C3 UnB cal3na a11 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 11
Diferenciais
Lembre-se do ca´lculo em uma varia´vel que, se y = f(x), enta˜o dy = f ′(x)dx. Por exemplo,
se y = sen−1(x), enta˜o x = sen y e dx = cos ydy. Logo dy/dx = 1/ cos y = 1/
√
1− x2.
No caso de va´rias varia´veis, a diferencial total de uma funa˜o f = f(x, y, z) e´ definida por
df = fxdx+ fydy + fzdz.
Isto e´ um novo tipo de objeto, com suas regras pro´prias de manipulac¸a˜o (df na˜o e´ mesmo
que ∆f !). Ele descreve como as variac¸o˜es de f esta˜o relacionados com as variac¸o˜es de x, y
e z. Podemos usar a diferencial total de duas maneiras:
1. como um substituto para a fo´rmula de aproximac¸a˜o ∆f ≈ fx∆x+ fy∆y + fz∆z.
2. para obter a regra da cadeia: se x = x(t), y = y(t) e z = z(t), enta˜o f se transforma
em uma func¸a˜o de t e, dividindo df por dt, obtemos
df
dt
= fx
dx
dt
+ fy
dy
dt
+ fz
dz
dt
.
Por exemplo, se w = x2y + z, enta˜o dw = 2xydx + x2dy + dz. Se, ale´m disso, x = t,
y = et e z = sen t enta˜o a regra da cadeia fornece dw/dt = (2tet)1 + (t2)et + cos t, o mesmo
que se obte´m por substituic¸a˜o na fo´rmula para w e diferenciac¸a˜o de uma varia´vel.
Podemos justificar a regra da cadeia de duas maneiras:
1. substituindo as diferenciais dx = x′(t)dt, dy = y′(t)dt e dz = z′(t)dt na diferencial
dw = fxdx+ fydy + fzdz, obtemos que dw = fxx
′(t)dt+ fyy′(t)dt+ fzz′(t)dt, de onde
segue a expressa˜o de dw/dt
2. (mais rigoroso) dividindo ambos os lados da igualdade ∆w ' fx∆x+ fy∆y+ fz∆z por
∆t e passando o limite como ∆t→ 0.
Aplicac¸o˜es da regra da cadeia:
Fo´rmulas para derivada do produto e do quociente: se f = uv e u = u(t), v = v(t), enta˜o
d(uv)/dt = fuu
′ + fvv′ = vu′ + uv′.
Analogamente com g = u/v:
d(u/v)/dt = guu
′ + gvv′ = (1/v)u′ + (−u/v2)v′ = (u′v − uv′)/v2.
Regra da cadeia em mais varia´veis: se w = f(x, y) e x = x(u, v), y = y(u, v), enta˜o
dw = fxdx+ fydy = fx(xudu+ xvdv) + fy(yudu+ yvdv)
= (fxxu + fyyu)du+ (fxxv + fyyv)dv.
Identificando os coeficientes de du e dv obtemos ∂f/∂u = fxxu + fyyu, e analagomente para
∂f/∂v. Na˜o e´ permitido “simplificar por ∂x”
Outro exemplo sa˜o as coordenadas polares: se x = r cos θ e y = r sen θ, enta˜o
fr = fxxr + fyyr = cos θfx + sen θfy.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 5 Summary