Aula 1 Eletromagnetismo - Luciana Rios - UVA

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LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DO CAMPO ELE´TRICO
1. Lei de Coulomb e intensidade de campo
• Comec¸aremos com os conceitos fundamentais que sa˜o aplica´veis a
campos ele´tricos esta´ticos (na˜o variam com o tempo) no espac¸o livre
(ou va´cuo).
• Campos eletrosta´ticos sa˜o gerados por cargas esta´ticas.
• Os campos eletrosta´ticos sa˜o governados por duas leis fundamentais:
a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss.
• A Lei de Coulomb e´ uma lei experimental formulada em 1785 pelo
coronel franceˆs Charles Augustin de Coulomb; ela trata da forc¸a ele-
trosta´tica que uma carga pontual exerce sobre outra carga pontual.
1
• A Lei de Coulomb estabelece que a forc¸a F entre duas cargas pon-
tuais Q1 e Q2 esta´ direcionada ao longo da linha que une as duas
cargas e seu mo´dulo e´ dado por
F =
kQ1Q2
R2
, (1)
onde R e´ a distaˆncia entre as cargas e k = 14piε0 ≈ 9 × 10
9 F/m. A
constante ε0 = 8,854 × 10−12 F/m e´ chamada de permissividade
do espac¸o livre. A equac¸a˜o acima pode enta˜o ser escrita na forma
F =
Q1Q2
4piε0R2
. (2)
• Usando notac¸a˜o vetorial, a forc¸a que a cargaQ1 exerce sobre a carga
Q2 e´ dada por
F12 =
Q1Q2
4piε0R2
aˆR12, (3)
onde r1 e r2 sa˜o os vetores posic¸a˜o das cargas Q1 e Q2 em relac¸a˜o
a origem e
R12 = r2 − r1, (4)
R = |R12| e
aˆR12 =
R12
R
(5)
e´ o vetor unita´rio que fornece a direc¸a˜o de F12.
• A equac¸a˜o (3) pode enta˜o ser escrita como
F12 =
Q1Q2
4piε0R3
R12 =
Q1Q2 (r2 − r1)
4piε0|r2 − r1|3
. (6)
• A forc¸a F21 que a carga Q2 exerce sobre a carga Q1 e´ dada por
F21 = −F12.
• Lembrando que
– cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas de sinal con-
tra´rio se atraem;
– as cargas sa˜o pontuais e esta´ticas;
– os sinais das cargas devem ser levados em considerac¸a˜o nas
equac¸o˜es (3) e (6).
• Princı´pio da superposic¸a˜o: se existirem N cargas Q1, Q2, . . ., QN
localizadas, respectivamente, em pontos cujos vetores posic¸a˜o sa˜o
r1, r2, . . ., rN, a forc¸a resultante F sobre uma carga Q localizada em
r e´ dada pela soma vetorial das forc¸as exercidas sobre Q devido a
cada uma das cargas,
F =
Q1Q (r− r1)
4piε0|r− r1|3
+
Q2Q (r− r2)
4piε0|r− r2|3
+ . . .
QNQ (r− rN)
4piε0|r− rN|3
, (7)
ou
F =
Q
4piε0
N∑
k=1
Qk (r− rk)
|r− rk|3
. (8)
• O vetor intensidade do campo ele´trico E e´ dado pela forc¸a por unidade
de carga,
E =
F
Q
. (9)
• A intensidade do campo ele´trico e´ medida em N/C ou V/m.
• A intensidade do campo ele´trico em um ponto (com vetor posic¸a˜o r)
devido a uma carga pontual localizada em r′ pode ser obtida a partir
das equac¸o˜es (3) e (6),
E =
Q
4piε0R2
aˆR =
Q
(
r− r′)
4piε0|r− r′|3
. (10)
• Para N cargas pontuais localizadas em r1, r2, . . ., rN, a intensidade
do campo ele´trico no ponto r e´ dada por
E =
Q1 (r− r1)
4piε0|r− r1|3
+
Q2 (r− r2)
4piε0|r− r2|3
+ . . .
QN (r− rN)
4piε0|r− rN|3
, (11)
ou
E =
1
4piε0
N∑
k=1
Qk (r− rk)
|r− rk|3
. (12)
Exemplo 1: Duas cargas pontuais de 1 mC e −2 mC esta˜o loca-
lizadas em (3,2,−1) e (−1,−1,4), respectivamente. Calcule a
forc¸a ele´trica sobre uma carga de 10 nC, localizada em (0,3,1), e
a intensidade do campo ele´trico nesse ponto.
Para calcular a forc¸a resultante sobre Q = 10 nC, escrevemos
F =
Q1Q (r− r1)
4piε0|r− r1|3
+
Q2Q (r− r2)
4piε0|r− r2|3
, (13)
onde Q1 = 1 mC e Q2 = −2 mC. Logo,
F =
1
4piε0
{
10−3 × 10× 10−9 [(0,3,1)− (3,2,−1)]
|(0,3,1)− (3,2,−1)|3
}
+ (14)
1
4piε0
{−2× 10−3 × 10× 10−9 [(0,3,1)− (−1,−1,4)]
|(0,3,1)− (−1,−1,4)|3
}
=
1
4piε0
[
10−11 × (−3,1,2)
|(−3,1,2)|3 −
2× 10−11 × (1,4,−3)
|(1,4,−3)|3
]
=
9× 109 × 10−11
[
(−3,1,2)
|(−3,1,2)|3 −
2× (1,4,−3)
|(1,4,−3)|3
]
.
Como
|(−3,1,2)| =
√
(−3)2+ (1)2+ (2)2 =
√
14 = 3,742
e
|(1,4,−3)| =
√
(1)2+ (4)2+ (−3)2 =
√
26 = 5,099,
a expressa˜o (14) torna-se
F = 9× 10−2
[
(−3,1,2)
(3,742)3
− 2× (1,4,−3)
(5,099)3
]
=
9× 10−4[(−5,724; 1,908; 3,816)−(1,509; 6,034;−4,526)] =
9× 10−4(−7,233;−4,126; 8,342) =
10−3(−6,510;−3,713; 7,508).
Logo F = −6,510aˆx − 3,713aˆy+7,508aˆz mN.
Determinando agora a intensidade do campo ele´trico no ponto onde
esta´ localizada a carga Q:
E =
F
Q
=
10−3 × (−6,510;−3,713; 7,508)
10× 10−9 =
105×(−6,510;−3,713; 7,508) = 103×(−651,0;−371,3; 750,8).
Portanto, E = −651,0aˆx − 371,3aˆy+750,8aˆz kV/m.
Refereˆncias:
• SHADIKU, M. N. O., Elementos de Eletromagnetismo. Editora Bookman, 5a edic¸a˜o, 2012.