apostila 3 EM

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Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim 
 
2
APRESENTAÇÃO 
Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o 
conteúdo da programação da 2ª série do Ensino Médio (2º Grau). 
Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os 
exercícios. 
As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de 
Aprendizagem na Sala de Matemática. 
Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se 
necessário, tire suas dúvidas com o Professor. 
Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos 
elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-
instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu 
conhecimento gradativamente. 
No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe 
serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um 
cidadão mais seguro e respeitado. 
Não escreva na apostila, use seu caderno 
META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM 
“Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus 
valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de 
uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam” 
OBJETIVOS ( Módulos 6 e 7 ) 
Nesta U.E. você será capaz de: 
- Construir um gráfico no plano cartesiano, analisar e interpretar as coordenadas 
e sua divisões; 
- Localizar os pontos ( pares ordenados ) no plano cartesiano; 
- Fazer análise de gráficos e tabelas; 
- Transpor o conceito de função na resolução de situações-problemas do 
cotidiano; 
- Fazer uso do plano cartesiano, localizar dois ou mais pontos e traçar a reta que 
representa a função do 1º grau e da parábola na função do 2º grau; 
- Determinar o ponto de máximo ou de mínimo de uma parábola e suas 
aplicações em problemas; 
 
3
MÓDULO 6
 
COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO 
Você percebeu que cada vez mais os gráficos e tabelas são usadas nos meios de 
comunicação (jornais, revistas, etc.) e ocupam lugar de destaque nas ciências exatas. 
Além disso tem aplicações importantes na medicina, engenharia, economia, etc. O 
gráfico mais usado no estudo das ciências é o gráfico cartesiano formada por duas 
retas numeradas ( ou eixos ), que se cruzam num ponto zero ( a origem ) . 
Considerando: 
1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º ) 
2º A mesma unidade de medida nos eixos 
O eixo horizontal é chamado eixo X (abscissas) 
O eixo vertical é chamado eixo Y (ordenadas) 
Para localizar um ponto P (na figura), traçam-se por esse ponto paralelas aos 
eixos x e y, respectivamente. 
Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado de números reais 
(3,2), sendo 3 no eixo x e 2 no eixo y, obedecendo rigorosamente essa ordem. 
Dessa maneira fica determinado o ponto P, como a intersecção ou junção das retas 
paralelas aos eixos x e y. 
Veja mais alguns exemplos: 
 Localize os pontos no plano cartesiano lembrando que o 1º número é a abscissa 
(X) e o 2º é a coordenada (Y) 
 A (-1,3) C (-2,-2) 
 B (2,-1) D (1, 4) 
 X Y 
-6 -5 -4 -3 – 2 -1 1 2 3 4 5 6 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
 
.
 
P ( 3 , 2) 
eixo X 
 eixo Y 
Observe que os 
dois eixos estão 
divididos em 
partes iguais 
 
4 
O 1º nº do par ordenado pertence a abscissa (eixo x) e o 2º nº pertence a 
ordenada (eixo y). Os dois eixos formam as coordenadas cartesianas. 
Os eixos cartesianos dividem o plano em 4 regiões chamadas quadrantes, que 
são numeradas no sentido anti-horário (contrário ao movimento do relógio) 
 
I 
 III 
EXERCÍCIO: 
1) Faça em seu caderno o plano cartesiano e localize os seguintes pontos, 
lembrando que 0 1º nº é do eixo X e o 2º do eixo Y 
P (3 , 4) Q (-1 , -3) R (-2 , 5) 
 
 -6 –5 –4 –3 –2 -1 0
 
1 2 3 4 5 6 
4 
3 
2 
1 
-1 
 
eixo X 
eixo Y
 
-2
 
-3
 
-4
 
-5
 
A
 
B 
C 
D 
•
 
•
 
•
 
•
 
II 
IV 
- +
 
 + 
- 
 
5
COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º 
GRAU.
 
A função do 1º grau é escrita na forma y = ax + b, onde a é o coeficiente 
numérico (nº). 
Exemplo 1 
Vamos construir o gráfico para a seguinte função do 1º grau: y = x + 1, seguindo 
os passos abaixo: 
1º passo: Você vai escolher, no mínimo, dois números quaisquer para colocar 
no lugar da letra x, e construir uma tabela igual a esta: 
 X X + 1 Y 
 1 1 + 1 2 ( 1, 2 ) 
 2 2 + 1 3 ( 2, 3 ) 
Observe que no lugar da letra X coloca-se o número que foi escolhido. 
2º passo: Agora você vai construir o plano cartesiano traçando uma reta vertical 
( eixo Y) e outra horizontal ( eixo X) que se interceptam (cruzam) no ponto zero 
(origem). 
 
3º passo: A partir do “zero” dividir as retas em partes iguais correspondendo os 
pontos com os números. 
 
4º passo: Localizar no plano cartesiano os pares ordenados (x,y) obtidos na 
tabela. 
5º passo: Traçar uma reta unindo os pontos obtidos. 
Agora, observe o gráfico, onde estão localizados os pontos e a reta que passa por 
esses pontos. 
 
 
 
Nºs que você 
escolhe para X 
1 
 
• (2 , 3) 
• (1 , 2) 
 
 
6 
Exemplo 2: 
Como será o gráfico dos pontos (x,y), tais que y seja o nº que mede a área de um 
terreno quadrado de lado x, ou seja, y = x²? 
X X² y 
-2 (-2) ² 4 Lembre-se ( -2)2 = -2 . -2 = +4 
-1 (-1) ² 1 
0 0² 0 
1 1² 1 
 2 2² 4 
 
O gráfico da relação y = x² é uma curva chamada parábola e é importante na 
geometria e na física. 
Você já deve ter ouvido falar em antena parabólica: sua forma arredondada é 
derivada da parábola. 
Agora é com você: 
EXERCÍCIOS: 
2) Faça a tabela, marque os pontos e trace a reta no plano cartesiano 
a) y = x – 2 
b) y = 3 . x 
Você sabe que deve 
substituir os valores 
atribuídos para X na 
função Y = X² 
•
 
•
 
•
 
•
 
•
 
 
7
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS 
Você viu que atribuindo (dando) valores para uma variável (X) na equação 
você pode representá-la através de uma reta no plano cartesiano. O mesmo acontece 
quando você tem um sistema de equações (duas equações e duas variáveis). 
Esse sistema pode ser resolvido calculando o valor das duas variáveis usando o 
método algébrico (ver exemplo abaixo), como também através do gráfico no plano 
cartesiano. 
Observe atentamente o exemplo: 
Exemplo 1:
 
A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 3. Quais são esse 
números? 
X = um número 
Y = outro número 
Traduzindo para a linguagem matemática você tem: 
X + Y = 15 (a soma de dois números) 
X – Y = 3 (a diferença de dois números) 
1º Passo: “Juntando” os termos semelhantes: 
X + Y = 15 (1ª equação) 
X – Y = 3 (2ª equação) 
 2X = 18 
 Da equação resultante, você determina o valor de uma incógnita (neste caso o X ). 
2X= 18 
 X = 18
 
2 
2º Passo: substituir o valor da letra encontrado na 1ª ou 2ª equação. 
X + Y = 15 (1ª equação) 
9 + Y = 15 
 Y = 15 – 9 
 
Logo, os números procurados 
são 9 e 6 e o 
conjunto verdade
 
é 
representado por : 
 V = {(9 , 6)} 
 X , Y 
X =
 
9
 
Y = 6 
Adicionam-se as duas equações 
reduzindo os termos semelhantes 
 
 
8
A INTERSECÇÃO DE RETAS E A SOLUÇÃO DE SISTEMAS 
Você acha possível que um mesmo problema possa ser resolvido tanto 
algebricamente como geometricamente? 
Você aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau fazendo 
os cálculos com números e variáveis. Como será a solução geométrica do mesmo 
sistema? Usando o plano cartesiano, ou seja, o gráfico. 
X + Y = 15 1ª equação 
X – Y = 3 2ª equação 
Para encontrar a solução geométrica você deve escolher dois números 
quaisquer para x, substituir na 1ª equação e descobrir que número deve ser a letra y 
para que a operação fique correta. 
Por exemplo, se escolher os números 6 e 7 para x na primeira equação: 
 
X + Y = 15 
6 + Y = 15, se x vale 6 então y deve ser 9, pois 6 + 9 = 15 
7 + y = 15, se x vale 7 então y deve ser 8 , pois 7 + 8 = 15 
Então para a primeira equação você tem os pontos ( 6,9) e ( 7,8). 
Agora escolha mais dois números quaisquer para x na segunda equação. 
Por exemplo os números 3 e 4, veja: 
X – Y = 3 
3 - y = 3 Se x vale 3 então y vale 0, pois 3 – 0 = 3 
4 – y = 3 Se x vale 4 então y vale 1, pois 4 – 1 = 3 
Então você tem os pontos (3,0) e ( 4, 1) para a segunda equação. 
Marque os pontos encontrados na 1ª equação no plano cartesiano e trace a 
respectiva reta .Em seguida marque no mesmo plano cartesiano os pontos 
encontrados na 2ª equação e trace a respectiva reta. As duas retas se cruzam 
num ponto que é o resultado do sistema. 
Os valores X = 9 e Y = 6 são os únicos que tornam as duas equações 
verdadeiras: 
 
X + Y = 15 X – Y = 3 
 9 + 6 = 15 9 – 6 = 3 
 
9 
y 
 
 
 
 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
9 
8 
7 
6
5 
4 
3 
2 
1 
 
.
 
 x 
. 
 
. 
P (9 , 6 ) 
 
 (X, Y)
 
-2 
-3 
-1 
-4 
EXERCÍCIOS: 
3) Resolva geometricamente o sistema abaixo: 
 X - y = 3 
 X + y = 7 
A utilização do método cartesiano muito contribuiu para o progresso das 
ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da 
temperatura de um doente, a oscilação dos valores das ações na Bolsa, nos permite 
avaliar, por uma análise simples de eixos coordenados, trajetória de uma 
transformação e prever seu desenvolvimento com certa precisão. Mostram, entre 
outros exemplos a importância do método de Descartes (matemático) para o 
desenvolvimento dos conhecimentos humanos. 
ANÁLISE DE GRÁFICOS 
Para você interpretar um gráfico é necessário observar alguns elementos que 
fazem parte dele tais como: 
Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. 
Legenda: identifica quais os elementos que foram pesquisados. 
Títulos dos eixos: vertical e horizontal e suas divisões. 
Observe o gráfico abaixo e responda em seu 
caderno:
 
 
10
 
EXERCÍCIO: 
4) Responda as perguntas abaixo em seu caderno: 
a) Qual o assunto tratado no gráfico? 
b) Quais os elementos que foram pesquisados? 
c) Qual é o título do eixo vertical? 
d) E o eixo horizontal? 
e) Como está sendo graduado (dividido) o eixo vertical? 
f) Quantos alunos têm entre 156 à 160cm de altura? 
Altura de Alunos da 5ª Série
0
2
4
6
8
10
12
14
A) 135 à
140
B) 141 à
145
C) 146 
à 150
D) 151 
à 155
E) 156 à
160
F) 161 à
165
G) 166 
à 170
Intervalos de Alunos
N
º 
d
e 
A
lu
n
o
s
 
11
 
TIPOS DE GRÁFICOS ( MAIS UTILIZADOS ) 
1 – BARRAS 
EXERCÍCIO: 
5- Observando o gráfico, responda: 
 a) Quantas pessoas fumam 15 cigarros/dia? 
b) Qual o nº de pessoas que fumam 25 cigarros/dia e morrem por doenças 
pulmonares e as que são não fumantes? De quanto é essa diferença? 
ATE AQUI 
2 - LINHA 
PADRÕES DO CRESCIMENTO DO SER HUMANO 
EXERCÍCIO: 
6- Responda: 
 Quanto essa pessoa cresceu de 1 a 5 anos? 
MORTES POR DOENÇAS PULMONARES
0
20
40
60
80
100
120
não fumantes 5 cigarros/dia 15 cigarros/dia 25 cigarros/dia
Cigarros por dia
10
0 
M
ilh
õ
es
 d
e 
P
es
so
as
 
t (anos) 1 5 10 12 15 16 20 
h (altura/cm)
 
180 
160 
140 
120 
100 
 80 
 60 
 40 
 20 
 
 
12
 
GRÁFICO DE SETORES CIRCULARES – a unidade de medida mais usada 
é a porcentagem 
PREFERÊNCIAS MUSICAIS
30%
17% 25%
28%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS MPB30%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK INTERNACIONAL17%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS SERTENEJOS25%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK NACIONAL28% 
Como você calcula a quantidade de pessoas que preferem MPB sabendo que 
foram entrevistadas um total de 240 pessoas? 
Fácil! 
Você sabe que o círculo inteiro mede 360º e que esse valor corresponde ao 
total de pessoas entrevistadas ( 240 ). O setor que corresponde a preferência à 
MPB é de 30º , então: usando a regra de três, você tem: 
100% = 240 
 30% = X ( multiplicando e dividindo) 
X = 30 . 240 = 7200 = 72 pessoas 
 100 100 
EXERCÍCIO: 
7) De acordo com o exemplo acima, calcule a quantidade de pessoas que preferem 
a música sertaneja. 
 
13
 
GABARITO - MÓDULO 6 
1) 
 
 
 
 
b) y= 3X 
X Y 
0 0 
1 3 
2 6 
2) a ) y = x - 2 
X Y 
2 0 
1 -1 
0 -2 
 
14
 
3) x - y = 3 
 x + y = 7 
 
 
 
4 ) a ) altura dos alunos da 5ª série 
 b ) alunos, alturas 
 c ) nº de alunos 
 d ) intervalo de alturas 
 e ) de 2 em 2 
5 ) 60 milhões de pessoas pois o eixo vertical é “milhões de pessoas” 
6 ) 20 cm 
7 ) x = 60 
 
15
A B 
MÓDULO 7 
NOÇÃO DE FUNÇÃO: 
Você já aprendeu que uma equação do 1º grau ( y = ax + b ) pode ser 
representada no plano cartesiano através de uma reta e, que a equação do 2º 
grau ( y = ax² + bx + c ) por uma parábola. Essas equações são exemplos de 
funções. 
Para você entender o conceito (idéia) de função é só pensar em duas 
grandezas cujos valores variam, sendo que a variação de uma depende da variação 
da outra. 
Coloque-se no lugar de um fornecedor que pretende estudar a variação de 
preço de acordo com a quantidade de açúcar vendido. Ele deseja saber quanto 
deverá receber pela quantidade de açúcar vendido. 
Exemplo - 1 
 Considere a tabela abaixo: 
N.º de quilos de açúcar Preço a receber 
1 R$ 0,80 
2 R$ 1,60 
3 R$ 2,40 
4 R$ 3,20 
5 R$ 4,00 
... ... 
 
Esta tabela também pode ser representada através de um diagrama onde a 
flexa representa a correspondência entre os valores 
Diagrama ou esquema 
 1 0,80 
 2 1,60 
 4 3,20 
 3 2,40 
 5 4,00 
 
 Observe que há uma correspondência entre o n.º de quilos de açúcar e o valor 
a receber. O valor a receber é função (depende) do n.º de quilos vendidos. Isto 
significa que uma função tem duas grandezas ondeuma depende da outra. 
 
16
 
Definição de função:
 
No exemplo acima observe que há uma relação ou correspondência entre 2 
conjuntos os quais foram chamados de A e B. A representou a quantidade de quilos e 
B o valor a receber: 
Portanto: uma função de A em B é toda relação entre A e B, onde a cada 
elemento de A corresponde um único elemento de B. 
Matematicamente é representada assim: 
F: A B ( lê-se: f de A em B ) 
No exemplo dado um quilo de açúcar custa R$ 0,80. Chamando a quantidade 
de açúcar de X e o valor a receber de Y, você tem a função que representa o valor a 
receber. Para calcular basta substituir os valores de X na equação dada e resolver as 
operações indicadas. 
 Y = 0,80 . X 
X - Quantidade de quilo Y - Valor a pagar 
1 0,80 . 1 = 0,80 
2 0,80 . 2 = 1,60 
3 0,80 . 3 = 2,40 
4 0,80 . 4 = 3,20 
5 0,80 . 5 = 4,00 
... ... 
 
Domínio e Imagem 
No exemplo anterior o conjunto A (quantidade de quilos) é chamado Domínio 
da função. 
O conjunto B ( valor a pagar ) é chamado Imagem da função e é obtido 
substituindo os valores de X na equação. 
Exemplo 2 
Um vendedor recebe uma comissão de 5 reais a cada tênis vendido. 
 Pergunta-se: 
a) Qual a função que representa seu lucro? 
b) Construa uma tabela que representa a função 
c) Construa um diagrama que representa essa situação 
d) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem 
 
17
 
Resolvendo: 
a) Y = 5 . X onde 5 é o valor a receber de cada tênis e X a quantidade de tênis 
vendido. 
Observe que Y é o resultado da quantidade vendida ( X ) multiplicado por 5 
reais, que é a comissão. Portanto Y “depende” de X 
b) Tabela Y = 5 . X 
Substituindo valores de X na função dada e efetuando as operações (contas), 
você vai achar os valores de Y. Dessa forma você obtém os pares ordenados (X , Y). 
Domínio Função Imagem pares ordenados 
X Y=5 . X Y (X , Y ) 
1 Y=5 . (1) = 5 5 (1 , 5 ) 
2 Y=5 . (2) = 10 10 (2 . 10 ) 
3 Y=5 . (3) = 15 15 (3 . 15 ) 
.... 
 
ATENÇÃO! neste exemplo não foi usado nº negativo no domínio porque não 
existe venda negativa com comissão. 
C) Diagrama Tênis lucro 
 1 5 
 2 10 
 . . 
 4 20 
 . . 
 10 50 
 
D) Domínio (D) = 1, 2 . . 4, . . . 10... 
Imagem (I) = 5, 10 . . . 20 . . . 50... 
Exemplo - 3 
Dada a função Y = 2X - 1 determine: 
1-) O domínio e a imagem observando a tabela abaixo. 
2-) Os pares ordenados ( X , Y ) obtidos 
 
18
 
Domínio Função Imagem Pares ordenados 
X Y = 2x - 1 Y ( X , Y ) 
1 Y = 2.(1) - 1 = 1 1 ( 1 , 1 ) 
-1 Y = 2. (-1) - 1 = -3 -3 (-1 , -3 ) 
2 Y = 2.(2) -1 = 3 3 (2 , 3 ) 
-2 Y = 2.(-2) - 1 = -5 -5 ( -2 , -5 ) 
 
EXERCÍCIOS : 
1 ) Um vendedor tem um salário fixo de R$ 200,00 acrescido de uma comissão 
de R$ 5,00 em cada peça por ele vendida. 
A função que representa seu salário total é Y = 5X + 200 onde X representa a 
quantidade de peças vendidas. 
a) Complete a tabela abaixo, 
X 5 . X + 200 Y 
0 
10 
50 
 
b) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função, 
c) Faça a representação do conjunto domínio e do conjunto imagem no diagrama. 
INTERVALO 
Quando se fala em intervalo a primeira coisa que você lembra é aquele 
momento livre que há entre as aulas, numa escola regular, "o recreio". 
Saiba que o conceito de intervalo caminha por aí. 
Veja bem, o recreio ou melhor o intervalo fica entre as aulas de um período. 
Em matemática o intervalo numérico é usado quando você quer dar como 
resposta a uma questão, um conjunto de números que ficam entre 2 números 
dados. 
Usa-se os sinais > ( maior) e < (menor) para limitar o intervalo. 
Exemplo 1 
Se Paulo tem no bolso mais que 10 reais e menos de 50 reais como você 
escreveria a resposta se eu perguntasse – Quantos reais ele pode ter no bolso? 
Supondo que Paulo tenha X reais, você pode escrever isso na forma de 
intervalo matemático. 
 
19
Fica assim: 10 < X < 50 leitura X é maior do que 10 
 X é menor do que 50 
O valor X está no intervalo 10 a 50 
Exemplo 2 
 
No deserto a temperatura varia muito. Durante o dia chega até a 40º C e a 
noite ela cai para 3º C. Matematicamente você escreve isto em forma de intervalo 3º 
C < X < 40º C . Perceba que a notação de intervalo simplifica a escrita e é bastante 
usada na Física, Economia, Biologia, Química etc.. Agora que você sabe o que 
significa intervalo, pode defini-lo assim: 
“ Dados 2 números reais a e b, sendo a < b, chamamos de intervalo todos os 
números reais maiores que a e menores que b. 
 { X E R / a < X < b} 
Lê-se X pertence ao conjunto dos n.ºs reais, tal que X é maior que a e menor 
que b. O intervalo é o espaço entre a e b 
REPRESENTAÇÃO DO INTERVALO NO GRÁFICO 
Exemplo 1 
Veja a variação de certo artigo produzido no Brasil, representada no gráfico 
abaixo: 
 
 50000 
 
 40000 
 30000 
 20000 
 10000 
 1960 1970 1980 1990 2000 ano 
Y 
X 
 
20
Analisando o gráfico: sendo X o volume de produção no período você percebe 
que: 
1-) A produção cresceu no intervalo de 1960 a 1970 
 1960 < X < 1970 
2-) A produção decresceu de 1970 a 1980. A produção voltou a crescer em 
1980. 
3-) A produção ficou constante (estacionou) entre 1990 e 2000. 
EXERCÍCIOS: 
2 ) O gráfico abaixo mostra o espaço (S) percorrido por um automóvel numa 
viagem em função do tempo(t): 
a) Entre quais instantes o carro esteve parado? 
b) Qual o espaço percorrido entre 60 e 120 minutos? 
 
 80 
 60 
 40 
 20 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Quando a função é dada através de uma equação do 1º grau é denominada 
função linear e é representada no gráfico através de uma reta. 
Voltando na tabela do exemplo da página 3 da função Y = 5 . X onde X é a 
quantidade de tênis vendido vezes comissão, você obteve na tabela os pares 
ordenados (1 , 5) ; ( 2 ,10) ; (3 , 15) que podem ser colocados no plano cartesiano e 
assim construir a reta que representa a função. 
Veja: 
 
Todo gráfico que resulta em uma reta é uma função do 1º grau representada 
pela equação escrita na forma: 
Km 
30 60 120 t ( min ) 
 
(3,15) 
Y 
X 
 
21
 
Y = aX + b onde: Y é a imagem 
 X é o domínio 
 a é o coeficiente de X 
 b é a constante (número) 
Analisando a função do 1º grau ou função linear você pode observar que: 
1- Se a = 0 então Y = b pois a.x = 0. É uma função constante. 
Veja como fica o gráfico: 
Função Constante
 
Em Y = ax + b fazendo a = 0 
Obtemos Y = 0 . X + b ou 
 Y = 0 + b ou Y = b 
Note que Y = b não é uma função do 1º grau, pois a expressão 0 . x + b não é 
uma expressão do 1º grau. 
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo X. 
 Y 
 b Y = bX 
Função crescente e decrescente 
Quando a 0 a função Y = ax + b pode ser crescente ou decrescente 
Crescente: se a > 0 ( nº positivo) 
 
22
 Y 
 X 
Decrescente se a < 0 ( nº negativo) 
 
 Y 
 a< 0 
Você já aprendeu a construir o gráfico da função do 1º grau (equação da reta) 
no módulo 3. Agora vai aprofundar seus conhecimentos. 
Você viu que para construir uma reta bastam dois pontos ( X , Y ) ou dois 
pares ordenados que você obtém a partir da equação. 
Exemplo: y = 2X - 3 
Atribuindo dois ou mais valores quaisquer a X você constrói a tabela, substitui o 
valor de X na equação e determina os valores correspondentes de Y. Assim você 
obtém os dois pontos ( X,Y) necessários para traçar a reta. 
X 2 . X – 3 Y 
 -1 2 . (-1) - 3 -5 ponto ( -1 , - 5 ) 
 2 2 . 2 – 3 1 ponto ( 2 , 1 ) 
 
COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR 
Na função y = aX + b, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
 
a>0 
X 
( 2,1)
 
(-1, -5 ) 
Y 
X 
 
23
- Coeficiente angular é o valor que a função aumenta ou diminui quando se 
aumenta ou diminui a variável X em uma unidade. 
- Coeficiente linear é o lugar em que uma reta corta o eixo do Y (ordenada). 
Veja um exemplo prático do significado do coeficiente linear e do coeficiente 
angular. 
Na conta telefônica de uma residência , o valor total a ser pago é calculado da 
seguinte maneira: 
- assinatura mensal, dá direito a um certo nº de ligações e custa 
R$ 23,00. Passando desse número, o valor das ligações (pulsos) excedentes é 
calculado multiplicando-se o nº de pulsos extras pelo valor de cada pulso que é de R$ 
0,10. 
- em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura mensal. 
Chamando de X o nº de de pulsos excedentes e de Y o valor da conta telefônica 
você tem a função: 
Y = 23,00 + 0,10 . X 
Na função Y = 0,10 X + 23,00, observe que 23,00 é o coeficiente linear e que 
0,10 é o coeficiente angular. Veja no gráfico que este último ( o coeficiente angular ) 
é o valor que a função aumenta quando x cresce uma unidade. Ele é a altura do 
degrau da escada que o gráfico mostra. 
RAIZ DA FUNÇÃO 
A raiz da função Y = aX + b é o valor de X que torna Y igual a zero. Por 
isso, esse valor de X também é chamado de zero da função. 
 Y 
Valor 
 da conta 
 23,00 
X 
Nº de pulsos excedentes 
 0,10 
 
24
Para você calcular a raiz da função basta igualar a equação a zero . 
Veja o exemplo: 
Y = 2X – 3 
2X – 3 = 0 
 2X = 3 
 X = 3
 
 2 
EXERCÍCIOS: 
3 ) Considere a função y = 3X – 6 
a) Qual é o coeficiente angular? 
b) Qual é o coeficiente linear ? 
c) Qual é a raiz da função? 
d) o ponto (2 , 0) pertence a essa função? 
EXEMPLO: 
No ponto (12 , 30 ), X = 12 e Y = 30 então substituindo esses valores na 
função 
Y = 3.X – 6 
30 = 3 . 12 - 6 
30 = 36 – 6 
30 = 30 (verdadeira ) 
Agora você vai aprender a função do 2º grau ( quadrática) 
FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA 
A função do 2º grau é representada pela fórmula y = ax² + bx + c, onde a,b,c, 
são os coeficientes numéricos , com a diferente de zero. 
São exemplos de função do 2º grau: 
Você sabe 
quando um 
ponto pertence 
a função?
 
 -3
 
 X 
 3
 
 2 raiz 
 Y 
O valor 3 é a raiz da função.( ponto 
 2 onde a reta corta o eixo do X) 
 
 
Um ponto pertence a função se, 
substituindo o valor de X e Y na 
equação, a igualdade torna-se 
verdadeira 
 
 
25
 
Y = 2x² -3x +4 ( equação do 2º grau completa) com a= 2, b=-3, c= 4 
Y = 8x² + 9 ( equação do 2º grau incompleta ) com a= 8, b =0, c= 9 
Y = 6x² - 2x ( equação do 2º grau incompleta) com a =6, b= -2, c= 0 
A função do 2º grau ou função quadrática é representada no plano cartesiano 
através de uma parábola. 
A parábola é construída determinando valores para X (domínio)e calculando os 
respectivos valores de Y (imagem). 
1º EXEMPLO: 
 Y = X² - 2 
substituindo X pelo seu respectivo valor 
X X² - 2 Y 
 
0 0² - 2 -2 (0 , -2) 
1 1² - 2 -1 (1 , -1) 
2 2² - 2 2 ( 2 , 2) 
-1 (-1)²- 2 -1 (-1 ,-1) 
-2 (-2)² - 2 2 ( -2 , 2) 
A união dos pontos encontrados determina 
uma linha curva chamada parábola. 
2º EXEMPLO 
 
y = -2x² + 6 
 
 
26
X -2X² + 6 Y
 
0 (-2) . 0² + 6 6 
1 (-2) . 1² + 6 4 
2 (-2) . 2² + 6 -2 
-1 (-2). (-1)² +6 4 
-2 (-2). (-2)² +6 -2 
3º EXEMPLO 
Y = X² - 6X + 5 
X X² - 6X + 5 Y 
0 0² - 6. 0 + 5 5 
1 1² - 6. 1 + 5 0 
2 2² - 6. 2 + 5 -3 
3 3² - 6. 3 + 5 -4 
 
1-Se o coeficiente a > 0 ( nº positivo), a parábola tem a concavidade voltada para 
cima. 
Observe os gráficos dos 
exs 1, 2 e 3 e analise 
as conclusões 
 
27
 
2- Se o coeficiente a < 0 ( nº negativo) a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo 
Exercícios: 
4 ) Faça a tabela e construa a parábola das funções: 
a ) b ) 
Y = X² - 2 
a > 0 
Y = -2X² + 6 
a < 0 
 
Y = x² -4x + 3 
X X² - 4X + 3 Y 
 0 02 – 4. 0 +3 
 1 
 2 
 3 
 4 
 
Y = – x² + 1 
X - X² + 1 Y 
-2 - (-2)² + 1 
-1 
 0 
 1 
 2 
 
 
28
RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
As raízes de uma função são os pontos onde a parábola corta o eixo do X. 
Para determinar as raízes de uma equação do 2º grau aplicamos a fórmula de 
BÁSKARA e assim determinamos os pontos de X.. 
BÁSKARA
 
- foi um importante matemático hindu do séc. XII que se dedicou ao 
estudo das equações matemáticas. Por isso a fórmula que usaremos é conhecida como 
fórmula de Báskara aplicada nas equações do 2º grau (ax2 + bx + c = 0) sendo a 0 e 
a, b e c números reais. 
Eis a fórmula: 
X = a
b
.2
 
 
onde 
 = b2 - 4.a.c 
O símbolo é chamado Delta (uma letra grega) 
A equação do 2º grau pode ter 
 > 0 = 0 < 0 
A equação tem duas 
raízes reais diferentes 
A equação tem uma 
única raiz real 
A equação não tem raiz 
real 
 
Veja alguns exemplos e resolução com a aplicação da fórmula: 
Exemplo 1: 
Y = X2 - 6X + 5 = 0 
 a = 1 coeficiente de x² (nº que “ acompanha “o x²) 
 b = - 6 coeficiente de x (nº que “acompanha” o x 
 
 c = 5 coeficiente numérico (não vem “acompanhado” do x) 
a é o coeficiente de X² 
b é o coeficiente de X 
c é um nº ( não tem X) 
 
29
Você pode calcular substituindo as letras pelos seus valores: 
 
 
 = b2 - 4.a . c 
 = (-6)2 - 4.1.5 
 = 36 – 20 
 = 16 
 Substituindo o valor de na formula de Báskara você tem: 
x = 
a
b
.2
 x’ =
2
46 = 
2
10 = 5 
x = 
1.2
16)6( x = 
2
46 x’’ = 
2
46
 
=
2
2 = 1 
Substituindo os valores de X na equação, você observa que a sentença é 
verdadeira tornando assim o Y = 0 
X2 - 6 X + 5 = 0 X2 - 6X + 5 = 0 
52 - 6 . 5 + 5 = 0 12 - 6 . 1 + 5 = 0 
25 - 30 + 5 = 0 1 - 6 + 5 = 0 
0 = 0 0 = 0 
Exemplo 2: 
Y = 2X2 - 8 
O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é igualar a zero. 
2X2- 8 = 0 = b² – 4 .a . c X= - b ± 
a = 2 = 02 - 4. 2 .(-8) 2 . a 
b = 0 = 0 + 64 X= 0 ± 64 
c= -8 = 64 2.2 
 
 X’ =
4
80 = 
4
8 = 2 
 S = {2, -2} 
 X’’ = 
4
80 = 
4
8 = - 2 
Todo nº negativo elevado ao 
expoente 2 resulta sinal + pois 
–6 . –6 = +36 
S = 1,5 
 
30
 
Exemplo 3: 
X2 - 3X = 0 
a= 1 = b2 – 4.a.c 
b= -3 = (-3)2 - 4.1.0 
c= 0 = 9 - 0 
 = 9 
x =
a
b
.2
 x = 
1.2
9)3(
 
 x = 
2
33
 
x ‘ =
2
33 = 
2
6 = 3 
 
 x’’ =
2
33 = 
2
0 = 0 
S = 0 , 3 
Exemplo 4 
2X2 + 4X + 6 = 0 
a= 2 = b2 - 4ac 
b= 4 = 42 - 4.2.6 
c= 6 = 16 - 48 
 = - 32 
Como < 0 (número negativo) a equação não tem solução pois não existe raiz 
quadrada de um número negativo, logo, a solução é o conjunto vazio S=Ø 
Observe que em todos os exemplos acima resolvidos, os valores encontrados 
para X (raízes) fazem com que Y = 0, portanto são os pontos onde uma parábola 
intercepta (corta) o eixo do X. 
1º CASO: > 0 (possui 2 raízes diferentes) 
 a > 0 a < o 
 
 
31
2º CASO: = 0 (possui apenas 1 raiz) 
 a < 0 a > 0 
3º CASO: 
 
< 0 ( não possui raízes) 
 a > 0 a < 0 
Exercícios: 
 5 ) Determine as raízes das equações aplicando a fórmula de Báskara: 
a) X² - 5X + 6 = 0 
b) 4X² - 64 = 0 
 
 
32
MÁXIMOS E MÍNIMOS: 
Veja a parábola abaixo com a < 0. 
Se você “caminhar” no gráfico da esquerda para a direita, os valores de Y vão 
aumentando até chegar no vértice. Esse ponto é chamado de ponto de máximo. 
Com a > 0 você encontra no vértice um ponto de mínimo, pois partindo da 
esquerda para a direita, os valores de Y vão diminuindo. 
VÉRTICE DA PARÁBOLA 
Vértice é o ponto mais baixo(ponto de mínimo) ou o ponto mais alto (ponto 
de máximo) da parábola 
Para encontrar o vértice da parábola não é necessário construir o gráfico , 
basta encontrar o ponto (XV , YV). 
Para isso você tem duas maneiras para resolver: 
1 ) Usar as fórmulas: 
XV = - b YV = - 
 2 . a 4 . a 
Lembre-se: = b² - 4 . a . c OU..... 
 
Se a < 0 então o 
vértice é o ponto 
de máximo 
 
a > 0 então o 
vértice é ponto 
de mínimo 
 
33
 
2 ) Substituir na equação dada o valor encontrado de X V para encontrar o 
valor de Y 
Exemplo 1: determine o vértice da parábola que representa a função: 
Y = X² - 4X + 3 onde a = 1 b = - 4 c = 3 
XV = - b = - ( - 4 ) = 4 = XV = 2 
 2 . a 2 . 1 2 
YV = -
 
 = - [b² - 4 . a . c] = - [(-4)² - 4 . 1 . 3]= -[16 – 12 ]= - 4 = -1 
 4 . a 4 . a 4 . 1 4 4 
 YV = - 1 o vértice é o ponto ( 2 , -1 ) 
O ponto YV é o que determina o ponto máximo ou o ponto mínimo da 
função dependendo da concavidade voltada para cima ou para baixo. 
Exemplo 2 : Determine o ponto de mínimo da função: Y = 3X² - 12X 
Como a > 0 então a concavidade da parábola está voltada para cima e a função 
tem um ponto de mínimo YV 
Yv = 
a.4
 
= 
a
cab
.4
)..4²(
 
= 
3.4
)]0.3.4)²12[( 
=
12
)0144( = 
12
144 = -12 
Exemplo prático 
Queremos construir uma represa retangular para criação de carpas. Para cercá-
la serão necessários 12 m de tela sendo aproveitado o muro existente para cercar um 
dos lados. Quais são as dimensões para obter a represa de maior área possível? 
 Se X + X + C = 12 muro 
 2X + C= 12 
 C = - 2X + 12 
 X 
 
 c 
 
 
Você sabe que para calcular a área deve multiplicar as duas 
medidas: comprimento e largura, o que resulta numa 
equação do 2º grau. 
Ponto de mínimo
 
 
34
 
 
Então: 
 Área = X . C A = X . ( – 2X + 12 ) 
A = -2X² +12X (equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola) 
Usando a fórmula para calcular o YV você determina o valor do ponto 
máximo da área pois a < 0 . 
YV = - YV = - ( 12² - 4 . (-2) . 0 ) YV = - 144 = 18 
 4 . a 4 . ( -2) - 8 
 Se YV = 18 então a área máxima será 18m². 
EXERCÍCIOS : 
6 ) Dada a função y = X² - 4X + 5, determine o vértice da parábola e 
identifique se é ponto de máximo ou de mínimo. 
 7) Determine o ponto de mínimo da função Y = x² - 6x + 13 
ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Você vai resolver, construir e analisar a parábola que representa a função 
 
 Y = x² - 6X + 8 
Resolvendo: 
 a = 1 b= - 6 c = 8 
substituindo 
 
35
c ) 
Raízes: 
X = -b 
 
 
 2 . a 
 
 = b² - 4 . a . c 
 = (-6)² - 4 . 1 . 8 
 = 36 – 32 
 = 4 
Vértice: 
XV = - b = -(-6) = 6 = 3 
 2 . a 2 . 1 2 
 ponto do vértice ( 3 , -1 ) 
YV = - = - 4 = -1 
 4 . a 4 . 1 
 
CONCLUSÃO: 
1- a concavidade da parábola está voltada para cima pois a > 0 
2- a função possui ponto de mínimo y = -1 
3- a parábola corta o eixo do X em dois pontos X= 4 e X = 2 ( raízes) 
4- o ponto mais baixo (vértice) é (3 , -1) 
Veja o esboço da parábola: 
GABARITO: 
1) a-) X Y 
Substituindo na fórmula: 
X = - ( -6 ) 
 
 4 
 2 . 1 
 X’ = 6+2 = 8 = 4 
X = +6 2 2 2 
 2 
 X’’ = 6 –2 = 4 = 2
 
 Raízes = 4 e 2 2 2 
X 
 
36
0 200 0 200 
10 250 10 250 
50 450 50 450 
 b-) D = 0, 10, 50 … 
 I = 200, 250, 450... 
2) a) entre 30 e 60 min 
 b) 40 Km 
4) a-) X Y 
 0 31 0 
2 –1 
3 0 
4 3 
b-) X Y 
 -2 -3 
 -1 0 
0 1 
1 0 
2 -3 
5) a-) X2 – 5X + 6 b-) 4X2 – 64 = 0 
 = 1 = 1024 
 X’ = 3 X’ = 4 
 X” = 2 S = 3 , 2 X” = -4 S = 4 , -4 
 6) a-) XV = 2 
 YV = 1 
 
 7) YV = 4 
a>0 = ponto de mínimo 
3) a-) 3 
 b-) - 6 
 c-) X = 2 
 d-) sim pois 0 = 3 . 2 – 6 
 0 = 0 verdadeira 
 
 
37
Bibliografia: 
Desenhos ilustrativos tirados dos livros: 
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, 
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série 
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. 
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série 
São Paulo. Editora Scipione. 1999. 
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 
6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. 
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: 
- Elisa Rocha Pinto de Castro 
- Francisco Carlos Vieira dos Santos 
- Josué Elias Latance 
- Rosy Ana Vectirans 
COLABORAÇÃO: 
- Adriana Moreira Molinar 
- Esmeralda Cristina T. Ramon 
- Rosimeire Maschetto Nieri 
- Sara M. Santos 
DIREÇÃO: 
- Elisabete Marinoni Gomes 
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper 
COORDENAÇÃO: 
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes 
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim 
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