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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, 
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO 
PAULO 
CAMPUS 
Piracicaba 
 
Elementos de Máquina 
Resumo de Material para Estudo 
 
Professor Argélio Lima Paniago 
 
12. Molas 
Utilização das molas: fazer força; flexibilidade; armazenar energia. 
 Fio: helicoidais para tração ou compressão; torção. 
 Plana: feixes de mola; em lâminas e elípticas. 
 
12.1. Tensão em molas helicoidais 
 
 
Conforme figura 1: 
Fator da tensão cisalhante Ks (Figura 2): 
Assim, 
 
 
 
Figura 1 – (a) mola helicoidal carregada axialmente; (b) diagrama de corpo 
livre, mostrando que o fio está submetido à tensões cisalhantes devidas à 
cortante e à torção. 
𝜏 =
8𝐹𝐷
𝜋𝑑3
+
4𝐹
𝜋𝑑2
 ; 𝐶 =
𝐷
𝑑
 
𝜏 =
8𝐹𝐷
𝜋𝑑3
(1 +
0,5
𝐶
) 
𝐾𝑠 = 1 +
0,5
𝐶
 
𝜏 = 𝐾𝑠
8𝐹𝐷
𝜋𝑑3
 
Equação 1 
Equação 2 
2 
 
 
12.2. Deflexão de molas helicoidais 
ϒ é a deformação do segmento apresentado na figura 3. 
 
Fazendo K=1; ; ; 
 
 
; 
Em que “N” é o número de espiras ativas da mola. 
Assim, a deflexão total da mola é: 
 
 ; 
 
A constante k da mola será: 
 
Figura 2 – Valores do fator correção de tensão para molas helicoidais de secção circular, 
de compressão ou tração. Kc = Fator de redução de resistência devido à fadiga (não será 
utilizado); K=Ks.Kc. 
 
Figura 3 – Elemento de mola helicoidal seccionado 
transversalmente. 
𝛾 =
𝜏
𝐺
 
𝛾 =
8𝐹𝐷
𝜋𝑑3𝐺
 𝑑𝛼 =
𝛾𝑑𝑥
𝑑/2
=
2𝛾𝑑𝑥
𝑑
 
𝛼 = ∫
2𝛾𝑑𝑥
𝑑
𝜋𝐷𝑁
0
 𝛼 =
16𝐹𝐷2𝑁
𝑑4𝐺
 
𝓎 = 𝛼
𝐷
2
 𝓎 =
8𝐹𝐷3𝑁
𝑑4𝐺
 
𝑘 =
𝑑4𝐺
8𝐷3𝑁
 
Equação 3 
Equação 4 
Equação 5 
3 
 
Estas equações são válidas para molas de tração e compressão, para molas muito longas 
(Comprimento livre > 4 D) pode haver flambagem. Verificar figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.3. Molas de tração. 
Tipos de extremidades conforme figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fator de concentração de tensões K é: 
 
Em que r0 e ri são características geométricas apresentadas na figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Razão entre comprimento livre e diâmetro 
médio, ll/D, para molas de compressão. Curva A: uma 
extremidade em superfície plana e a outra sobre superfície 
esférica. Curva B: ambas as extremidades sobre superfícies 
planas. 
 
Figura 5 – Tipos de extremidades usadas em molas de tração. 
𝐾 =
𝑟0
𝑟𝑖
 
 
Figura 6 – Extremidades para molas de tração. 
Equação 6 
4 
 
12.3.1. Tração inicial 
Quando molas de tração são feitas com espiras em contato, uma com outra, elas são 
denominadas “enrolamento fechado”. Os fabricantes de molas usam a tração inicial, com pré-
carga afim de manter a precisão maior para o comprimento livre. A correspondente curva carga-
deflexão é mostrada na figura 7, em que “y” é a extensão além do comprimento livre L0 e Fi é a 
tração inicial na mola que deve ser excedida antes que a mola defleta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprimento livre
Comprimento
do corpo
Comprimento
do gancho
Comprimento
de laço
Folga
Diâmetro 
do fio
Diâmetro 
externo
Diâmetro 
interno
Difícil de 
obter
Disponível por meio de 
requisição especial ao 
fabricante
Intervalo 
preferido
Difícil de 
controlar
Índice
Te
n
sã
o
 t
o
rc
io
n
al
 (
n
ão
 c
o
rr
ig
id
a)
 
ca
u
sa
d
a 
p
o
r 
tr
aç
ão
 in
ic
ia
l (
M
P
a)
Diâmetro 
interno
Te
n
sã
o
 t
o
rc
io
n
al
 (
n
ão
 c
o
rr
ig
id
a)
 c
au
sa
d
a 
p
o
r 
tr
aç
ão
 in
ic
ia
l (
K
P
si
)
Figura 7 – (a) Geometria da curva força e tração “y” de uma mola de tração; (b) geometria da mola de tração; (c) 
tensões torcionais devido à tração inicial como uma função do índice de mola “C” em molas de tração helicoidais. 
5 
 
A relação carga- deflexão é dada pela equação 7. 
 
Em que: 
F = Força total sobre a mola (N); 
Fi = Carga inicial (N); 
K = Constante da mola (N/m); 
y = deflexão (m). 
O comprimento livre da de uma mola medido internamente nos laços de extremidade ou 
ganchos é expressa pela equação 8, o número de espiras ativas é fornecido pela equação 9. 
 
 
Em que: 
L0 = comprimento livre; 
D = Diâmetro da espira; 
d = diâmetro do fio; 
Nb = Número de espiras do corpo; 
C = Índice da mola. 
 
 
Em que: 
Na = Número de espiras ativas; 
G = Modulo de elasticidade ao cisalhamento (GPa); 
E = Módulo de elasticidade à tração (GPa). 
A tração inicial em uma mola desse tipo é criada no processo de enrolamento em que o intervalo 
preferido pode ser expresso em termos de tensão torcional não corrigida (Equação 10). 
 
 
Em que: 
τi = Tensão tracional não corrigida (MPa) 
As diretrizes para as tensões corrigidas máximas admissíveis para aplicações estáticas de molas 
de tração são fornecidos pela tabela 1. 
𝐹 = 𝐹𝑖 + 𝑘𝑦 
Equação 7 
𝐿0 = 2(𝐷 − 𝑑) + (𝑁𝑏 + 1)𝑑 = (2𝐶 − 1 + 𝑁𝑏)𝑑 Equação 8 
𝑁𝑎 = 𝑁𝑏 +
𝐺
𝐸
 
Equação 9 
𝜏𝑖 =
231
exp⁡(0,105𝐶)
± 6,9 (4 −
𝐶 − 3
6,5
) Equação 10 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
As tensões admissíveis para aços inoxidáveis em aplicações cíclicas são fornecidas pela tabela 2. 
 
 
 
 
 
 
 
12.4. Molas de compressão 
4 tipos conforme figura 8. A tabela 3 apresenta a influência das extremidades no número de 
espiras e o comprimento da mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Tipos de extremidades para molas de compressão. 
 
 Porcentagem de resistência à tração 
Material Em torção Em flexão 
 Corpo Extremidade Extremidade 
Patenteado, estirado a frio ou aço-carbono 
45 - 50 40 75 
endurecido e revenido e aços baixa liga. 
Aços austeníticos inoxidáveis e ligas não ferrosas 35 30 55 
 
Tabela 1 – Tensões máximas admissíveis para molas helicoidais de tração em aplicações estáticas. 
 
 Porcentagem de resistência à tração 
Número de ciclos Em torção Em flexão 
 Corpo Extremidade Extremidade 
105 36 34 51 
106 33 30 47 
107 30 28 45 
 
Tabela 2 – Tensões máximas admissíveis para molas de tração helicoidais de aço inoxidável ASTM A228 e tipo 302 
em aplicações cíclicas. 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.5. Materiais para molas 
Fabricadas sob trabalho a quente ou a frio. Em geral fios tratados termicamente não devem ser 
usados para D/d < 4 ou d > 6mm. Após o enrolamento das espiras essas passam por processo de 
alívio de tensões. 
Aços mais comuns são apresentados no anexo A e propriedades no anexo B, podem utilizados 
aços UNS para molas helicoidais pesadas, trabalhadas à quente, molas planas (lâmina e barras 
de torção). 
A relação do diâmetro do fio com a resistência à tração é dada pela equação 11. 
 
 
 
Em que: 
Srt = Limite de resistência à tração (Mpa) 
m = Coeficiente da reta em diagrama log-log (Figura 9). 
A = Constante relacionada com a resistência (MPa) (Figura 9); 
d = Diâmetro do fio (mm) 
Com relação à tensão de escoamento pode-se estimar: 
 , assim: 
 
 
Em que: 
Se = Tensão limite ao escoamento (MPa); 
Srt = Tensão limite à tração (MPa); 
Sse = Tensão limite ao escoamento por cisalhamento (MPa). 
 
Tolerâncias: 
Para d = +/- 1,5% de d 
Para D/d = 4 ; D= 5% de D; D/d > 16; D = até > 25% de D. 
𝑆𝑟𝑡 =
𝐴
𝑑𝑚
 
Equação 11 
𝑆𝑒 = 0,75⁡𝑠𝑟𝑡 𝑆𝑠𝑒 = 0,577⁡𝑠𝑒 Equação 13 
Equação 12 
 
Forma Simples
Simples e 
retificada
Em esquadro ou 
fechada
Em esquadro e 
retificada
Espiras de extremidade, Ne
Total de espiras, Nt
Comprimento livre, Lo
Comprimento sólido, Ls
Passo, p
Tipo de extremidade de mola
Tabela 3 – Fórmula para as características das molas de compressão (Na = Número de espiras ativas) 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.6. Fadiga 
Em molas não há alternância tração x compressão. 
Considerando que Fa é a força alternada e Fm como a força média, utilizando-se do fator 
cisalhante Ks, obtém-se as tensões alternadas e média, equações 15 e 16. 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
Em que: 
Τa = Tensão alternada (N/m2); Τm = Tensão média (N/m2); 
Fa = Força alternada (N); 
D = Diâmetro da espira (m); 
d = Diâmetro do fio (m); 
Fm = Força média (N). 
A falha por torção ocorre sempre que τa = Ssn (Tensão limite à fadiga) ou τmáx = τa+τm = Sse 
Valores adotados por Zimmerli: 
 
 
 
No diagrama modificado de Goodman (Anexo C) considerar Ssr (tensão limite de ruptura à 
torção) = 0,6 Sr (tensão limite de resistência à tração). 
 
Figura 9 – Constantes a serem usadas na equação 7 para estimativa de resistência à tração de aços para molas. 
a = superfície lisa, livre de defeitos e com polimento final; b = tratamento térmico deixa ligeira crosta na superfície, 
que deve ser removida antes de outro tratamento; c = superfície lisa e polida sem marcas; d = fio endurecido de alta 
qualidade, para indústria aeronáutica, pode ser revenido; e = endurecido até 49 Rockwell C, pode ser recozido. 
𝐹𝑎 =⁡
𝐹𝑚á𝑥 − 𝐹𝑚𝑖𝑛
2
 𝐹𝑚 =⁡
𝐹𝑚á𝑥 + 𝐹𝑚𝑖𝑛
2
 
𝜏𝑎 = 𝐾𝑠 ⁡
8𝐹𝑎𝐷
𝜋𝑑3
 
𝜏𝑚 = 𝐾𝑠 ⁡
8𝐹𝑚𝐷
𝜋𝑑3
 Equação 15 Equação 14 
𝑆′𝑠𝑛 = 310⁡𝑀𝑃𝑎; Molas não endurecidas superficialmente. 
 
𝑆′𝑠𝑛 = 465⁡𝑀𝑃𝑎; Molas endurecidas superficialmente com 
granalha. 
 
9 
 
12.7. Molas helicoidais de torção 
Utilizadas, por exemplo, em portas e motores de partida (Figura 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão devido à flexão é apresentada pela equação 16. 
 
 
Em que: 
σ = Tensão devido ao momento fletor (N/m2); 
K = Fator de concentração de tensões; 
M = Momento (Nm); 
I = Momento de inércia (m4). 
 
 
Segundo Wahl, os valores de K são Ki para tensões internas e Ko para tensões externas (Equações 
17 e 18). 
 
 
 
 
Sendo C=D/d 
 
 
Figura 10 – Molas de torção. 
𝜎 = 𝐾
𝑀𝑐
𝐼
 
Equação 16 
𝐾𝑖 =
4𝐶2 − 𝐶 − 1
4𝐶(𝐶 − 1)
 
Equação 17 
𝐾𝑜 =
4𝐶2 − 𝐶 − 1
4𝐶(𝐶 + 1)
 Equação 18 
10 
 
Obtém-se: 
 
 
Em que: 
r = raio da mola (m) 
d = diâmetro da seção transversal do fio (m). 
 
12.7.1. Deflexão da mola 
A deflexão angular da mola é dada pela equação 20: 
 
 
 Em que: 
Θ = deflexão angular da mola (rd); 
E = módulo de elasticidade (N/m2) 
A constante da mola “k” é dado por (Equação 21): 
 
 
 
Interpretando como o torque necessário para desenrolar a mola (multiplicando a equação 21 
por 2π): 
 
 
 
12.8. Molas Belleville 
Conforme apresentado na figura 11, esses tipos de mola são feitos de disco cônico, têm a 
vantagem de ocupar pouco espaço, a variação da razão h/t produz grande variedade de formas 
para a curva força-deflexão. 
Para se obter uma força maior com a mesma deflexão monta-se as molas em paralelo, para a 
montagem em série se obtém maior deflexão para o mesmo valor de deflexão. 
 
 
𝜎 = 𝐾
32𝐹𝑟
𝜋𝑑3
 
Equação 19 
θ =
64𝐹𝑟𝐷𝑁
𝑑4𝐸
 Equação 20 
k =
𝑑4𝐸
64𝐷𝑁
 Equação 21 
k′ =
𝑑4𝐹
10,8𝐷𝑁
 Equação 22 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.9. Outros tipos de mola 
A mola apresentada na figura 12, é feita de uma fita de aço levemente curvada, não plana, 
chamada de mola de força constante. 
A mola voluta (Figura 13) é uma fita de aço estreita, plana, enrolada, com uma hélice cônica. 
Projetando-se a mola de lâmina (Figura 13 b) é interessante e econômico dar proporção de 
forma que as tensões se distribuam equitativamente (Equação 23). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Curvas força-deflexão para molas Belleville. 
𝑏 =
6𝐹𝑥
ℎ2𝜎
 Equação 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Mola de força constante. 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.10. Frequência crítica de molas helicoidais. 
Frequência no trabalho da mola que se aproxima da frequência de ressonância. Em algumas 
aplicações, como molas de válvulas de motores à combustão, torna-se uma questão importante 
definir que a frequência crítica seja de 15 a 20 vezes a frequência da força. 
Wahl definiu a frequência crítica das molas helicoidais pela equação 24. 
 
 
 
Em que: 
F = Frequência crítica (Hz) 
n = nº do harmônico, 1 para frequência fundamental. 
k = constante elástica da mola (N/m) 
 
 
Em que: 
M = Massa da mola (Kg); 
d = diâmetro da seção do fio (m); 
D = Diâmetro da espira (m); 
N = Número de espiras ativas; 
Ρ = massa específica da mola (Kg/m3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – (a) Mola voluta; (b) Mola triangular plana. 
𝑓 =
𝑛
2
√
𝑘
𝑀
 
Equação 24 
𝑀 =
𝜋2𝑑2𝐷𝑁𝜌
4
 
Equação 25 
13 
 
12.11. Capacidade de armazenar energia. 
Assunto de interesse em projetos de molas para absorção de choque ou armazenamento de 
energia no menor espaço. 
Maier define a equação 26 para mola Tipo E, sob tensão axial (compressão) e equação 27 para 
molas tipo G, quando sob tensão transversal (cisalhamento). 
 
 
Em que: 
u = Energia de deformação por unidade de volume (J/m3) 
CF = coeficiente de forma (Figura 14); 
E = módulo de elasticidade (N/m2); 
σ = Tensão de compressão ou tração (N/m2). 
 
 
Em que: 
G = módulo de elasticidade à torção (N/m2); 
τ = Tensão de cisalhamento (N/m2). 
 
 
 
 
 
 
𝑢 = 𝐶𝐹
𝜎2
2𝐸
 
𝑢 = 𝐶𝐹
𝜏2
2𝐺
 
 
Equação 26 
Equação 27 
Figura 14 – Coeficiente de forma – Uma medida da capacidade da mola 
armazenar energia. 
14 
 
12.12. Exercícios. 
12.12.1. (Shigley 10-3, página 545) uma mola de compressão helicoidal é 
enrolada usando um fio musical de diâmetro 2,5 mm. A mola tem um diâmetro 
externo de 31 mm com extremidades planas esmerilhadas e um total de 14 
espiras. 
 a) estime a razão da mola 
 b) que força é necessária para comprimir essa mola ao fechamento? 
 c) qual deve ser o comprimento livre para assegurar que quando a mola for 
 comprimida à forma sólida, a tensão torcional não exceda a resistência de 
 escoamento? 
 d) Existe alguma possibilidade de a mola flambar em serviço? 
12.12.2. (Shigley 10-19, página 546) investigue se a mola de compressão 
helicoidal de extremidade esquadrada e esmerilhada são seguras. Do contrário 
qual é o maior comprimento livre para o qual podem ser enroladas usando ns=1,2? 
d (mm) D (mm) L0 (mm) Nt Material 
4,5 69,2 215,6 8,2 A232 cromo-vanádio 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO A – Aços de alto carbono e aços liga para molas. 
16 
 
 
 
Srt (Torção/tração) in mm Mpsi Gpa Mpsi Gpa
Fio musical A228
Mola de fio duro estirado
A227
Revenido em óleo A239Mola de vávula A230
Cromo-vanádio A231
A232
Cromo-silício A401
Aço inoxidável
A313
17-7PH
414
420
431
Fósforo-bronze B159
Berílio-cobre B197
Liga inconel X-750
E Gporcentagem de 
Limite elástico,
Material Diâmetro d
ANEXO C – Propriedades mecânicas de alguns fios de mola. 
 
ANEXO B – Diagrama modificado de Goodman para fadiga, mostrando como determinar os limites de σa e σm, quando se 
conhece a razão entre as tensões.

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