Exercícios resolvidos: Derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE - DMAI
Campus Prof. Alberto Carvalho
Disciplina: Matema´tica Ba´sica Semestre letivo: 2017.2
Professora: Cristiele de Santana Lima Data: 22/01/2018
Aluno (a):
Nota: ...................
2a Avaliac¸a˜o - GABARITO
1. (2, 0) Encontre a derivada da func¸a˜o. Simplifique onde poss´ıvel.
(a) f(x) = 2− 5x7 + 6x8 − 10x10
SOLUC¸A˜O: f ′(x) = −35x6 + 48x7 − 100x9 = x6(−35 + 48x− 100x3)
(b) y(t) = cos2 t + sin2 t
SOLUC¸A˜O: Pela relac¸a˜o fundamental da trigonometria y(t) = cos2 t + sin2 t = 1 −→ y′(t) = 0 ou
usando a regra da cadeia y′(t) = 2 cos t(− sin t) + 2 sin t cos t = −2 cos t sin t + 2 cos t sin t = 0
(c) g(x) =
sinx
x2
SOLUC¸A˜O: Usando regra do quociente g′(x) =
(cosx)x2 − (sinx)2x
(x2)2
=
x cosx− 2 sinx
x3
(d) h(x) =
√
xex
SOLUC¸A˜O: h′(x) =
1
2
√
x
ex +
√
xex = ex
(
1
2
√
x
+
√
x
)
= ex
(
2x + 1
2
√
x
)
2. (2, 0) Derive as func¸o˜es usando a regra da cadeia.
(a) f(y) = ln(ey)
SOLUC¸A˜O: f ′(y) =
1
ey
ey =
ey
ey
= 1
(b) y =
√
2x− 1
SOLUC¸A˜O:
1
2
√
2x− 12 =
2
2
√
2x− 1 =
1√
2x− 1
(c) y = ex
3
SOLUC¸A˜O: y′ = 3x2ex
3
(d) f(s) = (2s5 + 6s−3)5
SOLUC¸A˜O: f ′(s) = 5(2s5 + 6s−3)4.(2s5 + 6s−3)′ = 5(2s5 + 6s−3)4(10s4 − 18s−4) = (2s5 +
6s−3)4(50s4 − 90s−4)
3. (2, 0) Se g(x) = ex.f(x), onde f(0) = 2 e f ′(0) = 5, encontre g′(0).
SOLUC¸A˜O: g′(x) = ex.f(x) + exf ′(x)⇒ g′(0) = e0.f(0) + e0f ′(0) = 2 + 5 = 7
4. (2, 0) Encontre f ′′′(x) dado que f(x) = x4ex.
SOLUC¸A˜O: f ′(x) = 4x3ex + x4ex = ex(4x3 + x4)
f ′′(x) = ex(4x3 + x4) + ex(12x2 + 4x3) = ex(x4 + 8x3 + 12x2)
f ′′′(x) = ex(x4 + 8x3 + 12x2) + ex(4x3 + 24x2 + 24x) = ex(x4 + 12x3 + 36x2 + 24x)
1
cleit
Realce
cleit
Realce
5. (2, 0) Em uma prova de Matema´tica Ba´sica da UFS foi pedido que calculassem a derivada da func¸a˜o
y5 + x2y3 = 1 + y2, usando derivac¸a˜o impl´ıcita. Um certo aluno resolveu a questa˜o e exibiu o seguinte
resultado:
y′ =
−2xy3
5y4 − 2y
Suponha que voceˆ seja o(a) professor(a) e tera´ que analisar o desempenho do aluno, voceˆ conclui que o
aluno acertou ou errou a questa˜o? Justifique sua resposta exibindo os ca´lculos que usou para chegar a
essa conclusa˜o.
SOLUC¸A˜O: Derivando implicitamente em relac¸a˜o a x
(y5 + x2y3)′ = (1 + y2)′
⇒ 5y4y′ + 2xy3 + x23y2y′ = 2yy′
⇒ 5y4y′ + x23y2y′ − 2yy′ = −2xy3
⇒ (5y4 + 3x2y2 − 2y)y′ = −2xy3
⇒ y′ = −2xy
3
5y4 + 3x2y2 − 2y
⇒ y′ = −2xy
2
5y3 + 3x2y − 2
Conclusa˜o: O aluno errou a questa˜o!
Bom desempenho!
Tente uma, duas, treˆs vezes e se poss´ıvel tente a quarta, a quinta e quantas vezes for necessa´rio. So´ na˜o
desista nas primeiras tentativas, a persisteˆncia e´ amiga da conquista. Se voceˆ quer chegar a onde a maioria
na˜o chega, fac¸a o que a maioria na˜o faz.
2
cleit
Realce
cleit
Realce
cleit
Realce
cleit
Realce