Matemática Exponencial

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MATEMÁTICA PARA FÍSICO QUÍMICA – Prof. Rui Lima
TÓPICO 1: EXPONENCIAL E LOGARITMOS
Função Exponencial – Toda função f: IR (( IR+* definida por y = ax onde a ( IR+* e a ( 1.
Propriedades
P1) f(0) = 1
P2) f(x + y) = f(x) ( f(y)
P3) A função exponencial definida por f(x) = ax é crescente em todo o seu domínio se, e somente se, a > 1.
P4) A função exponencial definida por f(x) = ax é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1.
01. (UFPE-2005) As informações abaixo referem-se às duas questões seguintes.
Suponha que um teste possa detectar a presença de esteróides em um atleta, quando a quantidade de esteróides em sua corrente sanguínea for igual ou superior a 1mg. Suponha também que o corpo elimina ¼ da quantidade de esteróides presentes na corrente sangüínea a cada quatro horas.
Se um atleta ingere 10mg de esteróides, passadas quantas horas não será possível detectar esteróides, submetendo o atleta a este teste? (Dado: use a aproximação 10 ( (4/3)8.)
a) 	28 
b) 	29 
c) 	30 
d) 	31 
e) 	32
Qual dos gráficos abaixo melhor expressa a quantidade de esteróides na corrente sangüínea do atleta, ao longo do tempo, a partir do instante em que este tomou a dose de 10mg?
02. 	(UPE-2005) Devido à desintegração radioativa, uma massa m0 de carbono 14 é reduzida a uma massa m em t anos. As duas massas estão relacionadas pela fórmula m = m0 ( 2–t/5400. Nessas condições, em quanto tempo 5g de carbono 14 serão reduzidos a 1,25g?
a) 	10.000 anos.
b) 	18.800 anos.
c) 	10.800 anos.
d) 	8.100 anos.
e) 	18.100 anos.
Logaritmo
Logb a = c ( bc = a
a – logaritmando (a ( IR+*)
b – base do logaritmo ( b ( IR+* e b ( 1)
c – logaritmo de a na base b
Propriedades
P1) logb b =1
P2) logb 1 = 0
P3) logb ax = x( logb a 
P4) logb bx = x
P5) b 
= a
P6) logb ac = logb a + logb c
P7) logb (a/c) = logb a – logb c 
P8) 
(mudança de base)
P9)
P10) 
Função Logarítmica – Toda função f : IR+* (( IR, tal que f(x) = logb x, b ( IR+* e b ( 1.
 Propriedades
P1) f(1) = 0
P2) f(x ( y) = f(x) + f(y)
P3) A função logarítmica definida por f(x) = logb x é crescente em todo seu domínio se, e somente se, b > 1.
P4) A função logarítmica definida por f(x) = logb x é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < b < 1.
03. (UPE) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = log10
 , na qual [H+] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução. Ao analisar determinada solução, a química Daniela observou que nesta a concentração de íons de hidrogênio era [H+] = 7,2.(10-8) mol/L. Daniela pode afirmar que o pH da solução é
Faça: log102 = 0,3 e log103 = 0,48
a) 	8,31	
b) 	7,14 	
c) 	6,56 
d) 	8,16
e) 	7,56
04. (UPE) A equação que gera a desintegração radioativa de uma substância é dada por M = Mo(e-(t, onde M é a massa da substância, Mo é a massa da substância no início da contagem do tempo, ( é uma constante chamada de constante de desintegração (taxa anual de desintegração) e t, o tempo em anos. Uma determinada substância se desintegra a uma taxa de 2% ao ano. A massa da substância estará reduzida à metade em
Dado: ln 2 = 0,69 onde ln x é o logaritmo na base natural de x.
a) 	31 anos.
b) 	42,5 anos.
c) 	28,5 anos.
d) 	34,5 anos.
e) 	21,5 anos.
TÓPICO 2: PERCENTAGEM 
Percentagem de um número – t% de x representa t centésimos (t/100) de x.
Por exemplo, 25% de 120 = 
 de 120, ou seja, 
. Então, 30 representa 25% de 120.
05. (UFPE) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) é
90 g
94 g
97 g
98 g
100 g
06. 	(UPE) O quociente entre as massas de dois elementos A e B, que reagem exatamente entre si originando o composto AB é igual a 0,75. Misturando 24,0 g de A e 40g de B, ao término da reação, veriica-se que:
a) 	houve a formação de 64,0 g de AB.
b) 	houve a formação de 56 g de AB, com excesso de 8,0 g de A.
c) 	80% da massa de B reagiram completamente com 24,0 g de A.
d) 	16,0 g de A reagem integralmente com 40,0 g de B.
e) 	não há reação, porque as massas postas em contato não são estequiométricas.
 
07. 	(UPE) Um sal hidratado contém 56% de água e 14,3% de sódio. A percentagem de sódio no sal anidro é:
42,50%;
44,00%;
30,76%
16,23%
32,50%.
08. 	Um recipiente contém um litro de uma mistura de diesel e álcool, na proporção de 40% de diesel e 60% de álcool. Deseja-se modificar esta proporção para 30% de diesel e 70% de álcool, sem retirar diesel. A quantidade mínima de álcool, em mililitros, que se deve adicionar à mistura original, considerando que as proporções mencionadas são sempre em volume, é de:
a) 	200/3
b) 	400/3
c) 	700/3
d) 	800/3
e) 	1000/3
TÓPICO 3: PROPORCIONALIDADE
1o CASO: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente é sempre constante. 
Gráfico: O gráfico que relaciona duas grandezas diretamente proporcionais x e y, no plano cartesiano, é uma reta que passa pela origem.
 y
 y = kx 
 
 
 0 x
2o CASO: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto é sempre constante. 
Gráfico: O gráfico que relaciona duas grandezas inversamente proporcionais x e y, no plano cartesiano, é um ramo de hipérbole.
 y
 
 y = k/x
 0 x
09. 	Duas grandezas L e M são diretamente proporcionais e têm suas medidas relacionadas conforme a tabela:
A soma dos valores de x, y, z e t é:
a) 	66
b) 	36
c) 	72
d) 	54
e) 	108
10. 	Segundo a lei de Boyle-Mariotte, sabe-se que: "A uma temperatura constante, os volumes de uma mesma massa de gás estão na razão inversa das pressões que produzem". Se sob a pressão de 5 atmosferas, uma massa de gás ocupa um volume de 0,6dm3, a expressão que permite calcular a pressão P, em atmosferas, em função do volume V, em dm3, ocupado por essa massa de gás, é
a) 	V = 3/p
b) 	V = 3p
c) 	V = 5/6p
d) 	V = 5p/6
e) 	V = 25/3p
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QUESTÕES PROPOSTAS
A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial
na qual P é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de t0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: In2 = 0,693)
a) 	336
b) 	338
c) 	340
d) 	342
e) 	346
Sabe-se que a quantidade de uma substância radioativa presente num material, no instante t > 0, é dada por
Q(t) = Q0 e-xt
onde Q0 é a quantidade inicial da substância e x é uma constante positiva associada a cada tipo de substância. Então o tempo necessário, para que a quantidade da substância se reduza a metade de sua quantidade inicial, é igual a
a) 	[Ln (1/2)]/x
b) 	(Ln 2)/x
c) 	x/Ln 2
d) 	xLn 2
e) 	Ln 2
Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendêncianatural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m³ gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática:
onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log2 = 0,3, determine
a) 	log 8;
b) 	quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.
Na química, o pH de uma solução é uma medida de sua acidez. Ele é definido como o oposto (ou o negativo) do logaritmo decimal da concentração de íons positivos da solução. (Essa concentração é medida em moles por litro.)
Se log2=0,3 e a concentração de certa solução é 2×10-9, então o seu pH é
a) 	-9,3
b) 	2,7
c) 	8,7
d) 	9,3
e) 	9,7
No recente acidente que atingiu rios da região norte-noroeste fluminense, o principal contaminante da água foi a soda cáustica (NaOH). 
Considere que:
- 	a mortalidade observada em algumas espécies de peixes desses rios foi diretamente relacionada a alterações do seu equilíbrio ácido-básico;
- 	o pH do sangue dos peixes pode ser calculado pela fórmula pH = 6,1 + log ([HCO3-]/[H2CO3]);
- 	na fórmula citada, [HCO3-] refere-se à concentração molar de bicarbonato e [H2CO3], à de ácido carbônico.
Observe os gráficos, nos quais y representa medidas do pH de amostras de água e x, medidas de concentração de substâncias encontradas em amostras de sangue de peixes. As amostras de água e os peixes foram coletados, simultaneamente, em diversas áreas dos rios contaminados.
Quando x = [HCO3-]/[H2CO3], a variação de x em função de y pode ser representada pelo gráfico de número:
a)	I
b) 	II
c)	III
d) 	IV
Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão: 
com n uma constante positiva e t em horas.
a) 	Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante n.
b) 	Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
(UFPE) Uma determinada substância S decompõe-se formando uma outra, numa taxa tal que, a cada minuto, dois terços da massa de S existente transforma-se. Em quantos minutos, aproximadamente ( em inteiros ), uma porção dessa substância ficará reduzida à décima milésima parte de sua massa original? ( Tome log10 3 = 0,48 )
A massa crua com que é fabricado um certo tipo de pão é composta de 40% de água. Para obtermos um pão assado de 35 gramas, é necessária uma massa inicial de 47 gramas. Qual o valor aproximado do percentual de água evaporada durante o tempo de preparo desse pão, sabendo-se que a água é a única substância perdida durante esse período?
O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal com álcool de cana.
A utilização do biodiesel etílico como combustível no país permitiria uma redução sensível nas emissões de gases poluentes no ar, bem como uma ampliação da matriz energética brasileira. O combustível testado foi desenvolvido a partir da transformação química do óleo de soja. É também chamado de B-30 porque é constituído de uma proporção de 30% de biodiesel e 70% de diesel metropolitano. O primeiro diagnóstico divulgado considerou performances dos veículos quanto ao desempenho, durabilidade e consumo.
Em uma análise de combustíveis, foram testados o B-30, constituído de 30% de biodiesel e 70% de diesel, e o B-20, constituído de 20% de biodiesel e 80% de diesel. Se um tanque contém 700 litros de B-20, o número de litros de biodiesel que se deve acrescentar ao tanque para que a mistura resultante seja B-30 é
a) 	50
b) 	100
c) 	150
d) 	220
e) 	280
Uma liga metálica de 120 g é constituída de 20% de ouro. Quantos gramas de ouro devem ser adicionados para obter uma nova liga com 25% de ouro? 
a) 	5 g
b) 	6 g
c) 	8 g
d) 	10 g
e) 	12 g
Um sal anidro contém 55% de sódio. Determine a percentagem em massa de sódio no sal hidratado, sabendo que este contém 60% de água.
22%
45%
40%
12%
6%
(UFPE) Um recipiente contém 2565 litros de uma mistura de combustível, sendo 4% constituídos de álcool puro. Quantos litros deste álcool devemos adicionar ao recipiente, a fim de termos 5% de álcool na mistura?
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Uma empresa pretende, no ano de 2006, reduzir em 5% a produção de CO‚ com a queima de combustível de sua frota de carros, diminuindo a quantidade de quilômetros a serem rodados no ano. O total de quilômetros rodados pelos carros dessa empresa em 2005 foi de 199.200 km. Cada carro faz em média 12 km por litro de gasolina, e a queima de cada 415 litros desse combustível pelos carros da empresa produz aproximadamente uma tonelada de CO‚. Mantidas as mesmas condições para os carros, em termos de consumo e queima de combustível, determine quantas toneladas a menos de CO‚ os carros da empresa deixariam de emitir em 2006, relativamente ao ano de 2005.
Na tabela abaixo, x é diretamente proporcional ao quadrado de y. Sendo y > 0, os valores de m e p são, respectivamente:
a) 	1/4 e 1/16
b) 	4 e 16
c) 	16 e 4
d) 	1/16 e 1
e) 	4 e 8
(UFPE) Uma substância X é composta de três elementos A, B e C , na proporção de 2 : 3 : 5 partes de volume. Um litro do elemento A pesa três vezes mais que um litro do elemento C, enquanto um litro do elemento B pesa duas vezes mais que um litro do elemento C. Se x é o quociente entre o peso de um litro da substância X e o peso de um litro do elemento C, determine x.
(ENEM) Os níveis de irradiância ultravioleta efetiva (IUV) indicam o risco de exposição ao Sol para pessoas de pele do tipo II - pele de pigmentação clara. O tempo de exposição segura (TES) corresponde ao tempo de exposição aos raios solares sem que ocorram queimaduras de pele. A tabela mostra a correlação entre riscos de exposição, IUV e TES.
Uma das maneiras de se proteger contra queimaduras provocadas pela radiação ultravioleta é o uso dos cremes protetores solares, cujo Fator de Proteção Solar (FPS) é calculado da seguinte maneira:
FPS = TPP/TPD
TPP = tempo de exposição mínima para produção de vermelhidão na pele protegida (em minutos).
TPD = tempo de exposição mínima para produção de vermelhidão na pele desprotegida (em minutos).
O FPS mínimo que uma pessoa de pele tipo II necessita para evitar queimaduras ao se expor ao Sol, considerando TPP o intervalo das 12:00 às 14:00h, num dia em que a irradiância efetiva é maior que 8, de acordo com os dados fornecidos, é
a) 	5.
b) 	6.
c) 	8.
d) 	10.
e) 	20.
Considere que uma unidade de volume do gás liberado pelo escapamento de um veículo automotivo seja constituída de 12 partes de monóxido de carbono, 3 partes de dióxido de carbono e 1 parte de vapor de petróleo não-queimado. Nessas condições, calcule, em litros, o volume de monóxido de carbono em 100L do gás liberado pelo escapamento.
Observe a equação química que representa a fermentação do açúcar:
xC6H12O6 ( yCO2 + zC2H5OH
Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, as quantidades de átomos de cada elemento químico. Esse processo dá origem ao seguinte sistema linear:
6x = y + 2z
12x = 6z
6x = 2y + z
Determine o conjunto-solução do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de x, y e z que formam uma das soluções desse sistema.
(UPE) Um minério sólido de massa 200,0g, constituído pelas substâncias “A” e “B”, tem densidade 8,0g / mL.. A massa de “A”, no referidominério, é, aproximadamente,
Dados: Densidades de A e B são, respectivamente, 16,0g/mL e 4,0g/mL.
a) 	133,3g.	
b) 	125,8g.	
c) 	7,5 x 10-3g.
d) 	12,58g.
e) 	118,3g.
(FUVEST) Dispomos de dois lotes de ligas distintas de ouro e cobre. O primeiro, chamado A, contém 90% (em massa) de ouro, o restante sendo cobre. O segundo, chamado B, contém 40% (em massa) de ouro, o restante sendo cobre. Fundindo, juntos, x kg de liga A com y kg da liga B, somos capazes de obter 2,00 kg de uma nova liga, contendo 70% (em massa) de ouro. Das opções abaixo, qual é aquela que contém os valores CERTOS de x e y? 
 x (kg) y (kg)
a) 	0,50; 1,50	
b) 	0,80; 1,20
c) 	1,20; 0,80.
d) 	1,60; 0,40	
e) 	1,80; 0,20.
GABARITO
e
b
0,9 e 63 anos
c
c
1 e 9 horas.
08
63,8%
b
c
a 
d
2 toneladas
c
1,7
B
75
S = {((, 2(, 2() | ( ( IR}; x = 1, y = 2, z = 2
a
c
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�Aula Especial – Matemática para Físico-Quimica		� PAGE �- 9 -�
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