LISTA 2 SEQUENCIAS E SÉRIES

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Ca´lculo III
Lista 2 - Sequeˆncias e Se´ries
Prof. Paulo V.R.G. Silva
(1o Semestre 2018)
paulosilvafam@gmail.com
1. Encontre uma fo´rmula para o termo geral an da sequeˆncia, assumindo que o padra˜o dos
primeiros termos continue.
(a)
{
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, . . .
}
(b)
{
1
2
,
1
4
,
1
6
,
1
8
, . . .
} (c)
{
1,−2
3
,
4
9
,− 8
27
, . . .
}
(d)
{
−1
4
,
2
9
,− 3
16
,
4
25
, . . .
}
2. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(a) an = 1− (0, 2)n
(b) an =
3 + 5n2
n+ n2
(c) an =
n
1 +
√
n
(d) an = e
1/n
(e) an =
lnn
ln(2n)
(f) {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, . . . }
3. Determine se a sequeˆncia e´ crescente, decrescente ou na˜o mono´tona. A sequeˆncia e´ limitada?
Justifique todas as suas respostas.
(a) an =
1
2n+ 3
(b) an = 6(−1)n
(c) an =
n
n2 + 1
4. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Justifique a sua resposta.
(a)
∞∑
n=1
6(0, 9)n−1
(b)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
(c)
∞∑
n=1
n+ 1
2n− 3
(d)
∞∑
n=1
n
n+ 5
5. Utilize o teste da se´rie alternada para determinar se a se´rie e´ convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
1
(b)
∞∑
n=1
(−1)n−13n− 1
2n+ 1
(c)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 4
6. Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o e determine o intervalo de
convergeˆncia.
(a) f(x) =
1
1 + x
(b) f(x) =
3
1− x4
(c) f(x) =
2
3− x
(d) f(x) =
x
9 + x2
(e) f(x) =
1 + x
1− x
7. Encontre a se´rie de Maclaurin das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = (1− x)−2
(b) f(x) = sen 2x
(c) f(x) = e5x
(d) f(x) = xex
8. Encontre a se´rie de Taylor das func¸o˜es em torno do ponto dado.
(a) f(x) = 1 + x+ x2, a = 2
(b) f(x) = ex, a = 3
(c) f(x) = 1/x, a = −3
(d) f(x) = cos x, a = pi
(e) f(x) = ln x, a = 2
9. Determine a se´rie de Fourier das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = −x, −L ≤ x < L; f(x+ 2L) = f(x)
(b) f(x) =
{
1, −L ≤ x < 0
0, 0 ≤ x < L ; f(x+ 2L) = f(x)
(c) f(x) =
{ −1, −2 ≤ x < 0
1, 0 ≤ x < 2 ; f(x+ 4) = f(x)
2
Respostas:
1. (a) an = 1/2
n
(b) an = 1/2n
(c) an =
(
−2
3
)n−1
(d) an = (−1)n n
(n+ 1)2
2. (a) Converge; 1
(b) Converge; 5
(c) Diverge
(d) Converge; 1
(e) Converge; 1
(f) Diverge
3. (a) Decrescente. Limitada, 0 < an ≤ 1/5
(b) Na˜o mono´tona. Limitada, −6 ≤ an ≤ 6
(c) Crescente. Limitada inferiormente, an > 0.
4. (a) Convergente
(b) Convergente
(c) Divergente
(d) Divergente
5. (a) Convergente
(b) Divergente
(c) Convergente
6. (a)
∞∑
n=0
(−1)nxn, −1 < x < 1
(b)
∞∑
n=0
3x4n, −1 < x < 1
(c) 2
∞∑
n=0
1
3n+1
xn, −3 < x < 3
(d)
∞∑
n=0
(−1)n 1
9n+1
x2n+1, −3 < x < 3
(e) 1 + 2
∞∑
n=0
xn, −1 < x < 1
7. (a)
∞∑
n=0
(n+ 1)xn
(b)
∞∑
n=0
(−1)n 2
2n+1
(2n+ 1)!
x2n+1
(c)
∞∑
n=0
5n
n!
xn
(d)
∞∑
n=1
1
(n− 1)!x
n
8. (a) 7 + 5(x− 2) + (x− 2)2
(b)
∞∑
n=0
e3
n!
(x− 3)n
(c)
∞∑
n=0
− 1
3n+1
(x+ 3)n
(d)
∞∑
n=0
(−1)n+1 1
(2n)!
(x− pi)2n
(e) ln 2 +
∞∑
n=1
(−1)n−1 1
n2n
(x− 2)n
9. (a) f(x) =
2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n
n
sen
(npix
L
)
(b) f(x) =
1
2
− 2
pi
∞∑
n=1
1
2n− 1sen
[
(2n− 1)pix
L
]
3
(c) f(x) =
4
pi
∞∑
n=1
1
2n− 1sen
[
(2n− 1)pix
2
]
4