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Geometria Analitica - Parte I - 2016.pdf GEOMETRIA ANALÍTICA VETORES, RETA, PLANO E DISTÂNCIA José Fernando Santiago Prates 2016 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 2 Conteúdo 1. Vetores ........................................................................................................................................ 4 1.1. Definições ....................................................................................................................................................... 4 1.1.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 4 1.1.2. Ilustração geométrica no R3 .................................................................................................................. 4 1.2. Adição de vetores ......................................................................................................................................... 5 1.2.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 5 1.2.2. Exemplos ..................................................................................................................................................... 5 1.3. Multiplicação de um vetor por uma constante não nula......................................................................... 7 1.3.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 7 1.3.2. Exemplos ..................................................................................................................................................... 7 1.4. Igualdade entre vetores .............................................................................................................................. 8 1.4.1. Exemplos ..................................................................................................................................................... 8 1.5. Vetor definido por dois pontos .................................................................................................................. 9 1.5.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 9 1.5.2. Exemplos ..................................................................................................................................................... 9 1.6. Norma de um vetor (módulo) .................................................................................................................... 10 1.6.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 10 1.6.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 10 1.7. Vetor unitário ................................................................................................................................................ 11 1.8. Versor de um vetor ...................................................................................................................................... 11 1.9. Ponto médio de um segmento ..................................................................................................................... 11 1.10. Produto escalar ............................................................................................................................................ 12 1.10.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 12 1.10.2. Propriedade de Produto Escalar ..................................................................................................... 12 1.10.3. Exemplos .............................................................................................................................................. 12 1.11. Ângulo entre dois vetores ......................................................................................................................... 13 1.11.1. Exemplos .............................................................................................................................................. 13 1.12. Vetores Paralelos ........................................................................................................................................ 14 1.12.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 14 1.12.2. Exemplos .............................................................................................................................................. 14 1.13. Vetores Ortogonais .................................................................................................................................... 15 1.13.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 15 1.13.2. Exemplos .............................................................................................................................................. 15 1.14. Vetores diretores ....................................................................................................................................... 16 1.15. Ângulos diretores ........................................................................................................................................ 16 1.16. Projeção de vetor sobre vetor ................................................................................................................. 17 1.16.1. Exemplos .............................................................................................................................................. 17 1.17. Produto Vetorial .......................................................................................................................................... 18 1.17.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 18 1.17.2. Interpretação geométrica ............................................................................................................... 18 1.17.3. Propriedade de Produto Vetorial .................................................................................................... 18 1.17.4. Exemplos .............................................................................................................................................. 19 1.18. Produto Misto ............................................................................................................................................... 20 1.18.1. Propriedade de Produto Misto ........................................................................................................ 20 1.18.2. Interpretação geométrica ............................................................................................................... 20 1.18.3. Exemplos .............................................................................................................................................. 21 2. Retas .......................................................................................................................................... 23 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 3 2.1. Equação Vetorial da Reta ........................................................................................................................... 23 2.1.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 23 2.1.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 23 2.2. Equações Paramétricas da Reta ............................................................................................................... 26 2.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 26 2.3. Equações Simétricas da Reta ................................................................................................................... 27 2.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 27 2.4. Equações Reduzidas da Reta ..................................................................................................................... 28 2.4.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 29 2.5. Retas Paralelas ............................................................................................................................................. 30 2.5.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 30 2.5.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 30 2.6. Retas Ortogonais ......................................................................................................................................... 31 2.6.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 31 2.6.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 31 2.7. Ângulo entre Retas ..................................................................................................................................... 32 2.7.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 32 2.7.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 32 2.8. Interseção entre Duas retas .................................................................................................................... 33 2.8.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 33 2.8.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 33 2.9. Reta Ortogonal a Duas Retas .................................................................................................................... 35 2.9.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 35 2.9.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 35 3. Plano ........................................................................................................................................... 36 3.1. Equação Geral do Plano ............................................................................................................................... 36 3.1.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 36 3.1.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 36 3.2. Equação Vetorial do Plano .......................................................................................................................... 37 3.2.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 37 3.2.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 37 3.3. Equações Paramétricas do Plano .............................................................................................................. 38 3.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 38 4. Distâncias .................................................................................................................................. 41 4.1. Distância entre Pontos ............................................................................................................................... 41 4.1.1. Ilustração geométrica no R2 ................................................................................................................ 41 4.1.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 41 4.2. Distância entre Ponto e Reta .................................................................................................................... 42 4.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 42 4.3. Distância entre Ponto e Plano ................................................................................................................... 44 4.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 44 4.4. Distância entre duas Retas ....................................................................................................................... 45 4.4.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 45 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 4 1. Vetores 1.1. Definições Designa-se por vetor no Rn um elemento do conjunto de todas as n-uplas de números reais, representado pelo espaço R n . Notação: u = (u1, u2, u3,.. un) 1.1.1. Ilustração geométrica no R2 1.1.2. Ilustração geométrica no R3 u1 u=(u1,u2) u2 u1 u2 u=(u1, u2, u3) u3 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 5 1.2. Adição de vetores Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) do R n . A adição u + v é um vetor s = (s1, s2, s3,.., sn) onde cada elemento resulta da soma dos elementos correspondentes dos dois vetores s = u + v (s1, s2, s3,.., sn) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3,..., un + vn) si = ui + vi i = 1, 2, 3,..., n Veja animação em: 1.2.1. Ilustração geométrica no R2 1.2.2. Exemplos 1) Sejam os vetores do R2 u = (1, 3) e v = (4, 2) Solução: s = u + v = (1, 3) + (4, 2) = (5, 5) 2) Sejam os vetores do R3 u = (2, -1, 5) e v = (0, 3, -7) Solução: s = u + v = (2, -1, 5) + (0, 3, -7) = (2, 2, -2) 3) Sejam os vetores do R5 u = (1, 2, 0, -1, -3) e v = (2, -5, 0, 3, -7) Solução: s = u + v = (1, 2, 0, -1, -3) + (2, -5, 0, 3, -7) = (3, -3, 0, 2, -10) u1 u2 v1 v2 u1+v1 u2+v2 v u+v u u u+v v Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 6 4) Dados os vetores u e v, identificar os vetores ilustrados na figura abaixo: 5) Sejam os vetores u e v ilustrados na figura ao lado: Pede-se a) v - u b) u - 2v 5) Determine o vetor x no caso abaixo: a) Resposta: x = v - u 6) Usando a figura abaixo, determine as somas dos vetores indicados. Resposta: AH Resposta: IL u v u v -2v -v u-2v u v -u v-u u v x v-u u v x ? u v u+v ? ? ? ? A B C G H E D F A B C G H E D F A B G J K E H D C F L I A B G J K E H D C F L I Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 7 1.3. Multiplicação de um vetor por uma constante não nula Seja o vetor u = (u1, u2, u3,.., un) R n e uma constante K R. A multiplicação Ku é um vetor p = (p1, p2, p3,.., pn) onde cada elemento resulta da multiplicação dos elementos pela constante K. p = Ku (p1, p2, p3,.., pn) = (Ku1, Ku2, Ku3,.., Kun) 1.3.1. Ilustração geométrica no R2 1.3.2. Exemplos 1) Seja o vetor do R2 u = (1, 4) e K= 3 Solução: 3u = 3(1, 4) = (3, 12) 2) Seja o vetor do R3 u = (3, -2, -1) e K = -2 Solução: (-2)u = (-2)(3, -2, -1) = (-6, 4, 2) 3) Sejam u = (–1, 1, 0) , v = (2, 4, –1) e w = (0, 2, –1). Determinar, se possível, o valor de 2(u + (v –3w)). Solução: 3w = (0, 6, -3) v-3w = (2, 4, -1) - (0, 6, -3) = (2, -2, 2) u + (v-3w) = (-1, 1, 0) + (2, -2, 2) = (1, -1, 2) 2(u + (v-3w)) = (2, -2, 4) 4) Sejam os vetores u = (1, 1, 2), v = (-1, 1, 2), w = (2, -1, -1) e z = (-2, 1, 1) Determine o vetor x tal que 3x – z = 2u -3(v+w). Solução: 3x – z = 2(u -3(v +w)) 3x = 2(u -3(v +w)) + z 3x = 2(1,1,2) -3((-1,1,2) +(2,-1,-1)) + (-2,1,1) = (-3, 3, 2) x = (- 1, 1, 2/3) u1 u=(u1,u2) u2 u1 ku=(ku1,ku2) u2 ku1 ku2 pi = Kui i = 1, 2, 3,..., n Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 8 1.4. Igualdade entre vetores Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) R n . Os vetores u e v são iguais se, e somente seus elementos correspondentes são iguais. u = v (u1, u2, u3,.., un) = (v1, v2, v3,.., vn) 1.4.1. Exemplos 1) Determine x de modo que os vetores R2 u = (1, x) e v = (1, 2) sejam iguais. Solução: u = v (1, x) = (1, 2) x = 2 2) Determine x, y de modo que os vetores R3 u = (x + 2, x + y, 3) e v = (1, 2, y - 1) sejam iguais. Solução: u = v (x + 2, x + y, 3) = (1, 2, y - 1) x + 2 = 1 x = - 1 x + y = 2 3 = y – 1 y = 4 Fazendo x + y = 3 Portanto, é impossível encontrar x e y. 3) Determine x, y de modo que os vetores R3 u = (1, x + y, 2) e v = (1, 2, y) sejam iguais. Solução: u = v (1, x + y, 2) = (1, 2, y) x + y = 2 2 = y Portanto x = 0 e y = 2 4) Determine x, y de modo que os vetores R3 u = (x + 2, x + y, 2) e v = (1, 2, y - 1) sejam iguais. Solução: u = v (x + 2, x + y, 2) = (1, 2, y - 1) x + 2 = 1 x = - 1 x + y = 2 2 = y – 1 y = 3 Portanto, x = - 1 e y = 3, pois x + y = 2 ui = vi i = 1, 2, 3,..., n Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 9 1.5. Vetor definido por dois pontos Considere os pontos A = (a1, a2, a3,.., an) e B = (b1, b2, b3,.., bn) do R n . O vetor definido pelos pontos A e B, representado por AB e definido por AB = B – A. O vetor P=( b1 - a1, b2 - a2) é chamado de vetor posição. 1.5.1. Ilustração geométrica no R2 1.5.2. Exemplos 1) Determine o vetor dado pelos pontos do R2 A = (1, 3) e B = (4, 2). Solução: u = B – A u = (4, 2) – (1, 3) = (3, -1) 2) Determine o vetor dado pelos pontos do R3 A = (5, -2, 1) e B = (2, 0, 4). Solução: u = B – A u = (2, 0, 4) – (5, -2, 1) = (-3, 2, 3) 3) Determine o vetor dado pelos pontos do R5 A = (1, 4, 3, -2, 1) e B = (1, 2, 6, 7, 4). Solução: u = B – A u = (1, 2, 6, 7, 4) – (1, 4, 3, -2, 1) = (0, -2, 3, 9, 3) 0 A=(a1, a2) B=(b1, b2) AB b1 a1 b2 a2 P=( b1 - a1, b2 - a2) AB = B – A Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 10 1.6. Norma de um vetor (módulo) Seja o vetor u = (u1, u2, u3,.., un) R n. Definimos Norma (ou comprimento) do vetor u, representado por |u|, o número real dado por; |u| = 2 n 2 3 2 2 2 1 u...uuu 1.6.1. Ilustração geométrica 1.6.2. Exemplos 1) Determine a norma do vetor u = (1, 3). Solução: u = (1, 3) |u| = 22 )3()1( = 10 |u| = 10 2) Determine a norma do vetor u = (5, -2, 1). Solução: u = (5, -2, 1) |u| = 222 )1()2()5( = 30 |u| = 30 3) Determine a norma do vetor dado pelos pontos do R3 A = (5, -2, 5) e B = (2, -2, 1). Solução: u = B – A u = (2, -2, 1) – (5, -2, 5) = (-3, 0, -4) |u| = 222 )4()0()3( = 5 |u| = 5 4) Obter, se possível, o valor de k de modo que |u| = 5, onde u = (k, -2, -1, 2) Solução: u = (k, –2, –1, 2) e |u| = 5 |u| = 2222 )2()1()2()k( = 9k2 e como |u|= 5, temos que k2 + 9 = 25, ou seja; k = 4 u1 |u| u2 u=(u1,u2) Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 11 1.7. Vetor unitário Um vetor u = (u1, u2, u3,.., un) R n é chamado de vetor unitário se |u|=1. Exemplos: a) u = 2 1 , 2 1 |u|= 22 2 1 2 1 = 2 1 2 1 = 1 = 1 b) u = 10 1 , 10 3 |u|= 22 10 1 10 3 = 10 1 10 9 = 1 = 1 1.8. Versor de um vetor Seja um vetor v = (v1, v2, v3,.., vn) R n . Definimos versor de v , o vetor unitário dado por: |v| v . Exemplos: a) u =(2, 3, -1) tem um versor dado por: 14 1 , 14 3 , 14 2 |u| u b) u =(4, 2, -2, 1) tem um versor dado por: 5 1 , 5 2 , 5 2 , 5 4 |u| u Observações: a) |v| v é um vetor unitário associado a v com a mesma direção e mesmo sentido. b) - |v| v é um vetor unitário associado a v com a mesma direção e sentido oposto. 1.9. Ponto médio de um segmento Considere os pontos A = (a1, a2, a3,.., an) e B = (b1, b2, b3,.., bn) do R n. Definimos o ponto médio por: M = 2 ba ,.., 2 ba , 2 ba nn2211 Exemplos: Obter o ponto médio dos segmentos formandos pelos pontos abaixo; c) A=(1, 3) e B=(4, 1) Solução: 2, 2 5 2 13 , 2 41 M d) A=(5, -1) e B=(1, 4) Solução: 2 3 ,3 2 41 , 2 15 M Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 12 1.10. Produto escalar Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) R n . O produto escalar entre u e v é um número real, representado por u v e definido por; 1.10.1. Ilustração geométrica Da igualdade |u-v|2 = |u|2 + |v|2 - 2u v E aplicando a lei dos cosseno ao ABC |u-v|2 = |u|2 + |v|2 - 2|u|.|v|.Cos() Temos |u-v|2 = |u|2 + |v|2 + 2u v = |u|2 + |v|2 - 2|u|.|v|.Cos() u v = |u|.|v|.Cos() 1.10.2. Propriedade de Produto Escalar Sejam os vetores u, v, w Rn e k R. I. u v = v u (comutativa) II. u (v + w) = u v + u w (distributiva) III. K.(u v) = (K.u) v = u (K.v) (associativa) IV. u u > 0 V. u u = |u|2 1.10.3. Exemplos 2) Determine o produto escalar entre os vetores u = (5, -2, 1) e v = (2, 0, -4) Solução: u v = (5).(2) + (-2).(0) + (1).(-4) = 6 3) Determine o produto escalar entre os vetores u = (2, -3, -2, 0) e v = (1, 2, -2, 3) Solução: u v = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 u v u-v u v = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3 +,...,+ un . vn u v = |u|.|v|.Cos() 0o 180o B A C Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 13 4) Sabendo que |u| = 3, |v| = 7 e u v = 2 calcular (2u – 3v) (u + 4v) Solução: (2u – 3v) (u + 4v) = 2u u + 8u v – 3v u – 12v v = 2|u|2 + 5u v – 12|v|2 = 2(3)2 + 5(2) – 12(7)2 = -560 (2u – 3v) (u + 4v) = -560 5) Determine se possível, o valor de k de modo que uv = 25, onde u = (-3, 5, 7, 3, -2) e v = (-1, 3, -1, 2k, 5) Solução: uv = 25 e uv = (-3, 5, 7, 3, -2) (-1, 3, -1, 2k, 5) = 6k + 1 25 = 6k + 1 K = 4 1.11. Ângulo entre dois vetores Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) R n e aplicando a segunda expressão do produto vetorial, o ângulo entre os vetores u e v é definido por: 1.11.1. Exemplos 1) Determine o ângulo entre os vetores u = (1, 3) e v = (2, 4) Solução: u v = (1).(2) + (3).(4) = 14 |u| = 22 )3()1( = 10 |v| = 22 )4()2( = 20 20.10 14 Cos 1 8,1o 2) Determine o ângulo entre os vetores u = (1, 4, 1) e v = (-1, 2, 2) Solução: u v = (1).(-1) + (4).(2) + (1).(2) = 9 |u| = 222 )1()4()1( = 18 |v| = 222 )2()2()1( = 3 3.18 9 Cos 1 = 45o 3) Sabendo que |u|=10, |v|=5 e que o ângulo entre os vetores é = 60o. Determine u v. Solução: u v = ? |u| = 10 |v| = 5 = 60o Da fórmula u v = |u|.|v|.Cos() temos: u v = 10.5.Cos(60) = 25 u v = 25 |v|.|u| v.u Cos 1 u v Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 14 1.12. Vetores Paralelos Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) R n. Os vetores u e v são paralelos (u//v) se, e somente se existir um número real k tal que v = ku. Condição A: (v1, v2, v3,.., vn) = (ku1, ku2, ku3,.., kun) Condição B: 1.12.1. Ilustração geométrica Os vetores: u = (2, 1) é paralelo ao vetor 3u = (6, 3) v = (-3, 2) é paralelo ao vetor -v = (3, -2) w = (-3, 0) é paralelo ao vetor -2w = (-6, 0) 1.12.2. Exemplos 1) Verificar se os vetores u = (1, 3, 4) e v = (2, 6, 4) são paralelos. Solução: 2 1 2 u v 1 1 2 3 6 u v 2 2 e 1 4 4 u v 3 3 Logo, 1 u v u v u v 2 3 3 2 2 1 1 temos que os vetores não são paralelos. 2) Determine x e y de modo que os vetores u = (x, 2x-y, 4) e v = (2, 6, 4) são paralelos. Solução: Como 1 4 4 u v 3 3 , ou seja, v3 = u3, Sendo assim os componentes devem ser iguais De v1 = u1, temos que x = 2 e De v2 = u2, temos que 2x-y = 6, y = -2. u = (x, 2x-y, 4) = (2, 2(2)-(-2), 4) = (2, 6, 4) (verificando!) 3) Obter, se possível, o vetor u, paralelo ao vetor v=(2,-2,-1), de modo que |u| = 5 Solução: u = (a, b, c) paralelo a v=(2,-2,-1), isto é u=kv, temos que u=(2k, -2k, -k) |u| = 222 )k()k2()k2( = 3k e como |u|= 5, temos que k=5/3 logo u= (10/3 , -10/3 , -5/3) v u u v k v = ku 0 y x u 3u v -v w -2w 6 1 2 -1 -2 3 4 5 1 2 3 4 -1 -2 -3 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 15 1.13. Vetores Ortogonais Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) R n. Os vetores u e v são ortogonais (u v) se, e somente u●v = 0. 1.13.1. Ilustração geométrica 1.13.2. Exemplos 1) Verificar se os vetores u = (1, 3, 4) e v = (2, 6, 4) são ortogonais. Solução: u v = (1).(2) + (3).(6) + (4).(4) = 36 Portanto, os vetores não são ortogonais. 2) Verificar se os vetores u = (2, -3, -2, 0) e v = (1, 2, -2, 3) são ortogonais. Solução: u v = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 Portanto, os vetores são ortogonais. 3) Determine, se possível, o vetor u , sabendo que |u| = 5 , u é ortogonal ao eixo OX e uw = 6 onde w=(1, 2, 0) . Solução: u = (a, b, c) u é ortogonal ao eixo OX, isso implica que u = (0, b, c) |u| = 22 cb |u| = 5 uw = 6 e uw = 2b, logo b=3 de |u| = 22 cb =5 e b=3 temos c= 416 portanto, u=(0, 3, 4) ou u=(0, 3, -4) v u u●v = 0 y x Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 16 v 1.14. Vetores diretores Definimos os vetores diretores os vetores que formam a base canônica de cada espaço vetorial. Para: R 2 : 0) ,1(i e 1) ,0(j R 3 : 0) 0, ,1(i , 0) 1, ,0(j e 1) 0, ,0(k 1.15. Ângulos diretores São ângulos formados entre um vetor e os vetores diretores. Para: R 2 : 0) ,1(i e 1) ,0(j R 3 : 0) 0, ,1(i , 0) 1, ,0(j e 1) 0, ,0(k y x 1) 0, ,0(k 0) 1, ,0(j 0) 0, ,1(i z y 0) ,1(i 1) ,0(j x y 0) ,1(i 1) ,0(j x y x 1) 0, ,0(k 0) 1, ,0(j 0) 0, ,1(i z Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 17 1.16. Projeção de vetor sobre vetor Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) R n. A projeção de u sobre v é o vetor dados por: v. |v| vu ojPr u v 1.16.1. Exemplos 1) Obter a projeção do vetor u = (1, 3, 4) sobre os vetores diretores do R3. Solução: a) u = (1, 3, 4) e 0) 0, ,1(i i. |i| iu ojPr u i = )0,0,1.( |)0,0,1(| )0,0,1()3,2,1( = )0,0,1.( 1 1 = (1, 0, 0) b) u = (1, 3, 4) e 0) 1, ,0(j j. |j| ju ojPr u j = )0,1,0.( |)0,1,0(| )0,1,0()3,2,1( = )0,1,0.( 1 2 = (0, 2, 0) c) u = (1, 3, 4) e 1) 0, ,0(k k. |k| ku ojPr u k = )1,0,0.( |)1,0,0(| )1,0,0()3,2,1( = )3,0,0.( 1 3 = (0, 0, 3) 2) Obter a projeção do vetor u = (1, 3, 4) sobre o vetor v = (4, 3, 1). Solução: u = (1, 3, 4) e 0) 0, ,1(i v. |v| vu ojPr u v = )1,3,4.( |)1,3,4(| )1,3,4()3,2,1( = 26 13 , 26 39 , 26 52 )1,3,4.( 26 13 u v ojPr v u Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 18 1.17. Produto Vetorial Sejam os vetores kzjyixu 111 e kzjyixv 222 . O produto vetorial de u e v , nesta ordem, representado por vu , é definido pelo determinante de Laplace de ordem 3. vu = 222 111 zyx zyx kji = i zy zy 22 11 - j zx zx 22 11 + k yx yx 22 11 Podendo também ser calculado pela regra de SARRUS vu = 2 1 2 1 222 111 y y j x x i zyx zyx kji 1.17.1. Ilustração geométrica 1.17.2. Interpretação geométrica Aplicando as relações de um retângulo com ângulo α (indicado na figura), hipotenusa |v| e o cateto oposto ao ângulo α é dado por H. Sendo assim; Área = Base . Altura Área = |u×v| = |u|.|v|.sen(α) Ou ainda pela identidade de Lagrange |u×v|2 = |u|.|v| - (u●v)2 1.17.3. Propriedade de Produto Vetorial I- u×v = - v×u II- u×v =0 se, e somente se, u // v ( são paralelos). III- u×v é simultaneamente ortogonal aos vetores u e v. (u×vu e u×vv ) |v| |u| α H = |v|.sen(α) Área = |u×v| = |u|.|v|.sen(α) vu vuuv v u 222 )(||.|| vuvuÁrea Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 19 1.17.4. Exemplos 1) Sejam os vetores u = (-1, 1, 0), v = (2, 4, -1) e w = (0, 2, -1). Determinar os produtos vetoriais abaixo a) vu Solução: vu = 142 011 kji = i 14 01 - j 12 01 + k 42 11 = k6ji vu = (-1, -1, -6) b) wu Solução: wu = 120 011 kji = 2 1 j 0 1 i 120 011 kji = k2ji wu = (-1, -1, -2) c) wv Solução: wv = 120 142 kji = i 12 14 - j 10 12 + k 20 42 = k4j2i2 wv = (-2, 2, 4) 2) Determine o vetor v de modo que seja ortogonal ao eixo dos y e u = wv , sendo u = (4, -5, 6) e w = (1, 2, 1) Solução: Tomando v = (v1, v2, v3) e como vOy temos que v2 = 0, isto é v = (v1, 0 v3) wv = 121 v0v kji 31 wv = i 12 v0 3 - j 11 vv 31 + k 21 0v1 = kv2j)vv(iv2 1133 wv = (-2v3, v3 – v1, 2v1) como u = wv (4, -5, 6) = (-2v3, v3 – v1, 2v1) v1 = 3 v2 = 0 v3 = -2 v = (v1, v2, v3) = (3, 0, -2) Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 20 1.18. Produto Misto Sejam os vetores kzjyixu 111 (ou u=(x1, y1, z1)), kzjyixv 222 (ou v=(x2, y2, z2)) e kzjyixw 333 (ou w=(x3, y3, z3)). O produto misto entre u , v e w nesta ordem, é um número real representado por )wv(u ou )w,v,u( , é definido pelo determinante; )w,v,u( = 333 222 111 zyx zyx zyx = 1 33 22 x zy zy - 2 33 22 y zx zx + 1 33 22 z yx yx 1.18.1. Propriedade de Produto Misto I. O produto troca de sinal a cada troca de posição: )w,v,u( = - )w,u,v( = )u,w,v( II. ( u + x , v , w ) = )w ,v ,u( + )w,v,x( )w ,xv ,u( = )w ,v ,u( + )w ,x ,u( )xw ,v ,u( = )w ,v ,u( + )x ,v ,u( III. (k u , v , w ) = k )w ,v ,u( )w ,vk ,u( = k )w ,v ,u( )wk ,v ,u( = k )w ,v ,u( )wk ,vk ,uk( 321 = k1.k2.k3 )w ,v ,u( IV. )w ,v ,u( = 0 se, e somente se os vetores forem coplanares (mesmo plano). 1.18.2. Interpretação geométrica Volume = Área . Altura =|v×w|.h e como h = |u|.cos(α) = |v×w|.|u|.cos(α) = |u|.|v×w|.cos(α) = | |u|.|v×w|.cos(α) | = ||u|●|v×w| | = |(u, v, w)| |)w,v,u(|Volume )w,v,u( = 333 222 111 zyx zyx zyx h v w u v×w α Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 21 1.18.3. Exemplos 1) Sejam os vetores u = (-1, 1, 0), v = (2, 4, -1) e w = (0, 2, -1). Determinar o produto misto )w,v,u( . Solução: )w,v,u( = 120 142 011 = 4 2) Sabendo que (x, w, u) = 3 e (v, w, x) = - 2, determine se possível (3u - 2v, - w, 2x). Solução: (3u - 2v, - w, 2x) = (3u, - w, 2x) - (2v, - w, 2x) = (3)(-1)(2)(u, w, x) – (2)(-1)(2)(v, w, x) = (-6)(u, w, x) + (4)(v, w, x) = (-6)(-3) + (4)(-2) = 10 (3u - 2v, - w, 2x) = 10 (fazer uma correção......) 3) Obter, se possível, o valor de k de modo que os vetores u = (k, 2, - 1), v = (k, - 1, - 1) e w = (2, 0, 1) sejam coplanares. Solução: Para que os vetores sejam coplanares, )w,v,u( = 0 )w,v,u( = 102 11k 12k = -3k – 6 =0 k = - 2 4) Obter, se possível, o valor de k de modo que os vetores u = (k+1, 0, 1), v = (2, k-3, 0) e w = (0, 2, 1) sejam coplanares. Solução: Para que os vetores sejam coplanares, )w,v,u( = 0 )w,v,u( = 120 03k2 121k = k2 – 2k - 3 = 0 k1 = - 1 ou k2 = 3 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 22 5) Verificar se os pontos A = (1, 0, 3), B = (2, 1, 3) e C = (1, - 2, 1) pertencem ao mesmo plano. Solução: Devemos verificar se os vetores formados pelos pontos estão no mesmo plano. u = AB = B – A = (2, 1, 3) - (1, 0, 3) = (1, 1, 0) v = AC = C – A = (1, -2, 1) - (1, 0, 3) = (0, -2, -2) w = BC = C – B = (1, -2, 1) - (2, 1, 3) = (-1, -3, -2) )w,v,u( = 231 220 011 = - 4 Os pontos não são coplanares 6) A medida do ângulo, em radianos, entre v e w é 6 e u é simultaneamente ortogonal a v e a w . Sendo 1 |u| 1 |v| e 1 |w| , determinar )w,v,u( . )(Cos.|u|.|w v| Volume)w,v,u( , ângulo entre u e v e entre u e w )(Sen.|w|.| v| Área|w v| , ângulo entre v e w B ● ● C ● A B ● ● C ● A Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 23 2. Retas 2.1. Equação Vetorial da Reta Considere um ponto A = (x1, y1, z1) e um vetor não nulo u = (u1, u2, u3). Um ponto P = (x, y, z) pertence a reta r que passa por A com direção u se, e somente se, o vetor pertencer a reta, ou seja; AP = ku P-A = ku P = A + ku r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) Que é a equação vetorial da reta. 2.1.1. Ilustração geométrica 2.1.2. Exemplos 1). Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(3, -2, 2) e direção v = (2, 4, 6). Solução: A = (3, -2, 2) v = (2, 4, 6) r : (x, y, z) = (3, -2, 2) + k(2, 4, 6) 2). Determine uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos A=(1, -3, 5) e B = (2, 1, 3). Solução: Usando o ponto A = (1, -3, 5) e o vetor dado por v = AB = B – A = (2, 1, 3) - (1, -3, 5) = (1, 4, -2) r : (x, y, z) = (1, -3, 5) + k(1, 4, -2) r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) y z u x A P P A z u y x AP Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 24 3) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é ortogonal as retas r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1 (2, -1, 1) e r2 : (x, y, z) = (2, 3, 2) + k2 (1, 1, 2) Solução: A = (-2, -2, 2) Usando o vetor direção da reta r1 temos v1 = (2, -1, 1) Usando o vetor direção da reta r2 temos v2 = (1, 1, 2) Sabendo que o produto vetorial vu é simultaneamente ortogonal u e v temos w = vu = 211 112 kji = (-3, -3, 3) Sendo assim, a reta é dada por: r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k (-3, -3, 3) 4) Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto A2 =(-2, -2, 2) e é paralela a reta r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1(2, -1, 1) Solução: A2 = (-2, -2, 2) Usando o vetor direção da reta r1 temos v1 = (2, -1, 1) Um vetor paralelo ao vetor v1 pode ser dado por v2 = av1 = (2a, -a, a) r1 r2 r x y z v1 v2 v1xv2 v1 r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 z y x r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 v2=kv1 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 25 Se a = 2 temos v2 = (2)v1 = (4, -2, 2) Sendo assim, a reta é dada por: r2 :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k2(4, -2, 2) Se a = -1 temos v2 = (-1)v1 = (-2, 1, -1) Sendo assim, a reta é dada por: r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k2(-2, 1, -1) Se a = 3 temos v2 = (3)v1 = (6, -3, 3) Sendo assim, a reta é dada por: r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k2(6, -3, 3) 5) Verificar se o ponto P = (-5, -1, 3) pertence a reta r :{ (x, y, z) = (7, 8, 9) + k (4, 3, 2) Solução: Verificar se o ponto P = (-5, -1, 3) pertence a reta é encontrar o valor de k tal que; (-5, -1, 3) = (7, 8, 9) + k (4, 3, 2) (-5, -1, 3) = (7 + 4k, 8 + 3k, 9 + 2k) que resulta nas seguintes igualdades. -5 = 7 + 4k k = -3 -1 = 8 + 3k k = -3 3 = 9 + 2k k = -3 O ponto pertence a reta. 6) Verificar se o ponto P = (1, 2, 3) pertence a reta r :{ (x, y, z) = (1, 2, 2) + k (1, -1, 1) Solução: Verificar se o ponto P = (1, 2, 3) pertence a reta é encontrar o valor de k tal que; (1, 2, 3) = (1, 2, 2) + k (1, -1, 1) (1, 2, 3) = (1 + k, 2 - k, 3 + k) que resulta nas seguintes igualdades. 1 = 1 + k k = 0 2 = 2 – k k = 0 3 = 2 + k k = 1 O ponto NÃO pertence à reta. Como ilustrações abaixo estão alguns pontos pertencentes à reta; Para k = 1 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (1) (1, -1, 1) = (2, 1, 3) Para k = -1 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (-1) (1, -1, 1) = (0, 3, 1) Para k = 0 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (0) (1, -1, 1) = (1, 2, 2) Para k = 2 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (2) (1, -1, 1) = (3, 0, 4) Para k = -2 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (-2) (1, -1, 1) = (-1, 4, 0) Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 26 2.2. Equações Paramétricas da Reta Considere a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor não nulo u = (u1, u2, u3). r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) r : (x, y, z) = (x1 + ku1, y1 + ku2, z1 + ku3) Da igualdade entre os termos temos r : 3 2 1 1 1 1 ku ku ku z y x z y x Que formam as Equações Paramétricas da reta. 2.2.1. Exemplos 1). Determine as Equações Paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(3, -2, 2) e direção v = (2, 4, 6). Solução: A = (3, -2, 2) v = (2, 4, 6) r : t6 t4 t2 2 2 3 z y x 2). Determine as Equações Paramétricas da reta que passa pelos pontos A=(1, -3, 5) e B = (2, 1, 3). Solução: Usando o ponto A = (1, -3, 5) e o vetor dado por v = AB = B – A = (1, 4, -2) r : k2 k4 k 5 3 1 z y x 3) Determine as Equações Paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é ortogonal as retas r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1(2, -1, 1) e r2 : (x, y, z) = (2, 3, 2) + k2 (1, 1, 2) Solução: A = (-2, -2, 2) Usando os vetores direção da reta r1 u = (2, -1, 1) e da reta r2 v = (1, 1, 2) Sabendo que o produto vetorial vu é simultaneamente ortogonal u e v temos w = vu = (-3, -3, 3) Sendo assim, a reta é dada por: r : k3 k3 k3 2 2 2 z y x Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 27 2.3. Equações Simétricas da Reta Considere as Equações Paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor não nulo u = (u1, u2, u3). ku ku ku z y x z y x 3 2 1 1 1 1 k u xx 1 1 k u yy 2 1 k u zz 3 1 Isolando em cada equação a constante k com u10, u20 e u30 temos: r : 3 1 2 1 1 1 u zz u yy u xx Que formam as Equações Simétricas da reta. 2.3.1. Exemplos 1). Determine as Equações Simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3, -2, 2) e direção v = (2, 4, 6). Solução: A = (3, -2, 2) v = (2, 4, 6) r : 6 2z 4 2y 2 3x 2). Determine as Equações Simétricas da reta que passa pelos pontos A=(1, -3, 5) e B = (2, 1, 3). Solução: Usando o ponto A = (1, -3, 5) e o vetor dado por v = AB = B – A = (1, 4, -2) r : 2 5z 4 3y 1 1x 3) Determine as Equações Simétricas da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é ortogonal as retas r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1(2, -1, 1) e r2 : (x, y, z) = (2, 3, 2) + k2(1, 1, 2) Solução: A = (-2, -2, 2) Usando os vetores direção da reta r1 u = (2, -1, 1) e da reta r2 v = (1, 1, 2) Sabendo que o produto vetorial vu é simultaneamente ortogonal u e v temos w = vu = (-3, -3, 3) Sendo assim, a reta é dada por: r : 3 2z 3 2y 3 2x r : 3 1 2 1 1 1 u zz u yy u xx Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 28 2.4. Equações Reduzidas da Reta Considere as Equações Simétricas da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor não nulo u = (u1, u2, u3). r : 3 1 2 1 1 1 u zz u yy u xx Agrupando duas equações cada vez e isolando x e z em função da variável y temos: 2 1 1 1 u yy u xx 2 1112 2 1 u yuxu u u yx x = my + a 2 1 3 1 u yy u zz 2 1312 2 3 u yuzu u u yz z = ny + b Que formam as Equações reduzidas da reta em y, ou seja, Agrupando duas equações cada vez e isolando x e y em função da variável z temos: 3 1 1 1 u zz u xx 3 1113 3 1 u zuxu u u zx x = pz + c 3 1 2 1 u zz u yy 3 1213 3 2 u zuyu u u zy y = qz + d Que formam as Equações reduzidas da reta em z, ou seja, Agrupando duas equações cada vez e isolando z e y em função da variável x temos: 1 1 2 1 u xx u yy 1 1211 1 2 u xuyu u u xy y = sx + e 1 1 3 1 u xx u zz 1 1311 1 3 u xuzu u u xz z = wx + f Que formam as Equações reduzidas da reta em x, ou seja, r: bnyz amyx . r: dqzy cpzx r: fwxz esxy Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 29 2.4.1. Exemplos 1) Obter, se possível, a equação reduzida, em função de z, da reta que passa por A = (5, -3, 4) e tem direção v = (6, -4, 2). Solução: Da equação 3 1 1 1 u zz u xx temos 2 4z 6 5x que resulta em x = 3z – 7 Da equação 3 1 2 1 u zz u yy temos 2 4z 4 3y que resulta em y = –2z + 5 r: 5z2y 7z3x 2) Determine, se possível, a equação reduzida, em função de x, da reta que passa pelos pontos A = (1, - 2, 4) e B = (4, 1, -2). Solução: Tomando o ponto A = (1, - 2, 4) e o vetor direção v = AB = B – A = (3, 3, –6) Da equação 1 1 2 1 u xx u yy temos 3 1x 3 2y que resulta em y = x - 3 Da equação 1 1 3 1 u xx u zz temos 3 1x 6 4z que resulta em z = -2x + 6 r: 6x2z 3xy 3) Obter, se possível, a equação reduzida, em função de z, da reta que passa por A = (1, 2, 3) e tem direção v = (0, 2, 1). Solução: Da equação 3 1 1 1 u zz u xx temos 1 3z 0 1x Impossível! 4) Obter, se possível, a equação reduzida, em função de y, da reta que passa por A = (6, 2, 1) e tem direção v = (4, 1, 3). Solução: Da equação 2 1 1 1 u yy u xx temos 1 2y 4 6x que resulta em x = 4y - 2 Da equação 2 1 3 1 u yy u zz temos 1 2y 3 6z que resulta em z = 3y r: y3z 2y4x Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 30 2.5. Retas Paralelas Considere as Equações vetoriais das retas r1 :{(x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, c1) e r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2 (a2, b2, c2). As retas r1 e r2 são paralelas se, e somente se seus vetores direção v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2) forem paralelos, ou sejam: Condição A: (v1, v2, v3,.., vn) = (ku1, ku2, ku3,.., kun) Condição B: 2.5.1. Ilustração geométrica 2.5.2. Exemplos 1) Verificar se as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k(1, -3, -4) e r2 : (x, y, z) = (2, 4, 6) + k(-2, 6, 8) são paralelas. Solução: v1 = (1, -3, -4) e v2 = (-2, 6, 8) 2 1 2 1 a a 2 1 2 1 6 3 b b 2 1 e 2 1 8 4 c c 3 1 Logo, as retas são paralelas. 2) Verificar se as retas r1 : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -3, 4) e r2 : (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(2, 6, 2) são paralelas. Solução: v1 = (2, -3, 4) e v2 = (2, 6, 2) 1 2 2 a a 2 1 2 1 6 3 b b 2 1 e 2 2 4 c c 2 1 Logo, as retas não são paralelas. v1 r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 z y x r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 v2=kv1 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 31 2.6. Retas Ortogonais Considere as Equações vetoriais de retas: r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1 (a1, b1, c1) e r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2 (a2, b2, c2). As retas r1 e r2 são ortogonais se, e somente se seus vetores direção v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2) forem ortogonais, isto é: v1 v2 = 0. 2.6.1. Ilustração geométrica 2.6.2. Exemplos 1) Verificar se as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k1(1, -3, -4) e r2 : (x, y, z) = (2, 4, 6) + k2 (-2, 6, 8) são ortogonais. Solução: v1 = (1, -3, -4) e v2 = (-2, 6, 8) v1 v2 = (1).(-2) + (-3).(6) + (-4).(8) = -2-18-32=-52 Logo, as retas não são ortogonais. 2) Verificar se as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k1 (-2, 4, 7) e r2 : (x, y, z) = (2, 4, 6) + k2 (3, 5, -2) são ortogonais. Solução: v1 = (-2, 4, 7) e v2 = (3, 5, -2) v1 v2 = (-2).(3) + (4).(5) + (7).(-2) = 0 Logo, as retas são ortogonais. v1 r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 v2 z y x Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 32 2.7. Ângulo entre Retas Considere as Equações vetoriais de retas: r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, c1) e r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2(a2, b2, c2). O ângulo entre as retas r1 e r2 v é definido por: |v|.|v| vv Cos 21 211 , onde v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2). 2.7.1. Ilustração geométrica 2.7.2. Exemplos 1) Determine o ângulo entre as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k1 (1, 4, 1) e r2 : (x, y, z) = (2, 4, 6) + k2 (-1, 2, 2) Solução: v1 = (1, 4, 1) e v2 = (-1, 2, 2) v1 v2 = (1).(-1) + (4).(2) + (1).(2) = 9 |v1| = 222 )1()4()1( = 18 |v2| = 222 )2()2()1( = 3 3.18 9 Cos 1 = 45o Portanto, o ângulo entre as retas r1 e r2 = 45 o 2) Determine o ângulo entre as retas r1 : (x, y, z) = (3, -1, 0) + k1 (3, 1, -1) e r2 : (x, y, z) = (1, -2, 3) + k2 (-1, 0, 2) Solução: v1 = (3, 1, -1) e v2 = (-1, 0, 2) v1 v2 = (3).(1) + (1).(0) + (-1).(2) = 0 |v1| = 222 )1()1()3( = 11 |v2| = 222 )2()0()1( = 5 5.11 0 Cos 1 = 90o Portanto, o ângulo entre as retas r1 e r2 = 90 o y x v2 v1 z r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 33 2.8. Interseção entre Duas retas Considere as Equações vetoriais de retas: r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, c1) e r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2(a2, b2, c2). Se existir um ponto I = (x0, y0, z0) pertencente às retas r1 e r2, dizemos que esse ponto é o ponto de interseção entre as retas r1 e r2. 2.8.1. Ilustração geométrica 2.8.2. Exemplos 1). Considere as Equações vetoriais de retas: r1 : { (x, y, z) = (-2, 1, 3) + k1(-2, 1, 0) e r2 : { (x, y, z) = (-2, 4, 3) + k2(1, -2, 0). Determine, se possível, o ponto I = (x0, y0, z0), de interseção das retas r1 e r2 Solução: De r1 :(x, y, z) = (-2, 1, 3) + k1(-2, 1, 0) 1 12 3 1 2 k k z y x e r2 :(x, y, z) = (- 2, 4, 3) + k2(1, -2, 0) 2 2 k2 k 3 4 2 z y x 3 k1 k22 1 1 ? z y x 3 k24 k2 2 2 3 3 0 3 k2 k k k2 2 2 1 1 k1 = -1 e k2 = 2 logo, I =(0, 0, 3) Tirando a prova! De r1 : { (x, y, z) = (-2, 1, 3) + (-1)(-2, 1, 0) = (0, 0, 3) De r2 : { (x, y, z) = (-2, 4, 3) + (2)(1, -2, 0) = (0, 0, 3) y x v2 v1 z r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 I=(x0, y0, z0)= A2 + k2.v2 I=(x0, y0, z0)= A1 + k1.v1 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 34 2). Determine, se possível, o ponto I = (x0, y0, z0), de interseção das retas r1 e r2 r1 : { (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1 (-1, 1, 1) e r2 : { (x, y, z) = (-2, -7, 9) + k2 (1, 3, -2) Solução: 2 2 2 1 1 1 k29 k37 k2 z y x k3 k2 k1 6 9 3 k2 k3 k k k k 2 2 2 1 1 1 k1 = 0 e k2 = 3 logo, I =(1, 2, 3) 3). Considere as Equações vetoriais de retas: r1 :{ (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(1, 1, 1) e r2 : { (x, y, z) = (3, 2, 1) + k2(1, -1, 1). Determine, se possível, o ponto I = (x0, y0, z0), de interseção das retas r1 e r2 Solução: De r1 :(x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(1, 1, 1) 1 1 1 k k k 3 2 1 z y x e r2 :(x, y, z) = (3, 2, 1) + k2(1, -1, 1) 2 2 2 k k k 1 2 3 z y x 2 2 2 1 1 1 k k k 1 2 3 z y x k k k 3 2 1 2 0 2 k k k k k k 2 2 2 1 1 1 Como o sistema não admite solução, logo é impossível obter I. Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 35 2.9. Reta Ortogonal a Duas Retas Considere as Equações vetoriais de retas r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, c1) e r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2(a2, b2, c2). Se u = 21 vv onde v1 e v2 são os vetores direção das retas r1 e r2 respectivamente, então a reta que passa por um ponto A = (a0, b0, c0) e com o vetor direção u é ortogonal as retas r1 e r2 simultaneamente. 2.9.1. Ilustração geométrica 2.9.2. Exemplos 1) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é ortogonal as retas r1 : k k k2 3 1 1 z y x e r2 : 2 2z 1 3y 1 2x Solução: A = (-2, -2, 2) v1 = (2, -1, 1) e v2 = (1, 1, 2) v = v1 x v2 = (-3, -3, 3) reta é r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + h(-3, -3, 3) 2) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(1, 3, 5) e é ortogonal as retas r1 :{ (x, y, z) = (-2, 1, 3) + k(3, 0, -2) e r2 : { (x, y, z) = (-2, 4, 3) + h (1, 2, 1) Solução: A = (1, 3, 5) v1 = (3, 0, -2) e v2 = (1, 2, 1) v = v1 x v2 = (4, 5, 6) reta é r : { (x, y, z) = (1, 3, 5) + t (4, 5, 6) r1 r2 r x y z v1 v2 v1xv2 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 36 3. Plano 3.1. Equação Geral do Plano Considere um ponto A = (x1, y1, z1) pertencente ao plano e um vetor não nulo u = (a, b, c) perpendicular ao plano . O ponto P = (x, y, z) pertence ao plano se, e somente se, o produto escalar entre u e AP for nulo, ou seja; u AP = 0 u (P-A) = 0 a (x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 : ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0 d = - (ax1 + by1 + cz1) Que é a equação geral do plano. 3.1.1. Ilustração geométrica 3.1.2. Exemplos 1) Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A=(1, 2, 3) e tem o vetor normal n=(-2, -1, 2). Solução: Substituindo os valores A=(1, 2, 3) e n=(-2, -1, 2) na equação temos; : -2x - y + 2z - (1)(-2) - (2)(-1) - (3)(2) = 0 : -2x - y + 2z - 2 = 0 2) Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A=(2, -1, 4) e tem o vetor normal n=(4, 3, 5). Solução: Substituindo os valores A = (2, -1, 4) e n = (4, 3, 5) na equação temos; : 4x + 3y + 5z - (2)(4) - (-1)(3) - (4)(5) = 0 : 4x + 3y + 5z - 25 = 0 u = (a, b, c) A P AP : ax + by + cz + d = 0 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 37 3.2. Equação Vetorial do Plano Considere um ponto A = (x1, y1, z1) pertencente ao plano e dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) paralelos ao plano . O ponto P = (x, y, z) pertence ao plano se, e somente se, u, v e AP forem coplanares, ou seja; AP = k1u + k2v, k1, k2 R P-A = k1u + k2v P = A + k1u + k2v Que é a equação vetorial do plano. 3.2.1. Ilustração geométrica 3.2.2. Exemplos 1) Determine a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A=(1, 2, 3) e é paralelo aos vetores u = (7, 8, 9) e v = (4, 5, 6). Solução: Substituindo os valores na equação temos; : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) : (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(7, 8, 9) + k2(4, 5, 6) 2) Determine a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A=(1, -1, 1) e é paralelo aos vetores u = (2, -2, 2) e v = (3, -3, 3). Solução: Substituindo os valores na equação temos; : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) : (x, y, z) = (1, -1, 1) + k1(2, -2, 2) + k2(3, -3, 3) A P u k2v k1u v AP : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 38 3.3. Equações Paramétricas do Plano Considere a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e é paralelo aos vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) Aplicando a igualdade de vetores (x, y, z) = (x1 + k1u1 + k2v1, y1 + k1u2 + k2v2, z1 + k1u3 + k2v3) temos : 32311 22211 12111 vkukzz vkukyy vkukxx Que formam as equações paramétricas do plano 3.3.1. Exemplos 1) Determine as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A=(1, 2, 3) e é paralelo aos vetores u = (7, 8, 9) e v = (4, 5, 6). Solução: Substituindo os valores na equação temos; : 21 21 21 k6k93z k5k82y k4k71x 2) Determine as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A=(1, -1, 1) e é paralelo aos vetores u = (2, -2, 2) e v = (3, -3, 3). Solução: Substituindo os valores na equação temos; : 21 21 21 k3k21z k3k21y k3k21x 3) Determine os valores de m e n para que a reta r : (x, y, z) = (2, -1, 3) + t(2, -4, 2) esteja contida no plano : -3x + my + nz + 2 = 0 Solução Basta tomar dois pontos da reta e aplicar na equação do plano. p/ t=0 temos P0=(2,-1,3) -3(2) + m(-1) + n(3) + 2 = 0 -m + 3n =4 p/ t=1 temos P1=(4,-5, 5) -3(4) + m(-5) + n(5) + 2 = 0 -5m + 5n =10 Que resulta em n = 1 e m = -1 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 39 4) Verificar se a reta r :{ (x, y, z) = (2, -1, 3) + t(2,-4, 2) é paralela ao plano : 3x + 4y + 5z + 22 =0 Solução: Basta verificar se o vetor direção da reta v = (2, -4, 2) e o vetor normal do plano u = ( -3, 4, 5) são paralelos. v u = 0 reta paralela ao plano. v u = (2)( 3) + (-4)(4) + (2)(5) = 0 , portanto a reta é paralela ao plano. 5) Determine os valores de m e n para que a reta r : (x, y, z) = (-2, 3, 0) + t(1, -2, 2) esteja contida no plano : 10x + my + nz + 14 = 0 Solução Basta tomar dois pontos da reta e aplicar na equação do plano. p/ t=0 temos P0=(-2, 3, 0) 10(-2) + m(3) + n(0) + 2 = 0 m = 6 p/ t=1 temos P1=(-1, 1, 2) 10(-1) + m(1) + n(2) + 2 = 0 m + 2n =-4 Que resulta em n = -3 e m = 2 6) Determine uma equação vetorial do plano que passa pelos pontos A=(1, 2, 3), B=(-1, 1, 2) e C=(3, 2, 1). Solução Basta tomar os dois vetores AB e AC e substituir na fórmula da equação do plano. u = AB = B – A = (-2, -1, -1) v = AC = C – A = (-2, 0, -2) : (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(-2, -1, -1) + k2(-2, 0, -2) ou : (x, y, z) = (-1, 1, 2) + k1(-2, -1, -1) + k2(-2, 0, -2) ou : (x, y, z) = (3, 2, 1) + k1(-2, -1, -1) + k2(-2, 0, -2) u = (u1, u2, u3) r v = (v1, v2, v3) B A C AC AB Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 40 7) Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(4, 1, 3), B=(2, 2, 2) e C=(3, 0, 1). Solução Basta tomar o vetor normal w = ACAB e um dos pontos e aplicar na equação do plano. A=(4, 1, 3), u = AB = B – A = (2, -1, 1) v = AC = C – A = (1, 1, 2) w = ACAB = (-3, -3, 3) : -3x -3y + 3z - (-3)(4) - (-3)(1) - (3)(3) = 0 : -3x -3y + 3z + 6 = 0 8) Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(2, 2, 1), B=(2, 4, 3) e C=(4, 2, –1). Solução: AB = (0, 2, –2), AC = (2, 0, –2) w = ACAB = 202 220 kji = (–4, 4, –4) Tomando A=(2, 2, 1) : –4x + 4y - 4z + 4 = 0 B A C AC AB ACAB Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 41 4. Distâncias 4.1. Distância entre Pontos Considere os ponto do Rn P = (p1, p2, p3,.., pn) e Q = (q1, q2, q3,.., qn). A distância entre P e Q, representada por D(P,Q) é definida por. 2 nn 2 33 2 22 2 11)Q,P( )qp()qp()qp()qp(D 4.1.1. Ilustração geométrica no R2 4.1.2. Exemplos 1) Determine a distância entre os pontos P = (2, 5, 1) e Q = (3, -1, 2). Solução 222 )Q,P( )21())1(5()32(D = 6,16 2) Determine a distância entre os pontos P = (2, 5, -2) e Q = (4, 1, 2). Solução 222 )Q,P( )22()15()42(D = 6 3) Determine se possível o valor de k de modo que D(P,Q) = 8 , onde P=(2, k, 5) e Q=(3, 1, 3) Solução Como D(P,Q) = 8 e 222 )Q,P( )35()1k()32(D = 6k2k2 temos k2 -2k –2 = 0, que resulta em k1 = -1 ou k2 = 3 4) Determine a distância entre o Ponto P=(2, 4, 0) e a reta r:{ (x, y, z) = (1, 2, 1) + k(1, –2, 1) nos seguintes pontos onde k=5 e k=–3. Solução: Para k = 5 temos Q = ( 6, –8, 6) D(P,Q) = 222 )60())8(4()62( = 14 Para k = –3 temos Q = ( –2, 8, –2) D(P,Q) = 222 ))2(0()84())2(2( = 6 a1 a2 b2 b1 a2-a1 b1-b2 P Q D(P,Q) 2 12 2 12)Q,P( )bb()aa(D Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 42 4.2. Distância entre Ponto e Reta Considere a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor não nulo u = (u1, u2, u3) e um ponto P = (x0, y0, z0). A distância entre P e reta r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3), representada por D(P,r) é definida por: Ilustração: Como a área do paralelogramo é: Área =|u×v|=Base . Altura = |u|. H |u| |vu| H Aplicando as informações da reta e de um ponto temos: 4.2.1. Exemplos 1) Determine a distância entre o ponto P=(1, 2, –1) e a reta r :{ (x,y,z) = (1, 2, 2) + k(1, 1, 0) Solução: u = (1, 1, 0) AP = P – A = (1, 2, –1) - (1, 2, 2) = (0, 0, –3) APu = 300 011 kji = (-3, 3, 0) |uxAP| = 18 = 4,243 |u| = 2 = 1,4,14 D(P,r) = 2 18 =3 P = (x0, y0, z0) r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) H A = (x1, y1, z1) u = (u1, u2, u3) |v| |u| H |u| |APu| D )r,P( Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 43 2) Determine a distância entre o ponto P=(5, 6, 1) e a reta r :{ (x,y,z) = (3, 2, 1) + k(4, 3, 0) Solução: u = (4, 3, 0) AP = P – A = (5, 6, 1) - (3, 2, 1) = (2, 4, 0) APu = 042 034 kji = (0, 0, 10) |uxAP| = 10 |u| = 5 D(P,r) = 2 3) Determine a distância entre o ponto P=(4, 3, 1) e a reta r :{(x,y,z) = (2, 3, 3) + k(0, 2, -2) Solução: u = (0, 2, -2) AP = P – A = (4, 3, 1) - (2, 3, 3) = (2, 0, -2) APu = 202 220 kji = (-4, -4, -4) | u x AP| = 3,46410 | u | = 2,82842 D(P,r) = 1,224744 Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. José Fernando Santiago Prates 44 4.3. Distância entre Ponto e Plano Considere a equação geral do plano que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor normal u = (a, b, c) e um ponto P = (x0, y0, z0). A distância entre P e o plano : ax + by + cz + d = 0, representada por D(P,) é definida por: 222 000 ),P( cba |dczbyax| d 4.3.1. Exemplos 1) Determine a distância do ponto P=(2, 4, 6) ao o plano : 3x - 5y + 7z – 9 = 0 Solução: P = (2, 4, 6) u = (3, -5, 7) 222),P( )7()5()3( |9)6(7)4(5)2(3| d = 7,134 2) Determine a distância do ponto P=(2, 4, -6) ao o plano : 3x - 6y - 2z – 8 = 0 Solução: P = (2, 4, -6) u = (3, -6, -2) 222),P( )2()6()3( |8)6(2)4(6)2(3| d = 2 3) Determine a distância do ponto P=(3, -2, 1) ao o plano : 2x - 2y - z + 3 = 0 Solução: P = (3, -2, 1) u = (2, -2, -1) 222),P( )1()2()2( |3)1(1)2(2)3(2| d = 4 4) Determine m de
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