Matemática financeira usando HP12

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Matemática Financeira
(usando HP12)
Aulas de apoio: Estatística, Cálculo I e Matemática financeira
Análise estatística: Trabalhos acadêmicos e profissionais
Professor: José Alberto Dulluca
+55(11) 9.7525-3343 vivo/whatsapp
homepage: www.sosestatistica.com.br
e-mail: sosestatistica2015@gmail.com
Skype: sosestatistica
Matemática finaceira
1 Notações
• FV (Future Value): Montante
• PV (Presente Value) : Capital
• n: Período do empréstimo/aplicação
• J: Juros - valor acrescido
• D: Desconto - Valor descontado
• i: Taxa de juros
• d: taxa de desconto.
2 Juros Simples
2.1 Capitalização Simples
FV = PV.(1+ i.n) J = FV −PV ie f = FVPV −1 iq = it .
q
t
PV =
FV
1+ i.n
J = FV −PV ie f = FVPV −1 iq = it .
q
t
2.2 Desconto Simples
2.2.1 Desconto comercial, bancário ou "por fora"
.
PV = FV (1−d.n) d = 1−
PV
FV
n
D = FV −PV D = FV.d.n dq = dt .qt
2.2.2 Relação taxa de desconto x taxa de juros - SIMPLES
i =
FV
PV
−1 i = d
1−dn
2.2.3 Desconto racional simples - "‘por dentro"
FV = PV.(1+ i.n) PV =
FV
1+d.n
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2.3 Juros simples na HP12c Matemática finaceira
2.3 Juros simples na HP12c
A HP12c calcula automaticamente juros simples ordinários (utilizando o ano comer-
cial - 360 dias) e exatos (utilizando um ano de 365 dias), simultaneamente. É possível
exibir qualquer um dos dois, conforme descrito abaixo. Além do mais, com os ju-
ros acumulados no mostrador, você pode calcular o valor total (principal mais juros
acumulados) apertando +.
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3 Juros Compostos
3.1 Capitalização Composta
FV = PV.(1+ i)n J = FV −PV ie f = FVPV −1 iq = (1+ it)
q
t −1
3.2 Desconto Composto - "por dentro"
PV = FV.(1+ i)−n
3.2.1 conversão de taxas na HP
EXEMPLO: Converter uma taxa de 20
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4 Série de pagamentos
4.1 Antecipados
PV = PMT.
(1+ i)− (1+ i)1−n
i
FV = PMT.
(1+ i)n−1
i
.(1+ i)
4.2 Postecipados
PV = PMT.
(1+ i)n−1
i.(1+ i)n
FV = PMT.
(1+ i)n−1
i
4.3 Valor da parcela - PMT
PMT = PV
i.(1+ i)n
(1+ i)n−1 (POST ICIPADA)
PMT = PV
i
(1+ i)− (1+ i)1−n (ANT ECIPADA)
4.4
Valor do saldo devedor num dado instante futuro. Suponha que um empréstimo
(PRICE) a ser quitado em 40 prestações, qual o saldo devedor após a 25 prestação
paga?
PVj = PMT
(1+ i)n− j−1
i.(1+ i)n− j
PV = PMT
(1+ i)40−25−1
i.(1+ i)40−25
Qual o juro a ser pago na prestação 26?
J j+1 = PMT
(1+ i)n− j−1
(1+ i)n− j
J26 = PMT
(1+ i)40−25−1
(1+ i)40−25
Qual o juro total a ser pago a partir da prestação 26?
Basta calcular o FV, dando como PV o saldo devedor após 25 prestações, n=14 e i.
5 Sistema de amortização
• VA: Valor da amortização na prestação;
• SD j: Saldo devodor após a j-ésima prestação.
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5.1 Sistema PRICE (parcelas fixas) Matemática finaceira
5.1 Sistema PRICE (parcelas fixas)
PMT = PV.
i.(1+ i)n
(1+ i)n−1 SD j = PV.
(1+ i)n− (1+ i) j
(1+ i)n−1
5.2 Sistema SAC (amortizações fixas)
VA =
PV
n
SD j = PV − ( j ∗VA) J j+1 = SD j ∗ i PMTj+1 =VA+ J j+1
6 Análise de investimento
NPV = FC0−
n
∑
j=1
y j
(1+ i) j
FC0−
n
∑
j=1
y j
(1+ IRR) j
= 0
7 Taxas
7.0.1 Cálculo da taxa, dados: FV, PV e n
i = n
√
FV
PV
−1
O valor de R$5.000,00 é aplicado durante um período de 10 meses, ao final desse
período o Montante foi de R$6.000,00. Qual a taxa de juros mensal desta aplicação.
i = 10
√
6.000
5.000
−1 ⇒ i = 0,01839938 ⇒ i = 1,84%
7.1 Taxas Nominal e Efetiva
Qaundo o período da taxa não coincide com o período da capitalização. Neste caso é
convenção adotar-se a taxa por período de capitalização (taxa efetiva) como proporci-
onal à taxa considerada (taxa nominal)
Exemplo: Um capital de R$1.000,00 foi aplicado durante um ano à taxa de 12% a.a.,
mas com capitalização mensal dos juros. Qual o montante?
Taxa nominal: 12% a.a.
Taxa efetiva: 12%12 = 1%a.m.
FV = 1.000.(1+0,01)12 = 1.126,83
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7.2 Capitalização composta com taxas de juros variáveis Matemática finaceira
7.2 Capitalização composta com taxas de juros variáveis
FVn = PV.(1+ i1).(1+ i2).(1+ i3) . . .(1+ in)
A taxa acumulada no periodo é dada por:
iAC =
FVn
PV
−1⇒ iAC = (1+ i1).(1+ i2).(1+ i3) . . .(1+ in)−1
7.3 Taxa acumulada de empréstimo com hot money
Empréstimos com hot money são de curtíssimo prazo, geralmente um dia. Como as
taxas são dadas ao mês, no período considerado, a dada por:
iAC = (1+
i1
30
).(1+
i2
30
).(1+
i3
30
) . . .−1
Exemplo: Em três dias úteis consecutivos, vigoraram as seguintes taxas de opera-
ções de hot money: 3%, 3,5% e 4%. Qual a taxa acumulada no período?
iAC = (1+
0,03
30
).(1+
0,035
30
).(1+
0,04
30
)−1⇒ iAC = 0,0035 = 0,35%
7.4 Operação em dias úteis - CDI, CDB indexado ao CDI e LTN
A convenção adotada no Brasil é a de que haja, em média, 21 dias úteis por mês; conse-
quentemente o ano terá 252 dias. Algumas operações no mercado brasileiro costumam
ser feitas calculando-se o prazo em dias úteis.
7.5 Capitalização contínua
8 Taxa Real de Juros
8.1 Introdução
O fenômeno denominado inflação é o aumento persistente generalizado de preços dos
bens e de serviços, acarretando a perda do poder aquisitivo da moeda. Uma das caracte-
rísticas da inflação é a falta de sincronia nos aumentos de preços, alterando rapidamente
os preços relativos.
8.2 Índice de preços
Consideramos um produto que, no instante 0, tenha um preço p0 e que, no instante
t (t>0), tenha um preço pt . Define-se o índice de preços desse produto entre os dois
instantes ao número:
p0,t =
pt
p0
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8.3 Taxa acumulada Matemática finaceira
A variação percentual de preços é o número j, tal que:
j =
pt − p0
p0
−1
Exemplo: No ínicio de setembro de certo ano, o preço de um produto era R$30,00
e, no início de outubro do mesmo ano, era R$31,00.
a) Qual o índice de preços deste produto entre as duas datas?
p0,1 =
31
30
= 1,0333
b) Qual a variação porcentual de preços correspondente?
j =
31
30
−1 = 0,0333 = 3,33%
8.3 Taxa acumulada
jAC = (1+ j1).(1+ j2).(1+ j3) . . .(1+ jn)−1
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8.4 Taxa Real de Juros Matemática finaceira
8.4 Taxa Real de Juros
Se um capital (PV) é aplicado durante certo período n de tempo, à taxa i por período, o
montante resultante será:
FV1 = PV.(1+ i)n
Se neste mesmo período, a taxa de inflação for j, o capital (PV) corrigido moneteria-
mente pela inflação, será:
FV2 = PV (1+ j)n
Chamamos de taxa real de juros (r), o ganho real expresso como porcentagem do capital
corrigido.
r =
FV1−FV2
FV2
⇒ r = FV1
FV2
−1
Também podemos usar a seguinte relação, envolvendo: Taxa no período, taxa de infla-
ção e taxa real:
(1+ iap) = (1+ r).(1+ iin f l)
8.5 CDB e RDB
Certificado de Depósito Bancário (CDB) são títulos nominativos endossáveis.
Recibos de Depósitos Bancários (RDB) são títulos nominativos intransferíveis.
Existem 2 formas de remuneração para esses títulos: Prefixada e Pós-fixada, nos 2
casos os ganhos sofrem tributação (imposto de renda).
Exemplo: Um investidor aplicou R$20.000,00 em um CDB prefixado de 90 dias, a
taxa cobinada foi de 10% a.a.
a) Qual o montante?
FV = PV.(1+ i)n⇒ FV = 20.000.(1+0,1) 90360 ⇒ FV = 20.482,27
b) Qual o imposto de renda (alíquota (a) de 22,5%)?
IR = (FV −PV ).a⇒ IR = (20.482,27−20.000,00).0,225⇒ IR = 108,51
c) Qual o montante líquido?
FVliq = FV − IR = 20.482,27−108,51⇒FVliq = 20.373,76
d) Taxa líquida no período?
iliq =
FVliq
PV
−1⇒ iliq = 20.373,7620.000,00 −1⇒ iliq = 0,0187 = 1,87%a.p.
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9 Anáise de investimento
9.1 Valor Presente (VPL)
9.1.1 Caso 1 - Trazer a valor presente um valor futuro
Podemos interpretar o VPL como o capital (PV) atual necessário para obter um certo
montante (VN) após um período n (FV), assim fica fácil ver a fórmula abaixo:
V N =V PL.(1+ i)n ⇒ V PL = V N
(1+ i)n
Uma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000,00 vencendo daqui a três meses. Qual o
valor presente da dívida, considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m.?
V PL =
10.000
(1,015)3
= 9.563,17
Assim, se a pessoa aplicar hoje R$9,563,17 a 1,5% a.m., daqui a três meses terá um
montante de R$10.000,00
9.1.2 Caso 2 - Trazer a valor presente uma dívida/investimento parcelado
Consideremos o seguinte exemplo: um prédio é vendido por R$5.000.000,00 à vista ou,
então, à prazo em três parcelas mensais de R$1.7000.000,00 cada uma, sem entrada.
Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros
compostos e à taxa de 2% a.m. e tem fundos suficientes para pagar a vista?
Considere os valores y0,y1,y2, . . . ,yn, nas datas 0, 1, 2, 3,...,n, respectivamente.
Chamamos de valor atual na data 0 ou Valor Presente desse conjunto, a uma taxa i, a
soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0.
Os valores monetários referidos podem ser pagamentos de uma dívida ou rendas
recebidas.
V PL =
n
∑
j=0
y j
(1+ i) j
Exemplo: Uma loja vende um conjunto de sofás por R$500,00 de entrada, mais
três prestações mensais de R$800,00 cada uma. Se um comprador consegue aplicar seu
dinheiro à taxa de 1,2% a.m., quanto dverá dispor hoje para poder efetuar a compra?
V PL = 500+
800
(1,012)1
+
800
(1,012)2
+
800
(1,012)3
= 2.843,53
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9.2 Taxa Interna de Retorno - TIR Matemática finaceira
9.2 Taxa Interna de Retorno - TIR
Consideremos o seguinte problema: dado um conjunto de valores positivos y1,y2,y3, . . . ,yn
nas datas, 1,2,3, . . . ,n, respectivamente, e um valor atual V. Calcular a taxa de juros i,
que torne V o valor atual do conjunto de valores àquela taxa.
Basicamente, o problema consiste em achar o valor i, tal que:
V =
y1
(1+ i)1
+
y2
(1+ i)2
+
y3
(1+ i)3
+ . . .+
yn
(1+ i)n
É preciso resolver uma equação polinomial de grau n, o que, em geral, não pode ser
feito por métodos clássicos.
9.3 Taxa Interna de Retorno Modificada - TIRM
Para calcular a TIRM:
• calculamos o FV das parcelas do investimento, com a TMA e prazo desejadas;
• de posso de FV, a TIRM será a taxa que que nos leva a esse valor com o PV e
prazo desejados;
Exemplo: Investimento de 280.000,00 com retornos anuais (durante 10 anos) de
45.000,00. Calcule a TIRM, considerando uma TMA=10%.
45.000 CHS PMT /10n/ /10i/ FV = 717.184,1070
280.000 CHS PV /717.184,1070 FV /10n/ i = 9.86% (T IRM)
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9.4 Índice de Lucratividade Líquida - ILL Matemática finaceira
9.4 Índice de Lucratividade Líquida - ILL
Como próprio nome define, é uma medida de lucratividade relativa, dada por:
ILL =
INV EST IMENTO+V PL
INV EST IMENTO
ILL será o valor que o investidor reberá pelo investimeto realizado.
• Se ILL > 1, então o investimento vale a pena;
• Se ILL < 1, então o investimento não vale a pena.
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10 Cálculo de dias na HP12
1. Selecione o tipo de data: (g)(M.DY)-padrão ou (g)(D.MY);
2. Data anterior (exp: 6.042016) ENTER;
3. Data posterior (exp: 30.082016) (g)(∆ DYS).
A resposta exibida no visor (146) é o número real de dias entre as duas datas,
incluindo dias bissextos (dias adicionais que ocorrem em anos bissextos), se houver.
Além disso, a HP12 também calcula o número de dias entre as duas datas à base de
30 dias por mês. Essa resposta fica mantida no interior da calculadora; para exibi-la,
pressione (x<>Y) (144). Pressionar (X<>Y) (146) novamente trará de volta a resposta
original ao visor.
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Matemática finaceira
11 Programação para calcular taxa equivalente
Combinação de teclas para programar a equivalência de taxas.
Como calcular a taxa após a programação.
Teste: Calcular a taxa equivalente em meses de uma taxa 36% a.a.
Resposta: 2,59548347 % a.m.
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Matemática finaceira
12 Cálculo do custo para manter um ativo usado
Vamos conhecer o custo de manter um ativo usado e compará-lo com o custo de adqui-
rir um novo.
12.1 Exemplo
Considere um ativo adquirido há três anos que apresenta um valor residual (valor de
venda previsto ao final de sua vida útil) de R$16.000,00. Esse ativo tem mais sete anos
de vida útil e um custo anual uniforme equivalente (CAUE) anual de operação de R$
40.000,00. Seu valor atual está estimado em R$22.000,00, a uma taxa de desconto de
12% ao ano. Vamos determinar o custo equivalente anual desse ativo.
Custo equivalente do investimento:
22.000 PV 12 i 7 n 0 FV PMT⇒ PMT = 4.820,59/ano
Valor residual equivalente anual:
16.000 FV 12 i 7 n 0 PV PMT⇒ PMT = 1.585,88/ano
Custo total equivalente:
4.820,59 - 1.585,88 + 40.000,00 = 43.234,71
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