Trabalho Gerenciamento de projeto

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11/12/2017
Trabalho aula semipresencial:
 SISTEMAS DE FLUIDOS MECÂNICOS “A”.
TEMA DO TRABALHO: “Aplicações da equação de Bernoulli e da equação da continuidade”.
 
Alunos:
Alexsander D. da Silva............................................................................................RGM: 272-349
Bruno Graf Gil Marin..............................................................................................RGM: 280-749
Elizeu Costa............................................................................................................RGM: 271-848
Francisco José dos Santos......................................................................................RGM: 271-756
Gilberto Moreira da Silva Jr....................................................................................RGM: 294-918
Tainampis Erisson dos Santos.................................................................................RGM: 272-989
SUMÁRIO
“Aplicações da equação de Bernoulli e da equação da continuidade”.
1.0 - Objetivo ............................. ................................................................................. 02
2.0 - Introdução ........................................................................................................... 02
3.0 - O que é o princípio de Bernoulli? ........................................................................ 02
3.1 - Como você pode derivar o princípio de Bernoulli? ................................. 03
3.2 - O que é a equação de Bernoulli? ............................................................ 05
4.0 - O que é a equação da continuidade? ............................................................ 07
4.1 - Equação da continuidade para Mecânica dos fluidos. ............................. 08
5.0 – Venturi ................................................................................................................. 09
6.0 - Tubo de Pitot ........................................................................................................ 11
7.0 - O empuxo de um foguete ..................................................................................... 12
8.0 Exercícios de Exemplo: ........................................................................................... 14
9.0 - Referências bibliográficas ..................................................................................... 19
1.0 - Objetivo
O objetivo deste trabalho é expor de forma bem sucinta a teoria e exercícios práticos “Aplicações da equação de Bernoulli e da equação da continuidade”, tendo como foco o Medidor Venturi, o Tubo de Pitot e o Empuxo de um Foguete. Este trabalho refere-se ao “TRABALHO DE AULA SEMI PRESENCIAL”.
2.0 - Introdução
Teremos como objetivo definir o Princípio de Bernoulli, seu conceito e formulas, demonstraremos como derivar definir o Princípio de Bernoulli e definiremos a Equação de Bernoulli. Explicaremos os princípios da equação da continuidade, e daremos exemplos do Medidor Venturi, o Tubo de Pitot e o Empuxo de um Foguete.
3.0 - O que é o princípio de Bernoulli?
O princípio de Bernoulli é uma declaração aparentemente sem explicação sobre como a velocidade de um fluido está relacionada à pressão do fluido. Muitas pessoas acham que o princípio de Bernoulli não está correto, mas isso deve ser por causa de um mal-entendido sobre o que o princípio de Bernoulli de fato diz. O princípio de Bernoulli diz o seguinte: (dentro de um fluxo de fluido horizontal, pontos de velocidade de fluido mais alta terão menos pressão que pontos de velocidade de fluido mais baixa.)
Foi exposto por Daniel Bernoulli em sua obra Hidrodinâmica (1738) e expressa que num fluido ideal (sem viscosidade nem atrito) em regime de circulação por um conduto fechado, a energia que possui o fluido permanece constante ao longo de seu percurso. A energia de um fluido em qualquer momento consta de três componentes:
Cinética: é a energia devida à velocidade que possua o fluido.
Potencial gravitacional: é a energia devida à altitude que um fluido possua.
Energia de fluxo: é a energia que um fluido contém devido à pressão que possui.
A seguinte equação conhecida como "Equação de Bernoulli" (Trinômio de Bernoulli) consta destes mesmos termos.
{\displaystyle {\frac {V^{2}\rho }{2}}+{P}+{\rho gh}=constante} 
onde:
 = velocidade do fluido na seção considerada.
 = aceleração gravitacional
  = altura na direção da gravidade desde uma cota de referência.
 = pressão ao longo da linha de corrente.
 = densidade do fluido.
Para aplicar a equação se deve realizar as seguintes suposições:
Viscosidade (atrito interno) = 0 Ou seja, se considera que a linha de corrente sobre a qual se aplica se encontra em uma zona 'não viscosa' do fluido.
Caudal (ou vazão) constante
Fluxo incompressível, onde ρ é constante.
A equação se aplica ao longo de uma linha de corrente ou em um fluxo irrotacional.
3.1 - Como você pode derivar o princípio de Bernoulli?
Os fluidos incompressíveis precisam aumentar sua velocidade quando eles chegam a uma seção estreita para manter uma taxa de fluxo de volume constante. É por isso que um bocal estreito em uma mangueira faz a água sair mais rápido. Mas algo deve estar incomodando você a respeito desse fenômeno. Se a água está aumentando sua velocidade em uma parte estreita, ela também está ganhando energia cinética. De onde vem essa energia cinética extra? Do bocal? Do tubo?
A única forma de dar energia cinética para alguma coisa é realizar trabalho nela. Isso é expresso pelo princípio de energia do trabalho.
Então, se uma porção do fluido está aumentando sua velocidade, algo externo ao fluido deve estar realizando trabalho sobre ele. Que força está realizando trabalho no fluido? Bem, na maioria dos sistemas do mundo real, há várias forças dissipativas que poderiam realizar trabalho negativo, mas para simplificar vamos considerar que essas forças viscosas são desprezíveis e que temos um fluxo contínuo e perfeitamente laminar (sem agitação). Fluxo laminar (sem agitação) significa que o fluido flui em camadas paralelas sem cruzar seus caminhos. Em um fluxo laminar contínuo, não há agitação ou vórtices no fluido.
Vamos considerar que não temos perda de energia devido a forças dissipativas. Nesse caso, quais forças não dissipativas poderiam realizar trabalho em nosso fluido para que sua velocidade aumentasse? A pressão do fluido ao redor vai fazer uma força que pode realizar trabalho e aumentar a velocidade de uma porção do fluido.
Considere o diagrama abaixo que mostra água fluindo por fluxos da esquerda para a direita. Conforme o volume de água destacado entra na região constringida, sua velocidade aumenta. A força da pressão P1 no lado esquerdo da água em destaque empurra para a direita e faz trabalho positivo, já que empurra na mesma direção do movimento do fluido. A força da pressão P2 no lado direito do fluido em destaque empurra para a esquerda e faz trabalho negativo, já que empurra na direção oposta do movimento do fluido.
Sabemos que a água deve aumentar sua velocidade (devido à equação da continuidade) e portanto ter um trabalho resultante positivo. Então, o trabalho realizado pela força da pressão do lado esquerdo deve ser maior que o trabalho negativo realizado pela força da pressão do lado direito. Isso significa que a pressão no lado mais largo/devagar P​1​​ deve ser maior que a pressão no lado mais estreito/rápido P​2.
Essa relação inversa entre a pressão e a velocidade em um ponto em um fluido é chamada de princípio de Bernoulli.
Princípio de Bernoulli: Em pontos ao longo de um fluxo de corrente horizontal, regiões de maior pressão têm velocidade de fluido menor e pontos de pressão menor têm velocidade de fluido maior.
Pode ser conceitualmente mais simples pensar no princípio de Bernoulli como o fato de que um fluido fluindo de uma região com maior pressão para uma região com pressão menor será acelerado devido à força resultantena direção do movimento.
A ideia de que regiões nas quais o fluido está se movendo rápido têm pressões menores pode parecer estranha. Certamente, um fluido que se move rápido e atinge você deve aplicar mais pressão ao seu corpo do que um fluido que se move devagar, certo? Sim, isso é verdade. Mas estamos falando de duas pressões diferentes. A pressão a qual se refere o princípio de Bernoulli é a pressão interna do fluido que seria exercida em todas as direções durante o fluxo, incluindo nos lados do tubo. Ela é diferente da pressão que um fluido exerceria em você caso você entrasse na frente dele e parasse seu movimento. 
Observe que o princípio de Bernoulli não diz que um fluxo que se movimenta rapidamente não pode ter pressões significativamente altas. Ele apenas diz que a pressão em uma região com velocidade menor do mesmo sistema de fluxo deve ter uma pressão ainda maior que a região com movimento mais rápido.
3.2 - O que é a equação de Bernoulli?
A equação de Bernoulli é, em sua essência, uma forma mais geral e matemática do princípio de Bernoulli que também leva em consideração variações na energia potencial gravitacional. Vamos derivar essa equação na próxima seção, mas antes disso, vamos dar uma olhada na equação de Bernoulli e ver o que ela diz e como podemos usá-la.
A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a velocidade e a altura de quaisquer dois pontos (1 e 2) em um fluxo constante de fluido de densidade . A equação de Bernoulli é normalmente escrita da seguinte forma,
As variáveis  referem-se à pressão, velocidade e altura do fluido no ponto 1, ao passo que as variáveis  referem-se à pressão, velocidade e altura do fluido no ponto 2, como visto no diagrama abaixo. O diagrama abaixo mostra uma escolha particular de dois pontos (1 e 2) no fluido, mas a equação de Bernoulli serve para quaisquer dois pontos do fluido.
Ao usar a equação de Bernoulli, como você determina onde escolher os pontos? Escolher um dos pontos como a posição na qual você quer encontrar uma variável desconhecida é obrigatório. Caso contrário, como você vai calcular essa variável? Você normalmente vai escolher um segundo ponto em uma posição sobre a qual você tem alguma informação, ou na qual o fluido está aberto à atmosfera, já que a pressão nesse ponto é conhecida como a pressão.
Observe que h se refere à altura do fluido acima um nível arbitrário que você pode escolher da forma que lhe for conveniente. Normalmente é mais fácil escolher o menor entre os dois pontos (1 ou 2) como o ponto no qual a altura h=0. O P se refere a esse ponto. Você pode escolher usar a pressão manométrica ou absoluta, mas seja qual for o tipo de pressão que você escolher (manométrica ou absoluta), você precisa usá-lo também no outro lado da equação. Você não pode inserir a pressão manométrica no ponto 1 e calcular a pressão no ponto 2, o valor obtido será a pressão manométrica no ponto 2 (e não a pressão absoluta).
Os termos pgh na equação de Bernoulli se parecem com a energia cinética e a energia potencial mgh, somente com a massa m substituída pela densidade . Então não é surpreendente que a equação de Bernoulli seja o resultado da aplicação da conservação de energia em um fluxo de fluido. Vamos derivar a equação de Bernoulli usando a conservação de energia na próxima seção.
4.0 - O que é a equação da continuidade? 
Essa equação relaciona a velocidade de escoamento de um fluido e a área disponível para tal escoamento. A partir da imagem abaixo, perceba que o caminho feito pelo fluido possui duas áreas diferentes: A1 > A2. Imagine, portanto, que, em um intervalo de tempo (Δt), um volume (ΔV) do fluido entre pela área A1. Adotando o fluido como incompressível, devemos assumir que o mesmo volume (ΔV) deverá sair pela extremidade da área A2.
Durante o intervalo de tempo considerado, o espaço percorrido pelo fluido pode ser dado, a partir da equação da velocidade média, por Δs = v.Δt, em que v é a velocidade de escoamento. Tomando as marcações acinzentadas da figura como os volumes ocupados pelo fluido em movimento e sabendo que eles são iguais, temos:
V1 = V2
A1. Δs = A2. Δs
A1.v1.Δt = A2. v2.Δt
A1 .v1 = A2. v2
Assim, podemos perceber que, quanto menor for a área de escoamento disponível para um fluído, maior será a sua velocidade e vice-versa. Como exemplo final, podemos imaginar o “fio” de água formado por uma torneira meio aberta. Repare que, quanto mais baixo se olha, mais fino estará o filete de água, pois, com a ação da aceleração da gravidade, a velocidade do fluido aumenta, diminuindo a sua área de escoamento.
A fórmula geral para uma equação de continuidade é:
onde {\displaystyle \scriptstyle \varphi } é qualquer quantidade, {\displaystyle {\vec {v}}} é a velocidade do fluido e s descreve a geração (ou remoção) de {\displaystyle \scriptstyle \varphi }. Esta equação pode ser derivada por considerar os fluxos em um compartimento infinitesimal. Esta equação geral deve ser usada para derivar qualquer equação de continuidade, desde uma simples como a equação de continuidade de um volume a complicadas como as equações de Navier-Stokes. Esta equação também generaliza a equação de advecção.
4.1 - Equação da continuidade para Mecânica dos fluidos.
Em mecânica de fluidos, uma equação de continuidade é uma equação de conservação da massa amplamente usada na física e na engenharia. Sua forma diferencial é:
seja  a densidade de corrente e  a densidade do fluido. A fórmula nos diz que se a variação da densidade de corrente em relação ao tempo é proporcional à variação da densidade em relação ao tempo. Em um primeiro momento esta fórmula parece ser complicada, todavia após a dedução a seguir ela se tornará intuitiva para deslocamento de fluidos e inclusive para deslocamentos de carga.
Começamos a dedução a partir de uma suposição, dentro do volume analisado não há criação de massa ou sumiço da mesma, ou seja, não haverá nenhuma torneira nem nenhum cano de dreno por exemplo. Vamos supor que temos uma caixa de volume elementar,
a qual por ela existe um deslocamento de um fluido qualquer, a função vetorial que rege a velocidade deste fluido é
e a densidade de corrente é:
 é massa por unidade de área por unidade de tempo)
A massa que sai pela face x z em um determinado tempo por unidade de área é:
e a massa que entra é
Portanto se fizermos  teremos a diferença de massa de saída pela massa de entrada.
Podemos somar a contribuição de todas as faces no volume infinitesimal obtendo, portanto:
Supondo que esta variação seja devido à variação da densidade em relação ao tempo, e aplicando o limite para termos a fórmula para um ponto do espaço:
, obtemos, portanto, a equação apresentada no início do texto.
Como dito anteriormente não há fontes e também não há sumidouros, desta forma tivemos que atribuir esta diferença de massa à outra causa. Vejamos que faltou levarmos em consideração apenas uma hipótese, o que acontecerá se houverem flutuações temporais na densidade? Desta forma, como dito no parágrafo anterior, a variação do que entra em relação ao que sai, quando o fluido está em uma região livre de fontes e sumidouros, é consequência das flutuações da densidade do fluido no tempo em um determinado ponto do espaço.
É uma das três Equações de Euler (fluidos).
5.0 - Venturi
Idealizado por Giovanni Battista Venturi, o chamado tubo de Venturi é um equipamento que indica a variação da pressão de um fluido em escoamento em regiões com áreas transversais diferentes. Onde a área é menor, haverá maior velocidade, assim a pressão será maior. A recíproca é verdadeira.
A imagem acima mostra um fluido em escoamento por um tubo que apresenta áreas de secção transversal diferentes, a região central possui área menor. A passagem do líquido gera uma determinada pressão sobre as paredes do tubo. Observe que há três manômetros que fazem a determinação da pressão do líquido, na parte central, onde a área de secção transversal é menor, a pressão indicada é menor.
onde:
 é o peso específico 
W éuma medida da energia que é fornecida ao fluido.
hf é uma medida da energia empregada em vencer as forças fricção através do percurso do fluido.
Os subíndices 1 e 2 indicam se os valores estão dados para o começo ou o final do volume de controle respectivamente.
g = 9,81 m/s² e gc = 1 kg·m/(N·s²)
ou como a escrevemos originalmente:
6.0 - Tubo de Pitot
Tubo de Pitot — ou tubo pitot — é um instrumento de medição de velocidade muito utilizado para medir a velocidade de fluidos segundo modelos físicos simulados em laboratórios de hidráulica e aerodinâmica. Também usa-se em hidrologia, sendo capaz de medir indiretamente vazões em rios, canais, redes de abastecimento de água, adutoras e oleodutos.
Um importante meio de transporte faz um uso singular de tubos de Pitot: o avião.
Deve o seu nome ao físico francês do século XVIII Henri Pitot.
Funcionamento:
Pela conhecida equação de Bernoulli da Mecânica dos fluidos, tem-se:
pressão total = pressão estática + pressão dinâmica
A pressão estática, também chamada de piezométrica, é a que não depende do movimento. Ela pode ser detectada por piezômetros, ou obtida mediante o uso de um tubo de Prandtl envolvendo o tubo de Pitot.
A pressão dinâmica, também chamada de taquicarga, é a pressão atmosférica gerada quando o ar em velocidade de escoamento externo penetra no tubo Pitot.
A pressão total (ou de estagnação) por si só não é suficiente para determinar a velocidade do fluido.
O tubo de Pitot pode consistir num tubo em "L" com um único canal, permitindo medir apenas a pressão de estagnação (sendo necessário medir por outro meio a pressão estática) ou com dois canais e tomadas de pressão laterais para medir simultaneamente a pressão estática. Pode ser utilizado em laboratórios para estudos de aerodinâmica (túneis de vento) ou de hidrodinâmica em modelo reduzido em laboratórios de hidráulica.
Nos aviões[editar | editar código-fonte]
Os chamados "instrumentos estáticos do Pitot" medem a pressão atmosférica. São eles:
Altímetro
Indicador de velocidade no ar
Indicador de velocidade vertical
Eles estão conectados a tubos de pitot que se comunicam com o exterior da aeronave. Durante subida ou descida, a pressão do ar varia. Aqueles instrumentos interpretam isso física e matematicamente.
O indicador de velocidade no ar mede a diferença entre a pressão estática e a pressão dinâmica do ar, informando-a em nós ou número de Mach. Quando o avião voa mais rápido, o ar externo exerce uma maior pressão sobre o ar no interior do tubo pitot.
Os tubos de Pitot usados em aviões normalmente têm elementos de aquecimento, para evitar obstrução por congelamento. Acidentes aéreos já ocorreram devido a obstrução de um ou mais tubos de Pitot por gelo ou outro motivo.
7.0 - O empuxo de um foguete
O bocal de saída de um sistema propulsivo tem como função converter a energia termoquímica gerada na câmara de combustão em energia cinética. O bocal converte um gás com baixa velocidade, alta pressão e alta temperatura proveniente da câmara de combustão em um gás com alta velocidade, baixa pressão e temperatura. (BOGDAN, 2015). Diversos sistemas de propulsão atuais empregam bocais convergente-divergente para obtenção de empuxo, como os propulsores aeroespaciais exemplificados na figura abaixo, onde aparecem um bocal convergente-divergente para uso em propulsão aeroespacial da empresa SpaceX, modelo Merlin, em funcionamento em bancada estática e o mesmo bocal separado.
Os bocais convergentes-divergentes são normalmente projetados para trabalhar expelindo gases na saída do bocal com pressão estática igual à pressão externa (esta última pode ou não variar significativamente dependendo da aplicação) para aproveitar ao máximo a energia termodinâmica dos gases. A esse valor damos o nome de pressão de projeto. O empuxo gerado por qualquer sistema de propulsão é dado pela equação: 
onde F é a força de empuxo, o fluxo de massa que passa através do bocal, a velocidade média de saída do fluido do bocal, a pressão estática de saída do bocal, a pressão estática fora do bocal ou pressão atmosférica e área de saída do bocal.
O comportamento de tubeiras que seguem o funcionamento ideal é bastante conhecido, e existem muitas bibliografias sobre como os parâmetros do escoamento devem se comportar. O empuxo ideal fornecido por um foguete ideal pode ser calculado pela seguinte equação:
Onde é a área da secção transversal da garganta, a pressão estática da câmara de combustão e K a razão dos calores específicos.
8.0 Exercícios de Exemplo:
Exemplo 1
Quais são as vazões de óleo em massa e em peso no tubo convergente da figura, para elevar uma coluna de 20 cm de óleo no ponto (0)?
 Dados; desprezar as perdas; γ óleo= 8.000 N/m³; g = 10 mls²
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Exemplo 2
Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão do escoamento da água no conduto. Desprezar as perdas e considerar o diagrama de velocidades uniforme.
 Dados: γH20 = 10^4 N/m³; γm = 6 X 10^4 N/m³; p2 = 20 kPa; A = 10-2 m²; g = 10m/s².
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Exemplo 3
No conduto da figura, o fluido é considerado ideal. Dados: H1 = 16 m; P1 = 52 kPa; γ = 10^4 N/m³; D1 = D3 = 10 cm. 
Determinar: a) a vazão em peso; b) a altura h1 no manômetro; c) o diâmetro da seção (2).
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Exemplo 4
Na instalação da figura, todas as tubulações são de mesmo diâmetro (D = 138 mm); o registro é ajustado para que a vazão pela seção (1) seja a metade da vazão pela seção (2). Para tal condição,a altura manométrica da bomba vale 8 m e as perdas de carga valem, respectivamente:
Desprezando a perda de carga no 'T' na saída da bomba, determinar sua potência, sendo seu rendimento 48%. γH20 = 10^4 N/m³; g = 10 m/s².
9.0 - Referências bibliográficas
https://pt.khanacademy.org/science/physics/fluids/fluid-dynamics/a/what-is-bernoullis-equation
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Bernoulli
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/equacao-continuidade.htm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_continuidade
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/tubo-venturi.htm
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aulasfei/Resolu%C3%A7%C3%B5es_exerc%C3%ADcios_cap4.pdf
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/165384/TCC_Yan_da_Silva_Pedroni%20%281%29.pdf?sequence=2