Método da Superposição em regime permanente senoidal

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Método da Superposição Em Regime Permanente Senoidal:
1- Introdução:
 Quando somamos funções senoidais de mesma frequência, o resultado é senoidal, de mesma
frequência das funções parcelas, com amplitude e fase que dependem das parcelas individuais. A
determinação desta função soma pode ser feita usando relações trigonométricas,ou, também,
fasores. 
Da trigonometria, sabemos, por exemplo que: 
A utilização de relações trigonométrica, somando as funções no domínio do tempo, implica na
necessidade de lembremos das fórmulas, bem como que prestemos atenção ao ângulo de fase. No
exemplo anterior, arctg(B/A) não resulta em um ângulo único e, por isso, precisamos prestar
atenção ao quadrante, em especial, nos casos em que A for negativo. Por isso, o método fasorial é
útil para isso. Observe o exemplo: 
v(t) = 12 cos 10t -5sen 10t = 10cos 10t + 5cos (10 +90º) 
Figura 1
A função senoidal resultante é v(t) = 13 cos (10 +22,7º) V, desenhada na figura1, acima, juntamente
com as parcelas da soma.
Entretanto, se somarmos duas funções senoidais de frequências diferentes, o resultado não será
senoidal e pode ser periódico, ou não. Quando a razão entre as frequências das parcelas for
comensurável (ou seja, uma é múltipla inteira da outra), o resultado é não senoidal, mas periódico:
veja o exemplo: v(t) = 12cos 10t + 5 cos (20t+90º), mostrado na figura 2, a seguir.
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Figura 2- Soma de duas funções senoidais de frequências diferentes, mas comensuráveis.
Observe, na figura 2, que a função soma se repete,ou seja, é periódica, mas não é uma senoide 
Agora observe o caso: v(t) = 12 cos 10t + 5cos 3,179t . A razão entre as frequências é não
comensurável. A figura 3, a seguir, mostra as duas senoides parcelas, enquanto a figura 4 ilustra a
soma de ambas.
Agora, observe o caso da soma: v(t) = 12 cos10t + 5 cos 3,179t . A figura 3 mostra o gráfico das
duas parcelas e a figura 4 mostra a função resultante da soma de ambas. A função resultante não é
periódica, pois os períodos das parcelas são não comensuráveis.
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2- Aplicação à Análise de Circuitos Em Regime Permanente Senoidal:
2.1- 1º Caso: Se todas as fontes do circuito tiverem mesma frequência:
Neste caso, o método da superposição é opcional. Se for empregado, siga os passos:
1º- Passe o circuito ao domínio da frequência.
2º- Escolha uma das fontes e coloque todas as demais fontes independentes em repouso.( Lembre-se
que se houver fonte controlada, esta não irá para o repouso, a não ser que sua variável de controle
seja calculada e seu valor seja nulo).
3º- Calcule o fasor resposta à fonte escolhida.
4º- Calcule o fasor resposta a cada uma das demais fontes independentes, considerando cada uma
delas sozinha e com as demais em repouso.
5º- Totalize: (faça a superposição dos efeitos individuais) faça a soma algébrica dos fasores resposta
encontrados, obtendo o fasor total. Ao fazer a soma algébrica, observe o sentido escolhido para cada
parcela, em relação ao sentido arbitrado para a resposta total.
6º- Volte ao domínio do tempo, escrevendo a função senoidal resposta, correspondente ao fasor
total calculado.
Exemplo: Calcule a corrente i0(t), em regime permanente,no circuito a seguir, usando o método
fasorial e o teorema da superposição :
2.2- 2º Caso: Se as fontes do circuito tiverem frequências diferentes:
Neste caso, o método de superposição é obrigatório, pois as impedâncias presentes comportam-se
diferentemente para cada uma das fontes. Sabemos, ainda, do que foi mostrado no item 1, que a
soma de senoides de frequências diferentes não é senoidal e, portanto, não faria sentido somarmos
fasores que giram a velocidades angulares diferentes, obter um fasor único e retornar seu valor ao
domínio do tempo, como correspondente a uma só senóide, a qual, neste caso, não existe. É
importante perceber que podemos somar funções senoidais no domínio do tempo, porém, neste
caso, o resultado não é senoidal. Para calcular a resposta total, neste caso, siga os passos:
1º- Escolha uma fonte de uma frequência. (Se houver mais de uma fonte independente com a
mesma frequência poderemos calcular a resposta a todas de uma só vez, se desejarmos). Passe o
circuito ao domínio da frequência para esta frequência, colocando as demais fontes independentes
em repouso. (Deixe as controladas, se houver).
2º- Calcule o fasor resposta para esta fonte.
3º- Volte ao domínio do tempo, escrevendo a função senoidal associada a este fasor.
4º- Repita os passos anteriores para cada uma das fontes de frequência diferente.
5º- Totalize: Faça a soma algébrica das funções senoidais escritas no domínio do tempo. A resposta
é esta soma, não resultando, portanto numa função senoidal única de uma só frequência e, sim,
numa soma de funções senoidais de diferentes frequências.
Observação Importante: Se houver uma fonte DC (ou CC), ou seja, uma fonte de tensão ou de
corrente de valor constante, podemos considerá-la como um caso especial de AC, com frequência
zero, pois, observe, por exemplo, se tivermos v(t) = 20V = 20 cos 0t V. Asim, podemos elaborar a
tabela de impedâncias de elementos de circuitos da seguinte forma: 
Elemento (Domínio do
Tempo):
Impedância (Frequência ω)
 (Ω)
Impedância para
ω=0rad/s
 (Ω)
R R R
C 1/j0C =∞, ou seja: circuito
aberto.
L jωL J0L=0, ou seja, curto-circuito
Exemplo: Calcule a corrente i0(t), em regime permanente, no circuito a seguir, usando o método
fasorial