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Manual de Cálculo Integral em 
R(n) 
 
 
Curso de licenciatura em Ensino Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Departamento de Matemática 
 
Direitos de autor (copyright) 
Este módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Caso haja necessidade de reprodução, 
deverá ser mantida a referência à Universidade Pedagógica e aos seus Autores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Rua Comandante Augusto Cardoso, nº 135 
Telefone: 21-320860/2 
Telefone: 21 – 306720 
Fax: +258 21-322113 
 
Agradecimentos 
À COMMONWEALTH of LEARNING (COL) pela disponibilização do Template usado na 
produção dos Módulos. 
Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento pelo apoio prestado 
em todo o processo. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática i 
 
Ficha Técnica 
 
Autor: Vasco Agostinho Cuambe 
Revisor científico: Alberto Uamusse 
Revisor da engenharia de Educação à Distância: Suzete Buque 
Revisor do Desenho Instrucional: Suzete Buque 
Revisor Linguístico: Salomão Massingue 
Maquetizador e Editor: Aurélio Armando Pires Ribeiro 
Ilustrador: Vasco Agostinha Cuambe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Moçambique, Maputo 2014 
ii Índice 
 
Índice 
Visão geral 1 
Bem-vindo ao módulo de Cálculo integral em R(n) ......................................................... 1 
Objectivos do curso .......................................................................................................... 1 
Quem deveria estudar este módulo? ................................................................................. 2 
Como está estruturado este módulo? ................................................................................ 2 
Ícones de actividade .......................................................................................................... 2 
Acerca dos ícones .......................................................................................... 3 
Habilidades de estudo ....................................................................................................... 3 
Precisa de apoio? .............................................................................................................. 4 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) ................................................................................. 4 
Avaliação .......................................................................................................................... 4 
Unidade I 5 
Teoria de Medidas em Integrais duplos ............................................................................ 5 
Lição no 1 6 
Medidas de um Conjunto .................................................................................................. 6 
Medidas de um Conjunto de R(n).......................................................... 6 
Sumário ........................................................................................................................... 11 
Exercícios ........................................................................................................................ 11 
Lição no 2 12 
Integração em intervalos fechados de R(n) ..................................................................... 12 
Integração em Intervalos Fechados de R(n) ................................................. 12 
Somas de Darboux ....................................................................................... 15 
Condições de Integrabilidade de Integrais Múltiplos. ......................... 15 
Sumário ........................................................................................................................... 18 
Exercícios ........................................................................................................................ 18 
Lição no 3 19 
O Integral duplo. ............................................................................................................. 19 
Integral Dupla .............................................................................................. 19 
Interpretação Geométrica do Integral Duplo ....................................... 21 
Cálculo dos Integrais Duplo......................................................................... 22 
Integração sucessiva ............................................................................ 22 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática iii 
 
Chave de correcção ......................................................................................................... 24 
Sumário ........................................................................................................................... 24 
Exercícios ........................................................................................................................ 25 
Chave de correcção ......................................................................................................... 25 
Lição no 4 26 
Integração em Regiões Generalizadas ............................................................................ 26 
Chave de correcção ......................................................................................................... 30 
Chave de correcção ......................................................................................................... 33 
Sumário ........................................................................................................................... 33 
Exercícios ........................................................................................................................ 34 
Chave de correcção ......................................................................................................... 35 
Lição no 5 36 
Integrais duplos em Coordenadas Polares ...................................................................... 36 
Mudança de Variáveis em Integrais duplos ................................................. 36 
Coordenadas Polares .................................................................................... 38 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares ................................................... 39 
Chave de correcção ......................................................................................................... 43 
Sumário ........................................................................................................................... 43 
Exercícios. ....................................................................................................................... 44 
Chave de correcção ......................................................................................................... 45 
Lição no 6 46 
Aplicações de integrais duplos no cálculo de áreas de figuras planas. ........................... 46 
Cálculo de Áreas em Figuras planas ............................................................ 46 
Sumário ........................................................................................................................... 49 
Exercícios. ....................................................................................................................... 49 
Chave de correcção ......................................................................................................... 50 
Lição no 7 51 
Aplicações de integrais duplos na física. ........................................................................ 51 
Aplicações Físicas ............................................................................... 51 
Chave de correcção ......................................................................................................... 55 
Sumário ........................................................................................................................... 55 
Exercícios ........................................................................................................................56 
Chave de correcção ......................................................................................................... 56 
Unidade II 57 
Integrais Triplos .............................................................................................................. 57 
Lição no 8 58 
Integrais Triplos .............................................................................................................. 58 
Definição do integral triplo .......................................................................... 58 
Propriedades ........................................................................................ 59 
iv Índice 
 
Cálculo de Integrais Triplos ......................................................................... 59 
Chave de correcção ......................................................................................................... 64 
Sumário ........................................................................................................................... 64 
Exercícios. ....................................................................................................................... 64 
Chave de correcção ......................................................................................................... 65 
Lição no9 66 
Cálculo de integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas ............................... 66 
Mudança de Variáveis em integrais triplos. ........................................ 66 
Integrais triplos em coordenadas cilíndricas. ...................................... 67 
Mudança para coordenadas esféricas .................................................. 70 
Chave de correcção ......................................................................................................... 73 
Sumário ........................................................................................................................... 73 
Exercícios. ....................................................................................................................... 73 
Chave de correcção ......................................................................................................... 74 
Lição no 10 75 
Aplicações dos integrais triplos ...................................................................................... 75 
Cálculo de Volume de sólidos. ............................................................ 75 
Aplicações Físicas do integral triplo ................................................... 78 
Momento de Inércia em Relação a um eixo ........................................ 81 
Chave de correcção ......................................................................................................... 82 
Sumário ........................................................................................................................... 83 
Exercícios. ....................................................................................................................... 83 
Chave de correcção ......................................................................................................... 84 
Unidade III 85 
Integrais Curvilíneos ....................................................................................................... 85 
Lição no 11 86 
Integrais Curvilíneos no Plano ........................................................................................ 86 
Integrais curvilíneos no espaço .................................................................... 93 
Sumário ........................................................................................................................... 96 
Exercícios. ....................................................................................................................... 96 
Calcule os seguintes integrais curvilíneos ........................................... 96 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática v 
 
Chave de correcção ......................................................................................................... 97 
Lição no 12 98 
Integrais curvilíneos de campos vectoriais ..................................................................... 98 
Chave de correcção ....................................................................................................... 103 
Sumário ......................................................................................................................... 103 
Exercícios. ..................................................................................................................... 104 
Chave de correcção ....................................................................................................... 104 
Lição no 13 105 
Independência de Caminho em integrais curvilíneos. .................................................. 105 
Teorema Fundamental para os Integrais Curvilíneos ........................ 105 
Independência de Caminho nos integrais curvilíneos do espaço ...... 113 
Chave de correcção ....................................................................................................... 114 
Sumário ......................................................................................................................... 114 
Exercícios. ..................................................................................................................... 114 
Chave de correcção ....................................................................................................... 115 
Lição no 14 116 
Teorema de Green ......................................................................................................... 116 
Introdução ............................................................................................................ 116 
Teorema de Green ...................................................................................... 117 
Chave de correcção ....................................................................................................... 123 
Sumário ......................................................................................................................... 123 
Exercícios ...................................................................................................................... 123 
Chave de correcção ....................................................................................................... 124 
Unidade IV 125 
Integrais de Superfícies ................................................................................................. 125 
Lição no 15 126 
Integrais de Superfícies ................................................................................................. 126 
Superfícies Orientáveis .............................................................................. 126 
Cálculo do vector normal .................................................................. 127 
Integrais de Superfície ............................................................................... 129 
Chave de correcção ....................................................................................................... 134 
Integrais de Superfície em Campos Vectoriais.................................. 134 
Sumário ......................................................................................................................... 137 
Exercícios. ..................................................................................................................... 138 
Chave de correcção ....................................................................................................... 139 
Lição no 16 140 
Teorema de divergência ou Fórmula de Ostrogradsky- Gauss ..................................... 140 
Teorema de divergência. Fórmula de Ostrogradsky-Gauss. .............. 140 
vi Índice 
 
Sumário .........................................................................................................................144 
Exercícios. ..................................................................................................................... 144 
Chave de correcção ....................................................................................................... 145 
Lição no 17 146 
Teorema de Stokes ........................................................................................................ 146 
Teorema de Stokes ............................................................................. 146 
Sumário ......................................................................................................................... 150 
Exercícios. ..................................................................................................................... 150 
Chave de correcção ....................................................................................................... 151 
Referências Bibliográficas 152 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 1 
 
Visão geral 
Bem-vindo ao módulo de Cálculo 
integral em R(n) 
No presente módulo de Cálculo Integral em R(n) faz-se uma abordagem 
em torno de conteúdos de matemática, tendo como objectivo principal 
formar estudantes do Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática. O 
módulo está dividido em 4 unidades principais. Na primeira unidade 
estuda-se a Teoria de Medidas em Integrais Duplos. Na segunda unidade 
estuda-se os Integrais Triplos, na terceira unidade estuda-se os Integrais 
Curvilíneos e na última unidade estuda-se os Integrais de Superfícies. 
Objectivos do módulo 
Quando terminar o estudo do módulo de cálculo integral em R(n) você 
será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 Definir medidas de um intervalo em R(n); 
 Definir integrais Múltiplos; 
 Calcular os integrais duplos e triplos; 
 Aplicar os integrais duplos e triplos na resolução de problemas; 
 Definir os integrais curvilíneos no plano e no espaço; 
 Resolver os problemas de contorno; 
 Aplicar os integrais curvilíneos na resolução de problemas em física; 
 Definir os integrais de superfície; 
 Aplicar o teorema de divergência na resolução de problema; 
 Aplicar o teorema de Stokes na resolução de problemas. 
 
 
2 Visão geral 
 
Quem deveria estudar este 
módulo? 
Este Módulo foi concebido para todos aqueles que concluíram a 12ª 
classe ou equivalente e bem como profissionais que se queiram 
especializar em áreas afins e que se tenham matriculado neste curso. 
Como está estruturado este 
módulo? 
Todos os módulos dos cursos produzidos encontram-se estruturados da 
seguinte maneira: 
Páginas introdutórias 
 Um índice completo. 
 Uma visão geral detalhada do curso / módulo, resumindo os 
aspectos-chave que você precisa conhecer para completar o estudo. 
Recomendamos vivamente que leia esta secção com atenção antes de 
começar o seu estudo. 
Conteúdo do curso / módulo 
O curso está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma 
introdução, objectivos da unidade, conteúdo da unidade incluindo 
actividades de aprendizagem, um sumário da unidade e uma ou mais 
actividades para auto-avaliação. 
Outros recursos 
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma lista 
de recursos adicionais para você explorar. Estes recursos podem incluir 
livros, artigos ou sites na internet. 
 
 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das 
folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo 
de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma 
nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 3 
 
Acerca dos ícones 
Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada 
um com uma descrição do seu significado e da forma como nós 
interpretámos esse significado para representar as várias actividades ao 
longo deste módulo. 
 
Comprometimento/ 
perseverança 
Actividade 
 
Resistência, 
perseverança 
Auto-avaliação 
 
“Qualidade do 
trabalho” 
 
(excelência/ 
autenticidade) 
Avaliação / 
Teste 
 
“Aprender através 
da experiência” 
Exemplo / 
Estudo de caso 
 
Paz/harmonia 
Debate 
 
Unidade/relações 
humanas 
Actividade de 
grupo 
 
Vigilância / 
preocupação 
Tome Nota! 
 
“Eu mudo ou 
transformo a minha 
vida” 
Objectivos 
 
“[Ajuda-me] deixa-
me ajudar-te” 
Leitura 
 
Quanto 
tempo? 
 
“Nó da sabedoria” 
Terminologia 
 
Apoio / 
encorajamento 
Dica 
 
Habilidades de estudo 
Este modulo é para si, ele foi concebido para que possa apoiar o seu 
estudo sem contudo deixar consultar as outras obras referenciadas neste 
modulo. As lições foram concebidas de modo a tornar a aprendizagem 
simples e significativa no entanto, há necessidade de planear 
convenientemente o seu tempo, tomar notas e discutir com os seus 
colegas. Uma das ferramentas fundamentais deste tipo de ensino e 
aprendizagem é o uso da plataforma eletrónica de ensino e aprendizagem. 
Pelo que alguns problemas irão ser discutidos com o tutor de 
especialidade usando este instrumento. 
 
4 Visão geral 
 
Precisa de apoio? 
Conscientes de que no processo de aprendizagem, há sempre alguns 
problemas que possam encontrar, o contacto com o tutor de especialidade 
em algum momento é imprescindível. Assim, atendendo que o ensino é à 
distância, vai se privilegiar a sala virtual, nestas condições o domínio das 
ferramentas que lhe permitam participar na sala vitual é fundamental. 
Também poderão ser usados outros meios como correio electrónico ou 
telefone, mas, a plataforma será o meio mais recomendado. 
Tarefas (Actividades e auto-
avaliação) 
 O módulo apresenta para além dos exercícios, actividades e tarefas e 
auto- avaliação. Estas tarefas servem para lhe dar um indicador do seu 
desempenho. Os comentários e respostas comentadas aos exercícios e 
actividades só devem ser consultadas depois de ter resolvido o exercício e 
actividade. 
Avaliação 
Caros estudantes, ao longo do semestre serão submetidos a dois testes 
presenciais e um exame final a serem realizados nos centros de recursos 
ou outros locais a ser indicados. Para além dos testes, as tarefas de auto 
avaliação a serem enviados via plataforma, também serão objectos de 
avaliação preenchendo a coluna destinada a outras avaliações. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 5 
 
Unidade I 
Teoria de Medidas em Integrais duplos 
Introdução 
Nesta unidade, você vai aprender os integrais múltiplos com destaque para os 
integrais duplos e triplos. Também serão apresentados os problemas de aplicação 
bem como o cálculo de áreas e volumes. Esta unidade está dividida em 6 lições. 
Ao completar esta unidade, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Definir medidas de um intervalo em R(n); 
 Definir integrais Múltiplos; 
 Calcular os integrais duplos e triplos; 
 Aplicar os integrais duplos e triplos no cálculo de áreas e volume; 
 Aplicar os integrais duplos e triplos na resolução de problemas. 
 
 
6 Lição no 1 
 
Lição no 1 
Medidas de um Conjunto 
Introdução 
Esta é a lição nº 1, nela você vai aprender os conceitos de medidas de um 
conjunto em R(n), integração em intervalos fechados de R(n) . É uma lição que 
pode ser estudada em duas horas, incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir medida de um conjunto em R(n); 
 Definir soma superior e inferior. 
 
 
 
 
Caro estudante, vamos iniciar o estudo do cálculo integral em R(n) e 
apresentamos em seguida o conceito de medidas de um conjunto. Comece a 
acompanhar! 
Medidas de um Conjunto de R(n) 
 
Chama-se intervalo n- dimensional fechado (respectivamente aberto) de 
extremidades em  1 2, , , na a a a  e  1 2, , , nb b b b  ao produto cartesiano 
dos n intervalos fechados  ,i ia b (respectivamente abertos  ,i ia b ), com 
1, 2,...,i n .De uma forma geral, um intervalo n- dimensional I é um conjunto da 
forma   1 2, , , : , 1, 2,3,...,n i i iI x x x a x b i n     . 
A medida de conjunto representa-se por mI e define-se como o 
produto     1 1 2 2 n nmI b a b a b a     . 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 7 
 
Se 2n  , o intervalo I é um rectângulo de 2 e mI é área desse rectângulo; se 
3n  , o intervalo I é um paralelepípedo de 3 e então mI é o seu volume. 
Naturalmente é sempre 0mI  . 
Se o intervalo I for a união de um número finito de intervalos sem pontos 
comuns( embora possam ter pontos fronteiros comuns), isto é, 
1 2 3 pI I I I I    , então atribui-se a I a 
medida 1 1 1 pmI mI mI mI mI     . 
Se 1 2 3 pI I I I   e 1 2 3 .... rk k k k    forem duas decomposições 
diferentes do mesmo intervalo I em sub- intervalos sem pontos interiores comuns, 
é 1 1 1 1 2 3 ....p rmI mI mI mI mk mk mk mk        
 Definida a medida de um intervalo, vamos considerar o caso dos subconjuntos 
n que não são intervalos. Para maior simplicidade na análise vamos nos limitar 
aos casos dos conjuntos bidimensionais. 
Acompanhe! 
 
Seja S um subconjunto limitado de 2 , consideremos um intervalo I que contém 
o conjunto S.   , : ,I x y a x b c y b     . 
Escolhido natural n , dividimos ,a b e  ,c d em partes de amplitude
1
2n
. 
Traçando pelos pontos da divisão obtida, rectas paralelas aos eixos coordenados, 
obtêm-se uma decomposição do intervalo I em subintervalos que designaremos 
por nP . Quando em vez de n se tomar 1n cada subintervalo de nP decompõe-se 
em quatro subintervalos iguais e portanto obtém-se uma decomposição 1nP  mais 
fina do que o anterior. 
 
Designemos por  , nJ S P a 
reunião dos subintervalos de nP 
que apenas contém pontos 
interiores de S e por  , nJ S P a 
reunião dos subintervalos de 
nP que contém tanto pontos de S 
 
x 
y 
8 Lição no 1 
 
como da sua fronteira. No caso da 
figura ao lado  , nJ S P é 
representada pela região ponteada 
e  , nJ S P por essa e pela 
tracejada. 
 
Como  , nJ S P e  , nJ S P são reuniões de intervalos é possível, como acima 
se indicou, determinar as respectivas medidas ou áreas a que designemos por 
 , nJ S P e  , nJ S P . 
E como é evidente 
   , ,n nJ S P S J S P     , ,n nJ S P J S P  . 
Como podemos verificar, aumentando n , isto é, considerando decomposições 
sucessivamente mais finas do intervalo I, tem- 
se        1 1, , , ,n n n nJ S P J S P S J S P J S P       
De onde resulta        1 1, , , ,n n n nJ S P J S P J S P J S P       . 
Desta forma, caro estudante, quaisquer que sejam as decomposições P e Q do 
intervalo I que se considerem, é sempre    , ,J S P J S Q , o que significa 
que a área da parte de uma decomposição de I que apenas contém pontos 
interiores de S nunca excede a área da parte de qualquer decomposição que 
contém tantos pontos de S como da sua fronteira. 
Assim, ao crescer n indefinidamente, os números  , nJ S P formam uma 
sucessão monótona crescente limitada superiormente e, portanto, existe 
   lim , ,n
n
J S P J S Q

 . 
A este limite chama-se medida interior do conjunto S e designa-
se  lim ,i n
n
m S J S P

 . 
Veja que, da mesma forma, ao crescer n indefinidamente os números  , nJ S P 
formam uma sucessão monótona decrescente limitada inferiormente e, portanto 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 9 
 
existe o limite  lim , n
n
J S P

, ao qual se chama medida exterior de S e 
designa/se por  lim ,e n
n
m S J S P

 . 
Assim, qualquer conjunto limitado S de 2 tem a medida interior e medida 
exterior, as quais satisfazem a desigualdade i em S m S . 
Caso a medida interior seja igual a medida exterior então o conjunto S diz se um 
conjunto mensurável a Jordan de 2 (ou conjunto quadrável) e o número 
i emS m S m S  denomina-se área ou medida bidimensional de S. 
As conclusões anteriores estendem-se sem dificuldade ao espaço nR de 
dimensões superiores a 2. 
Assim, se S for um subconjunto limitado de Rn e nP designar uma decomposição 
de um intervalo I que contém S, chama-se medida interior de S ao 
limite:  lim ,i n
n
m S J S P

 e medida exterior  lim ,e n
n
m S J S P

 . 
Se i em S m S então S diz-se mensurável e a sua medida (n- dimensional) 
segundo Jordan é o número i emS m S m S  . 
No caso de 2 a medida dum conjunto é também denominada área e, quando 
existe, diz-se que o conjunto é quadrável. 
 De uma formar similar, em, 3 a medida é frequentemente chamada volume do 
conjunto e em caso de existência, diz-se que o conjunto é cubável. 
Vamos, em seguida, apresentar algumas propriedades com relação à medidas de 
um conjunto. 
Continue acompanhar a lição, caro estudante! 
Proposição: Um conjunto limitado S de n é mensurável- Jordan se e só se a sua 
fronteira tem a medida nula. 
Demonstração: 
Tomemos I um intervalo fechado que contém S e designemos por S a fronteira 
de S. Então, para qualquer decomposição nP de I, tem-se, 
     , , ,n n nJ S P J S P J S P         , , ,n n nJ S P J S P J S P   
10 Lição no 1 
 
Se S é mensurável, tem-se, 
     lim , lim , lim , 0n n n
n n n
J S P J S P J S P
  
    . O que significa que 
0em S  
Todavia, como 0 i em S m S    , resulta que 0m S  . Reciprocamente, se 
0em S  então  lim , 0n
n
J S P

  o que resulta que 
   lim , lim ,n n
n n
J S P J S P
 
 ou seja i em S m S , significando, portanto que S 
é mensurável. 
 
Em seguida vamos apresentar alguns exemplos. Acompanhe! 
 
 
Exemplo 
 
A medida de um conjunto constituído por um número finito de pontos é 
igual a zero. 
Prova: Suponhamos que o conjunto S é constituído apenas por um 
ponto e seja I um intervalo que contém S. qualquer que seja a 
decomposição de I que se considere, o ponto só pode, quando muito, 
pertencer a 2n subintervalo cuja área total tende a zero quando o número 
de subintervalo de decomposição tender para infinito. Donde por 
consequência segue que 0em S  e portanto 0mS  . E assim, como 
medida da reunião de um número finito de conjuntos com medida nula é 
nula, segue-se que um conjunto constituído por um número finito de 
pontos, portanto, tem medida nula. 
Definição: Uma superfície de R(n) diz-se superfície seccionalmente lisa( ou 
ainda lisa por secções ou ainda suave por partes) quando pode ser descrita por n 
funções 1 1( )x f t , 2 2 ( )x f t  , ( )n nx f t contínuas e com derivada 
contínua num intervalo  ,a b , excepto num número finito de pontos nos quais, 
todavia existem as derivadas laterais. 
Caríssimo estudante, a definição anterior cria condições para se enunciar a 
seguinte proposição 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 11 
 
Proposição: Uma superfície seccionalmente lisa de R(n) tem medida n-
dimensional nula. 
Em particular, toda a superfície lisa tem medida nula. De forma análoga, 
demonstra-se que 2 , tem a medida toda a curva lisa ( )y f x , a x b  ou 
( )x x t , ( )y y t , a x b  . 
Observe que a conjugação das duas proposições anteriormente apresentadas 
resulta na seguinte proposição 
Proposição: Uma região S de R(n) com fronteira seccionalmente lisa é 
mensurável- Jordan. 
 
Sumário 
Nesta lição foi apresentada a introdução do cálculo integral em R(n), onde se 
destaca as medidas de um conjunto em R(n) 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
Por ser uma lição basicamente teórica com carácter introdutório que tem 
como objectivo principal criar as condições para aprendizagem das lições 
subsequentes, não serão apresentados exercícios de auto - avaliação. 
 
 
12 Lição no 2 
 
Lição no 2 
Integração em intervalos fechados de 
R(n) 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar a integração em intervalos fechados deR(n) onde se 
vai destacar a definição do integral múltiplo segundo Riemann. Esta lição pode 
ser estudada em 1 hora e 30 minutos, incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir o integral múltiplo; 
 Enunciar as somas de Darboux; 
 Apresentar as condições de integrabilidade. 
 
Na lição anterior, você aprendeu as medidas de um conjunto. A seguir, vai 
aprender os pressupostos fundamentais para a integração em intervalos de R(n). 
Acompanhe! 
 
Integração em Intervalos Fechados de R(n) 
 
Seja 1 2( ) ( , , , )nf x f x x x  uma função definida e limitada no intervalo 
fechado I de R(n), definido pelos pontos 1 2( , , , )na a a a  e  1 2, , nb b b b  . 
Se para cada um dos intervalos unidimensionais  ,i ia b , 1, 2, ,i n  , se 
considerar uma partição iP em in subintervalo, então ao produto cartesiano 
1 2 nP P P P   , chama-se uma partição P do intervalo n-dimensional I. O 
intervalo I fica nessas condições decomposto em 1 2 .... nK n n n    de 
subintervalo n-dimensionais que designaremos genericamente por iI com 
1, 2, ,i k  . 
 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 13 
 
 
 
Na figura representa-se uma partição 
do intervalo I de 2 definida pelos 
pontos 1 2( , )a a a e  1 2,b b b 
resultante da partição 1P de  1 1,a b 
em 7 subintervalos e da partição 2P 
 2 2,a b em 5 subintervalos. 
 
 
Nota: Uma partição P do intervalo I diz-se mais fina que a partição P, ou que é 
um refinamento de P, quando P P 
 
Caro estudante, o conjunto de todas as partições possíveis de I representar-se-á 
por ( )P I . 
Ao máximo dos diâmetros de todos os subintervalos determinados por uma 
partição P chama-se norma dessa partição e representa-se por P . 
 A seguir, apresentamos a definição da soma de Riemann. Acompanhe! 
 
Definição1: seja f uma função definida e limitada no intervalo fechado de I de 
n . Se P é uma partição de I em k subintervalos 1I , 2I ,   , kI e em cada um 
destes se tomar um ponto arbitrário i it I  1,2,3, ,i k  a soma da 
forma  
1 1
, , ( )
k
i if P Q f t mI

 chama-se soma de Riemann da 
função f relativa à partição P considerada e ao conjunto Q dos pontos 
it escolhidos. 
 
A seguir apresentamos a definição do integral múltiplo segundo Riemann 
Definição2: seja f uma função definida e limitada no intervalo fechado de I de 
n . Diz-se que f é integrável a Riemann no intervalo I se existe um número 
1 2( , )a a 
 1 2,b b 
x 
y 
14 Lição no 2 
 
real A tal que para todo 0  existe uma partição P de I tal que para toda a 
partição P mais fina do que P é  , ,f P Q A   .O número A chama-se 
então o integral de Riemann de f sobre o intervalo I e representa-se por 
1 2 1 2( , , )n n
I
A f x x x dx dx dx        . 
Pode-se também dizer que o integral de f sobre o intervalo I é o limite das 
somas de Riemann  , ,f P Q quando a norma de partição tende para o zero, e 
escreve-se 
  1 2 1 2
0
lim , , ( , , )n n
P
I
f P Q A f x x x dx dx dx

       . 
O integral diz-se múltiplo sempre que 1n  , mas, quando 2n  ou 3n  utiliza-
se normalmente as designações Integral duplo e triplo respectivamente e escreve-
se ( , )
I
f x y dxdy e ( , , )
I
f x y z dxdydz 
 
Proposição: Se existir o integral, ele único. 
Demonstração: 
De facto se tanto A como A fossem integrais de f sobre I , então para todo 
0  existiria uma partição P tal que, para qualquer partição P mais fina que 
P , seria simultaneamente: 
 , ,
2
f P Q A

   e  , ,
2
f P Q A

   e portanto, 
   , , , ,A A A f P Q f P Q A       
   , , , ,
2 2
f P Q A f P Q A
 
         e, como A épsilon é 
arbitrário, necessariamente A A 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 15 
 
 
Somas de Darboux 
Caro estudante, como a função f que se está a considerar é, por hipótese, limitada 
no intervalo I, então o conjunto dos seus valores em cada subintervalo iI de 
qualquer partição de I admite ínfimo e supremo que representaremos por 
  inf
i
i
I
m f f e   sup
i
i
I
M f f , respectivamente. 
Definição: Chama-se soma superior de Darboux de f no intervalo I , relativa a 
uma dada partição P de I , à soma  
1
( , )
k
i i
i
S f P M f mI

  e soma inferior de 
darboux à soma  
1
( , )
k
i i
i
s f P m f mI

  
 
 
Nota 
 
Sendo limitadas inferiormente, as somas superiores admitem ínfimo, que se 
denomina Integral superior de f no intervalo I e representa-se por 
  1 2 1 2( ... ) inf ( , ) :n n
I
A f x x x dx dx dx S f P P P I       . 
De forma análoga, por serem limitadas superiormente, as somas inferiores 
admitem supremo que se denomina integral inferior de f no intervalo I e se 
representa por, 
  1 2 1 2... ( ... ) sup ( , ) :n n
I
A f x x x dx dx dx S f P P P I     
Em seguida, apresentamos algumas condições de integrabilidade de integrais 
múltiplos. Continue acompanhando, caro estudante! 
Condições de Integrabilidade de Integrais Múltiplos. 
Veja que algumas condições necessárias e suficientes para que uma função seja 
integrável num intervalo fechado. 
 
Proposição: Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja 
integrável à Riemann no intervalo fechado I de R(n) é que sejam iguais os 
respectivos integrais inferior e superior, isto é A = A 
16 Lição no 2 
 
 
Demonstração: 
Se f é integrável então existe um número real A tal que, qualquer que seja 
0  , é possível escolher uma partição P de I , de modo que para qualquer 
partição P mais fina e quaisquer it e it  de iI se tenha: 
1
( )
3
k
i i
i
f t mI A


  e 
1
( )
3
k
i i
i
f t mI A


   . Combinando as duas 
desigualdades tem-se: 
1
2
( ) ( )
3
k
i i i
i
f t f t mI 

  
  
Como  ( ) sup ( ) ( )i iM f m f f t f t   em iI , qualquer que seja 0h  é 
possível escolher it e it  de modo que  ( ) ( ) ( )i iM f m f f t f t h    . 
Ora, tomando 
3
h
mI

 vem: 
     
1
, , ( ) ( )
k
i
i
S f P s f P f t f t mI

  
 
1 1
( ) ( )
k k
i i
i i
f t f t mI h mI 
 
     
Portanto, dado 0  existe uma partição P tal que para P mais fina é 
   , ,S f P s f P   
e por consequência: 
   , ,A S f P s f P A      . 
Como  é arbitrário, resulta que A A . Mas o integral inferior nunca excede o 
integral superior, também se verifica a desigualdade oposta, segue-se que A A 
Caro estudante, vejamos o seu recíproco: 
Se o integral inferior é igual ao integral superior, isto é A A , então a função é 
integrável 
Demonstração: 
Tomando 0  , vamos escolher uma partição P do intervalo I de modo que 
para toda a partição P mais fina do que P seja  ,S f P A   . 
De forma análoga, vamos escolher uma partição P tal que se tenha para toda a 
partição P mais fina do que P  ,  ,s f P A   . 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 17 
 
Seja P a reunião das partições P  e P , isto é P P P     . Para qualquer 
partição mais fina do que P tem-se: 
     , , , ,A s f P f P Q s f P A        . 
Como A A , designando por A o seu valor comum pode, portanto, escrever-
se  , ,A f P Q A      ou seja  , ,f P Q A   , para P mais fina do 
que P , o que significa que, 
  1 2 1 2
0
lim , , ... ( , ... ) ....n n
P
I
f P Q A f x x x dx dx dx

    , o que prova que, de 
facto, existe o integral de Riemann de f em I e é igual ao valor comum A dos 
integrais inferior e superior. 
Caríssimo estudante, uma vez apresentada a demonstração da propriedade 
anterior, vamos em seguida apresentar um corolário, cuja demonstração é 
consequência da anterior. 
Corolário: Uma condição necessária e suficiente para que umafunção limitada 
f seja integrável a Riemann no intervalo fechado I que para cada 0  exista 
uma partição P do intervalo I tal que    , ,S f P s f P   para qualquer 
partição P mais fina que do que P . 
 
Proposição: Uma função contínua num intervalo fechado é integrável à Riemann 
nesse intervalo. 
Demonstração: 
Seja f contínua no intervalo fechado I . Como a continuidade em intervalo 
fechado uniforme então, escolhido 0  , existe 0  tal que 
   
2
f x f x
mI

   para quaisquer x e x tais que x x    . Se P for 
uma partição do intervalo de norma inferior a  , ter-se-á então para qualquer 
partição P mais fina do que P , 
   
2
i iM f m f
mI

  Multiplicando esta desigualdade pela medida do 
subintervalo iI e adicionando vem, 
18 Lição no 2 
 
   
1 12
k k
i i i i
i i
M f m f mI mI
mI

 
     ou seja, 
   , ,
2
S f P s f P

   , o que mostra que é satisfeita a condição de 
Riemann e, portanto, a função é integrável. 
 
Sumário 
Nesta lição, foram apresentados, basicamente, os pressupostos da integração em 
intervalos fechados, com destaque para a definição de integrais múltiplos, 
condições de Darboux e as condições de integrabilidade. 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
O carácter desta lição que você acaba de estudar, não difere da lição nº 1. 
Sendo assim, também não serão apresentados exercícios de auto - 
avaliação, contudo, aconselhamos a uma leitura cuidadosa das 
proposições e definições apresentadas visto que serão pressupostos 
fundamentais nas lições posteriores. 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 19 
 
Lição no 3 
O Integral duplo 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar os integrais duplos, concretamente o cálculo de 
integrais sucessivos, é uma lição que lhe vai proporcionar as técnicas de cálculo 
deste tipo de integrais, em extensão dos integrais simples. É uma lição que pode 
ser estuda em duas horas. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir o integral duplo; 
 Calcular os integrais duplos por integração parcial. 
. 
 
Caro estudante, a definição de integrais múltiplas já foi apresentada na lição nº 2. 
A seguir, acompanhe o caso em que a medida de intervalo é área, isto é, quando 
2n  
 
Integral Dupla 
Vamos considerar uma função ( , )z f x y definida numa região fechada e 
limitada R do plano xy , como mostra a figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
( , )z f x y 
R 
z 
20 Lição no 3 
 
Traçando rectas paralelas aos eixos dos x e dos y, respectivamente recobrimos a 
região R por pequenos rectângulos (figura (a)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos, simplesmente os rectângulos kR que estão totalmente contidos em 
R, enumerando-os de 1 até n . 
Em cada rectângulo kR escolhemos um ponto arbitrário  ,k kx y e formemos a 
soma  
1
,
n
k k k
k
f x y A

 (1), 
 onde k k kA x y    é área do rectângulo kR 
Suponhamos, agora, que mais rectas paralelas aos eixos dos x e dos y são 
traçadas, tornando as dimensões dos rectângulos cada vez menores, como mostra 
a figura (b). 
Fazemos isso de tal maneira que o diâmetro máximo dos rectângulos kR tende 
para zero quando o n tender para o infinito. Nessa situação, se 
 
10
lim ,
n
k k k
n
kp
f x y A


 Existe, ele é chamado integral duplo de ( , )f x y sobre a 
região R. 
Denota-se por  
10
lim , ( , ) ( , )
n
k k k
n
k R Rp
f x y A f x y dA f x y dxdy


     
y 
(a) x 
R 
(b) 
x 
y 
R 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 21 
 
Caro estudante, uma vez definido integral duplo, na sua particularidade, vai, 
como é óbvio, ser apresentado em seguida, o sentido geométrico do integral 
duplo a semelhança ao que se fez em integrais simples (veja o módulo sobre o 
cálculo integral em R). Continue a acompanhar! 
Interpretação Geométrica do Integral Duplo 
 
Suponhamos que ( , )z f x y seja maior ou igual a zero sobre R, observando a 
figura seguinte, podemos observar que o produto  ,k kf x y A , representa o 
volume de um prima recto, cuja base é o rectângulo kR e cuja altura é a 
função  ,k kf x y . 
A soma de Riemann  
1
,
n
k k k
k
f x y A

 representa uma aproximação do volume 
da porção do espaço compreendido abaixo do gráfico de ( , )z f x y e a cima da 
região R do plano xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ( , ) 0f x y  , o integral ( , )
R
f x y dxdy representa o volume do sólido 
delimitado superiormente pelo gráfico de ( , )z f x y , inferiormente pela região 
R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R. 
( , )
R
V f x y dA  
 
Caro estudante, uma vez apresentada a interpretação geométrica do integral 
duplo, apresentamos em seguida as propriedades do mesmo. Acompanhe! 
 
 
x 
y 
( , )z f x y 
R 
z 
 ,k kz f x y 
 ,k kx y 
22 Lição no 3 
 
Propriedades do integral duplo 
 
1. ( , ) ( , )
R R
kf x y dA k f x y dA  , para todo k real. 
2.  ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA     
3. Se  ( , ) ( , ), , ( , ) ( , )
R R
f x y g x y x y R f x y dA g x y dA      
4. Se ( , ) 0f x y  para todo (x,y) pertencente a região R, então 
( , ) 0
R
f x y dxdy  
Se a região R é composta de duas sub-regiões 1R e 2R que não têm pontos 
comuns, excepto, possivelmente os pontos da sua fronteira então 
1 2
( , ) ( , ) ( , )
R R R
f x y dA f x y dA f x y dA    . 
Depois das propriedades dos integrais duplos, a seguir vai aprender o cálculo dos 
mesmos, começando com a integração sucessiva. 
 
Cálculo dos Integrais Duplo 
 
 Integração sucessiva 
O cálculo das integrais duplas é mais facilmente efectuado por integração parcial 
sucessiva, que é a inversa da derivação parcial. Isto é, para calcular um integral 
duplo, integra-se primeiro uma função de duas variáveis independentes com 
relação a uma delas, enquanto a outra é mantida constante. O resultado desta 
integração parcial é, então, integrado com relação à outra variável. Para isto, a 
integral dupla ( , )
R
f x y dydx ou ( , )
R
f x y dydx onde a e b são constantes, 
pode ser escrita como a integral iterada
( )
( )
( , )
g xb
a h x
f x y dy dx
 
 
  
  . 
Para calcular esta expressão, primeiro a função ( , )f x y é integrada parcialmente 
em relação a y e calculada para os limites apropriados. Do mesmo modo, 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 23 
 
( )
( )
( , )
g yb
a h y
f x y dxdy  ou 
( )
( )
( , )
g yb
a h y
f x y dx dy
 
 
  
  é integrada primeiro parcialmente, 
com relação a x, e, em seguida, com relação a y. 
Caro estudante, observe que se a ordem de integração for invertida, devem ser 
determinados novos limites de integração, isto é, 
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
g x g xb b
a h x g x a
f x y dydx f x y dydx    . 
 
Os limites de integração devem envolver apenas variáveis em relação às quais a 
integração ocorre subsequentemente, e os limites integração precisam de ser 
reescritos desta forma. 
Assim 
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
g x m yb d
a h x c n y
f x y dydx f x y dxdy    onde os novos limites de integração são 
determinados de maneira que, por exemplo, se ( )y g x então ( )x m y . 
Para funções de mais de duas variáveis, este processo pode ser generalizado 
usando integrais múltiplas. 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular o integral  
1 1
0 0
xy x y dxdy  
Resolução: 
     
1 1 1 1 1 1
2 2
0 0 0 0 0 0
11 2
3 2
0 0
3 2
xy x y dxdy xy x y dx dy x y xy dx dy
y x
x y dy
   
       
   
 
  
 
     

 
11 2 2 3
0 0
1
3 2 6 6 3
y y y y
dy
   
       
   
 . 
 Vamos apresentar mais um exemplo. Acompanhe! 
Calcular o integral
2
1
0
/
x
x
x ydydx  
24 Lição no 3 
 
Resolução:2 2 2 2
1
1 1 1 11 1 1 12
2 2 2 2
0 0 0 0
/ . 2
xx x x
x x x x
x
x ydydx dy dx x y dy dx x y dx
y

                          
       
11 3 5
22 2
0 0
4 1
2 2
5 5
x x dx x x
   
       
   
 
Antes de resolver os exercícios, apresentamos, em seguida, algumas actividades 
que lhe irão ajudar a desenvolver as suas habilidades de cálculo. 
 
 
Actividades 
 
Calcular os seguintes integrais: 
a)  
2 1
0 0
2x y dxdy  
b) 
4 2
1 1
x y
dydx
y x
 
 
 
  
 
 
Chave de correcção 
a) 4 b) 
21
ln 2
2
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu a definição do integral duplo, em particular, também 
aprendeu a integração parcial. 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 25 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
Caro estudante, em seguida presentamos os exercícios de auto -avaliação, 
para que possa consolidar as técnicas de cálculo de integrais sucessivos. 
1. Calcular os seguintes integrais 
a) 
21
0 0
x y
xe dydx  b)  
21 1 1
2 2 2
0 0
1
x
x y dydx

   c) 
21
2
1
y
y
x ydxdy

  
d)  
22
1 0
1
x
xy dydx  e)  
1 1
1 1
1
x
x
x y dydx

 
   f)  
3 2
2 2
0 1
x y xy dxdy  
g) 
 
4 2
2
3 1
dxdy
x y
  h) 
21 1
2 2
0 0
1
x
x y dydx

   i) 
21
0 0
x y
xe dydx  
j) 
 1 cos
2
0 1
a
r sen drd

 

  
 
 
Chave de correcção 
Exercício 1: 
a) 
1
2 
 
b) 6

 
 
b) 
14
15 
 
c) 
91
12 
 
e) -4 f) 24 
g) 
25
ln
24 
 
h) 6

 
i) 
1
2 j) 
34
3
a
 
 
 
 
 
26 Lição no 4 
 
Lição no 4 
Integração em Regiões Generalizadas 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar os integrais duplos, concretamente o seu cálculo em 
regiões mais generalizadas, esta lição vão levar -lhe a calcular os integrais em 
regiões não rectangulares. Esta lição pode ser estudada em duas horas e meia, 
incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
Calcular os integrais duplos em regiões mais generalizadas. 
. 
 
Estimado estudante, se a função a ser integrada não tem os limites previamente 
colocados, devemos representar as funções que determinam a região de 
integração, graficamente. 
 
1º Caso: A região R é do tipo I: a x b  e 1 2( ) (f x y f x  
A figura abaixo caro estudante, ilustra esse caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
x 
y 
2 ( )y f x 
1( )y f x 
a b 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 27 
 
Neste caso o integral duplo ( , )
R
f x y dydx é calculado através da seguinte 
integral iterada 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
f xb
R a f x
f x y dxdy f x y dy dx
 
  
  
   
Apresentamos, em seguida, um exemplo. Acompanhe! 
 
28 Lição no 4 
 
 
Exemplo 
 
Calcular  
R
x y dxdy , onde R é o domínio limitado pelas 
curvas
2y x e 2y x 
Calcular 
 
Resolução. 
Vamos começar por representar a região de integração graficamente 
 
y = 2x
 
Assim, os limites de integração serão aqueles que limitam a área a 
tracejada. Desta forma: 
0 2x  e 
2 2x y x  
Nesta condição teremos 
   
2 2
22 2 2 2
0 0
2
xx
R x x
y
x y dxdy x y dy dx xy dx
   
       
    
    =
   
2
2 2 4
0
1
2 4
2
x x x x x dx
 
    
 
2 2
2 3 2 4 2 3 4
0 0
2
3 4 5
0
1 1
2 2 4
2 2
4 1 1 52
3 4 10 15
x x x x dx x x x dx
x x x
   
            
 
     
 
 
 
 
2 
4 
 
2y x
2y x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 29 
 
2º Caso: A região R é do tipo II: c y d  e 1 2(y) (y)g x g  
 
A figura abaixo, ilustra esse caso. Observe! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, de modo análogo ao 1º caso, temos 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
g yd
R c g y
f x y dxdy f x y dx dy
 
  
  
   
Para uma melhor percepção, tomemos o exemplo anterior, bastando, para tal, 
inverter a ordem de integração, isto é, integrar primeiro em ordem a x e depois 
em ordem a y 
Assim, devemos usar como limites: 
2
y
x y  e 0 4y  . Assim o integral 
fica: 
   
4 4 42 2
0 0 0
22
1
2 2 4 2
yy
yyR
x y y
x y dxdy x y dx dy yx dy y y y dy
 
       
                      
    
 
=
4 4 32 2
2 2
0 0
1 1 5
2 8 2 2 8
y y
y y y dy y y y dy
  
       
   
  
=
452
3 2
0
5 2 5.64 2.32 40 64 52
4 4
4 24 5 24 5 3 5 15
y
y y
 
          
 
 
Como pode observar, obtemos o mesmo resultado 
 
 
 
 
 
 
 
c 
y 
x 
2 ( )x g y
 
R 
1( )x g y 
d 
30 Lição no 4 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
Calcular  2
R
x y dA , onde R é a região limitada pelas 
parábolas 22y x e 21y x  
 
Chave de correcção 
Resolução: 
Vamos representar, em primeiro lugar, o gráfico que representa o domínio. Trata-
se de duas funções quadráticas, que julgamos não haver dificuldades para 
construir. Acompanhe! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que as parábolas se intersectam 
quando 2 22 1x x  , ou seja 1x   . Note que a 
região é do tipo I e podemos escrever 
que,   2 2, : 1 1, 2 1D x y x x y x       
Como a fronteira abaixo é parábola 22y x e a 
cima 21y x  o integral fica: 
   
2
2
1 1
1 2
2 2
x
R x
x y dA x y dydx


      
 
 
2
2
2
2
1 1 1
12
2
1 12
2
x
x
x
x
x y dy dx xy y dx


 
 
      
  
   
       
1
2 22 2 2 2
1
1 1 2 2x x x x x x dx

        
 
1
4 3 2
1
3 2 1x x x x dx

      
5 4 2
13
1
2
3
5 4 3 2
x x x
x x

     
32
15
 
Caro estudante Vamos apresentar mais um exemplo onde, desta vez, teremos uma 
região do tipo II. 
2 
-1 1 
1 
2 
x 
y 
2y 1 x  
22y x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 31 
 
 
Exemplo 3 
 
Calcular 
D
xydA , onde D é a região limitada pela recta 1y x  e pela 
parábola 2 2 6y x  
Comecemos por apresentar geometricamente o domínio D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a parábola 2y 2 6x  e a recta 1y x  se intersectam 
quando  
2
1 2 6x x   , ou seja 1x  ou 5x  . Assim, a intersecção 
é nos pontos  5, 4 e  1, 2  . Note que a região é do tipo II e 
podemos escrever que,   2
1
, : 1 4, 3 1
2
D x y y y x y
 
        
 
 
 
 
D
xydA 
2
2
114 4
2
1
1 32 23 2
2
1
2
yy
y
y
xydxdy y x dy

 
 
   
  
 
24
2 2
1
1 1
1 3
2 2
y y y dy

  
     
   

4
3 2 5 3
2
1 1
2 3 9
2 4
y y y y y y dy

 
      
 
 =
4
5 3 2
2
1 1
4 2 8
2 4
y y y y dy

 
    
 
 
4
6 4 3 2
2
1 1 2
4
2 24 3
y y y y

 
      
1 4096 256 128 64 16
64 16 16
2 24 1 3 24 3
  
           
  
 
=
1 4032 144
192
2 24 3
 
   
 
=
1 512 144
192
2 3 3
 
   
 
 
1 368
192
2 3
 
   
 
1 368 576 208 104
2 3 6 3
  
   
 
 
 
Caro estudante, quando fizemos a interpretação geométrica do integral duplo 
dissemos que ele representa o volume do sólido delimitado superiormente pelo 
gráfico de ( , )z f x y , inferiormente pela região R e lateralmente pelo 
5 
6 
-3 
6 
4 
-2 
32 Lição no 4 
 
“cilindro” vertical cuja base é o contorno de R. veja, em seguida, o exemplo do 
cálculo de volume. 
 
 
Exemplo 
 
Determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos 2 2x y z   , 
2x y , 0x  e 0z  . 
Solução: caro estudante, numa questão como esta, é prudente desenhar 
dois diagramas: um no plano tridimensional e outo da região R sobre o 
qual o sólido se encontra. 
A figura1 mostra o tetraedro T limitado 
pelos planos coordenados 0x  , 0z  , 
plano vertical 2x y e plano 
2 2x y z   . Como 
2 2x y z   interceptao plano 
xy (cuja equação é 0z  ) na recta 
2 2x y  , vemos que T está acima da 
região triangular R no plano xy limitado 
pelas rectas 2x y , 2 2x y  e 
0x  (Veja a Figura 2). 
O plano 2 2x y z   pode ser escrito 
como 2 2z x y   , então o volume 
pedido está sob o gráfico da função 
2 2z x y   e a cima 
 , : 0 1, 1
2 2
x x
D x y x y
 
      
 
 
 
 
Portanto,    
1
1 2
0
2
2 2 2 2
x
xR
v x y dA x y dydx

        
1
1
2 2
20
2
x
y
x
y
y xy y dx
 

     21 2 4
0
2 1 1
2 2 2 4
x x x x
x x x dx
    
            
     
 
T 
x 
y
z 
( 0 , 1 , 0 ) 
1
(1 , , 0 )
2
 
2x y z   2x y 
T 
(0, 0, 2) 
Figura 1 
 
1
( 1 , )
2
 
2 2x y  
R 
y 
Figura 2 
2
x
y  
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 33 
 
 
11 3
2 2
0 0
1
2 1
3 3
x
x x dx x x

      


 
Antes de iniciar com a resolução de exercícios, resolva a seguinte actividade 
 
 
 
Actividade 
 
2
R
ydxdy , R a região delimitada por 
2y x e 3 2y x  
Chave de correcção 
j 
4
5
 
Sumário 
Nesta lição você aprendeu o cálculo de integrais duplos em regiões mais 
generalizadas e aplicação da interpretação geométrica dos integrais duplos no 
cálculo de volumes. 
34 Lição no 4 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
Em seguida, vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, para que 
possa consolidar o cálculo de integrais duplos. 
1. Calcule os seguintes integrais nos domínios indicados 
a) 
D
xdxdy , Sendo D o domínio delimitado por y x  , 4y x e 
3 5
2 2
y x  
b) 2 2
D
x y dxdy , onde D é o triângulo com vértices nos pontos 
     0,0 1, 1 1,1e 
c) 2 2
D
xdxdy
dxdy
x y , onde D é o segmento parabólico limitado pela parábola 
21
2
y x e pela recta y x . 
d) cos
R
x ydA onde R é limitado 
20 , , 1y y x x   
e) 3
R
y dA R, é a região triangular com vértice    0,2 1,1 e  3,2 
f)  2
R
x y dA R é limitada pelo círculo de raio igual a 2. 
g)  8
R
x y dxdy  onde R é a região delimitada por 
2y x e 4y  
h)  2 2
R
x y dxdy , onde R é limitado por y x 4x  e 0y  
i) 
2
2
R
x
dxdy
y
 R é a região delimitada por 
1
,y x y
x
  e 2x  
 
 
2. Inverter a ordem de integração 
a) 
4 2
0 0
( , )
y
f x y dxdy  b) 
2
3
1
0
( , )
x
x
f x y dydx  c) 
2
1 0
( , )
xe
f x y dydx  
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 35 
 
d) 
23 2 3
1 0
( , )
x x
f x y dydx
  

  
3. Determine o volume do sólido. 
a)Abaixo do plano 2 0x y z   e acima da região limitada por y x e 2y x 
b) Abaixo da superfície z xy e acima do triângulo com vértices em 
 1,1 ,  4,1 e  1,2 
c) Limitado pelos planos 0 , 0 , 0x y z   e 1x y z   
d) Delimitado pelos cilindros 2z x , 2y x e pelos planos 0z  e 4y  . 
4. Calcule o integral trocando a ordem de integração 
a) 
2
1 3
0 3
x
y
e dxdy  b) 
2
3 9
2
0
cos
y
y x dxdy  c) 
1 2
2
0
cos 1 cos
arcseny
x x dxdy

  
Chave de correcção 
Exercício 1: a) 0 b) 
6

 c) ln 2 d) 
1 cos1
2

 e) 
147
20
 
f) 0 g) 
896
15
 h) 
4288
105
 i) 
9
4
 
 
Exercício 2: 
a) 
2 4
0 2
( , )
x
f x y dydx  b) 
31
0
( , )
y
y
f x y dxdy  
 c) 
22 2
0 1 0 ln
( , ) ( , )
e e
y
f x y dxdy f x y dxdy    d) 
1 44
0 1 4
( , )
y
y
f x y dxdy
 
 
  
Exercício 3: a) 
7
18
 b) 
31
8
 c) 
1
6
 d) 
128
15
 
 
 
 Exercício 4 
a) 
 9 1
6
e 
 b) 
1
81
4
sen c) 
2 2 1
3

 
 
 
 
36 Lição no 5 
 
Lição no 5 
Integrais duplos em Coordenadas 
Polares 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar o cálculo dos integrais duplos em coordenadas 
polares, trata-se de um método muito eficiente na resolução de exercícios que 
envolvem círculos. Esta lição pode ser estudada em duas horas e meia, incluindo 
a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 Trocar variáveis em integrais duplos; 
 Calcular os integrais duplos em coordenadas polares. 
 
 
 Caro estudante, antes de estudar a mudança em coordenadas polares, vamos 
apresentar, em seguida, a maneira como é feita a troca de variáveis em integrais 
duplos. Esse tratamento, também é extensivo para outro tipo de integrais que 
serão objecto de estudo neste módulo. Continue acompanhando. 
Mudança de Variáveis em Integrais duplos 
Na integração de funções de uma variável, a fórmula de mudança de variável ou 
substituição é usada para transformar um integral dado em um ouro mais simples. 
Temos 
 ( ) ( ) ( )
b d
a c
f x dx f g t g t dt  onde ( )a g c e ( )b g d . 
Quando utilizamos essa fórmula para calcular um integral definido, a mudança de 
variável vem acompanhada por correspondente mudança de limites de integração. 
Para integrais duplos, podemos utilizar um procedimento análogo. Através de 
mudança de variáveis, ( , )x x u v e ( , )y y u v (1). 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 37 
 
Uma integral dupla sobre uma região R do plano xy pode ser transformada numa 
integral dupla sobre a região R do plano uv . 
Geometricamente, podemos dizer que as equações (1) definem uma aplicação ou 
transformação que faz corresponder pontos ( , )u v do plano xy . 
Através dessa aplicação, a região Rdo plano uv é aplicada sobre a região R do 
plano xy. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Se a transformação leva pontos distintos de R em pontos distintos de R, dizemos 
que ela é uma aplicação de um para um. Nesse caso, a correspondência entre R 
e R é bijectiva, e podemos retornar de R para R através da transformação inversa 
( , )u u x y e ( , )v v x y (2). 
Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais 
contínuas em R e R, respectivamente, temos: 
 
( , )
( , ) ( , ), ( , )
( , )
R R
x y
f x y dxdy f x u v y u v dudv
u v


 
 (3) 
Onde 
( , )
( , )
x y
u v


é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por 
( , )
( , )
x x
x y u v
y yu v
u v
 
  

 
 
 
Observamos que se valem as condições de que, 
 f é continua: 
 As regiões R e R são formados por um número finito de sub-regiões do 
tipo I ou II; e 
 X=x (u,v) 
 Y=y (u,v) 
 
X 
R 
v 
u U 
V 
R 
Y 
x 
y 
38 Lição no 5 
 
 O jacobiano 
( , )
0
( , )
x y
u v



em R ou se anula num número finito de 
pontos de R , a formula (3) é válida. 
O jacobiano que aparece em (3) pode ser interpretado como uma medida de 
quanto a transformação (1) modifica a área de uma região. 
 
 Antes de iniciar o cálculo, apresentamos uma ideia geral sobre as coordenadas 
polares, pese embora não faça parte deste programa, mas pela sua relevância 
julgamos oportuno abordar este tópico, mesmo que superficialmente. 
Coordenadas Polares 
Um sistema de coordenadas polares representa um ponto no plano por um par 
ordenado de números chamados coordenados. 
Escolhemos um ponto no pano conhecido como polo (ou origem) e denominamos 
O. Então desenhamos um raio (semi-recta) começando em O, chamado eixo 
polar. Esse eixo é geralmente desenhado horizontalmente para a direita e 
corresponde o eixo x positivo nas coordenadas cartesianas. 
Se P for qualquer outro plano, seja r a distância de O a P e seja  o triângulo 
(geralmente medido em radianos) entre o eixo polar e a recta OP veja a figura 1. 
Daí o ponto P é representado pelo par ordenado  ,r  e r,  denominadas 
coordenadas polares de P. Usamos a convenção de que um ângulo + e positivo se 
for medido no sentido anti-horário a partir do eixo polar e negativo se for medido 
no sentido horário. Se P O então 0r  , e concordamos que  0, representao polo para qualquer valor de . 
Estendemos o significado de coordenadas polares para o caso no qual r é negativo 
concordando que, como na figura 2, os pontos  ,r  e  ,r  estão na mesma 
recta através de O e estão à mesma distância r a partir de O, mas em lados 
opostos de O. Se 0r  , o ponto  ,r  está no mesmo plano quadrante que  ; se 
0r  , ele está no quadrante do lado oposto ao polo . Note que  ,r  representa 
o mesmo ponto que  ,r  
 P  ,r r 
 
Eixo polar 
Fig. 1 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A relação entre as coordenadas polares e rectangulares pode ser vista a partir da 
figura 3, no qual o polo corresponde a origem e o eixo polar coincide com o eixo 
positivo x. se o ponto P tiver coordenadas cartesianas  ,x y e coordenadas 
polares  ,r  , então a partir da figura temos_ 
 
 
 
 
 
 
 
cos
x
r
  e 
y
sen
r
  logo: 
cosx r  e y rsen 
Para se achar o raio r e o triângulo 
 , 
faz-se a partir do teorema de 
Pitágoras 2 2 2r x y  e 
y
tg
x
  , 
respectivamente. 
 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares 
Suponhamos que queremos calcular o integral duplo ( , )
R
f x y dxdy onde R é 
uma das regiões mostradas nas figuras abaixo. 
 
Em qualquer dos casos, a descrição de R é complicada em coordenadas 
rectangulares, mas a descrição de R fica mais facilitada utilizando-se as 
coordenadas polares. 
Na figura1 :   , :1 2, 0R r r       
Na figura 2:   , :0 1, 0 2R r r       
 
 
R 
x 
y 
Fig. 1 
R 
Fig. 2 
  
 ,r  
Eixo polar 
 P  ,r 
Fig. 2 
x 

y 
r 
P  ,r  =P 
40 Lição no 5 
 
Queremos lembrar que as coordenadas polares  ,r  de um ponto estão 
relacionadas com as coordenadas rectangulares  ,x y pelas equações: 
2 2 2r x y  , cosx r  e y rsen 
Como foi visto anteriormente. 
O determinante jacobiano, nesse caso, é dado por: 
cos cos( , )
cos( , )
x x
rx y r
r
y y sen rr
r
 
 

 
  
  
 
 
 e a fórmula (3) pode se expressar 
por    ( , ) cos , cos ,
R R R
f x y dxdy f r rsen r drd f r rsen rdrd     
 
    
Caro estudante, observa que, para fazer com que a transformação anterior seja 
injectiva considera-se, em geral, apenas regiões do plano r para os quais r e  
satisfaçam, 0r  e 0 2   ou 0r  e      . 
Depois da parte teórica acompanhe o seguinte exemplo sobre a mudança para as 
coordenadas polares. 
 
Exemplo 
 
1. Calcular 2 2
R
x y dxdy , sendo R o círculo de centro na 
origem e raio 2. 
Resolução: Para resolver o integral, vamos utilizar as coordenadas 
polares. Para isso, devemos identificar a região R , no plano r , que está 
em correspondência com a região R 
 
Na figura (a) abaixo verificamos a região R e a circunferência 2 2 4x y  que 
em coordenadas polares, tem 2r  . Recorde que a equação da circunferência 
é    
2 2 2x a y b R    
 
 
 
 
R 
2 
y 
(a) 
R 
2 
y 
(b) 
 
r 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 41 
 
 
 
Para identificar a região r , podemos desenhá-la num plano r ou 
simplesmente, descrevê-la analiticamente, a partir da visualização da região R no 
plano xy. 
Observando a figura (b), vemos que a região R é dada por 
  , : 0 2 ,0 2R r r        que nesse caso é um rectângulo no 
plano r . 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o integral vem 
   
2 22 2 cos
R R
x y dxdy r rsen rdrd  

    
2 2
2 2 2 2
0 0
cosr r sen rdr d

  
 
  
 
 
2 2
2 2 2 2
0 0
cosr r sen rdr d

  
 
  
 
  
22 2 2 3
2
0 0 0 0
3
r
r dr d d
 
 
  
   
 
   
2
2
0
0
8 8 16
3 3 3
d


     
 
2. Calcular 
2 2x y
R
e dxdy , onde R é a região do plano xy delimitada por 
2 2 4x y  e 2 2 9x y  
Resolução 
Vamos, primeiro, apresentar geometricamente o domínio de existência 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em coordenadas polares, as equações das circunferências que delimitam R são 
dadas por 2r  e 3r  . 
2 
2 
R 
R 
2 3 
42 Lição no 5 
 
 
  , : 2 3 ,0 2R r r        logo, 
2 2 2 2 2 2cosx y r r sen
R R
e dxdy e rdrd   

 
 
2 2
2 3 2 2
2
0 2 0 0
1
2
r re rdr d e d r d
 
 
  
    
   
    
 
2
32 2
9 4
0 02
1 1
2 2
re d e e d
 
   
      
29 4 9 4
0
1
2
e e e e

     
Caro estudante, para terminar este ciclo de exemplos, vamos apresentar o caso em 
que o centro da circunferência não se encontra na origem dos eixos. Continue 
acompanhando! 
3. Calcular 
R
ydxdy , sendo R a região delimitada por 
2 2 0, 0x y ax a    . 
Resolução: vamos primeiro transformar a circunferencial dada para a 
forma    
2 2 2x a y b R    . 
Assim 2 2 0x y ax   2 2 0x ax y   
2 2
2 2 0
2 2
a a
x ax y
   
        
   
2 2
2
2 2
a a
x y
   
     
   
. Esta circunferência 
tem o centro em , 0
2
a 
 
 
 e raio
2
a
. 
Em coordenadas polares, a equação da circunferência que delimita R é dada por: 
2 2
2
2 2
a a
x y
   
     
   
2 2
2 2cos
2 2
a a
r r sen 
   
      
   
 
2 2
2 2 2 2cos cos
2 2
a a
r ar r sen  
   
       
   
 
2 cos 0r ar     cos 0r r a    cosr a   
 
 
 
y 
a
 
2
a
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 43 
 
 
 
 
Observando o gráfico, pode verificar que: 
 , : 0 cos ,
2 2
R r r a
 
  
 
       
 
Portanto, 
.
R R
ydxdy rsen rdrd 

 
cos2
2
0
2
a
sen r dr d



 

 
  
 
  
cos
32
2 0
3
a
r
sen d


 


 


3 3 42 2
3
22
cos
cos 0
3 3 4
a a
sen d
 


  


   


 
 
 
Calcular passando pelas coordenadas polares 2 2
R
x y dxdy onde R a região 
delimitada por 2 2 1x y  e 2 2 9x y  . 
 
Chave de correcção 
52
3
 
 
 
Sumário 
Nesta lição você aprendeu a mudança de coordenadas generalizada e o cálculo de 
integrais duplos em coordenadas polares. 
 
 
x 
 
Actividade 
 
44 Lição no 5 
 
Exercícios. 
 
Auto-avaliação 
 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volte a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
1. Passando pelas coordenadas polares, calcular os seguintes integrais 
a)  
244
2 2
0 0
y y
x y dxdy

  b) 
2
2
2 4
2 4
x
x
ydydx

  
  
c) 
21 1
1 0
x
ydydx


  d) 
2
1
0 0
y y
yxydy

  
e) 
2
2
1 1
2 2
1 1
1
x
x
x y dydx

  
   f) 
2
2
0
y y
y
xdxdy

  
2. Calcular 
 2 22 x y
R
e dxdy

 onde R é o círculo 
2 2 4x y  
3. Calcular 
R
xdxdy sendo a região delimitada por 
2 2 4 0x y x   
4. Calcular  2 2
R
x y dxdy , sendo R a região interna à circunferência 
2 2 4x y y  e 2 2 2x y y  . 
5. Calcular 
R
ydxdy , sendo R a região delimitada por y x , 2y x , 
24y x  . 
6.Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por 
2 24 2 2z x y   
7. Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por 2y z  e 
pelo cilindro que contorna a região delimitada por 2y x e 2x y 
 
 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 45 
 
Chave de correcção 
Exercício 1 
a) 12 b) 0 c) 
2
3
 d) 
16

 e) 
2
3
 f) 
4 2
3
 
Exercício 2: 8 1
2
e

   Exercício3: 8 
Exercício 4: 
45
2
 Exercício 5: 
4 2 8 5
3 15
 Exercício 6: 4 
Exercício 7: 
31
60
 
 
 
 
46 Lição no 6 
 
Lição no 6 
Aplicações de integrais duplos no 
cálculo de áreas de figuras planas. 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar algumas aplicações dos integraisduplos no cálculo 
de áreas de figuras planas, bem como na resolução de alguns problemas em física. 
Esta lição pode ser estudada em 2 horas, incluindo a resolução de exercícios. 
 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Calcular as áreas de figuras planas; 
 Calcular o momento da massa em relação ao eixo x e y; 
 Achar o centro da massa. 
 
 
Caro estudante, algumas aplicações dos integrais duplos foram já apresentadas 
nas lições anteriores, como é o caso do cálculo de volumes. Nesta lição, vai 
estudar outras aplicações, começando com o cálculo das áreas. 
Acompanhe! 
Cálculo de Áreas em Figuras planas 
Caro estudante, se na expressão ( , )
R
f x y dA fizermos ( , ) 1f x y  , obtemos 
R
dA , que nos dá a área da região de integração R. se tivermos uma região do 
tipo I como mostra a figura abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
1( )f x 
2 ( )f x 
R 
x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 47 
 
Podemos escrever  
22
1 1
( )( )
2 1
( ) ( )
( ) ( )
f xf xb b b
R a f x a af x
dA dydx y f x f x dx        
Acompanhe o exemplo que se segue. 
 
 
Exemplo 
 
1. Calcular a área da região limitada por 2 1x y  e 
3x y  . 
Resolução: primeiro apresentamos geometricamente a região delimitada pelas 
duas funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este integral é facilmente resolvível considerando uma região do tipo II 
Assim: 
  2, : 2 1 , 1 3R x y y y x y        
Desta forma, a área pedida é: 
2 2
3 31 1
2 21 1
y y
R y y
dA dxdy dx dy
 
  
 
  
 
 
      2
1 1
3 2
1
2 2
(3 1)
y
y
x dy y y dy


 
      
 
1
2
2
2 y y dy

  
12 3
2
2
2 3
y y
y


   

1 1 8
2 4 2
2 3 3
   
         
   
 
7 10 7 20 27 9
6 3 6 6 2

     
 
3 
1 
-2 
3 1 
2 1x y  
3x y  
48 Lição no 6 
 
2. Calcular a área da região limitada por 3y x , y x  e 
2 20
3 3
y x  
Resolução: 
 Afigura abaixo, mostra a região em análise. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a região R, verificamos que estamos diante de uma região que deve 
ser particionada em duas sub-regiões 1R e 2R . Por exemplo, podemos escolher o 
eixo dos y como fronteira dessas regiões. Então temos, 
 1
2 20
, : 4 0,
3 3
R x y x x y x
 
        
 
 
  32
2 20
, : 0 2,
3 3
R x y x x y x
 
      
 
 
Desta forma, calculando a área pedida vem: 
3
1 2
2 20 2 20
0 23 3 3 3
4 0
x x
R R R x x
dA dA dA dydx dydx
 
 
          
2 2 0
3 3
y x 
- 
4 
-4 
8 
y 
2 x 
y x  
3y x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 49 
 
3
0 2 2 202 20
3 33 3
4 0
xx
x x
y dx y dx



  
       
 
0 2
3
4 0
2 20 2 20
3 3 3 3
x x dx x x dx

   
        
   
 
20 2 4
4 0
5 20 20
3 3 3 3 4
x x
x dx x

  
       
   

0
2
4
5 20 4 40
4
6 3 3 3
x x

   
         
 
40 80 44 84 72
4 4
3 3 3 3 3
       
 
Em seguida, apresentamos uma actividade resolva-a. 
 
Calcula a área limitada pelas equações 2 2 16x y  e 2 4x y  
 
Chave de Correcção: 
343
12
 
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu aplicações do integral duplo e no cálculo de áreas de 
figuras planas. 
Exercícios 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volta a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
 
1. Calcular a área da região R delimitada pelas curvas 
3 , 2 , 0y x x y y    
2. Calcular a área da elipse 2 24 4 0x y x   
3. Calcular a área da região do 1º quadrante delimitada pelas curvas 
2 8 , 6 , 0y ax x y a y    
4. Calcular a área da região delimitada por 24y x  , y x e 2y x 
5. Calcular a área limitada pelas curvas 2 2y x e y x 
Calcular a área limitada pelas curvas cos ,y x y senx  e 
 
 
Actividade 
 
50 Lição no 6 
 
Chave de correcção 
Exercício 1: 
3
4
 Exercício 2: 2 Exercício 3: 
14
3
 
Exercício 4: 2 2
2
arctag

 Exercício 5: 
1
15
 Exercício 6: 
1
35
 
 
Em seguida, vamos apresentar algumas aplicações na área de física. Continue 
acompanhando a lição, caro estudante. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 51 
 
Lição no 7 
Aplicações de integrais duplos na 
física 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar algumas aplicações de integrais duplos na resolução 
de alguns problemas em física. Esta lição pode ser estudada em 2 horas, incluindo 
a resolução de exercícios. 
 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Calcular o momento da massa em relação ao eixo x e y; 
 Achar o centro da massa. 
. 
 
Aplicações Físicas 
Usando as integrais duplas, podemos encontrar a massa, o centro da massa e o 
momento da inercia de uma lâmina plana não homogénea, com a forma de uma 
região R e com densidade de área em um ponto  ,x y de R dada pela função 
contínua  ,x y . 
Para encontrar a massa total da lâmina, vamos fazer uma partição como foi feito 
na definição do integral duplo. Seja kR um rectângulo genérico dessa partição 
com área kA . Um valor aproximado da massa desse rectângulo pode ser 
expresso por  ,k k kx y A  , onde  ,k kx y é um ponto qualquer do rectângulo 
kR . 
Um valor aproximado da massa total da lâmina pode ser expresso pela soma de 
Riemann da função  ,x y  sobre R: 
 
1
,
n
k k k
k
x y A

 . (1) 
52 Lição no 7 
 
A massa total da lâmina é definida pelo limite da soma (1) quando n  e a 
diagonal (diâmetro) máxima dos kR tende para zero: 
 
1
lim ,
n
k k k
n
k
M x y A


  ou  ,
R
M x y dA  (2) 
O momento da massa do k- ésimo rectângulo em relação ao eixo é dado por 
 ,k k k ky x y A  . 
Assim, o momento de massa em relação ao eixo x é dado 
por  
1
lim ,
n
x k k k k
n
k
M y x y A


  ou  ,x
R
M y x y dA  (3) 
Analogamente, obtêm-se o momento de massa em relação ao eixo y. 
 ,y
R
M x x y dA  (4) 
O centro de massa, denotado por  ,x y é definido por, 
yMx
M
 e x
M
y
M
 (5) 
Outro conceito muito usado nas aplicações físicas é o de inercia, que pode ser 
interpretado como uma medida da capacidade do corpo de resistir a aceleração 
angular em torno de um eixo L. 
Momento de inércia em relação ao eixo x é, 
 2 ,x
R
I y x y dA  (6) 
Momento de inércia em relação ao eixo y é, 
 2 ,y
R
I x x y dA  (7) 
Momento de inércia polar é dado por 
   2 20 ,
R
I x y x y dA  (8) 
Observe que 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 53 
 
Os valores 2y , 2x e 2 2x y são “ distâncias ao quadrado”, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
2
kx Quadrado da distância de kP ao eixo y; 
2
ky  Quadrado da distância de kP ao eixo x ; 
2 2
k kx y  Quadrado da distância de kP a origem 
 
 Em seguida, apresentamos um exemplo de uma aplicação em física. Continue 
acompanhando, caro estudante: 
 
Exemplo 
 
1. Determinar o centro da massa de uma chapa homogénea 
formada por um quadrado de lado 2a , encimado por um 
triângulo isósceles que tem por base o lado 2a e por altura 
a . 
 
Resolução: 
Vamos primeiro desenhar a chapa 
alocada num sistema de 
coordenadas, como mostra a 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a chapa é homogénea e está 
alocada simetricamente em 
relação ao eixo dos y, vamos 
trabalhar somente com a metade 
da região descrita 
 
 
 
ky 
y 
x 
kx 
kP 
3a 
a 
2a 
a 
 x 
y 
3y a x  
3a 
a 
2a 
a 
-a x 
y 
54 Lição no 7 
 
  , : 0 , 0 3R x y x a y a x      
Vamos, inicialmente calcular a massa total da chapa, usando a fórmula dada e 
considerando a densidade linear  ,x y k  , pois a chapa é homogénea. 
AssimM=  
3
0 0
, 2
a a x
R
x y dA k dydx

    
3
0 0
2
a xa
k y dx

 =  
2
0
2 3 5
a
k a x dx a k  
(note que o factor 2 provém do facto de a região apresentada na figura anterior ser 
a metade da região em estudo). 
Para achar o centro de massa, necessitamos encontrar os momentos de massa em 
relação aos eixos coordenados. 
Pela simetria em relação ao eixo dos y, podemos afirmar que 0yM  . 
Calculemos xM . 
 
 
0 3 3
0 0 0
,
a x a a x
x
R a
M y x y dA k ydydx k ydydx
 

       ou 
 
3
0 0
, 2
a a x
x
R
M y x y dA k ydydx

    
 
3 22
0 00
3
2 2
2 2
a xa a a xy
k dx k dx




 
 
3
2 2 2 2
0 0
9 6 9 3
3
aa
x
k a ax x dx k a x ax
 
      
 

3
3 39 3
3
a
k a a
 
   
 
 
3
3 3103
3 3
a
k a a k
 
   
 
, Portanto, 
2
0
0
5
yMx
M a k
   e 
3
2
2
10
103
5 15
x
a k
M
y a
M a k
   
 
Veja o segundo exemplo: 
2. Calcular o momento da inércia em relação ao eixo dos y da chapa 
desenhada abaixo, sabendo que a densidade da massa é igual a 
2/xy kg m 
 
 
 
 
 
Resolução: 
2 
4 
y 
x 
y x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 55 
 
  , : 0 4 , 0R x y x y x     
 
4 4 2
2 2 3
0 2 0 0
,
2
x
x
y
R
y
I x x y dA x xydydx x dx

   

    
 
44 5
4
0 0
1 1 1024 512
2 2 5 10 5
x
x dx

   

 
 Conforme temos feito nestas lições, iremos apresentar uma actividade que lhe vai 
ajudar afixar as ideias fundamentais com relação às aplicações dos integrais em 
física. 
 1. Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas 
curvas 2 1y x  e 3y x  . Sua densidade de massa no 
ponto  ,P x y é proporcional à distância desse ponto ao eixo dos x. 
Calcular: 
a) a massa da lâmina 
b) o centro de massa; e 
c) o momento da inércia em relação ao eixo x. 
 
 
Chave de correcção 
 
35 529 3033
) 11,7 , ) , )
52 182 28
k
a k b c
 
 
 
 
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu aplicações do integral duplo no cálculo de área e na 
resolução de problemas em física onde se destaca; a massa total da massa, o 
momento da massa em relação aos eixos x e y, momentos da inércia em relação 
aos eixos x e y. 
 
Actividade 
 
56 Lição no 7 
 
Exercícios 
Terminada a parte teórica, vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades Volte a rever a lição e os exemplos 
apresentados. 
2. Uma lâmina tem a forma do triângulo de vértices  1,0 ,  1,1 e 
 1, 1 . Determine a massa e o centro de massa da lâmina se: 
 
a) Sua densidade de massa é constante 
b) Sua densidade de massa no ponto  ,P x y é proporcional à distância 
desse ponto à recta 2x  
3. Uma lâmina tem a forma da região R delimitada pelas curvas 2x y e 
4x  . Sua densidade de massa é constante. 
a) Determinar o momento da inércia da lâmina em relação ao eixo x. 
b) Determinar o momento da inércia da lâmina em relação ao eixo y. 
4. Calcular a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio igual 
a 3 cm, se a sua densidade de massa num ponto  ,P x y é proporcional 
ao quadrado da distância desse ponto ao centro do círculo acrescida de 
uma unidade. 
 
 
 
Chave de correcção 
Exercício 1: 
1 14 3
) 2 , ,0 ) , ,0
3 3 7
k
a k b
   
   
   
 
Exercício 2: 
128 512
) )
15 7
k k
a b Exercício 3: 
99
2
k
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 57 
 
Unidade II 
Integrais Triplos 
Introdução 
Nesta unidade, você vai aprender sobre os integrais triplos. Neste tipo de 
integrais, a função integrando, é uma função de três variáveis ( , , )w f x y z 
definida sobre a região T do espaço tridimensional. As ideias principais são as 
semelhantes às utilizadas na unidade II, concretamente quando estudamos os 
integrais duplos. É uma unidade muito importante pois também pode ser aplicada 
no cálculo de volumes de corpos, e resolução de problemas em física. Esta 
unidade está dividida em 3 lições. 
 
Ao completar esta unidade, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
Definir os integrais triplos; 
Calcular os integrais triplos; 
Calcular os integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas; 
Aplicar os integrais triplos no cálculo de volumes; 
Aplicar os integrais triplos na resolução de problemas físicos. 
 
Caro estudante, quando estudamos as medidas de um intervalo vimos que 
quando 3n  a medida de um intervalo é o volume e se associa ao 
integral triplo. Vamos apresentar com mais detalhe este tipo de integrais. 
 
 
 
58 Lição no 8 
 
Lição no 8 
Integrais Triplos 
Introdução 
Nesta lição você vai estudar os integrais triplos, concretamente o seu cálculo. É 
uma aula que pode ser estudada em 2 horas incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Definir integrais triplos; 
 Calcular os integrais triplos. 
Caro estudante, quando estudou as medidas de um intervalo viu que quando 
3n  a medida de um intervalo é o volume e se associa ao integral triplo. 
Vamos apresentar com mais detalhe este tipo de integrais. Acompanhe! 
 
Definição do integral triplo 
Seja ( , , )w f x y z uma função definida e contínua numa região fechada e 
limitada T do espaço. Subdividimos T em pequenas sub-regiões traçando planos 
paralelos aos planos coordenados (veja afigura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 
z 
y 
x 
 
( , , )k k kx y z 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 59 
 
Numeramos os paralelogramos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos 
pequenos paralelepípedos kT , escolhemos um ponto arbitrário ( , , )k k kx y z . 
Formamos a soma 
1
( , , )
n
k k k k
k
f x y z V

 , onde kV é o volume do paralelepípedo 
kT . 
Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos 
paralelepípedos kT tende para zero quando n  . 
Se existir 
1
lim ( , , )
n
k k k k
n
k
f x y z V


 , ele é chamado integral triplo da função 
( , , )f x y z sobre a região T e representamos por ( , , )
T
f x y z dv ou 
( , , )
T
f x y z dxdydz 
Acabamos de definir o integral triplo, vamos apresentar algumas das suas 
propriedades. 
 
 Propriedades 
De forma análoga ao integral duplo, temos 
1) ( , , ) ( , , )
T T
kf x y z dv k f x y z dv  com k constante 
2)  1 2 1 2
T T T
f f dv f dv f dv     
3) 
1 2
1 2( , , )
T T T
f x y z dv f dv f dv    , onde 1 2T T T  
 
Cálculo de Integrais Triplos 
 
Os integrais triplos podem ser calculados de forma análoga às integrais duplas, 
através de integrações sucessivas. 
Caro estudante, podemos utilizar os conhecimentos adquiridos na unidade I, 
reduzindo, inicialmente, a sua resolução ao cálculo de um integral duplo. A 
seguir, apresentamos as diversas situações. 
 
 
 
 
 
 
 
60 Lição no 8 
 
1º Caso: A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função 
1( , )z h x y e 2 ( , )z h x y , onde 1h e 2h são funções contínuas sobre as região 
R do plano xy , como mostra figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, temos 
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
h x y
T R h x y
f x y z dv f x y z dz dxdy
 
  
  
   (1) 
Assim por exemplo, a região R for do tipo I, isto é 
 1 2, ( ) ( )R a x b f x y f x     então o integral dado tem a seguinte 
iteração. 
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
f x h x yb
T a f x h x y
f x y z dv f x y z dzdydx    
 
2º Caso: A região T é delimitada à esquerda pelo gráfico de 1( , )y g x z e a 
direita pelo gráfico 2 ( , )y g x z , onde 1g e 2g são funções contínuas sobre a 
região Rdo plano xz . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, temos 
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
g x z
T R g x z
f x y z dv f x y z dy dxdz

 
  
  
   
T 
R 
1( , )z h x y 
2 ( , )z h x y 
xy 
z 
y 
x 
2( , )y g x z 
R 
T 
1( , )y g x z 
z 
T 
R 
1( , )z h x y 
2 ( , )z h x y 
x 
y 
z 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 61 
 
 
 
 
 
3º Caso: A região T é delimitada a parte de 
trás pelo gráfico de 1( , )x j y z na frente pelo 
gráfico 2 ( , )x j y z , onde 1j e 2j são funções 
contínuas sobre a região R do plano yz . 
Nesse caso, temos 
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
j x z
T R j x z
f x y z dv f x y z dx dydz

 
  
  
   
 
 
 
 
Caro estudante, nos exemplos que se seguem são exploradas diversas situações. 
Acompanhe! 
 
Exemplo1 
 
Calcular 
T
I xdv  , onde T é o sólido delimitado pelo cilindro 
2 2 25x y  , pelo plano 8x y z   e pelo plano xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Observando a figura, vemos que T é delimitado superiormente pelo gráfico de 
8z x y   e inferiormente por 0z  . 
A projecção de T sobre o plano xy é o círculo 2 2 25x y  (figura (b)). 
Assim, 
y 
x 
R  
T 
1( , )x j y z 
2 ( , )x j y z 
z 
8z x y   
R 5 
x 
y 
z 
R 
x 
y 
5 
(a) 
(b) 
62 Lição no 8 
 
2
1
( , )
( , )
( , , )
h x y
T R h x y
xdv f x y z dz dydx
 
  
  
    
8
8
0
0
x y
x y
R R
xdz dxdy xz dxdy
 
  
  
 
   
 8
R
x x y dxdy   
Para calcularmos o integral duplo, podemos passar para as coordenadas polares, 
conforme aprendemos na unidade anterior. Desta forma, teremos 
 
2 5
0 0
cos 8 cosr r rsen rdrd

      
 
2 5
2 2 3
0 0
8cos cos cosr sen r drd

         
 
52 4
3 2
0 0
8
cos cos cos
3 4
r
r sen d

    
 
   
 
 
 
2
2
0
1000 625 625
cos cos cos
3 4 4
sen d

     
 
      
 (conclua a 
resolução como forma de recordar as técnicas de integração). 
 
Acompanhe! 
 
Exemplo2 
 
Calcular 
T
I ydv  , onde T é o sólido delimitado pelos planos 
coordenados e pelo plano 1
3 2
x y
z   
Solução: 
A região T é o tetraedro apresentado na figura abaixo. Neste caso, T se 
enquadra em qualquer um dos três casos visto anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura (a), vemos que T é limitado superiormente pelo gráfico da 
função 1
3 2
x y
z    e inferiormente por 0z  . 
(a) 
x 
y 
3 
2 
R 
T 
x 
y 
z 
3 
2 
1 
1
3 2
x y
z    
2
2
3
y x  
(b) 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 63 
 
 A projecção de T sobre o plano xy é representada na figura (b). 
Assim, usando o caso I, 
2
1
1
( , ) 3 2
( , ) 0
( , , )
x y
h x y
T R h x y R
ydv f x y z dz dydx ydz dxdy
  
   
    
     
     
 
1
3 2
0
x y
R
yz dxdy
 
 
2
1
3 2 3 2
R R
x y xy y
y dxdy y dxdy
   
        
    
  
2
2
3 23
0 0
1
3 2 2
x
xy y
y dy dx
 
  
     
   
  
Caro estudante, resolva o mesmo exercício, mas, fazendo a projecção para os 
outros dois planos, isto é, xz e yz . Se tiver resolvido correctamente, então terá a 
mesma solução 
1
2
. 
 
Exemplo3 
 
Calcular  1
T
I x dv  , onde T é a região do espaço delimitado pelos 
planos 0 , 0 , 5y z y z    e pelo cilindro 24z x  
Solução: 
Na figura, apresentamos a região T. Podemos observar, nesse caso que é 
conveniente projectarmos T sobre o plano xz. 
 
 
 
 
 
 
5y z  
 
 
 
 
 
2 
5 2 
y 
x 
z 
5y z  
0y 2 
(a) 
2 x 
z 
4 
24z x  
(b) 
64 Lição no 8 
 
Observando a figura (a), vemos que T é delimitada à esquerda por 0y  e a 
direita por 5y z  . A região R, que é a projecção de T sobre o plano xz e 
pode ser visualizada na figura (b). Assim, 
   
2
1
( , ) 5
( , ) 0
1 ( , , ) 1
h x z z
T R h x z R
x dv f x y z dy dxdz x dy dxdz
   
      
    
     
 
5
0
z
R
xy y dzdx

       
22 4
2 0
1 5 1 5
x
R
x z dxdz x z dz dx


 
         
  
   
 
 
242 2
2 `0
1 5
2
x
z
x z


 
   
 
    
 
222
2
2
4 544
1 5 4
2 15
x
x x dx

 
      
 
 
 
Em seguida, vamos apresentar mais uma actividade. Resolva-a e se apoie nos 
exemplos anteriores caso encontre algumas dificuldades. 
Calcule 2 y
T
x e dv , onde T é limitado pelo cilindro parabólico 
21z y  e pelos 
planos 0z  , 1x  e 1x   
 
Chave de correcção 
 
8
3e
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu sobre o cálculo de integrais triplos onde se destaca o 
cálculo dos mesmos, projectando os seus domínios nos planos xy, xz e yz. 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volte a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
 
Nos exercícios 1 a 7 calcular o integral iterado 
 
Actividade 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 65 
 
 
1.  
2 1 3
1 0 3
x y z dzdydx

    2. 
211 1
0 0 0
yx
zdzdydx

   3. 
11 1
0 0 0
x yx
xyzdzdydx
 
   
4. 
2 3
2 2
1 0 0
z x
x
dydydx
x y  
 5. 
1
0 0 0
yx
xyzdzdydx   6. 
1
0 0 0
6
z x z
xzdydxdz

   
7. 
23 1 1
0 0 0
y
z
ze dxdzdy

   
Nos exercícios 8 a 18, calcular o integral triplo dado sobre a região indicada 
8. 
T
xdv , onde T é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 
4
2
y
x z   
9.  2 2
T
x y dv , onde T é o cilindro 
2 2 1x y  , 0 4z  
10. 
T
dv , onde T a região do primeiro octante limitada por 
24x y  , y z , 0x  e 0z  
11. 
T
xydv , onde T é a região delimitada por 
0y  , 0x  , 0z  , 24z x  e 8y z  
12. 
T
xydv , onde T é o solido tetraedro com vértices 
 0,0,0 ,  1,0,0 ,  0,2,0 e  0,0,3 
 
Chave de correcção 
 EXERCÍCIO 1: 12 EXERCÍCIO 2: 
11
60
 EXERCÍCIO 3: 
1
720
 
EXERCÍCIO 4: 
2

 EXERCÍCIO 5: 
1
48
 EXERCÍCIO 6: 1 
EXERCÍCIO 7:  31 1
3
e  EXERCÍCIO 8: 
64
3
 EXERCÍCIO 9: 2 
EXERCÍCIO 10: 4 EXERCÍCIO 11: 0 EXERCÍCIO 12: 
1
10
 
 
 
66 Lição no9 
 
Lição no9 
Cálculo de integrais triplos em 
coordenadas cilíndricas e esféricas 
Introdução 
Caro estudante, alguns integrais triplos apresentam enormes dificuldades quando 
são calculados em coordenadas rectangulares, mas, a mesma dificuldade, pode ser 
reduzida quando efectuamos uma correcta mudança de variáveis. Assim, nesta 
lição vamos apresentar a mudança de variáveis para cilíndrica e esférica. É uma 
aula que pode ser estudada em 2 horas incluindo a resolução de exercícios 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Calcular integrais triplos em coordenadas cilíndricas; 
 Calcular os integrais triplos em coordenadas esféricas. 
Caro estudante, acompanhe, seguidamente, a mudança de coordenadas em 
integrais triplos. 
 
Mudança de Variáveis em integrais triplos. 
 
Na lição nº 4, estudou a mudança de coordenadas em integrais duplos de forma 
análoga à apresentada nessa lição, podemos introduzir novas variáveis de 
integração no integral triplo ( , , )
T
I f x y z dxdydz  (1) 
Introduzindo novas variáveis de integração u , v e w através das equações 
 , ,x x u v w ,  , ,y y u v w ,  , ,z z u v w , o integral (1) pode ser expressa 
por, 
     
 
( , , )
, , , , , , , ,
, ,
T
x y z
I f x u v w y u v w z u v w dudvdw
u v w

    
 (2) 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 67 
 
Onde T  é a correspondente região no espaço u , v , w e 
 
( , , )
, ,
x y z
u v w


é o 
determinante jacobiano de x , y , z em relação a u , v e w . 
Observa que as condições gerais sob as quais expressão (2) é valida são análogas 
às condições sob as quais é válida a fórmula correspondente em integrais duplos. 
Caríssimo estudante,a seguir, vai explorar os casos particulares das coordenadas 
cilíndricas e esféricas, que simplificarão bastante o cálculo de integrais triplos em 
diversas situações. 
 
Integrais triplos em coordenadas cilíndricas. 
Definição: As coordenadas cilíndricas de um ponto P no espaço, de coordenadas 
cartesianas ( , , )x y z , são determinadas pelos números r , e z , onde r e  são 
as coordenadas polares da projecção P do plano xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A relação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas 
equações cosx r  , y rsen e z z . 
O jacobiano de transformação de x , y , z em relação a ,r  e z é: 
 
cos 0
( , , )
cos 0
, ,
0 0 1
x x x
r z rsen
x y z y y y
sen r
r z r z
z z z
r z
  
 
 

  
   
   
 
   
  
  
 
 2 2
cos
cos
cos
rsen
r sen r
sen r
 
 
 

    
 
X 
z 
P 
y 
Y 

x 
Z 
 
r 
68 Lição no9 
 
Assim, usando (2), vem ( , , ) ( cos , , )
T T
f x y z dv f r rsen z rdrd dz  

  , 
onde T  é a região T descrita em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
Exemplo1 
 
1. Calcular o  2 2
T
x y dv , onde T é a região delimitada pelo 
plano xy , pelo parabolóide 2 2z x y  e pelo 
cilindro 2 2 2x y a  . 
Solução: Na figura (a) a presentamos a região T e na figura (b), a 
sua projecção sobre o plano xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura, vimos que a região T é limitada inferiormente por 0z  e 
superiormente pelo parabolóide 2 2z x y  que, em coordenadas cilíndricas 
tem a equação: 
     2 2 2 2 2 2cos cosz r rsen r sen r        ou simplesmente 
2z r portanto, 
 
2
6
2 2 2
0
3
r
T R R
r
x y dv r dz rdrd rdrd 
 
 
   
  
    . Como a região D é uma 
circunferência, podemos em coordenadas polares fazer, 
 0 , 0 2D r a       . Logo 
  
2
6
2 2 2
0
3
r
T R R
r
x y dv r dz rdrd rdrd 
 
 
   
  
   
2
7
0 0
1
3
a
r d dr


 
  
 
  
8 8
7
0 0
2 2
3 3 8 12
aa
r a
r dr

 
 
   
 
 
(a) 
x
y 
2 2z x y  
0z  
z 
x 
y 
D 
(b) 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 69 
 
 
 
Exemplo 2 
 
1. Calcular o  
2
2 2 2
2 4 2
2 2
2 4
x
x x y
x y dzdydx

   
   , passando pelas 
coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Este integral é um integral triplo sobre a região sólida 
  2 2 2 2, , : 2 2, 4 4 , 2T x y z x x y x x y z            e a 
projecção de T sobre o plano xy é o disco 2 2 4x y  . A superfície inferior de 
T é o cone 2 2z x y  e a superfície superior é o plano 2z  . Essa região tem 
uma descrição muito simples em coordenadas cilíndricas: 
  , , : 0 2 , 0 2, 2R r z r r z         . Portanto, 
 
2
2 2 2
2 4 2 2 2 2
2 2 2
2 0 04
x
rx x y
x y dzdydx r rdzdrd



   
     
2 2 2
3
0 0 r
r dz drd


 
  
 
   
 
22 2 2 2
3 3
0 0 0 0
2
r
r z drd r r drd
 
              
2 2
3 4
0 0
2r r drd

     
22 2 2
4 5
00 0 0
1 1 32 8 16
8
2 5 5 5 5
r r d d
  
  
   
          
   
 
Caro estudante, acabou de estudar o cálculo de integrais triplos em coordenadas 
cilíndricas. A seguir vai estudar a mudança para coordenadas esféricas. Continue 
a acompanhar. 
 
y 
x 
 
 
 
z 
2z  
2 2z x y  
 2 
x 2 
2 
y 
70 Lição no9 
 
 
Mudança para coordenadas esféricas 
 
As coordenadas esféricas  , ,   de um ponto  , ,P x y z no espaço são 
ilustradas na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A coordenada  é a distância do ponto P até a origem. a coordenada é a mesma 
que em coordenadas cilíndricas e a ordenada  é o triângulo formado pelo eixo 
positivo dos z e o segmento que une o ponto P à origem. 
Como  é a distância do ponto P à origem, temos 0  . Como  coincide com 
o angular utiliza-se a mesma variação usada no cálculo de integrais duplos, ou 
seja      ou 0 2   . 
Quanto à coordenada , subentende-se que 0    . Quando 0  , o ponto P 
estará sobre o eixo positivo dos z e, quando   , sobre o eixo negativo dos z. 
 
Analisando a figura, podemos observar que: 
cosx   e y sen  (1) 
O triângulo OZP ( OZP ) é rectangular em Z, pois o quadrilátero OZP P é um 
rectângulo. Assim, 
sen




 sen    ; cos cos
z
z  

   . Desta forma, 
substituindo  em (1) e combinando com todas outras equações vem 
cos cosx sen      , y sen sen sen      e cosz   ou 
simplesmente 
cosx sen   , y sen sen   , cosz   (2), 
Que são as equações que relacionam as coordenadas esféricas com as 
coordenadas cartesianas. 
 
O 
Y 
x 
y 
  

 
P  
z 
X 
Z 
 
P 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 71 
 
Caro estudante, podemos usar as equações (2) para transformar um integral triplo 
em coordenadas cartesianas num integral triplo em coordenadas esféricas. Para 
isso, vamos utilizar a fórmula de mudança de variáveis para os integrais triplos. 
 
O jacobiano de transformação é: 
 
 
2
cos cos cos
, ,
cos cos cos
, ,
cos 0
sen sen sen
x y z
sen sen sen sen
sen
       
         
  
  


 


 
Logo, 
2( , , ) ( cos , , cos )
T T
f x y z dv f sen sen sen sen d d d            

  
 
 
 
Calcular o
T
zdxdydz , onde T é a região limitada superiormente pela 
esfera 2 2 2 16x y z   e inferiormente pelo cone 2 2z x y  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: em coordenadas esféricas, a esfera é dada por: 
     
2 2 22 2 2 16 cos cos 16x y z sen sen sen              
2 2 2 2 2 2 2 2cos cos 16sen sen sen           
 2 2 2 2 2 2cos cos 16sen sen         
2 2 2 2cos 16sen       2 2 2cos 16sen     
2 16 4     
4  è a equação da esfera em causa. 
O cone tem por equação: 
X 
Y 
Z 
 
2 2 2 16x y z   
2 2z x y  
Na figura apresenta-se a região de integração D 
D 
72 Lição no9 
 
     
2 2 22 2 2 cos cosz x y sen sen sen            
2 2 2 2 2 2 2 2cos cossen sen sen          
 2 2 2 2 2 2cos cossen sen       
2 2 2 2 2 2cos cossen sen         
4

  
4

  - Equação do cone em causa. 
Assim, observando a figura, vimos que, em coordenadas esféricas, a região T 
pode ser descrita como: 
 , , : 0 4, 0 2 , 0
4
T

      
         
 
. Portanto, 
2 44
2 3
0 0 0
cos cos
T T
zdxdydz sen d d d sen d d d


          

 
   
 
     
   
4
2 2 244 4 4
0 0 0 0 0 00
cos 64 cos 32 2
4
sen d d sen d d sen d d
  
  
          
 
  
 
      
 
2 2 24
0 0 00
1
32 cos 2 16 cos cos0 16 32
2 2
d d d

  
    
 
       
 
  
 
 Em seguida, apresentamos uma actividade para que sirva de reflexão antes de 
resolver os exercícios que lhes são propostos. 
 - Calcule passando pela mudança de coordenadas o integral triplo 
 
 
2 29
2 23 9
0 0 0
x y
x
dzdydx
 

  
 
 
 
Actividade 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 73 
 
Chave de correcção 
9
2

 
 
Sumário 
Nesta lição você aprendeu sobre a mudança de coordenadas cartesianas para 
coordenadas esféricas e cilíndricas. 
Coordenadas cilíndricas: 
( , , ) ( cos , , )
T T
f x y z dv f r rsen z rdrd dz  

  
Coordenadas esféricas: 
2( , , ) ( cos , , cos )
T T
f x y z dv f sen sen sen sen d d d            

  
 
Exercícios. 
Caro estudante, terminamos a lição que aborda a mudança de coordenadas 
cartesianas para esféricas e cilíndricas. A seguir vamos apresentar os exercícios 
de auto-avaliação. 
 
1. Calcular 2 2 2
T
x y z dxdydz  , onde T é a coroa esférica limitada 
por 2 2 2 1x y z   e 2 2 2 4x y z   
2. Calcular  2 2
T
x y dv , onde T é a região interior ao cilindro 
2 2 1x y  e à esfera 2 2 2 4x y z   
3. Calcular  2 2
T
x y dv , onde T é a região limitada por 
2 2 4z x y   e 2 24z x y   
4. Calcular  2 2 2
T
x y z dv  , sendo T a região interior à esfera 
2 2 2 9x y z   e exterior ao cone 2 2z x y  
5. Calcular  2 2 2
T
x y z dv  , sendo T a região interior ao cone 
2 2z x y  e à esfera 2 2 2 9x y z   
74 Lição no9 
 
6. Calcular  2 2 2
T
x y z dv  , sendo T a região interior à esfera 
2 2 2 9x y z   e exterior ao cone 2 2 2z x y  
Calcular os seguintes integrais: 
7. 
 
2 22
3
2 2 2
11 1
1 0 0
x yx
x y z
e dzdydx
 
 

   8. 
2 22 42 4
2
0 0 0
x yx
x dzdydx
 
   
9. 
2 2 4
2 20 0
a a x
a x
dzdydx

 
   
 
Chave de correcção 
EXERCÍCIO 1: 15 EXERCÍCIO 2: 
254 44 3
15 5

 
  
 
 
EXERCÍCIO 3 
256
15
 EXERCÍCIO 4: 
 243 2 2
5

 
EXERCÍCIO 5: 
 243 2 2
5

 EXERCÍCIO 6: 
486 2
5

 
EXERCÍCIO 7:  
2
1
3
e

 EXERCÍCIO 8: 
4
3

 
EXERCÍCIO 9: 22 a 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 75 
 
Lição no 10 
Aplicações dos integrais triplos 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar algumas aplicações dos integrais triplos no cálculo 
de volumes, bem como na resolução de alguns problemas em física. Esta lição 
pode ser estudada em 4 horas, incluindo a resolução de exercícios. 
 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Calcular volumes de corpos; 
 Calcular o momento da massa em relação ao eixo x , y e z; 
 Achar as coordenadas do centro da massa. 
 
 
Caro estudante, os integrais triplos tem aplicações geométricas e físicas. Vamos 
discutir alguns exemplos de aplicação no cálculo de volume, massa, centro de 
massa e momento de inércia de sólidos. Continue a acompanhar! 
 
Cálculo de Volume de sólidos. 
Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada no 
espaço. 
Para encontrar o volume desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos 
aos planos coordenados, como foi feito na lição 6. Seja kT um paralelepípedo 
genérico dessa subdivisão, com volume kV . Um valor aproximado para o 
volume total do sólido é dado por 
1
n
k
k
V

 (1) 
O volume do corpo é definido pelo limite da soma (1) quando n   e a maior 
aresta dos paralelepípedos kT tende a zero se esse limite existir. Assim temos; 
1
lim
n
k
n
k
V V


  ou 
T
V dV  
Acompanhe alguns exemplos 
76 
 
 
Exemplo 
 
Calcular o volume do sólido delimitado inferiormente por 3
2
y
z   , 
superiormente por 6z  e lateralmente pelo cilindro vertical que 
contorna a região R delimitada por 2y x e 4y  
Resolução: 
O sólido T pode ser visualizado na figura (a) e a sua projecção no plano xy é a 
região R visualizada na figura (b) 
 
 
 
 
 
Desta forma, temos 
6
3
2
yT R
V dV dz dxdy

 
 
   
  
    
6
3
2
3
2
y
R R
y
z dxdy dxdy

 
   
 
  
22
22 4 2
2
2 2
1
3 3
2 4 xx
y
dy dx y y dx
 
    
            
  
2
2 4
2
1
6 1 3
4
x x dx

 
    
 
 
22
2 4 3 5
22
1 1
7 3 7
4 20
x x x dx x x x

   
           
 
16 16 44 44 88 44
14 8 14 8
10 10 10 10 10 5
   
             
   
 
 
Exemplo2 
 
Mostre que o volume de uma esfera de raio a é igual 3
4
3
a , unidades 
do volume. 
 
Resolução: 
Na lição anterior vimos a conveniência de se utilizar as coordenadas esféricas. 
Assim, 
x 
y 
2 -2 
4 
(b) 4 y 
x 
z 
3 
6 
6z  
3
2
y
z   
(a) 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 77 
 
 
2 2 23 3
2
0
0 0 0 0 0 00
cos
3 3
aa
T
a
V dV sen d d d sen d d d
    

         
 
     
 
       
 
2 23
3 3
0 0
2 4
cos cos 0
3 3 3
a
d a d a
 
        
 
 
Exemplo 
 
Achar o volume do sólido limitado acima pela esfera 2 2 2 16x y z   e 
abaixo do cone 2 2 23z x y  
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sólido pode ser visualizado na figura (a). A projecção do sólido sobre o plano 
xy é a região R mostrada em (b). Para obtermos a equação da circunferência que 
delimita R, necessitamos encontrar a intersecção das 
superfícies 2 2 2 16x y z   e 2 2 23z x y  que delimitam o sólido. 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3
16 3 16
z x y z x y
x y z z z
     
 
      
2 2 2 2 2 2
2
3 3
24 16
z x y z x y
zz
     
  
  
 
Substituindo o valor de 2z  nua das equações do sistema vem, 2 2 12x y  
que é a circunferência que delimita R e apresentada em (b). 
Caro estudante, este integral pode ser calculado em coordenadas cilíndricas ou 
esféricas. 
 
1º - Calculemos em coordenadas cilíndricas 
2 2 2
2 2
16 2 12 16
0
33
x y r
rT R ox y
V dv dz dxdy rdz drd


  

   
   
     
   
   
      
12 
X 
Y 
(b) 
Y 
2 
X 
Z 
(a) 
78 
 
 
2
2 12 2 12
16 2
30 0 0 0
16
3
r
r
r
rz drd r r drd
 
 
  
    
 
    
 
122 12 2 32 3
2 2 2
0 0 0 0
1
16 16
33 3 3
r r
r r drd r d
 
 
  
         
   
   
      
3 3
3
2 2
2 2
0 0
12 2 31 64 8 64
16 12
3 3 3 33 3 3 3
d d
 
 
    
                
        
  
2 2
0 0
8 64 32 64
8
3 3 3 3
d d
 
  
 
      
 
  
2º Vamos calcular em coordenadas esféricas. 
Este cone, 2 2 23z x y  tem como a sua equação em coordenadas esféricas: 
2 2 23z x y   2 2 2 2 2 2 2 23 cos cossen sen sen         
 2 2 2 2 2 23 cos cossen sen        2 23cos sen   
23 tg   3
3
tg

     
A circunferência é 4  (veja o exemplo da lição anterior) 
Assim, 
 , , : 0 4 0 , 0 2
3
R

      
 
       
 
 logo: 
2 43
2
0 0 0T
V dv sen d d d


        
 
42 233
3
0
0 0 00
64
cos
3 3
sen d d d

  
    
 
   
 
   
2 2
0 0
64 1 64 1
1 .
3 2 3 2
d d
 
 
     
              
 
32 64
.2
3 3
   
 
Aplicações Físicas do integral triplo 
 Caro estudante, de maneira análoga ao que foi feito em integrais duplos, vamos 
analisar o uso de integrais triplos para calcular a massa de um corpo, as 
coordenadas do seu centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo 
L. 
Continue acompanhando! 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 79 
 
 
Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada do 
espaço. Suponhamos que a densidade da massa (massa por unidade do volume) 
em um ponto  , ,x y z é dada pela função  , ,x y z  , contínua em T. 
Para encontrar a massa total desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos 
aos planos coordenados como foi feito na definição do integral triplo. Seja kT um 
paralelepípedo genérico, dessa subdivisão, com volume kV . Um valor 
aproximado da massa kT pode ser escrito por  
1
, ,
n
k k k k
k
x y z V

 , onde 
 , ,k k kx y z é um ponto genérico de kT . 
Um valor aproximado da massa total do corpo ou sólido é dado por, 
 
1
, ,
n
k k k k
k
x y z V

 . 
A massa total do corpo ou sólido é definido como limite da soma quando 
n  e a maior aresta dos paralelepípedos kT tende a zero, se esse limite 
existir. 
 
1
lim , ,
n
k k k k
n
k
M x y z V


  ou  , ,
T
M x y z dv  . 
O momento da massa em relação ao plano xy , da parte do sólido que 
corresponde a kT , é aproximadamente igual  , ,k k kkz x y z V  . 
O momento da massa em relação ao plano xy do sólido T é dado por, 
 
1
lim , ,
n
xy k k k k k
n
k
M z x y z V


  ou  , ,xy
T
M z x y z dv  . 
Analogamente, obtém-se: 
O momento da massa em relação ao plano xz ,  , ,xz
T
M y x y z dv  
O momento da massa em relação ao plano yz ,  , ,yz
T
M x x y z dv  
As coordenadas do centro da massa, denotadas por  , ,x y z , são definidas por 
yzMx
M
 , xz
M
y
M
 e 
xyMz
M
 
Em seguida, veja um exemplo do cálculo da massa e o centro da massa de um 
sólido. 
 
80 
 
 
Exemplo 
 
1. Calcular a massa e o centro da massa do sólido T, delimitado por 
2 1x y z   e os planos coordenados, sabendo que a densidade 
de massa em  , ,P x y z é proporcional a distância até o 
plano xy . 
Resolução. 
O sólido T pode ser visualizado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A densidade da massa é dada por  , ,x y z kz  , onde k é uma constante de 
proporcionalidade. 
Vamos encontrar a massa total do sólido 
   
1 1
1 1 1 21 21 12 2
2
00 0 0 0 0
1
2
y y x yx y
T
M kzdv k zdzdxdy k z dxdy
    
 
     
      
 
 
 
 
1 11 11 12 21 22 3
0
0 0 0 0
1 2 1 2
2 12
y y
x yk k
x y dxdy x y dy
 
 
         
      
     
11 1
3 3 4
00 0
1 1 (1 ) 1
12 12 48 48
k k k k
y dy y d y y
 
           
  Unidades 
de massa. 
Cálculo dos momentos de massa. 
 
1
1
1 21 2
2 2
0 0 0
.
120
y
x y
xy
T T
k
M z kzdv kz dv k z dzdxdy

 
        (concluir os 
cálculos) 
x 
P 
y 
z 
X 
Y 
Z 
1 
1 
1
2
  
1
2 1 1
2
y x x y      
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 81 
 
 
1
1
1 21 2
0 0 0
.
240
y
x y
xz
T T
k
M y kzdv k yzdv k yzdzdxdy

 
        (concluir os 
cálculos) 
 
1
1
1 21 2
0 0 0
480
y
x y
yz
T T
k
M xkzdv k xzdv k xzdzdxdy

 
        (concluir os 
cálculos) 
 
Assim, as coordenadas do centro de massa são: 
1480
10
48
yz
k
M
x
kM
   , 
1240
5
48
xz
k
M
y
kM
   e 
6120
15
48
xy
k
M
z
kM
   
Momento de Inércia em Relação a um eixo 
 
Caro estudante, um outro conceito discutido na unidade I, concretamente nas 
aplicações dos integrais duplos na física, é o do momento da inércia em relação a 
um eixo L. No caso de sólidos, temos que a distância de uma partícula, com 
massa concentrada em  , ,k k kx y z até: 
 O eixo z é 2 2xy k kd x y  
 O eixo y é 2 2xz k kd x z  
 O eixo x é 
2 2
yz k kd y z  
 
Os momentos de inércia correspondentes são dados por: 
Momento de inércia, zI , em relação ao eixo z,    2 2 , ,z
T
I x y x y z dV  
Momento de inércia, yI , em relação ao eixo y,    2 2 , ,y
T
I x z x y z dV  
Momento de inércia, xI , em relação ao eixo x,    2 2 , ,x
T
I y z x y z dV  
 
Exemplo 
 
Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido 
delimitado pelo cilindro 2 2 9x y  e pelos planos 2z  e 4z  , 
sabendo que a densidade de massa é igual  2 2 3/x y kg m 
Resolução: 
O sólido pode ser visualizado na figura abaixo. 
82 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
   2 2 , ,z
T
I x y x y z dV  = 
     
22 2 2 2 2 2
T T
x y x y dV x y dV      
Vamos passar para as coordenadas cilíndricas. 
2 3 4
4
0 0 2
r rdzdrd

   
32 3 2 3 2 6
45 5
2
0 0 0 0 0 0
2 2
6
r
r z drd r drd d
  
  
 
      
 
     
 
2 6
25 2
0
0
3
3 243 2 486 .
3
d kg m


        
Caro estudante, terminamos a lição. Assim, apresentamos o sumário e os 
exercícios de auto- avaliação. Mais antes disso resolva a actividade proposta: 
Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos 0y , 0z  , 4x y  e 
pelo plano 21z x  . 
 
 
Chave de correcção 
 
16
3
 
 
 
y 3 
4 
2 
x 
z 
 
Actividade 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 83 
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu a aplicação de integrais triplos no cálculo de volumes 
e na resolução de problemas físicos. 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volta a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
 
1. Calcular a massa dos sólidos limitados pelas superfícies dadas 
considerando a densidade de massa igual a 4 kg/m2 
1.1 2 2z x y  1.2) 2 29z x y   
 
2. Calcular a massa e o centro da massa do sólido delimitado por 2y x , 
9y  , 0z  e 9y z  Considerando a densidade de massa igual a 
3/x kg m 
3. Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que 
é limitado pelo cilindro parabólico 2x y e pelos planos 
, 0x z z  e 1x  . 
4. Calcular o momento da inércia em relação aos eixos coordenados do 
sólido delimitado por 2 24z x y   e 0z  , Sabendo que a densidade 
de massa em um ponto P é proporcional a distância de P a xy 
5. Calcular o momento da inércia em relação ao eixo dos x do sólido 
delimitado por 2 2z x y  e 4z  . A densidade de massa em um 
ponto ( , , )P x y z é dada por 2 3/x kg m 
6. Determine o volume do sólido delimitado 2 2 4x y  , 0z  e 
4 2 16x y z   
7. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por 
2 2z x y  e 2 2 16x y  
 
84 
 
Chave de correcção 
EXERCÍCIO 1: 1.1)  36 2 2  1.2) 16 EXERCÍCIO 2: 243
2
, 
9 9
0, ,
2 4
 
 
 
 EXERCÍCIO 3: 
5 5
,0,
7 14
 
 
 
 
EXERCÍCIO 4: 
848 848 32
,
15 15 3
k k k  
 EXERCÍCIO 5: 
2048
3

 
EXERCÍCIO 6: 36 EXERCÍCIO 7: 128 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 85 
 
Unidade III 
Integrais Curvilíneos 
Introdução 
Nesta unidade, você vai aprender sobre os integrais curvilíneos ou integrais de 
linha. Eles são tipos de integrais semelhantes a integrais de uma variável real, 
excepto que, em vez de integrarmos num intervalo ,a b , integramos sobre uma 
curva C. Elas foram inventadas no começo do século XIX para resolver 
problemas que envolviam escoamento de líquidos, forças, electricidade e 
magnetismo. Esta unidade está dividida em 3 lições. 
 
Ao completar esta unidade, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir integrais, os integrais curvilíneos; 
 Calcular os integrais curvilíneos no plano e no espaço; 
 Calcular os integrais curvilíneos em campos vectoriais; 
 Enunciar e demonstrar o teorema fundamental para os integrais de 
linha (curvilíneos); 
 Aplicar o teorema fundamente no cálculo de integrais; 
 Aplicar o teorema de Green no plano e no espaço do cálculo dos 
integrais de contorno. 
 
 
 
86 Lição no 11 
 
Lição no 11 
Integrais Curvilíneos no Plano 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar os integrais curvilíneos no plano. É uma aula que 
pode ser estudada em 4 horas incluindo a resolução de exercícios 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Definir integrais, os integrais curvilíneos; 
 Calcular os integrais curvilíneos no plano. 
Caro estudante, terminou o estudo das unidades I e II sobre o cálculo de integrais 
múltiplos. Esta é a primeira lição sobre os integrais curvilíneos, um tipo de 
integrais que são calculados ao longo de uma curva. Para esta lição, você vai 
aprender os integrais curvilíneos no plano. 
Acompanhe! 
Comecemos com uma curva plana C dada pelas equações paramétricas 
( ) ( )x x t y y t a t b    (1) 
Ou, o que é equivalente a equação vectorial ( ) ( ) ( )r t x t i y t j  , e admitiremos 
que C seja uma curva lisa (isso significa que r e ( ) 0r t  ). Se dividirmos o 
intervalo parâmetro  ,a b em n subintervalo  1,i it t de igual tamanho e se 
fizermos ( )i ix x t e ( )i iy y t , então os pontos correspondentes ( , )i i iP x y 
dividem C em n sub-arcos de comprimento 1 2, , , nn s s s    (veja afigura 
abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
b t a 
C 
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 1i
P

 
( , )i i iP x y
  
iP 
0P 
1P nP 
1it  it

 it 
x 0 
y 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 87 
 
 
 
Escolhemos um ponto qualquer ( , )i i iP x y
   no i-ésimo sub- arco. se f é uma 
função de duas variáveis cujo domínio inclui a curva C, calculemos f no ponto 
( , )i ix y
  , multiplicamos pelo comprimento is do ??? e somamos 
1
( , )
n
i i i
i
f x y s 

 , 
O que é semelhante à soma de Riemann. Em seguida, tomamos o limite dessa 
soma e fazemos a seguinte definição por analogia com o integral de uma função 
de uma variável real. 
Definição: Se f é definida sobre uma curva lisa C dada pelas equações 
( ) ( )x x t y y t a t b    , então o integral curvilíneo de f sobre C 
é
1
( , ) lim ( , )
n
i i i
n
iC
f x y ds f x y s 


  (2) 
se o limite existir. 
Caro estudante, neste módulo estudamos o cálculo infinitesimal que o 
comprimento de arco da curva C é 
2 2b
a
dx dy
L dt
dt dt
   
    
   
 . Assim, o 
argumento semelhante pode ser usado para mostrar que, se f é uma função 
contínua, então o limite da definição (2) existe e a fórmula seguinte pode ser 
empregue para calcular o integral curvilíneo: 
 
2 2
( , ) ( ), ( )
b
C a
dx dy
f x y ds f x t y t dt
dt dt
   
    
   
  
 O valor do integral curvilíneo não depende da parametrização da curva, 
desde que cada ponto da curva seja atingido uma única vez quando t cresce 
de a para b 
Se ( )s t é o comprimento de C entre ( )r a e ( )r t , 
então
2 2
ds dx dy
dt dt dt
   
    
   
2 2
dx dy
ds dt
dt dt
   
     
   
 
88 Lição no 11 
 
 
No caso especial onde C é um segmento de recta unindo ( ,0)a a ( ,0)b tomando 
x como parâmetro, escrevemos as equações paramétricas de C assim: x x , 
0y  , a x b  . 
Assim ( , ) ( ,0)
b
C a
f x y ds f x dx  e, nesse caso, o integral curvilíneo se reduz a 
um integral de uma função de uma variável. 
 
 
Exemplo 
 
1. Calcular  22
C
x y ds , onde C é a metade superior do círculo 
unitário 2 2 1x y  
Resolução 
 
 
 
 
 
1º Representemos as equações paramétricas da curva C. sendo que o círculo 
unitário pode ser parametrizado por meio das equações cosx t e y sent e, a 
metade superior do círculo é descrita pelo intervalo do parâmetro 0 t   
 
   
2 2
2 2
0
2 2 cos .
C
dx dy
x y ds t sent dt
dt dt

   
      
   
  
 2 2 2
0
2 cos . cost sent sen t tdt

    
3
2
0 0
cos
2 cos . 2
3
t
t sent dt t
  
   
 
 
2
2
3
  
 
 
 
 
 
 
Caro estudante, suponha agora que C seja uma curva lisa por 
partes; ou seja, C é a união de um número finito de curvas, C1 
, C2 , …,Cn , onde como mostra a figura ao lado, o ponto 
inicial de Ci+1 é o ponto terminal de Ci . Então, definimos o 
integral de f ao longo da curva C, como a soma dos integrais 
de f ao longo de cada parte lisa de C. 
1 -1 x 
y 
y 
x 
C1 
C2 C3 
C4 
C5 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 89 
 
 
1 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
nC C C C
f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds        
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
1. Calcular 2
C
xds , onde C é formado pelo arco C1 da parábola 
2y x de  0,0 a  1,1 seguido pelo segmento de recta vertical 
de C2 de  1,1 a  1,2 
 
Solução: A curva C é mostrada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
C1 é o gráfico de uma função de x; então 
podemos escolher x como parâmetro e as 
equações de C1 se tornam 
x x , 2y x e 0 1x  
Portanto, 
1
2 21 1
2
0 0
2 2 2 1 4
C
dx dy
xds x dx x x dx
dx dx
   
       
   
   
 
13
2 2
0
1 2 5 5 1
1 4
4 3 6
x
     
. 
 
Vamos calcular o integral ao longo de C2. Escolhemos y como parâmetro (y é que 
varia), e as equações de C2 são; 
1x  , y y e 1 2y  e 
2
2 22 2
1 1
2 2.1 2 2
C
dx dx
xds dy dy
dy dy
   
      
   
   
Finalmente, o integral ao longo da curva C é: 
1 2
5 5 1
2 2 2 2
6
C C C
xds xds xds

      
y 
x 
C1 
C2 
90 Lição no 11 
 
Caro estudante, dois outros integrais curvilíneos são obtidos trocando-se is por 
1i i ix x x    ou 1i i iy y y    , na definição do integral curvilíneo. Eles são 
chamados integrais curvilíneos de f ao longo de C com relação a x e y : 
Assim; 
1
( , ) lim ( , )
n
i
n
iC
f x y dx f x y x 


  e 
1
( , ) lim ( , )
n
i
n
iC
f x y dy f x y y 


  . 
Quando queremos distinguir o integral curvilíneo original ( , )
C
f x y ds das 
equações anteriores, chamamos o mesmo de integral curvilíneo com relação ao 
comprimento de arco. 
As fórmulas seguintes dizem que as integrais curvilíneas com relação a x e y 
podem ser calculadas escrevendo-se tudo em termos de : ( )t x x t , ( )y y t 
( )dx x t dt , ( )dy y t dt . 
Desta forma temos: 
 ( , ) ( ), ( ) ( )
b
C a
f x y dx f x t y t x t dt  e  ( , ) ( ), ( ) ( )
b
C a
f x y dy f x t y t y t dt  . 
Frequentemente os integrais curvilíneos com relação a x e y aparecem juntos. 
Quando isso acontece, é costume abreviar escrevendo; 
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
C C C
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy     
 
Nota: Quando estamos para resolver um integral curvilíneo, às vezes o mais 
difícil é pensar numa representação paramétrica para uma curva cuja descrição 
geométrica é dada. Em particular, precisamos frequentemente parametrizar um 
segmento de recta, pelo que é útil lembrar a que a representação vectorial do 
segmento da recta que inicia em 0r e termina em 1r é dada por 
  0 1( ) 1 .r t t r t r   com 0 1t  
 Em seguida, apresentamos um exemplo. Acompanhe! 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 91 
 
 
 
Exemplo 
 
1. Calcular 2
C
y dx xdy , onde 
a) C= C1 é o segmento de recta de  5, 3  a  0,2 
b) C= C2 é o arco da parábola 
24x y  de  5, 3  a  0,2 
 
A figura correspondente à situação apresentada é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Representação paramétrica para o segmento da recta é: 
 
       0 1( ) 1 . 1 5, 3 0,2r t t r t r t t       
5 5 , 3 3 0, 2t t t         5 5 , 3 5t t      isto significa que, 
5 5x t   e 3 5y t   com 0 1t  . 
Se 5 5 5x t dx dt     e se 3 5 5y t dy dt     
Assim; 
   
1
1
22
0
3 5 5 5 5 5
C
y dx xdy t dt t dt         
1
2
0
5 25 25 4t t dt  
1
3 2
0
25 25 5
5 4
3 2 6
t t t
 
      
 
b) Como a parábola é dada em função de y, vamos usar y como parâmetro e 
escrever C2 como, 
24 3 2x y y y y      . Sendo assim, 
2dx ydy  
Logo:  
2
2
2 2 2
3
( 2 ) 4
C
y dx xdy y y dy y dy

       
2
3 2
3
2 4y y dy

    
x 
C1 
 5, 3  
4 
 0,2 
C2 
y 
92 Lição no 11 
 
24 3
3
245
4
2 3 6
y y
y

 
     
 
 
 
Nota2: apesar de as curvas terem as mesmas extremidades, as respostas são 
diferentes. Em geral, o valor do integral curvilíneo depende não somente dos 
pontos extremos da curva, como também da própria trajectória. Note também que 
as respostas do exemplo anterior dependem da orientação ou sentido em que a 
curva é descrita. Se 1C representa o segmento da recta que vai de  0,2 a 
 5, 3  você pode verificar usando a parametrização que 
1
2 5
6
C
y dx xdy

  
 
Caro estudante, de uma forma geral, uma parametrização dada ( )x x t , 
( )y y t , a t b  , Determina a orientação de uma curva C, com a orientação 
positiva correspondendo aos valores crescente do parâmetro t (veja a figura, onde 
o ponto inicial A corresponde ao valor do parâmetro a e o pontoterminal B 
corresponde a t b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se C denota a curva constituída pelos mesmos pontos que C , mas com 
orientação contrária ( do ponto B para o ponto terminal A) então temos: 
( , ) ( , )
C C
f x y dx f x y dx

   e ( , ) ( , )
C C
f x y dy f x y dy

   
Mas, se integrarmos em relação ao comprimento de arco, o valor do integral de 
linha não mudará quando revertermos a orientação da curva 
a 
 
 
C A 
B 
  
b 
t 
  -C 
 
  
B 
A 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 93 
 
( , ) ( , )
C C
f x y ds f x y ds

  , isso acontece porque is , é sempre positivo, 
enquanto ix e iy mudam de sinal quando revertemos a orientação de C. 
 
Caro estudante, acabamos de estudar os integrais curvilíneos no plano. Com o 
mesmo raciocínio que o anterior, vamos apresentar os integrais de linha no 
espaço. Continue acompanhando! 
Integrais curvilíneos no espaço 
Suponhamos agora que C seja uma curva espacial lisa dada pelas equações 
paramétricas ( ) , ( ) ( )x x t y y t z z t a t b     ou pela equação 
vectorial ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k  
 
. Se f é uma função de três variáveis que 
é contínua em alguma região contendo C, então definimos o integral curvilíneo de 
f ao longo C (com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante para 
curvas planas: 
1
( , , ) lim ( , , )
n
i i i i
n
iC
f x y z ds f x y z s  


  . 
Calcula-se esse integral utilizando a fórmula análoga às curvas planas: 
 
2 2 2
( , , ) ( ), ( ), ( )
b
C a
dx dy dz
f x y z ds f x t y t z t dt
dt dt dt
     
       
     
  
Observe que tanto os integrais calculados pela fórmula anterior (espaço) ou 
quando se trata do plano, eles podem ser escritos de uma forma mais compacta 
com a notação vectorial. 
 ( ) . ( )
b
a
f r t r t dt 
Para o caso especial quando ( , , ) 1f x y z  , temos ( )
b
C a
ds r t dt L   , onde L é 
o comprimento da curva C. 
Também podemos definir integrais curvilíneos ao longo da curva C com relação a 
x , y e z . Por exemplo 
1
( , , ) lim ( , , )
n
i i i
n
iC
f x y z ds f x y z z  


  
 ( ), ( ), ( ) ( )
b
a
f x t y t z t z t dt  
Portanto, como para os integrais curvilíneos do plano podemos calcular integrais 
da forma 
94 Lição no 11 
 
( , , ) ( , , ) ( , , )
C
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz  , escrevendo , , , , ,x y z dx dy dz em 
função do parâmetro t . 
 
Exemplo 
 
1. Calcular 
C
ysenzds , onde C é a hélice circular dada pelas 
equações cosx t , y sent , z t , 0 2t   
 
Resolução 
Sabe-se que 
 
2 2 2
( , , ) ( ), ( ), ( )
b
C a
dx dy dz
f x y z ds f x t y t z t dt
dt dt dt
     
       
     
  logo: 
2 2 22
0
.
C
dx dy dz
ysenzds sent sent dt
dt dt dt

     
       
     
  
2
2 2 2
0
cos 1sen t sen t t dt

  
2
2
0
1 1sen t dt

  
 
2 2
2
0 0
2
2 1 cos 2
2
sen tdt t dt
 
   
2
0
2 1
2 2
2 2
t sen t


 
    
 
 Acompanhe, em seguida, mais um exemplo de modo a poder fixar as ideias 
centrais aqui veiculadas. 
 
Exemplo 
 
2. Calcular 
C
ydx zdy xdz  , onde C consiste no segmento C1 que 
une os pontos  2,0,0 a  3,4,5 seguido pelo segmento vertical 
C2 de  3,4,5 a  3,4,0 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 95 
 
 A figura correspondente é a seguinte 
 
 
1º Vamos parametrizar C1. Escrevendo na forma vectorial vem 
 
  ( ) 1 2,0,0 3,4,5 2 ,4 ,5r t t t t t t        

ou seja, 
2x t  , 4y t , 5z t , 0 1t  . 
dx dt , 4dy dt e 5dz dt . 
 
1
1
0
(4 ) (5 )4 2 5
C
ydx zdy xdz t dt t dt t dt        
1
0
10 29t dt  
1
2
0
29 49
10
2 2
t t
 
    
 
 Da mesma maneira, C2 pode ser escrito na forma 
 ( ) 1 3,4,5 3,4,0 3,4,5 5r t t t t        

 ou seja 
3 0x dx   , 5 0y dy   e 5 5 5z t dz dt     
  
2
1
1
0
0
3 5 15 15
C
ydx zdy xdz dt t         . 
Assim, 
49 19
15 19,5
2 2
C
ydx zdy xdz      
 
Como tem sido neste módulo, apresentamos uma actividade para que sirva de 
ponte antes de entrar na resolução dos exercícios. Resolva-a. 
 
1.   2
C
x yz dx xdy xyzdz   C, consiste nos segmentos de recta de 
 1,0,1 a  2,3,1 e deste a  2,5,2 
 
Actividade 
96 Lição no 11 
 
 
Chave de Correcção: 
97
3
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu sobre os integrais curvilíneos do plano e do espaço. 
 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica, vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, Torne a rever a matéria em causa, 
focalizando-se, sobretudo nos exemplos 
 
Calcule os seguintes integrais curvilíneos 
1. 
   2 22 2
C
x xy dx xy y dy   sendo C o arco da parábola 
2y x 
compreendido entre os pontos  1,1 e  2,4 
2. 2 2
C
y dx x dy sendo C a metade superior da elipse cosx a t , 
y bsent , percorrida no sentido negativo. 
3. 
C
yds Sendo C: 
2 0 2x t y t t    
4. 4
C
xy ds Sendo C a metade direita do círculo 
2 2 16x y  
5.  ln
C
xy x dy sendo C o arco da parábola 
2y x de  1,1 a  3,9 
6.  
C
xydx x y dy  , C consiste nos segmentos de recta de  0,0 a 
 2,0 e deste a  3,2 . 
7. z
C
xy ds , C: 4cos 4 3 0 2
y t x sent z t t

     
8. yz
C
xe ds , é o segmento de recta de  0,0,0 a  1,2,3 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 97 
 
Chave de correcção 
 
EXERCÍCIO 1: 
1219
30
 EXERCÍCIO 2: 2
4
3
ab EXERCÍCIO 3: 
17 17 1
12

 
EXERCÍCIO 4:1638, 4 EXERCÍCIO 5: 
464
9 ln 3
5
 EXERCÍCIO 6: 
17
3
 
EXERCÍCIO 7: 320 EXERCÍCIO 8: 
 614 1
12
e 
 EXERCÍCIO 9: 
1
5
 
 
98 Lição no 12 
 
Lição no 12 
Integrais curvilíneos de campos 
vectoriais 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar sobre o cálculo de integrais curvilíneos em campos 
vectoriais. É um dos temas muito usados em física principalmente para o cálculo 
do trabalho realizado por uma força constante para mover um objecto de um 
ponto para o outro. Esta lição pode ser estudada em 4 horas incluindo também a 
resolução de exercícios. 
 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir os integrais curvilíneos em campos vectoriais; 
 Calcular os integrais curvilíneos em campos vectoriais; 
 Aplicar os integrais de linha (curvilíneos) na resolução de problemas 
da mecânica; 
 
Lembre-se que em cálculo integral em  vimos que o trabalho realizado por 
uma força ( )f x que move uma partícula de a até b ao longo do eixo x é 
( )
b
a
W f x dx  . Por outro lado, o trabalho feito por uma força F

 para mover um 
objecto de um ponto P para o outro ponto Q do espaço é W F D 

, onde 
D PQ

é o vector deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 99 
 
Suponha agora que F P i Q j R k  
  
 é um campo de força contínuo no 3 . 
Queremos calcular o trabalho realizado por essa força movimentando uma 
partícula ao longo de uma curva lisa C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividimos C em subarcos 1i iP P com comprimentos is dividindo o intervalo do 
parâmetro  ,a b em subintervalo do mesmo tamanho. Escolha ( , , )i i iP x y z
   no 
i- ésimo subarco correspondendo ao valor do parâmetro it
 . Se is é pequeno, o 
movimento da partícula 1iP para iP na curva se processa aproximadamente na 
direcção de  iT t , versor tangente a iP . Então, o trabalho realizado pela força F 
para mover a partícula de 1iP para iP é aproximadamente 
   ( , , ) ( , , )i i i i i i i i i iF x y z s T t F x y z T t s                 
 
 e o trabalho total 
executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente 
 
1
( , , ) , ,
n
i i i i i i i
i
F x y z T x y z s     
   

 
Onde ( , , )T x y z é o versor tangente no ponto ( , , )x y z sobre C. Intuitivamente 
podemos ver que essas aproximações devem ficar melhores quando n aumenta. 
Portanto, definimos o trabalho W feito por um campo de forças F

 como 
 
1
lim ( , , ) , ,
n
i i i i i i i
n
i
F x y z T x y z s     


   

ou seja, 
 , , ( , , )
C C
W F x y z T x y z ds F Tds   

. 
 




  
 
1iP  
iP 
( , , )i i i iP x y z
    
( , , )i i iF x y z
  

  iT t  
y 
x 
z 
Pn 
P0 
0 
 
 
 
 
 
     
 
100 Lição no 12 
 
Nota: esta equação  , , ( , , )
C C
W F x y z T x y z ds F Tds   

diz que o trabalho 
é o integral em relação ao comprimento do arco da componente tangencial da 
força. 
Se a curva C é dada pela equação vectorial ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k  
 
, então 
 
( )
( )
r t
T t
r t



. Assim
( )
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( )
b b
a a
r t
w F r t r t dt F r t r t dt
r t
 
    
 
  
Essa última integral é frequentemente abreviada como 
C
F dr e ocorre também 
em outras áreas da física. Portanto, podemos definir o integral curvilíneo para um 
campo vectorial contínuo qualquer. 
Definição: Seja F um campo vectorial contínuo definido sobre uma curva lisa C 
dada pela função vectorial ( )r t

, a t b  . Então o integral curvilíneo de F

ao 
longo de C é ( ( )) ( )
b
C a C
F dr F r t r t dt F Tds      
Caro estudante, quando usamos a definição anterior deve perceber que ( ( ))F r t é 
uma abreviação para ( ( ), ( ), ( ))F x t y t z t

, calculamos ( ( ))F r t tomando 
( ) , ( )x x t y y t  e ( )z z t na expressão ( , , )F x y z

. Note que podemos 
formalmente escrever ( )dr r t dt . 
 
Acompanhe a resolução do exemplo que se segue. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 101 
 
 
Exemplo 
 
1. Determine o trabalho realizado pelo campo de 
força 2( , )F x y x i xy j 
  
para mover uma partícula ao longo de 
um quarto do círculo ( ) cosr t t i sent j 
 
, 0
2
t

  
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra o campo de 
força e a curva do exemplo 
anterior. 
 
Resolução: 
Como cosx t e y sent , temos 2( ( )) cos cosF r t t i tsent j 
 
e 
( ) cosr t sent i t j   
 
portanto o trabalho realizado é 
2
0
( ( )). ( )
C
W Fdr F r t r t dt

      
2
2
0
cos cos cost i tsent j sent i t j dt

  
   
 
2
2 2
0
cos . cos .t sent t sent dt

  
2
2
0
2 cos .t sentdt

  
2 2
2 3
00
2 2
2 cos (cos ) cos
3 3
td t t
 

   
 
 
O trabalho realizado é negativo porque o campo impede o movimento ao longo 
da curva. 
1 
1 x 
y 
102 Lição no 12 
 
 
Exemplo 
 
2. Calcule 
C
Fdr , onde ( , , )F x y z xy i yz j zx k  
  
 e C é a cúbica 
retorcida dada por 2 3, 0 1x t y t z t t     , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra a cúbica torcida e 
alguns valores agindo em três pontos de 
C. 
Resolução: 
2 3( )r t t i t j t k  
 
 logo 2( ) 2 3r t i t j t k   
 
. 
3 5 4( ( ))F r t t i t j t k  
 
; 
Desta forma 
  
1 1
3 5 4 2
0 0
( ( )). ( ) 2 3
C
Fdr F r t r t dt t i t j t k i t j t k dt       
    
 
   
1 1
3 6 6 3 6
0 0
2 3 5t t t dt t t dt    
14 7
0
5 1 5 27
4 7 4 7 28
t t 
    

 
Finalmente, notamos a relação entre os integrais curvilíneos de campos vectoriais 
e os integrais curvilíneos de campos escalares. Suponhamos que um campo 
vectorial F de 3 seja dado sob forma de componentes de 
equação F P i Q j R k  
 
. Usando a definição do integral curvilíneo de F 
ao longo da curva C; 
  ( ( )). ( ) ( ) ( ) ( )
b b
C a a
Fdr F r t r t dt P i Q j R k x t i y t j z t k dt           
    
 
 ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( )
b
a
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt    
y 
x 
1 
1 
1 
0,5 
1,5 
2 
C 
( (3/4))Fr 
( (1/2))Fr 
( (1))Fr 
z 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 103 
 
Mas este último integral, caro estudante, é precisamente o integral curvilíneo no 
espaço ao longo da curva C, isto é; 
C C
Fdr P dx Q dy R dz    onde F P i Q j R k  
 
. 
Por exemplo, o integral 
C
ydx zdy xdz  resolvido na lição 10 poderia ser 
expresso como 
C
Fdr onde ( , , )F x y z y i z j x k  
 
 
Vejamos ao longo do caminho C1: 
Já vimos que as equações paramétricas são 2x t  , 4y t , 5z t , 0 1t  . 
Mas também, 
     3,4,5 2,0,0 1,4,5 4 5r i j k     

 
     
1 1
0 0
4 5 2 4 5 4 20 10 5
C
Fdr ti t j t k i j k dt t t t dt             
 
11 2
0 0
29 29 49
10 29 10 10 24,5
2 2 2
t
t dt t

      

 
 
Conclua o exemplo como exercício. 
 
Uma vez concluído o exemplo, tem a seguinte actividade por resolver: 
1. Determine o trabalho realizado pelo campo de força 
( , , ) , ,F x y z y z x z x y     sobre uma partícula que se move ao 
longo do segmento de recta  1,0,0 a  3,4,2 . 
Chave de correcção 
 
1. 41,67 10 Pés- Ib 
Sumário 
Nesta lição você aprendeu a sobre os integrais curvilíneos de campos vectoriais. 
 
Actividade 
104 Lição no 12 
 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto -avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades volta a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
Calcular o integral curvilíneo 
C
Fdr , onde C é dada pela função vectorial ( )r t 
2. 2 3 2 3( , ) ( ) 0 1F x y x y i y x j r t t i t j t      
3. 3 2( , , ) cos ( ) 0 1F x y z senx i y j xz k r t t i t j tk t        
4.  ( , )F x y x y i xy j   , C é o arco do círculo 2 2 4x y  percorrido 
no sentido anti-horário de  2,0 a  0, 2 
5. 1( , ) xF x y e i xy j  e C é dado por 2 3( )r t t i t j  e 0 1t  
6. Determine o trabalho realizado pelo campo de força 
 ( , ) 2F x y xi y j   para movimentar um objecto sobre o arco da 
ciclóide    ( ) 1 cosr t t sent i t j    , 0 2t   
 
Chave de correcção 
 
1: 
59
105

 2: 
6
cos1 1
5
sen 
 
3: 
2
3
3
 
 4: 
11 1
8 e

 
5: 22 6: 39 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 105 
 
Lição no 13 
Independência de Caminho em 
integrais curvilíneos. 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar a independência de caminho em integrais 
curvilíneos, pois, em geral, o valor do integral curvilíneo 
A
B
C
Pdx Qdy depende 
tanto das funções P e Q como do caminho de integração C que liga os pontos A e 
B. todavia pode acontecer que o valor do integral dependa apenas dos pontos A e 
B. Nesse caso, diz-se que o integral é independente do caminho para ligar A a B. 
Esta lição pode ser estudada em 4 horas incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Aplicar a independência de caminho para calcular os integrais 
curvilíneos; 
 Aplicar os campos vectoriais conservativos no cálculo de 
integrais curvilíneos. 
 
Caro estudante, vai aprender, em seguida, a calcular integrais curvilíneos quando 
o integral a ser calculado não dependa do caminho que liga os pontos A e B. Mas 
antes desse factor, vamos apresentar o teorema fundamental dos integrais 
curvilíneos. Acompanhe! 
 
Teorema Fundamental para os Integrais Curvilíneos 
 
Caríssimo estudante, lembre-se que o teorema fundamental do cálculo pode ser 
escrito ( ) ( ) ( )
b
a
F x dx F b F a   , onde F  é continua em  ,a b . 
Se considerarmos o vector gradiente f da função f de duas ou três variáveis 
como uma espécie de derivada de f , então o teorema seguinte pode ser 
106 Lição no 13 
 
considerado como uma versão do teorema fundamentaldo cálculo para os 
integrais curvilíneos. 
Teorema: Seja C uma curva lisa dada pela função ( )r t , a t b  . Seja f uma 
função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vector gradiente f é 
contínuo em C. Então    . ( ) ( )
C
f dr f r b f r a   
 
Nota: 
 
O teorema nos diz que podemos calcular o curvilíneo de um campo vectorial 
conservativo (o campo vectorial gradiente da função potencial f ) sabendo 
apenas o valor f nos pontos terminais de C. De facto, o teorema diz que o 
integral curvilíneo de f é a variação total de f . Se f é uma função de duas 
variáveis e C, uma curva plana com início 1 1( , )A x y e término em 2 2( , )B x y , 
como ilustra a figura abaixo, o teorema fica 2 2 1 1. ( , ) ( , )
C
f dr f x y f x y   . 
Se f é uma função de três variáveis e C, uma curva espacial ligando o ponto 
 1 1 1, ,A x y z ao ponto  2 2 2, ,B x y z , então temos: 
2 2 2 1 1 1. ( , , ) ( , , )
C
f dr f x y z f x y z   
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração 
Usando a definição do integral curvilíneo ao longo de uma curva C, temos: 
 
   . ( ) . ( ) ( )
b b b
C a a a
f dx f dy f dz d
f dr f r b r t dt dt f r t dt
x dt y dt z dt dt
   
       
   
   
   ( ) ( )f r b f r a  (este último passo é pelo teorema fundamental do cálculo). 
 
Terminada a demostração do teorema fundamental para integrais curvilíneos 
vamos, em seguida, debruçarmo-nos sobre a independência de caminho em 
integrais curvilíneos. Acompanhe! 
 
x 
  
y 
2 2( , )B x y 
1 1( , )A x y 
C 
y 
x 
z 

 

 
 1 1 1, ,A x y z
 2 2 2, ,B x y z 
C 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 107 
 
Independência de caminho para Integrais curvilíneos. 
 
Suponha que C1 e C2 sejam curvas lisas por partes (chamadas caminho) que têm o 
mesmo ponto inicial A e o mesmo ponto terminal B. sabe que, em geral, 
1 2
. .
C C
F dr F dr  . Mas em consequência do teorema anterior, 
1 2
. .
C C
F dr F dr    , sempre que F for contínuo. Em outras palavras, o 
integral curvilíneo de um campo conservativo depende somente dos pontos 
extremos da curva. 
Em geral, se F for um campo vectorial contínuo com domínio D, dizemos que o 
integral curvilíneo .
C
F dr é independente do caminho se para quaisquer dos 
caminhos C1 e C2 em D tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com essa 
terminologia, podemos dizer que os integrais curvilíneos de campos 
conservativos são independentes do caminho. 
Uma curva é dita fechada se seu ponto terminal coincide com o seu ponto inicial, 
ou seja ( ) ( )r b r a . Veja a figura que se segue 
 
 
 
 
 
Se .
C
F dr é independente do caminho em D e C é uma curva fechada em D, 
podemos escolher quaisquer dois pontos A e B sobre C e olhar C como composta 
por um caminho C1 de A a B seguido de um caminho C2 de B a A ( veja a figura 
abaixo). Então 
1 2 1 2
. . . . . 0
C C C C C
F dr F dr F dr F dr F dr

         , já que 1C e 
2C tem os mesmos pontos iniciais e finais. 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, se for verdade que . 0
C
F dr  sempre que C for um caminho 
fechado em D, podemos demonstrar a independência do caminho, como se segue. 
Tomemos quaisquer dois caminhos C1 e C2 de A a B em D e defina C como a 
curva constituída por C1 seguida por 2C . Então 
C 
C1 
C2 
A 
B 
 
 
108 Lição no 13 
 
1 2 1 2
0 . . . . .
C C C C C
F dr F dr F dr F dr F dr

         e 
1 2
. .
C C
F dr F dr  . Assim, 
provamos o seguinte teorema. 
 
Teorema1: .
C
F dr é independente do caminho em D se e somente se . 0
C
F dr  
para todo caminho fechado C em D. 
 
Em seguida, vamos apresentar mais um teorema para suportar o tema em estudo. 
Continue a acompanhar a lição, caro estudante. 
Teorema 
Teorema2: Suponha que F seja um campo vectorial contínuo sobre uma região 
aberta e conexa D. Se .
C
F dr é independente do caminho em D, então F é um 
campo vectorial conservativo, ou seja existe uma função f tal que F f  
Vamos à sua demonstração: 
seja ( , )A a b um ponto fixo em D. vamos construir a função potencial 
f desejada definindo 
 
 ,
,
( , ) .
x y
a b
f x y F dr  para qualquer ponto  ,x y em D. 
como .
C
F dr é independente do caminho, não importa qual o caminho de 
integração utilizado entre  ,a b e  ,x y para definir ( , )f x y . Escolha 
qualquer ponto  1,x y na bola aberta com 1x x e considere C como qualquer 
caminho C1 de  ,a b a  1,x y seguido pelo segmento de recta horizontal C2 de 
 1,x y a  ,x y veja a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
Então 
 
 
1 2 2
,
,
( , ) . . . .
x y
C C a b C
f x y F dr F dr F dr F dr       . 
Note que a primeira dessas integrais não depende de x, e assim 
2
( , ) 0 .
C
f x y F dr
x x
 
 
  
. Se escrevermos F P i Q j 
 
, então 
  C2 
 
C1 
 ,a b 
 1,x y 
 ,x y 
D 
x 
y 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 109 
 
2 2
.
C C
F dr Pdx Qdy   . 
 Sobre C2, y é constante, 0dy  . Usando t como parâmetro, onde 1x t x  , 
temos 
2 1
( , ) ( , ) ( , )
x
C x
f x y Pdx Qdy P t y dt P x y
x x x
  
   
   
 (pela primeira 
parte do teorema fundamental de cálculo). 
Uma argumentação semelhante, usando um segmento de recta vertical veja a 
figura abaixo, mostra que, 
 
2 1
( , ) ( , ) ( , )
y
C y
f x y Pdx Qdy Q x t dt Q x y
y y y
  
   
   
. Então, 
f f
F P i Q j i j f
x y
 
     
 
   
, que mostra que F é conservativo. 
 
 
 
 
 
 
Caro estudante, uma questão permanece: como é possível saber se um campo 
vectorial é conservativo ou não? 
Suponha que saibamos que F P i Q j 
 
 seja conservativo, onde P e Q tenham 
derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então existe uma função f tal 
que F f  , ou seja 
f
P
x



 e 
f
Q
y



. Portanto, pelo teorema de 
clairaut
2 2P f f Q
y y x x y x
   
  
     
. 
Assim, podemos enunciar o teorema 
 
Teorema3: Se ( , ) ( , ) ( , )F x y P x y i Q x y j 
 
 é um campo vectorial 
conservativo, onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas 
sobre um domínio D, então em todos os pontos de D temos 
P Q
y x
 

 
 
 
Nota: 
 
O reciproco deste teorema só é válido para um tipo de região que são as regiões 
simplesmente conexas (região conexa D tal que toda a curva simples fechada em D 
contorna somente pontos que estão em D) 
 1,x y 
 
 ,a b 
D 
C 
y 
x 
 ,x y  
 
 
C2 
110 Lição no 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: 
Seja F P i Q j 
 
um campo vectorial sobre uma região D aberta e 
simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas e que 
P Q
y x
 

 
 por toda a região D então F é conservativo. 
Teorema 4: Seja F P i Q j 
 
um campo vectorial sobre uma região D aberta e 
simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas e que 
P Q
y x
 

 
 por toda a região D então F é conservativo. 
 
 
Exemplo 
 
Determine se o campo vectorial    ( , ) 2F x y x y i x j   
 
é ou não 
um campo conservativo. 
Resolução: 
Seja ( , )P x y x y  e ( , ) 2Q x y x  então, 1
P
y

 

e 1
Q
x



. 
Como 
P Q
y x
 

 
então F não é conservativo. 
Outro exemplo: 
 
 
Exemplo 
 
Determine se o campo vectorial    2 2( , ) 3 2 3F x y xy i x y j   
 
é ou não 
um campo conservativo. 
 
Resolução 
Seja ( , ) 3 2P x y xy  e 2 2( , ) 3Q x y x y  . Então 2
P
x
y



 e 2
Q
x
x



 
Assim 
P Q
y x
 

 
 
 
D 
D 
D 
Região simplesmente conexa Regiões que não são conexas 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 111 
 
Além disso, o domínio de F, é todo o plano 2 , que é aberto e simplesmente 
conexo. Logo, F é conservativo.Por fim, vamos apresentar mais um exemplo que vai precisar do cálculo do 
integral curvilíneo, a partir da função potencial. 
 
 
Exemplo 
 
Se    2 2( , ) 3 2 3F x y xy i x y j   
 
, determine uma função f tal 
que F f  
Calcule o integral curvilíneo .
C
F dr , onde C é a curva dada por 
( ) cost tr t e sent i e t j 
 
, 0 t   
Resolução 
Do exemplo anterior, sabemos que F é um campo conservativo, e assim, existe 
uma função f tal que F f  , ou seja 
3 2
f
xy
x

 

 e 2 23
f
x y
y

 

 
1º Integrando 3 2
f
xy
x

 

em ordem a x, vem: 
 
  23 2 ( , ) 3 ( )
f
dx xy dx f x y x x y g y
x

     
 
. Note que a constante de 
integração é uma constante em relação a x, ou seja, uma função de y, que 
chamamos de g(y). 
2º Em seguida, diferenciemos ambos membros do integral anterior em ordem a y. 
2 23 ( ) ( )
f d
x x y g y x g y
y dy

      
 
3º Vamos comparar a derivada parcial em ordem a y obtida no passo anterior e 
com 2 23
f
x y
y

 

. Assim, 
2 2 2 23 ( ) 3 ( )x y x g y y g y       
4º Vamos integrar esta última igualdade em ordem a y. 
 2 3( ) 3g y y dy y C     , onde C é uma constante arbitrária. 
5º Vamos substituir, no 1º passo, esta última integral no lugar de g(y), e temos 
2 3( , ) 3f x y x x y y C     como a função potencial desejada. 
Para aplicarmos o teorema fundamental para os integrais curvilíneos devemos 
conhecer os pontos iniciais e finais de C, ou seja,  (0) 0,1r  e 
112 Lição no 13 
 
 ( ) 0,r e   (substituir em r(t)). Na expressão para ( , )f x y da alínea a, 
qualquer valor da constante serve. Então tomemos 0C  . Assim temos: 
    3 3. . 0, 0,1 ( 1) 1
C C
F dr f dr f e f e e             
 
Caro estudante, o critério para se determinar se um campo vectorial em 3 é ou 
não conservativo será apresentado na unidade inerente os integrais de superfície. 
Enquanto isso, o próximo exemplo mostra que a técnica para achar a função 
potencial é muito semelhante à utilizada para os campos de 2 . Acompanhe! 
 
 
Exemplo 
 
Se  2 3 3( , , ) 2 3z zF x y z y i xy e j ye k   
 
, determine uma função 
f tal que f F  . 
Resolução: 
Se existe tal função f então 2 3 32 3z z
f f f
y xy e ye
x y z
  
   
  
 
1º) Integrando em ordem a x 
2 2( , , ) ( , )f x y z y dx xy g y z   . ( , )g y z é uma constante em relação a x. 
 
2º) Derivando em relação a y 
2 ( , )
f d
xy g y z
y dy

 

 e comparando com 32 z
f
xy e
y

 

 
3 32 ( , ) 2 ( , )z z
d d
xy g y z xy e g y z e
dy dy
     o que significa que 
3 3( , ) ( )z zg y z e dy ye h z   
3º) Derivando esta função em relação a z, 33 ( )z
f
ye h z
z

 

 e comparando com 
33 z
f
ye
z



 
3 33 ( ) 3 ( ) 0 ( )z zye h z ye h z h z C       
4º) Voltando a substituir ( )h z em 
3 3( , ) ( )z zg y z e dy ye h z   obtemos
3( , ) zg y z e y C  
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 113 
 
5º) Substituindo ( , )g y z obtido anteriormente em 
2 2( , , ) ( , )f x y z y dx xy g y z   vem 
2 3( , , ) zf x y z xy e y C   
 
Independência de Caminho nos integrais curvilíneos do espaço 
 
A independência de caminho em integrais curvilíneos no espaço define-se do 
mesmo modo que do plano. Todas as propriedades apresentadas e demonstradas 
estendem-se para 3 
 
Proposição1: sejam ( , , )P x y z , ( , , )Q x y z e ( , , )R x y z funções contínuas e com 
primeiras derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo D de 
3 . Uma condição necessária e suficiente para que 0
C
Pdx Qdy Rdz   ao 
longo de qualquer contorno fechado C contido em D é que em todos os pontos de 
D seja 
P Q
y x
 

 
, 
Q R
z y
 

 
,
R P
x z
 

 
. 
Este resultado, resulta imediatamente da fórmula de Stoke que será demonstrado 
na unidade IV lição 15. 
 
Proposição 2: sejam ( , , )P x y z , ( , , )Q x y z e ( , , )R x y z funções contínuas e com 
primeiras derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo D de 
3 . Uma condição necessária e suficiente para que
B
A
Pdx Qdy Rdz  seja 
independente do caminho que liga A a B é que seja 0
C
Pdx Qdy Rdz   , para 
qualquer contorno fechado simples C contido em D. 
A demonstração é análoga à demonstração feita para as duas dimensões. 
 
Proposição 3: Uma condição necessária e suficiente para que a expressão 
Pdx Qdy Rdz  seja um diferencial exacto num dado domínio simplesmente 
conexo D de 3 é que nesse domínio as P, Q e R sejam funções contínuas e com 
primeiras derivadas parciais contínuas e 
P Q
y x
 

 
, 
Q R
z y
 

 
,
R P
x z
 

 
 (A demonstração é análoga à demonstração 
feita para as duas dimensões). 
Proposição 4:se Pdx Qdy Rdz  é, num dado domínio D de 3 , a diferencial 
exacta duma função ( , , )F x y z e A e B são dois pontos de D, então o integral 
114 Lição no 13 
 
Pdx Qdy Rdz  é independente do caminho que liga A e B e igual 
a ( ) ( )
B B
A A
Pdx Qdy Rdz dF F B F A     
 
 
1. Determine o trabalho realizado pelo campo vectorial de força F movendo 
um objecto de P a Q. 
3
2( , ) 2 3 (1,1) (2, 4)F x y y i x y j P Q 
 
 
 
 
Chave de correcção 
:30Sol 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu a independência de caminho em integrais curvilíneos, 
onde se destaca a condição necessária para que o integral de linha seja 
independente do caminho. Foi também apresentado o teorema fundamental dos 
integrais curvilíneos. 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica, vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Os exercícios sobre a determinação das funções potenciais em 3 não 
vão exigir que se prove o campo se é conservativo ou não, pois isso, será objecto 
de estudo nas unidades que se seguem. Caro estudante, caso sinta algumas 
dificuldades ao longo da resolução de exercícios, aconselhamos a rever a lição e 
acompanhar minuciosamente os passos de resolução que foram apresentados. 
 
1.Determine F é ou não um campo vectorial conservativo. Se for, determine f tal 
que f F  
    ) ( , ) 6 5 5 4a F x y x y i x y j   
 
 ) ( , ) y xb F x y xe i ye j 
 
 
   2) ( , ) 2 cos cosc F x y x y y x i x seny senx j    
 
 
 
Actividade 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 115 
 
   ) ( , ) cosx xd F x y ye seny i e x y j   
 
 
e)    2 3 4 4v xy i x z j y k     
 
 
f)      3 2 2 22 6 6 2 3v xz y i x yz j x z y k     
 
 
 
2. Determine uma função f tal que f F  e use o resultado para 
calcular .
C
F dr sobre a curva C 
 3 4 4 3 3) ( , ) : ( ) 1 , 0 1a F x y x y i x y j C r t t i t j t      
   
 
  ) ( , , ) 2b F x y z yz i xz j xy z k   
 
, C é o segmento de recta de  1,0, 2 
a  4,6,3 
2 2 2) ( , , ) cos 2 cos : ( )c F x y z y z i xy z j xy senz k C r t t i sent j t k     
    
,
0 t   
3. Mostre que o integral curvilíneo é independente do caminho e Calcule oi 
integral 
 2) sec
C
a tgydx x ydy , C e qualquer caminho de  0,1 a 2, 4
 
 
 
 
 ) 1 x x
C
b ye dx e dy   , C é qualquer caminho de  0,1 a  1,2 
 
Chave de correcção 
 
EXERCÍCIO1 
a) 2 2( , ) 3 5 2f x y x xy y C    b) Não conservativo 
c) 2( , ) cosf x y x y ysenx C   d) ( , ) xf x y ye xseny C   
e) 2 2( , , ) 4 3F x y z x z yz x C    f) 
2 3 2( , , ) 6F x y z x z xy y z C   
 
EXERCÍCIO 2 
4 41) ( , ) ; 4
4
a f x y x y 2) ( , , ) ; 77b f x y z xyz z  
2) ( , , ) cos , 0c f x y z xy z 
 
 
116 Lição no 14 
 
Lição no 14 
Teorema de Green 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar sobre o teorema de Green. Este teorema recebeu 
esse nome em homenagem ao cientista inglês GEORGE GREEN (1793-1841). O 
seu teorema estabelece uma relação entre os integraiscurvilíneos, ao redor de 
uma curva fechada simples C e um integral duplo sobre a região D . 
 Esta lição pode ser estudada em 4 horas incluindo também a resolução de 
exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Aplicar o teorema de Green no cálculo de integrais curvilíneos 
sobre um contorno fechado; 
 Aplicar o teorema de Green no cálculo de trabalho. 
 
Caro estudante, o teorema de Green fornece a relação entre um integral curvilíneo 
fechado simples C e um integral duplo sobre uma região D do plano cercado por 
C. veja a figura que segue. Admitiremos que D consiste em todos os pontos 
dentro de C além dos pontos sobre C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
D 
C 
x 0 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 117 
 
Para enunciarmos o teorema de Green usaremos a convenção de que a orientação 
positiva de uma curva fechada simples C se refere a percorrer acurva C no 
sentido anti-horário apenas uma vez. Assim, se C for dado como uma função 
vectorial ( )r t , a t b  , então a região D está a esquerda quando o ponto ( )r t 
percorrer C ( Veja as figuras). 
 
 
 
 
 
 
 Orientação Positiva 
 
 
 
 
 
 Orientação Negativa 
Teorema de Green 
 
Seja C uma curva Plana simples, fechada, contínua por partes, orientada 
positivamente, e seja D À região delimitada por C. se P e Q têm derivadas 
parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, 
então 
C D
Q P
Pdx Qdy dA
x y
  
   
  
 
 
 
 
Nota: 
 
A notação C
Pdx Qdy
ou C
Pdx Qdy
 é usada algumas vezes para indicar 
que o integral curvilíneo é calculado usando-se a orientação positiva da curva 
fechada C. 
Vamos, em seguida, apresentar a demonstração do teorema de Green no caso 
onde D é uma região simples. Continue a acompanhar, caro estudante. 
Demonstração 
Atenção caro estudante que o teorema de Green estará provado se mostrarmos 
que: 
C D
P
Pdx dA
y

 
 
 e C D
Q
Qdy dA
x


 
. 
y 
D 
C 
D 
C 
y 
x 
x 
118 Lição no 14 
 
Vamos provar C D
P
Pdx dA
y

 
 
 exprimindo D como uma região do tipo I 
  1 2, : , ( ) ( )D a b a x b f x y f x     
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o integral vem 
 
2
1
( )
2 1
( )
( , ( ) ( , ( )
f xb b
D a f x a
P P
dxdy dy dx P x f x P x f x dx
y y
  
   
   
    
2 1 2 1( , ( )) ( , ( ) ( , ( )) ( , ( )
b b a b
a a b a
P x f x dx P x f x dx P x f x dx P x f x dx       
 
( , )
C
P x y dx  
 
Assim, 
( , )
C D
P
P x y dx dA
y

 
 
 (I) 
 Tomemos uma região do tipo II 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então,   1 2, : , ( ) ( )D c d c y d g y x g y     
 
2
1
( )
2 1
( )
( ( ), ) ( ( ), )
g yd d
D c g y c
Q Q
dxdy dy dx Q g y y Q g y y dy
x x
  
   
   
    
x 
c 
y 
d 
D 
2 ( )x g y 
1( )x g y 
1( )y f x 
x b a 
D 
y 2 ( )y f x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 119 
 
2 1 2 1( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), )
d d d c
c c c d
Q g y y dy Q g y y dy Q g y y dy Q g y y dy      
( , )
C
Q x y dx 
 
Pelo que, 
( , )
C D
Q
Q x y dy dA
x


 
 (II) 
Desta forma, adicionando as duas etapas, isto é, (I) + (II), vem, 
C D
Q P
Pdx Qdy dxdy
x y
  
   
  
 
, Como pretendíamos demonstrar. 
Acompanhe, em seguida, um exemplo de maneira a compreender como se aplica 
este teorema no cálculo de integrais curvilíneos. 
 
 
Exemplo1 
 
 Calcular 
4
C
x dx xydy
, onde C é a curva triangular constituída 
pelos segmentos de recta  0,0 a  1,0 e de  0,1 a  0,0 . 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 4 0
C D D D
Q P
x dx xydy dxdy y dxdy ydxdy
x y
  
      
  
   
 
   
11 1 1 1 1
2 22
00 0 0 0 0
1 1 1
1 1 (1 )
2 2 2
xx
ydy dx y x dx x d x
   
            
    
 
 
13
0
1 1
1
6 6
x    
 
 
Vamos a mais um exemplo 
 
Exemplo2 
 
Calcular 
   43 7 1senx
C
y e dx x y dy   
, onde C é o círculo 
2 2 9x y  
 
 0,1 
D 
x 
y 
 1,0  0,0 
1y x  
3 x 
y 
120 Lição no 14 
 
Solução: A região D delimitada por C é o círculo 2 2 9x y  , então vamos 
mudar para coordenadas polares e aplicar o teorema de Green. 
   43 7 1senx
C D
Q P
y e dx x y dy dxdy
x y
  
      
  
 
 
 7 3 4
D D
dxdy dxdy    
A região D delimitada por C é o círculo 2 2 9x y  , então vamos mudar para 
coordenadas polares 
 
32 3 2 2
22
0
00 0 0 0
1
4 4 18 18 36
2
rdr d r d
  

   
   
         
   
 
 
Nota: Se na expressão do teorema de Green se fizer P y  e Q x resulta 
) 2
C C D
Pdx Qdy ydx xdy dxdy       , em que A é área da região limitada 
pelo contorno fechado C. Assim, a área de figuras planas limitadas por curvas 
lisas pode se calcular por. 
1
)
2
D C
dxdy Pdx Qdy   
 
 
Exemplo3 
 
Calcular a área delimitada pela elipse 
2 2
2 2
1
x y
a b
  
 
 
 
 
Resolução 
A elipse tem como equações paramétricas cosx a t e y bsent , pelo que 
 
1 1
2 2
C C
A Pdx Qdy xdy ydx    
 
        
2 2
2 2
0 0
1 1
cos cos cos
2 2
a t b t dt bsent asent dt ab t sen t dt
 
     
2
0
1
2
ab dt ab

 
 
 
y 
x a 
b 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 121 
 
Caro estudante, apesar de termos demonstrado o teorema de Green somente no 
caso particular onde D é simples, podemos estendê-lo para o caso em que D é a 
união finita de regiões simples. 
Por exemplo: se D é uma região como a figura abaixo, então podemos escrever 
1 2D D D  , onde D1 e D2 são ambas simples. 
 
 
 
 
A fronteira D1 é 1 3C C e a fronteira de D2 é 2 3( )C C  . Assim, aplicando o 
teorema de Green para D1 e D2 separadamente, obtemos 
1 3 1C C D
Q P
Pdx Qdy dA
x y

  
   
  
  
e 
 
1 3 2( )C C D
Q P
Pdx Qdy dA
x y
 
  
   
  
  
 
Se somarmos essas duas equações, o integral curvilíneo sobre 3C e 3C se 
cancelam e obtemos 
1 2C C D
Q P
Pdx Qdy dA
x y

  
   
  
  , que é o teorema de Green para 
1 2D D D  . 
 
 
Exemplo 4 
 
Calcule
2 3
C
y dx xydy
, onde C é a fronteira da região semi- anelar D 
contida no semiplano superior entre os círculos 2 2 1x y  e 
2 2 4x y  
 
 
 
 
 
 
 
C1 
C2 
D2 D1 3C 
C3 
2 2 4x y  
2 2 1x y  
y 
x 
122 Lição no 14 
 
Resolução: 
Note que, apesar de D não ser uma região simples, o eixo y divide-a em duas 
regiões simples.com ajuda das coordenadas polares, podemos escrever 
  , :1 2, 0D r r       .Portanto, pelo teorema de Green, 
 
 2 3 3 2
C D D D
Q P
y dx xydy dA y y dxdy ydxdy
x y
  
      
  
   
 
 
22 2 3
2
0 1 0 1 0 1
3
r
rsen rdr d r sen d sen d
  
     
     
       
    
    
 
0
8 1
3 3
sen d

 
 
  
 

   
0
7 7 7 14
cos cos cos 0 ( 1 1)
3 3 3 3

          
 
O teorema de Green pode ser aplicado para regiões com furos, ou seja, regiões 
que não são simplesmente conexas. Observa que a fronteira D na figura 1 é 
constituída por duas curvas fechadas simples C1 e C2. Vamos admitir que essas 
curvas fronteiras são orientadas de modo que a região D esteja a esquerda quando 
percorremos a curva C. Então a orientação positiva é anti-horário na curva 
externa C1 mas é horária na curva interna C2. Se dividirmos D em duas regiões 
D e D pela introdução de rectas como mostra a figura 2 e então aplicarmos o 
teorema de Green cada uma das regiões D e D , obtemos 
D D D
Q P Q P Q P
dA dA dA
x y x y x y 
          
         
          
   
aD aD
Pdx Qdy Pdx Qdy
 
    
 
Como o integral sobre a fronteira comum sãoem sentidos opostos, elas se 
cancelam e obtemos, 
1 2D C C C
Q P
dA Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
x y
  
       
  
    , 
 que é o teorema de Green para a região D. 
 
 
 
 
 
 
C1 
C2 
Figura 1 
D 
 
 
Figura 2 
 D
D 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 123 
 
 
Terminada a lição, apresentamos em seguida uma actividade. Resolva-a. 
Calcule o trabalho realizado pela força 2 2( , ) ,F x y y x   ao longo da 
circunferência 2 2 1x y  entre os pontos  1,0 e  0,1 
 
Chave de correcção 
 
Sol:
 
4
3
 
Terminamos a parte teórica desta aula, em seguida apresentamos os exercícios de 
auto - avaliação. Os exemplos apresentados são suficientes para que possa 
resolver os exercícios apresentados sem muitas dificuldades. Doravante, caso 
tenha dificuldades, aconselhamos a estudar novamente o texto e os exemplos 
apresentados. Se as dúvidas persistirem, contacte o seu tutor de especialidade. 
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu o teorema de Green no plano onde se destaca que, seja 
C uma curva Plana simples, fechada, contínua por partes, orientada 
positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q tem derivadas 
parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, 
então 
C D
Q P
Pdx Qdy dA
x y
  
   
  
  
Exercícios 
 
1. Calcule os seguintes integrais, pelo teorema de Green 
1.1) 
2 3
C
xy dx x dy , C é o triângulo com vértices (0,0) , (2,0) , (2,3) e 
(0,3) 
 
Actividade 
124 Lição no 14 
 
1.2 
2 3
C
xydx x y dy , C é o triângulo com vértices (0,0) (1,0) e (1,3) 
1.3. 
2y y
C
e dx xe dy C, é o quadrado de lados 0 , 1 , 0x x y   e 1y  
1.4. 
   22 cosx
C
y e dx x y dy   C, é a fronteira da região delimitada 
pelas parábolas 2y x e 2x y 
1.5. 
3 3
C
y dx x dy , C é o círculo 
2 2 4x y  
1.6. 
3 5
C
ydx xdy C, a elipse 5cosx t e 4y sent 
1.7. 
 cosx
C
e senydx ydy sendo C, o quadrado de vértices 1x   e 1y   
2. Use o teorema de Green para calcular .
C
F dr (Verifique a orientação da curva 
antes de usar o teorema de Green). 
2.1. 
3 2( , ) ,F x y x y x y    , C consiste no arco da curva y senx de 
 0,0 a  ,0 e do segmento de recta  ,0 a  0,0 
2.2. 
2 2( , ) ,x yF x y e x y e xy    , C é a circunferência 2 2 25x y  , 
orientada no sentido horário. 
3. Use o teorema de Green para calcular o trabalho realizado por uma 
força   2( , )F x y x x y i xy j  
 
 ao mover uma particular da origem ao longo 
do eixo x até  1,0 , em seguida, ao longo de um segmento de recta até  0,1 , e 
então de volta à origem ao longo do eixo y . 
Chave de correcção 
EXERCÍCIO 1. 
1.1 ) 6 1.2) 
2
3
 1.3) 1e 1.4) 
1
3
 
1.5) 24 1.6) 160 1.7) 0 
EXERCÍCIO 2: 2.1) 
4
2
3
 2.2) 
625
2
 EXERCÍCIO 3: 
1
12
 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 125 
 
Unidade IV 
Integrais de Superfícies 
Introdução 
Caro estudante, esta é a última unidade deste módulo. Nela, você vai aprender 
sobre os integrais de superfície, que tem relação com a área de superfície. Nesta 
unidade serão apresentados, para além, do cálculo de integrais de superfície, o 
teorema de divergência com destaque para a fórmula de Ostrogradsky Gauss e o 
teorema de Stoke. Esta unidade está dividida em 3 lições com uma carga de 12 
Horas. 
 
Ao completar esta unidade, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
Calcular os integrais de superfície; 
Aplicar o teorema de divergência no cálculo de integrais; 
Aplicar o teorema de Stokes na resolução de exercícios sobre o cálculo de 
integrais; 
Aplicar as condições de independência de caminho no cálculo de 
integrais curvilíneos no espaço. 
 
 
126 Lição no 15 
 
Lição no 15 
Integrais de Superfícies 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar o cálculo de integrais de superfícies. É uma lição 
que pode ser estudada em 4 horas, incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Definir integrais de superfícies; 
 Calcular os integrais de superfície. 
Caro estudante, antes de debruçarmo-nos sobre o cálculo dos integrais de 
superfície vamos iniciar o nosso estudo, estudando as superfícies orientáveis. 
Acompanhe! 
 
Superfícies Orientáveis 
 Uma superfície de 3 diz-se orientável quando é lisa e possui duas faces bem 
definidas. Nessas condições é possível obter, em cada ponto da superfície, um 
vector normal unitário n

cuja variação é contínua sobre cada uma das faces, 
sendo o vector correspondente a uma dada face colinear e oposto ao vector 
normal correspondente à outra face no mesmo ponto. 
Escolhendo um destes dois vectores para definir a direcção positiva, a superfície 
diz-se então “orientada” e é possível atribuir um sentido do percurso a qualquer 
curva fechada situada sobre a superfície. 
 
 
 
 
 
 
Sentido positivo 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 127 
 
Se em vez de lisa a superfície for seccionalmente lisa, não se pode determinar em 
toda a superfície um vector normal que sobre ela varie continuamente. Nesse 
caso, a superfície considera-se orientada se, escolhida a normal positiva numa das 
suas partes lisas, se escolhem as normais positivas nas outras partes de modo que 
ao longo das curvas que sejam fronteira comum de duas partes o sentido positivo 
de percurso em relação a uma parte seja contrário ao sentido positivo em relação 
à outra, como ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do vector normal 
 O vector unitário normal n

 é calculado por uma das formas a seguir 
indicadas, consoante a forma como a superfície está definida. Se a 
superfície for da dada na forma implícita ( , , ) 0F x y z  , pode tomar-
se n

 como sendo
F
n
F




ou seu oposto desde que 0F  . 
Se a superfície for dada explicitamente por uma equação ( , )z f x y , então 
pondo ( , , ) ( , ) 0F x y z z f x y   , o vector n

pode determinar-se tal como no 
caso anterior. 
Se a superfície for dada na forma paramétrica mediante as 
equações  ,x x u v  ,y y u v e  ,z z u v deve determinar-se primeiro a 
sua equação vectorial      ( , ) , , ,r u v x u v i y u v j z u v k  
 
. 
Feito isso, o vector unitário normal à superfície é dado por 
r r
u vn
r r
u v
 

 
 

 
 

  , visto 
que 
r
u



e 
r
v



 são vectores tangentes à superfície num mesmo ponto e, o seu 
produto vectorial é um vector normal ao plano tangente à superfície nesse ponto. 
 
n

 
n

 
n

 
128 Lição no 15 
 
 Seja  o ângulo entre o vector normal a uma superfície S num dado 
ponto  , ,x y z e a parte positiva do eixo OZ. Se a equação de S for 
( , , ) 0F x y z  , a normal a S em  , ,x y z é dada por 
F F F
F i j k
x y z
  
   
  
 
 e por consequência tem-se 
. cosF k F k    
 
ou seja 
. cos
F F F
i j k k F k
x y z

   
     
   
   
22 2
.cos cos
F F F F F
F
z z x y z
 
        
          
        
 visto que 
1k 

, desta forma, 
22 2
1
sec
F F F
x y z
F n k
z

      
           
 
 

 
 Sendo S uma superfície orientada com projecção D no plano xOy , 
consideremos uma partição S. 
Sejam iS um elemento genérico dessa partição, iA a sua projecção sobre o 
plano xOy e ( )iA S e ( )iA A às respectivas áreas. Se for i o ângulo entre a 
direcção positiva do eixo Oz e anormal a iS , ter-se-á 
aproximadamente ( ) cos ( )i i iA A A S de onde resulta cosdA dS , ou 
seja, cosdxdy dS . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
k

 
i 
i 
n

z 
x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 129 
 
 
Se a superfície S for projectável sobreos outros planos coordenados, obtém-
se de forma análoga, supondo que  e  são ângulos que a normal n

 faz 
com i

e j

, 
cosdydz dS e cosdxdz dS 
 
Integrais de Superfície 
Seja ( , , )f x y z uma função definida e contínua sobre a superfície lisa de duas 
faces S dada pela função ( , )z z x y , definida e com a primeira derivada 
contínua num dado domínio D com fronteira lisa do plano xOy . 
Decompondo D em rectângulos 1 2, , , nA A A   e traçando pelos vértices de cada 
eixo Oz , as intersecções dessas paralelas com a superfície S determinam uma 
decomposição desta em 1 2, , , nS S S   de áreas respectivamente 
1 2( ), ( ) , ( )nA S A S A S  . 
Escolhendo em cada elemento de superfície iS , 1, 2,3, ,i n  , um ponto 
arbitrário ( , , )i i ix y z
   formemos a soma
1
( , , ) ( )
n
i i i i
i
f x y z A S  

 . (1) 
Se quando n  de modo que a área ( )iA S de cada elemento iS tende para 
zero, as somas assim formadas admitirem um limite, a esse limite chama-se o 
 
 
integral de superfície da função ( , , )f x y z sobre S e representa-se 
por, ( , , )
S
f x y z ds . (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
iS 
iA
D 
z 
130 Lição no 15 
 
Demonstra-se que se S é uma superfície lisa (ou seccionalmente lisa) e 
( , , )f x y z é contínua sobre S, esse limite existe, facto que admitiremos sem 
demonstração. 
Como se i for o ângulo entre a normal a iS e a parte positiva OZ, é 
( ) sec ( )i i iA S A A aproximadamente, a soma (1) pode escrever-se 
1
( , , ) sec ( )
n
i i i i i
i
f x y z A A  

 e portanto, na passagem ao limite vem 
( , , ) sec ( , , ) sec
D D
f x y z dA f x y z dxdy   (3), onde, 
22
1
sec 1
z z
x yn k

   
      
    
 . 
Portanto, se ( , )z z x y possuir as primeiras derivadas parciais contínuas em D, 
o integral de superfície (2) pode transformar-se num integral duplo sobre D 
através da fórmula ( , , ) ( , , ( , )
S D
dxdy
f x y z ds f x y z x y
n k


   . (4) 
Se a superfície S for dada na forma ( , , ) 0F x y z  , então, 
22 2
1
sec
F F F
x y z
F n k
z

      
           
 
 

 . Desta forma, 
22 2
( , , ) ( , , ( , ) ( , , )
S D D
F F F
x y zdxdy
f x y z ds f x y z x y f x y z dxdy
Fn k
z
      
           
 


   
Nota: os resultados anteriores são válidos apenas quando a superfície S é uma 
superfície que é intersectada num único ponto por qualquer recta paralela ao eixo 
OZ. Se não for esse o caso (como acontece quando S é uma superfície fechada 
como por exemplo, uma esfera ou um cubo) então S deverá ser decomposta em 
partes que estejam nessas condições. Se isso for possível, então o integral de 
superfície sobre S define-se como soma dos integrais de superfície dessas partes. 
Caro estudante, na dedução dos resultados anteriores, admitiu-se também que a 
superfície S se projectou numa região D do plano xOy , mas é claro que se S se 
projectar numa região D do plano xOz ou numa região D do plano yOz a 
fórmula (4) se converte em: 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 131 
 
( , , ) ( , , ( , )
S D
dxdz
f x y z ds f x y z x y
n j

 
 
( , , ) ( , , ( , )
S D
dydz
f x y z ds f x y z x y
n i

 
 
Em seguida, vamos apresentar alguns exemplos. Acompanhe caríssimo 
estudante! 
 
Exemplo1 
 
Sendo S a superfície da parte da esfera 2 2 2 4x y z   situada acima do 
plano xOy , calcular  2 2
S
y z ds 
Resolução 
A projecção de S sobre o plano xOy é o círculo 2 2 4x y  . 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
2 2 2( , , ) 4F x y z x y z    pois 2 2 2 4x y z   
2 2 2 2( )
F F F
F i j k xi yj zk xi yj zk
x y z
  
         
  
       
 
     
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 2( )
22 2 2
F xi yj zk xi yj zk xi yj zk
n
F x y z x y zx y z
      
   
     
       

 
2 2 2 2 2 2
4
2
xi yj zk z z
n k k
x y z x y z
 
    
   
 
 

porque . 0 , . 0i k j k 
  
e 
1k k 
 
 
     2 2 2 2 2 2 2 24 2 4
S D D
dxdy dxdy
y z ds y x y y x y
zn k
        

   
y 
x 
z 
y 
x 2 
2 
2 
2 
132 Lição no 15 
 
 
2 2 2 2
2
2 2 2
0 0
4 cos
2 4 2
4 4D
dxdy r
x rdrd
x y r
 


  
  
  
2 2 3 2
2 2
0 0
4 cos
2
4 4
rdr r
r r
  
  
  
 
2 2 22
2 2
20
0 0
cos
2 2 4
4
r
r r dr d
r
 

 
    
 
  
2 2 2
2
2
0 0
cos
2 4
4
r
r dr d
r
 

 
  
 
  
Vamos em separado calcular 
2 2
2
2
0
cos
4
r
r dr
r


 pelo método de integração por 
partes 
Seja: 2 2u r du rdr   
2
2 2
2
cos 1
cos 4
24
r
dv dr v r
r

    

 
Desta forma, 
2 2
2
2
0
cos
4
r
r dr
r



2 2
2 2 2 2 2
0 0
1 1
os 4 .2cos 4
2 2
r c r r r dr 
 
      
 
 
23
2 2 2
0
1 2
. cos 4
2 3
r
 
    
 
28 cos
3
 . 
Voltando aos cálculos anteriores vem 
2 2 2
2
2
0 0
cos
2 4
4
r
r dr d
r
 

 
 
 
  =
2
2
0
8
16 cos
3
d

     
2
0
8
16 1 cos 2
3
d

     
2 2
0 0
8 1 16 64
16 2 16
3 4 3 3
u sen
 
    
   
           
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 133 
 
 
Exemplo2 
 
Calcular o integral 2
S
x zds onde S é a porção do cone
2 2 2z x y  que 
está entre os planos 1z  e 4z  
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 2 2 2z x y  então 2 2z x y  
1º ) vamos calcular as derivadas parciais: 
2 2
z x
x x y


 
 e 
2 2
z y
y x y


 
 
2º ) Calculemos o integral pedido. 
22
2 2 2 2 1
S D
z z
x zds x x y dxdy
x y
   
     
    
  
2 2
2 2 2
2 2 2 2
1
D
x y
x x y dxdy
x y x y
   
      
       
 
2 2
2 2 2
2 2 2 2
1
D
x y
x x y dxdy
x y x y
   
 
 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2
D D
x y
x x y dxdy x x y dxdy
x y x y
     
  
 
x 
4 
1 
y 
z 
4 1 
x 
y 
Domínio 
S 
134 Lição no 15 
 
42 4 2 4 2
2 2 4 2 2 5
0 0 0 0 0 0
2
2 cos . . 2 cos . cos
5
r r rdrd r drd r d
  
               
 
22
00
1023 2 1 1023 2 1 1023 2
1 cos 2 2
5 2 10 2 5
d sen

    
 
      
 
Caro estudante, a lição já vai muito longa, pelo que aconselhamos um descanso 
de cerca de trinta minutos. Contudo, temos, em seguida, a seguinte actividade a 
ser resolvida. 
 
1.  2 2
S
x z y z dS , onde S é o hemisfério 
2 2 2 4x y z   , 0z  
 
 
Chave de correcção 
Sol: 16 
 
Continuação da lição 
A seguir vamos apresentar o cálculo de integrais de superfície de campos 
vectoriais. 
 
Integrais de Superfície em Campos Vectoriais 
 
Suponhamos que S seja uma superfície orientada com vector normal n

, e 
imagine fluido de densidade  , ,x y z e campo de velocidade ( , , )v x y z , fluindo 
através de S. ( pense caro estudante, em S sendo uma superfície imaginária que 
não impeça a passagem do líquido, como uma rede de pesca em uma rede 
corrente de água). Então a taxa de vazão (massa por unidade de tempo) por 
unidade de área é v . Se dividirmos S em pequenos retalhos i jS , como mostra a 
figura abaixo então i jS é aproximadamente plana, de modo que podemos 
aproximar a massa de fluido que passa por i jS na direcção da normal n

 por 
unidade de tempo pela quantidade 
   . i jv n A S 

, onde  , v e n

são calculados em algum ponto de i jS . 
Somando essas quantidades e tomando o limite, obtemos o integral de superfície 
da função .v n

 sobre S: 
 
Actividade 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 135 
 
 . , , ( , , ) ( , , )
S S
v ndS x y z v x y z n x y z dS  
 
 (1) 
E é interpretado fisicamente como taxa de vazão através de S.Se escrevermos F v

, então F

é também um campo vectorial de 3 e o 
integral da equação (1) fica 
.
S
F ndS
 
 
Definição: Se F for um campo vectorial contínuo definido sobre a superfície 
orientada S com vector normal n, então o integral de superfícies de F sobre S é 
.
S S
FdS F ndS  . Este integral é também chamado fluxo de F através de S. 
Gráficos: No caso da superfície S ser dada por um gráfico ( , )z g x y , podemos 
determinar n

 notando que S também é a superfície de 
nível ( , , ) ( , ) 0f x y z z g x y   . 
Sabemos que o gradiente ( , , )f x y z é normal a essa superfície em  , ,x y z e 
assim versor normal é 
22
( , , )
( , , )
1
g g
i j k
f x y z x y
n
f x y z g g
x y
 
  
  
 
    
        
 

 
Como a componente direcção k

 é positivo, o versor normal aponta para cima. Se 
usarmos a fórmula (4) para calcular 
S
FdS , com, 
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k  
 
obteremos : 
.
S S
FdS F ndS  
 
22
22
1
1
D
g g
i j k
g gx y
Pi Qj Rk dA
x yg g
x y
 
  
     
        
       
        

 
 
 
Ou simplesmente, 
 
S D
g g
FdS P Q R dA
x y
  
    
  
  
 
136 Lição no 15 
 
 
 
Nota: 
Para um vector apontado para baixo, multiplicamos por 1 . Fórmulas 
semelhantes podem ser obtidas se for dada por ( , )y h x z ou ( , )x h y z . 
 
 
Acompanhe o seguinte exemplo caro estudante. 
 
Exemplo3 
 
Calcular 
S
FdS , onde ( , , )F x y z yi xj zk  
 
e S é a fronteira da 
região S contida pelo parabolóide 2 21z x y   e pelo plano 0z  
Resolução 
A superfície S é constituída pela superfície parabólica do tipo 1S e pela superfície 
circular do fundo 2S 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como S é uma superfície fechada, usamos a convenção de orientação positiva 
(para fora). Isso significa que 1S é orientada para cima. 
O domínio da projecção de 1S sobre o plano xy é o circulo 
2 2 1x y  . 
Desta forma, 
Sobre 1S : 
( , , )P x y z x , ( , , )Q x y z y , 2 2( , , ) 1R x y z z x y    
2
g
x
x

 

 e 2
g
y
y

 

. Assim, 
    
1
2 22 2 1
S D D
g g
FdS P Q R dA y x x y x y dA
x y
  
            
  
  
   
2 1
2 2 2 2
0 0
1 4 1 4 cos
D
xy x y dA r sen r rdrd

           
y 
x 
z 
y 
x 1 
1 
1 
12 
2S 
1S
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 137 
 
 
12 1 2 2 4
3 3 4
0 0 0 0
4 cos cos
2 4
r r
r r r sen drd r sen d
 
     
 
      
 
   
 
2
0
1 1
cos 2 0
4 4 2
sen d
 
   
 
     
 
 
O círculo 2S é orientado para baixo, então vector (versor) normal é n k  e 
temos por conseguinte: 
       
2 2
. . 0 0
S S D D D
FdS F k dS yi xj zk k dA z dA dA             
 
uma vez que 0z  sobre 2S . 
Finalmente, calculamos 
S
FdS como soma das integrais de superfície F sobre 
1S e 2S : 
1 2
0
2 2
S S S
FdS FdS FdS
 
      
 
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu sobre os integrais de superfícies sendo que, para xy 
 
22 2
( , , ) ( , , ( , ) ( , , )
S D D
F F F
x y zdxdy
f x y z ds f x y z x y f x y z dxdy
Fn k
z
      
           
 


   
Para xz: ( , , ) ( , , ( , )
S D
dxdz
f x y z ds f x y z x y
n j

 
 
 
Para yz: ( , , ) ( , , ( , )
S D
dydz
f x y z ds f x y z x y
n i

 
 
Para campos vectoriais: .
S S
FdS F ndS  
138 Lição no 15 
 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica, vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volte a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
 1 9 . Calcular os seguintes integrais de superfície: 
1. 
2
S
x zdS onde S é a superfície cilíndrica
2 2 1x y  , 0 1z  
2.  2 2
S
x y dS onde S é a superfície esférica 
2 2 2 1x y z   
3. 
S
xdS onde S é a parte da superfície do parabolóide 
2 2 1x y z   situada acima do plano xOy . 
4. 2
S
z dS onde S é a superfície esférica
2 2 2 1x y z   
5. 2
S
x yzdS , onde S é a parte do plano 1 2 3z x y   que está acima do 
rectângulo    0,3 0,2 
6. 
S
yzdS , onde S é a parte do plano 1x y z   que está no primeiro 
octante. 
7. 2 2
S
x z dS , onde S é a parte do cone 
2 2 2z x y  que está entre os 
planos 1z  e 3z  
8. 
S
ydS , onde S é a parte do parabolóide 
2 2y x z  que está no interior 
2 2 4x z  . 
 9 11 . Calcular o integral 
S
FdS para o campo vectorial F e superfície 
orientada S. em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para 
superfícies fechadas, use a orientação positiva ( para fora). 
9. ( , , )F x y z xy i yz j zx k  
 
, S é a parte do parabolóide 
2 24z x y   que está acima do quadrado 0 1x  , 0 1y  , com 
orientação para cima. 
10. ( , , ) y yF x y z xze i xze j z k  
 
, S é a parte do plano 1x y z   no 
primeiro octante, com orientação para baixo. 
11. ( , , )F x y z x i z j y k  
 
, S parte da esfera 2 2 2 4x y z   no 
primeiro octante com orientação para origem. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 139 
 
Chave de correcção 
1: 
2

 2: 
8
3
 3: 
37
10

 
4: 
4
3
 5: 171 14 6: 
3
24
 
7: 
364 2
3

 8:  391 17 1
60

 9: 
713
180
 
10: 
1
6
 11: 
4
3
 
140 Lição no 16 
 
Lição no 16 
Teorema de divergência ou Fórmula de 
Ostrogradsky- Gauss 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar o teorema de divergência que, em algumas vezes, é 
chamado teorema de Ostrogradsky- Gauss. È um teorema usado essencialmente 
para transformar os integrais de superfície em integrais triplos. 
A aula pode ser estudada em três horas incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Enunciar e demonstrar o teorema de divergência; 
 Calcular os integrais de superfície pelo teorema de 
divergência. 
 Caro estudante, vamos a mais uma lição e, desta vez, sobre o teorema de 
divergência. Como já foi referenciado na introdução, este teorema tem na 
essência, a transformação dos integrais de superfície em integrais triplos. 
Continue a acompanhar! 
 
 Teorema de divergência. Fórmula de Ostrogradsky-Gauss. 
 Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada 
positivamente (para fora). Seja F

 um campo vectorial cujas funções 
componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que 
contenha E. então
S E
FdS divFdV 
 
. (1) 
 Demonstração: 
Seja F P i Q j R k  
 
. Então 
P Q R
divF
x y z
  
  
  
 logo, 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 141 
 
E
divFdV

 
 
E
P Q R
dV
x y z
   
   
   
 
E E E
P Q R
dV dV dV
x y z
  
  
    
 
Se n

 é o vector normal que sai de S, então o integral de superfície do lado 
esquerdo, o teorema de divergência é 
 .
S S S
FdS F ndS P i Q j R k ndS     
    
 
S S S
P i ndS Q j ndS R k n dS       
   
. Portanto, para provar o teorema de 
divergência é suficiente provar que 
S E
P
P i ndS dV
x

 
 
 
 (2) 
S E
Q
Q j ndS dV
y

 
 
 
 (3) 
S E
R
R k n dS dV
z

 
 
 
 (4) 
Para provar a equação (4), usamos o facto de que E é uma região do tipo I: 
  1 2, , : ( , ) , ( , ) ( , )E x y z x y D u x y z u x y    , onde D é a projecção de E 
sobre o plano xy , assim temos 
 2
1
( , )
( , )
, ,u x y
E D u x y
R x y zR
dV dz dA
z z
 
  
  
   (e pelo teorema fundamental de 
cálculo, ) 
   2 1, , ( , ) , , ( , )
D
R x y u x y R x y u x y dA    (5) 
A superfície fronteira S é formada por três peças: a superfície do fundo 1S , a 
superfície do topo 2S e possivelmente a superfície vertical 3S que está acima da 
curva fronteira de D. (veja a figura abaixo. Pode acontecer que 3S não exista, 
como no caso da esfera.) 
Note que sobre 3S temos 0k n 
 
, porque k

 é vertical e n

é horizontal, e 
assim, 
3 3
0 0
S S
R k n dS dS   
 
. 
Logo, não interessando a existência de uma superfície vertical, podemos escrever 
1 2S S S
R k n dS R k n dS R k n dS      
    
 (6) 
 
142 Lição no 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de 2S é 2 ( , )z u x y , ( , )x y D , e o vector normal que sai de 
n

aponta para cima. Substituindo F por R k

 em 
2
.
S
F ndS

vem, 
 
2 2
2. , , ( , )
S S D
F ndS R k n dS R x y u x y dA    
 
. 
Sobre 1S temos 1( , )z u x y , aqui, a normal é apontada para baixo, e então 
multiplicando por 1 
 
1 1
1. , , ( , )
S S D
F ndS R k n dS R x y u x y dA     
 
. Portanto, a equação (6) 
resulta em, 
   2 1, , ( , ) , , ( , )
S D
R k n dS R x y u x y R x y u x y dA     
 
. Comparando com a 
equação (5) 
S E
R
R k n dS dV
z

 
 
 
. 
As equações (2) e (3) são provadas de modo análogo usando as expressões para E 
como uma região do tipo 2 ou do tipo 3. 
 
 
Actividade: 
Demonstrar as equações (2) e (3) 
 
 
 
E 
D 
1 1( ( , ))S z h x y 
2 2( ( , ))S z u x y 
x 
y 
z 
3s 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 143 
 
 
 
Exemplo3 
 
Determine o fluxo do campo vectorial ( , , )F x y z z i y j x k  
 
 sobre a 
esfera unitária 2 2 2 1x y z   . 
Resolução 
1ª vamos calcular a divergência de F 
31 2 ( ) ( ) ( ) 1
FF F
divF z y x
x y z x y z
    
      
     
 
A esfera unitária S é a fronteira da bola unitária B dada por 2 2 2 1x y z   . 
Então, o teorema de divergência dá o fluxo como 
 
12 1́ 2 23
2
0
0 0 0 0 0 00
1
cos
3 3
T
V dV sen d d d sen d d d
    

         
 
     
 
       
 
2 2
0 0
1 2 4
cos cos 0
3 3 3
d d
 
        
 
 
 
Exemplo4 
 
Calcular 
S
FdS

, onde 
22( , , ) ( )xzF x y z xy i y e j sen xy k   
 
 e S é a 
superfície da região limitada pelo cilindro parabólico 21z x  e pelos 
planos 0z  , 0y  e 2y z  
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este integral caro estudante, deve ser muito difícil calcular directamente, pois 
teríamos quatro integrais de superfícies correspondentes às quatro parte de S. 
Contudo, a divergência de F é muito menos complicada que a própria função F. 
pelo que: 
(1,0,0) 
y 
x 
z 
2y z  
0y 
(0,2,0) 
(0,0,1) 
21z x  
144 Lição no 16 
 
2231 2 ( ) ( ) ( ) 2 3xz
FF F
divF xy y e senxy y y y
x y z x y z
    
         
     
 
Portanto, usamos o teorema de divergência para transformar o integral da 
superfície dada em um integral triplo. 
O integral triplo é escrever E como uma região do tipo 3. 
  2, , : 1 1, 0 1 , 0 2E x y z x z x y z          
Assim temos 
 
2 2 21 1 2 1 1
1 0 0 1 0
2
3 3 0 3 0
2
x z x
S B B
z
Fds divFdv ydv dydzdx dzdx
  
 
 
     
  
        
     
2131 1 1
32 6 4 2
1 1 1
0
23 1 1
1 8 3 3 7
2 3 2 2
x
z
dx x dx x x x dx

  
                   
   
17 5
3
1
1 3 1 1 3 1 3
7 6 6
2 7 5 2 7 5 7 5
x x
x x

      
                  
     
 
1 2 6
12
2 7 5
 
    
 
1 10 42 420 1 472 236
2 35 35 35 2 35 35
 
         
 
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu o teorema de divergência que diz: 
Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada 
positivamente (para fora). Seja F

 um campo vectorial cujas funções 
componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que 
contenha E. então 
S E
FdS divFdV 
 
 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volta a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
 Use o teorema de divergência para calcular os integrais: 
 
Use o teorema de divergência para calcular o integral 
S
Fds ; ou seja, calcule o 
fluxo F através de S. 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 145 
 
1. 2( , , ) cosx xF x y z e seny i e y j yz k  
 
, S é a superfície da caixa 
delimitada pelos planos 0x  , 1x  , 0y  , 1y  , 0z  , e 2z  . 
2. 2 3( , , ) 3 zF x y z xy i xe j z k  
 
, S superfície do sólido limitado pelo 
cilindro 2 2 1y z  e pelos planos 1x   e 2x  
3.    2 2( , , ) cos zF x y z z xy i xe j seny x z k    
 
 S superfície do sólido 
limitado pelo parabolóide 2 2z x y  e 4z  
4. 3 3 4( , , ) 4 4 3F x y z x z i y z j z k  
 
, S é a esfera com centro na origem e raio 
R 
Use o teorema de divergência para calcular os integrais: 
5. 2 2 2
S
x dydz y dzdx z dxdy  S a parte exterior da superfície do cubo 
0 1 , 0 1 , 0 1x y z      
 
Chave de correcção 
EXERCÍCIO 1: 2 EXERCÍCIO 2: 
2
9
2

 EXERCÍCIO 3: 
2
32
3

 
EXERCÍCIO 4: 0 EXERCÍCIO 5: 0 
146 Lição no 17 
 
Lição no 17 
Teorema de Stokes 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar o teorema de Stokes, que pode ser visto como uma 
versão maior do teorema de Green. Enquanto o teorema de Green relaciona um 
integral duplo sobre uma região D com um integral curvilíneo ao redor de sua 
fronteira plana, o teorema de Stokes relaciona um integral de superfície sobre 
uma superfície S com integral ao redor da curva S (que é uma curva do espaço). 
A aula pode ser estudada em 4 horas incluindo a resolução de exercícios 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Enunciar o teorema de Stokes; 
 Demonstrar o teorema de Stokes; 
 Calcular os integrais de superfície aplicando o teorema de 
Stokes. 
Caro estudante, acompanhe, em seguida, o enunciado e a demonstração do 
teorema de Stokes. 
 
Teorema de Stokes 
Relacionadas com as coordenadas rectangulares  ,x y pelas equações: 
Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada por uma 
curva C simples, fechada, lisa por partes, com orientação positiva Seja F

 um 
campo vectorial cujos componentes tem derivadas parciais contínuas na região 
aberta de 3 que contém S. Então .
C S
F dr rotF ds  

. 
 
Como .
C C
F dr F Tds   e 
S S
rotF ds rotF nds   
 
, o teorema de Stokes 
nos diz que o integral ao redor de uma curva fronteira de S da componente 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 147 
 
tangencial de F é igual ao integral de superfície da componente normal do 
rotacional de F. 
A curva fronteira orientada positivamente da superfície orientada S é com 
frequência denotada por s , de modo que o teorema de Stokes possa ser escrito 
como, 
S s
rotF ds F dr

   

 (1) 
Existe uma analogia entre o teorema de Stokes, o teorema de Green e o teorema 
fundamental do cálculo. Como anteriormente, existe um integral envolvendo a 
derivadas do lado esquerdo da equação (1) (lembre-se que o rotacional de F é 
uma espécie de derivadas) e do lado direito, envolvendo valores de F, calculados 
somente na fronteira de S. 
De facto, no caso especial em que a superfície S é plana e pertence ao plano 
( , )x y com orientação para cima, o versor normal é k

, o integral de superfície 
se transforma em um integral duplo, e o teorema de Stokes fica 
 .
C S S
F dr rotF ds rotF kdA     
 
. 
Caro estudante, apesar de o teorema de Stokes ser muitodifícil de provar no caso 
geral, podemos fazer uma prova quando S for um gráfico e F, S e C forem bem 
comportados( regulares). 
Demonstração: 
(Caso especial do Teorema de Stokes) 
Admitiremos que a equação de S seja ( , )z g x y , ( , )x y D , onde g tem 
derivadas parciais de segunda ordem contínuas, e que D seja uma região plana 
simples cuja fronteira 1C corresponde a C. Se a orientação de S for para cima, 
então a orientação positiva de C corresponde à orientação positiva de C1 ( veja a 
figura ). É nos dado que F P i Q j R k  
 
, onde as derivadas parciais de P , 
Q e R são contínuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S 
D 
Y 
X 
Z 
n

 
148 Lição no 17 
 
Como S é um gráfico de uma função, podemos aplicar 
.
C D
z z
F dr P Q R dA
x y
  
    
  
  (veja a lição 13 sobre os integrais de 
superfície) com F

 substituído por rotF

. O resultado é, 
Sabe-se que 
i j k Q R P QP R
rotF P Q R i j k
y z x yx z
x y z
       
       
  

 
Q R P R P Q
i j k
z y z x y x
         
         
         
 
R Q P R Q P
i j k
y z z x x y
         
         
         
. Assim, 
 
 
S
rotF ds

 
D
R Q z P R Q P
j dA
y z x z x x y
           
           
           
 , onde as 
derivadas parciais de P , Q e R são calculadas em  x,y,g(x,y) . Se 
( ) , ( )x x t y y t  , a t b  é representação paramétrica de 1C , então a 
representação paramétrica de C é 
 ( ) , ( ) , ( ), ( ) ,x x t y y t z g x t y t a t b     . Isso permite, com 
ajuda da regra de cadeia, calcular o integral curvilíneo como se segue: 
.
b b
C a a
dx dy dz dx dy z dx z dy
F dr P Q R dt P Q R dt
dt dt dt dt dt x dt y dt
    
         
     
   
1
b
a C
z dx z dy z z
P R Q R dt P R dx Q R dy
x dt y dt x y
          
              
          
  
Neste último passo aplicando o teorema de Green Vem, 
D
z z
Q R P R dA
x y y x
      
      
      
 
Aplicando novamente a regra de cadeia e lembrando que P , Q e R são funções de 
,x y e z e que z é, por sua vez, função de x e y , obtemos 
.
C
F dr 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 149 
 
2 2
D
Q Q z R z R z z z P P z R z R z z z
R R dA
x z x x y z x y y x y z y y x z y x y x
                    
            
                       

 
Quatro termos deste integral são simétricos pelo que se anulam. Assim 
D
Q Q z R z P P z R z
dA
x z x x y y z y y x
          
      
          
 
D S
z Q R z R P Q P
dA rotF ds
x z y y x z x y
            
            
            
 

, c.q.d. 
 
Em seguida apresentamos um exemplo da aplicação do teorema de Stokes. 
Continue acompanhando! 
 
 
 
 
Exemplo1 
 
Calcular .
C
F dr

, onde 2 2( , , )F x y z y i x j z k   
 
 e K e C é a curva 
da intersecção do plano 2y z  com o cilindro 2 2 1x y  . (Oriente 
C de modo a ter um sentido positivo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: A curva C (elipse) está mostrada na figura. Apesar de .
C
F dr

 poder ser 
calculada directamente, é mais simples usar o teorema de Stokes. Vamos 
inicialmente calcular 
2 22 2
2 2
i j k
y z x yrot F i j kx z
x y z
y zx z y x
y x z
    
  
       
  
 

 
  
 
 0 0 1 2i j y k   
 
 1 2y k 

. 
 
X 
Y 
Z 
 S 
D 
2y z  
C 
150 Lição no 17 
 
Apesar de haver muitas superfícies com fronteira C, a escolha mais conveniente é 
a região elíptica S no plano 2y z  cuja fronteira é C. Se orientarmos S para 
cima , então a orientação induzida em C será positiva. A projecção D sobre o 
plano xy é o disco 2 2 1x y  . Assim com ( , ) 2z g x y y   temos: 
   
2 1
0 0
. 1 2 1 2
C S D
F dr rot F dS y dA rsen rdrd

          
 
 
12 22
3
0 00
2 1 2
2 3 2 3
r
r sen d sen d
 
   
   
     
  
  
   
2
0
1 2
2 cos 0
2 3

        
 
 
Antes de resolver os exercícios desta ultima lição, resolva a seguinte actividade: 
Use o teorema de Stokes para calcular .
S
F dr

. Em cada caso, C é orientado no 
sentido anti-horário quando visto de cima. Se  , , 2 xyF x y z yz i xz j e k  
 
, 
C é circunferência 2 2 16x y  , 5z 
 
 
Chave de correcção: 80 
Caro estudante, terminamos o estudo do nosso módulo. 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu o teorema de Stokes: 
Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada por uma 
curva C simples, fechada, lisa por partes, com orientação positiva. Seja F

 um 
campo vectorial cujos componentes tem derivadas parciais contínuas na região 
aberta de 3 que contém S. Então .
C S
F dr rotF ds  

. 
Exercícios. 
Terminada a parte teórica, vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades volta a estudar a rever a lição e os exemplos 
apresentados. 
 Use o teorema de Stokes para calcular os integrais 
1.  2 2 2 22 2 2
C
xy zdx x yzdy x y z dz   Sendo C a curva 
cos 0 2x t y sent z sent t      
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 151 
 
2.    2
C
y dx x y dy x y z dz     Sendo C a curva 
, cos , cos ,0 2x sent y t z sent t t       
3. 
C
xdx xzdy xydz  Sendo C o contorno do triângulo de vértices  2,0,0 , 
 0,2,0 e  0,0,2 
Use o teorema de Stokes para calcular .
S
rotF dS

 
4.   2 2 2, , yz xz xyF x y z x e i y e j z e k  
 
, S é o hemisfério 2 2 2 4x y z   , 
0z  , com orientação para cima 
5.   2, ,F x y z xyz i xy j x yz k  
 
S é formada pelo topo e pelos quatros 
lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices  1, 1, 1   , com orientação 
para fora. 
Use o teorema de Stokes para calcular .
S
F dr

. Em cada caso, C é orientado no 
sentido anti-horário quando visto de cima. 
6.        2 2 2, ,F x y z x y i y z j z x k     
 
, C é o triângulo com 
vértices    1,0,0 , 0,1,0 e  0,0,1 
 
Chave de correcção 
1: 0 2:  3: 8 
4: 0 5: 0 6 : 1 
 
 
 
 
 
Caro estudante, terminamos o estudo do nosso módulo, esperamos que tenha sido 
um sucesso. 
O Autor. 
 
152 Referências Bibliográficas 
 
Referências Bibliográficas 
1. BEIRÃO, C. Análise Matemática. Cálculo Diferencial em R(n). ISP, 
Maputo, 1992. 
2. DEMIDOVITCH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática,. 4ª 
Edição, Editora MIR, Moscovo,1977. 
3. . Editora McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1991. 
4. GONÇALVES, M. & FLEMIMING, D. Cálculo B, Funções de Várias 
Variáveis Integrais Duplas e Triplas. São Paulo: Markon Books, 1999. 
5. PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e integral. Volume II, 
Moscovo,1979. 
6. STEWART, J. Cálculo Volume II. 5ª edição, São Paulo,2006.