CONCEITOS GERAIS APLICADOS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 05

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MODELAGEM MATEMÁTICA 
APLICADA ÀS FINANÇAS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ernani João Silva 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa quinta aula sobre modelagem matemática 
aplicada à finanças. Hoje vamos continuar com nossos estudos sobre os 
movimentos do fluxo de caixa que ocorrem no intervalo entre os momentos VP 
e VF. E, nesta aula em específico, vamos trabalhar com as séries não 
convencionais. Sendo assim, teremos cinco temas de estudo nesse encontro: 
1. Custo médio ponderado do capital: CMPC; 
2. Custo de capital de terceiros e custo do capital próprio/CAPM; 
3. Taxa interna de retorno; 
4. Valor presente líquido; 
5. Percepção avançada: IBC e ROIA. 
Com esses cinco temas você será capaz de compreender a importância 
de um fluxo de caixa não uniforme, bem como aplicá-lo e interpretá-lo em 
diferentes momentos de sua vida profissional, seja na análise de um projeto 
operacional, seja nas decisões sobre aplicações financeiras. E dito isso, vamos 
trabalhar. 
CONTEXTUALIZANDO 
Na aula 4, estudamos que um fluxo de caixa pode ser, em relação ao 
período de ocorrência, enquadrado como: antecipado, postecipado ou diferido. 
Agora, chegou a hora de destacarmos que, além dessa classificação, um fluxo 
também pode ser diferenciado, segundo Assaf Neto (2016), em relação a outros 
três itens, os quais são: periocidade, duração e valores. No quesito periocidade, 
um fluxo pode ser periódico ou não periódico, isto é, ele pode ter entradas e 
saídas ocorrendo de forma padronizada ou não ao longo do tempo. Em relação 
ao aspecto duração, ele pode ser finito ou infinito, ou seja, seu fim pode ser 
previamente definido ou desconhecido/indefinido. Por fim, sobre a questão dos 
valores, temos aqui que as entradas e saídas podem ocorrer em quantidades 
monetárias iguais ou diferentes durante o período em que ocorre a análise. 
Pois bem, se consideramos que os períodos são periódicos, os valores 
são iguais e a duração finita, então temos nessas condições os cenários vistos 
na aula 4; ou seja, temos os fluxos convencionais ou uniformes. Agora, o que 
teremos se as condições não forem estas? Obviamente, neste caso, teremos os 
 
 
3 
fluxos não convencionais. Ou seja, fluxos que não podem ser tratados pelos 
comportamentos perfeitamente orquestrados pelas regras vistas até então. 
Achou estranho? Pois saiba que no dia a dia de uma fábrica ou nas aplicações 
de renda variável esta será a realidade... a realidade do fluxo não convencional! 
TEMA 1 – CUSTO DO CAPITAL: CUSTO MÉDIO PONDERADO 
Na aula 1, quando foi explicado o que era uma taxa de juro, estudamos 
que aqueles que emprestam seu capital a outrem desejam receber uma 
remuneração que compense oportunidades perdidas e os riscos corridos. Neste 
tópico vamos aprofundar esse conhecimento trabalhando o conceito custo 
médio ponderado do capital – CMPC – e, posteriormente, no Tema 2, as 
formas de precificação do capital de terceiros e próprio – neste último caso, em 
específico, por meio do modelo matemático denominado de Capital Asset Pricing 
Model – CAPM)1. 
Se você está lendo essas páginas é porque conquistou tal direito ao 
provar para esta instituição de ensino que sua base matemática lhe permite tal 
feito, então, o conteúdo denominado de “média aritmética ponderada” já é 
matéria consolidada para você. Da mesma forma, o significado acadêmico e 
prático do que vem a ser “custo” também já lhe é algo bem próximo. Todavia, 
acredito que o conceito sobre o que é “capital” talvez ainda precise ser polido, 
pelo menos sobre o que é capital para uma empresa. Para tanto, vamos pedir 
ajuda para Hoji (2006, p. 188) para suprir essa necessidade, no qual 
encontraremos que: “[capital é um] conjunto de bens, créditos e débitos 
colocados à disposição da empresa, com a finalidade de gerar resultados 
econômicos”. Acredito que o professor Hoji deixou bem claro o que é o capital, 
sendo assim, vamos ver agora quem é que disponibiliza esse capital para uma 
empresa. 
Uma empresa só tem duas fontes possíveis para obter capital. Os donos 
– ex.: aporte para constituição da empresa – e os terceiros – ex.: empréstimos, 
compras a prazo etc. Quando o capital é originário dos donos da empresa, ele é 
denominado de “capital próprio”, quando tem origem de outras fontes – por 
 
1 O “CAPM” no Brasil também é conhecido como “Modelo de Precificação de Ativos Financeiros” 
e, sendo assim, pode ser que você encontre em algum livro o termo “MPAF”. Todavia, saiba que 
a forma mais comum de designá-lo - tanto na prática como na academia - é pela sua sigla em 
inglês, CAPM. 
 
 
 
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exemplo, bancos – é reconhecido como sendo “capital de terceiros”. Ou seja, 
são ditos como terceiros todos aqueles investidores que não aparecem no 
contrato social da entidade e, por sua vez, os donos do capital próprio são 
aqueles reconhecidos como acionistas ou cotistas da empresa. 
Tanto o capital próprio como o capital de terceiros são formados pela 
equação vista na aula 1, isto é: k = Cop + Pr. Ou seja, tanto o custo do capital 
próprio como o de terceiros são definidos como resultados da soma entre “custo 
de oportunidade” e “prêmio de risco”. E como esses dois grupos de autores 
econômicos, por certo, apresentam opiniões distintas sobre as oportunidades 
que estão perdendo e os riscos que estão correndo, o custo de seus capitais, 
por certo, são valores distintos entre si. Sendo assim, como uma empresa pode 
quantificar de forma prática o custo do capital que financia suas operações? Ora, 
usando o cálculo da média aritmética ponderada, ou seja: 
k p . CP% + k t . CT% = ke ∴ 
k p . 
CP
CTO
 .100 + k t . CP
CTO
.100 = ke ∴ 
k p . 
CP
CT+CP
 .100 + k t . CT
CT+CP
 .100 = ke ∴ 
Onde: 
• k e: Custo do capital da empresa = CMPC (expresso de forma percentual); 
• k p: Custo do capital próprio (expresso de forma percentual); 
• k t: Custo do capital de terceiros (expresso de forma percentual); 
• CP%: Participação percentual do capital próprio; 
• CT%: Participação percentual do capital de terceiro; 
• CP: Quantidade de capital próprio (volume de capital); 
• CT: Quantidade de capital de terceiro (volume de capital); 
• CTO: Quantidade total de capital na empresa, onde CTO = CT + CP. 
A melhor forma de entender isso é praticando, então vamos trabalhar! 
Considere que uma empresa tem uma estrutura de capital composta por 
R$ 20 mil obtidos com terceiros e por R$ 80 mil por aporte dos donos da 
 
 
5 
entidade. Sabendo que os terceiros apresentam um custo de capital de 5% ao 
mês e os donos um custo de 10%, informe: Qual o custo de capital da empresa? 
10% . 
20 mil
80mil + 20mil .100 + 5% . 80 mil80mil + 20mil .100 = ke ∴ 
10% . 
20 mil
100 mil .100 + 5% . 80 mil100 mil . 100 = ke ∴ 
10% . 20% + 5% . 80% = 6% é custo, pois 
10/100 . 20/100 + 5/100 . 8/100 = 6/100 = 6% custo 
Convenhamos, foi bem simples! Com um cálculo básico de ponderação, 
descobrimos que a empresa analisada tinha um custo de capital de 6%. Todavia, 
para aplicarmos essa conta no dia a dia de uma empresa, precisamos saber 
onde encontraremos esses valores que serão inseridos na fórmula. Em geral, 
usamos para esses cálculos os valores de longo prazo, pois eles foram, em 
essência, obtidos a constituírem a estrutura operacional da empresa, são eles: 
passivo não circulante (as dívidas de longo prazo) e o patrimônio líquido. Os 
valores do passivo circulante não são considerados por serem interpretados 
como assuntos financeiros circulantes e, por isso, elementos de constante 
alteração duranteas atividades da empresa. Sendo assim, temos a seguinte 
estrutura de financiamento em uma empresa, segundo a ótica contábil: estrutura 
financeira e estrutura de capital. 
Figura 1 – Estrutura financeira e estrutura de capital 
 
 
 
6 
E, a partir dessa lógica, temos que o custo do capital de uma empresa é 
simbolizada, para efeitos da modelagem matemática como sendo: 
Figura 2 – Efeitos da modelagem matemática 
 
Apenas mais dois assuntos precisão ser explicadas para termos um 
entendimento básico sobre o que vem a ser o custo do capital e como podemos 
obter os dados necessários para seu cálculo, sendo eles: obtenção dos dados 
do custo do capital de terceiro e a forma de estimação do custo do capital próprio. 
Sendo esses, portanto, os dois próximos temas dessa aula. 
TEMA 2 – CUSTO DO CAPITAL: TERCEIROS E PRÓPRIO 
Primeiro, vamos estudar qual é a diferença de “custo de capitação” e 
“custo de capital de terceiros”. O custo de captação de capital de terceiros, em 
geral, estará explícito em um documento, pois trata-se de uma operação 
contratual de mercado – ex.: empréstimo, desconto de duplicadas etc. Ou seja, 
o custo de captação é um valor nominal e, por consequência, o custo de capital 
de terceiros é o valor efetivo a ser usado para a ponderação do custo do capital. 
Quando analisamos uma empresa cujo regime tributário é de lucro 
presumido ou de micro/pequeno porte, temos que o custo de captação também 
é o próprio custo do capital de terceiros. Todavia, quando analisamos o custo de 
capital de terceiros em empresas enquadradas no regime tributário de lucro 
real (e somente nelas), precisamos ajustar o valor de captação. Ou seja, 
precisamos transformar o valor do custo de captação em um valor de custo que 
esteja líquido dos efeitos dos benefícios do IR e CSLL (imposto de renda e 
 
 
7 
contribuição social sobre lucro líquido). E, para tanto, usamos a seguinte 
modelagem: 
Fórmula 1 – Modelagem 
k t = k c . [ 1 – ( IR + CSLL ) ] 
 
Onde: 
• k t: custo do capital de terceiros; 
• k c: custo de captação de terceiros; 
• IR+CSLL: Imposto de renda e Contribuição social*. 
*Obsservação: em geral, usamos IR+CSLL = 25% + 9% = 34%) 
Vamos entender por meio de um exemplo: 
Sabendo que uma empresa de lucro real captou no mercado (isto é, com 
terceiros) um capital a juros de 8% ao mês, informe o valor do custo de capital 
de terceiros dessa empresa. 
Fórmula 2 – Custo de capital de terceiros 
k t = 8% . [ 1 – ( 25% + 9% ) ] 
k t = 8% . [ 1 – 34% ] 
k t = 8% . 0,66 ∴ 
k t= 5,28% 
Bem, agora que já sabemos como calcular o custo de capital de uma 
empresa e, também, o valor do capital de terceiros, precisamos aprender como 
estabelecer o custo do capital próprio. E, dentre as várias formas possíveis, 
vamos estudar aqui a do modelo CAPM. Esta forma nada mais é do que uma 
maneira de quantificar o custo do capital próprio, tendo como base a diferença 
percebida pelos donos da empresa (os acionistas e cotistas) entre o risco do 
mercado e o risco da empresa. Sua lógica fica bem clara quando entendemos o 
significado presente na fórmula que segue: 
 
 
 
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Fórmula 3 – Modelo CAPM 
Como foi visto: 
k p = Cop + Pr 
Se for considerado que: 
Cop = k lr e que Pr = β . Pr m = β . ( k m - k lr ); 
Então, temos que a modelagem do CAPM é... 
 
k p = k lr + β . ( k m - k lr ) 
 
Onde: 
• k p: Custo de Capital Próprio (basicamente, Ações Ordinárias); 
• k lr: Taxa Livre de Risco (em geral, taxa Selic); 
• k m: Taxa de Retorno do Mercado (ex.: retorno da Ibovespa); 
• β: Beta, nível risco da empresa em relação ao risco do mercado. 
Resumindo a ópera, podemos encontrar o custo do capital próprio se 
soubermos quais são os valores que a Economia oferece para 
1. O custo de oportunidade livre de risco; 
2. O prêmio de risco de mercado e, também, para; 
3. O nível de risco da empresa frente ao mercado. 
Por que tudo isso? Simples, porque o custo do capital dos donos não está 
estabelecido em um contrato. Por isso, precisamos utilizar uma proxy2, na qual 
iremos estimar o possível comportamento médio presente em um grupo de 
acionista ou cotista por meio desses dados. Fica mais fácil quando vemos um 
exemplo... 
Uma empresa listada na bolsa de valores apresenta, segundo os analistas 
do mercado financeiro, um beta no valor de 1,2. Sabendo que a Ibovespa 
apresentou no mesmo período um retorno de 13% a.a. e que a Selic teve um 
seu valor fixado em 10,75%; qual é o custo do capital próprio desta empresa? 
 
2 Algoritmo para estimar uma variável que dificilmente poderá ser obtida de forma direta. 
 
 
9 
k p = k lr + β . (k m - k lr ) 
k p = 10,75% + 1,2 . (13% – 10,75%) 
k p = 10,75% + 1,2 . 2,25% (Obs: 2,25% =prêmio de risco da Ibovespa) 
k p = 10,75% + 2,70% (Obs: 2,70% =prêmio de risco da empresa) 
k p = 13,45% (Obs.: 13,45%=custo do capital próprio da empresa) 
Ou seja, o CAPM nada mais é do que uma modelagem mais densa do 
custo do capital que foi estudado na aula 1. Dessa forma, é possível deduzir que 
um acionista ou cotista somente realiza um aporte de capital ou mantém seu 
capital em determinada empresa se ela pagar uma taxa de retorno que cubra 
tanto a taxa de títulos sem risco como a taxa risco do mercado ajustada ao nível 
de risco da empresa. Portanto, tem-se que se beta (o nível de risco da empresa) 
for: 
I. Menor que 1, o risco é menor que o mercado; 
II. Igual a 1, o risco da empresa é igual ao mercado; 
III. Maior que 1, o risco é maior que o mercado. 
 Ah! Talvez você esteja se perguntando: Como saberei os valores de beta, 
do custo de mercado e do capital livre de risco? Pois bem, saiba que tanto o beta 
como o custo de mercado são itens facilmente obtidos em sites especializados 
em investimentos3, já o capital livre de risco, este pode ser obtido em sites 
governamentais, como o do Tesouro ou do Banco do Brasil. E dito isso, 
encerramos esse segundo tópico e, assim, podemos iniciar nossas análises 
sobre os fluxos não convencionais, pela ótica da TIR e do VPL. 
TEMA 3 – TAXA INTERNA DE RETORNO: TIR 
Como foi visto no tema 1 desta aula, quando um investidor realiza a 
entrega de seu capital para uma empresa, ele pretende ter um retorno sobre 
esse investimento em tal volume que este seja, no mínimo, igual ao valor do 
custo de oportunidade mais o prêmio de risco. Da mesma forma, uma empresa, 
 
3 Como  e Km são calculados já é assunto para outras disciplinas. Mas, acredite, não é nada de 
outro mundo. Caso você tenha curiosidade, dê uma olhada em artigos científicos contábeis que 
abordam o CAPM, em geral, no referencial teórico esse tema é desmembrado com bastante 
cuidado. 
 
 
10 
para ser viável, não pode ter um retorno que seja inferior ao custo de capital que 
carrega para realizar suas operações, o CMPC. Sendo assim, um fluxo de caixa 
precisa ser analisado de modo a constatar se essa taxa mínima de retorno foi 
alcançada. Para tanto, duas análises podem ser feitas a esse respeito: (i) TIR, 
Taxa Interna de Retorno; (ii) VPL, Valor Presente Líquido. Neste tema, vamos 
nos concentrar na primeira, sendo assim, olhe com atenção o fluxo que segue: 
Figura 3 – TIR 
 
Aqui, temos um fluxo de caixa que poderia ser o resultado econômico de 
uma máquina adquirida por uma empresa ou o resultado de uma carteira de 
ações da bolsa de valores. Basicamente, temos que no momento 0 (zero) foi 
realizado um investimento de R$ 200,31 (compra da máquina ou das ações); no 
momento 1, ocorreu um retorno de R$ 10 (encaixe: lucrorealizado ou dividendos 
recebidos); no momento 2, ocorreu um desencaixe de R$ 1,00 (manutenção na 
operação da máquina ou compra de mais ações); por fim, no momento 3, o fim 
da operação, a entrada de R$ 215 (venda da máquina ou das ações). Para saber 
se a operação foi boa ou não, precisamos compará-la com nossa Taxa Mínima 
de Atratividade (TMA) – todo aquele contexto visto no Tema 1. 
Vamos dizer que nossa TMA é igual a 3% (eu escolhi esse valor de forma 
arbitrária, somente para ilustrar o que é a TIR, portanto, ele poderia ter sido 
qualquer outro valor nesse exemplo). Se a taxa interna do fluxo for igual ou maior 
que 3%, então, o fluxo será viável, pois atenderá a TMA; agora, se ele for menor 
que 3%, ele será inviável, pois não atingirá o valor mínimo que torna a operação 
atrativa (interessante financeiramente). Sendo assim, vamos calcular a taxa de 
retorno interna (ou seja, a taxa interna de retorno: TIR) desse fluxo.... Mas como 
vamos fazer isso? Bem, no braço é pelo método da “tentativa e do erro”, um 
método chamado de interpolação linear, vamos entendê-lo no passo-a-passo: 
1. Precisamos estabelecer uma equação na qual a soma dos valores 
presentes do fluxo de caixa é igual a zero. Ou seja, que seu Valor 
 
 
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Presente Líquido (VPL), isto é, o valor presente da operação, líquido das 
entradas e saídas, não apresente nem saldo positivo nem saldo negativo. 
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉0 − � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = 𝑉𝑉𝑉𝑉0 − � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = 0 
Onde: 
• VPL = Valor presente líquido (saldo das entradas e saídas na condição 
VP); 
• VP0 = Valor presente no momento “0” (zero); 
• VPj = Valor presente no momento “j” (j represente cada momento do fluxo); 
• VFj = Valor futuro no momento “j”; 
• i = Taxa de juro efetiva da operação; 
• ∑ .𝑛𝑛𝑗𝑗=1 = Simbologia para soma de todos os valores entre o momento 1 
(zero) e o momento “n” (o último momento do fluxo). 
Sendo assim: 
 𝑉𝑉𝑉𝑉0 − � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = −200,31 + 10(1 + 𝑖𝑖)1 + − 1,00(1 + 𝑖𝑖)2 + 215,00(1 + 𝑖𝑖)3 = 0 
 
2. Precisamos tentar valores em “i” que zerem a operação. Isso mesmo, 
vamos chutar um valor para “i” e ver o que ocorre. Se nossa tentativa for 
um valor muito alto, teremos um resultado de VPL negativo, por sua vez, 
se o chute for muito baixo, o VPL será positivo. Essa lógica segue ilustrada 
no gráfico abaixo: 
Gráfico 1 – VPL negativo e positivo 
 
 
 
12 
Ao realizarmos as tentativas, é importante obtermos dois números de VPL 
com sinais opostos, isso é, um “VPL +” e outro “VPL –”. Além disso, é importante 
que os chutes sobre o valor de “i” gerem números de VPL pequenos, pois assim 
o nível de exatidão será melhor. 
Vamos testar um valor de i = 3%. 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = −200,31 + 10(1 + 3%)1 + − 1,00(1 + 3%)2 + 215,00(1 + 3%)3 = +5,2116 
Bem, i=3% foi muito baixo, pois teve VPL +. Vamos testar um valor de i = 4,0%. 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = −200,31 + 10(1 + 4%)1 + − 1,00(1 + 4%)2 + 215,00(1 + 4%)3 = −0,4850 
Agora i=4% foi muito alto, pois teve VPL -, porém, conseguimos um “VPL 
+” e outro “VPL –”, além de um valor bem próximo de zero... os chutes foram 
bons. 
3. Vamos aplicar as duas taxas do segundo passo, bem como seus 
respectivos VPL no modelo que segue: 
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 1 + ( 𝑖𝑖 2 − 𝑖𝑖 1) . 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 1𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 1 + |𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 2| 
Onde: 
• TIR: Taxa Interna de retorno, isto é, o valor de “i” que zero o VPL; 
• i1: Taxa de juro 1 (aquela que gerou “VPL + “ ); 
• i2: Taxa de juro 2 (aquela que gerou “VPL - “ ); 
• VPL1: Valor presente líquido com i1; 
• IVPL2 I: Valor presente líquido com i2 em módulo (isto é, sem sinal - ). 
Sendo assim: 
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑖𝑖 = 3% + (4% − 3%) . 5,21165,2116 + 0,485 = 3% + 0,91% ∴ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑖𝑖= 3,91% 
 
 
 
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4. Vamos testar a TIR que encontramos: 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = −200,31 + 10(1 + 3,91%)1 + − 1(1 + 3,91%)2 + 215(1 + 3,91%)3 
≅ 0,0 
Portanto, i = 3,91% é o valor aproximado da TIR muito bom, pois zerou 
fluxo com uma precisão de 1 casa decimal. E, sendo assim, podemos deduzir 
que o fluxo é viável, pois a TIR (3,91%) é maior que TMA (3%). 
Agora, vamos ver como resolvemos esse problema na HP12c: 
• F REG (Esse comando limpa os registros, muitos falam F CLX, mas não 
é); 
• 200,31 CHS g CFo (“CHS” muda o sinal; “g” aciona o comando azul); 
• 10 g CF j; 
• 1 CHS g CF j; 
• 215 g CF j; 
• F IRR => na tela aparece 3,91 ∴ i = 3,91% (o valor da TIR). 
Bem, vamos agora estudar como analisamos um fluxo não convencional 
pela ótica do VPL. 
TEMA 4 – VALOR PRESENTE LÍQUIDO: VPL 
O processo de análise de um fluxo de caixa não convencional utilizando 
o VPL é muito simples, pois só é preciso adicionar o valor da TMA na operação 
de desconto do fluxo e verificar ser o resultado foi positivo, nulo ou negativo. Se 
for positivo, o fluxo obteve em valores atuais o mesmo que era desejado como 
TMA e mais um valor excedente. Se for nulo, então o fluxo obteve exatamente 
o que a TMA exigia. Por fim, se o resultado for nulo, o fluxo teve um retorno 
inferior ao que era exigido pela TMA. Vamos retornar ao nosso fluxo do Tema 3: 
Figura 4 – Fluxo exigido pela TMA 
 
 
 
14 
Bem, não vamos repetir o que significam esses valores, isso já foi feito no 
Tema 3. Vamos, então, direcionar nossa atenção para a análise do fluxo 
considerando uma TMA de 3%. Sendo assim, antes de tudo, precisamos 
estabelecer a função do VPL: 
Equação 1 – Função do VPL 
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉0 − � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = 𝑉𝑉𝑉𝑉0 − � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 
Note que aqui não temos uma equação, mas, sim, uma função. A 
diferença? Ora, na equação temos uma igualdade já estabelecida para o VPL, a 
qual deve ser alcançada com alterações na variável “i” (lá no estudo da TIR era 
VPL = 0). Já na função, vamos informar um valor para a variável “i” (no caso 
i=TMA=3%) e, a partir desse fator, iremos descobrir qual será o resultado do 
VPL. 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = −200,31 + 10(1 + 3%)1 + − 1,00(1 + 3%)2 + 215,00(1 + 3%)3 = +5,2116 
∴ 
VPL = + R$ 5,2116 
Ou seja, o fluxo em questão cobriu o que queríamos como retorno mínimo 
para três períodos de aplicação e, além disso, forneceu um ganho extra de R$ 
5,2116. Sendo assim, o presente fluxo é viável pela ótica da modelagem 
financeira. Convenhamos, é bem mais fácil que a TIR. Agora, vamos ver como 
fazemos o mesmo cálculo na HP 12c. 
• F REG (Esse comando limpa os registros, muitos falam F CLX, mas não 
é); 
• 200,31 CHS g CFo (“CHS” muda o sinal ; “g” aciona o comando azul); 
• 10 g CF j; 
• 1 CHS g CF j; 
• 215 g CF j; 
• 3 i (só muda isso em relação aos lançamentos dos dados); 
 
 
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• F NPV => na tela aparece 5,2116 ∴ VPL = R$ 5,2116*. 
*Observação: para ver 5,2216 ajuste as casas decimais da tela da Hp 12c 
com f .4 
Bem antes de encerramos, vamos ver uma das facilidades no uso da 
HP12c, por meio do seguinte fluxo de caixa cuja TMA é de 0,5%: 
Figura 5 – Fluxo de caixa cuja TMA é de 0,5% 
 
 
Olhar esse fluxo é um tanto assustador, pois ele tem 53 lançamentos. No 
momento zero, saiu R$ 218.720,00 e entre o momento 1 e 16 (inclusos esses) 
são 16 momentos de lançamentos com valor zero (16 = 16 - 1 + 1). No momento 
17 entrou R$ 28 mil e entre o momento 18 e 27 (incluso esses) temos 10 
lançamentos com valor zero (10 = 27 - 18 + 1) e assim por diante. Imagine ficar 
digitando 16 ou 10 vezes o comando “0 g CFj”, com certezasua chance de errar 
um dos lançamentos é gigantesca, por isso a HP12c trouxe para nós um 
comando útil para esses casos de repetição sequencial de valores, o Nj. Vamos 
testá-lo nesse fluxo gigantesco que acabamos de ver: 
 
 
 
16 
Quadro 1 – Comando Nj da HP12c 
 
 
Resultado: VPL = - R$ 29.240,44 (fluxo inviável para i = 0,5%) 
Entendeu? Ao invés de digitar 16, 10, 5 e 18 vezes o “0 g CFj”, basta 
digitar uma vez a cada repetição de valores e em seguida lançar quantas vezes 
esse fato ocorrerá. Por exemplo, entre o momento 18 e 27, temos 10 
lançamentos do valor zero, e entre o momento 35 e 52, temos 18 lançamentos, 
sendo assim: 
Quadro 2 – Exemplo do comando Nj da HP12c 
0 g CFj 
10 Nj 
É a mesma coisa que lançar 
10 vezes o comando 0 (Zero) g CFj 
0 g CFj 
18 Nj 
É a mesma coisa que lançar 
18 vezes o comando 0 (Zero) g CFj 
 
Bem legal, não acha? Com isso, encerramos a pauta básica de VPL e 
TIR, e agora podemos partir para nosso último tema, o da percepção avançada 
em um processo de análise de um fluxo de caixa não convencional. 
 
 
 
17 
TEMA 5 – UMA PERCEPÇÃO MAIS DENSA SOBRE UM FLUXO DE CAIXA 
Neste último tópico, iremos conhecer dois itens que nos permite utilizar 
com mais densidade os dados presentes em um fluxo de caixa não convencional. 
Vamos estudar o “Índice Benefício-Custo” e o “Retorno Adicional sobre o 
Investimento”. 
5.1 Índice Benefício-Custo: IBC 
O Índice Benefício-Custo nada mais é do que uma razão entre o “valor 
presente” da soma dos encaixes com “valor presente” da soma dos desencaixes. 
Isso mesmo! Vamos aproveitar os dados que obtivemos no cálculo do VPL 
(Tema 4). O somatório dos encaixes será interpretado como sendo benefício e 
o somatório dos desencaixes como sendo o custo. 
Fórmula 4 - Índice Benefício-Custo 
𝑇𝑇𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝐵𝐵í𝑒𝑒𝑖𝑖𝑐𝑐𝐼𝐼𝐶𝐶𝑒𝑒𝐶𝐶𝑐𝑐 
 
Portanto, nestes termos, a análise IBC nos fornece qual o volume médio 
de benefício monetário que a operação gera a cada 1 unidade monetária de 
custo. E, sendo assim, é possível extrair que: 
• IBC > 1 (benefício supera o custo); 
• IBC = 1 (benefício iguala o custo); 
• IBC < 1 (benefício é inferior ao custo). 
Vamos retornar ao nosso primeiro fluxo de caixa, visto nesta aula (aquele 
do Tema 3), só que agora vamos desmembrar o VPL com TMA=3% em 
benefícios e custos: 
Figura 6 – Primeiro fluxo de caixa 
 
 
 
18 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = −200,31 + 10(1 + 3%)1 + − 1,00(1 + 3%)2 + 215,00(1 + 3%)3 = +5,2116 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = 10(1 + 3%)1 + 215,00(1 + 3%)3 + −200,31 + − 1,00(1 + 3%)2 = +5,2116 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = 9,7087 + 196,7555 − 200,31 − 0,9426 = +5,2116 
𝑉𝑉𝑉𝑉0 −�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗(1 + 𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
 = 206,4642 (𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝐵𝐵í𝑒𝑒𝑖𝑖𝑐𝑐) − 201,2526 (𝑒𝑒𝐶𝐶𝑒𝑒𝐶𝐶𝑐𝑐) 
= +5,2116 (VPL) 
Sendo assim, temos que: 
• IBC = VP encaixe / VP desencaixe; 
• IBC = R$ 206,4642 / R$ 201,2526 (obs.: não usamos o sinal “-” no 
desencaixe); 
• IBC = 1,02590 / 1,00; 
• IBC = 1,02590. 
Interpretando este índice, obtemos que, nesse fluxo de caixa, a cada R$ 
1 de custo (desencaixe) tem-se o valor R$1,0259 de benefício (=encaixe). Ou 
seja, em valor presente, os encaixes, além de cobrir os desencaixes, ainda os 
excedem, na média, em R$ 0,2590 por unidade monetária. 
Logicamente, não faz sentido algum utilizar o IBC em um fluxo que tem 
VPL negativo, pois nesse caso já foi identificado que o investimento ou aplicação 
financeira é inviável segundo a ótica financeira. Portanto, o uso do IBC é um 
refinamento das informações presentes no VPL... Todavia, podemos refiná-las 
ainda mais utilizando o ROIA. 
5.2 Retorno Adicional sobre o Investimento: ROIA 
O ROIA, segundo Souza e Clemente (2008), significa “Retorno 
Adicionado sobre o investimento”, sobre a qual podemos interpretar como sendo 
 
 
19 
uma análise complementar do IBC, uma vez que nos apresenta o 
comportamento da renda residual do fluxo de caixa, por meio da seguinte 
fórmula: 
Fórmula 5 – ROIA 
ROIA = √IBC𝑛𝑛 ─ 1 ∴ ROIA = IBC 1/n ─ 1 
Ou seja, esta modelagem nos informa qual o ganho relativo gerado acima 
do valor da TMA e assim.... Uh! Acho melhor demonstrar o que isso significa. 
Para tanto, vamos resgatar o fluxo de caixa do Tema 3, aquele com TMA=3%: 
Figura 7 – Fluxo de caixa do Tema 3 
 
Como vimos no tema anterior, este fluxo de n=3 períodos tem um IBC de 
1,0259, sendo assim, se aplicarmos a fórmula do ROIA, teremos que: 
ROIA = √1,02593 ─ 1 
ROIA = 1,00856 ─ 1 
ROIA = 0,00856 ∴ 
ROIA = 0,856% 
Bem, agora que temos o valor do ROIA, vamos entender o que ele 
significa. Para tanto, vamos realizar uma explicação de cinco passos: 
1. Por uma questão didática, vamos reescrever o fluxo de caixa de modo 
que todos os desencaixes estejam no momento zero (basta relembrar o 
valor do custo que foi utiliza no IBC). 
 
 
 
20 
Figura 8 – Fluxo de caixa no momento zero 
 
Assim, podemos interpretar que em valor presente (VP) foi investido R$ 
201,25 nesse fluxo e esse fato gerou um encaixe de R$ 10 no momento 1 e de 
R$ 215 no momento 3. 
2. Vamos imaginar agora que a TMA e o fluxo não são decisões excludentes 
entre si, ou seja, que a escolha pelo fluxo não nos impede de aplicar na 
TMA os R$ 10 e os R$ 215 que foram gerados pelo fluxo. Portanto, ao 
término do período do fluxo teríamos que: 
VF = PV10 . (1 + i) n - 1 + PV215 . (1 + i) n - 3 
VF = R$ 10 . (1 + 3%) 3-1 + 215 . (1 + 3%) 3-3 
VF = R$ 10,61 + 215 
VF = R$ 225,61 
A lógica é a seguinte: se comprarmos uma máquina por R$ 201,25 e ela 
gera um encaixe de R$ 10 no ano 1, então esse valor precisa ser aplicado em 
algum lugar, e como não pode ser aplicado na própria máquina, então o melhor 
lugar será na carteira que representa nossa TMA (ex. CDB4). A escolha do fluxo 
aliada à possibilidade de aplicar os encaixes na TMA gera a renda residual. 
3. Vamos quantificar o que representa essa renda residual, por meio da 
lógica que se faz presente no fluxo que segue: 
 
 
4 CDB = Certificado de depósito bancário. 
 
 
21 
Figura 9 – Renda residual 
 
 
A operação “fluxo de caixa com TMA”, de forma sistêmica, transformou 
R$ 201,25 em R$ 225,61. Sendo assim, vamos encontrar a taxa de capitalização 
dessa operação. 
VF = VP . ( 1 + i )n → 225,61 = 201,25 . (1 + i ) 3 → 225,61/ 201,25 = (1 + i ) 3∴ 
(1 + i ) 3 = 1,1210 → 1 + i = √1,12103 → 1 + i = 1,03882 ∴ i = 3,882% 
Agora, se a escolha tivesse sido feita somente pela TMA então teríamos 
obtido apenas 3% de rentabilidade. 
4. Vamos, agora, calcular qual foi o ganho percentual que foi acrescido ao 
valor da TMA em decorrência dessa operação 
ROIA = 
1+3,882%
1+3,0%
 ─ 1 = 
1,03882
1,03
 ─ 1 = 1,008556 – 1 = 0,008556 ∴ 
ROIA=0,8856%* 
Importante 
Aqui está o valor encontrado com a fórmula: ROIA = √IBCn ─ 1 
Ou seja, sobre o valor da TMA o ganho foi de 0,8856%, portanto, aqui fica 
claro que não podemos simplesmente subtrair dos 3,882% os 3% de TMA para 
achar o valor do ROIA. 
5. Vamos testar o ROIA. 
VF = VP. (1 + i)n → VF = 201,25.( 1 + 3%) 3 = 219,91 (ganho só com TMA) 
VF = VP. (1 + i)n → VF = 219,91.(1+0,8856%) 3 = 225,61 (TMA+ ganho residual) 
 
 
22 
Como você pode observar, o valor encontrado confere com o VF do Fluxo 
de caixa sistêmico visto no 3º passo.... Convenhamos, é bem legalesse 
indicador! 
 Bem, para os fins da ementa de nossa disciplina, já basta por hoje. 
Todavia, gostaria de alertá-lo que existem muitas outras modelagens sobre o 
tema “fluxo de caixa”; o que vimos aqui foram alguns dos seus elementos 
essenciais. O que ocorre é que se tentarmos nos aprofundar ainda mais do que 
já foi visto, acabaremos invadindo pautas de outras disciplinas, como Engenharia 
Econômica, Administração Financeira etc. Resumindo a ópera, um bom analista 
na área de finanças nunca pode parar de estudar, pois são inúmeras as 
possibilidades para a visualização de uma operação financeira. Cada qual com 
sua qualidade ímpar de informação. E, dito isso, desejo-lhe bons estudos e nos 
vemos na aula 6. 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos vários 
conceitos sobre os fluxos de caixa não convencionais, dentre outros, TIR, IBC e 
ROIA. Agora, entre no Fórum da disciplina e, usando este conhecimento geral 
adquirido, reflita com seus pares sobre: Será que os profissionais locados no 
mercado brasileiro realmente sabem interpretar os significados desses artefatos 
financeiros? E como isso deve impactar no sucesso da Economia? 
NA PRÁTICA 
a. Leitura do caso 
Um investidor retirou de uma carteira de renda fixa o valor de R$ 1.000, 
pois acreditava que obteria mais resultado investindo na bolsa de valores. Sendo 
assim, ele investiu os R$ 1.000 em ações e, durante 4 anos, foi vendendo suas 
ações até zerar sua posição, como demonstra o fluxo que segue: 
 
 
 
23 
Figura 10 – Fluxo de investimento 
 
b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
Para resolver esse problema, podemos aplicar a fórmula vista no Tema 3 
(TIR) ou no Tema 4 (VPL). Nessas páginas, vamos resolver usando a TIR com 
o uso da HP12c, mas lembre-se: também seria viável resolver pelo VPL com o 
uso da fórmula, só daria um pouco mais de trabalho. Quanto ao resultado, um 
VPL + a vantagem seria para as ações, já VPL – a vantagem seria a carteira. 
c. Apresentação da solução do problema 
• F REG; 
• 1000 CHS g CFo; 
• 70 g CF j; 
• 200 g CF j; 
• 600 g CF j; 
• 700 g CF j; 
• F IRR => na tela aparece 15,25 ∴ i = 15,25% (o valor da TIR). 
Conclusão: o investidor fez um péssimo negócio ao retirar o dinheiro da 
renda fixa, pois lá tinha 20% ao ano, e aplicar em sua operação na bolsa de 
valores, só conseguindo 15,25%. 
FINALIZANDO 
Nesta aula estudamos os elementos básicos do fluxo de caixa não 
convencionais, ou seja, aqueles que apresentam entradas e saídas não 
regulares quanto à periodicidade “e/ou” aos valores movimentados. Sobre essa 
pauta, foi aprofundado o que vem a ser o custo do capital e como ele está 
presente na análise de um fluxo de caixa. Nesse sentido, foi visto: TMA, CMPC 
e CAPM. Também estudamos o processo de avaliação dos fluxos frente a TMA 
 
 
24 
pela ótica do VPL e da TIR, além disso, igualmente, aprofundamos nossas 
análises por meio dos artefatos IBC e ROIA. 
 
 
25 
REFERÊNCIAS 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 13. ed. São 
Paulo: Atlas, 2016 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: InterSaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010. 
HOJI, M. Administração financeira: uma abordagem prática. 5. ed. São Paulo: 
Atlas, 2006. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011. 
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análise de investimentos: 
fundamentos, técnicas e aplicações. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
 
	Conversa inicial
	Contextualizando
	Trocando ideias
	Na prática
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS