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Apostila Cálculo II

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS 
 
 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“O SÁBIO NUNCA DIZ TUDO O QUE PENSA, 
MAS PENSA SEMPRE TUDO O QUE DIZ” 
Aristóteles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. Funções de várias variáveis 
2. Limites e continuidade de funções de várias variáveis 
3. Derivadas Parciais 
4. Diferenciais e aplicações de derivadas parciais 
5. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas 
6. Integrais duplas 
7. Aplicações das integrais duplas 
8. Integrais triplas 
9. Aplicações de integrais triplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Funções de várias variáveis 
 
Recordando a definição de função de uma variável: 
Uma função é uma relação de um conjunto A com um conjunto B, onde cada elemento de A se 
relaciona UNICAMENTE com um elemento de B. Usualmente denotamos uma tal função por f: A 
→ B, y = f(x), onde f é o nome da função, A é o conjunto de partida (domínio da função) e B é 
contradomínio e y = f(x) expressa a lei de correspondência dos elementos x ϵ A com os elementos y 
ϵ B. 
Agora, não é difícil entender que uma função de DUAS VARIÁVEIS relaciona DOIS números: 
x, y a outro número f(x,y). 
 
x, y → f(x, y) 
Exemplo: 
 
f(x,y) = x + y 
Alguns valores 
x y f(x,y) 
-1 0 -1 
-1 1 0 
0 1 1 
0 2 2 
 
E o gráfico dessa função será uma SUPERFÍCIE 
 
z = f(x,y) 
 
Da mesma forma uma função com três variáveis associa três números x, y e z a um único 
número f(x,y,z). Neste caso não existe o gráfico, pois nosso mundo tem três dimensões e o gráfico de 
função de três variáveis estaria em quatro dimensões. 
 
 Função de uma variável – gráfico é uma curva (1 dimensão) – Plano R2 
 Função de duas variáveis – gráfico é uma superfície(2 dimensões) – Plano R3 
 Função de três variáveis – gráfico é um sólido (3 dimensões) – Plano R4 
 
 
 Plano R2 Plano R3 
 
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1.1 Definição 
 
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (A  Rn), isto é, os elementos de A são n-uplas 
ordenadas (x1, x2, ...xn) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos a um único 
elemento z  R, temos uma função f: A  Rn  R. Essa função é chamada função de n-variáveis 
reais. Denotamos z = f(x,y) 
 
1.2 Domínio e Imagem 
 
De forma análoga ao cálculo de uma variável, os conjuntos domínio e imagem de uma função 
são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis. 
Seja f: A  Rn  R uma função. 
 O conjunto de todas as variáveis independentes de u  Rn tais que f(u) existe é chamado 
de f e é denotado por Dom(f). 
 O conjunto dos z  R tais que f(u) = z e u  Dom(f) é chamado imagem de f e é denotado 
por Im(f) 
 
Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema. 
Exemplos 
1)O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h. 
 
 
V(r,h) = .r2.h 
 
 
 
 
 
Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que: 
 
Dom(f) = {(r, h)  R2 / r > 0, h > 0} 
Im(f) = (0, ) 
 
2)Seja z = f(x,y) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2. Note que f é definida se, e somente se: 
 
1 – x2 – y2  0 ,ou seja, x2 + y2  1 (circunferência de raio 1). Logo: 
 
 
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Dom(f) = {(x,y)  R2 / x2 + y2  1} e Im(f) = [0, 1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Seja z = f(x,y) = 
𝑥
𝑥−𝑦
. Qual o Dom(f)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Seja z = f(x,y) – ln(y – x). Qual o Dom(f)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5)Qual o domínio da função z = f(x,y) = 
𝑦
√𝑥2+𝑦2−1
 
 
 
 
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6)Qual o domínio da função w = f(x,y,z) = 𝑦√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Gráfico de funções de Várias Variáveis 
 
É o conjunto de todos os pontos (x,y,z)  R3, tais que (x,y)  D(f) e z = f(x,y). 
Simbolicamente, escrevemos: 
 
graf(f) = {(x,y,z)  R3/ z = f(x,y)} 
 
Para construir o esboço do gráfico de uma função de várias variáveis utilizamos a seguinte 
sequência: 
 
1)Estudar o domínio da função; 
2)Fazer a intersecção com os planos coordenados (se o resultado for significativo): 
 plano xz  y = 0 
 
 
 
Exemplos: 
 
1)Faça o esboço do gráfico da função z = f(x,y) = x2 + y2 
 
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2)Faça o esboço do gráfico da função z = f(x,y) = 
√𝑥2 + 𝑦2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Curvas de nível 
 
As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função z = f(x,y) e, portanto, são 
traçadas no plano xy. Cada curva de nível f(x,y) = k é a projeção, sobre o plano xy, da intersecção do 
gráfico de f com o plano horizontal z = k. 
Assim, para obtermos uma visualização do gráfico de f, podemos traçar diversas curvas de nível 
e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocadas para a altura z = k correspondente. Veja o gráfico 
abaixo para a função z = f(x,y) = x2 + y2 
 
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Exemplos 
1)Esboçar as curvas de nível da função f(x,y) = y2 – x2 para k = 0, 1 e 2 
 
 
 
 
 
 
 
2)Esboçar as curvas de nível da função f(x,y) = 4 – x2 - 4y2 para k = 0, 1 e 2