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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO CAMPUS Piracicaba Elementos de Máquina Resumo de Material para Estudo Professor Argélio Lima Paniago 12. Molas Utilização das molas: fazer força; flexibilidade; armazenar energia. Fio: helicoidais para tração ou compressão; torção. Plana: feixes de mola; em lâminas e elípticas. 12.1. Tensão em molas helicoidais Conforme figura 1: Fator da tensão cisalhante Ks (Figura 2): Assim, Figura 1 – (a) mola helicoidal carregada axialmente; (b) diagrama de corpo livre, mostrando que o fio está submetido à tensões cisalhantes devidas à cortante e à torção. 𝜏 = 8𝐹𝐷 𝜋𝑑3 + 4𝐹 𝜋𝑑2 ; 𝐶 = 𝐷 𝑑 𝜏 = 8𝐹𝐷 𝜋𝑑3 (1 + 0,5 𝐶 ) 𝐾𝑠 = 1 + 0,5 𝐶 𝜏 = 𝐾𝑠 8𝐹𝐷 𝜋𝑑3 Equação 1 Equação 2 2 12.2. Deflexão de molas helicoidais ϒ é a deformação do segmento apresentado na figura 3. Fazendo K=1; ; ; ; Em que “N” é o número de espiras ativas da mola. Assim, a deflexão total da mola é: ; A constante k da mola será: Figura 2 – Valores do fator correção de tensão para molas helicoidais de secção circular, de compressão ou tração. Kc = Fator de redução de resistência devido à fadiga (não será utilizado); K=Ks.Kc. Figura 3 – Elemento de mola helicoidal seccionado transversalmente. 𝛾 = 𝜏 𝐺 𝛾 = 8𝐹𝐷 𝜋𝑑3𝐺 𝑑𝛼 = 𝛾𝑑𝑥 𝑑/2 = 2𝛾𝑑𝑥 𝑑 𝛼 = ∫ 2𝛾𝑑𝑥 𝑑 𝜋𝐷𝑁 0 𝛼 = 16𝐹𝐷2𝑁 𝑑4𝐺 𝓎 = 𝛼 𝐷 2 𝓎 = 8𝐹𝐷3𝑁 𝑑4𝐺 𝑘 = 𝑑4𝐺 8𝐷3𝑁 Equação 3 Equação 4 Equação 5 3 Estas equações são válidas para molas de tração e compressão, para molas muito longas (Comprimento livre > 4 D) pode haver flambagem. Verificar figura 4. 12.3. Molas de tração. Tipos de extremidades conforme figura 5. Fator de concentração de tensões K é: Em que r0 e ri são características geométricas apresentadas na figura 6. Figura 4 – Razão entre comprimento livre e diâmetro médio, ll/D, para molas de compressão. Curva A: uma extremidade em superfície plana e a outra sobre superfície esférica. Curva B: ambas as extremidades sobre superfícies planas. Figura 5 – Tipos de extremidades usadas em molas de tração. 𝐾 = 𝑟0 𝑟𝑖 Figura 6 – Extremidades para molas de tração. Equação 6 4 12.3.1. Tração inicial Quando molas de tração são feitas com espiras em contato, uma com outra, elas são denominadas “enrolamento fechado”. Os fabricantes de molas usam a tração inicial, com pré- carga afim de manter a precisão maior para o comprimento livre. A correspondente curva carga- deflexão é mostrada na figura 7, em que “y” é a extensão além do comprimento livre L0 e Fi é a tração inicial na mola que deve ser excedida antes que a mola defleta. Comprimento livre Comprimento do corpo Comprimento do gancho Comprimento de laço Folga Diâmetro do fio Diâmetro externo Diâmetro interno Difícil de obter Disponível por meio de requisição especial ao fabricante Intervalo preferido Difícil de controlar Índice Te n sã o t o rc io n al ( n ão c o rr ig id a) ca u sa d a p o r tr aç ão in ic ia l ( M P a) Diâmetro interno Te n sã o t o rc io n al ( n ão c o rr ig id a) c au sa d a p o r tr aç ão in ic ia l ( K P si ) Figura 7 – (a) Geometria da curva força e tração “y” de uma mola de tração; (b) geometria da mola de tração; (c) tensões torcionais devido à tração inicial como uma função do índice de mola “C” em molas de tração helicoidais. 5 A relação carga- deflexão é dada pela equação 7. Em que: F = Força total sobre a mola (N); Fi = Carga inicial (N); K = Constante da mola (N/m); y = deflexão (m). O comprimento livre da de uma mola medido internamente nos laços de extremidade ou ganchos é expressa pela equação 8, o número de espiras ativas é fornecido pela equação 9. Em que: L0 = comprimento livre; D = Diâmetro da espira; d = diâmetro do fio; Nb = Número de espiras do corpo; C = Índice da mola. Em que: Na = Número de espiras ativas; G = Modulo de elasticidade ao cisalhamento (GPa); E = Módulo de elasticidade à tração (GPa). A tração inicial em uma mola desse tipo é criada no processo de enrolamento em que o intervalo preferido pode ser expresso em termos de tensão torcional não corrigida (Equação 10). Em que: τi = Tensão tracional não corrigida (MPa) As diretrizes para as tensões corrigidas máximas admissíveis para aplicações estáticas de molas de tração são fornecidos pela tabela 1. 𝐹 = 𝐹𝑖 + 𝑘𝑦 Equação 7 𝐿0 = 2(𝐷 − 𝑑) + (𝑁𝑏 + 1)𝑑 = (2𝐶 − 1 + 𝑁𝑏)𝑑 Equação 8 𝑁𝑎 = 𝑁𝑏 + 𝐺 𝐸 Equação 9 𝜏𝑖 = 231 exp(0,105𝐶) ± 6,9 (4 − 𝐶 − 3 6,5 ) Equação 10 6 As tensões admissíveis para aços inoxidáveis em aplicações cíclicas são fornecidas pela tabela 2. 12.4. Molas de compressão 4 tipos conforme figura 8. A tabela 3 apresenta a influência das extremidades no número de espiras e o comprimento da mola. Figura 8 – Tipos de extremidades para molas de compressão. Porcentagem de resistência à tração Material Em torção Em flexão Corpo Extremidade Extremidade Patenteado, estirado a frio ou aço-carbono 45 - 50 40 75 endurecido e revenido e aços baixa liga. Aços austeníticos inoxidáveis e ligas não ferrosas 35 30 55 Tabela 1 – Tensões máximas admissíveis para molas helicoidais de tração em aplicações estáticas. Porcentagem de resistência à tração Número de ciclos Em torção Em flexão Corpo Extremidade Extremidade 105 36 34 51 106 33 30 47 107 30 28 45 Tabela 2 – Tensões máximas admissíveis para molas de tração helicoidais de aço inoxidável ASTM A228 e tipo 302 em aplicações cíclicas. 7 12.5. Materiais para molas Fabricadas sob trabalho a quente ou a frio. Em geral fios tratados termicamente não devem ser usados para D/d < 4 ou d > 6mm. Após o enrolamento das espiras essas passam por processo de alívio de tensões. Aços mais comuns são apresentados no anexo A e propriedades no anexo B, podem utilizados aços UNS para molas helicoidais pesadas, trabalhadas à quente, molas planas (lâmina e barras de torção). A relação do diâmetro do fio com a resistência à tração é dada pela equação 11. Em que: Srt = Limite de resistência à tração (Mpa) m = Coeficiente da reta em diagrama log-log (Figura 9). A = Constante relacionada com a resistência (MPa) (Figura 9); d = Diâmetro do fio (mm) Com relação à tensão de escoamento pode-se estimar: , assim: Em que: Se = Tensão limite ao escoamento (MPa); Srt = Tensão limite à tração (MPa); Sse = Tensão limite ao escoamento por cisalhamento (MPa). Tolerâncias: Para d = +/- 1,5% de d Para D/d = 4 ; D= 5% de D; D/d > 16; D = até > 25% de D. 𝑆𝑟𝑡 = 𝐴 𝑑𝑚 Equação 11 𝑆𝑒 = 0,75𝑠𝑟𝑡 𝑆𝑠𝑒 = 0,577𝑠𝑒 Equação 13 Equação 12 Forma Simples Simples e retificada Em esquadro ou fechada Em esquadro e retificada Espiras de extremidade, Ne Total de espiras, Nt Comprimento livre, Lo Comprimento sólido, Ls Passo, p Tipo de extremidade de mola Tabela 3 – Fórmula para as características das molas de compressão (Na = Número de espiras ativas) 8 12.6. Fadiga Em molas não há alternância tração x compressão. Considerando que Fa é a força alternada e Fm como a força média, utilizando-se do fator cisalhante Ks, obtém-se as tensões alternadas e média, equações 15 e 16. ; ; Em que: Τa = Tensão alternada (N/m2); Τm = Tensão média (N/m2); Fa = Força alternada (N); D = Diâmetro da espira (m); d = Diâmetro do fio (m); Fm = Força média (N). A falha por torção ocorre sempre que τa = Ssn (Tensão limite à fadiga) ou τmáx = τa+τm = Sse Valores adotados por Zimmerli: No diagrama modificado de Goodman (Anexo C) considerar Ssr (tensão limite de ruptura à torção) = 0,6 Sr (tensão limite de resistência à tração). Figura 9 – Constantes a serem usadas na equação 7 para estimativa de resistência à tração de aços para molas. a = superfície lisa, livre de defeitos e com polimento final; b = tratamento térmico deixa ligeira crosta na superfície, que deve ser removida antes de outro tratamento; c = superfície lisa e polida sem marcas; d = fio endurecido de alta qualidade, para indústria aeronáutica, pode ser revenido; e = endurecido até 49 Rockwell C, pode ser recozido. 𝐹𝑎 = 𝐹𝑚á𝑥 − 𝐹𝑚𝑖𝑛 2 𝐹𝑚 = 𝐹𝑚á𝑥 + 𝐹𝑚𝑖𝑛 2 𝜏𝑎 = 𝐾𝑠 8𝐹𝑎𝐷 𝜋𝑑3 𝜏𝑚 = 𝐾𝑠 8𝐹𝑚𝐷 𝜋𝑑3 Equação 15 Equação 14 𝑆′𝑠𝑛 = 310𝑀𝑃𝑎; Molas não endurecidas superficialmente. 𝑆′𝑠𝑛 = 465𝑀𝑃𝑎; Molas endurecidas superficialmente com granalha. 9 12.7. Molas helicoidais de torção Utilizadas, por exemplo, em portas e motores de partida (Figura 10). A tensão devido à flexão é apresentada pela equação 16. Em que: σ = Tensão devido ao momento fletor (N/m2); K = Fator de concentração de tensões; M = Momento (Nm); I = Momento de inércia (m4). Segundo Wahl, os valores de K são Ki para tensões internas e Ko para tensões externas (Equações 17 e 18). Sendo C=D/d Figura 10 – Molas de torção. 𝜎 = 𝐾 𝑀𝑐 𝐼 Equação 16 𝐾𝑖 = 4𝐶2 − 𝐶 − 1 4𝐶(𝐶 − 1) Equação 17 𝐾𝑜 = 4𝐶2 − 𝐶 − 1 4𝐶(𝐶 + 1) Equação 18 10 Obtém-se: Em que: r = raio da mola (m) d = diâmetro da seção transversal do fio (m). 12.7.1. Deflexão da mola A deflexão angular da mola é dada pela equação 20: Em que: Θ = deflexão angular da mola (rd); E = módulo de elasticidade (N/m2) A constante da mola “k” é dado por (Equação 21): Interpretando como o torque necessário para desenrolar a mola (multiplicando a equação 21 por 2π): 12.8. Molas Belleville Conforme apresentado na figura 11, esses tipos de mola são feitos de disco cônico, têm a vantagem de ocupar pouco espaço, a variação da razão h/t produz grande variedade de formas para a curva força-deflexão. Para se obter uma força maior com a mesma deflexão monta-se as molas em paralelo, para a montagem em série se obtém maior deflexão para o mesmo valor de deflexão. 𝜎 = 𝐾 32𝐹𝑟 𝜋𝑑3 Equação 19 θ = 64𝐹𝑟𝐷𝑁 𝑑4𝐸 Equação 20 k = 𝑑4𝐸 64𝐷𝑁 Equação 21 k′ = 𝑑4𝐹 10,8𝐷𝑁 Equação 22 11 12.9. Outros tipos de mola A mola apresentada na figura 12, é feita de uma fita de aço levemente curvada, não plana, chamada de mola de força constante. A mola voluta (Figura 13) é uma fita de aço estreita, plana, enrolada, com uma hélice cônica. Projetando-se a mola de lâmina (Figura 13 b) é interessante e econômico dar proporção de forma que as tensões se distribuam equitativamente (Equação 23). Figura 11 – Curvas força-deflexão para molas Belleville. 𝑏 = 6𝐹𝑥 ℎ2𝜎 Equação 23 Figura 12 – Mola de força constante. 12 12.10. Frequência crítica de molas helicoidais. Frequência no trabalho da mola que se aproxima da frequência de ressonância. Em algumas aplicações, como molas de válvulas de motores à combustão, torna-se uma questão importante definir que a frequência crítica seja de 15 a 20 vezes a frequência da força. Wahl definiu a frequência crítica das molas helicoidais pela equação 24. Em que: F = Frequência crítica (Hz) n = nº do harmônico, 1 para frequência fundamental. k = constante elástica da mola (N/m) Em que: M = Massa da mola (Kg); d = diâmetro da seção do fio (m); D = Diâmetro da espira (m); N = Número de espiras ativas; Ρ = massa específica da mola (Kg/m3). Figura 13 – (a) Mola voluta; (b) Mola triangular plana. 𝑓 = 𝑛 2 √ 𝑘 𝑀 Equação 24 𝑀 = 𝜋2𝑑2𝐷𝑁𝜌 4 Equação 25 13 12.11. Capacidade de armazenar energia. Assunto de interesse em projetos de molas para absorção de choque ou armazenamento de energia no menor espaço. Maier define a equação 26 para mola Tipo E, sob tensão axial (compressão) e equação 27 para molas tipo G, quando sob tensão transversal (cisalhamento). Em que: u = Energia de deformação por unidade de volume (J/m3) CF = coeficiente de forma (Figura 14); E = módulo de elasticidade (N/m2); σ = Tensão de compressão ou tração (N/m2). Em que: G = módulo de elasticidade à torção (N/m2); τ = Tensão de cisalhamento (N/m2). 𝑢 = 𝐶𝐹 𝜎2 2𝐸 𝑢 = 𝐶𝐹 𝜏2 2𝐺 Equação 26 Equação 27 Figura 14 – Coeficiente de forma – Uma medida da capacidade da mola armazenar energia. 14 12.12. Exercícios. 12.12.1. (Shigley 10-3, página 545) uma mola de compressão helicoidal é enrolada usando um fio musical de diâmetro 2,5 mm. A mola tem um diâmetro externo de 31 mm com extremidades planas esmerilhadas e um total de 14 espiras. a) estime a razão da mola b) que força é necessária para comprimir essa mola ao fechamento? c) qual deve ser o comprimento livre para assegurar que quando a mola for comprimida à forma sólida, a tensão torcional não exceda a resistência de escoamento? d) Existe alguma possibilidade de a mola flambar em serviço? 12.12.2. (Shigley 10-19, página 546) investigue se a mola de compressão helicoidal de extremidade esquadrada e esmerilhada são seguras. Do contrário qual é o maior comprimento livre para o qual podem ser enroladas usando ns=1,2? d (mm) D (mm) L0 (mm) Nt Material 4,5 69,2 215,6 8,2 A232 cromo-vanádio 15 ANEXO A – Aços de alto carbono e aços liga para molas. 16 Srt (Torção/tração) in mm Mpsi Gpa Mpsi Gpa Fio musical A228 Mola de fio duro estirado A227 Revenido em óleo A239Mola de vávula A230 Cromo-vanádio A231 A232 Cromo-silício A401 Aço inoxidável A313 17-7PH 414 420 431 Fósforo-bronze B159 Berílio-cobre B197 Liga inconel X-750 E Gporcentagem de Limite elástico, Material Diâmetro d ANEXO C – Propriedades mecânicas de alguns fios de mola. ANEXO B – Diagrama modificado de Goodman para fadiga, mostrando como determinar os limites de σa e σm, quando se conhece a razão entre as tensões.
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