C3 UnB cal3na a15 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 15
Revisa˜o de alguns to´picos.
- Func¸o˜es de va´rias varia´veis; curvas de n´ıvel.
- Derivadas parciais, gradiente; fo´rmulas de aproximac¸a˜o, planos tangentes, derivadas
direcionais.
Observac¸a˜o: equac¸o˜es diferenciais parciais, isto e´, equac¸o˜es envolvendo derivadas
parciais de uma func¸a˜o desconhecida, sa˜o muito importantes na f´ısica. Por exemplo, a
equac¸a˜o do calor
∂f
∂t
= k
(
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
)
descreve a evoluc¸a˜o da temperatura ao longo do tempo.
- Problemas de mı´mino/ma´xino: pontos cr´ıticos; teste da segunda derivada, ana´lise de
fronteira.
- Diferenciais, regra da cadeia, mudanc¸a de varia´veis.
- Varia´veis dependentes: multiplicadores de Lagrange e derivadas parciais condicionadas.
Re-explicac¸a˜o de como computar derivadas parciais condicionadas: das as func¸o˜es
f = f(x, y, z) e g = g(x, y, z), calcular(
∂f
∂z
)
y
= derivada parcial de f com respeito a z
sujeita a`s condic¸o˜es g(x, y, z) = c e y = d
Observe que, com as condic¸o˜es g(x, y, z) = c e y = d, tem-se que x = x(z) e´ func¸a˜o apenas
de z. Logo, f(x, y, z) = f(x(z), d, z) e´ func¸a˜o apenas de z, e a derivada acima e´ a derivada
dessa func¸a˜o. O ca´lculo pode ser feito de duas maneiras.
1) Usando diferenciais. Como y = d, tem-se dy = 0. Como tambe´m g(x, y, z) = c, tem-se
0 = dg = gxdx + gydy + gzdz = gxdx + gzdz, de onde segue-se que dx = (−gz/gx)dz.
Substituindo essa expressa˜o na diferencial de f obte´m-se df = fxdx + fydy + fzdz =
fxdx + fzdz = (−fxgz/gx)dz + fzdz = (−fxgz/gx + fz)dz. Da´ı segue-se que(
∂f
∂z
)
y
=
−fxgz
gx
+ fz
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 6 Summary
2
2) Usando a regra da cadeia. Novamente, como y = d, tem-se que (∂y/∂z)y = 0. Como
tambe´m g(x, y, z) = c, da regra da cadeia segue-se que
0 =
∂g
∂x
(
∂x
∂z
)
y
+
∂g
∂y
(
∂y
∂z
)
y
+
∂g
∂z
(
∂z
∂z
)
y
= gx
(
∂x
∂z
)
y
+ gz
e portanto (∂x/∂z)y = −gz/gx. Finalmente, usando a regra da cadeia para a func¸a˜o
f , obte´m-se como antes que(
∂f
∂z
)
y
=
∂f
∂x
(
∂x
∂z
)
y
+
∂f
∂y
(
∂y
∂z
)
y
+
∂f
∂z
(
∂z
∂z
)
y
= fx
(
∂x
∂z
)
y
+ fz
=
−fxgz
gx
+ fz