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ESTUDOS DAS FUNÇÕES LINEARES FUNÇÃO CONSTANTE Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x. Exemplos: a) f(x) = 5 b) f(x) = -3 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . Veja o gráfico a seguir: FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ( 0 . Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU: 1) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . �� INCLUDEPICTURE "http://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_14.gif" \* MERGEFORMATINET 2) Na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ( 0, f é dita função afim. 3) O gráfico intercepta o eixo dos “x” na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a. 4) O gráfico intercepta o eixo dos “y” no ponto (0 , b) , onde “b” é chamado coeficiente linear . 5) O valor “a” é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 6) Se a > 0 , então f é crescente. 7) Se a < 0 , então f é decrescente. 8) Quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Exercício: 1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. SOLUÇÃO: Podemos escrever: 5 = 2a + b -10 = 3a + b Subtraindo membro a membro, vem: 5 - (- 10) = 2a + b - (3a + b) ( 5+10 = 2a + b – 3a – b ( 15 = 15 = - a (- 1) ( a = - 15 Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica: 5 = 2(- 15) + b ( 5= - 30 + b ( b = 5 + 30 ( b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35. Exercício proposto 1)A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3 2)Seja f(x) = ax + b uma função afim. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. O valor de f(8) é igual a: a)13 b)10 c)11 d) 6 e)7 ZEROS DA FUNÇÃO AFIM (y = ax + b) O valor de “x” para qual a função y = ax + b se anula (isto é, f(x) = 0), chama-se zero da função afim. Para achar o “zero” de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau do tipo ax + b = 0 Exemplo: Achar o zero da função afim f(x) = 3x – 1. 3x – 1 = 0 3x = 1 �� EMBED Equation.3 Logo o zero da função f(x) = 3x – 1, é o n° ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO AFIM (y = ax + b) 1º Dada a função f(x) = 2x – 4, determine os valores de “x” para os quais: a) f(x) = 0 f(x) > 0 f(x) < 0 A resolução consiste em construir o gráfico da função e verificar os pontos em que a ordenada é nula, positiva e negativa (y = 0 ou y > 0 ou y < 0 ) x y = 2x - 4 (x , y) 0 y = 2(0) – 4 = - 4 (0, -4) 3 y = 2(3) – 4 = 2 (3, 2) Esquema y 2 y > 0 ( ( 0 ( 2 3 x y = 0 y < 0 -4 y < 0 y > 0 – + x < 2 x = 2 x > 2 OBS: Na função y = 2x – 4, temos a = 2 ou seja, é > 0 Resumo: Função: y = 2x – 4, onde, a = 2, ou seja, é > 0 Zero da função: x = 2 Esquema: y < 0 y > 0 – + x < 2 2 x > 2 y = 0 2º Dada a função f(x) = –2x – 4, determine os valores de “x” para os quais: a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0 No gráfico verificar os ptos em que y=0 ou y>0 ou y <0 x y = -2x - 4 (x , y) –1 y = -2(-1) – 4 = – 2 (-1, -2) 0 y = -2(0) – 4 = – 4 (0, -4) y y ( 0 ( -2,0) -1 0 x y=0 -2 y<0 -4 y ( 0 y < 0 – + x < -2 x =-2 x >-2 OBS: Na função y = –2x – 4, temos a = –2 ( 0. RESUMO: Função: y = –2x – 4, onde, a = –2 ( 0 Zero da função: x = –2 Esquema: y > 0 y < 0 – + x < – 2 – 2 x > –2 y = 0 ESTUDO DOS SINAIS DE f(x) = ax + b (Reta do eixo “x”) Uma função do primeiro grau do f(x) = ax + b é: Crescente, se a ( 0; Decrescente, se a ( 0 Se considerarmos que a raiz da função é o valor de “x” para qual f(x) = 0, temos: f(x) = 0 ax + b = 0 �� EMBED Equation.3 Como no gráfico da função de primeiro grau, a raiz indica o ponto em que a reta corta o eixo Ox, podemos esquematizar os dois casos possiveis para a função de primeiro grau e analisar a variação de seu sinal: y a ( 0 ( ( ) raiz x 0 - b/a ( ( ) y a ( 0 raiz ( ( ) x 0 - b/a ( ( ) Estudando-se a variação dos sinais da função apenas no eixo Ox, resume-se em dois casos: f(x) = ax + b Dessa forma, os passos, para fazermos o estudo dos sinais de uma função de primeiro grau são: Determinar a raiz da função Verificar o sinal de “a” Esquematizar um gráfico crescente (a ( 0), ou dcrescente (a ( 0 ), considerando-se apenas o eixo “Ox” Montarmos uma tabela de sinais Exemplo: 1) Fazer o estudo dos sinais da função f(x) = -2x + 5 Cálculo da raíz f(x) = 0 -2x + 5 = 0 x = 5/2 2) Como a = -2 (a ( 0 ), a função é decrescente. Portanto, o gráfico de “f” terá o seguinte aspecto: Assim, temos: Por fim, podemos resumir o estudo dos sinais da função Numa tabela como esta: 5/2 Sinal de f(x) (+) (-) OBS: NOTE QUE A TABELA REGISTRA QUE f(5/2) = 0 Função do 2º grau ou Função Quadrática A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a(0 Exemplos: a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 ) Gráfico de uma função do 2º grau: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola Sua representação gráfica é dada em torno de eixos: Representação gráfica Exemplo: Construa o gráfico da função y=x²: Assim como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para “x”, obtemos seus valores correspondentes para “y”. x y = f(x) = x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por. Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3 Temos: a=1, b=-4 e c=3, segue que: Logo, a coordenada “x” será igual a 2, mas e a coordenaday? Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2. y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1 Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1) Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!! Raízes (ou zeros) da função do 2º grau Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. y=f(x)=0 Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3. Vejamos o gráfico: OBS:Qdo x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior. Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6: Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0 Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. x²+5x+6=0 Acharemos que x = -2 e x` = -3. Concavidade da parábola Vejam os desenhos: a>0 a<0 Os desenhos engraçados acima ilustram bem o entendimento do assunto. Vela quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz), e quando a<0, a concavidade da parábola está voltada para baixo (carinha triste). Exemplos: y = f(x) = x² - 4 a = 1 >0 y = f(x) = -x² + 4 a = -1 < 0 OBS: Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo da função. ESTUDANDO O DISCRIMINANTE - Δ Quando o discriminante é igual a zero(Δ=0) Quando o valor de , for igual a zero, então teremos duas raízes reais e iguais x = x`. O vértice a parábola encontra-se no eixo x, e a coordenada y será igual a zero. Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1, (lembrando que: ), onde , segue que: , logo, , subst. os valores de a e b, vem que: , portanto as coordenadas do vértice são: V=(-1,0) Gráfico: Quando o discrimintante é maior que zero(Δ›0) Quando o valor de (0 a parábola intercepta o eixo “x” em dois pontos, então teremos duas raízes reais e distintas x ( x`, assim os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox serão (x,0) e (x’,0), que são as raízes ou zeros da função. Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3, por Bháskara, vem que: , daí segue que , e x` , (x=1, x’=3) Gráfico: Quando o discriminante é menor que zero(Δ‹0) Quando o valor de ( 0, a parábola não intercepta o eixo x. Não haverá raízes ou zeros da função. Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 por Bháskara, vem que: Gráfico: Resumindo: a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 Esboçando o gráfico Para finalizarmos, vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3 1ª etapa: Raízes ou zeros da função -x²-4x-3=0 Aplicando a fórmula de Bháskara, , vem que: onde, , e x` 2ª etapa: Coordenadas do Vértice Coordenada x: Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função, logo vem que: y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1( y=1, logo aos coordenadas do Vértice da parábola são; V = (-2, 1) 3ª etapa: Concavidade da parábola y=-x²-4x-3 Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo Feito isso, vamos esboçar o gráfico: GRÁFICO DA PARÁBOLA y=-x²-4x-3 Raízes; x = -1 e x = -3 Vértice: V = (-2, 1) Tabel de sinais/Solução y = 0 para x = 2 y ( 0 para { x ( R( x ( 2 } y ( 0 para { x ( R( x ( 2 } Tabela de sinais/Solução y = 0 p/ x = -2 y ( 0 p/ { x ( R( x ( -2 } y ( 0 p/ { x ( R( x ( -2 } a ( 0 � EMBED Equation.3 ��� f é Decrescente f(x) ( 0 x raiz f(x) ( 0 a ( 0 � EMBED Equation.3 ��� f é Crescente f(x) ( 0 x f(x) ( 0 raiz a ( 0 � EMBED Equation.3 ��� f é Decrescente f(x) ( 0 5/2 x raiz f(x) ( 0 f(x) = 0 ( x = 5/2 f(x) ( 0 ( x ( 5/2 f(x) ( 0 ( x ( 5/2 _1272353300.unknown _1272359402.unknown _1304007324.unknown _1304007340.unknown _1272385244.unknown _1272385664.unknown _1304007289.unknown _1272385482.unknown _1272385047.unknown _1272354165.unknown _1272356912.unknown _1272354137.unknown _1200516052.unknown _1272268541.unknown _1272351602.unknown _1272207901.unknown _1272208402.unknown _1272207848.unknown _1200516025.unknown
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