Qui quadrado para INDEPENDÊNCIA (SPSS)

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Qui-quadrado: Independência
(exemplo usando SPSS)
Aulas de apoio: Estatística, Cálculo I e Matemática financeira
Análise estatística: Trabalhos acadêmicos e profissionais
Professor: José Alberto
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χ2 para associação
1 TESTE QUI-QUADRADO
É um teste não paramétrico, ou seja, não depende de parâmetros populacionais, como
média e variância.
O princípio básico deste método é comparar proporções, isto é, as possíveis diver-
gências entre as frequências observadas e esperadas para um certo evento. Evidente-
mente, pode-se dizer que dois grupos se comportam de forma semelhante se as dife-
renças entre as frequências observadas e as esperadas em cada categoria forem muito
pequenas, próximas a zero.
O teste do qui-quadrado pode ser usado para testar uma variedade de tabelas de
contingência, além de mais de um tipo de hipóteses nulas e alternativas. Vamos estu-
dar aqui, tabelas de contingência R(linhas)xC(colunas).
Mais comumente, este teste é chamado de teste de qui-quadrado de independência,
mas também é conhecido como teste de qui-quadrado para associação. Embora seja
possível realizar o teste qui-quadrado de independência em variáveis ordinais, você
perderá a natureza ordenada dos dados ao fazê-lo e provavelmente haverá testes mais
adequados para esse tipo de variáveis.
Para fazer as inferências corretas de um teste de independência do qui-quadrado,
você precisará ter realizado um projeto de estudo em seu ambiente natural, ou seja, fora
de ambiente controlado como por exemplo um laboratório.
Se você estiver interessado em entender (e modelar) associações entre três ou mais
variáveis categóricas, você deve considerar uma análise loglinear em vez do teste qui-
quadrado de independência.
Por exemplo, você pode usar um teste de independência de qui-quadrado para de-
terminar se existe uma associação entre filiação partidária e tipo de residência, ou seja,
suas duas variáveis nominais seriam "afiliação política" que tem cinco categorias -
conservadores, trabalhista, UKIP, democratas liberal e partido verde - e "habitação",
que também tem quatro categorias: casa própria, casa hipotecada, locatário privado e
inquilino de habitação social. Além da associação (positiva ou negativa), você também
pode determinar a força/magnitude dessa associação.
Alternativamente, você pode usar um teste de independência do qui-quadrado para
determinar se existe uma associação entre a marca preferida de carro de luxo e o país
dos compradores (ou seja, suas duas variáveis nominais seriam "preferência de marca
de carro de luxo", que tem cinco categorias - Audi, BMW, Land Rover, Mercedes e Pors-
che - e "país comprador", que tem cinco categorias: Reino Unido,França, Alemanha,
Itália e Espanha. Novamente, se houver uma associação (positiva ou negativa), você
também pode determinar a força/magnitude dessa associação.
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χ2 para associação
2 Suposições
Para executar um teste de independência de qui-quadrado, há quatro pressupostos que
precisam ser considerados. As três primeiras premissas relacionam-se com a forma
como você mediu suas variáveis, enquanto a quarta suposição relaciona-se com a forma
como os dados se enquadram no modelo do teste de qui-quadrado de independência.
Esses pressupostos são:
• Você possui duas variáveis nominais.
• Você deve ter independência de observações, o que significa que não há relação
entre as observações em cada grupo de cada variável ou entre os próprios grupos.
De fato, uma distinção importante é feita nas estatísticas ao comparar valores de
indivíduos diferentes ou de indivíduos iguais.
• As observações devem ser frequências ou contagens
• Cada observação pertence a uma e somente uma categoria, e
• Todas as caselas devem ter valores esperados superiores a ou igual a cinco..
3 Compreendendo o qui-quadrado de independência
O teste de qui-quadrado de independência determina se existe uma associação entre
duas variáveis nominais. Ele faz isso comparando as freqüências observadas nas cé-
lulas com as freqüências que você esperaria se não houvesse associação entre as duas
variáveis nominais.
Como as freqüências esperadas são baseadas em que não há associação, quanto
maior a associação entre as duas variáveis nominais, maior seria a expectativa de que as
frequências observadas difiram das freqüências esperadas. O inverso também é verda-
deiro. Quanto menos as duas variáveis nominais estiverem associadas, mais próximas
as frequências observadas serão as frequências esperadas.
A hipotese nula deste teste é que as variáveis não são associadas (independentes).
Isto signifca dizer que as frequências observadas deveriam diferir minimamente das
frequências esperadas (se fossem independentes). A pergunta a se fazer é... quando
esta diferença é pequena?.
Para responder esta pergunta, lançamos mão da distribuição de qui-quadrado (cha-
mada qui-quadrado tabelada), que nos fornecerá um valor que deverá sem comparado
ao qui-quadrado observado, valor este que nada mais é que a soma das diferenças qua-
draticas, entre as tabelas observada e esperada.
A decisão será pela:
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χ2 para associação
• Não rejeição de H0 se χ2tabelado ≥ χ2observado. As amostras são independentes.
• Não aceitação de H0 se χ2tabelado < χ2observado. As amostras são associadas.
4 Teoria
O teste de independência Qui-Quadrado é usado para descobrir se existe uma associ-
ação entre a variável de linha e coluna variável em uma tabela de contingência cons-
truído à partir de dados da amostra.
Observações:
• Ao usar o teste de independência do qui-quadrado para testar a hipótese nula de
independência, você deve usar uma amostra transversal, vinda de observações
em seu ambiente natural (fora do laboratório). Se você usou outros métodos de
amostragem, como tipos de amostragem prospectiva ou retrospectiva, provavel-
mente estará testando uma hipótese nula diferente e você precisará considerar
outro teste estatístico.
• Pesquisa transversal (ou seccional), a pesquisa é realizada em um curto período
de tempo, em um determinado momento, ou seja, em um ponto no tempo, tal
como agora, hoje. Pesquisa prospectiva e retrospectiva. Na pesquisa prospec-
tiva, o estudo é conduzido a partir do momento presente e caminha em direção
ao futuro, já na retrospectiva, o estudo é desenhado para explorar fatos do pas-
sado, podendo ser delineado para retornar, do momento atual até um determi-
nado ponto no passado, há vários anos, por exemplo, como ocorre nos estudos
caso-controle, ou o pesquisador pode marcar um ponto no passado e conduzir
a pesquisa até o momento presente, pela análise documental, é óbvio, tal como
acontece no estudo do tipo coorte retrospectivo.
Os estimadores de máxima verossimilhança de pi. e p. j são:
pˆi. =
ni.
n
, i = 1, . . . ,r
pˆ. j =
n. j
n
, j = 1, . . . ,c
Então se a hipótese de independência é válida, os estimadores de máxima verossi-
milhança de pi j serão
pˆi j = pˆi.× pˆ. j = n ni.n
n. j
n
=
ni. n. j
n
i = 1, . . . ,r
j = 1, . . . ,c
e os estimadores de verossimilhança das frequências esperadas Ei j serão
Ei j = n
ni.
n
n. j
n
=
ni. n. j
n
i = 1, . . . ,r
j = 1, . . . ,c
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χ2 para associação
Seja Oi j = (O11,O12, . . . ,Orc) representa o vetor de contagens observadas com dis-
tribuição multinomial, Ei j representa as frequências esperadas e admintindo válida a
hipótese de independência dos critérios de classificação, a estatística
χ2obs =
r
∑
i=1
c
∑
j=1
(Oi j−Ei j)2
Ei j
tem distribuição assintótica Qui-Quadrado com (r−1)(c−1) graus de liberdade (Ver
demonstraçãoem Cramer (1946), páginas 417-419).
Pela estatística χ2 podemos entender qual a região crítica do teste de independên-
cia. Quando não ocorre independência é natural que as frequências observadas Oi j
sejam substancialmente diferentes das frequências esperadas Ei j que esperamos obser-
var quando a independência ocorre.
Então devemos rejeitar a hipótese H0 de independência dos critérios de classifi-
cação quando a estatística χ2obs é maior que um ponto crítico χ
2
α usando a Tabela da
distribuição Qui-Quadrado.
Assim, dado um nível de significância α , o p-valor é determinado por
p− valor = P[χ2obs > χ2α;(r−1)x(c−1)]
χ2obs =
∑(o− e)2
e
5 Hipóteses a serem testadas
O pesquisador trabalha com duas hipóteses:
• Hipótese nula: As frequências observadas não são diferentes das frequências
esperadas. Não existe diferença entre as frequências (contagens) dos grupos.
Portanto, não há associação entre os grupos.
• Hipótese alternativa: As frequências observadas são diferentes da frequências
esperadas, portanto existe diferença entre as frequências. Portanto, há associação
entre os grupos.
A tomada de decisão é feita comparando-se os dois valores de χ2
• Se χ2obs ≥χ2tab: Rejeita-se Ho.
• Se χ2obs < χ2tab: Aceita-se Ho.
Quando se consulta a tabela χ2tab observa-se que é determinada uma probabilidade
de ocorrência daquele acontecimento.
Portanto, rejeita-se uma hipótese quando a máxima probabilidade de erro ao rejeitar
aquela hipótese for baixa (alfa baixo), ou seja, quando a probabilidade dos desvios
terem ocorrido pelo simples acaso é baixa.
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χ2 para associação
6 Exemplos
6.1 Exemplo 1
Numa pesquisa de 120 pessoas que se aposentaram recentemente quer se determinar se
existe uma associação entre as duas variáveis nominais: "época do ano"e "destino de
férias preferido". Para fazer isso, os 120 aposentados declararam qual dos três destinos
de férias que prefeririam visitar - Reino Unido, França e Espanha e Estados Unidos,
com base nas quatro estações do ano - primavera, verão, outono e inverno.
• Ho: época do ano e destino de férias preferido são independentes. Ou seja, a
época do ano e o destino de férias preferido são independentes (não há associação
entre essas duas variáveis).
• Ha: época do ano e destino de férias preferido estão associados. Em palavras,
isso indica que a época do ano e o destino de férias preferido não são indepen-
dentes (ou seja, existe uma associação entre essas duas variáveis).
Para determinar se existe uma associação estatisticamente significativa, você exe-
cuta o teste do qui-quadrado de independência. Com base nesse resultado, você pode
aceitar ou rejeitar a hipótese nula.
6.2 Exemplo 2
Você realizou uma pesquisa de 200 alunos para determinar se existe uma associação
entre o curso de gradauação e o tipo de curso de graduação preferencial. Para fazer
isso, os 200 alunos declararam o curso de graduação que estavam interessados em fa-
zer - Negócios, Ciência do desporto, Psicologia, Engenharia e Matemática e o tipo de
curso que preferiam - 2 anos com 1 ano de estágio, 3 anos sem estágio, 3 anos com 1
ano de estágio e 4 anos sem estágio.
Neste exemplo, uma variável é "tema de licenciatura", que tem cinco categorias e a
outra variável é "tipo preferido de curso", que tem quatro categorias:
A hipótese nula para este exemplo é:
• Ho: curso de graduação e tipo preferido de licenciatura são independentes. Em
palavras, não há associação entre essas duas variáveis.
• Ha: curso de graduação e tipo preferido de curso não são independentes. Em
palavras, há uma associação entre essas duas variáveis
Para determinar se existe uma associação estatisticamente significativa, você executa o
teste qui-quadrado de independência. Com base nesse resultado, você pode aceitar ou
rejeitar a hipótese alternativa, e rejeitar, ou não rejeitar, a hipótese nula.
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χ2 para associação
7 Exemplo completo
Uma grande imobiliária (ou seja, uma organização que anuncia e ajuda a vender pro-
priedades) quer determinar se existe uma associação entre o tipo de comprador que
adquire uma propriedade e o tipo de propriedade comprada. Como tal, um total de
333 compradores foram amostrados aleatoriamente de todos os clientes que compra-
ram uma propriedade nos últimos 12 meses.
Os compradores foram classificados em quatro categorias: homem solteiro, mulher
solteira, casal e família. O tipo de propriedade que esses compradores compraram fo-
ram classificados também em quatro categorias: apartamento, bangalô (ou seja, uma
casa de um andar), casa isolada e terraço (ou seja, um bloco de casas adjacentes co-
muns no Reino Unido). Estes refletem as categorias de nossas 2 variaveis nominais:
tipo_comprador e tipo_propriedade, respectivamente.
7.1 Hipóteses nula e alternativa
As hipóteses nula e alternativa para este exemplo são:
• Ho: O tipo de comprador e tipo de propriedade adquirida são independentes.
• Ha: Existe associação entre tipo de comprador e tipo de propriedade.
7.2 Procedimento qui-quadro
O procedimento no SPSS para realizar um teste qui-quadrado de independência tam-
bém gera os testes para a força/magnitude de qualquer associação, além de produzir
resíduos padronizados ajustados que podem ser usados se o teste de independência do
qui-quadrado for estatisticamente significativo.
Ele também produz essa saída necessária para verificar se seus dados atendem ao
pressuposto de que todas as caselas devem ter expectativas superiores a cinco.
O procedimento para execução do teste é dado a seguir:
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7.3 Verificação das suposições χ2 para associação
7.3 Verificação das suposições
Quando você escolhe analisar seus dados usando um teste de independência de qui-
quadrado, uma parte crítica do processo envolve a verificação para garantir que os
dados que deseja estudar possam ser analisados usando este teste. Na verdade, o teste
do qui-quadrado da independência precisa considerar as 4 hipóteses já discutidas.
Se o seu projeto de estudo não atender a essas três primeiras premissas, o teste do
qui-quadrado para associação não deve ser usado para analisar seus dados. No entanto,
haverá outros testes que você pode usar. A quarta suposição relaciona-se com a forma
como seus dados se adequam ao modelo e podem ser testados usando estatísticas do
SPSS, ou seja, que todas as caselas devem ter contagens esperadas maiores ou iguais a
cinco.
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7.3 Verificação das suposições χ2 para associação
Você pode usar a tabela acima para determinar se as freqüências de células espera-
das são maiores ou iguais a cinco. Isso é destacado para cada célula do projeto na linha
"contagem esperada".
Uma vez que nosso exemplo é de duas variáveis, cada uma com quatro categorias,
haverá 16 caselas em nosso projeto que precisam ser verificadas (ou seja, 4 x 4 = 16).
Essas 16 células são destacadas na tabela acima nos retângulos vermelhos.
Você pode ver que a contagem mínima esperada em qualquer uma das células é
de 6,5 (ou seja, para "mulheres solteiras" que compraram "bangalô"), que é maior que
5. Portanto, a suposição de que todas as células deveriam ter expectativas superiores a
cinco foi atendida, o que significa que temos um tamanho de amostra adequado para
executar o teste do qui-quadrado da independência.
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7.4 Interpretação de Resultados χ2 para associação
7.4 Interpretação de Resultados
Depois de executar o procedimento Crosstabs e verificado a suposição do tamanho
da amostra, vamos então para interpretação dos resultados. O SPSS gera todas as
informações que você precisa para relatar os resultadosdo teste qui-quadrado da inde-
pendência, V de Cramer para determinar a força/magnitude da associação e, quando
apropriado, os resíduos padronizados para determinar quais células se desviam da in-
dependência. Observe a tabela a seguir:
Você pode ver que a estatística do qui-quadrado é igual a 82.504. Para determinar
se o teste é estatisticamente significativo, você precisa comparar esse resultado com
uma distribuição de qui-quadrado com 9 graus de liberdade, ou seja, (r-1)x(c-1).
Neste exemplo, p <.0005. Portanto, temos um resultado estatisticamente significa-
tivo. Isso significa que as duas variáveis não são independentes. Dito de outra forma,
existe uma associação entre nossas duas variáveis.
7.5 Força da associação
O principal problema com o teste do qui-quadrado de independência é que, embora
informe se você pode rejeitar a hipótese nula de independência, não o informa sobre
a força/magnitude de qualquer associação. O V de Cramer é uma medida que for-
nece uma estimativa da força da associação entre suas duas variáveis. O valor de V
de Cramer pode ser encontrado na tabela de medidas simétricas, conforme destacado
abaixo:
O V de Cramer é 0,287. O V de Cramer é uma medida da força da associação de
uma relação nominal por nominal (é uma medida do tamanho do e f eito). A estatís-
tica Phi só é adequada quando você tem duas variáveis dicotômicas. O V de Cramer
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7.6 Teste post hoc usando resíduos padronizados ajustados χ2 para associação
varia em 0 a 1 com um valor de 0, indicando que não há associação com um valor de
1 indicando associação completa. Cohen (1988) sugeriu as seguintes diretrizes para a
interpretação do V de Cramer:
Conclusão:
Um teste de independência de qui-quadrado foi realizado entre o tipo de comprador
e o tipo de propriedade adquirida. Todas as frequências das caselas esperadas foram
superiores a cinco. Houve uma associação estatisticamente significativa entre o tipo de
comprador e o tipo de propriedade comprada, χ2(9) = 82.504, p < .0005. A associação
foi moderadamente forte (Cohen, 1988), V de Cramer = 0,287.
7.6 Teste post hoc usando resíduos padronizados ajustados
O teste do qui-quadrado da independência encontrou evidências contra a hipótese nula.
Você pode usar isso para determinar se existe uma associação entre suas duas variá-
veis ou, de forma equivalente, se suas duas variáveis são independentes. No entanto,
encontrar uma associação (ou falta de independência), não fornece detalhes adicionais
dessa associação (por exemplo, quais células se desviam da independência) - apenas
que existe uma associação.
Existem dois métodos principais para acompanhar um resultado estatisticamente
significtivo: (a) particionamento da estatística do qui-quadrado, e (b) análise dos resí-
duos, embora ambos possam ser usados em combinação (Siegel Castellan, 1988). Va-
mos olhar a última abordagem, que é frequentemente descrito como uma abordagem
de comparação célula a célula (por exemplo, Agresti, 2007; Agresti, 2013; Agresti
Franklin, 2014).
7.7 Compreendendo os resíduos padronizados ajustados
Resíduo é a diferença entre a freqüência esperada e a freqüência observada. Portanto,
você terá um resíduo para cada casela da tabela de contingência. No nosso exemplo,
onde ambas as variáveis nominais têm quatro categorias, isso significa que temos 16
resíduos (4 x 4 = 16).
Quanto maior o resíduo, maior a diferença entre a frequência observada e frequên-
cia esperada. A análise desses resíduos pode ser problemática porque eles tendem a
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7.7 Compreendendo os resíduos padronizados ajustados χ2 para associação
ser maiores em células com freqüências esperadas ou observadas mais altas (Agresti,
2007; Agresti, 2013). Para lidar com este problema, os resíduos podem ser padro-
nizados para que eles tenham uma distribuição aproximadamente normal padrão com
a melhoria da aproximação em tamanhos de amostra maiores (Agresti, 2013; Siegel
Castellan, 1988). Esses resíduos são chamados de resíduos padronizados ou, resíduos
padronizados ajustados de acordo com a nomenclatura de Haberman (1978). Ao ana-
lisar estes resíduos padronizados ajustados, você pode fazer uma comparação casela a
casela das frequências esperadas versus observadas para ajudar a compreender a natu-
reza da evidência contra a hipótese nula (Agresti, 2007).
Se um resíduo padronizado ajustado for positivo, indica que há mais frequências
observadas do que as frequências esperadas, dada a hipótese nula de independência.
Se um resíduo padronizado ajustado é negativo, indica que há freqüências menos ob-
servadas do que as freqüências esperadas dada a hipótese nula de independência. Sim-
plificando, quanto maior o valor absoluto do residual padronizado ajustado, maior é a
contribuição considerada para o valor do qui-quadrado e mais essa célula fornecerá evi-
dências contra a hipótese nula. Dito de outra forma, as células com um grande resíduo
padronizado ajustado absoluto indicam onde a falta de independência está ocorrendo
dentro da tabela cruzada (Kateri, 2014).
Uma forma de determinar quando uma célula se desvia significativamente da in-
dependência (ou seja, fornece evidência contra a hipótese nula) é quando os resíduos
padronizados ajustados são maiores do que 2 ou 3 (erros padrão) (por exemplo, Agresti,
2013; Agresti Franklin , 2014). Resíduos padronizados ajustados superiores a 2 em
valor absoluto para tabelas pequenas e superiores a 3 para tabelas maiores (Agresti,
2007).
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7.8 Interpretação de resíduos padronizados ajustados χ2 para associação
7.8 Interpretação de resíduos padronizados ajustados
Tendo solicitado resíduos padronizados ajustados no procedimento, os resíduos pa-
dronizados ajustados são apresentados para cada célula da tabela cruzada, conforme
mostrado abaixo:
Os dois maiores resíduos padronizados ajustados são: homens solteiros que com-
praram apartamento e famílias que compraram apartamento. Para o caso de homens
solteiros que compraram um apartamento, mais do dobro do número de apartamentos
foram comprados em comparação com o que seria esperado se a hipótese nula fosse
verdadeira, com um resíduo padronizado ajustado de 6.1.
Alternativamente, as famílias compraram menos de um terço dos apartamentos que
seria esperado se o tipo de comprador fosse independente do tipo de propriedade com-
prado, com um resíduo padronizado ajustado de -5,4.
Ambos os resíduos padronizados ajustados são muito maiores que 3 e podem ex-
plicar em parte a rejeição da hipótese nula de independência. Como exemplo de uma
célula que "se encaixa" na hipótese nula de independência, considere mulheres sol-
teiras que compraram um bangalô, onde o resíduo ajustado padronizado é -1,1 e bem
dentro dos 3 desvios ajustados para uma tabela maior.
Se você tivesse apenas algumas células com grandes resíduos padronizados ajus-
tados, você provavelmente poderia relatá-los. No entanto, no nosso exemplo, temos 8
células com resíduos padronizados ajustados maiores que 3. Portanto, apresentamos-os
em um formato de tabela, conforme mostrado abaixo:
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χ2 para associação
8 Relatando seus principais achados
Um teste de independência de qui-quadrado foi realizado entre o tipo de comprador
e o tipo de propriedade adquirida. Todas as frequências esperadas foram superiores a
cinco. Houve uma associação estatisticamente significativa entre o tipo de comprador
e o tipo de propriedade comprada, χ2(9) = 82.504, com p < .0005. A associação foi
moderadamente forte (Cohen, 1988), V de Cramer = 0,287.
Os resíduos padronizados ajustados que explicam quais células se desviaram da
independência, estão exibidos na tabela anterior.
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