ESTUDOS DAS FUNÇÕES LINEARES

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ESTUDOS DAS FUNÇÕES LINEARES
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x.
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . 
Veja o gráfico a seguir: 
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ( 0 .
Exemplos : 
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) 
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). 
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU: 
1) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
�� INCLUDEPICTURE "http://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_14.gif" \* MERGEFORMATINET 
2) Na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ( 0, f é dita função afim.
3) O gráfico intercepta o eixo dos “x” na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a.
4) O gráfico intercepta o eixo dos “y” no ponto (0 , b) , onde “b” é chamado coeficiente linear .
5) O valor “a” é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 
6) Se a > 0 , então f é crescente.
7) Se a < 0 , então f é decrescente.
8) Quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 
Exercício: 
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. 
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
 5 = 2a + b
-10 = 3a + b 
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2a + b - (3a + b) ( 5+10 = 2a + b – 3a – b ( 	15 = 15 = - a (- 1) ( a = - 15
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2(- 15) + b ( 5= - 30 + b ( b = 5 + 30 ( b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35. 
Exercício proposto
1)A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:
a) 2		b) -2	c) 0		d) 3		e) -3 
2)Seja f(x) = ax + b uma função afim. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. O valor de f(8) é igual a:
a)13		 b)10	c)11		d) 6		e)7
ZEROS DA FUNÇÃO AFIM (y = ax + b)
O valor de “x” para qual a função y = ax + b se anula (isto é, f(x) = 0), chama-se zero da função afim.
Para achar o “zero” de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau do tipo ax + b = 0
Exemplo: Achar o zero da função afim f(x) = 3x – 1.
		 3x – 1 = 0 	 3x = 1		
�� EMBED Equation.3 
Logo o zero da função f(x) = 3x – 1, é o n° 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO AFIM (y = ax + b)
1º Dada a função f(x) = 2x – 4, determine os valores de “x” para os quais:	 
 a) f(x) = 0
f(x) > 0
f(x) < 0
A resolução consiste em construir o gráfico da função e verificar os pontos em que a ordenada é nula, positiva e negativa (y = 0 ou y > 0 ou y < 0 )
	x
	y = 2x - 4
	(x , y)
	0
	 y = 2(0) – 4 = - 4
	(0, -4)
	3
	y = 2(3) – 4 = 2
	(3, 2)
Esquema
 y											
 														 2			 y > 0 																					 ( ( 0	 ( 2	3			x											y = 0 																						 y < 0
				-4												y < 0 				y > 0 									–				+									x <	 2	 x = 2		x > 2
OBS: Na função y = 2x – 4, temos a = 2 ou seja, é > 0	
Resumo: Função: y = 2x – 4, onde, a = 2, ou seja, é > 0	
	Zero da função: x = 2
Esquema: 	 y < 0			 y > 0
	 –				 +					 
 x <	 2	 2	 x > 2
 y = 0
2º Dada a função f(x) = –2x – 4, determine os valores de “x” para os quais:	 
a) f(x) = 0		b) f(x) > 0		c) f(x) < 0
No gráfico verificar os ptos em que y=0 ou y>0 ou y <0 
	x
	y = -2x - 4
	(x , y)
	–1
	 y = -2(-1) – 4 = – 2
	(-1, -2)
	0
	y = -2(0) – 4 = – 4
	(0, -4)
						 y
 y ( 0 
			 ( -2,0)
					 -1 0			 x
 y=0 
						 -2 
 y<0 
							-4
 y ( 0 			 y < 0 
		 –				 +								x < -2	 x =-2		x >-2
 OBS: Na função y = –2x – 4, temos a = –2 ( 0. 
RESUMO: Função: y = –2x – 4, onde, a = –2 ( 0	
	Zero da função: x = –2
Esquema: 	 y > 0			 y < 0
	 –				 +					 
 x < – 2	 – 2	 x > –2					
 
 y = 0
ESTUDO DOS SINAIS DE f(x) = ax + b (Reta do eixo “x”)
Uma função do primeiro grau do f(x) = ax + b é:
Crescente, se a ( 0;
Decrescente, se a ( 0
Se considerarmos que a raiz da função é o valor de “x” para qual f(x) = 0, temos:
f(x) = 0 
 ax + b = 0 
�� EMBED Equation.3 
Como no gráfico da função de primeiro grau, a raiz indica o ponto em que a reta corta o eixo Ox, podemos esquematizar os dois casos possiveis para a função de primeiro grau e analisar a variação de seu sinal:
				y
		a ( 0	
					 
		 (	 ( ) 			 raiz																 x									 0	 - b/a		 ( ( )														 																																															
				y
		a ( 0	
					 
		 		 raiz		 ( ( )													 		 x								 0 - b/a
 	( ( )	 														 																									
Estudando-se a variação dos sinais da função apenas no eixo Ox, resume-se em dois casos:
f(x) = ax + b
																																																																																																																											
Dessa forma, os passos, para fazermos o estudo dos sinais de uma função de primeiro grau são:
Determinar a raiz da função
Verificar o sinal de “a”
Esquematizar um gráfico crescente (a ( 0), ou dcrescente 
 (a ( 0 ), considerando-se apenas o eixo “Ox”
Montarmos uma tabela de sinais
Exemplo: 
1) Fazer o estudo dos sinais da função f(x) = -2x + 5
Cálculo da raíz
f(x) = 0 
-2x + 5 = 0 
x = 5/2
2) Como a = -2 (a ( 0 ), a função é decrescente.
Portanto, o gráfico de “f” terá o seguinte aspecto: 
																																																																																																
Assim, temos:
																																																																																																		
Por fim, podemos resumir o estudo dos sinais da função Numa tabela como esta:
 5/2
 Sinal de f(x) (+)	 (-)
OBS: NOTE QUE A TABELA REGISTRA QUE f(5/2) = 0
Função do 2º grau ou Função Quadrática
   A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
 
	y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e
a(0 
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
  
	O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
   Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
  
	
	Representação gráfica
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
Assim como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para “x”, obtemos seus valores correspondentes para “y”.
  
	x
	y = f(x) = x²
	-2
	4
	-1
	1
	0
	0
	1
	1
	2
	4
	3
	9
	
	
   Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.
Coordenadas do vértice
   A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por.
   Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3, segue que: 
Logo, a coordenada “x” será igual a 2, mas e a coordenaday?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola 
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
 y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
	
OBS:Qdo x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0			
Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Vejam os desenhos:
	
	
	a>0
	a<0
Os desenhos engraçados acima ilustram bem o entendimento do assunto. Vela quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz), e quando a<0, a concavidade da parábola está voltada para baixo (carinha triste).
Exemplos:
	y = f(x) = x² - 4
	
	a = 1 >0
	 
	y = f(x) = -x² + 4
	a = -1 < 0
OBS: Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo da função.
ESTUDANDO O DISCRIMINANTE - Δ
Quando o discriminante é igual a zero(Δ=0)
Quando o valor de 
, for igual a zero, então teremos duas raízes reais e iguais x = x`. O vértice a parábola encontra-se no eixo x, e a coordenada y será igual a zero. 
Exemplo:
 y=f(x)=x²+2x+1, (lembrando que: 
), onde 
, segue que:
, logo, 
, subst. os valores de a e b, vem que: 
 , portanto as coordenadas do vértice são: V=(-1,0)
Gráfico:
	
Quando o discrimintante é maior que zero(Δ›0)
Quando o valor de 
(0 a parábola intercepta o eixo “x” em dois pontos, então teremos duas raízes reais e distintas x ( x`, assim os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox serão (x,0) e (x’,0), que são as raízes ou zeros da função.
Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3, por Bháskara, vem que:
, daí segue que
, e x`
, (x=1, x’=3)
Gráfico:
	
Quando o discriminante é menor que zero(Δ‹0)
Quando o valor de
( 0, a parábola não intercepta o eixo x. Não haverá raízes ou zeros da função.
Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 por Bháskara, vem que:
Gráfico:
	
Resumindo:
	
	
	
	
	
	
	a>0
	a>0
	a>0
	 
	
	
	
	
	
	
	a<0
	a<0
	a<0
Esboçando o gráfico
Para finalizarmos, vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara, 
, vem que: 
onde, 
, e x`
2ª etapa: Coordenadas do Vértice
Coordenada x: 
Coordenada y: 
Basta substituir o valor de x obtido na função, logo vem que:
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1( y=1, logo aos coordenadas do Vértice da parábola são; V = (-2, 1)
3ª etapa: Concavidade da parábola y=-x²-4x-3
Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo
Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
GRÁFICO DA PARÁBOLA y=-x²-4x-3
Raízes;
x = -1 e x = -3 
Vértice: V = (-2, 1)
	
Tabel de sinais/Solução 
y = 0 para x = 2
y ( 0 para { x ( R( x ( 2 }
y ( 0 para { x ( R( x ( 2 }
Tabela de sinais/Solução 
y = 0 p/ x = -2
y ( 0 p/ { x ( R( x ( -2 }
y ( 0 p/ { x ( R( x ( -2 }
a ( 0 � EMBED Equation.3 ��� f é Decrescente
f(x) ( 0
 x
 raiz f(x) ( 0 
																																																										
a ( 0	 � EMBED Equation.3 ��� f é Crescente
				 f(x) ( 0
					 x	
f(x) ( 0 raiz
a ( 0 � EMBED Equation.3 ��� f é Decrescente
f(x) ( 0 5/2
 x
 raiz f(x) ( 0 
																																																										
f(x) = 0 ( x = 5/2
f(x) ( 0 ( x ( 5/2
f(x) ( 0 ( x ( 5/2
_1272353300.unknown
_1272359402.unknown
_1304007324.unknown
_1304007340.unknown
_1272385244.unknown
_1272385664.unknown
_1304007289.unknown
_1272385482.unknown
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_1272354165.unknown
_1272356912.unknown
_1272354137.unknown
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_1272351602.unknown
_1272207901.unknown
_1272208402.unknown
_1272207848.unknown
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