Cálculo 3 cal3na a22 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 22
Teorema de Green.
Se C e´ uma curva fechada, positivamente orientada e limitando uma regiaˆo R, enta˜o∮
C
~F · d~r =
∫∫
R
rot ~FdA ou seja
∮
C
Mdx+Ndy =
∫∫
R
(Nx −My)dA.
Exemplo 1 (reduz uma integral de linha complicada a uma
integral dupla simples) Calcular a integral∮
C
y e−x dx+
(
1
2
x2 − e−x
)
dy
onde C = c´ırculo unita´rio com centro em (2, 0) orientado no
sentido anti-hora´rio
Soluc¸a˜o. Seja R = disco unita´rio centrado em (2, 0). Enta˜o∮
C
y e−x dx+
(
1
2
x2 − e−x
)
dy =
∫∫
R
Nx −MydA =
∫∫
R
(x+ e−x)− e−x dA =
∫∫
R
xdA.
Essa u´ltima integral e´ o momento de massa de R em relac¸a˜o a Oy, e portanto e´ igual a
a´rea×x¯ = 2pi (o ca´lculo direto da integral de linha provavelmente envolveria a substituic¸a˜o
x = 2 + cos θ, y = sen θ, mas os ca´lculos ficam realmente complicados.) �
Aplicac¸a˜o
Prova do crite´rio para campos gradientes.
Teorema 1 Se ~F = Mıˆ + Nˆ e´ definido e continuamente diferencia´vel em todo o plano,
enta˜o Nx = My ⇒ ~F e´ conservativo (⇔ ~F e´ um campo gradiente).
Demonstrac¸a˜o. Se Nx = My enta˜o por Green,
∮
C
~F · d~r = ∫∫
R
rot ~FdA =
∫∫
R
0 dA = 0.
Enta˜o ~F e´ conservativo. �
Observe que o argumento funciona apenas se ~F e seu rotacional sa˜o definidos em toda
a regia˜o R. Para o campo vetorial −y
x2+y2
ıˆ + x
x2+y2
ˆ, o argumento na˜o funciona se a origem
estiver contida na regia˜o – por exemplo, a integral de linha ao longo do c´ırculo unita´rio e´
na˜o-nula apesar de rot(~F ) ser zero em toda a regia˜o onde e´ definido.
Demonstrac¸a˜o do Teorema de Green
Comec¸amos com duas observac¸o˜es pre´vias:
1) o teorema pode ser dividido em duas identidades,
∮
C
Mdx = − ∫∫
R
MydA e∮
C
Ndy =
∫∫
R
NxdA.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 9 Summary
2
2) (aditividade) se o teorema e´ verdadeiro para as regic¸o˜es
R1 e R2 ilustradas ao lado, enta˜o e´ verdadeiro para
unia˜o R = R1 ∪ R2. Isso porque as integrais de linha
das porc¸o˜es internas se cancelam, e portanto
∮
C
=∮
C1
+
∮
C2
; ale´m disso, temos que
∫∫
R
=
∫∫
R1
+
∫∫
R2
.
O passo mais importante da demonstrac¸a˜o e´ mostrar que
(∗)
∮
C
Mdx = −
∫∫
R
MydA
para regio˜es “verticalmente simples”, descritas por a < x < b,
f0(x) < y < f1(x), como ilustra a figura ao lado. Nesse caso,
divida a curva C do lado esquerdo de (∗) em quatro partes (in-
ferior C1, segmento vertical a` direita C2, superior C3, segmento
vertical a` esquerda C4), e observe que
∫
C2
Mdx =
∫
C4
Mdx = 0
pois x =constante em C2 e C4. Da´ı obtemos que∮
C
Mdx =
∮
C1
Mdx+
∮
C3
Mdx =
∫ b
a
M(x, f0(x))dx−
∫ b
a
M(x, f1(x))dx
onde usando a parametrizac¸a˜o (x, f0(x)) para C1, com x variando de a ate´ b. Para a curva
C3 usamos a parametrizac¸a˜o (x, f1(x)) com x variando de b ate´ a, e da´ı o sinal negativo.
Em relac¸a˜o ao lado direito de (∗), basta notar que
−
∫∫
R
My dA = −
∫ b
a
∫ f1(x)
f0(x)
My dydx = −
∫ b
a
(M(x, f1(x)))−M(x, f0(x))dx
que e´ exatamente igual ao lado esquerdo calculado acima.
Finalmente, se a regia˜o R pode ser subdividida em regio˜es verticalmente simples, para
cada regia˜o obtemos
∮
Ci
Mdx = − ∫∫
Ri
MydA e, por aditividade,
∮
C
Mdx = − ∫∫
R
MydA.
Analogamente,
∮
C
Ndy =
∫∫
R
NxdA por subdivisa˜o em regio˜es horizontalmente simples.
Isso completa a demonstrac¸a˜o.
Exemplo 2 A a´rea de uma regia˜o R pode ser avaliada usando uma integral de linha: por
exemplo,
∮
C
xdy =
∫∫
R
1dA = a´rea de R.
A ide´ia deste exemplo foi usada para construir o plan´ımetro,
um dispositivos mecaˆnicos que mede a a´rea de uma regia˜o qual-
quer em um pedac¸o de papel (ver foto ao lado). Ao mover o
brac¸o do plan´ımetro ao longo de uma curva fechada, ele calcula
a integral de linha de um campo vetorial apropriado por meio
de um engenhoso mecanismo. No final, essa integral de linha e´
exatamente a a´rea da regia˜o limitada pela curva.