CALCULO INTEGRAL EM Rn

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Manual de Cálculo Integral em 
R(n) 
 
 
Curso de licenciatura em Ensino Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Departamento de Matemática 
 
Direitos de autor (copyright) 
Este módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Caso haja necessidade de reprodução, 
deverá ser mantida a referência à Universidade Pedagógica e aos seus Autores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Rua Comandante Augusto Cardoso, nº 135 
Telefone: 21-320860/2 
Telefone: 21 – 306720 
Fax: +258 21-322113 
 
Agradecimentos 
À COMMONWEALTH of LEARNING (COL) pela disponibilização do Template usado na 
produção dos Módulos. 
Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento pelo apoio prestado 
em todo o processo. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática i 
 
Ficha Técnica 
 
Autor: Vasco Agostinho Cuambe 
Revisor científico: Alberto Uamusse 
Revisor da engenharia de Educação à Distância: Suzete Buque 
Revisor do Desenho Instrucional: Suzete Buque 
Revisor Linguístico: Salomão Massingue 
Maquetizador e Editor: Aurélio Armando Pires Ribeiro 
Ilustrador: Vasco Agostinha Cuambe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Moçambique, Maputo 2014 
ii Índice 
 
Índice 
Visão geral 1 
Bem-vindo ao módulo de Cálculo integral em R(n) ......................................................... 1 
Objectivos do curso .......................................................................................................... 1 
Quem deveria estudar este módulo? ................................................................................. 2 
Como está estruturado este módulo? ................................................................................ 2 
Ícones de actividade .......................................................................................................... 2 
Acerca dos ícones .......................................................................................... 3 
Habilidades de estudo ....................................................................................................... 3 
Precisa de apoio? .............................................................................................................. 4 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) ................................................................................. 4 
Avaliação .......................................................................................................................... 4 
Unidade I 5 
Teoria de Medidas em Integrais duplos ............................................................................ 5 
Lição no 1 6 
Medidas de um Conjunto .................................................................................................. 6 
Medidas de um Conjunto de R(n).......................................................... 6 
Sumário ........................................................................................................................... 11 
Exercícios ........................................................................................................................ 11 
Lição no 2 12 
Integração em intervalos fechados de R(n) ..................................................................... 12 
Integração em Intervalos Fechados de R(n) ................................................. 12 
Somas de Darboux ....................................................................................... 15 
Condições de Integrabilidade de Integrais Múltiplos. ......................... 15 
Sumário ........................................................................................................................... 18 
Exercícios ........................................................................................................................ 18 
Lição no 3 19 
O Integral duplo. ............................................................................................................. 19 
Integral Dupla .............................................................................................. 19 
Interpretação Geométrica do Integral Duplo ....................................... 21 
Cálculo dos Integrais Duplo......................................................................... 22 
Integração sucessiva ............................................................................ 22 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática iii 
 
Chave de correcção ......................................................................................................... 24 
Sumário ........................................................................................................................... 24 
Exercícios ........................................................................................................................ 25 
Chave de correcção ......................................................................................................... 25 
Lição no 4 26 
Integração em Regiões Generalizadas ............................................................................ 26 
Chave de correcção ......................................................................................................... 30 
Chave de correcção ......................................................................................................... 33 
Sumário ........................................................................................................................... 33 
Exercícios ........................................................................................................................ 34 
Chave de correcção ......................................................................................................... 35 
Lição no 5 36 
Integrais duplos em Coordenadas Polares ...................................................................... 36 
Mudança de Variáveis em Integrais duplos ................................................. 36 
Coordenadas Polares .................................................................................... 38 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares ................................................... 39 
Chave de correcção ......................................................................................................... 43 
Sumário ........................................................................................................................... 43 
Exercícios. ....................................................................................................................... 44 
Chave de correcção ......................................................................................................... 45 
Lição no 6 46 
Aplicações de integrais duplos no cálculo de áreas de figuras planas. ........................... 46 
Cálculo de Áreas em Figuras planas ............................................................ 46 
Sumário ........................................................................................................................... 49 
Exercícios. ....................................................................................................................... 49 
Chave de correcção ......................................................................................................... 50 
Lição no 7 51 
Aplicações de integrais duplos na física. ........................................................................ 51 
Aplicações Físicas ............................................................................... 51 
Chave de correcção ......................................................................................................... 55 
Sumário ........................................................................................................................... 55 
Exercícios ........................................................................................................................56 
Chave de correcção ......................................................................................................... 56 
Unidade II 57 
Integrais Triplos .............................................................................................................. 57 
Lição no 8 58 
Integrais Triplos .............................................................................................................. 58 
Definição do integral triplo .......................................................................... 58 
Propriedades ........................................................................................ 59 
iv Índice 
 
Cálculo de Integrais Triplos ......................................................................... 59 
Chave de correcção ......................................................................................................... 64 
Sumário ........................................................................................................................... 64 
Exercícios. ....................................................................................................................... 64 
Chave de correcção ......................................................................................................... 65 
Lição no9 66 
Cálculo de integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas ............................... 66 
Mudança de Variáveis em integrais triplos. ........................................ 66 
Integrais triplos em coordenadas cilíndricas. ...................................... 67 
Mudança para coordenadas esféricas .................................................. 70 
Chave de correcção ......................................................................................................... 73 
Sumário ........................................................................................................................... 73 
Exercícios. ....................................................................................................................... 73 
Chave de correcção ......................................................................................................... 74 
Lição no 10 75 
Aplicações dos integrais triplos ...................................................................................... 75 
Cálculo de Volume de sólidos. ............................................................ 75 
Aplicações Físicas do integral triplo ................................................... 78 
Momento de Inércia em Relação a um eixo ........................................ 81 
Chave de correcção ......................................................................................................... 82 
Sumário ........................................................................................................................... 83 
Exercícios. ....................................................................................................................... 83 
Chave de correcção ......................................................................................................... 84 
Unidade III 85 
Integrais Curvilíneos ....................................................................................................... 85 
Lição no 11 86 
Integrais Curvilíneos no Plano ........................................................................................ 86 
Integrais curvilíneos no espaço .................................................................... 93 
Sumário ........................................................................................................................... 96 
Exercícios. ....................................................................................................................... 96 
Calcule os seguintes integrais curvilíneos ........................................... 96 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática v 
 
Chave de correcção ......................................................................................................... 97 
Lição no 12 98 
Integrais curvilíneos de campos vectoriais ..................................................................... 98 
Chave de correcção ....................................................................................................... 103 
Sumário ......................................................................................................................... 103 
Exercícios. ..................................................................................................................... 104 
Chave de correcção ....................................................................................................... 104 
Lição no 13 105 
Independência de Caminho em integrais curvilíneos. .................................................. 105 
Teorema Fundamental para os Integrais Curvilíneos ........................ 105 
Independência de Caminho nos integrais curvilíneos do espaço ...... 113 
Chave de correcção ....................................................................................................... 114 
Sumário ......................................................................................................................... 114 
Exercícios. ..................................................................................................................... 114 
Chave de correcção ....................................................................................................... 115 
Lição no 14 116 
Teorema de Green ......................................................................................................... 116 
Introdução ............................................................................................................ 116 
Teorema de Green ...................................................................................... 117 
Chave de correcção ....................................................................................................... 123 
Sumário ......................................................................................................................... 123 
Exercícios ...................................................................................................................... 123 
Chave de correcção ....................................................................................................... 124 
Unidade IV 125 
Integrais de Superfícies ................................................................................................. 125 
Lição no 15 126 
Integrais de Superfícies ................................................................................................. 126 
Superfícies Orientáveis .............................................................................. 126 
Cálculo do vector normal .................................................................. 127 
Integrais de Superfície ............................................................................... 129 
Chave de correcção ....................................................................................................... 134 
Integrais de Superfície em Campos Vectoriais.................................. 134 
Sumário ......................................................................................................................... 137 
Exercícios. ..................................................................................................................... 138 
Chave de correcção ....................................................................................................... 139 
Lição no 16 140 
Teorema de divergência ou Fórmula de Ostrogradsky- Gauss ..................................... 140 
Teorema de divergência. Fórmula de Ostrogradsky-Gauss. .............. 140 
vi Índice 
 
Sumário .........................................................................................................................144 
Exercícios. ..................................................................................................................... 144 
Chave de correcção ....................................................................................................... 145 
Lição no 17 146 
Teorema de Stokes ........................................................................................................ 146 
Teorema de Stokes ............................................................................. 146 
Sumário ......................................................................................................................... 150 
Exercícios. ..................................................................................................................... 150 
Chave de correcção ....................................................................................................... 151 
Referências Bibliográficas 152 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 1 
 
Visão geral 
Bem-vindo ao módulo de Cálculo 
integral em R(n) 
No presente módulo de Cálculo Integral em R(n) faz-se uma abordagem 
em torno de conteúdos de matemática, tendo como objectivo principal 
formar estudantes do Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática. O 
módulo está dividido em 4 unidades principais. Na primeira unidade 
estuda-se a Teoria de Medidas em Integrais Duplos. Na segunda unidade 
estuda-se os Integrais Triplos, na terceira unidade estuda-se os Integrais 
Curvilíneos e na última unidade estuda-se os Integrais de Superfícies. 
Objectivos do módulo 
Quando terminar o estudo do módulo de cálculo integral em R(n) você 
será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 Definir medidas de um intervalo em R(n); 
 Definir integrais Múltiplos; 
 Calcular os integrais duplos e triplos; 
 Aplicar os integrais duplos e triplos na resolução de problemas; 
 Definir os integrais curvilíneos no plano e no espaço; 
 Resolver os problemas de contorno; 
 Aplicar os integrais curvilíneos na resolução de problemas em física; 
 Definir os integrais de superfície; 
 Aplicar o teorema de divergência na resolução de problema; 
 Aplicar o teorema de Stokes na resolução de problemas. 
 
 
2 Visão geral 
 
Quem deveria estudar este 
módulo? 
Este Módulo foi concebido para todos aqueles que concluíram a 12ª 
classe ou equivalente e bem como profissionais que se queiram 
especializar em áreas afins e que se tenham matriculado neste curso. 
Como está estruturado este 
módulo? 
Todos os módulos dos cursos produzidos encontram-se estruturados da 
seguinte maneira: 
Páginas introdutórias 
 Um índice completo. 
 Uma visão geral detalhada do curso / módulo, resumindo os 
aspectos-chave que você precisa conhecer para completar o estudo. 
Recomendamos vivamente que leia esta secção com atenção antes de 
começar o seu estudo. 
Conteúdo do curso / módulo 
O curso está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma 
introdução, objectivos da unidade, conteúdo da unidade incluindo 
actividades de aprendizagem, um sumário da unidade e uma ou mais 
actividades para auto-avaliação. 
Outros recursos 
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma lista 
de recursos adicionais para você explorar. Estes recursos podem incluir 
livros, artigos ou sites na internet. 
 
 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das 
folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo 
de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma 
nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 3 
 
Acerca dos ícones 
Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada 
um com uma descrição do seu significado e da forma como nós 
interpretámos esse significado para representar as várias actividades ao 
longo deste módulo. 
 
Comprometimento/ 
perseverança 
Actividade 
 
Resistência, 
perseverança 
Auto-avaliação 
 
“Qualidade do 
trabalho” 
 
(excelência/ 
autenticidade) 
Avaliação / 
Teste 
 
“Aprender através 
da experiência” 
Exemplo / 
Estudo de caso 
 
Paz/harmonia 
Debate 
 
Unidade/relações 
humanas 
Actividade de 
grupo 
 
Vigilância / 
preocupação 
Tome Nota! 
 
“Eu mudo ou 
transformo a minha 
vida” 
Objectivos 
 
“[Ajuda-me] deixa-
me ajudar-te” 
Leitura 
 
Quanto 
tempo? 
 
“Nó da sabedoria” 
Terminologia 
 
Apoio / 
encorajamento 
Dica 
 
Habilidades de estudo 
Este modulo é para si, ele foi concebido para que possa apoiar o seu 
estudo sem contudo deixar consultar as outras obras referenciadas neste 
modulo. As lições foram concebidas de modo a tornar a aprendizagem 
simples e significativa no entanto, há necessidade de planear 
convenientemente o seu tempo, tomar notas e discutir com os seus 
colegas. Uma das ferramentas fundamentais deste tipo de ensino e 
aprendizagem é o uso da plataforma eletrónica de ensino e aprendizagem. 
Pelo que alguns problemas irão ser discutidos com o tutor de 
especialidade usando este instrumento. 
 
4 Visão geral 
 
Precisa de apoio? 
Conscientes de que no processo de aprendizagem, há sempre alguns 
problemas que possam encontrar, o contacto com o tutor de especialidade 
em algum momento é imprescindível. Assim, atendendo que o ensino é à 
distância, vai se privilegiar a sala virtual, nestas condições o domínio das 
ferramentas que lhe permitam participar na sala vitual é fundamental. 
Também poderão ser usados outros meios como correio electrónico ou 
telefone, mas, a plataforma será o meio mais recomendado. 
Tarefas (Actividades e auto-
avaliação) 
 O módulo apresenta para além dos exercícios, actividades e tarefas e 
auto- avaliação. Estas tarefas servem para lhe dar um indicador do seu 
desempenho. Os comentários e respostas comentadas aos exercícios e 
actividades só devem ser consultadas depois de ter resolvido o exercício e 
actividade. 
Avaliação 
Caros estudantes, ao longo do semestre serão submetidos a dois testes 
presenciais e um exame final a serem realizados nos centros de recursos 
ou outros locais a ser indicados. Para além dos testes, as tarefas de auto 
avaliação a serem enviados via plataforma, também serão objectos de 
avaliação preenchendo a coluna destinada a outras avaliações. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 5 
 
Unidade I 
Teoria de Medidas em Integrais duplos 
Introdução 
Nesta unidade, você vai aprender os integrais múltiplos com destaque para os 
integrais duplos e triplos. Também serão apresentados os problemas de aplicação 
bem como o cálculo de áreas e volumes. Esta unidade está dividida em 6 lições. 
Ao completar esta unidade, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 Definir medidas de um intervalo em R(n); 
 Definir integrais Múltiplos; 
 Calcular os integrais duplos e triplos; 
 Aplicar os integrais duplos e triplos no cálculo de áreas e volume; 
 Aplicar os integrais duplos e triplos na resolução de problemas. 
 
 
6 Lição no 1 
 
Lição no 1 
Medidas de um Conjunto 
Introdução 
Esta é a lição nº 1, nela você vai aprender os conceitos de medidas de um 
conjunto em R(n), integração em intervalos fechados de R(n) . É uma lição que 
pode ser estudada em duas horas, incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir medida de um conjunto em R(n); 
 Definir soma superior e inferior. 
 
 
 
 
Caro estudante, vamos iniciar o estudo do cálculo integral em R(n) e 
apresentamos em seguida o conceito de medidas de um conjunto. Comece a 
acompanhar! 
Medidas de um Conjunto de R(n) 
 
Chama-se intervalo n- dimensional fechado (respectivamente aberto) de 
extremidades em  1 2, , , na a a a  e  1 2, , , nb b b b  ao produto cartesiano 
dos n intervalos fechados  ,i ia b (respectivamente abertos  ,i ia b ), com 
1, 2,...,i n .De uma forma geral, um intervalo n- dimensional I é um conjunto da 
forma   1 2, , , : , 1, 2,3,...,n i i iI x x x a x b i n     . 
A medida de conjunto representa-se por mI e define-se como o 
produto     1 1 2 2 n nmI b a b a b a     . 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 7 
 
Se 2n  , o intervalo I é um rectângulo de 2 e mI é área desse rectângulo; se 
3n  , o intervalo I é um paralelepípedo de 3 e então mI é o seu volume. 
Naturalmente é sempre 0mI  . 
Se o intervalo I for a união de um número finito de intervalos sem pontos 
comuns( embora possam ter pontos fronteiros comuns), isto é, 
1 2 3 pI I I I I    , então atribui-se a I a 
medida 1 1 1 pmI mI mI mI mI     . 
Se 1 2 3 pI I I I   e 1 2 3 .... rk k k k    forem duas decomposições 
diferentes do mesmo intervalo I em sub- intervalos sem pontos interiores comuns, 
é 1 1 1 1 2 3 ....p rmI mI mI mI mk mk mk mk        
 Definida a medida de um intervalo, vamos considerar o caso dos subconjuntos 
n que não são intervalos. Para maior simplicidade na análise vamos nos limitar 
aos casos dos conjuntos bidimensionais. 
Acompanhe! 
 
Seja S um subconjunto limitado de 2 , consideremos um intervalo I que contém 
o conjunto S.   , : ,I x y a x b c y b     . 
Escolhido natural n , dividimos ,a b e  ,c d em partes de amplitude
1
2n
. 
Traçando pelos pontos da divisão obtida, rectas paralelas aos eixos coordenados, 
obtêm-se uma decomposição do intervalo I em subintervalos que designaremos 
por nP . Quando em vez de n se tomar 1n cada subintervalo de nP decompõe-se 
em quatro subintervalos iguais e portanto obtém-se uma decomposição 1nP  mais 
fina do que o anterior. 
 
Designemos por  , nJ S P a 
reunião dos subintervalos de nP 
que apenas contém pontos 
interiores de S e por  , nJ S P a 
reunião dos subintervalos de 
nP que contém tanto pontos de S 
 
x 
y 
8 Lição no 1 
 
como da sua fronteira. No caso da 
figura ao lado  , nJ S P é 
representada pela região ponteada 
e  , nJ S P por essa e pela 
tracejada. 
 
Como  , nJ S P e  , nJ S P são reuniões de intervalos é possível, como acima 
se indicou, determinar as respectivas medidas ou áreas a que designemos por 
 , nJ S P e  , nJ S P . 
E como é evidente 
   , ,n nJ S P S J S P     , ,n nJ S P J S P  . 
Como podemos verificar, aumentando n , isto é, considerando decomposições 
sucessivamente mais finas do intervalo I, tem- 
se        1 1, , , ,n n n nJ S P J S P S J S P J S P       
De onde resulta        1 1, , , ,n n n nJ S P J S P J S P J S P       . 
Desta forma, caro estudante, quaisquer que sejam as decomposições P e Q do 
intervalo I que se considerem, é sempre    , ,J S P J S Q , o que significa 
que a área da parte de uma decomposição de I que apenas contém pontos 
interiores de S nunca excede a área da parte de qualquer decomposição que 
contém tantos pontos de S como da sua fronteira. 
Assim, ao crescer n indefinidamente, os números  , nJ S P formam uma 
sucessão monótona crescente limitada superiormente e, portanto, existe 
   lim , ,n
n
J S P J S Q

 . 
A este limite chama-se medida interior do conjunto S e designa-
se  lim ,i n
n
m S J S P

 . 
Veja que, da mesma forma, ao crescer n indefinidamente os números  , nJ S P 
formam uma sucessão monótona decrescente limitada inferiormente e, portanto 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 9 
 
existe o limite  lim , n
n
J S P

, ao qual se chama medida exterior de S e 
designa/se por  lim ,e n
n
m S J S P

 . 
Assim, qualquer conjunto limitado S de 2 tem a medida interior e medida 
exterior, as quais satisfazem a desigualdade i em S m S . 
Caso a medida interior seja igual a medida exterior então o conjunto S diz se um 
conjunto mensurável a Jordan de 2 (ou conjunto quadrável) e o número 
i emS m S m S  denomina-se área ou medida bidimensional de S. 
As conclusões anteriores estendem-se sem dificuldade ao espaço nR de 
dimensões superiores a 2. 
Assim, se S for um subconjunto limitado de Rn e nP designar uma decomposição 
de um intervalo I que contém S, chama-se medida interior de S ao 
limite:  lim ,i n
n
m S J S P

 e medida exterior  lim ,e n
n
m S J S P

 . 
Se i em S m S então S diz-se mensurável e a sua medida (n- dimensional) 
segundo Jordan é o número i emS m S m S  . 
No caso de 2 a medida dum conjunto é também denominada área e, quando 
existe, diz-se que o conjunto é quadrável. 
 De uma formar similar, em, 3 a medida é frequentemente chamada volume do 
conjunto e em caso de existência, diz-se que o conjunto é cubável. 
Vamos, em seguida, apresentar algumas propriedades com relação à medidas de 
um conjunto. 
Continue acompanhar a lição, caro estudante! 
Proposição: Um conjunto limitado S de n é mensurável- Jordan se e só se a sua 
fronteira tem a medida nula. 
Demonstração: 
Tomemos I um intervalo fechado que contém S e designemos por S a fronteira 
de S. Então, para qualquer decomposição nP de I, tem-se, 
     , , ,n n nJ S P J S P J S P         , , ,n n nJ S P J S P J S P   
10 Lição no 1 
 
Se S é mensurável, tem-se, 
     lim , lim , lim , 0n n n
n n n
J S P J S P J S P
  
    . O que significa que 
0em S  
Todavia, como 0 i em S m S    , resulta que 0m S  . Reciprocamente, se 
0em S  então  lim , 0n
n
J S P

  o que resulta que 
   lim , lim ,n n
n n
J S P J S P
 
 ou seja i em S m S , significando, portanto que S 
é mensurável. 
 
Em seguida vamos apresentar alguns exemplos. Acompanhe! 
 
 
Exemplo 
 
A medida de um conjunto constituído por um número finito de pontos é 
igual a zero. 
Prova: Suponhamos que o conjunto S é constituído apenas por um 
ponto e seja I um intervalo que contém S. qualquer que seja a 
decomposição de I que se considere, o ponto só pode, quando muito, 
pertencer a 2n subintervalo cuja área total tende a zero quando o número 
de subintervalo de decomposição tender para infinito. Donde por 
consequência segue que 0em S  e portanto 0mS  . E assim, como 
medida da reunião de um número finito de conjuntos com medida nula é 
nula, segue-se que um conjunto constituído por um número finito de 
pontos, portanto, tem medida nula. 
Definição: Uma superfície de R(n) diz-se superfície seccionalmente lisa( ou 
ainda lisa por secções ou ainda suave por partes) quando pode ser descrita por n 
funções 1 1( )x f t , 2 2 ( )x f t  , ( )n nx f t contínuas e com derivada 
contínua num intervalo  ,a b , excepto num número finito de pontos nos quais, 
todavia existem as derivadas laterais. 
Caríssimo estudante, a definição anterior cria condições para se enunciar a 
seguinte proposição 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 11 
 
Proposição: Uma superfície seccionalmente lisa de R(n) tem medida n-
dimensional nula. 
Em particular, toda a superfície lisa tem medida nula. De forma análoga, 
demonstra-se que 2 , tem a medida toda a curva lisa ( )y f x , a x b  ou 
( )x x t , ( )y y t , a x b  . 
Observe que a conjugação das duas proposições anteriormente apresentadas 
resulta na seguinte proposição 
Proposição: Uma região S de R(n) com fronteira seccionalmente lisa é 
mensurável- Jordan. 
 
Sumário 
Nesta lição foi apresentada a introdução do cálculo integral em R(n), onde se 
destaca as medidas de um conjunto em R(n) 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
Por ser uma lição basicamente teórica com carácter introdutório que tem 
como objectivo principal criar as condições para aprendizagem das lições 
subsequentes, não serão apresentados exercícios de auto - avaliação. 
 
 
12 Lição no 2 
 
Lição no 2 
Integração em intervalos fechados de 
R(n) 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar a integração em intervalos fechados deR(n) onde se 
vai destacar a definição do integral múltiplo segundo Riemann. Esta lição pode 
ser estudada em 1 hora e 30 minutos, incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir o integral múltiplo; 
 Enunciar as somas de Darboux; 
 Apresentar as condições de integrabilidade. 
 
Na lição anterior, você aprendeu as medidas de um conjunto. A seguir, vai 
aprender os pressupostos fundamentais para a integração em intervalos de R(n). 
Acompanhe! 
 
Integração em Intervalos Fechados de R(n) 
 
Seja 1 2( ) ( , , , )nf x f x x x  uma função definida e limitada no intervalo 
fechado I de R(n), definido pelos pontos 1 2( , , , )na a a a  e  1 2, , nb b b b  . 
Se para cada um dos intervalos unidimensionais  ,i ia b , 1, 2, ,i n  , se 
considerar uma partição iP em in subintervalo, então ao produto cartesiano 
1 2 nP P P P   , chama-se uma partição P do intervalo n-dimensional I. O 
intervalo I fica nessas condições decomposto em 1 2 .... nK n n n    de 
subintervalo n-dimensionais que designaremos genericamente por iI com 
1, 2, ,i k  . 
 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 13 
 
 
 
Na figura representa-se uma partição 
do intervalo I de 2 definida pelos 
pontos 1 2( , )a a a e  1 2,b b b 
resultante da partição 1P de  1 1,a b 
em 7 subintervalos e da partição 2P 
 2 2,a b em 5 subintervalos. 
 
 
Nota: Uma partição P do intervalo I diz-se mais fina que a partição P, ou que é 
um refinamento de P, quando P P 
 
Caro estudante, o conjunto de todas as partições possíveis de I representar-se-á 
por ( )P I . 
Ao máximo dos diâmetros de todos os subintervalos determinados por uma 
partição P chama-se norma dessa partição e representa-se por P . 
 A seguir, apresentamos a definição da soma de Riemann. Acompanhe! 
 
Definição1: seja f uma função definida e limitada no intervalo fechado de I de 
n . Se P é uma partição de I em k subintervalos 1I , 2I ,   , kI e em cada um 
destes se tomar um ponto arbitrário i it I  1,2,3, ,i k  a soma da 
forma  
1 1
, , ( )
k
i if P Q f t mI

 chama-se soma de Riemann da 
função f relativa à partição P considerada e ao conjunto Q dos pontos 
it escolhidos. 
 
A seguir apresentamos a definição do integral múltiplo segundo Riemann 
Definição2: seja f uma função definida e limitada no intervalo fechado de I de 
n . Diz-se que f é integrável a Riemann no intervalo I se existe um número 
1 2( , )a a 
 1 2,b b 
x 
y 
14 Lição no 2 
 
real A tal que para todo 0  existe uma partição P de I tal que para toda a 
partição P mais fina do que P é  , ,f P Q A   .O número A chama-se 
então o integral de Riemann de f sobre o intervalo I e representa-se por 
1 2 1 2( , , )n n
I
A f x x x dx dx dx        . 
Pode-se também dizer que o integral de f sobre o intervalo I é o limite das 
somas de Riemann  , ,f P Q quando a norma de partição tende para o zero, e 
escreve-se 
  1 2 1 2
0
lim , , ( , , )n n
P
I
f P Q A f x x x dx dx dx

       . 
O integral diz-se múltiplo sempre que 1n  , mas, quando 2n  ou 3n  utiliza-
se normalmente as designações Integral duplo e triplo respectivamente e escreve-
se ( , )
I
f x y dxdy e ( , , )
I
f x y z dxdydz 
 
Proposição: Se existir o integral, ele único. 
Demonstração: 
De facto se tanto A como A fossem integrais de f sobre I , então para todo 
0  existiria uma partição P tal que, para qualquer partição P mais fina que 
P , seria simultaneamente: 
 , ,
2
f P Q A

   e  , ,
2
f P Q A

   e portanto, 
   , , , ,A A A f P Q f P Q A       
   , , , ,
2 2
f P Q A f P Q A
 
         e, como A épsilon é 
arbitrário, necessariamente A A 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 15 
 
 
Somas de Darboux 
Caro estudante, como a função f que se está a considerar é, por hipótese, limitada 
no intervalo I, então o conjunto dos seus valores em cada subintervalo iI de 
qualquer partição de I admite ínfimo e supremo que representaremos por 
  inf
i
i
I
m f f e   sup
i
i
I
M f f , respectivamente. 
Definição: Chama-se soma superior de Darboux de f no intervalo I , relativa a 
uma dada partição P de I , à soma  
1
( , )
k
i i
i
S f P M f mI

  e soma inferior de 
darboux à soma  
1
( , )
k
i i
i
s f P m f mI

  
 
 
Nota 
 
Sendo limitadas inferiormente, as somas superiores admitem ínfimo, que se 
denomina Integral superior de f no intervalo I e representa-se por 
  1 2 1 2( ... ) inf ( , ) :n n
I
A f x x x dx dx dx S f P P P I       . 
De forma análoga, por serem limitadas superiormente, as somas inferiores 
admitem supremo que se denomina integral inferior de f no intervalo I e se 
representa por, 
  1 2 1 2... ( ... ) sup ( , ) :n n
I
A f x x x dx dx dx S f P P P I     
Em seguida, apresentamos algumas condições de integrabilidade de integrais 
múltiplos. Continue acompanhando, caro estudante! 
Condições de Integrabilidade de Integrais Múltiplos. 
Veja que algumas condições necessárias e suficientes para que uma função seja 
integrável num intervalo fechado. 
 
Proposição: Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja 
integrável à Riemann no intervalo fechado I de R(n) é que sejam iguais os 
respectivos integrais inferior e superior, isto é A = A 
16 Lição no 2 
 
 
Demonstração: 
Se f é integrável então existe um número real A tal que, qualquer que seja 
0  , é possível escolher uma partição P de I , de modo que para qualquer 
partição P mais fina e quaisquer it e it  de iI se tenha: 
1
( )
3
k
i i
i
f t mI A


  e 
1
( )
3
k
i i
i
f t mI A


   . Combinando as duas 
desigualdades tem-se: 
1
2
( ) ( )
3
k
i i i
i
f t f t mI 

  
  
Como  ( ) sup ( ) ( )i iM f m f f t f t   em iI , qualquer que seja 0h  é 
possível escolher it e it  de modo que  ( ) ( ) ( )i iM f m f f t f t h    . 
Ora, tomando 
3
h
mI

 vem: 
     
1
, , ( ) ( )
k
i
i
S f P s f P f t f t mI

  
 
1 1
( ) ( )
k k
i i
i i
f t f t mI h mI 
 
     
Portanto, dado 0  existe uma partição P tal que para P mais fina é 
   , ,S f P s f P   
e por consequência: 
   , ,A S f P s f P A      . 
Como  é arbitrário, resulta que A A . Mas o integral inferior nunca excede o 
integral superior, também se verifica a desigualdade oposta, segue-se que A A 
Caro estudante, vejamos o seu recíproco: 
Se o integral inferior é igual ao integral superior, isto é A A , então a função é 
integrável 
Demonstração: 
Tomando 0  , vamos escolher uma partição P do intervalo I de modo que 
para toda a partição P mais fina do que P seja  ,S f P A   . 
De forma análoga, vamos escolher uma partição P tal que se tenha para toda a 
partição P mais fina do que P  ,  ,s f P A   . 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 17 
 
Seja P a reunião das partições P  e P , isto é P P P     . Para qualquer 
partição mais fina do que P tem-se: 
     , , , ,A s f P f P Q s f P A        . 
Como A A , designando por A o seu valor comum pode, portanto, escrever-
se  , ,A f P Q A      ou seja  , ,f P Q A   , para P mais fina do 
que P , o que significa que, 
  1 2 1 2
0
lim , , ... ( , ... ) ....n n
P
I
f P Q A f x x x dx dx dx

    , o que prova que, de 
facto, existe o integral de Riemann de f em I e é igual ao valor comum A dos 
integrais inferior e superior. 
Caríssimo estudante, uma vez apresentada a demonstração da propriedade 
anterior, vamos em seguida apresentar um corolário, cuja demonstração é 
consequência da anterior. 
Corolário: Uma condição necessária e suficiente para que umafunção limitada 
f seja integrável a Riemann no intervalo fechado I que para cada 0  exista 
uma partição P do intervalo I tal que    , ,S f P s f P   para qualquer 
partição P mais fina que do que P . 
 
Proposição: Uma função contínua num intervalo fechado é integrável à Riemann 
nesse intervalo. 
Demonstração: 
Seja f contínua no intervalo fechado I . Como a continuidade em intervalo 
fechado uniforme então, escolhido 0  , existe 0  tal que 
   
2
f x f x
mI

   para quaisquer x e x tais que x x    . Se P for 
uma partição do intervalo de norma inferior a  , ter-se-á então para qualquer 
partição P mais fina do que P , 
   
2
i iM f m f
mI

  Multiplicando esta desigualdade pela medida do 
subintervalo iI e adicionando vem, 
18 Lição no 2 
 
   
1 12
k k
i i i i
i i
M f m f mI mI
mI

 
     ou seja, 
   , ,
2
S f P s f P

   , o que mostra que é satisfeita a condição de 
Riemann e, portanto, a função é integrável. 
 
Sumário 
Nesta lição, foram apresentados, basicamente, os pressupostos da integração em 
intervalos fechados, com destaque para a definição de integrais múltiplos, 
condições de Darboux e as condições de integrabilidade. 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
O carácter desta lição que você acaba de estudar, não difere da lição nº 1. 
Sendo assim, também não serão apresentados exercícios de auto - 
avaliação, contudo, aconselhamos a uma leitura cuidadosa das 
proposições e definições apresentadas visto que serão pressupostos 
fundamentais nas lições posteriores. 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 19 
 
Lição no 3 
O Integral duplo 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar os integrais duplos, concretamente o cálculo de 
integrais sucessivos, é uma lição que lhe vai proporcionar as técnicas de cálculo 
deste tipo de integrais, em extensão dos integrais simples. É uma lição que pode 
ser estuda em duas horas. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 Definir o integral duplo; 
 Calcular os integrais duplos por integração parcial. 
. 
 
Caro estudante, a definição de integrais múltiplas já foi apresentada na lição nº 2. 
A seguir, acompanhe o caso em que a medida de intervalo é área, isto é, quando 
2n  
 
Integral Dupla 
Vamos considerar uma função ( , )z f x y definida numa região fechada e 
limitada R do plano xy , como mostra a figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
( , )z f x y 
R 
z 
20 Lição no 3 
 
Traçando rectas paralelas aos eixos dos x e dos y, respectivamente recobrimos a 
região R por pequenos rectângulos (figura (a)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos, simplesmente os rectângulos kR que estão totalmente contidos em 
R, enumerando-os de 1 até n . 
Em cada rectângulo kR escolhemos um ponto arbitrário  ,k kx y e formemos a 
soma  
1
,
n
k k k
k
f x y A

 (1), 
 onde k k kA x y    é área do rectângulo kR 
Suponhamos, agora, que mais rectas paralelas aos eixos dos x e dos y são 
traçadas, tornando as dimensões dos rectângulos cada vez menores, como mostra 
a figura (b). 
Fazemos isso de tal maneira que o diâmetro máximo dos rectângulos kR tende 
para zero quando o n tender para o infinito. Nessa situação, se 
 
10
lim ,
n
k k k
n
kp
f x y A


 Existe, ele é chamado integral duplo de ( , )f x y sobre a 
região R. 
Denota-se por  
10
lim , ( , ) ( , )
n
k k k
n
k R Rp
f x y A f x y dA f x y dxdy


     
y 
(a) x 
R 
(b) 
x 
y 
R 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 21 
 
Caro estudante, uma vez definido integral duplo, na sua particularidade, vai, 
como é óbvio, ser apresentado em seguida, o sentido geométrico do integral 
duplo a semelhança ao que se fez em integrais simples (veja o módulo sobre o 
cálculo integral em R). Continue a acompanhar! 
Interpretação Geométrica do Integral Duplo 
 
Suponhamos que ( , )z f x y seja maior ou igual a zero sobre R, observando a 
figura seguinte, podemos observar que o produto  ,k kf x y A , representa o 
volume de um prima recto, cuja base é o rectângulo kR e cuja altura é a 
função  ,k kf x y . 
A soma de Riemann  
1
,
n
k k k
k
f x y A

 representa uma aproximação do volume 
da porção do espaço compreendido abaixo do gráfico de ( , )z f x y e a cima da 
região R do plano xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ( , ) 0f x y  , o integral ( , )
R
f x y dxdy representa o volume do sólido 
delimitado superiormente pelo gráfico de ( , )z f x y , inferiormente pela região 
R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R. 
( , )
R
V f x y dA  
 
Caro estudante, uma vez apresentada a interpretação geométrica do integral 
duplo, apresentamos em seguida as propriedades do mesmo. Acompanhe! 
 
 
x 
y 
( , )z f x y 
R 
z 
 ,k kz f x y 
 ,k kx y 
22 Lição no 3 
 
Propriedades do integral duplo 
 
1. ( , ) ( , )
R R
kf x y dA k f x y dA  , para todo k real. 
2.  ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA     
3. Se  ( , ) ( , ), , ( , ) ( , )
R R
f x y g x y x y R f x y dA g x y dA      
4. Se ( , ) 0f x y  para todo (x,y) pertencente a região R, então 
( , ) 0
R
f x y dxdy  
Se a região R é composta de duas sub-regiões 1R e 2R que não têm pontos 
comuns, excepto, possivelmente os pontos da sua fronteira então 
1 2
( , ) ( , ) ( , )
R R R
f x y dA f x y dA f x y dA    . 
Depois das propriedades dos integrais duplos, a seguir vai aprender o cálculo dos 
mesmos, começando com a integração sucessiva. 
 
Cálculo dos Integrais Duplo 
 
 Integração sucessiva 
O cálculo das integrais duplas é mais facilmente efectuado por integração parcial 
sucessiva, que é a inversa da derivação parcial. Isto é, para calcular um integral 
duplo, integra-se primeiro uma função de duas variáveis independentes com 
relação a uma delas, enquanto a outra é mantida constante. O resultado desta 
integração parcial é, então, integrado com relação à outra variável. Para isto, a 
integral dupla ( , )
R
f x y dydx ou ( , )
R
f x y dydx onde a e b são constantes, 
pode ser escrita como a integral iterada
( )
( )
( , )
g xb
a h x
f x y dy dx
 
 
  
  . 
Para calcular esta expressão, primeiro a função ( , )f x y é integrada parcialmente 
em relação a y e calculada para os limites apropriados. Do mesmo modo, 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 23 
 
( )
( )
( , )
g yb
a h y
f x y dxdy  ou 
( )
( )
( , )
g yb
a h y
f x y dx dy
 
 
  
  é integrada primeiro parcialmente, 
com relação a x, e, em seguida, com relação a y. 
Caro estudante, observe que se a ordem de integração for invertida, devem ser 
determinados novos limites de integração, isto é, 
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
g x g xb b
a h x g x a
f x y dydx f x y dydx    . 
 
Os limites de integração devem envolver apenas variáveis em relação às quais a 
integração ocorre subsequentemente, e os limites integração precisam de ser 
reescritos desta forma. 
Assim 
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
g x m yb d
a h x c n y
f x y dydx f x y dxdy    onde os novos limites de integração são 
determinados de maneira que, por exemplo, se ( )y g x então ( )x m y . 
Para funções de mais de duas variáveis, este processo pode ser generalizado 
usando integrais múltiplas. 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular o integral  
1 1
0 0
xy x y dxdy  
Resolução: 
     
1 1 1 1 1 1
2 2
0 0 0 0 0 0
11 2
3 2
0 0
3 2
xy x y dxdy xy x y dx dy x y xy dx dy
y x
x y dy
   
       
   
 
  
 
     

 
11 2 2 3
0 0
1
3 2 6 6 3
y y y y
dy
   
       
   
 . 
 Vamos apresentar mais um exemplo. Acompanhe! 
Calcular o integral
2
1
0
/
x
x
x ydydx  
24 Lição no 3 
 
Resolução:2 2 2 2
1
1 1 1 11 1 1 12
2 2 2 2
0 0 0 0
/ . 2
xx x x
x x x x
x
x ydydx dy dx x y dy dx x y dx
y

                          
       
11 3 5
22 2
0 0
4 1
2 2
5 5
x x dx x x
   
       
   
 
Antes de resolver os exercícios, apresentamos, em seguida, algumas actividades 
que lhe irão ajudar a desenvolver as suas habilidades de cálculo. 
 
 
Actividades 
 
Calcular os seguintes integrais: 
a)  
2 1
0 0
2x y dxdy  
b) 
4 2
1 1
x y
dydx
y x
 
 
 
  
 
 
Chave de correcção 
a) 4 b) 
21
ln 2
2
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu a definição do integral duplo, em particular, também 
aprendeu a integração parcial. 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 25 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
Caro estudante, em seguida presentamos os exercícios de auto -avaliação, 
para que possa consolidar as técnicas de cálculo de integrais sucessivos. 
1. Calcular os seguintes integrais 
a) 
21
0 0
x y
xe dydx  b)  
21 1 1
2 2 2
0 0
1
x
x y dydx

   c) 
21
2
1
y
y
x ydxdy

  
d)  
22
1 0
1
x
xy dydx  e)  
1 1
1 1
1
x
x
x y dydx

 
   f)  
3 2
2 2
0 1
x y xy dxdy  
g) 
 
4 2
2
3 1
dxdy
x y
  h) 
21 1
2 2
0 0
1
x
x y dydx

   i) 
21
0 0
x y
xe dydx  
j) 
 1 cos
2
0 1
a
r sen drd

 

  
 
 
Chave de correcção 
Exercício 1: 
a) 
1
2 
 
b) 6

 
 
b) 
14
15 
 
c) 
91
12 
 
e) -4 f) 24 
g) 
25
ln
24 
 
h) 6

 
i) 
1
2 j) 
34
3
a
 
 
 
 
 
26 Lição no 4 
 
Lição no 4 
Integração em Regiões Generalizadas 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar os integrais duplos, concretamente o seu cálculo em 
regiões mais generalizadas, esta lição vão levar -lhe a calcular os integrais em 
regiões não rectangulares. Esta lição pode ser estudada em duas horas e meia, 
incluindo a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
Calcular os integrais duplos em regiões mais generalizadas. 
. 
 
Estimado estudante, se a função a ser integrada não tem os limites previamente 
colocados, devemos representar as funções que determinam a região de 
integração, graficamente. 
 
1º Caso: A região R é do tipo I: a x b  e 1 2( ) (f x y f x  
A figura abaixo caro estudante, ilustra esse caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
x 
y 
2 ( )y f x 
1( )y f x 
a b 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 27 
 
Neste caso o integral duplo ( , )
R
f x y dydx é calculado através da seguinte 
integral iterada 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
f xb
R a f x
f x y dxdy f x y dy dx
 
  
  
   
Apresentamos, em seguida, um exemplo. Acompanhe! 
 
28 Lição no 4 
 
 
Exemplo 
 
Calcular  
R
x y dxdy , onde R é o domínio limitado pelas 
curvas
2y x e 2y x 
Calcular 
 
Resolução. 
Vamos começar por representar a região de integração graficamente 
 
y = 2x
 
Assim, os limites de integração serão aqueles que limitam a área a 
tracejada. Desta forma: 
0 2x  e 
2 2x y x  
Nesta condição teremos 
   
2 2
22 2 2 2
0 0
2
xx
R x x
y
x y dxdy x y dy dx xy dx
   
       
    
    =
   
2
2 2 4
0
1
2 4
2
x x x x x dx
 
    
 
2 2
2 3 2 4 2 3 4
0 0
2
3 4 5
0
1 1
2 2 4
2 2
4 1 1 52
3 4 10 15
x x x x dx x x x dx
x x x
   
            
 
     
 
 
 
 
2 
4 
 
2y x
2y x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 29 
 
2º Caso: A região R é do tipo II: c y d  e 1 2(y) (y)g x g  
 
A figura abaixo, ilustra esse caso. Observe! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, de modo análogo ao 1º caso, temos 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
g yd
R c g y
f x y dxdy f x y dx dy
 
  
  
   
Para uma melhor percepção, tomemos o exemplo anterior, bastando, para tal, 
inverter a ordem de integração, isto é, integrar primeiro em ordem a x e depois 
em ordem a y 
Assim, devemos usar como limites: 
2
y
x y  e 0 4y  . Assim o integral 
fica: 
   
4 4 42 2
0 0 0
22
1
2 2 4 2
yy
yyR
x y y
x y dxdy x y dx dy yx dy y y y dy
 
       
                      
    
 
=
4 4 32 2
2 2
0 0
1 1 5
2 8 2 2 8
y y
y y y dy y y y dy
  
       
   
  
=
452
3 2
0
5 2 5.64 2.32 40 64 52
4 4
4 24 5 24 5 3 5 15
y
y y
 
          
 
 
Como pode observar, obtemos o mesmo resultado 
 
 
 
 
 
 
 
c 
y 
x 
2 ( )x g y
 
R 
1( )x g y 
d 
30 Lição no 4 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
Calcular  2
R
x y dA , onde R é a região limitada pelas 
parábolas 22y x e 21y x  
 
Chave de correcção 
Resolução: 
Vamos representar, em primeiro lugar, o gráfico que representa o domínio. Trata-
se de duas funções quadráticas, que julgamos não haver dificuldades para 
construir. Acompanhe! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que as parábolas se intersectam 
quando 2 22 1x x  , ou seja 1x   . Note que a 
região é do tipo I e podemos escrever 
que,   2 2, : 1 1, 2 1D x y x x y x       
Como a fronteira abaixo é parábola 22y x e a 
cima 21y x  o integral fica: 
   
2
2
1 1
1 2
2 2
x
R x
x y dA x y dydx


      
 
 
2
2
2
2
1 1 1
12
2
1 12
2
x
x
x
x
x y dy dx xy y dx


 
 
      
  
   
       
1
2 22 2 2 2
1
1 1 2 2x x x x x x dx

        
 
1
4 3 2
1
3 2 1x x x x dx

      
5 4 2
13
1
2
3
5 4 3 2
x x x
x x

     
32
15
 
Caro estudante Vamos apresentar mais um exemplo onde, desta vez, teremos uma 
região do tipo II. 
2 
-1 1 
1 
2 
x 
y 
2y 1 x  
22y x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 31 
 
 
Exemplo 3 
 
Calcular 
D
xydA , onde D é a região limitada pela recta 1y x  e pela 
parábola 2 2 6y x  
Comecemos por apresentar geometricamente o domínio D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a parábola 2y 2 6x  e a recta 1y x  se intersectam 
quando  
2
1 2 6x x   , ou seja 1x  ou 5x  . Assim, a intersecção 
é nos pontos  5, 4 e  1, 2  . Note que a região é do tipo II e 
podemos escrever que,   2
1
, : 1 4, 3 1
2
D x y y y x y
 
        
 
 
 
 
D
xydA 
2
2
114 4
2
1
1 32 23 2
2
1
2
yy
y
y
xydxdy y x dy

 
 
   
  
 
24
2 2
1
1 1
1 3
2 2
y y y dy

  
     
   

4
3 2 5 3
2
1 1
2 3 9
2 4
y y y y y y dy

 
      
 
 =
4
5 3 2
2
1 1
4 2 8
2 4
y y y y dy

 
    
 
 
4
6 4 3 2
2
1 1 2
4
2 24 3
y y y y

 
      
1 4096 256 128 64 16
64 16 16
2 24 1 3 24 3
  
           
  
 
=
1 4032 144
192
2 24 3
 
   
 
=
1 512 144
192
2 3 3
 
   
 
 
1 368
192
2 3
 
   
 
1 368 576 208 104
2 3 6 3
  
   
 
 
 
Caro estudante, quando fizemos a interpretação geométrica do integral duplo 
dissemos que ele representa o volume do sólido delimitado superiormente pelo 
gráfico de ( , )z f x y , inferiormente pela região R e lateralmente pelo 
5 
6 
-3 
6 
4 
-2 
32 Lição no 4 
 
“cilindro” vertical cuja base é o contorno de R. veja, em seguida, o exemplo do 
cálculo de volume. 
 
 
Exemplo 
 
Determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos 2 2x y z   , 
2x y , 0x  e 0z  . 
Solução: caro estudante, numa questão como esta, é prudente desenhar 
dois diagramas: um no plano tridimensional e outo da região R sobre o 
qual o sólido se encontra. 
A figura1 mostra o tetraedro T limitado 
pelos planos coordenados 0x  , 0z  , 
plano vertical 2x y e plano 
2 2x y z   . Como 
2 2x y z   interceptao plano 
xy (cuja equação é 0z  ) na recta 
2 2x y  , vemos que T está acima da 
região triangular R no plano xy limitado 
pelas rectas 2x y , 2 2x y  e 
0x  (Veja a Figura 2). 
O plano 2 2x y z   pode ser escrito 
como 2 2z x y   , então o volume 
pedido está sob o gráfico da função 
2 2z x y   e a cima 
 , : 0 1, 1
2 2
x x
D x y x y
 
      
 
 
 
 
Portanto,    
1
1 2
0
2
2 2 2 2
x
xR
v x y dA x y dydx

        
1
1
2 2
20
2
x
y
x
y
y xy y dx
 

     21 2 4
0
2 1 1
2 2 2 4
x x x x
x x x dx
    
            
     
 
T 
x 
y
z 
( 0 , 1 , 0 ) 
1
(1 , , 0 )
2
 
2x y z   2x y 
T 
(0, 0, 2) 
Figura 1 
 
1
( 1 , )
2
 
2 2x y  
R 
y 
Figura 2 
2
x
y  
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 33 
 
 
11 3
2 2
0 0
1
2 1
3 3
x
x x dx x x

      


 
Antes de iniciar com a resolução de exercícios, resolva a seguinte actividade 
 
 
 
Actividade 
 
2
R
ydxdy , R a região delimitada por 
2y x e 3 2y x  
Chave de correcção 
j 
4
5
 
Sumário 
Nesta lição você aprendeu o cálculo de integrais duplos em regiões mais 
generalizadas e aplicação da interpretação geométrica dos integrais duplos no 
cálculo de volumes. 
34 Lição no 4 
 
Exercícios 
 
Auto-avaliação 
 
Em seguida, vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, para que 
possa consolidar o cálculo de integrais duplos. 
1. Calcule os seguintes integrais nos domínios indicados 
a) 
D
xdxdy , Sendo D o domínio delimitado por y x  , 4y x e 
3 5
2 2
y x  
b) 2 2
D
x y dxdy , onde D é o triângulo com vértices nos pontos 
     0,0 1, 1 1,1e 
c) 2 2
D
xdxdy
dxdy
x y , onde D é o segmento parabólico limitado pela parábola 
21
2
y x e pela recta y x . 
d) cos
R
x ydA onde R é limitado 
20 , , 1y y x x   
e) 3
R
y dA R, é a região triangular com vértice    0,2 1,1 e  3,2 
f)  2
R
x y dA R é limitada pelo círculo de raio igual a 2. 
g)  8
R
x y dxdy  onde R é a região delimitada por 
2y x e 4y  
h)  2 2
R
x y dxdy , onde R é limitado por y x 4x  e 0y  
i) 
2
2
R
x
dxdy
y
 R é a região delimitada por 
1
,y x y
x
  e 2x  
 
 
2. Inverter a ordem de integração 
a) 
4 2
0 0
( , )
y
f x y dxdy  b) 
2
3
1
0
( , )
x
x
f x y dydx  c) 
2
1 0
( , )
xe
f x y dydx  
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 35 
 
d) 
23 2 3
1 0
( , )
x x
f x y dydx
  

  
3. Determine o volume do sólido. 
a)Abaixo do plano 2 0x y z   e acima da região limitada por y x e 2y x 
b) Abaixo da superfície z xy e acima do triângulo com vértices em 
 1,1 ,  4,1 e  1,2 
c) Limitado pelos planos 0 , 0 , 0x y z   e 1x y z   
d) Delimitado pelos cilindros 2z x , 2y x e pelos planos 0z  e 4y  . 
4. Calcule o integral trocando a ordem de integração 
a) 
2
1 3
0 3
x
y
e dxdy  b) 
2
3 9
2
0
cos
y
y x dxdy  c) 
1 2
2
0
cos 1 cos
arcseny
x x dxdy

  
Chave de correcção 
Exercício 1: a) 0 b) 
6

 c) ln 2 d) 
1 cos1
2

 e) 
147
20
 
f) 0 g) 
896
15
 h) 
4288
105
 i) 
9
4
 
 
Exercício 2: 
a) 
2 4
0 2
( , )
x
f x y dydx  b) 
31
0
( , )
y
y
f x y dxdy  
 c) 
22 2
0 1 0 ln
( , ) ( , )
e e
y
f x y dxdy f x y dxdy    d) 
1 44
0 1 4
( , )
y
y
f x y dxdy
 
 
  
Exercício 3: a) 
7
18
 b) 
31
8
 c) 
1
6
 d) 
128
15
 
 
 
 Exercício 4 
a) 
 9 1
6
e 
 b) 
1
81
4
sen c) 
2 2 1
3

 
 
 
 
36 Lição no 5 
 
Lição no 5 
Integrais duplos em Coordenadas 
Polares 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar o cálculo dos integrais duplos em coordenadas 
polares, trata-se de um método muito eficiente na resolução de exercícios que 
envolvem círculos. Esta lição pode ser estudada em duas horas e meia, incluindo 
a resolução de exercícios. 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 Trocar variáveis em integrais duplos; 
 Calcular os integrais duplos em coordenadas polares. 
 
 
 Caro estudante, antes de estudar a mudança em coordenadas polares, vamos 
apresentar, em seguida, a maneira como é feita a troca de variáveis em integrais 
duplos. Esse tratamento, também é extensivo para outro tipo de integrais que 
serão objecto de estudo neste módulo. Continue acompanhando. 
Mudança de Variáveis em Integrais duplos 
Na integração de funções de uma variável, a fórmula de mudança de variável ou 
substituição é usada para transformar um integral dado em um ouro mais simples. 
Temos 
 ( ) ( ) ( )
b d
a c
f x dx f g t g t dt  onde ( )a g c e ( )b g d . 
Quando utilizamos essa fórmula para calcular um integral definido, a mudança de 
variável vem acompanhada por correspondente mudança de limites de integração. 
Para integrais duplos, podemos utilizar um procedimento análogo. Através de 
mudança de variáveis, ( , )x x u v e ( , )y y u v (1). 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 37 
 
Uma integral dupla sobre uma região R do plano xy pode ser transformada numa 
integral dupla sobre a região R do plano uv . 
Geometricamente, podemos dizer que as equações (1) definem uma aplicação ou 
transformação que faz corresponder pontos ( , )u v do plano xy . 
Através dessa aplicação, a região Rdo plano uv é aplicada sobre a região R do 
plano xy. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Se a transformação leva pontos distintos de R em pontos distintos de R, dizemos 
que ela é uma aplicação de um para um. Nesse caso, a correspondência entre R 
e R é bijectiva, e podemos retornar de R para R através da transformação inversa 
( , )u u x y e ( , )v v x y (2). 
Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais 
contínuas em R e R, respectivamente, temos: 
 
( , )
( , ) ( , ), ( , )
( , )
R R
x y
f x y dxdy f x u v y u v dudv
u v


 
 (3) 
Onde 
( , )
( , )
x y
u v


é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por 
( , )
( , )
x x
x y u v
y yu v
u v
 
  

 
 
 
Observamos que se valem as condições de que, 
 f é continua: 
 As regiões R e R são formados por um número finito de sub-regiões do 
tipo I ou II; e 
 X=x (u,v) 
 Y=y (u,v) 
 
X 
R 
v 
u U 
V 
R 
Y 
x 
y 
38 Lição no 5 
 
 O jacobiano 
( , )
0
( , )
x y
u v



em R ou se anula num número finito de 
pontos de R , a formula (3) é válida. 
O jacobiano que aparece em (3) pode ser interpretado como uma medida de 
quanto a transformação (1) modifica a área de uma região. 
 
 Antes de iniciar o cálculo, apresentamos uma ideia geral sobre as coordenadas 
polares, pese embora não faça parte deste programa, mas pela sua relevância 
julgamos oportuno abordar este tópico, mesmo que superficialmente. 
Coordenadas Polares 
Um sistema de coordenadas polares representa um ponto no plano por um par 
ordenado de números chamados coordenados. 
Escolhemos um ponto no pano conhecido como polo (ou origem) e denominamos 
O. Então desenhamos um raio (semi-recta) começando em O, chamado eixo 
polar. Esse eixo é geralmente desenhado horizontalmente para a direita e 
corresponde o eixo x positivo nas coordenadas cartesianas. 
Se P for qualquer outro plano, seja r a distância de O a P e seja  o triângulo 
(geralmente medido em radianos) entre o eixo polar e a recta OP veja a figura 1. 
Daí o ponto P é representado pelo par ordenado  ,r  e r,  denominadas 
coordenadas polares de P. Usamos a convenção de que um ângulo + e positivo se 
for medido no sentido anti-horário a partir do eixo polar e negativo se for medido 
no sentido horário. Se P O então 0r  , e concordamos que  0, representao polo para qualquer valor de . 
Estendemos o significado de coordenadas polares para o caso no qual r é negativo 
concordando que, como na figura 2, os pontos  ,r  e  ,r  estão na mesma 
recta através de O e estão à mesma distância r a partir de O, mas em lados 
opostos de O. Se 0r  , o ponto  ,r  está no mesmo plano quadrante que  ; se 
0r  , ele está no quadrante do lado oposto ao polo . Note que  ,r  representa 
o mesmo ponto que  ,r  
 P  ,r r 
 
Eixo polar 
Fig. 1 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A relação entre as coordenadas polares e rectangulares pode ser vista a partir da 
figura 3, no qual o polo corresponde a origem e o eixo polar coincide com o eixo 
positivo x. se o ponto P tiver coordenadas cartesianas  ,x y e coordenadas 
polares  ,r  , então a partir da figura temos_ 
 
 
 
 
 
 
 
cos
x
r
  e 
y
sen
r
  logo: 
cosx r  e y rsen 
Para se achar o raio r e o triângulo 
 , 
faz-se a partir do teorema de 
Pitágoras 2 2 2r x y  e 
y
tg
x
  , 
respectivamente. 
 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares 
Suponhamos que queremos calcular o integral duplo ( , )
R
f x y dxdy onde R é 
uma das regiões mostradas nas figuras abaixo. 
 
Em qualquer dos casos, a descrição de R é complicada em coordenadas 
rectangulares, mas a descrição de R fica mais facilitada utilizando-se as 
coordenadas polares. 
Na figura1 :   , :1 2, 0R r r       
Na figura 2:   , :0 1, 0 2R r r       
 
 
R 
x 
y 
Fig. 1 
R 
Fig. 2 
  
 ,r  
Eixo polar 
 P  ,r 
Fig. 2 
x 

y 
r 
P  ,r  =P 
40 Lição no 5 
 
Queremos lembrar que as coordenadas polares  ,r  de um ponto estão 
relacionadas com as coordenadas rectangulares  ,x y pelas equações: 
2 2 2r x y  , cosx r  e y rsen 
Como foi visto anteriormente. 
O determinante jacobiano, nesse caso, é dado por: 
cos cos( , )
cos( , )
x x
rx y r
r
y y sen rr
r
 
 

 
  
  
 
 
 e a fórmula (3) pode se expressar 
por    ( , ) cos , cos ,
R R R
f x y dxdy f r rsen r drd f r rsen rdrd     
 
    
Caro estudante, observa que, para fazer com que a transformação anterior seja 
injectiva considera-se, em geral, apenas regiões do plano r para os quais r e  
satisfaçam, 0r  e 0 2   ou 0r  e      . 
Depois da parte teórica acompanhe o seguinte exemplo sobre a mudança para as 
coordenadas polares. 
 
Exemplo 
 
1. Calcular 2 2
R
x y dxdy , sendo R o círculo de centro na 
origem e raio 2. 
Resolução: Para resolver o integral, vamos utilizar as coordenadas 
polares. Para isso, devemos identificar a região R , no plano r , que está 
em correspondência com a região R 
 
Na figura (a) abaixo verificamos a região R e a circunferência 2 2 4x y  que 
em coordenadas polares, tem 2r  . Recorde que a equação da circunferência 
é    
2 2 2x a y b R    
 
 
 
 
R 
2 
y 
(a) 
R 
2 
y 
(b) 
 
r 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 41 
 
 
 
Para identificar a região r , podemos desenhá-la num plano r ou 
simplesmente, descrevê-la analiticamente, a partir da visualização da região R no 
plano xy. 
Observando a figura (b), vemos que a região R é dada por 
  , : 0 2 ,0 2R r r        que nesse caso é um rectângulo no 
plano r . 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o integral vem 
   
2 22 2 cos
R R
x y dxdy r rsen rdrd  

    
2 2
2 2 2 2
0 0
cosr r sen rdr d

  
 
  
 
 
2 2
2 2 2 2
0 0
cosr r sen rdr d

  
 
  
 
  
22 2 2 3
2
0 0 0 0
3
r
r dr d d
 
 
  
   
 
   
2
2
0
0
8 8 16
3 3 3
d


     
 
2. Calcular 
2 2x y
R
e dxdy , onde R é a região do plano xy delimitada por 
2 2 4x y  e 2 2 9x y  
Resolução 
Vamos, primeiro, apresentar geometricamente o domínio de existência 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em coordenadas polares, as equações das circunferências que delimitam R são 
dadas por 2r  e 3r  . 
2 
2 
R 
R 
2 3 
42 Lição no 5 
 
 
  , : 2 3 ,0 2R r r        logo, 
2 2 2 2 2 2cosx y r r sen
R R
e dxdy e rdrd   

 
 
2 2
2 3 2 2
2
0 2 0 0
1
2
r re rdr d e d r d
 
 
  
    
   
    
 
2
32 2
9 4
0 02
1 1
2 2
re d e e d
 
   
      
29 4 9 4
0
1
2
e e e e

     
Caro estudante, para terminar este ciclo de exemplos, vamos apresentar o caso em 
que o centro da circunferência não se encontra na origem dos eixos. Continue 
acompanhando! 
3. Calcular 
R
ydxdy , sendo R a região delimitada por 
2 2 0, 0x y ax a    . 
Resolução: vamos primeiro transformar a circunferencial dada para a 
forma    
2 2 2x a y b R    . 
Assim 2 2 0x y ax   2 2 0x ax y   
2 2
2 2 0
2 2
a a
x ax y
   
        
   
2 2
2
2 2
a a
x y
   
     
   
. Esta circunferência 
tem o centro em , 0
2
a 
 
 
 e raio
2
a
. 
Em coordenadas polares, a equação da circunferência que delimita R é dada por: 
2 2
2
2 2
a a
x y
   
     
   
2 2
2 2cos
2 2
a a
r r sen 
   
      
   
 
2 2
2 2 2 2cos cos
2 2
a a
r ar r sen  
   
       
   
 
2 cos 0r ar     cos 0r r a    cosr a   
 
 
 
y 
a
 
2
a
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 43 
 
 
 
 
Observando o gráfico, pode verificar que: 
 , : 0 cos ,
2 2
R r r a
 
  
 
       
 
Portanto, 
.
R R
ydxdy rsen rdrd 

 
cos2
2
0
2
a
sen r dr d



 

 
  
 
  
cos
32
2 0
3
a
r
sen d


 


 


3 3 42 2
3
22
cos
cos 0
3 3 4
a a
sen d
 


  


   


 
 
 
Calcular passando pelas coordenadas polares 2 2
R
x y dxdy onde R a região 
delimitada por 2 2 1x y  e 2 2 9x y  . 
 
Chave de correcção 
52
3
 
 
 
Sumário 
Nesta lição você aprendeu a mudança de coordenadas generalizada e o cálculo de 
integrais duplos em coordenadas polares. 
 
 
x 
 
Actividade 
 
44 Lição no 5 
 
Exercícios. 
 
Auto-avaliação 
 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volte a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
1. Passando pelas coordenadas polares, calcular os seguintes integrais 
a)  
244
2 2
0 0
y y
x y dxdy

  b) 
2
2
2 4
2 4
x
x
ydydx

  
  
c) 
21 1
1 0
x
ydydx


  d) 
2
1
0 0
y y
yxydy

  
e) 
2
2
1 1
2 2
1 1
1
x
x
x y dydx

  
   f) 
2
2
0
y y
y
xdxdy

  
2. Calcular 
 2 22 x y
R
e dxdy

 onde R é o círculo 
2 2 4x y  
3. Calcular 
R
xdxdy sendo a região delimitada por 
2 2 4 0x y x   
4. Calcular  2 2
R
x y dxdy , sendo R a região interna à circunferência 
2 2 4x y y  e 2 2 2x y y  . 
5. Calcular 
R
ydxdy , sendo R a região delimitada por y x , 2y x , 
24y x  . 
6.Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por 
2 24 2 2z x y   
7. Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por 2y z  e 
pelo cilindro que contorna a região delimitada por 2y x e 2x y 
 
 
 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 45 
 
Chave de correcção 
Exercício 1 
a) 12 b) 0 c) 
2
3
 d) 
16

 e) 
2
3
 f) 
4 2
3
 
Exercício 2: 8 1
2
e

   Exercício3: 8 
Exercício 4: 
45
2
 Exercício 5: 
4 2 8 5
3 15
 Exercício 6: 4 
Exercício 7: 
31
60
 
 
 
 
46 Lição no 6 
 
Lição no 6 
Aplicações de integrais duplos no 
cálculo de áreas de figuras planas. 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar algumas aplicações dos integraisduplos no cálculo 
de áreas de figuras planas, bem como na resolução de alguns problemas em física. 
Esta lição pode ser estudada em 2 horas, incluindo a resolução de exercícios. 
 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Calcular as áreas de figuras planas; 
 Calcular o momento da massa em relação ao eixo x e y; 
 Achar o centro da massa. 
 
 
Caro estudante, algumas aplicações dos integrais duplos foram já apresentadas 
nas lições anteriores, como é o caso do cálculo de volumes. Nesta lição, vai 
estudar outras aplicações, começando com o cálculo das áreas. 
Acompanhe! 
Cálculo de Áreas em Figuras planas 
Caro estudante, se na expressão ( , )
R
f x y dA fizermos ( , ) 1f x y  , obtemos 
R
dA , que nos dá a área da região de integração R. se tivermos uma região do 
tipo I como mostra a figura abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
1( )f x 
2 ( )f x 
R 
x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 47 
 
Podemos escrever  
22
1 1
( )( )
2 1
( ) ( )
( ) ( )
f xf xb b b
R a f x a af x
dA dydx y f x f x dx        
Acompanhe o exemplo que se segue. 
 
 
Exemplo 
 
1. Calcular a área da região limitada por 2 1x y  e 
3x y  . 
Resolução: primeiro apresentamos geometricamente a região delimitada pelas 
duas funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este integral é facilmente resolvível considerando uma região do tipo II 
Assim: 
  2, : 2 1 , 1 3R x y y y x y        
Desta forma, a área pedida é: 
2 2
3 31 1
2 21 1
y y
R y y
dA dxdy dx dy
 
  
 
  
 
 
      2
1 1
3 2
1
2 2
(3 1)
y
y
x dy y y dy


 
      
 
1
2
2
2 y y dy

  
12 3
2
2
2 3
y y
y


   

1 1 8
2 4 2
2 3 3
   
         
   
 
7 10 7 20 27 9
6 3 6 6 2

     
 
3 
1 
-2 
3 1 
2 1x y  
3x y  
48 Lição no 6 
 
2. Calcular a área da região limitada por 3y x , y x  e 
2 20
3 3
y x  
Resolução: 
 Afigura abaixo, mostra a região em análise. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a região R, verificamos que estamos diante de uma região que deve 
ser particionada em duas sub-regiões 1R e 2R . Por exemplo, podemos escolher o 
eixo dos y como fronteira dessas regiões. Então temos, 
 1
2 20
, : 4 0,
3 3
R x y x x y x
 
        
 
 
  32
2 20
, : 0 2,
3 3
R x y x x y x
 
      
 
 
Desta forma, calculando a área pedida vem: 
3
1 2
2 20 2 20
0 23 3 3 3
4 0
x x
R R R x x
dA dA dA dydx dydx
 
 
          
2 2 0
3 3
y x 
- 
4 
-4 
8 
y 
2 x 
y x  
3y x 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 49 
 
3
0 2 2 202 20
3 33 3
4 0
xx
x x
y dx y dx



  
       
 
0 2
3
4 0
2 20 2 20
3 3 3 3
x x dx x x dx

   
        
   
 
20 2 4
4 0
5 20 20
3 3 3 3 4
x x
x dx x

  
       
   

0
2
4
5 20 4 40
4
6 3 3 3
x x

   
         
 
40 80 44 84 72
4 4
3 3 3 3 3
       
 
Em seguida, apresentamos uma actividade resolva-a. 
 
Calcula a área limitada pelas equações 2 2 16x y  e 2 4x y  
 
Chave de Correcção: 
343
12
 
 
Sumário 
Nesta lição, você aprendeu aplicações do integral duplo e no cálculo de áreas de 
figuras planas. 
Exercícios 
Terminada a parte teórica vamos apresentar os exercícios de auto-avaliação, 
resolva-os. Em caso de dificuldades, volta a estudar a lição e os exemplos 
apresentados. 
 
1. Calcular a área da região R delimitada pelas curvas 
3 , 2 , 0y x x y y    
2. Calcular a área da elipse 2 24 4 0x y x   
3. Calcular a área da região do 1º quadrante delimitada pelas curvas 
2 8 , 6 , 0y ax x y a y    
4. Calcular a área da região delimitada por 24y x  , y x e 2y x 
5. Calcular a área limitada pelas curvas 2 2y x e y x 
Calcular a área limitada pelas curvas cos ,y x y senx  e 
 
 
Actividade 
 
50 Lição no 6 
 
Chave de correcção 
Exercício 1: 
3
4
 Exercício 2: 2 Exercício 3: 
14
3
 
Exercício 4: 2 2
2
arctag

 Exercício 5: 
1
15
 Exercício 6: 
1
35
 
 
Em seguida, vamos apresentar algumas aplicações na área de física. Continue 
acompanhando a lição, caro estudante. 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 51 
 
Lição no 7 
Aplicações de integrais duplos na 
física 
Introdução 
Nesta lição, você vai estudar algumas aplicações de integrais duplos na resolução 
de alguns problemas em física. Esta lição pode ser estudada em 2 horas, incluindo 
a resolução de exercícios. 
 
Ao completar a lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
 Calcular o momento da massa em relação ao eixo x e y; 
 Achar o centro da massa. 
. 
 
Aplicações Físicas 
Usando as integrais duplas, podemos encontrar a massa, o centro da massa e o 
momento da inercia de uma lâmina plana não homogénea, com a forma de uma 
região R e com densidade de área em um ponto  ,x y de R dada pela função 
contínua  ,x y . 
Para encontrar a massa total da lâmina, vamos fazer uma partição como foi feito 
na definição do integral duplo. Seja kR um rectângulo genérico dessa partição 
com área kA . Um valor aproximado da massa desse rectângulo pode ser 
expresso por  ,k k kx y A  , onde  ,k kx y é um ponto qualquer do rectângulo 
kR . 
Um valor aproximado da massa total da lâmina pode ser expresso pela soma de 
Riemann da função  ,x y  sobre R: 
 
1
,
n
k k k
k
x y A

 . (1) 
52 Lição no 7 
 
A massa total da lâmina é definida pelo limite da soma (1) quando n  e a 
diagonal (diâmetro) máxima dos kR tende para zero: 
 
1
lim ,
n
k k k
n
k
M x y A


  ou  ,
R
M x y dA  (2) 
O momento da massa do k- ésimo rectângulo em relação ao eixo é dado por 
 ,k k k ky x y A  . 
Assim, o momento de massa em relação ao eixo x é dado 
por  
1
lim ,
n
x k k k k
n
k
M y x y A


  ou  ,x
R
M y x y dA  (3) 
Analogamente, obtêm-se o momento de massa em relação ao eixo y. 
 ,y
R
M x x y dA  (4) 
O centro de massa, denotado por  ,x y é definido por, 
yMx
M
 e x
M
y
M
 (5) 
Outro conceito muito usado nas aplicações físicas é o de inercia, que pode ser 
interpretado como uma medida da capacidade do corpo de resistir a aceleração 
angular em torno de um eixo L. 
Momento de inércia em relação ao eixo x é, 
 2 ,x
R
I y x y dA  (6) 
Momento de inércia em relação ao eixo y é, 
 2 ,y
R
I x x y dA  (7) 
Momento de inércia polar é dado por 
   2 20 ,
R
I x y x y dA  (8) 
Observe que 
 
 Curso de licenciatura em Ensino Matemática 53 
 
Os valores 2y , 2x e 2 2x y são “ distâncias ao quadrado”, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
2
kx Quadrado da distância de kP ao eixo y; 
2
ky  Quadrado da distância de kP ao eixo x ; 
2 2
k kx y  Quadrado da distância de kP a origem 
 
 Em seguida, apresentamos um exemplo de uma aplicação em física. Continue 
acompanhando, caro estudante: 
 
Exemplo 
 
1. Determinar o centro da massa de uma chapa homogénea 
formada por um quadrado de lado 2a , encimado por um 
triângulo isósceles que tem por base o lado 2a e por altura 
a . 
 
Resolução: 
Vamos primeiro desenhar a chapa 
alocada num sistema de 
coordenadas, como mostra a 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a chapa é homogénea e está 
alocada simetricamente em 
relação ao eixo dos y, vamos 
trabalhar somente com a metade 
da região descrita 
 
 
 
ky 
y 
x 
kx 
kP 
3a 
a 
2a 
a 
 x 
y 
3y a x  
3a 
a 
2a 
a 
-a x 
y 
54 Lição no 7 
 
  , : 0 , 0 3R x y x a y a x      
Vamos, inicialmente calcular a massa total da chapa, usando a fórmula dada e 
considerando a densidade linear  ,x y k  , pois a chapa é homogénea. 
Assim