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Fundamentos IV
Introduc¸a˜o a ana´lise de erros
Clarimar J. Coelho
Departamento de Computac¸a˜o
August 14, 2014
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 1 / 40
Como aparecem os erros em
matema´tica?
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 2 / 40
Objetivos da cieˆncia
Entender, modelar e simular um fato real
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 3 / 40
Modelagem matema´titca
Fases da modelagem matema´tica
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 4 / 40
Erros intrı´nsicos aos modelos
Erros inerentes aos modelos
Erros nos instrumentos de medida
Erros em medic¸o˜es experimentais
Erros de conversa˜o nume´rica
Erros das operac¸o˜es aritme´ticas
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 5 / 40
Erros nume´ricos - erro absoluto
Diferenc¸a entre o valor exato e o valor aproximado de um nu´mero
Ex = x − x¯
Onde, x e´ o valor exato e x¯ e´ o valor aproximado
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 6 / 40
Erros nume´ricos - Erro relativo
Diferenc¸a entre o valor exato e o valor aproximado de um nu´mero,
dividida pelo valor exato
Rx =
x − x¯
x
=
Rx
x
Onde, x e´ o valor exato e x¯ e´ o valor aproximado
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 7 / 40
Exemplo 1
Se x = 5 e x¯ = 4
Ex = x − x¯ = 5− 4 = 1
Rx =
x−x¯
x =
5−4
5 =
1
5 = 0,2 = 20%
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 8 / 40
Exemplo 2
Se y = 10000 e y¯ = 9999
Ey = y − y¯ = 10000− 9999 = 1
Ry =
y−y¯
y =
1
10000 = 0,0001 = 0,001%
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 9 / 40
Conclusa˜o
O erro relativo e´ uma medida melhor do erro, pois leva em
considerac¸a˜o a ordem de grandeza da quantidade
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 10 / 40
Erros na resoluc¸a˜o do modelo matema´tico
Erro de conversa˜o do sistema decimal (humano) para o sistema
bina´rio (computador)
No computador existe uma quantidade finita (muito grande) de
nu´meros
As operac¸o˜es aritme´ticas sa˜o realizadas com essa quantidade
finita de nu´meros
O conjunto de nu´meros usados pelo computador chama sistema
aritme´tico de ponto flutuante
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 11 / 40
Sistema aritme´tico de ponto flutuante
Conjunto de nu´meros que depende de va´rios paraˆmetros
β - base do sistema de numerac¸a˜o
t - nu´mero de algarismos de uma mantissa
m - mentor poteˆncia de β permitida
M - Maior poteˆncia de β permitida
Denotamos o sistema por
F (β, t ,m,M)
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 12 / 40
Quais sa˜o os elementos de um
sistema aritme´tico de ponto
flutuante?
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 13 / 40
Os elementos do sistema
0
Nu´meros da forma ±(0,d1d2 . . . dt)β × βexp, onde m ≤ exp ≤ M e
β e´ a base do sistema de numerac¸a˜o
Os algarismos d1d2 . . . dt , sa˜o nu´meros inteiros escolhidos entre
os nu´meros {0,1, . . . , β − 1}, com d1 6= 0
O conjunto {0,1, . . . , β − 1} e´ a mantissa
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 14 / 40
Quantidade de elementos
Quantos elementos conte´m um sistema aritme´tico de ponto
flutuante?
2(β − 1)(M −m + 1)βt−1 + 1
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 15 / 40
Exemplo 3
No sistema F (2,4,−4,5), temos β = 2, t = 4,m = −4,M = 5
Enta˜o F , possui
2× (2− 1)(5− (−4) + 1)× 24−1 + 1
= 2× 1× 10× 8+ 1
= 161 elementos
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 16 / 40
Maior nu´mero num sistema
Qual e´ o maior nu´mero num sistema aritme´tico de ponto
flutuante?
βt − 1
βt
× βM
Todo nu´mero real, com valor maior que este nu´mero, e´
considerado +∞ pelo computador
Todo nu´mero real, com valor menor que e´ o oposto deste nu´mero,
e´ considerado −∞ pelo computador
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 17 / 40
Exemplo 4
No sistema F (2,4,−4,5)
O valor do maior elemento e´
24 − 1
24
× 25 = 30
Nesse sistema, todo nu´mero real maior que 30 e´ tido como +∞
Todo nu´mero menor que -30 e´ tido como −∞
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 18 / 40
Qual e´ o menor nu´mero num
sistema aritme´tico de ponto
flutuante?
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 19 / 40
Menor nu´mero
βm−1
Todo nu´mero real com valor maior que zero e menor que este
nu´mero, e´ considerado zero pelo computador/calculadora
Todo nu´mero real, com valor que zero e maior que o oposto deste
nu´mero, e´ considerado zero pelo computador
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 20 / 40
Exemplo 5
No sistema F (2,4,−4,5)
O valor do menor elemento e´
2−4−1 = 1/32
Nesse sistema, todo nu´mero real 0 < x < 1/32 e´ tido como zero
Todo nu´mero real −1/32 < x < 0 e´ tido como zero
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 21 / 40
Diversos sistemas aritme´ticos de ponto flutuante
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 22 / 40
Erros de aproximac¸a˜o
nume´rica
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 23 / 40
Erros de aproximac¸a˜o nume´rica
Truncamento
Arredondamento
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 24 / 40
Truncamento
Consiste em aproximar o valor de um nu´mero mantendo os k
primeiros dı´gitos na sua representac¸a˜o decimal
Se x = 0,d1d2 . . . dk+1dk+2 . . . 10
n, com d1 6= 0
Usamos x¯ = 0,d1d2 . . . dk × 10n como valor aproximado de x
O erro relativo que se comete na˜o e´ sempre conhecido, mas pode
ser estimado
|Rtrunc | ≤ 10−k+1, no ma´ximo
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 25 / 40
Exemplo 6
Sabemos que
√
7 = 2,6457513110 . . .
Assim,
√
7 = 0,26457513110× 101
Enta˜o,
√
7 ≈ 0,264× 101
Trancando com treˆs dı´gitos,
√
7 = 2,64
O erro relativo na˜o e´ maior que 10−3+1 = 10−2 = 0,01 ou 1%
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 26 / 40
Arredondamento
Consiste em aproximar o valor de um nu´mero mantendo os k − 1
dı´gitos na sua representac¸a˜o decimal
Mante´m-se o dı´gito dk se este e´ menor do que 5, ou
Substituindo-o pelo dı´gito dk+1 se este e´ maior ou igual a 5:
Se x = 0, d1d2 . . . dk dk+1dk+2 . . . 10
n, como d1 6= 0
Usamos x¯ = 0, d1d2 . . . dk × 10n como valor aproximado de x
Se dk+1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ou usamos x = 0, d1d2 . . . (dk+1)× 10n
como valor aproximado de x se dk+1 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}
O erro relativo desse processo e´ estimado por
|Rtrunc | ≤ 0, 5× 10−k+1
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 27 / 40
Exemplo 6
Sabemos que
√
7 = 2,6457513110 . . .
Assim,
√
7 = 0,26457513110× 101
Enta˜o,
√
7 ≈ 0,264× 101
Arrendondando com treˆs dı´gitos,
√
7 = 2,64
O erro relativo na˜o e´ maior que
0,5× 10−3+1 = 0,5× 10−2 = 0,005 ou 0,5%
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 28 / 40
Outros tipos de erros: perda
de significaˆncia e propagac¸a˜o
de erro
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 29 / 40
Perda de significaˆncia
Considere os nu´meros p = 3,1415926536 e q = 3,1415957341
p e q sa˜o nu´meros quase iguais com 11 dı´gitos
A diferenc¸a p − q = −0,0000030805, produz um nu´mero com
cinco dı´gitos decimais de precisa˜o
Esse fenoˆmeno e´ conhecido como perda de significaˆncia ou
cancelamento subtrativo
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 30 / 40
Exemplo7
Compare os resultados do ca´lculo f (0.01) e P(0,01), utilizando
seis dı´gitos e de arredondamento, onde
f (x) =
ex − 1− x
x2
e P(x) =
1
2
+
x
6
+
x2
24
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 31 / 40
Ca´lculos
Para f (x)
f (0,01) =
e0,01 − 1− 0,01
(0,01)2
=
1,010050− 1− 0,01
0,01
= 0,5
P(x) e´ uma polinoˆmio de Taylor de grau n = 2 para f (x)
expandindo sobre x = 0
P(0,01) = 1
2
+ 0,01
6
+ 0,01
24
= 0,5+ 0,001667+ 0,000004 = 0,501671
Conclusa˜o: P(0,01) = 0,501671 conte´m menos erro e deveria ter
o mesmo resultado nos dois casos, a perda significaˆncia com a
subtrac¸a˜o e´ o problema
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 32 / 40
Propagac¸a˜o de erro
Suponha que o computador trunca todos os valores nume´ricos
para 4 dı´gitos
a = 2/3 deve ser armazenado como 0,6666 com Ra = 0,0001
Somando a a ele mesmo seis vezes temos
0,6666+ 0,6666 = 1,333
1,333+ 0,6666 = 1,999
1,999+ 0,6666 = 2,665
2,666+ 0,6666 = 3,331
a′ = 3,331+ 0,6666 = 3,997
Cada vez a soma e´ truncada para 4 dı´gitos
O valor verdadeiro para 6(2/3)=4
O erro relativo e´ Ra′ =
4−3,997
4 = 0,00075
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 33 / 40
Dicas para evitar grande erros
Para diminuir a magnitude dos erros de arredondamento, e para
reduzir o possibilidade de overflow/underflow
Fac¸a o resultado intermedia´rio ta˜o perto de 1 quanto possı´vel nos
processos de multiplicac¸a˜o/divisa˜o consecutivos
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 34 / 40
Usando a regra
De acordo com esta regra, ao calcular xy/z, podemos programar
a fo´rmula como:
(xy)/z quando x e y na multiplicac¸a˜o sa˜o muito diferentes em
magnitude
x(y/z) quando y e z na divisa˜o sa˜o pro´ximos em magnitude
(x/z)y quando x e z na divisa˜o sa˜o pro´ximos em magnitude
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 35 / 40
Exemplo 8
Quando calculamos yn/enx quando x ≻ 1 y ≻ 1, devemos
programar como (y/ex )n e na˜o yn/enx para evitar
overflow/underflow
Rodar dica.m
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 36 / 40
Mais sobre erros
Yang, W. Y., Cao, W., Chung, T.-S., Morris, J. Applied numerical
methods using matlab, Welley, 2005.
Disponı´vel na pa´gina da disciplina
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 37 / 40
Lista de exercı´cios
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 38 / 40
Exercı´cios
1 Calcule o erro absoluto e o erro relativo nas aproximac¸o˜es de p e
p¯
(a) p = pi, p¯ = 22/7
(b) p = e10, p¯ = 22000
2 Suponha que p¯ seja um valor aproximado de p, com um erro
relativo de no ma´ximo 10−3. Encontre o maior intervalo que
comporte p¯ para p = 150
3 Execute o ca´lculo (
1
3
− 3
11
)
+
3
20
(i) exatamente, (ii) usando aritme´tica com nu´meros de treˆs
dı´gitos e o me´todo de truncamento, (iii) usando a aritme´tica com
treˆs dı´gitos e o me´todo de arredondamento e (iv) calcule os erros
relativos dos itens (ii) e (iii)
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 39 / 40
Exercı´cios, cont.
5 Seja
f (x) =
x cos x − senx
x − senx
(a) Use aritme´tica com arredondamento para valores de quatro dı´gitos
para calcular f (0, 1)
(b) Substitua cada func¸a˜o trigonome´trica com seu polinoˆmio de
Maclaurin de terceiro grau e repita o item (a)
(d) O valore real e´ f (0, 1) = −1, 99899998. Encontre o erro relativo
para os valores obtidos nos itens (b) e (c)
6 Complete o ca´lculo
∫ 1/4
0
ex
2
dx =
∫ 1/4
0
(
1+ x2 +
x2
2!
+
x6
3!
)
dx = p¯
Estabelec¸a que tipo de erro esta´ presente nessa situac¸a˜o.
Compare sua resposta com o valor verdadeiro p = 0,2553074606
Clarimar (Departamento de Computac¸a˜o) Aula 2 August 14, 2014 40 / 40