Apostila MQAA SGA

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
Instituto de Ciências Econômicas e Gerenciais 
Departamento de Administração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Aplicados à Administração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Marcelo Resende 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 2 
Cronograma 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 
 
 
NºAula Conteúdo/Atividade prevista 
1 Apresentação e considerações gerais 
2 Análise de Investimentos: conceito, objetivos, problemas de estimativas 
3 Problemas de estimativas de fluxos de caixa 
4 Estrutura genérica de fluxo de caixa para análise de investimentos 
5 Metodologias de avaliação de fluxos: payback e payback atualizado 
6 Valor atual líquido e Taxa Interna de Retorno 
7 Pontos de convergência e divergências das metodologias e limitações 
8 Taxa interna de retorno modificada e valor atual líquido anualizado 
9 Exercícios de avaliação de fluxo de caixa 
10 Exercícios de análise de investimentos 
11 Exercícios de análise de investimentos 
12 Exercícios de análise de investimentos 
13 Exercícios de análise de investimentos 
14 1ª prova – 25 pontos 
15 Análise de regressão: conceito, objetivos, limitações e equação da reta 
16 Séries cronológicas e Método dos Mínimos Quadrados 
17 Coeficiente de Determinação e Inferência em Regressão 
18 Intervalo de confiança a níveis de certeza 
19 Observações discrepantes e conclusões 
20 Exercícios sobre análise de regressão 
21 Exercícios sobre análise de regressão 
22 Exercícios sobre análise de regressão 
23 Risco e Incerteza em negócios individuais. 
24 Risco em portfólios, diversificação e correlação e carteira de títulos 
25 2ª prova – 25 pontos 
26 Números Índices: conceitos, relativos, Laspeyres. 
27 Deflacionamento e inflacionamento de dados, construção de índices 
28 Mudança de base e inflacionamento a partir de séries de índices 
29 Exercícios de números índices 
30 Diagrama de decisão/tomada de decisão: objetivos. Estudo de caso “Dahran” 
31 Continuação do estudo de caso 
32 Exercício de diagramas de decisão 
33 3ª prova – 30 pontos 
34 Prova de Reavaliação 
 
ATENÇÃO: 
Esta apostila tem duas partes principais: 
1) a parte teórica é apenas um roteiro dos conteúdos que devem ser estudados através dos 
livros, preferencialmente dos livros sugeridos na bibliografia da disciplina. A parte teórica 
da apostila não pretende ser o único material de estudo porque é muito simplificada e 
também porque faço alguns ‘arredondamentos’ conceituais para simplificar o primeiro 
contato com cada conteúdo. É fundamental estudar através dos livros. 
2) a segunda parte é de exercícios e eles devem ser feitos na ordem em que são propostos e nos 
momentos em que são sugeridos na sala de aula. 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 3 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de 
Investimentos 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 4 
1. INTRODUÇÃO 
 
Quando uma empresa faz um investimento, ela incorre em saídas correntes de 
caixa, na "expectativa" de ganhos futuros. Portanto, sabemos que devemos 
analisar uma proposta de acordo com seu retorno esperado e tendo em mente 
os riscos específicos a tais iniciativas. Fazer um investimento consiste em 
alocar capital de modo durável na esperança de melhorar sua situação 
econômica. 
 
O investimento é, logo, uma aposta; e toda aposta comporta risco. Vários 
elementos podem fazer com que as previsões com base nas quais se tomou a 
decisão se tornem desatualizadas ou equivocadas como um erro de avaliação 
do ritmo de crescimento do mercao, da intensidade da pressão concorrencial, 
percepções desalinhadas das necessidades dos clientes, dentro outros. Assim, 
tem-se como base que o dirigente de uma empresa não estará em condições 
de eliminar o risco de um investimento. Nesse aspecto, pode-se argumentar 
que se deva impor uma taxa de desconto ajustada ao risco de cada projeto. 
 
Para o momento, vamos supor apenas que se estabeleça para a empresa uma 
taxa de desconto (taxa requerida de retorno, taxa mínima de atratividade, taxa 
de corte), não importando os diferentes graus de risco dos projetos. Vale dizer 
que consideramos constante o complexo do risco ambiente dos negócios da 
empresa. 
 
Pode-se verificar, então, o desamparo em que se processa a ação executiva, 
sendo, na verdade, uma quimera a ocorrência de fluxos de caixa certos no 
tempo – contrariamente ao que costuma ser apontado em textos introdutórios 
de finanças e de matemática financeira. 
 
Sendo assim, nos preocuparemos basicamente com os seguintes itens: 
 
$ estimativa de fluxos de caixa para as propostas; 
$ avaliação dos fluxos; 
$ seleção das propostas. 
 
Na estimava de fluxos de caixa é indispensável ressaltar que o investidor 
nunca deve perder de vista que ele está no momento do investimento, ou seja, 
no momento presente, e que neste momento deverá ser tomada a decisão. A 
decisão, contudo, será baseada nos valores futuros e esses valores não fazem 
parte da certeza mas, como já dito, de um cenário futuro incerto. Porém, é de 
se esperar que um investidor conheça de tal forma na natureza do seu 
empreendimento que consiga organizar dados a respeito do seu 
comportamento futuro que e tome como verdadeiros (ou possíveis) esses 
dados. 
 
A avaliação dos fluxos de caixa será objeto de estudo detalhado mais a frente e 
partirá dos conhecimentos prévios de matemática financeira. 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 5 
 
O gerenciamento de um investimento privilegia a metodologia de seleção de 
portfólio que produz maior valor agregado, tomando como restrição a 
quantidade real de recursos para investimentos. Essa restrição muitas vezes é 
decorrente das limitações da empresa em acessar o mercado financeiro e do 
grau de aversão ao risco dos investidores. Para cada grupo de projetos 
excludentes, apenas um deve ser escolhido. Cada projeto vencedor deve ser 
oferecido aos acionistas, de maneira que, ao final do processo, obter-se-á uma 
cesta de projetos independentes. Caso não haja recursos para desenvolver 
todos os projetos, uma nova metologia deve ser adota para a escolha de um 
grupo menor de projetos, até que os recursos financeiros sejam devidamente 
aplicados. 
 
No que se refere às motivações para a geração de propostas, citamos: 
 
$ novos produtos; 
$ expansão da capacidade instalada; 
$ reposição de equipamentos; 
$ pesquisa e desenvolvimento; 
$ novos processos produtivos; 
$ diversificação de atividades; 
$ exploração de reservas ou recursos minerais; 
$ outros relacionados à atividade principal da empresa ou a atividades 
paralelas, excluindo-se os investimentos no mercado financeiro, que não são 
objeto do presente estudo e são tratados eficazmente nos livros de mercado de 
capitais. 
 
 
2. ESTIMATIVA DE FLUXOS DE CAIXA 
 
Um dos mais importantes objetivos dentro da análise de investimento é a 
estimativa de fluxos de caixa futuros, o que influencia sobremaneira a ação 
gerencial. Veja-se que caixa, e não lucro, é o ponto central para todas as 
decisões de uma firma e, por isso, expressamos os benefícios futuros em 
termos de fluxo de caixa líquido, ou seja, entradas menos saídas a cada 
período. Ao analise projetos de investimentos somente nos interessamos por 
entradas e saídas de caixa, ou seja, momentos de dinheiro. 
 
Com isso, é necessário atenção para os conceitos que possam ter uma 
interpretação contábil, como receitas e despesas. Um dos princípios contábeis 
é o do regime de competência, isto é, receitas e despesas são registradas no 
período em que ocorre o seu fato gerador, o que geralmente nada tem a ver 
com o respectivo efeito no caixa da empresa. Na análise de projetos, quando 
utilizamos os termos receitas, despesas, lucro operacional, resultado etc., 
devemos entendê-los por seus efeitos no caixa (regime de caixa) e não no 
regime de competência. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 6 
Nessemomento, vale fazermos uma breve reflexão sobre os regimes de caixa 
e competência para não sermos injustos com a teoria contábil. O regime de 
caixa é mais frágil para a apuração de um resultado útil, pois registra o efeito 
financeiro das operações econômicas realizadas por uma empresa, e, como 
este efeito ocorre em períodos de tempo irregulares em relação aos eventos 
geradores de lucro ou prejuízo, é pouco possível apurarem-se resultados 
periódicos, baseados nos seus assentamentos, que possam retratar o 
desempenho econômico de uma empresa, ou seja, que evidenciem o lucro ou 
prejuízo aproximado das transações de uma entidade em certo período. Isso se 
deve ao fato de que o confronto entre despesas e receitas se torna 
incompatível. 
 
Já o regime de competência geralmente se apresenta claramente superior, 
quando considera o princípio de realização de receita e confrontação das 
despesas, segundo o qual a despesa é que gera a receita, e, portanto, toda 
receita gerada pelas despesas de um período deve nele ser registradas, de 
modo a permitir o confronto, assim como todas as despesas que, de alguma 
forma, são necessárias à produção da receita registrada num período também 
nele devem ser registradas. 
 
Ora, fica evidente a superior consistência do regime de competência para o 
registro dos dados contábeis. Poder-se-ia escrever facilmente diversas páginas 
ressaltando o fundamental papel do registro pela competência e, de fato, é 
bastante confortável discorrer sobre aquilo que se mostra justo e não 
enviesado e que tem sido aceito ao longo de séculos. 
 
O que se questiona é que o regime competência não oferece a dinâmica 
necessária à gestão financeira, em especial aos objetivos de uma análise de 
investimentos, enquanto o regime de caixa, mesmo sujeitos a críticas de ordem 
contábil em função das suas suposições precípuas, traduz as movimentações 
efetivas. 
 
Ademais, deve-se lembrar de que os resultados apontados pelos regimes de 
caixa e de competência, ao longo do tempo, são congruentes, uma vez que em 
intervalos maiores os valores gerados por ambos são idênticos. A discrepância 
será tanto maior quanto menor for o intervalo temporal estabelecido. 
 
Estaremos, na verdade, referindo-nos a custos e despesas como desencaixes, 
a receitas como encaixes e a lucros e prejuízos do período como o resultado 
no caixa de encaixes menos desencaixes. 
 
Da mesma forma, um valor residual não se refere a um valor contábil, mas à 
possibilidade de se obter caixa pela venda de um bem no mercado. Assim, o 
valor residual de um bem na ótica de um projeto de investimentos não 
necessariamente coincidirá com o seu valor de mercado, uma vez que poderá 
haver variação entre o valor de livro (contábil, valor de aquisição menos as 
depreciações até o momento) e o preço real que o mercado se dispõe a pagar. 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 7 
 
O valor residual (ou o seu custo de oportunidade) deverá se lançado ao projeto 
de investimentos sempre que houver a possibilidade racional da sua venda. 
Para que se calcule se haverá ou não que pagar imposto sobre a transação do 
ativo vendido é necessário calcular o ganho de capital. 
 
O ganho de capital é a diferença entre o valor de mercado do ativo e o seu 
valor contábil no momento da venda. Assim, caso haja diferença positiva, sobre 
ela deverá incidir a mesma alíquota estabelecida para tributar o resultado 
operacional bruto da empresa. Caso não o valor de mercado não supere o 
valor contábil do bem, não há que se falar em recolhimento de imposto, uma 
vez que a empresa não estará auferindo lucro em tal transação e, logo, não 
será devedora de imposto sobre lucro. 
 
Assim, podemos imaginar as seguintes possibilidades, considerando uma 
alíquota de 40% de imposto (IR e CSSL e arredondando para simplificar): 
 
Valor Residual $100.000 $100.000 $100.000 
Valor Contábil $90.000 $100.000 $110.000 
Ganho de Capital $10.000 0 0 
Imposto $4.000 0 0 
Valor Residual Líquido $96.000 $100.000 $100.000 
 
A grande parte dos livros que tratam de analise de investimentos faz 
suposições sobre substituições de equipamentos e essa técnica mostra-se 
como a mais adequada em função de poder facilmente agregar informações 
das mais diversas áreas da empresa, de previsões de vendas a valores de 
depreciações, passando por composição de custos de produção e abordando 
as questões tributárias mais completas, bem como as técnicas de custos de 
oportunidade. 
 
Como já foi dito anteriormente, o investimento ainda não existe efetivamente; é 
tão somente um estudo. Mas esse estudo demanda um exercício de estimativa. 
Trata-se, logo, de geração de fluxos de caixa esperados ou fluxos projetados. 
 
Embora as técnicas utilizadas para a criação dos fluxos projetados sejam as 
mais diversas possíveis, é conveniente estruturarmos pelo menos um caminho 
possível para melhor organizar os dados financeiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 8 
Assim, uma estrutura de fluxos projetos possível seria: 
 
(+) Receita Bruta Operacional 
(-) Deduções 
(=) Receita Líquida Operacional 
(-) Custos e Despesas Operacionais 
(=) Lucro Bruto 
(-) Depreciação 
(=) Lucro Bruto Operacional – LBO 
(-) Impostos sobre o Lucro 
(+) Depreciações 
(-) Investimentos 
(-) Variações na Necessidade de Capital de Giro – NCG 
(+) Valor Residual 
(=) Fluxo de Caixa do Projeto 
 
O Lucro Bruto é comumento chamado de Earning Before Interest, Taxes, 
Depreciation and Amortization (EBITDA) e o Lucro Bruto Operacional – LBO de 
Earnig Before Interest and Taxes (EBIT). 
 
Essa abordagem de fluxo de caixa para fins de análise de investimento não 
deve ser confundida com o fluxo de caixa estabelecido pelo FAS-95. Em 1987, 
o Financial Accounting Standards Board (FASB) emitiu o FAS-95. Neste 
pronunciamento substituiu a Demonstração de Origens e Aplicações de 
Recursos (DOAR) pela Demonstração dos Fluxos de Caixa (DFC), 
determinando a obrigatoriedade desta para todas as empresas com fins 
lucrativos, inclusive instituições financeiras, nos EUA. Assim, essa abordagem 
do fluxo de caixa com o objetivo de tomada de decisão de investimento não 
deve ser confundida com a lógica da DFC (demonstrativo contábil). 
 
O fluxo de caixa, através dos recebimentos e pagamentos, demonstra as 
movimentações das disponibilidades da empresa em um período. O FAS-95 
classifica o fluxo de caixa em três atividades: operacionais, de investimento e 
de financiamento. 
 
As atividades operacionais vinculam-se à produção e à venda dos produtos 
e/ou serviços da entidade e normalmente geram mais caixa do que utilizam. 
 
As atividades de investimento normalmente destinam-se a aquisições de bens 
imóveis, equipamentos e outros itens da mesma natureza. Em função da sua 
característica, é normal que provoquem redução do nível de caixa uma vez 
que, por exemplo, a aquisição dos novos equipamentos para incrementar o 
processo produtivo da empresa, provavelmente, pouco será suportada apenas 
com a venda dos equipamentos usados que estão sendo substituídos. 
 
Já as atividades de financiamento vinculam-se às fontes de recursos, a curto e 
longo prazo, da entidade. Conduzem ao aumento do nível de caixa. Contudo, 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 9 
no longo prazo, os recursos devem ser repostos aos seus proprietários. Neste 
intervalo, pressupõe-se que sejam capazes de provocar o aumento das 
riquezas da organização superior ao custo do capital tomado. 
 
Essa abordagem da expressão Demonstração dos Fluxos de Caixa 
estabelecida no FAS-95, não deve confundir o investidor: apesar da 
semelhança conceitual, não representa os fluxos projetados, alvo da análise de 
investimentos. 
 
Os fluxos de caixa para fins de investimentos são estruturas diferentes e 
podem contemplar técnicas específicas na sua construção. Para cada proposta 
de investimento, devemos prover informações sobre fluxos de caixa numa base 
não apenas após o imposto de renda mas, ainda, em termos incrementais.Vale dizer: se a empresa avalia o lançamento de um produto novo que 
competirá com sua linha atual de produtos, a consideração desta 
"canibalização" é vital na análise. Enfatizando, apenas o fluxo de caixa 
incremental interessa. 
 
Qualquer projeto de investimento trará a reboque custos, despesas e receitas e 
são esses valores incrementais em custos, despesas e receitas que são 
determinantes na obtenção dos valores do projeto. A distinção entre os valores 
base da empresa, ou seja, a empresa sem o projeto, e os valores da empresa 
com o projeto é que determinarão a real diferença provocada pelo 
investimento. Ademais, ao se considerar a base incremental, evita-se que que 
os mais diferentes tipo de sunk cost (custo irrecuperável, custo incorrido) sejam 
agregados à análse do projeto em função do conservadorismo do investidor. 
Como exemplo, podemos citar os gastos com pesquisa para o 
desenvolvimento de linhas de produção antigas que não devem compor os 
custos do novo projeto, ainda que o novo projeto utilize tais linhas. Esses 
gastos já foram totalmente (ou pelo menos deveriam ter sido) considerados no 
projeto de investimento que originou a implantação das linhas de produção. 
 
Outra consideração de grande importância se refere aos custos de 
oportunidade sobre recursos alocados a projetos. Veja-se, por exemplo, em 
que a consecução de um projeto envolve a ocupação de terrenos próprios, que 
poderiam ser alugados pela empresa. O valor que seria recebido pela locação 
do imóvel (que efetivamente não está sendo locado) deverá ser considerado no 
investimento, tratado exatamente como uma saída de caixa, embora não 
envolva desembolso efetivo. As renúncias às entradas de caixa que a empresa 
poderia ter caso não implantasse o projeto deverão ser considerada como 
saídas de recursos – custo de oportunidade – embora não haja desembolso 
efetivo. 
 
Comumente as empresas estão sujeitas ao imposto de renda e este fato deve 
ser considerado no projeto de investimento. Isso será analisado através da 
diferença entre o que a empresa pagaria de imposto de renda com e sem o 
projeto. Deve-se ressaltar que ainda que a empresa tivesse previsão de 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 10 
prejuízo operacional em algum momento do projeto, fazendo com que não 
tivesse imposto de renda a pagar, mesmo assim o referido tributo deveria ser 
considerado. Isso deveria ser registrado no projeto pela diferença (parcela 
incremental) entre os valores de imposto com e sem o projeto, registrando o 
possível benefício na proposta de investimento. 
 
Há diversas possibilidades de se lançar o imposto de renda em um projeto de 
investimento quando o lucro tributável esperado é negativo, ou seja, há 
previsão de prejuízo operacional. Cada uma tem as suas características, não 
sendo conveniente tentar julgar qual a melhor a ser utilizada. Dependendo das 
características do projeto, da proposta da análise e do perfil do analista, pode-
se utilizar uma das formas a seguir. 
 
A primeira é simplesmente lançando na estrutura do fluxo de caixa o imposto 
de renda como zero. Essa é a hipótese mais elementar e parte da suposição 
de que se não há lucro, não há que se pensar em tributo sobre a renda. Deve 
ser utilizada em análises mais elementares ou introdutórias. 
 
A segunda consiste em, no caso de lucro tributável negativo, lançar o valor do 
imposto de renda positivamente na estrutura de fluxo de caixa. Essa lógica 
parte da suposição de que o projeto de investimento é apenas uma parte do 
resultado tributário global da empresa e como a tributação não é feita a partir 
de segmentos da firma e sim considerando o seu resultado total, poder-se-ia 
pensar em redução da parcela do lucro tributável das demais atividades da 
empresa a partir de prejuízo operacional gerado pelo projeto. 
 
Esse “ganho tributário” comporia normalmente o fluxo final de caixa como se 
entrada de recurso fosse, obedecendo a lógica da consideração dos custos de 
oportunidade. Para que essa alternativa seja considerada correta faz-se 
necessário que: 1) o investimento não constitua todo o resultado tributável da 
empresa, como no caso de criação de um novo negócio, e 2) o resultado das 
demais atividades da empresa para o mesmo exercício fiscal seja 
positivamente igual ou superior ao valor do prejuízo obtido no fluxo de caixa em 
questão. Essa forma de lançamento de imposto de renda encontra fortes 
pilares à medida que contextualiza o projeto como parte do resultado da 
empresa. 
 
A terceira forma possível de trabalhar com o imposto de renda em fluxos de 
investimento com lucro tributável negativo é lançando o imposto de renda como 
zero no período em questão e lançando o prejuízo como redutor do lucro 
tributável nos períodos posteriores. As questões ligadas a valor máximo que 
poderá ser deduzido a cada ano, se é possível deduzir todo o prejuízo obtido 
no período t-1 no resultado do período t, por quanto tempo é possível acumular 
prejuízos devem ser consultados na legislação de imposto de renda vigente à 
época da análise de investimentos. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 11 
Vale ressaltar que tais possibilidades de tratamento do IR no caso de FC 
projetados para investimentos não se confundem com a apuração de IR 
contábil para empresas com opção tributária cabível e para período contábil já 
ocorrido. 
 
A seguir, procedemos à elaboração de uma lista dos problemas associados à 
constituição de fluxos de caixa de projetos. 
 
1. Dimensão temporal do projeto 
 
A dimensão temporal do projeto é o prazo que se considera razoável para fazer 
a projeção dos fluxos de caixa futuros. Não se pode dize que a dimensão 
temporal do projeto seja exatamente o prazo de duração do projeto, pois na 
maioria dos investimentos é totalmente impossível estabelecer com exatidão 
em qual momento o investimento será encerrado. Dessa forma, não há uma 
técnica que estabeleça objetivamente a dimensão temporal. É sempre salutar 
lembrar que as projeções são feitas para o futuro, mas deverão ser realizadas 
hoje. Assim, poder-se-á projetar enquanto for possível prever cenários futuros. 
 
De nada adiantar realizar projeções por um longo período, se os valores 
projetados apresentam baixa confiabilidade. Por outro lado, não se deve, por 
simples comodismo, ceder à tentação de efetivar previsões para prazos futuros 
muito próximos se é possível, com baixo nível de risco, tentar estabelecer valor 
para anos mais distantes. 
 
O fato é que o investidor terá que assumir o risco da sua previsão, que será a 
base de toda análise de investimentos. Um argumento freqüentemente 
apontado por investidores quando da necessidade de se fazer projeções, é que 
estas têm um caráter totalmente irreal e que é puro exercício de futurologia 
tentar prever algo. Ora, se o investidor assim pensa sobre o objeto no qual 
pretende investir, é bom reavaliar a sua postura de investidor, que 
necessariamente assume riscos, assim como rever se realmente entende do 
negócio no qual gostaria de investir. É claro que os investimentos podem não 
dar certo, mas espera-se que um investidor conheça bastante o seu negócio, 
seus concorrentes, os impactos que as variações econômicas poderão exercer 
sobre o seu resultado, dentro outros fator determinantes do ramo do negócio. 
 
É certo que quanto menor o período total considerado tanto menor o valor do 
projeto. Ma isso não significa que um fluxo de caixa projetado para um período 
curto não possa apresentar cifras elevadas. 
 
Os valores concernentes a períodos muito afastados no tempo perdem em 
relevância e precisão. Assim, não é fundamental se preocupar se a dimensão 
temporal deverá ser encerrada no décimo quarto ou no décimo quinto ano após 
o investimento. Qual a relevância de valores tão distantes trazidos ao presente 
descapitalizados a uma taxa elevada no resultado do investimento? Uma vez 
que o dinheiro tem valor no tempo, ao administrador cabe maior atenção e 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração12 
responsabilidade sobre os fluxos iniciais, que são aqueles que mais fortemente 
impactam o valor atual dos projetos. 
 
2. "Timing" dos fluxos de caixa 
 
O “timing” de um projeto é o tamanho que seus fluxos de caixa terão. Os fluxos 
serão anuais, semestrais, mensais? É claro que a decisão pelo tamanho do “ 
timing” está ligada à dimensão temporal do projeto, mas é bom ficar atendo a 
outros aspectos, uma vez que um “timing” muito curto pode dificultar a 
realização de previsões específicas em um cenário muito distante. 
 
Por outro lado, um “timing” muito longo também pode apresentar 
complicadores. Este problema é algo sério quando se procede a análises com 
intervalos de tempo anuais. Nesse caso, considerarmos as saídas de caixa no 
início ou ao final de um projeto traria diferenças sensíveis, podendo levar à 
rejeição de bons projetos ou à aceitação de projetos danosos à empresa. 
 
Ademais, projetos com “timing” longo também podem mascarar a insuficiência 
de capital de giro ao não apresentarem descasamentos de entradas e saídas 
de caixa em um período onde, no montante global, poder-se-ia apurar um 
resultado financeiro superavitário. 
 
3. Depreciação na análise de investimento 
 
A depreciação pode ser definida contabilmente como um incentivo à 
recomposição dos ativos da empresa. Mas de que forma se efetiva esse 
incentivo? 
 
Depreciação é uma despesa que não envolve desembolso de caixa. Porém, 
seu valor transita do Balanço Patrimonial para a Demonstração de Resultados, 
diminuindo o lucro antes do IR e, portanto, reduzindo o montante de IR a pagar. 
 
Obviamente é necessário identificar o enquadramento tributário da empresa 
para avaliar se tal impacto indireto no fluxo de caixa se verificará em função da 
depreciação. 
 
Assim, a depreciação funciona como um ‘incentivo fiscal’ que a empresa pode 
ter, reduzindo artificialmente – mas legalmente – o seu lucro tributável e 
pagando menos imposto de renda. Dessa forma, mesmo não sendo uma 
movimentação de caixa direta, a depreciação deverá ser considerada na 
análise de investimento de duas formas: reduzindo o valor do imposto de renda 
a pagar, através do seu lançamento negativamente antes do lucro tributável, e 
sua devolução após o cálculo do imposto de renda, como se entrada de 
recurso fosse, uma vez que ela efetivamente não transitou pelo seu valor total 
no caixa do investimento. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 13 
Além disso, há de se ter em conta que, frequentemente, o período legal para 
depreciação não coincide com o período de vida daquele equipamento ou 
instalação, que consubstancia o projeto. Naturalmente, tais observações hão 
de estarem presentes na constituição dos fluxos de caixa. 
 
Apenas para efeito de ilustração, podemos enumerar alguns prazos contábeis 
de depreciação e suas respectivas taxas anuais de depreciação: 
 
Ativo Prazo Taxa anual 
Computadores 2 anos 50% 
Veículos 5 anos 20% 
Veículos de carga 4 anos 25% 
Máquinas e 
equipamentos 
10 anos 10% 
Móveis e utensílios 10 anos 10% 
Edificações 25 anos 4% 
 
Por motivos didáticos, os prazos e taxas anteriores não serão rigorosamente 
respeitados ao longo dos exercícios de aprendizagem, para que se possa dar 
maior flexibilidade à articulação de variáveis que compõem a análise de 
investimento e também evitando ter que trabalhar com casos demasiadamente 
longos. Assim, nos exemplos apresentados na presente unidade de estudo, 
teremos vários prazos informados para depreciação distintos dos prazos legais 
vigentes. 
 
A depreciação pode ser feita segundo os critérios contábeis por diversas 
formas como: pelo prazo, pela quantidade produzida, pelas horas trabalhadas, 
dentre outros. Entretanto, a legislação fiscal brasileira aceita, em regra geral, 
somente a depreciação pelo sistema linear, adotando a mesma taxa de 
depreciação em longo de todo o prazo de depreciação do ativo. 
 
Há uma vasta discussão acerca dos critérios de depreciação sob aspectos 
contábeis e tributários, especialmente a partir de 2007. Contudo, não será 
possível no presente momento aprofundar discussão sobre tal assunto sob 
pena de se perder o foco nas decisões de investimento. 
 
 
4. Movimento de "preços relativos" 
 
Em um projeto de investimento pode-se trabalhar tanto com valores correntes, 
que levam em consideração as variações esperadas de inflação, como 
utilizando valores significativos para o investimento, como a arroba de boi 
gordo, tonelada do minério de ferro, sacas de café, dentre outros. 
 
Este aspecto é de importância capital numa economia inflacionária, em que a 
par da subida geral dos preços, temos ainda que tais elevações não se dão 
uniformemente. Se for assim, a demanda pelo produto gerado do projeto 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 14 
deverá apresentar "instabilidades" com o passar do tempo e um acurado 
levantamento dos fluxos de caixa futuros fica dificultado. 
 
O efeito mais perverso da inflação não é o simples trabalho de reajustar os 
valores gerais do projeto, mas sim considerar os descasamentos entre os 
diversos fatores produtivos e preços de vendas. Dessa forma, há que se 
lembrar que mesmo com a manutenção do preço de venda de um produto 
estabilizado, esse produto poderá estar sendo visto pelos clientes como cada 
vez mais barato em termos relativos, pois todos os demais preços da economia 
estão em elevação. 
 
Assim, caso o produto tenha demanda elástica ao nível de preço – que é a 
regra, poder-se-á esperar até mesmo um crescimento na receita total do 
projeto. 
 
5. Constância dos custos de produção ao longo do tempo 
 
Este ponto guarda relação com o anterior, na medida em que estamos nos 
referindo a movimentos não uniformes de preços relativos. Assim, se todos os 
preços da economia (ou pelo menos aqueles que afetam a empresa mais 
diretamente) se movessem com idênticos percentuais, tudo se passaria como 
numa economia sem inflação. Porém, esse não é um fato da vida econômica e 
isso deve ser considerado, quando da estimativa dos fluxos de caixa futuros. 
 
Observe que se a estabilidade provisória de um preço de venda pode estar 
beneficiando o cliente, o mesmo comportamento com os fatores determinantes 
dos custos do produto poderá ser vantajoso para o empresário, pois poderá 
aproveitar para, em se tendo capital de giro, fazer comprar mais vultosas. 
 
 
Cada vez menos é possível fazer esse tipo de análise, uma vez que a 
efetivação de lotes econômicos de compra pode esbarrar em problemas de 
espaço físico, defasagem tecnológica, perecibilidade, mudança em critério de 
parcerias para fornecimento just in time, dentre outros. 
 
6. Consideração dos juros na análise de investimentos 
 
As decisões de financiamento e de investimento são coisas distintas, e não 
devem ser misturadas. Assim sendo, não se deve incluir juros, que 
representam o custo de financiamentos, nos fluxos de caixa previstos para o 
projeto. Ou seja, os projetos devem ser avaliados nos seus próprios termos, no 
tocante à capacidade que apresentem de acrescer a base geradora de riqueza 
da empresa. 
 
Mas seria impossível afirmar que os juros devem ser desconsiderados no caso 
da empresa necessitar buscar um financiamento no mercado para arcar com 
os seus pesados investimentos. Nesse caso, o que se sugere é que se faça 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 15 
uma análise financiamentos fisicamente distinta da de investimento. Tais 
análises já são por demais complexas de feitas individualmente. 
 
Mas é claro que, uma vez aprovada a melhor combinação de fontes de 
financiamento, os valores a serem pagos em cada período deverão ser 
transferidos para a estrutura de investimentos reduzindo os valores gerados 
pelo investimento. Um ponto de deve ser sempre lembrado é que os juros são 
reduzidos na Demonstração de Resultados antes da tributação, ou seja, 
diminuem a base tributável do projeto. Verifica-se que pode ser interessante 
analisar a busca de financiamentos ainda que a empresa tenha recursospróprios para isso, mas esse tipo de análise deve ser avaliada com muita 
cautela, uma vez que não se pode esquecer de que o capital próprio também 
tem o seu custo. 
 
Embora vantagens fiscais específicas não se confundam com juros, é possível 
que tais vantagens sejam revestidas de condições facilitadas de contratação de 
empréstimos. Naturalmente, se um determinado projeto detiver vantagens 
fiscais específicas, estas deveriam, então, ser consideradas na análise. 
Vantagens fiscais de outras natureza, seria até mesmo descartável falar, 
deverão necessariamente constar de qualquer projeto de investimentos. 
 
7. Capital de giro 
 
Além do investimento em ativos, por vezes é preciso que se considerem as 
necessidades adicionais de caixa, assim como as decorrentes de políticas de 
estoques e de contas a receber. O capital de giro é o resultado das variações 
das contas operacionais da empresa. Não de confunde com o valor necessário 
para investimentos, pois está ligado umbilicalmente às operações, às 
atividades da empresa. 
 
Se o investimento demanda de imediato desembolso de recursos para financiar 
atividades de natureza cotidiana, tal investimento em capital de giro há de ser 
tratado como uma saída de caixa no período inicial do projeto, que retornará ao 
final do período de vida do mesmo. Sendo assim, em termos de valor presente, 
sua consideração vai contra a aceitação de projetos, pois valores mais 
próximos do período inicial impactam mais fortemente o valor atual líquido do 
que aqueles locados de maneira mais distante no tempo. 
 
Nesse sentido, cada fluxo de caixa no tempo é descontado pelo fator 1/(1+i)t, 
sendo que "i" representa a taxa requerida de retorno para aceitação de projetos 
e "t" o período de ocorrência de cada fluxo específico. Naturalmente, quanto 
maior "t", menor o valor atualizado de um fluxo descontado até o período inicial. 
Isso demonstra que mesmo que os valores de alocação e recuperação do 
capital de giro sejam iguais, será fundamental em uma análise de investimento 
relacioná-lo na estrutura de fluxos de caixa. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 16 
Ademais, a consideração do valor de capital de giro é fundamental na análise 
pois não se poderia imaginar uma planta industrial perfeita, com um belo 
produto, todas as demais condições operacionais preparadas, mas sem ter o 
processo de vendas iniciado pela simples falta de clientes que não estariam 
comprando o novo produto por não estarem sendo financiados, ou porque os 
fornecedores não estariam fazendo as entregas por se recusarem a receber a 
prazo. 
 
Assim, seja no início e ao final do projeto ou a qualquer momento onde as 
variações da necessidade de capital de giro se imponham, este é um fato que 
deve ser preponderantemente respeitado e inserido na análise. 
 
3. EXEMPLO DE MONTAGEM DE FLUXO DE CAIXA 
 
Um típico exemplo introdutório de investimento pode ser de substituição de 
equipamentos. Se o projeto sob análise se refere à reposição de máquinas, 
sem alterar o padrão de oferta de produtos pela empresa, os cálculos deverão 
incluir tanto as reduções de custos trazidos por tais equipamentos como, ainda, 
os valores relativos à depreciação de ambos os itens, substitutos e 
substituídos. Vejamos o exemplo a seguir. 
 
Dados: 
(-)Preço da nova máquina: $18.500 
(-)Custo da instalação: $ 1.000 
(-)Custo de desmontagem: $ 500 
(+)Venda da máquina antiga: $ 2.000 
Investimento Inicial $18.000 
Aumento de vendas/ano: $ 8.100 
Imposto de renda 40% 
Tempo de depreciação: 
-Máquina antiga: 10 anos 
-Máquina nova : 5 anos 
 
Observação: Tempos de vida útil das máquinas nova e antiga são de, 
respectivamente, 5 e 10 anos. O valor residual da máquina nova (ao final dos 5 
anos) é de $1.000. A máquina antiga já tem 5 anos de vida, tendo sido 
adquirida por $20.000. 
 
A par desses dados, os fluxos de caixa se determinam como a seguir: 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 17 
 Valores contábeis Fluxo de caixa 
Aumento de vendas $8.100 $8.100 
(-)Depreciação s/máquina nova 4.000 
(+)Deprec. S/máquina antiga 2.000 
Lucro tributável 6.100 
(-)Imposto de renda (40%) 2.440 2.440 
Lucro adicional l======> $3.660 
 Fluxo de Caixa Anual ======> $5.660 
 
Assim é que o fluxo de caixa se determina numa base incremental e após 
consideração do imposto de renda. 
 
Para o exemplo anterior, considerou-se, objetivando aumentar o incentivo fiscal 
gerado pela nova máquina, que a depreciação estaria sendo calculada a partir 
do valor de aquisição somado aos gastos com montagem e desmontagem da 
máquina antiga. Ressalta-se que a legislação fiscal brasileira não permite tal 
acumulação de valores, podendo, no máximo, ser agregado ao valor a ser 
depreciado, os custos da instalação, dependendo da natureza do equipamento. 
Esse cálculo somente foi estruturado dessa forma nesse momento para fins 
didáticos, pois gerará considerações futuras que poderão enriquecer o estudo. 
 
Por agora, temos que análises de investimentos se fariam sobre os fluxos a 
seguir: 
 
Saída inicial (Ano 0): $18.000 
Fluxo de caixa (Ano 1 ao 4): $ 5.660 
Fluxo de caixa (Ano 5)*: $ 6.660 
 
* FC 1 a 4 + valor residual. Observa-se que tal consideração não é a mais 
precisa. Contudo, neste momento, é a que utilizaremos para fins de 
simplificação, a despeito de não estar considerando a tributação ideal do FC5, 
pois o valor residual no novo equipamento deveria ter sido submetido à 
verificação do ganho de capital. 
 
 
4. MÉTODOS DE ANÁLISE 
 
Uma vez determinados os fluxos de caixa esperados para o projeto, partimos 
para o detalhamento dos métodos de avaliação de rentabilidade dos mesmos. 
Vamos nos deter sobre as seguintes metodologias: 
 
· Payback 
. Payback atualizado 
· Valor Presente Líquido ou Valor Atual Líquido 
· Taxa Interna de Retorno 
· Taxa Interna de Retorno Modificada 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 18 
. Valor Atual Líquido Anualizado 
 
Naturalmente, à exceção do primeiro, todos os demais são métodos que se 
apegam a fluxos de caixa descontados no tempo. Vamos a eles. 
 
 
4.1 Payback (Tempo de retorno) 
 
Este método nos diz o número de períodos requeridos para se recuperar a 
saída inicial de caixa, sendo resultado apenas da relação entre x e y, entre o 
investimento inicial e o fluxo de caixa por período. Por exemplo, no caso acima, 
teríamos: 
 
Payback = $18.000 = 3,18 anos 
 $ 5.660 
 
Naturalmente, surgiriam problemas de cálculo caso o fluxo de caixa não fosse 
uniforme. Tal fórmula só contempla fluxos de caixa uniformes. Assim, no 
exemplo em pauta, não foi considerado o retorno dado pelo valor residual da 
máquina nova, ao final do 5o ano. 
 
Mas esse não é um grande problema com o método, se pensarmos, por 
exemplo, no fato de que não são considerados o fluxo de caixa que 
aconteceriam após o período do payback. Deixa-se de considerar um montante 
de $10.300 de entradas. 
 
Outro aspecto negativo do método tem como base a máxima de que o dinheiro 
tem valor no tempo, ou seja, é necessário atentar para uma taxa de retorno 
como expressão do custo de oportunidades, para que se analise a aceitação 
ou a rejeição de um projeto. E isso não se faz, quando se adota o método 
Payback. 
 
Para ilustra como seria calculado o payback em fluxos de caixa (FC) não 
uniformes, vejamos os seguintes exemplos: 
 
Projetos Inv. Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
A -300.000 90.000 50.000 60.000 50.000 250.000 
B -300.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 
 
Para calcularmos o payback em projetos com fluxos de caixa não uniformes, 
devemos trabalhar sempre com a idéia do que falta para ser recuperado. No 
projeto A, onde os fluxos não heterogêneos, devemos considerar os $300.000 
investidos como sendo o valor a ser recuperado. Ao final do primeiro fluxo de 
caixa, o investimento retornou para o investidor $90.000. Logo, o valor que o 
projeto ainda ‘deve’ para o investidor é $210.000. Ao final do segundo fluxo, o 
projetoainda deve para o investidor $160.000; ao final do terceiro, $100.000, 
ao final do quarto, $50.000. O quinto fluxo de caixa será suficiente para pagar 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 19 
os $50.000 restantes e ainda gerará uma sobra de caixa. Nesse momento, 
deverá ser verificado em quanto tempo do quinto fluxo os $50.000 serão 
recuperados. No caso, ao se dividir $50.000 pelo valor do fluxo cinco, obter-se-
á 0,2 fluxo. 
 
Logo, o payback do projeto A será de 4,2 fluxos (os quatro primeiros fluxos 
completos mais vinte por cento do quinto fluxo de caixa). 
 
No caso do projeto B, poderemos utilizar o mesmo método baseado no valor 
que falta para ser recuperado ou, como é composto apenas por fluxos iguais, 
poderemos dividir o investimento inicial pelo valor dos fluxos, obtendo um 
payback de 3 fluxos. 
 
 
4.2 Payback Atualizado 
 
O payback atualizado, também conhecido por payback descontado ou payback 
corrigido, visa eliminar a deficiência de não respeitar o valor do dinheiro no 
tempo, presente no payback tradicional. Contudo, as demais limitações do 
payback não são eliminadas pelo payback atualizado. 
 
A única novidade o payback atualizado é que ele insere no cálculo dos valores 
dos fluxos de caixa o Fator de Valor Atual =
1
1( ) i n
, descapitalizando todos os 
valores nominais de fluxos e preço do momento do investimento inicial. 
 
Considerando o mesmo exemplo anterior, a uma taxa de 10% a cada fluxo de 
caixa, teríamos: 
 
Projeto Inv. Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
A -300.000 81.818,18 41.322,31 45.078,89 34.150,67 155.230,33 
B -300.000 90.909,09 82.644,63 75.131,48 68.301,35 62.092,13 
 
Payback Atualizado A = 4,63 fluxos 
Payback Atualizado B = 3,75 fluxos 
 
Como observações finais, devemos lembrar que, apesar desses problemas 
metodológicos sérios, o método do Payback – e também o payback atualizado 
- recebe relativa importância na análise de investimentos. Talvez isso aconteça 
porque as administrações entendam tal método como uma aproximação ao 
risco dos projetos. Vale dizer, entende-se que quanto maior o período de 
recuperação de investimentos maior o risco inerente a cada projeto. 
 
De qualquer forma, se se deseja utilizar o payback, que isto seja feito como 
análise suplementar a outros métodos, buscando, com ele, apenas uma 
abordagem superficial ao risco do negócio. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 20 
 
4.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
Este método se insere de fato dentre aqueles que lidam com fluxos de caixa 
descontados, tomando em conta tanto o aspecto do valor do dinheiro no tempo, 
como a magnitude e o "timing" dos fluxos ao longo de toda a duração do 
projeto. 
 
Podemos definir a TIR como a taxa de desconto que zera a diferença entre os 
valores presentes dos fluxos de entradas e de saídas de caixa de projetos sob 
análise. Enfatizando, ela será a taxa que leva a zero a equação a seguir: 
 
 n 
 _ FCt __ = 0 
t=0 (1 + i)t 
 
em que, 
FCt : o fluxo de caixa líquido (entradas menos saídas), relativo a cada período 
"t" 
i : a taxa de desconto, a que denominamos TIR; 
n : número de períodos considerados, ou a dimensão de vida do projeto. 
 
Em outras palavras, também é possível definir a TIR como a taxa de desconto 
que leva a zero o Valor Atual Líquido de um projeto. 
 
Com o fim de levantarmos a TIR do projeto em pauta, teremos: 
 
-18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = 0 
 (1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)5 
 
Fazendo os cálculos por interpolação, encontraríamos a taxa de 18,33% a.a. 
Com isso, se diz que o projeto corresponderia a um investimento que rendesse 
exatos 18,33% ao ano. 
 
Como critério de aceitação de propostas com base neste método, sua "regra de 
ouro" seria verificar se: TIR ≥ Taxa requerida de retorno 
 
Digamos que a empresa em apreço coloque uma taxa de 12% a.a. como o 
mínimo aceitável para aceitação de projetos. Sendo assim, a aludida troca de 
equipamentos se processaria sem problemas. Entretanto, se a exigência fosse 
de 20%, haveria de se rejeitar tal iniciativa. 
 
Adicionalmente, no caso da taxa de corte de 12%, a aceitação do projeto 
significaria, em linguagem de finanças, que o projeto acresceria a base 
geradora de riquezas da empresa. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 21 
 
4.4 Valor Presente Líquido ou Valor Atual Líquido 
 
Da mesma forma que o método da TIR, este se constitui em método baseado 
em fluxos de caixa descontados, sendo que tal desconto se dá pela inserção 
de uma taxa requerida de retorno. Vejamos: 
 n 
VPL =  FCt em que as variáveis se definem como no item anterior. 
 t=0 (1 + i)t 
 
Com vista à aceitação de projetos, a pertinente "regra de ouro" fica sendo: 
VPL≥0 
 
Dessa forma, um VPL maior do que zero implica em dizer que o projeto 
possibilita um retorno superior ao caso de aplicações no mercado financeiro, 
p.ex., em que se teria retorno certo de uma taxa "i". Ou, em outros termos, a 
base geradora de riquezas da empresa se elevaria à par da aceitação do 
projeto em questão. 
 
Atendo-nos novamente ao nosso exemplo, impondo-se uma taxa mínima de 
retorno da ordem de 12% a.a., teremos: 
 
VPL = -18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = $2.970, 
 1,121 1,122 1,123 1,124 1,125 
 
o que nos capacita à aceitação do projeto. 
 
Obviamente, um VPL≤0 representaria um retorno aquém do nível demandado 
de 12% a.a. e, a aceitação de projetos nestas condições representaria um 
decréscimo na base geradora de riquezas da empresa. 
 
 
4.5 A TIR versus o VPL 
 
Pontos de convergência 
Ambos os métodos proporcionam o mesmo "sinal" de aceitação ou de rejeição, 
em análises em que se avaliem propostas únicas. Com a Fig.1, podemos 
visualizar a relação que se estabelece entre ambos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 22 
Fig.1 - VPL e TIR 
 
VPL 
($) 
$11.300,00 
 
 
 
 
 
 18,33% (TIR) 
 Taxa de juros % 
 0 
 
 
Nesse exemplo hipotético, temos que, a uma taxa de desconto zero, o VPL 
será tão somente a diferença entre entradas e saídas ao longo da vida do 
projeto. Por outro lado, à taxa de 18,33% a.a., ainda aceitaríamos o projeto, 
visto que, nesse ponto, o VPL se iguala a zero. Qualquer outra taxa requerida 
de retorno que se situasse entre 0 e 18,33% levaria à aceitação da proposta, 
enquanto taxas superiores não encontrariam fluxo esperado de retornos que a 
justificassem. 
 
Pontos de divergência 
 
Situamos tais pontos nos seguintes aspectos: 
 
$ taxa de reinvestimento dos fluxos intermediários; 
$ escala do investimento; 
$ taxas múltiplas de retorno. 
 
A divergência na sinalização para aceitação ou rejeição de propostas de 
investimentos ocorre quando da comparação de projetos mutuamente 
excludentes, em que somente um será selecionado. Vejamos o exemplo a 
seguir: 
 
 FLUXO DE CAIXA 
Ano 0 1 2 3 4 
Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000 
Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.675 
 
Procedendo aos cálculos do VPL e da TIR, a uma taxa requerida de retorno de 
10%, teremos: 
 
 Projeto A Projeto B 
VPL $8.083 $10.347 
TIR 25% 22% 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 23 
 
Com isto, vemos um evidente conflito gerado da consideração simultânea dos 
dois métodos, onde, pelo uso da TIR preferimos o Projeto A, enquanto pelo 
método do VPL, escolhemos o Projeto B. 
 
Qual, então, a decisão mais sensata? 
 
A escolha recai sobre o Projeto B, visto que ele tomou em conta o custo de 
oportunidade da empresa, representado por aplicações alternativas que 
poderiam lhe render até 10% a.a. 
 
E quanto à TIR? Qual a razão de seu preterimento? Isso se deve à suposição 
"heróica" do reinvestimento dos fluxosintermediários (1 e 2) à própria TIR, o 
que se constitui em equívoco evidente, já que colocamos que o custo de 
oportunidade da empresa seria de 10% a.a. 
 
Um novo problema que decorre do uso do método da TIR refere-se à escala do 
investimento inicial. Assim, desde que este método se expressa como uma 
porcentagem, a escala do investimento pode gerar problemas sérios na 
seleção de projetos. Vejamos o próximo exemplo: 
 
 
 Fluxos de Caixa 
Ano 0 1 TIR VPL(a 10% a.a) 
Proposta X -$100 $150 50% $36,36 
Proposta Y -$500 $625 25% $68,18 
 
Utilizando o método da TIR, recusaríamos um maior ganho ($68,18 no Y) em 
troca de um menor ($36,36 no X) apenas porque este nos daria maior 
"porcentagem". Nada mais absurdo. 
 
Outro problema surge quando da ocorrência de taxas de retorno múltiplas. 
 
Consideremos o seguinte projeto de investimento: 
Investimento Inicial: - $1.600,00 
FC 1: $ 10.000,00 
FC 2: - $ 10.000,00 
 
A equação de determinação da TIR se escreve então: 
 
Equação resultante: 
 
0600.1
)1(
000.10
)1(
000.10
12





TIRTIR
 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 24 
Dividindo por 1.000 e substituindo 1 / (1+TIR) por X, temos: 
 
-10X2 + 10X - 1,6 = 0 => 10X2 - 10X + 1,6 = 0 
 
Raízes: X1 = 0,80 e X2 = 0,20. Substituindo X1 e X2 por 1 / (1+TIR) temos: 
 
TIR 1 = 25% e TIR 2 = 400% VPL (a 10%) = -774,00 
 
Pelo critério do VPL o referido projeto deve ser rejeitado (VPL de -774,00). 
Entretanto, pelo critério da TIR, deverá ser aceito (TIR de 25% e TIR de 400%). 
Tal fato demonstra sua inadequação para o referido caso. 
 
É também útil mostrar outra limitação do método, ao possibilitar a ocorrência 
de taxa de retorno inexistente na análise de propostas. 
 
Pelo exemplo que segue, pode ser demonstrada tal limitação. Observe: 
 
Inv. Inicial FC1 FC2 
-$100,00 $200,00 -$150,00 
 
200
1
150
1
100 01 2( ) ( )



 
TIR TIR
 
 
Dividindo por 100 e substituindo 
1
1 TIR
 por x, temos: 
2 15 1 0
15 2 1 0
4
2
2 4 4 15 1
2 15
2 2
3
2
2
2
x x
x x
x
b b ac
a
x
x
  
  

  

   


 

,
,
( , )
,
 
 
Isto se deveu à ocorrência de fluxo de caixa negativo. A presença de FC 
negativo gera a probabilidade de ocorrência de TIR inexistente, mas não 
determina sua inexistência, necessariamente. Quanto maior o número de 
inversões e de discrepância dos fluxos maior a probabilidade de aparecimento 
da TIR inexistente. 
 
Descrevemos outro empecilho à aceitação deste método, e que se refere à não 
aditividade das taxas quando da consideração conjunta de projetos não-
excludentes. 
 
 não existem raízes reais 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 25 
Melhor explicando, vejamos os dois projetos abaixo, já apontados 
anteriormente: 
 
 Fluxos de Caixa 
Ano 0 1 2 3 4 
Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000 
Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.675 
Proposta A+B -$47.232 $10.000 $15.000 $20.000 $42.675 
 
Vimos que as TIR's para os projetos A e B são, respectivamente, 25% e 22%. 
Porém, com sua consideração conjunta (Projeto A+B) não temos 47% e, sim, 
23,19%. Visando melhor esclarecimento, com o uso do método da VPL, 
teríamos a característica de aditividade, com seu valor alcançando $18.430 
(que corresponde à soma dos valores parciais de $8.083 e $10.347). 
 
Mas, enfim, por que a ampla aceitação da TIR no mundo empresarial? Os 
dados apontados restringem-lhe enormemente a significação econômica. Em 
especial, a idéia do reinvestimento dos fluxos intermediários à própria TIR se 
mostra um equívoco grosseiro. 
 
As razões de aceitação da TIR se prendem ao fato de que, sendo uma taxa, 
ela é mais fácil de ser visualizada e interpretada. Paralelamente, com o método 
concorrente dado pelo VPL, a decisão se faz sobre um número absoluto, 
"descontado" para o momento zero, o que traz dificuldades de entendimento 
para muitos profissionais. 
 
Contudo, uma vez que o VPL, apesar da natureza do seu cálculo, apresenta 
valores em termos de momento zero, trabalha com unidade monetária, 
considera a aplicação dos recursos gerados pelo projeto à taxa mínima de 
atratividade e sempre pode ser calculado, independentemente dos valores dos 
fluxos apresentados, nota-se a superioridade do VPL frente a TIR, que embora 
seja mais facilmente compreendida por se tratar de taxa, supõe a reaplicação 
dos fluxos do projeto à própria TIR, que pode não ser condizente com as 
opções de investimentos no mercado financeiro, e pode apresentar dificuldade 
no seu cálculo, como nos casos de ocorrência de TIR múltipla ou TIR 
inexistente. 
 
 
4.6 Taxa Interna de Retorno Modificada (TIR-M) 
 
Se os problemas aludidos acima se constituem de fato em sérias restrições ao 
uso do método da TIR, a solução estaria num método que tomasse em conta o 
custo de oportunidade sobre os recursos da empresa nos cálculos para 
levantamento de uma taxa de retorno para iniciativas empresariais. Vejamos 
como, através do nosso primeiro exemplo: 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 26 
Fig.2 Avaliação de projeto 
0 1 2 3 4 5 
-18.000 5.660 5.660 5.660 5.660 6.660 
 
Taxa de desconto: 12% ao ano 
Taxa de juros do mercado financeiro: 14% ao ano 
 
Assim, procedendo ao reinvestimento dos fluxos intermediários (1 a 5) à taxa 
de juros do mercado financeiro (que representa o custo de oportunidade sobre 
recursos disponíveis da empresa), a equação de cálculo será: 
 
TIRM
VF
II
x
n






 








1
1 100 
 
em que falta definir e relembrar que: 
VF = valor futuro (no último período) dos fluxos de caixa da empresa; 
n = período de vida considerado para o projeto; 
II = investimento inicial. 
 
Já a operacionalização dos cálculos da TIRM no problema anterior se daria 
como abaixo: 
Ano 1: 5.660 x 1,144 = 9.559,51 
Ano 2: 5.660 x 1,143 = 8.385,54 
Ano 3: 5.660 x 1,142 = 7.355,74 
Ano 4: 5.660 x 1,141 = 6.452,40 
Ano 5: 6.660 x 1,140 = 6.660,00 
 
VF ============> 38.413,19 
TIR-M = ((38.413,19/18000)1/5 - 1) x 100 = 16,37% aa 
 
Nesse caso, são dois os passos para aferição da viabilidade de projetos de 
investimentos: 
 
a) TIR-M ≥ TRR: se isso ocorrer, o projeto é viável, por superar a taxa 
requerida de retorno, que é julgada suficiente para os propósitos de 
crescimento e sustentação da empresa no longo prazo. 
 
b) TIR-M ≥ im: se essa nova restrição é atendida, isso implica em que a 
rentabilidade do projeto supera possíveis aplicações de recursos no 
mercado financeiro. Em outros termos, a empresa terá retornos superiores 
aplicando na produção em lugar de investir em produtos financeiros. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 27 
Outro detalhe diz respeito à fórmula da TIR, que se refere a casos onde ocorra 
o padrão usual na análise de projetos, com investimentos num período inicial, 
sendo seguidos, no tempo, por fluxos de caixa líquidos. 
 
Caso houvesse fluxos de caixa negativos, além daquele referente ao 
investimento inicial, o critério internacionalmente aceito é o de se 
descontar tais fluxos negativos para o momento zero à taxa requerida de 
retorno, aumentando o valor de "II" na fórmula dada. 
 
Observa-se que não importa o padrão do fluxo de entradas e de saídas, pois 
que poderíamos adaptar novas configurações, quando necessário. Planilhas 
eletrônicas como o Excel, já incorporam soluções nesta direção. 
 
Quanto à regra para aceitação de projetos, o procedimento segue aquele do 
método da TIR, ou seja: 
 
TIR-M ≥ Taxa requerida de retorno 
 
Para nosso exemplo acima, temos que a TIR-M se iguala a 16,37%, superando 
a taxa requerida de retorno de 12%. Nesse sentido, o projeto contribuirá 
decisivamente para acrescer a base geradora de riquezas da empresa. 
 
 
4.7 Valor Atual Líquido Anualidado 
 
O Valor Atual Líquido Anualizado – VALA, ou Valor Anual Equivalente, é 
utilizado na análise de projetos com dimensões temporais diferentes. 
Transforma o VPL de projetosde vidas desiguais num montante anual que 
pode ser usado para escolher o melhor projeto. Seria injusto comparar projetos 
com dimensões temporais diferentes através através do VPL. O que seria 
melhor: um projeto de 10 anos com VPL de $1.000 ou um de 4 anos com o 
VPL de $900? Para resolver esse problema é que utiliza-se o VALA. 
 
As etapas de cálculo do VALA são: 
1º - Calcular o VPL de cada projeto; 
2º - Dividir o VPL de cada projeto pelo respectivo Fator de Valor Atual de 
Anuidade – FVAA a um dado custo de capital, sendo que 
 
  ii
i
FVAA
n
n



1
11
 
3º - Obter o VALA de cada projeto. 
 
Imagine os seguintes investimentos. 
 
Projetos Inv. Inicial FC1 FC2 FC3 Nº Fluxos VPL a 10% 
A -1.000,00 600 600 600 3 492,11 
B -500,00 500 500 --- 2 367,77 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 28 
O primeiro passo foi calcular o VPL de cada projeto considerando uma TRR de 
10% a cada fluxo de caixa. Até esse ponto poder-se-ia imaginar que o melhor 
projeto seria simplesmente o A, por apresentar maior VPL. 
 
Mas, passando-se a calcular o VALA, teremos o que segue: 
 
 
 
 
 
90,211
7355,1
77,367
7355,1
1,01,01
11,01
.
88,197
4869,2
11,492
4869,2
1,01,01
11,01
.
2
2
3
3








B
A
VALABprojFVAA
VALAAprojFVAA
 
 
Pelo VPL aceitar-se-ia o projeto A ($492,11 > $367,77). 
 
Contudo, pode-se perceber que o VALA do projeto B é maior ($211,90 > 
$197,88), ou seja, o projeto B gera mais riqueza a cada fluxo de caixa que o A. 
Logo, partindo da suposição de que os investidores têm a cada instante novas 
alternativas de investimento que atendem a sua taxa de remuneração exigida 
(TRR), poderíamos investir no projeto B e, ao final do segundo fluxo, quando o 
investimento estaria finalizado, passaríamos para outra proposta de 
investimento. 
 
 
5. CUSTO MÉDIO PONDERADO DE CAPITAL 
 
O custo de capital, ou seja, a taxa que será usada como referencial para a 
tomada de decisão de investimento (TRR) e também para movimentar o 
dinheiro no tempo em diversas das metodologias de avaliação, não tem fácil e 
objetiva determinação do seu percentual. 
 
Apresentamos a seguir algumas abordagens e tentativas de aproximação do 
que deveria ser a lógica de composição da taxa de desconto, também 
conhecida por taxa requerida de retorno, taxa de corte, taxa mínima de 
atratividade ou simplesmente custo de capital para um projeto de 
investimentos. Lemes Junior (2010) e Brasil (2004) nos apresentam o que 
seriam algumas tentativas de aproximar tal taxa. 
 
Lógica geral 
A lógica geral seria determinar a TRR através da simples soma entre taxa que 
poderia ser obtida em alternativas de investimentos livres de risco (ou de baixo 
risco) para o valor investido no projeto mais a remuneração mínima que os 
investidores aceitariam para assumir o risco do investimento. 
 
TRR = riskfree + risk 
 
Tentativa de aproximação 
Uma tentativa de aproximação poderia ser assim imaginada: 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 29 
 
Custo de capital = 
própriocapitalterceirosdecapital
dividendosjuros
... 

 
 
Custo de capital = risco do negócio + risco financeiro (endividamento) 
 
Ativo Passivo 
 Dívidas de C/P 
Ativos operacionais Dívidas de L/P 
Ativos fixos PL 
 Capital dos acionistas/proprietários 
 
 
O custo de capital “i” seria, então, uma ponderação entre o custo do capital do 
credor (quem empresta para a empresa) e o custo do capital do proprietário (o 
que ele exige de retorno daquele investimento). 
 
i = ponderação entre kd e ke 
i = WACC (Weighted Average Cost of Capital) 
kd = custo do capital do credor (debt) 
ke = custo do capital do proprietário (equity) 
 
 
Poderíamos, então, estimar o custo do capital do credor como sendo o que ele 
teria em outras alternativas livres de risco (ou de baixo risco) mais o risco que 
ele percebe para o capital emprestado. 
 
Custo de Capital do Credor 
kd = rf + Δ 
kd = custo do capital do credor 
rf = taxa livre de risco (ex: SELIC) 
Δ = spread em função do risco 
 
Outra abordagem do Custo de Capital do Credor poderia ser vista como: 
 
kd = 
terceirosdecapital
juros
..
 ou kd = )1(
..
t
terceirosdecapital
juros
 
 
onde t = alíquota de IR 
 
Exemplo: 
A empresa CMD paga juros de $150.000,00 por ano sobre um empréstimo de 
$1.000.000,00 e está sujeita ao imposto de renda de 25%. Qual é o seu custo 
de capital de terceiros, depois do IR? 
kd = )25,01(
000.000.1
000.150
 = 11,25% ao ano 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 30 
 
Se a empresa lança mão de debêntures para financiamento, poderíamos 
imaginar a seguinte lógica de custo. 
 
Custo de Debêntures 
Valores até o vencimento  TIR 
 
Exemplo: 
A empresa CMD emitiu debênture de 2 anos, com uma taxa de juros de 15% 
ao ano, paga sobre o valor nominal de $1.000,00 ao final do período, que gera 
um recebimento líquido, após despesas de lançamento e deságio de 
colocação, de $950,00. Sua alíquota de IR é de 25%. Qual o custo da 
debênture após o IR? 
 
950,00 
 150,00 1.150,00 
 
TIR = 18,20%  18,20 (1-0,25) = 13,65% ao ano 
 
 
Passando agora a lógica do custo de capital do proprietário, podemos imaginar 
a seguinte lógica geral: 
 
Custo de Capital do Proprietário 
 
Lógica geral Ke = 
óprioCapital
Dividendos
Pr.
 
Onde: ke = custo do capital do proprietário 
 
 
Uma abordagem reinante é a do modelo de precificação de ativo de capital 
(CAPM): 
 
Abordagem do CAPM – Capital Asset Pricing Model 
 
Ke = rf + β(rm – rf) 
ke = custo do capital do proprietário 
rf = taxa livre de risco 
β = medida do risco sistemático do negócio em relação ao mercado 
rm = risco de mercado; retorno esperado de uma carteira diversificada 
 
OBS: β = 0  rf (livre de risco) 
β = 1  rm (risco de mercado, ex: IBOVESPA) 
β > 1  risco superior ao de mercado 
 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 31 
Exemplo: 
A empresa CMD tem um beta de 1,30. O retorno do mercado é de 20% e a 
taxa livre de risco é de 16% ao ano. O custo da ação ordinária da CMD seria: 
 
Ke = 16 + 1,30 (20 – 16) = 21,20% 
 
Vantagem: 
- leva em consideração o risco do mercado 
- aplicável a todas as empresas que negociam ações em bolsas 
- possível (mas arriscado) fazer associações com empresas não S.A 
 
Desvantagens: 
- nem todas as empresas têm ações negociadas em bolsa 
- o futuro nem sempre repete o passado 
- possível baixa qualidade do modelo de regressão para o beta 
- dificuldades para prever β, rm e rf futuros 
 
Apesar da dificuldade de se prever o β, podemos recorrer à análise de 
regressão para calcular o referido coeficiente, conforme o exemplo abaixo. 
 
Calculando β 
 
Ano Mercado Ação específica 
1 23,8% 38,6% 
2 (7,2%) (24,7%) 
3 6,6% 12,3% 
4 20,5% 8,2% 
5 30,6% 40,1% 
 
 
Aplicando a regressão linear simples, conteúdo que será detalhado na próxima 
unidade, encontraremos a reta de regressão linear simples e, nela, o valor de β 
(o coeficiente angular da reta). 
 
Regressão Linear Simples  Ŷ = α+βx  Ŷ = -8,92+1,6x  β = 1,6 
 
Na HP 12C 
Y Enter X Σ+ 
g Y,r XY 2 Yx 
 
Coeficiente de determinação : r2 
0 g Y,r Coeficiente linear : α 
STO 0 
0 g X,r CHS 
RCL 0 XY  Coeficiente angular : β 
 
 
Retornando ao raciocínio lógico de que o custo de capital “i” seria, então, uma 
ponderação entre o custo do capital do credor e o custo do capital do 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 32 
proprietário, teríamos, enfim, o custo médio ponderado de capital da 
empresa: 
 
PLE
PL
k
PLE
E
tki ed



 )1( 
 
onde: i = taxa requerida de retorno (WACC - Weighted Average Cost of 
Capital) 
kd = custo do capital do credor 
ke = custo do capital do proprietário 
t = alíquota do imposto sobre a renda 
E = valor de mercado da dívida 
PL = valor de mercado do capital do proprietário 
E/(E+PL) = proporção do ativo financiado por dívida 
PL/(E+PL) = proporção do ativo financiado pelos proprietários 
 
OBS: - as despesas financeiras do endividamento reduzemo lucro tributável; 
- kd é chamado de custo bruto do capital de terceiros; 
 - kd(1-t) é chamado de custo líquido do capital de terceiros. 
 
 
Custo de Capital e Retorno do Investimento 
 
 TIR do projeto Riqueza do acionista 
TIR > custo de capital  Aumenta 
TIR = custo de capital  Não altera 
TIR < custo de capital  Diminui 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 33 
Exercícios de Aprendizagem/Fixação de metodologias de avaliação de 
fluxos de caixa de projetos de investimentos 
 
Calcule o payback: 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-18.000,00 5600,00 4780,00 6620,00 4789,00 - 
Payback = _______ períodos 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-540,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 
Payback = _______ períodos 
Comente:________________________________ 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-99.000,00 15000,00 24500,00 24500,00 34570,00 87900,00 
Payback = _______ períodos 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-8.500,00 9000,00 5600,00 - 10000,00 14500,00 2000,00 
Payback = _______ períodos 
Comente:________________________________ 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-8.500 4500,00 - 5600,00 10000,00 14500,00 2000,00 
Payback = _______ períodos 
Comente:________________________________ 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
- 54.600,00 28400,00 8976,00 4550,00 4550,00 16248,00 
Payback = _______ períodos 
 
________________________________________ 
 
Calcule o payback atualizado do 1º e do 3º exercícios acima (i=4,65%): 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
 
Payback atualizado = ________ períodos 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
 
Payback atualizado = ________ períodos 
 
 
_________________________________________ 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 34 
Calcule o VPL e a TIR: 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-32000,00 9800,00 19000,00 8600,00 17000,00 5000,00 
TRR=15% 
 
VPL= R$____________ TIR= ______ % 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-32000,00 9800,00 19000,00 8600,00 17000,00 -5000,00 
TRR=17,5% 
 
VPL= R$____________ TIR= ______ % 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-50000,00 13875,00 13875,00 13875,00 13875,00 40000,00 
TRR=20% 
 
VPL= R$____________ TIR= ______ % 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00 
TRR=25% 
 
VPL= R$____________ TIR= ______ % 
 
 
Um veículo é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de 
R$325,00 e mais três prestações semestrais de R$775,00, R$875,00 e 
R$975,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela 
financeira foi de 8,7% a.m. 
 
__________________________________________ 
 
Calcular a TIR-M: 
 
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 
-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00 
TRR=25% im=20% 
 
TIR-M= ______ % 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 35 
 
Exercícios de Análise de Investimentos: 
 
1)A empresa XYZ estuda a reposição de parte de seu parque fabril e, para 
isso, levantou os seguintes dados: 
 
Equipamentos novos 
 Valor: $800.000 
 Vida útil: 5 anos 
 Tempo de depreciação.: 2 anos 
 Valor residual: $350.000 
 Receitas adicionais : $580.000/ano nos 2 primeiros anos 
 : $620.000/ano nos 2 anos seguintes 
 : $440.000 no último ano 
 Custos de produção : 25% das receitas, a cada ano 
 Despesas com manutenção: $50.000 no 2o ano; 
 $80.000 no 3o ano; 
 $90.000 no 4o ano; 
 Instalação do equipamento novo (valor a ser lançado como despesa no 
período seguinte): $60.000 
 
Equipamentos antigos 
 Valor residual hoje: $180.000 
 Vida útil restante: 3 anos 
 Valor original dos equipamentos: $1.150.000 
 Tempo restante para depreciação: 2 anos 
 Idade atual dos equipamentos: 3 anos 
 
A par destes dados, pergunta-se se vale a pena a troca do parque fabril hoje, 
dada a taxa requerida de retorno de 20%, uma taxa de juros do mercado 
financeiro de 22% ao ano e a alíquota do imposto de renda de 40%. 
 
OBS: OS EQUIPAMENTOS ANTIGOS DEVEM SER VENDIDOS HOJE E O 
MÉTODO DE ANALISE DEVE SER O DA TAXA INTERNA DE RETORNO 
MODIFICADA. 
 
2)Uma empresa vem considerando promover a automação de sua fábrica, num 
investimento em equipamentos que custaria $1.000.000, valor a ser coberto 
parcialmente pela venda de maquinaria obsoleta no total de $350.000. Esta 
última custou $800.000 há 5 anos atrás, tem vida útil restante de 3 anos e 
deverá ser depreciada por adicionais 2 anos (além da vida útil). 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 36 
Espera-se um aumento anual de $500.000 nas vendas dos 3 primeiros anos e 
de $800.000 nos 3 últimos. A cada ano, os custos de produção corresponderão 
a 40% das vendas. 
 
Outros dados relacionados ao empreendimento novo são de que ao 
investimento inicial se acresceria dispêndio de $500.000 por conta de trabalhos 
de consultoria no campo da informática (dispêndios esses que devem ser 
lançados contabilmente como despesas no Ano 1), além do período de 5 anos 
para depreciação dos itens imobilizados e de um valor residual de $100.000 ao 
final da vida útil de 6 anos. 
 
Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda e de 20% a taxa requerida de 
retorno da empresa, pergunta-se se o projeto de troca de equipamentos é 
viável. 
OBS: Proceda a sua análise com base no método do Valor Atual Líquido e da 
Taxa Interna de Retorno. 
 
 
3)A Politécnica S/A está considerando um plano de investimento para produção 
de um novo produto desenvolvido pela área industrial por 06 anos. Para tanto, 
a empresa deve aplicar imediatamente $300.000 na compra de equipamentos, 
além de dispender $35.000 por conta de trabalhos de consultores de 
marketing. Além desses gastos, prevê-se que manutenções periódicas anuais 
das instalações demandariam $25.000 no 3o ano, $30.000 no 4o ano e $20.000 
no 5o ano. As receitas adicionais esperadas do plano são projetadas em 
$160.000 no 1o ano, crescendo à taxa de 15% até o 4o ano. Para os 2 últimos 
anos (5o e 6o), projeta-se queda anual das receitas de 20%. O tempo de 
depreciação dos equipamentos é de 5 anos e seu valor residual de $80.000. 
 
Por outro lado, os custos de produção devem representar 42% das receitas no 
1o ano, 35% no 2o e 30% da receita do 3o ano para o terceiro ano e demais 
anos até o final do projeto. Além disto, o novo produto deve reduzir a receita de 
produtos atuais num valor equivalente a 15% das vendas anuais do produto 
novo, assinaladas no parágrafo acima. 
 
Outro aspecto do atual projeto é que a empresa poderá livrar-se de 
equipamentos atualmente em uso, os quais podem ser vendidos no estado em 
que se encontram pela soma de $85.000 (mesmo valor de livro). A idade atual 
desses equipamentos é de 4 anos e seu tempo restante de depreciação é de 2 
anos. Caso sejam vendidos ao final destes 2 anos, seu valor de mercado seria 
de apenas $35.000, além do que seriam necessários $8.000 para reforma-los 
antes de poderem ser colocados à venda. 
 
As novas instalações ocuparão um terreno avaliado em $1.000.000, o qual não 
deve sofrer variação significativa de valor nos próximos anos e que encontraria 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 37 
compradores até com uma certa facilidade, o que permitiria sua venda sem 
maiores problemas. 
 
O custo de capital da empresa é de 17% ao ano e a taxa de juros do mercado 
financeiro é de 20% anuais. Além disso, a alíquota do imposto de renda é de 
40%. A par destas informações, responda se o projeto é viável de acordo com 
a metodologia da taxa interna de retorno modificada. 
 
Obs: Despesas no ano zero devem ser lançadas contabilmente no ano 
seguinte. 
 
4)Um analista de empresa industrial foi convocado a avaliar a conveniência da 
troca da frota de caminhões pesados da empresa. Os dados de que dispõe são 
os seguintes: 
Para compra: 
.Valor de cada unidade : $90.000 
.Tempode depreciação : 5 anos 
.Manutenção por veículo: despesas de $3.000 no 1o ano, crescendo à 
 razão de $1.500 por ano, até o 5o ano. 
.Vida útil na empresa : 5 anos 
.Valor residual : $30.000 por veículo 
.Tamanho da frota : 10 unidades 
 
Por outro lado, a frota de 13 veículos que seria substituída poderia ser utilizada 
por adicionais 5 anos e alcançaria o valor de venda de $22.000 por unidade se 
vendida hoje no mercado de veículos usados. Vendidos ao final de 5 anos, o 
preço unitário seria de apenas $6.000. Ademais, esses veículos foram 
adquiridos três anos antes por $80.000 cada e teriam mais 2 anos para 
depreciação. 
 
O acréscimo de produtividade que seria alcançado no setor de transporte 
possibilitaria ganhos adicionais estimados em $350.000 por ano. Assim, sendo 
de 20% a taxa requerida de retorno para aceitação de projetos e de 40% a 
alíquota do imposto de renda, pergunta-se se a troca da frota seria vantajosa 
para a empresa. (Faça sua análise com base no Valor Atual Líquido e no 
Payback) 
 
 
5)Uma empresa industrial está analisando a conveniência da troca de 
equipamentos para modernização de sua linha de montagem. O valor desses 
equipamentos alcança $320 milhões, com vida útil prevista de 5 anos e valor 
residual (valor de sucata) de $85 milhões ao final desse prazo. As receitas 
líquidas previstas são de $180 milhões/ano para os 3 primeiros anos e de $240 
milhões/ano para os demais. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 38 
Adicionalmente, prevê-se reformar os equipamentos ao final do segundo ano, 
de forma a adequá-los a recursos modernos de informática, que custarão 
adicionais $200 milhões. Ademais, esses equipamentos serão depreciados em 
3 anos. Ao final deste período, terão valor de mercado da ordem de $100 
milhões. 
 
No que tange às depreciações, essas se fariam exclusivamente em linha reta. 
Por outro lado, os equipamentos que seriam substituídos na troca custaram 
$210 milhões, quando de sua instalação 4 anos antes, e seriam depreciados 
por mais 3 anos. Vendidos no momento, alcançariam o valor de $40 milhões no 
mercado de máquinas usadas. Vendidos ao final de sua vida útil (em 3 anos), 
valeriam apenas $10 milhões. 
 
Enfim, sabendo-se que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%, que a 
empresa exige taxa mínima de retorno sobre investimentos da ordem de 20% 
ao ano e que a taxa de juros do mercado financeiro é de 18% ao ano, analise 
esta operação e descubra se ela é de fato vantajosa. 
 
 
6)A destilaria McDaniel está contemplando a reposição de sua máquina 
engarrafadora por uma nova e mais eficiente. A máquina velha tem valor de 
livro de $400.000 e restantes 5 anos de vida útil. Seu valor residual seria 
irrisório quando de seu esgotamento produtivo (ao final dos 5 anos); caso a 
empresa se decidisse a vendê-la hoje, conseguiria $200.000. Ademais, a 
depreciação se faz em "linha reta" e tal vantagem tributária se obterá por mais 
2 anos. 
 
A nova máquina tem um preço de compra de $800 mil e uma vida útil estimada 
em 5 anos, com valor residual de $100.000 ao final desse período. Espera-se 
que economize energia elétrica, trabalho, custos de manutenção e peças de 
reposição, num montante anual de $200.000. Ademais, a depreciação ocorrerá 
de forma linear pelos mesmos 5 anos. 
 
Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda incidente sobre a empresa e de 
18% ao ano a taxa de desconto usada para avaliação de projetos, pergunta-se 
se valeria a pena a compra da máquina. 
 
 
7)Uma empresa vem considerando a troca de uma máquina pela qual obteria 
$20.000 no mercado de máquinas usadas. Ela teria adicionais 3 anos de vida 
útil (e igual período de depreciação por apropriar), que se dariam sobre o valor 
de livro (ou valor que falta depreciar) de $33.000. Ademais, não teria valor 
residual se fosse vendida ao final desses 3 anos. 
 
No tocante à máquina nova, seu preço é de $60.000 (a ser depreciado em 6 
anos), e valor residual de $8.000 ao final desse período. Seu uso permitirá 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 39 
ganhos incrementais de $20.000/ano nos 3 primeiros anos e de $25.000/ano 
nos 3 últimos. 
 
Sendo de 40% a alíquota do IR, 15% a taxa requerida de retorno e 16% a taxa 
para aplicações no mercado financeiro, pergunta-se se é viável a troca de 
equipamentos. 
 
 
8)A empresa Toninhas vem considerando a reposição de uma máquina com 2 
anos de vida e que ainda deverá ser depreciada por mais 3 anos, por uma 
nova que acrescerá os ganhos de $25.000 para $65.000/ano. A máquina custa 
$60.000, tem vida útil de 5 anos, período de depreciação de 2 anos e valor 
residual de $8.000. 
 
Ademais, prevêem-se gastos com consultores externos no 2
0
 ano, no valor de 
$5.000. 
 
Por outro lado, a máquina antiga havia sido adquirida por $45.000 e, se 
vendida hoje, alcançaria o valor de $10.000. Vendida ao final de sua útil, não 
teria qualquer valor. 
 
Sabendo-se que o custo de oportunidade da empresa se expressa por uma 
taxa de desconto de 20% e que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%, 
pergunta-se: a empresa deve proceder à troca da máquina? 
 
 
9)Está em questão a aquisição de um reator de planta química, no valor de 
$500.000, o qual exigiria gastos adicionais de $50.000 no Ano 0 (a serem 
contabilizados como despesa no ano seguinte) e de $60.000 no Ano 4. O 
tempo de vida útil previsto do reator é de 6 anos, o tempo de depreciação está 
determinado em 4 anos e os ganhos anuais derivados de sua incorporação 
seriam $180.000. 
 
Sendo de $60.000 seu valor residual, 40% a alíquota do imposto de renda e de 
18% tanto a taxa requerida de retorno como a taxa de mercado para 
reaplicações dos fluxos de caixa, pergunta-se se o projeto é totalmente viável 
para a empresa. 
 
Sua conclusão seria a mesma para uma taxa requerida de retorno de 16%? 
 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 40 
 
Exercícios de Custo de Capital 
 
1) Calcular o custo do capital do credor, supondo que a taxa livre de risco real é 
de 12% ao ano, a relação E/(E+PL) é de 40% e considerando um spread de 
risco a partir das faixas constantes na tabela seguinte: 
E/E+PL Risco Spread 
0 AAA 0,2% 
10% AA 0,7% 
20% A+ 1,2% 
30% A- 2,3% 
40% BB 2,9% 
50% B+ 3,6% 
60% B- 4,7% 
70% CCC 6,0% 
80% CC 7,6% 
90% C 10,3% 
 
2) Um analista de investimento está tentando determinar o retorno mínimo 
desejado por um investidor. Em função do risco elevado do projeto, foi 
identificado um β = 1,4. A taxa livre de risco é de 12% ao ano e o retorno 
esperado para uma carteira perfeitamente diversificada (carteira de mercado, 
IBOVESPA) é de 19% ao ano. Qual o percentual mínimo de retorno que o 
investidor deverá estabelecer? 
 
3) Calcular a taxa requerida de retorno apropriada para um projeto em que a 
taxa livre de risco é de 9,5% ao ano, o retorno do IBOVESPA é de 17% ao ano, 
a relação E/(E+PL) é de 43%, o β é de 0,87 e o credor trabalha com a seguinte 
tabela para spread: 
E/E+PL Spread 
0-14,99% 0,9% 
15%-29,99% 1,5% 
30%-44,99% 2,7% 
45%-59,99% 3,8% 
60%-74,99% 5,0% 
75%-89,99% 8,1% 
90%-100% 11,7% 
A alíquota de imposto sobre a renda é de 37%. 
 
4) A CMD atua no ramo de informática, desenvolvendo aplicativos de gestão 
corporativa. Pretende fazer um investimento relevante em Pesquisa e 
Desenvolvimento, visando diversificar suas atividades para comercialização de 
aplicativos para gestão de escolas e faculdades. Atualmente ela possui duas 
alternativas excludentes para atender ao objetivo da diversificação. Uma delas 
implica contratar a atividade de P&D por tempo preestabelecido (cinco anos). 
Outra saída consiste em criar um departamento de P&D. 
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração 41 
O grande problema está no dimensionamento da taxa de desconto do projeto. 
A empresa possui cerca de 30% de endividamento em relação ao seu valor 
total de mercado. Acredita-se que esse percentual deverá se manter no futuro. 
O credor