C3 UnB cal3na a25 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 25
Integrais triplas
Estamos agora interessados em calcular integrais da forma
∫∫∫
R
fdV , onde dV e´ o
elemento de volume do so´lido R.
Exemplo 1 Determinar os limites de integrac¸a˜o∫∫∫
R
1dV =
∫ ?
?
∫ ?
?
∫ 4−x2−y2
x2+y2
dzdydx
da reiga˜o R entre os parabolo´ides z = x2 + y2 e z = 4 − x2 − y2,
conforme ilustra a figura ao lado.
Soluc¸a˜o. Para determinar os limites procedemos como segue.
(1) Para (x, y) fixado, encontre os limites para z: nesse caso,
pela figura, e´ claro que o limite inferior e´ z = x2 + y2 e o limite
superior e´ z = 4−x2− y2. (2) Encontre a sombra (projec¸a˜o) de
R no plano Oxy, isto e´, o conjunto dos pontos (x, y) sobre qual
a regia˜o se encontra (figura ao lado): da figura, e´ claro que R e´
mais largo na intersecc¸a˜o entre os parabolo´ides, que se encontra
no plano z = 2.
Outra forma e´ a seguinte: para quais pares (x, y) temos que o z da superf´ıcie superior
e´ maior do que o z da superf´ıcie inferior? E´ quando 4 − x2 − y2 > x2 − y2, isto e´, quando
x2 + y2 < 2. Enta˜o devemos integrar sobre o disco de raio
√
2 no plano Oxy. Pelo me´todo
usual de construc¸a˜o de integrais duplas, finalmente obtemos:
V =
∫ √2
−√2
∫ √2−x2
√
2−x2
∫ 4−x2−y2
x2+y2
dzdydx.
�
O ca´lculo fica mais fa´cil se usarmos coordenadas polares x = r cos θ e y = r sen θ, onde
x2 + y2 = r2. Nesse caso, obtemos que
V =
∫ 2pi
0
∫ √2
0
∫ 4−r2
r2
dz r drdθ.
Coordenadas cil´ındricas
Sa˜o as coordenadas (r, θ, z), relacionadas com as coordenadas cartesianas (x, y, z) de
forma que x = r cos θ, y = r sen θ e z = z. Como no caso de coordenadas polares, r mede a
distaˆncia ao eixo Oz e θ mede o aˆngulo a partir do plano Oxz.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 10 Summary
2
Em coordenadas cilindricas, a equac¸a˜o de um cil´ındro de raio a centrado no eixo Oz e´
dada por r = a; ja´ a equac¸a˜o θ = 0 representa o semi-plano vertical Oxz com x > 0.
O elemento de volume em coordenadas retangulares e´ dV = dxdydz; em coordenadas
cil´ındricas esse elemento e´ dV = rdrdθdz. A justificativa em ambas as igualdades e´ considerar
uma pequena caixa de altura ∆z e base de a´rea ∆A, enta˜o o volume e´ V = ∆A∆z.
Aplicac¸o˜es
Listamos a seguir algumas aplicac¸o˜es das integrais triplas.
• Massa: M =
∫∫∫
R
δ dV ;
• Valor me´dio de f sobre R: f¯ = 1
vol
∫∫∫
R
f dV ;
• Me´dia ponderada: f¯ = 1
massa
∫∫
R
f δ dV .
• Centro de massa: (x¯, y¯, z¯) onde x¯ = 1
massa
∫∫∫
R
x δ dV , e analogamente para as outras
coordenadas. Em alguns casos e´ poss´ıvel evitar ca´lculos utilizando argumentos de
simetria. Por exemplo, no primeiro exemplo acima, e´ claro por simetria que x¯ = y¯ = 0.
• Momento de ine´rcia em torno de um eixo: I =
∫∫∫
R
(distaˆncia do eixo)2 δ dV .
Por exemplo, em torno do eixo Oz: Iz =
∫∫∫
R
r2 δ dV =
∫∫∫
R
(x2 + y2) δ dV , o que e´
consistente com a definic¸a˜o de I0 no caso 2D. Analogamente, em torno dos eixos Ox
e Oy, temos Ix =
∫∫∫
R
(y2 + z2) δ dV e Iy =
∫∫∫
R
(x2 + z2) δ dV , respectivamente.
Fazendo z = 0, essas definic¸o˜es sa˜o consistentes com as definic¸o˜es pre´vias de Ix e Iy
para regio˜es planas.
Exemplo 2 O momento de ine´rcia Iz de um cone so´lido entre
z = ar e z = b com densidade constante δ = 1, como ilustrado
na figura ao lado, e´ dado por
Iz =
∫∫∫
R
r2 dV =
∫ b
0
∫ 2pi
0
∫ z/a
0
r2 r drdθdz =
pib5
10a4
.
Na ordem drdθdz, os limites de integrac¸a˜o foram encontrados da seguinte maneira: o corte
para um dado z fixo e´ o disco de raio r = z/a; o primeiro corte e´ z = 0 e o u´ltimo e´ z = b.
Exemplo 3 Calcule o volume da regia˜o ilustrada abaixo, onde z > 1− y e x2 + y2 + z2 < 1.
Soluc¸a˜o. A superf´ıcie inferior e´ o plano z = 1 − y, e a superf´ıcie superior e´ a esfera
z =
√
1− x2 − y2. Enta˜o a integral interna e´
∫ √1−x2−y2
1−y
dz.
3
A projec¸a˜o no plano Oxy corresponde aos pontos onde
1 − y < √1− x2 − y2. Elevando ao quadrado obtemos que
(1 − y)2 < 1 − x2 − y2, isto e´, x2 < 2y − 2y2. Resolvendo para
x obtemos que −√2y − 2y2 < x <√2y − 2y2.
Resta os limites para y. Para isso, basta observar que
x2 < 2y − y2 possui soluc¸a˜o se, e somente se, 2y − y2 > 0,
isto e´, 0 < y < 1. Outra forma e´ observar a figura, onde clara-
mente o ponto mais a esquerda esta´ no eixo Oz (y = 0) e o mais
a direita esta´ em y = 1.
Enta˜o, finalmente, obtemos que
V =
∫ 1
0
∫ √2y−2y2
−
√
2y−2y2
∫ √1−x2−y2
1−y
dzdxdy.
�