futuro (F) pode ser calculado por meio da fórmula:
F = P . (1 + i)n
O Fator de Acumulação de Capital (FAC) pode ser identificado em todas as fórmu-
las de juros compostos: (1 + i)n. Conforme se altera a quantidade de períodos ou a 
taxa de juros, temos um FAC diferente. Quando fazemos uso de tabelas financeiras, 
basta procurar a taxa de juros, e descendo-se nos períodos, identificar a quantida-
de de períodos utilizada.
Quadro 1 - Tabela Financeira - FAC.
Taxa de Juros no Período
N 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959
Fonte: o autor.
Pós-Universo 29
Por exemplo, caso desejemos calcular o valor futuro (F) de um valor presente apli-
cado à taxa de 3% ao período, durante sete períodos, identificamos a coluna com a 
taxa informada e, descendo as linhas relativas aos períodos, localizaremos o tempo 
informado. Ali, no cruzamento da coluna da taxa de 3% e do sétimo período, en-
contramos o FAC de 1,2299. Esse fator deve ser multiplicado pelo valor presente, e o 
produto encontrado é o valor futuro.
Assim, digamos que se pense em investir o valor presente de $500, durante esse 
tempo e na taxa indicada, precisaríamos multiplicar o valor pelo FAC identificado: 
$500 x 1,2299 = $614,95.
Essa relação financeira entre o valor presente e o valor futuro, pode – analitica-
mente – ser expressa de outra maneira, conforme fórmula abaixo. Importa, nesse 
caso, reconhecer que apenas colocamos em evidência o valor presente (P):
= 
(1 + 
Essa fórmula, apesar de realizar a mesma operação, agora transforma um valor no 
futuro (F) em valor presente (SANTOS, 2012). Digamos, por exemplo, que deseja-
mos saber quanto deveríamos aplicar hoje para obtermos um valor de $3000 daqui 
a doze meses, se aplicássemos esse capital a uma taxa de 5% ao mês. O FAC identi-
ficado é 1,7959, assim, precisaremos dividir o valor futuro (F) pelo FAC, o que produz 
um valor presente (P) de $1670,47.
Relação entre Pagamentos Iguais (A) 
e Valor Presente (P)
A relação entre Pagamentos Iguais (A) e Valor Presente (P) pode ser compreendida 
mais claramente pela figura a seguir:
P
0 1 2 n
A
0 1 2 n
Figura 4 - Relação entre Pagamentos Iguais (A) e Valor Presente (P).
Fonte: o autor.
Pós-Universo 30
A fórmula que opera adequadamente essa relação é (SANTOS, 2012):
Se o interesse for calcular o valor da parcela (A) a partir do valor presente (P), a fórmula 
sofre a alteração como verificada abaixo:
(1 + . 
(1+ ) 1
Por exemplo, considere que um investidor pretende aplicar um valor que lhe renderá 
R$ 100.000 por ano nos próximos 10 anos. Qual será o valor do investimento a ser 
feito, já que a taxa de juros de rendimento anual é de 5%?
Veja que, desejamos descobrir o valor presente (P), assim, faremos uso da fórmula 
que deixa em evidência o valor de P:
=
=
=
=
=
=
Portanto, será necessário aplicar, hoje, o valor de $772.600, para que aplicado a taxa 
de 5% ao ano, receba-se um valor de $100.000 por ano, nos próximos 10 anos.
Alternativamente, utilizando a calculadora financeira HP12c, o cálculo se proce-
deria por meio dos seguintes passos:
Pós-Universo 31
Comando Função
F CLX Limpa registradores financeiros
100.000 PMT Informa o valor da prestação
10 n Informa a quantidade de períodos
5 i Informa a taxa de juros da operação
PV Obtém o Valor Presente: 772.173
A diferença percebida entre o cálculo na fórmula e na calculadora 
financeira se dá em razão de que, no cálculo pela fórmula, utiliza-se os 
valores com quatro casas decimais, ignorando ou arredondando as demais 
dízimas, enquanto que, na calculadora, o cálculo é realizado considerando 
todas as casas decimais.
atenção
O cálculo para descobrir o valor da parcela ou pagamento igual pode ser feito, utili-
zando o valor presente (P), a taxa de juros e, ainda, a quantidade de períodos. Digamos 
que você queira descobrir o valor a ser pago com prestação referente a um finan-
ciamento no valor de R$3.000,00 com 5 pagamentos iguais, e considerando-se uma 
taxa de 2% ao mês. Para isso, fará uso da segunda fórmula:
=
=
=
=
=
Utilizando a calculadora financeira HP12c, o cálculo se procederia por meio dos se-
guintes passos:
Pós-Universo 32
Comando Função
F CLX Limpa registradores financeiros
3.000 PV Informa o Valor Presente (ou Capital)
2 i Informa a taxa de juros
5 n Informa o número de períodos
PMT Obtém o Valor da Anuidade (ou Prestação): 636,48
Relação entre Valor Futuro (F) 
e Pagamentos Iguais (A)
A relação entre Valor Futuro (F) e Pagamentos Iguais (A) pode ser compreendida por 
meio da observação inicial dos fluxos de caixa abaixo:
F
0 1 2 n
A
0 1 2 n
Figura 4 - Relação entre Valor Futuro (F) e Pagamentos Iguais (A).
Fonte: o autor.
A fórmula que resolve essa relação é:
Como vimos anteriormente, podemos isolar o valor de pagamentos iguais (A), trans-
formando a fórmula em:
1+ 1
Pós-Universo 33
Qual a utilidade dessas fórmulas? Com elas é possível descobrirmos quanto alguém 
que realize depósitos regulares e iguais, a uma dada taxa, terá ao final do tempo de 
acúmulo. Consideremos, por exemplo, quanto seria necessário guardar anualmente 
em conta a prazo fixo, que rentabiliza a taxa de juros de 12% ao ano, para se obter 
R$ 1000.000,00 daqui a 9 anos?
A = 1.000.000
0,12
(1+ 0,12) -1
9
A = 1.000.000
0,12
2,7731-1
A = 67.678
A = 1.000.000
0,12
1,7731
A = 1.000.000 0,067678
Utilizando a calculadora financeira HP12c, o cálculo se procederia por meio dos se-
guintes passos:
Comando Função
F CLX Limpa os registradores financeiros
1.000.000 FV Informa o Valor Futuro (ou Montante)
12 i Informa a taxa de juros
9 n Informa a quantidade de períodos
PMT Calcula o Valor da Anuidade: 67.678,89
Séries perpétuas
Também identificadas como séries infinitas ou, ainda, como custo capitalizado, 
esses sinônimos se aplicam porque apresentam um grande número de períodos. 
Normalmente, são utilizadas em aposentadorias, cálculo de mensalidades etc.
Pós-Universo 34
A fórmula resultante dessa relação é:
=
Considere, por exemplo, que desejamos recebereternamente a importância de 
R$120.000 por ano, e os juros contratados é de 13% ao ano, quanto seria necessário 
depósito hoje?
=
=
120.000 .
1
0,13
 
923.076,92 
Assim, precisaremos investir a importância de $923.076,92 hoje, para obtermos pela 
eternidade [sic], o valor de R$120.000.
Taxas Equivalentes
Esse conceito, em juros compostos, é semelhante ao que fora estudado nos juros 
simples: duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a juros compostos sobre um 
mesmo capital e pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante. A 
fórmula matemática que soluciona essa questão é:
( 1 + i
1
 )n1 = ( 1 + i
2
 )n2
Vamos aplicar essa fórmula no seguinte exemplo prático: qual a taxa semestral equi-
valente à taxa mensal de 5% a.m. no regime de juros compostos? Adotaremos como 
intervalo de tempo um semestre (6 meses ou 180 dias) e chamaremos de i1 a taxa 
procurada (um semestre), em que:
i
1
 (taxa semestral) = ? i
2
 = 5% a.m.
n
1
 = 1 n
2
 = 6
Pós-Universo 35
Colocando os dados na fórmula informada, obteremos:
( 1 + i
1
 )1 = ( 1 + 0,05 )6
i
1
 = ( 1,05 )6 - 1 → i
1
 = 0,34009
i
1
 = 34,01% a.s.
Taxa efetiva e taxa nominal
Sem dúvida, um dos assuntos geradores de dúvidas em Matemática Financeira são 
os conceitos de taxa nominal e taxa efetiva, além da já discutida taxa equivalente. 
Segundo Santos (2012), em análise de projetos, considerar corretamente o peso das 
taxas e períodos de capitalização apontados nos contratos ou propostas produz im-
pactos diretos sobre os resultados obtidos, podendo, inclusive, alterar as decisões 
tomadas a respeito dos projetos considerados.
Buscando esclarecer esses conceitos, vamos abordar, agora, a taxa nominal e, para 
tanto, vamos utilizar exemplos conforme formos avançando no conceito. Já enten-
dendo que toda taxa está vinculada a um período, facilmente reconhecemos a que 
está exposta logo abaixo:
6% a.a. = Seis por cento ao ano, capitalizados anualmente
Ou seja, um valor – por exemplo, $100 – aplicado a essa taxa, produziria juros de $6 
exatamente após um ano. Essa relação direta entre período da taxa e sua capitali-
zação é o uso comum: capitalização no mesmo período indicado na taxa. Grifamos 
propositalmente o termo “capitalizados anualmente”, pois é exatamente na capitali-
zação que surge a diferença entre Taxa Efetiva e Taxa Nominal.
O que ocorreria se tivéssemos agora em mãos uma taxa como essa?
6% a.a.c.c.m = Seis por cento ao ano com capitalização mensal
Quando ocorre a capitalização em um período diferente da capitalização apresenta-
da na taxa, estamos diante de uma Taxa Nominal, em outras palavras, a taxa nominal 
ocorre quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coin-
cide com aquele período a que a taxa se refere.
Pós-Universo 36
E como solucionar questões desse tipo? A resposta é bem simples: você preci-
sará converter a taxa nominal em efetiva. E esse procedimento não ocupará mais do 
que três minutos de seu tempo para compreender por completo.
A rigor, o que se deve fazer é observar o tempo indicado na taxa (anos) e compa-
rar ao tempo apresentado na capitalização (meses). Assim, entendemos que, dentro 
do tempo apresentado na taxa, serão possíveis doze capitalizações, já que em um 
ano existem doze meses.
Para saber mais sobre as taxas equivalentes, efetiva e nominal, acesse o link dis-
ponível na sessão material complementar.
A melhor forma de identificar uma Taxa Nominal é ver que a taxa de juros 
apresentada está indicada em um período e a capitalização ocorre em outro.
atenção
A calculadora financeira mais conhecida do mundo, a HP 12c, completou 
mais de 30 anos. Apesar da idade e da tecnologia ultrapassada, ela continua 
preferida pelos veteranos do mercado, além de intrigar os iniciantes com 
sua lógica incomum. Sendo que, nos últimos anos, ficou fácil usar uma 12c 
sem precisar carregá-la no bolso. Há aplicativos que emulam a calculadora 
da HP em praticamente todas as plataformas móveis, e também em com-
putadores. A própria HP criou seu aplicativo oficial para iPhone e iPad, o HP 
12C Financial Calculator.
Fonte: GREGO, Maurício. Revista eletrônica, EXAME. Aos 30 anos, HP 12c 
ainda é queridinha de Wall Street. Publicado em 04/05/2011. Disponível 
em: <http://exame.abril.com.br/tecnologia/noticias/aos-30-anos-hp-12c-
-ainda-e-queridinha-de-wall-street>. Acesso em: 11 dez. 2014.
fatos e dados
Pós-Universo 37
A CEPAL - Comissão Econômica para América Latina e Caribe – tem publica-
do interessante material de referência, que em termos mínimos, conceitua e 
discute a aplicação destes índices financeiros e econômicos na gestão pública, 
denominado CURSO DE AVALIAÇÃO SOCIOECONÔMICA DE PROJETOS. Esse 
material está disponível para acesso e estudo na internet, como poderá ser 
conferido no endereço abaixo.
Botteon, Claudia. Curso de avaliação socioeconômica de projetos. 
CEPAL: Brasília, 2009. Disponível em: <http://www.eclac.cl/ilpes/noticias/
paginas/0/35920/indicadores-portugues.pdf>. Acesso em: 28 set. 2013.
saiba mais 
atividades de estudo
1. A engenharia financeira trata a importância das questões de dinheiro e suas mu-
danças continuamente ao longo do tempo. Para tanto, são utilizadas ferramentas 
comuns em análise de investimento, as quais moldam dados de forma que possamos 
comparar resultados de diferentes períodos de tempos. Além disso, são obtidas infor-
mações em diferentes formatos, o que facilita a interpretação e análise das mesmas. 
Sobre essas ferramentas, assinale a alternativa correta:
a) Dentre essas ferramentas estão a TIR e o Payback.
b) A única ferramenta relevante é o VPL.
c) Exceto o Payback são consideradas ferramentas a Taxa Administrativa e a Taxa 
interna de Retorno.
d) O Valor Presente do Lucro e a Taxa Administrativa são as principais ferramentas.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
2. Em relação aos projetos, seu conceito traz que ele é um forço direcionado com 
objetivos específicos, delimitado em um tempo específico e principalmente 
__________________. Sobre a lacuna, assinale a alternativa que corretamente a 
preenche, completando o conceito de projeto:
a) Não é algo comum.
b) Não é contínuo.
c) É algo complexo e difícil.
d) É algo individual.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
3. O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de $300.000,00, à taxa de 5% ao ano 
para ser paga após três anos e meio. Calcule o montante dessa operação e assinale 
a alternativa correta:
a) M=$ 354 500,00.
b) M=$ 352 500,00.
c) M=$ 353000,00.
d) M=$ 355750,00.
e) M=$ 452 500,00.
atividades de estudo
4. A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e preten-
de sacar o valor após 12 meses. Qual o montante a ser resgatado?
a) M=$4870,00.
b) M=$ 5 100,00.
c) M=$ 6080,00.
d) M=$ 5 900,00.
e) M=$ 5 500,00.
5. Um capital aplicado por 16 meses gerou $13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de 
juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial.
a) C = $ 14 000.
b) C = $ 15 000.
c) C = $ 13 000.
d) C = $ 12 000.
e) C = $ 11 000.
6. Uma duplicata com valor nominal de $12.000,00 foi descontada 2 meses antes do ven-
cimento a uma taxa de 17,17% ao ano. Utilizando os cálculos necessários, identifique 
qual foi o valor do desconto comercial simples, a seguir assinale a alternativa correta:
a) $ 200,00.
b) $ 198,50.
c) $343,40.
d) $204,00.
e) $203,50.
atividades de estudo
7. Ao quitar uma dívida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal 
era de $ 15.000, e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. A antecipação foi de 9 meses. 
Utilizando os cálculos necessários, identifique qual o valor pago pela dívida, a seguir 
assinale a alternativa correta:
a) $ 11 387,50.
b) $ 11 285,50.
c) $ 11 280,00.
d) $ 11 287,50.
e) $ 11 187,50.
8. A alternativa que corresponde ao valor atual de uma série uniforme de pagamentos 
de R$ 1.000,00 nas hipóteses abaixo:
TAXA PRAZO
1% a.m.24 meses
5% a.b. 12 bimestres
8% a.t. 10 trimestres
10% a.s. 20 semestres
30%a.a. 30 anos
Pode ser encontrada em qual das series de valores apresentados a seguir. Assinale a 
alternativa correta:
a) R$ 21.243,39, R$ 8.863,25, R$ 6.710,08, R$ 8.513,56, R$ 3.332,06.
b) R$ 41.283,21, R$ 8.863,25, R$ 9.412,75, R$ 8.513,56, R$ 2.478,41.
c) R$ 22.529,42, R$ 9.421,10, R$ 6.710,08, R$ 4.565,66, R$ 3.332,06
d) R$ 21.243,39, R$ 8.863,25, R$ 6.710,08, R$ 8.513,56, R$ 3.832,06.
e) Nenhuma das alternativas.
atividades de estudo
9. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital aplicado denomina-se 
capitalização; e taxa é o percentual da remuneração do capital. Dentro desse con-
texto, correlacione as duas colunas e, em seguida, assinale a alternativa correta:
I. Capitalização Simples.
II. Capitalização Composta.
III. Taxa de Juro Nominal.
IV. Taxa de Juro Real.
V. Taxa Efetiva.
( ) Obtida por um investimento, descontado efeitos inflacionários.
( ) Referente a período que não coincide com período de capitalização de juros.
( ) Aplica-se a sistema de juros simples na sua apuração.
( ) Juros adicionados ao principal no fim de cada período, formando um montan-
te que será tomado como principal para período seguinte.
( ) Corresponde de fato ao ganho do negócio.
Alternativas:
a) IV, I, III, II e V.
b) II, III, V, I e IV.
c) IV, III, I, II e V.
d) II, III, I, V e IV.
e) III, I, IV, II e V.
resumo
Um estudo econômico adequado trata objetivamente sobre questões das mais variadas, como 
analisar a possibilidade de existirem alternativas de investimentos, com todos os valores analisados 
expressos em dinheiro. Admite, ainda, considerar apenas as diferenças entre as possibilidades de 
investimento, além de que os juros incidentes sobre o dinheiro investido sempre serão calculados.
A capitalização simples, em seus conceitos básicos, nos permite um primeiro contato com fórmu-
las que aceitam a compreensão sobre o universo da matemática financeira. Essas informações, 
apesar de não serem utilizadas no dia a dia da empresa, servem de fundamento para a constru-
ção de um conhecimento mais complexo trabalhado em juros compostos.
O cálculo de descontos simples, em suas formas, é um belo exercício de raciocínio lógico para sua 
mente. O uso extensivo de fórmulas e conceitos de Valor Nominal, alteração de base de cálculo 
e diferenciação entre taxa de juros e taxa de desconto são recursos essenciais que formatam seu 
pensamento e lhe habilitam compreender com maior clareza e profundidade os conteúdos da 
área financeira.
O uso de juros compostos em todas suas formas e com os mais variados recursos, certamente é 
o ponto focal de nosso estudo. Compreender a natureza exponencial dos juros e seu compor-
tamento ao longo do tempo é condição sinequa non no estudo das finanças. A administração 
financeira estriba-se com ambos os pés sobre a matemática financeira. Essa é, de forma criterio-
sa, o recurso mais precioso na gestão de negócios, afinal, diz respeito a dois elementos raros e 
finitos: tempo e dinheiro.
O tempo não é infinito, parafraseando as palavras de Santo Agostinho, o que temos para fazer, 
só podemos fazê-lo no presente, pois o passado já foi e o futuro é uma miragem, e sobre essa 
miragem se projeta o dinheiro e daí a importância do antecipado estudo dos seus efeitos no tempo.
material complementar
Na Web
Matemática Financeira - Taxas Nominal, Efetiva e Equivalente.
Disponível em: <https://youtu.be/d-GDlMlM3eo?list=PLPYQkh6CFOlpu2BBQ1KAq4ev5Hn-
WzBR71>.
Na Web
Impacto da redução das taxas de juros para a sociedade brasileira.
Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=r2KAVYBCvA4>.
Na Web
Este livro, aliando a teoria à prática, tem a forma de um handbook e contém modelos de fi-
nanças corporativas, apresentando as ferramentas mais atuais da área aplicadas ao contexto 
das empresas brasileiras. As informações aqui reunidas servirão de referência aos alunos e 
profissionais de finanças, esclarecendo e organizando as ferramentas, técnicas e modelos das 
finanças corporativas de maneira clara e acessível. Dividido em cinco partes, em que os ca-
pítulos se complementam de forma harmônica, é leitura essencial a todos interessados em 
aprofundar seus conhecimentos em finanças e que procuram facilitar seu cotidiano com a 
literatura especializada.
Acesse a versão digital disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=Pa3re5IPHQMC>.
referências
ALENCAR, Martsung F. C. R. 2006. Noções básicas sobre juros e o combate histórico à usura. JUS 
NAVIGANDI. [Online] Teresina, 28 de março de 2006. [Citado em: 31 de março de 2012.] Disponível 
em: <http://jus.com.br/revista/texto/8158>. Acesso em: 03 jun. 2015.
ASSAF NETO, Alexandre. Mercado Financeiros. 12ª Ed. São Paulo: Atlas, 2014.
BUARQUE, Cristovam. Avaliação econômica de projetos. 8º reimp. com a colaboração de Hugo 
Javier Ochoa: traduzido do espanhol por Maria do Carmo Duarte de Oliveira - Rio de Janeiro: 
Elsevier, 1984 - 28ª Impressão.
CIA World Factbook. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/download/do-
wnload-2010/index.html>. Acesso em: 18 ago. 2013.
CASSAROTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de Investimentos: matemática 
financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11ª ed. São Paulo: 
Atlas, 2010.
HAZZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2007.
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2011.
PINHEIRO, Juliano Lima. Mercado de Capitais: Fundamento e técnicas. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2014.
ROSSETTI, José Paschoal. Introdução à Economia. 20. ed. São Paulo: Atlas, 2003.
SANDLER, Carol. 7 Dicas para conseguir desconto. Finanças femininas. Disponível em: <https://
financasfemininas.com.br/7-dicas-para-conseguir-desconto/>. Acesso em: 26 Abr. 2018.
SANTOS, D. E. Matemátia Financeira. 1. ed. Maringá: Cesumar, 2012.
SOUSA, Almir Ferreira de. Avaliação de Investimentos – Uma abordagem prática. São Paulo: 
Saraiva, 2007.
VALERIANO, Dalton. Moderno Gerenciamento de Projetos. 1 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
WAKAMATSU, André. Matemática Financeira. 1 ed. São Paulo: Pearson, 2012
resolução de exercícios
1. a) Dentre essas ferramentas estão a TIR e o Payback.
2. b) Não é contínuo.
3. b) M=$ 352 500,00.
4. d) M=$ 5 900,00.
5. a) C = $ 14 000.
6. c) $343,40.
7. d) $ 11 287,50.
8. a) R$ 21.243,39, R$ 8.863,25, R$ 6.710,08, R$ 8.513,56, R$ 3.332,06.
9. c) IV, III, I, II e V.
	Generalidades sobre análise de investimentos e engenharia financeira
	Juros - simples e compostos
	Descontos e o valor do dinheiro no tempo
	Relações de equivalência