calculo de Volumes

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Cálculo Diferencial e Integra II – Período: 2016.2 
 
Resumo sobre Volumes de Sólidos de Revolução 
 
 
 
Nesta seção vamos usar a integral definida para calcular o volume de alguns sólidos. Um tipo do 
qual calcularemos o volume serão os chamados Sólidos de Revolução, ou seja, aqueles que são 
obtidos pela rotação de uma região do plano cartesiano em torno de uma reta dada, conhecida 
como eixo de rotação. 
 
A situação que se apresenta é a seguinte: seja [ ] Rbaf →,: uma função contínua. 
Consideremos a região do plano delimitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = , bx = e pelo 
eixo-x, conforme nos mostra a figura ao lado. Suponhamos que essa região sofra uma rotação 
em torno do eixo-x dando origem a um sólido mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Gostaríamos de encontrar uma expressão que nos permita calcular o volume de tal sólido. 
Usaremos o chamado Método das Seções Planas. Para isso, vamos fatiar o sólido com fazemos 
por exemplo com um pão de caixa ou um salaminho. Cada uma das fatias chama-se uma Seção 
Plana do sólido. Se conhecermos a área de cada uma delas em função de x , podemos calcular o 
volume do sólido fazendo uma integração. De fato, podemos supor que cada fatia é um cilindro 
reto de altura dx e área da base ( )A x . Assim, o volume de cada fatia será ( )A x dx . Somando 
o volume de todos os cilindros, temos ( )
b
a
A x dx∫ . 
 
 
 
 
 
Os próximos exemplos serão sólidos de revolução. Nesses, cada seção plana é um círculo ou um 
setor circular. Vamos ver alguns exemplos 
 
Exemplo 1. Vamos calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelo 
gráfico da função ( ) 542 +−= xxxf , as retas 1=x , 4=x e o eixo-x, em torno desse último. 
Veja as figuras abaixo: 
 
 
 
Cada seção (ou fatia) se você preferir é um círculo de raio ( ) 2 4 5y f x x x= = − + . Sua área é 
dada por ( ) ( )22 2 4 5A x y x xpi pi= = − + . Assim o volume de cada fatia será 
( )22 4 5x x dxpi − + . Portanto o volume do sólido será: 
( ) ( )∫∫ =+−+−=+−=
4
1
234
4
1
22
15
78254026854 pipipi dxxxxxdxxxV . 
 
Exemplo 2. Vamos calcular o volume de um cone de altura h e raio da base r. Esse cone é 
obtido pela rotação, em torno do eixo-x, da região delimitada pelo gráfico de ( ) x
h
r
xf = , pela 
reta hx = e pelo eixo-x. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 O mesmo raciocínio anterior nos permite concluir que o volume do sólido será dado por: 
 
hrx
h
rdxx
h
rdxx
h
rV
hh h
2
0
3
2
2
0 0
2
2
22
3
1
3
pipipipi =





==





= ∫ ∫ , 
 
que é outra fórmula que já conhecíamos. 
 
Exemplo 3. Vamos calcular o volume de uma esfera de raio r. Metade da esfera é obtida pela 
rotação em torno do eixo-x da região delimitada pela circunferência 222 ryx =+ , pelo eixo-y 
e pelo eixo-x. Veja as figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
A parte de cima da circunferência corresponde à função ( ) 22 xrxf −= , obtida tirando o 
valor de y na equação da circunferência. Portanto, o volume da metade da esfera será dado por: 
 
( ) ( ) 333
0 0 0
3222
2
22
3
2
3
1
3
1
rrrxxrdxxrdxxrV
r r r
pipipipipipipi =−=



−=−=−= ∫ ∫ , 
 
donde concluímos que o volume da esfera é dado por 3
3
42 rV pi= . 
 
Exemplo 4. Vamos calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo-x da 
região limitada pela curva y x= , com 0 2x≤ ≤ . Observe que a região está mostrada na 
figura a seguir: 
 
Um desenho do sólido está mostrado na figura a seguir: 
 
Como antes, perceba que as seções planas são círculos de raio y x= , sendo sua área 
dada, portanto por: ( ) ( )22A x y x xpi pi pi= = = . O volume de cada fatia será, portanto, 
xdxpi e o volume do sólido será dado por 
2
0
4 2
2
V xdx pipi pi= = =∫ . 
Exemplo 5. Vamos agora determinar o volume do sólido obtido pela rotação da região 
do exemplo anterior, em torno do eixo-y. Nesse caso, um desenho do sólido está 
mostrado a seguir. 
 
 
Agora o sólido possui um furo no meio. As seções são coroas circulares (para ver como se 
calcula a área de uma coroa circular, veja em 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/area-coroa-circulo.htm). O raio maior é dado 
por 2 e o raio menor é dado por x . Agora um cuidado: você vai precisar expressar a área das 
fatias (seções) em função de y já que estamos girando a região em torno do eixo-y. Mas temos a 
relação y x= , ou seja, 2x y= . Portanto a área de cada fatia é 2 2 42 4x ypi pi pi pi− = − e seu 
volume será ( )44 y dypi pi− . Logo o volume do sólido será ( )2 4
0
16 24
5
y dypi pi− =∫ . Só um 
detalhe: esse 2 no limite de integração superior é o valor de y com quem 2x = se 
corresponde. 
 
Para mais exemplos, consulte: Cálculo, volume 1, James Stewart, 7ª. Edição, Exemplos 4,5,6, 
que vão das páginas 392 até 395. 
 
Para umas figuras bem interessantes e uma discussão mais interessante ainda, consulte: 
http://www.epsilon-delta.org/2013/07/made4math-volumes-in-calculus.html 
 
Uma animação muito linda está em 
http://www.math.tamu.edu/~tkiffe/calc3/cross_section2/square.html 
 
 
 
Lista de Exercícios 
 
1. Um reservatório tem a forma obtida pela rotação em torno do eixo-x do gráfico 
da função ( )f x x= , com 0 4x≤ ≤ . Calcule o volume do reservatório. 
2. Um cone é gerado pela rotação em, em torno do eixo-x da região abaixo do 
gráfico de ( ) 2
3
xf x = , com 0 3x≤ ≤ . Calcule o seu volume. 
3. Se ℜ é a região do plano limitada pela parábola 2y x= e pela reta y x= , 
determine o volume do sólido de revolução obtido quando ℜ gira em torno: 
a. Do eixo-x 
b. Da reta 2y = − . 
c. Da reta 1y = . 
d. Do eixo-y. 
e. Da reta 1x = − . 
f. Da reta 1x = . 
4. A base de um sólido é um semi-círculo limitado por 21y x= − e o eixo-x. 
Determine o volume desse sólido sabendo que cada seção plana perpendicular 
ao eixo-x é um quadrado. 
5. Mesma questão anterior, sabendo que cada seção plana perpendicular ao eixo-y 
é um triângulo eqüilátero. 
 
Respostas 
 
1. 8pi 
2. 4pi 
3. a. 2
15
pi
, b. 4
5
pi
, c. 
5
pi
, d. 
6
pi
 , e. 
2
pi
, f. 
6
pi