Erros

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Origem e De�nição de Erros
�Erros são relativos...�
1 Prin
ipais fontes de erros
• Dados de entrada: equipamentos de medição possuem pre
isão �nita, a
arretando erros nas medidas físi
as.
• Erros de trun
amento: o
orrem quando aproximamos um pro
edimento formado por uma sequên
ia in�nita de passos por
um outro pro
edimento �nito.
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
≈
M∑
n=0
xn
n!
• Erros de arredondamento: são aqueles rela
ionados 
om as limitações que editem na forma de representar os números.
π =3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510 . . .
π ≈3, 14159
De�nição 1 Seja x um numero real e x¯ sua aproximação, então |x− x¯| é o erro absoluto e |x−x¯||x| é o erro relativo. Observe
que o erro relativo é adimensional e pode ser es
rito 
omo por
entagem.
Exemplo 1 Considere x = 1
3
e x¯ = 0, 333. O erro absoluto é
|x− x¯| =
∣∣∣∣13 − 0, 333
∣∣∣∣ = |0, 3¯− 0, 333| = 0, 0003¯ = 0, 3¯ · 10−3.
O erro relativo é
|x− x¯|
|x| =
∣∣ 1
3
− 0, 333
∣∣∣∣ 1
3
∣∣ = |0, 3¯− 0, 333||0, 3¯| =
0, 3¯ · 10−3
0, 3¯
= 10−3 = 0, 1%
2 Problemas 
ausados pelos erros
2.1 Operações aritméti
as de ponto-�utuante
Na soma e subtração, os expoentes dos dois operandos devem ser iguais. Para tal, sele
iona-se o maior dos dois expoentes, e
a mantissa e o expoente do outro operando são ajustados de tal forma a 
oin
idir os expoentes. Uma vez feito o ajuste dos
expoentes, basta 
al
ular
(a× rp)± (b× rp) = (a± b)× rp
A multipli
ação e a divisão são 
al
uladas 
omo
(a× rp)× (b× rq) = (ab)× rp+q
(a× rp)/(b× rq) = (a/b)× rp−q
Portanto deve-se realizar as seguintes etapas:
• A operação é feita de forma �
orreta�, i.e., 
om o dobro do número de dígitos usados para armazenar 
ada operando;
• O resultado é normalizado;
• É feito o arredondamento, de forma que o resultado normalizado possa ser armazenado na palavra.
Exer
í
io 1 Considere x = 0, 44523× 10−2 e y = 0, 22547× 10−3, em um sistema de ponto-�utuante de
imal 
om 
in
o
dígitos signi�
ativos. Qual o resultado de x+ y, x− y,x× y e x/y?
1
2.2 Can
elamento Catastró�
o
Operações aritméti
as entre números 
om representação �nita podem fazer 
om que o resultado seja dominado pelos erros
de arredondamento. Em geral, esse efeito, denominado 
an
elamento 
atastró�
o, a
onte
e quando fazemos a diferença entre
números muito próximos entre si.
2.2.1 Exemplos
Exemplo 2 Obtenha o resultado analíti
o da operação
0, 987624687925− 0, 987624 = 0, 687926 · 10−6
e 
ompare 
om o resultado obtido utilizando arredondamento 
om seis dígitos signi�
ativos.
Resultado analíti
o: 0, 987624687925− 0, 987624 = 0, 687926 · 10−6
Arredondamento por soma: 0, 987625− 0, 987624 = 0, 100000 · 10−5
Arredondamento por 
orte: 0, 987624− 0, 987624 = 0
Observe que os resultados são bem distintos.
Exemplo 3 En
ontre as raízes da equação de segundo grau
x2 + 300x− 0, 014 = 0.
Solução
x1 = 0.4666665940740967 · 10−4
x2 = −0.3000000466666594 · 103
Exemplo 4 En
ontre as raízes da equação de segundo grau
x2 + 300x− 0, 014 = 0.
utilizando arredondamento 
om seis dígitos signi�
ativos em todas as operações. Cal
ule o erro relativo desta solução 
om a
solução analíti
a.
Solução
Usando a fórmula de Báskara 
om a = 0, 100000 · 101, b = 0, 300000 · 103, c = −0, 140000 · 10−1, temos
∆ = 0, 300000 · 103 × 0, 300000 · 103 + 0, 400000 · 101 × 0, 100000 · 101 × 0, 140000 · 10−1
= 0, 900000 · 105 + 0, 560000 · 10−1
= 90000, 056
Arredondando 
om seis dígitos signi�
ativos temos que
∆ = 0, 900001 · 105.
Agora,
x¯ =
−b±√∆
2a
=
−0, 300000 · 103 ±
√
0, 900001 · 105
2× 0, 100000 · 101
Arredondando novamente 
om seis dígitos signi�
ativos temos que
x1 = 0, 000000 · 100
x2 = −0, 300000 · 103
Vamos 
al
ular o erro relativo
x1 − x1
x1
= 1 = 100%
x2 − x2
x2
= 1, 555555 · 10−7 = 1, 555555 · 10−5%
Observe que o erro relativo entre a solução analíti
a e a solução que utiliza arredondamento é bastante grande. Isto o
orre
pois existe uma subtração entre números muito próximos entre si na fórmula de Báskara quando |b| ≫ |ac|.
2
2.3 Instabilidade numéri
a
Ao desenvolver algoritmos numéri
os é muito importante observar 
omo os erros serão propagados, para prever a pre
isão do
resultado.
Exemplo 5 O número
1
3
= 0, 3¯ possui uma representação in�nita tanto na base de
imal quanto na base binária. Logo, quando
representamos ele no 
omputador é gerado um erro de arredondamento que denotaremos ǫ.
Considere agora a seguinte sequên
ia: {
x0 =
1
3
xn+1 = 4xn − 1, n ∈ N
Observe que
x0 =
1
3
x1 = 4
1
3
− 1 = 1
3
x2 = 4
1
3
− 1 = 1
3
x3 = 4
1
3
− 1 = 1
3
,
ou seja, temos uma sequên
ia 
onstante igual a
1
3
.
Se 
al
ulamos no 
omputador essa sequên
ia, temos que in
luir os erros de arredondamento, ou seja,
x0 =
1
3
+ ǫ
x1 = 4
(
1
3
+ ǫ
)
− 1 = 1
3
+ 4ǫ
x2 = 4
(
1
3
+ 4ǫ
)
− 1 = 1
3
+ 42ǫ
x3 = 4
(
1
3
+ 42ǫ
)
− 1 = 1
3
+ 43ǫ
xn =
1
3
+ 4nǫ
Portanto, o limite da sequên
ia diverge!
3