C3 UnB Lista 1 Módulo 2

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 Lista 1 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Considere o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano de equac¸a˜o
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1,
em que a, b e c sa˜o constantes positivas. Como ilustra a figura abaixo, o tetraedro corresponde
a` regia˜o abaixo do gra´fico de uma func¸a˜o f : D → R, onde D e´ um domı´nio que pode ser
descrito na forma D = {(x, y); x ∈ I e g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} com I ⊂ R um intervalo e func¸o˜es
apropriadas g1, g2 : I → R.
C E a) O intervalo I e´ dado por I = [0, b].
C E b) A func¸a˜o g2 e´ dada por g2(x) =
a
b
(a− x)}.
C E c) A func¸a˜o f e´ dada por f(x, y) = c
ab
(ab− bx− ay).
C E d) Calculando, obte´m-se que
∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dy = cb
2a2
(a− x)2. a x
b yc
z
C E e) Dos itens anteriores segue-se que o volume do tetraedro e´ um terc¸o do volume do
paralelep´ıpedo de lados a, b e c.
2) Seja D a chapa triangular de ve´rtices em (0, 0), (0,
√
π) e (
√
π,
√
π) com densidade
δ : D → R dada por δ(x, y) = 2 sen(y2).
√
π
√
π
a) Determine por inspec¸a˜o os valores ma´ximo e mı´nimo de δ.
Resposta:
b) Descreva D na forma Rx.
Resposta:
c) Descreva D na forma Ry.
Resposta:
d) Calcule a massa M de D.
Resposta:
e) Calcule a densidade me´dia de D e compare com os valores obtidos no item a).
Resposta:
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3) De acordo com a figura, a func¸a˜o f(x, y) =
x− y
(x+ y)3
apresenta uma forte descontinuidade
na origem. Assim, ela sera´ integra´vel no domı´nio D = [0, 1]× [0, 1] caso exista o
lim
δ→0
ǫ→0
∫ 1
δ
∫ 1
ǫ
f(x, y) dxdy
Para verificar esse fato, indique por h(y, ǫ) =
∫ 1
ǫ
f(x, y) dx e por H(ǫ, δ) =
∫ 1
δ
h(y, ǫ) dy.
a) Calcule a expressa˜o de h(y, ǫ).
b) Calcule a expressa˜o de H(ǫ, δ).
c) Calcule o limite limǫ→0H(ǫ, ǫ)
d) Calcule o limite limǫ→0H(ǫ, 2ǫ)
e) Descida se a func¸a˜o f e´ integra´vel em D.
ǫ
δ
1
1
4) Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integrac¸a˜o pode facilitar muito
os ca´lculos. Por exemplo, considere a regia˜o D limitada pelas curvas y+1 = 0, y2+x−4 = 0
e x +
√
4− y2 = 0, como ilustrado abaixo, e indique por A a sua a´rea. Se necessa´rio, use
que
∫ √
4− t2 dt = 2 arcsen(1
2
t) + 1
2
t
√
4− t2 + k.
B
A D
C
a) Identifique as treˆs curvas, e determine as coordenadas
dos pontos A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e
D = (d1, d2) indicados na figura.
b) A regia˜oD pode ser dividida em quatro regio˜es do tipo
Rx, com x variando nos intervalos [a1, b1], [b1, 0], [0, c1]
e [c1, d1]. Descreva cada uma dessas regio˜es.
c) Use o item anterior para calcular a a´rea A.
d) Observe que D e´ tambe´m uma regia˜o do tipo Ry, e descreva D nesta forma.
e) Do item anterior, a a´rea A pode ser calculada por meio de uma u´nica integral. Proceda
a esse ca´lculo e compare com o resultado do item c).
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