Aula sobre Análise Fatorial

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09/11/2016
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Estatística Estatística IIII
Prof. Prof. DrDr MorunMorun Bernardino Bernardino NetoNeto
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Análise fatorial (AF)
É uma técnica de interdependência cujo propósito é definir a estrutura 
latente entre as variáveis na análise.
Análise FatorialAnálise Fatorial
Técnicas multivariadas
Dezenas, centenas ou milhares 
de variáveis
Correlação entre as variáveis: 
desejável ou não?
(1) Redução do número de variáveis:
medidas compostas (superar erros)
(2) Definição de conceitos que não
podem ser adequadamente
descritos por uma única medida: uso
em outras técnicas
Análise fatorial verifica as inter-
relações entre as variáveis,
definindo conjunto de variáveis
(fatores) fortemente relacionadas
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Análise FatorialAnálise Fatorial
A AF pode desempenhar um papel
Exploratória: para busca a estrutura latente em um conjunto de
variáveis ou redução do número de variáveis.
Confirmatória: o pesquisador quer testar hipóteses sobre quais
variáveis deveriam ser agrupadas em um fator e qual o número exato
de fatores, ele avalia o grau em que os dados estão de acordo com a
estrutura esperada.
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Técnicas de dependência 
(previsão)
Análise FatorialAnálise Fatorial
Y1 = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn
A1 
A2
A3
A4
A5
A6
B1 
B2
B3
C1 
C2
C3
C4
D1 
D2
Técnicas de interdependência 
(identificação de estrutura)
α1 β1 γ1 δ1
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Exemplo
Uma empresa identificou 80 características diferentes de lojas de
varejo e seus serviços que, segundo os consumidores, afetaram a sua
preferência entre as lojas.
Cortesia
Sensibilidade
Simpatia
Prontidão para atendimento
Diversidade de produtos
Preço
Conhecimento do vendedor
Empatia
Numero de profissionais na loja
Atmosfera da loja
Estacionamento
(...)
Cortesia
Sensibilidade
Simpatia
Prontidão para atendimento
Conhecimento do vendedor
Empatia
Vendedor
p
re
vi
sã
o
p
re
vi
sã
o
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Análise FatorialAnálise Fatorial
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Análise FatorialAnálise Fatorial
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Análise FatorialAnálise Fatorial
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Análise FatorialAnálise Fatorial
Objetivos da AF – Primeiro passo Busca definir os 
constructos fundamentais 
ou dimensões latentes 
inerentes ás variáveis 
originais
(1) Especificação da unidade de análise
A. Análise Fatorial R (Variáveis):
Se o objetivo for identificar a estrutura latente de correlações
entre as variáveis. Usa matriz de correlações de variáveis.
B. Análise Fatorial Q (respondentes):
Se o objetivo for identificar a estrutura de relações entre os
respondentes e agrupar respondentes individuais de uma
população maior. Usa matriz de correlação de respondentes
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Objetivos da AF – Primeiro passo
(1) Especificação da unidade de análise
Cortesia Simpatia Ambiente Preço Localização ...
Sujeito 1
Sujeito 2
Sujeito 3
Sujeito 4
Sujeito 5
...
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Objetivos da AF – Primeiro passo
(1) Especificação da unidade de análise
AFQ
AG
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Objetivos da AF – Primeiro passo
(2) Escolha entre resumo ou redução dos dados
A. Resumo dos dados
O resumo dos dados faz da identificação dos fatores latentes e as
contribuições de cada variável ao fator (cargas fatoriais) um fim em
si próprio.
B. Redução dos dados
Estende esse processo derivando um valor empírico (escore
fatorial) para cada dimensão (fator) e então substitui o valor
original das variáveis por esse valor.
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Objetivos da AF – Primeiro passo
(2) Escolha entre resumo ou redução dos dados
RESUMO DE DADOS [encontrar a estrutura latente]
Geralmente procuro os menores preços
Compro coisas especiais
Só compro produtos em promoção
Marcas nacionais valem mais a pena
Sempre compro o mais barato
A qualidade e preço devem ser analisadas juntas
CONSCIENTES SOBRE OS PREÇOS
CAÇADORES DE PROMOÇÕES
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Objetivos da AF – Primeiro passo
(2) Escolha entre resumo ou redução dos dados
REDUÇÃO DOS DADOS [reduzir o numero de variáveis para uso posterior]
Geralmente procuro os menores preços
Compro coisas especiais
Só compro produtos em promoção
Marcas nacionais valem mais a pena
Sempre compro o mais barato
A qualidade e preço devem ser analisadas juntas
Carga fatorial A
Carga fatorial B
Carga fatorial X
Carga fatorial C
Carga fatorial D
Carga fatorial Y
VARIAVEIS MARCADORAS ou ESCORES FATORIAIS (ESCALAS MULTIPLAS)
Análise FatorialAnálise Fatorial
Objetivos da AF – Primeiro passo
(3) Seleção de variáveis (BASE CONCEITUAL)
A. Natureza das variáveis: o pesquisador deve especificar
implicitamente as dimensões potenciais que podem ser
identificadas. Se nenhuma variável de um determinado fator for
incluída a AF não poderá identificá-lo.
B. “Lixo-dentro lixo-fora”: A AF sempre produzirá fatores e a
qualidade dos fatores obtidos reflete as bases conceituais das
variáveis incluídas.
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Planejamento da AF – Segundo passo
(1) Cálculo dos dados de entrada
Para AF tipo R usamos a matriz de correlações das variaveis
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Planejamento da AF – Segundo passo
(1) Cálculo dos dados de entrada
Para AF tipo R usamos a matriz de correlações das variáveis
Análise FatorialAnálise Fatorial
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Planejamento da AF – Segundo passo
(2) Tipo e quantidade de variáveis
A. Tipo de variáveis: métricas são preferíveis, se uma variável qualitativa 
deve ser incluída, então ela deve ser definida minimamente como 
dicotômica (0 ou 1)
B. Quantidade de variáveis: minimizar sempre que possível, entretanto 
manter 5 (ou mais) variáveis que representem cada fator. É preferível que 
seja incluída pelo menos uma variável de marcação.
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Planejamento da AF – Segundo passo
(3) Tamanho da amostra
Como regra geral devemos ter pelo menos 5 vezes mais observações que o 
número de variáveis, sendo o tamanho mais aceitável 10 para 1.
O pesquisador deve procurar obter o maior número possível de observações 
por variável, para não encontrar fatores específicos da amostra com pouca 
generalidade.
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Suposições da AF – Terceiro passo
(1) Questões conceituais
A. Existe alguma estrutura subjacente, o que deve ser garantido pelo
pesquisador ao incluir as variáveis na AF. A técnica não dispõe de meios
para verificar a adequação além das correlações entre variáveis.
B. Amostra deve ser homogênea em relação à estrutura fatorial inerente.
Por exemplo, para itens conhecidos pelo fato de serem diferentes quanto
ao gênero, não podemos usar uma amostra que possua homens e
mulheres.
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(2) Questões estatísticas
A. Normalidade
B. Linearidade
Suposições da AF – Terceiro passo
1) Para cada valor de x os valores de y
tem distribuição normal
2) Para cada valor de y os valores de x
tem distribuição normal
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Análise FatorialAnálise Fatorial
C. Homocedasticidade (Desejável)
(2) Questões estatísticas
Suposições da AF – Terceiro passo
A variância do erro parece 
constante ao longo do domínio 
de variáveis preditoras
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Análise FatorialAnálise Fatorial
C. Heterocedasticidade (Indesejável)
(2) Questões estatísticas
Suposições da AF – Terceiro passo
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Análise FatorialAnálise Fatorial
D. Multicolinearidade(2) Questões estatísticas
Suposições da AF – Terceiro passo
Satisfação do cliente 1. Serviço interno
2. Atmosfera da loja
3. Pessoal da loja
4. Diversidade de produto
5. Disponibilidade de produto
6. Preço
7. Qualidade do produto
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(3) Garantia de correlações suficientes e que não sejam todas iguais 
Suposições da AF – Terceiro passo
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(3) Garantia de correlações suficientes e que não sejam todas iguais 
Suposições da AF – Terceiro passo
Teste de Bartlett
Fornece a significância estatística de que a matriz de correlações apresenta 
correlações significantes entre pelo menos algumas das variáveis
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(3) Garantia de correlações suficientes e que não sejam todas iguais 
Suposições da AF – Terceiro passo
Teste de Bartlett
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(1) Seleção do método de extração de fatores
Determinação de fatores – Quarto passo
Variância Comum (comunalidades ou variância explicada):
é a variância de uma v.a. que é compartilhada com as
demais na análise (R2)
Variância Específica: é a variância compartilhada com
apenas uma variável específica
Variância de erro: é a variância que não pode ser explicada
por correlações com outras variáveis e resulta da não
confiabilidade no processo de coleta de dados
Variância de uma v.a.
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(1) Seleção do método de extração de fatores
Determinação de fatores – Quarto passo
Análise de Componentes Principais Análise de Fatores Comuns
Redução dos dados é uma preocupação
prioritária, busca-se o número mínimo 
de fatores necessários para explicar a 
porção máxima da variância.
O objetivo é principalmente encontrar 
a estrutura latente (fatores)
Considera a variância total Considera apenas a variância comum
O conhecimento anterior sugere que a 
variância específica e de erro é 
pequena
Não se conhece a variância específica e 
de erro
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Análise FatorialAnálise Fatorial
“Algumas autoridades insistem que análise de componentes é a única
abordagem adequada, e que os métodos de fatores comuns
apenas impõem terminologia confusa, lidando com coisas
fundamentalmente não mensuráveis, fatores comuns.(...)
Partidários da análise de fatores comuns insistem que a análise de
componentes é, na melhor das hipóteses, uma análise de fatores
comuns com algum erro acrescentado, e, na pior das hipóteses,
uma mistura confusa e inaceitável de coisas a partir das quais nada
pode ser determinado”
(Livro: Análise Multivariada de Dados - J.F. Hair, W.C. Black, B.J. Babin, R.E. Anderson
and R.L. Tatham)
(1) Seleção do método de extração de fatores
Determinação de fatores – Quarto passo
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(2) Critérios para o número de fatores a serem extraídos
Determinação de fatores – Quarto passo
Quantos fatores devem ser extraídos?Quantos fatores devem ser extraídos?
Ambos os métodos de AF estão interessados na melhor
combinação linear de variáveis. Melhor no sentido de que a
combinação particular das variáveis originais explica a maior parte da
variância nos dados como um todo quando comparada a qualquer
outra combinação linear das variáveis.
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MELHOR COMBINAÇÃO DE VARIAVEIS CAPAZ DE EXPLICAR A 
MAIOR PARTE DA VARIANCIA(COMPORTAMENTO) DOS 
DADOS COMO UM TODO
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Análise FatorialAnálise Fatorial
(2) Critérios para o número de fatores a serem extraídos
Determinação de fatores – Quarto passo
Quantos fatores devem ser extraídos?Quantos fatores devem ser extraídos?
O primeiro fator pode ser visto como o melhor resumo das relações
lineares, o segundo fator é definido como a segunda melhor
combinação linear de variáveis, sujeita à restrição de ser
ORTOGONAL ao primeiro fator.
Combinação linear de variáveis
que explica a maior parte da
variância que é inexplicada após
o efeito da remoção do primeiro
fator de dados.
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Determinação de fatores – Quarto passo
(A) Critério de percentagem de variância 
Baseado na conquista de um percentual cumulativo especificado de variância
total extraída por fatores sucessivos.
% de 
variância
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Determinação de fatores – Quarto passo
(B) Critério a priori
O pesquisador já sabe quantos fatores a se extrair antes de empreender a AF.
Número de 
fatores 
extraídos
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Determinação de fatores – Quarto passo
(C) Raiz latente
Apenas variáveis com raízes latentes maiores que 1 são mantidas na solução
fatorial. Esse critério se torna mais confiável quando o numero de variáveis
está entre 20 e 50.
corresponde a soma de 
cargas fatoriais ao 
quadrado e representa a 
quantia de variância 
explicada por um fator
Correlação entre as 
variáveis originais e os 
fatores. As cargas 
fatoriais ao quadrado 
indicam qual o 
percentual da variância 
em uma variável original 
é explicado por um fator
Raizes latentes
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Determinação de fatores – Quarto passo
(D) Teste scree
É usado pra identificar o número ótimo de fatores que podem ser
extraídos antes que a variância única e de erro comece a dominar a
estrutura de variância comum
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Análise FatorialAnálise Fatorial
“cada componente principal é combinação linear das variáveis
originais, independentes entre si e estimados com o propósito de
reter, em ordem de estimação, o máximo de informações, em termos
de variação total, contida nos dados iniciais.” CRUZ E REGAZZI (1997)
Determinação de fatores – Quarto passo
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
A interpretação fatorial é circular por natureza
Correlação entre as variáveis 
originais e os fatores. As cargas 
fatoriais ao quadrado indicam 
qual o percentual da variância 
em uma variável original é 
explicado por um fator
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(1) Obtenção da matriz fatorial
Identificação das variáveis
pertencentes a cada fator e
da ocorrência de variáveis
com cargas cruzadas ou
sem carga significante em
qualquer fator
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(2) Rotação dos fatores
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(2) Rotação dos fatores
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(2) Rotação dos fatores
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(2) Rotação dos fatores
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(2) Rotação dos fatores
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(3) Interpretação e reespecificação de fatores
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Interpretação dos fatores – Quinto passo
(4) Rotulação dos fatores
Diversidade de produtos
Preço
Qualidade do produto
Atmosfera da loja
Estacionamento
Cortesia
Sensibilidade
Simpatia
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Validação – Sexto passo
Partimos de uma perspectiva confirmatória e avaliação a
reprodutibilidade dos resultados, seja com uma amostra
particionada ou amostra separada
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Usos adicionais dos resultados da AF
(1)Resumo dos dados (descobrir a estrutura latente dos dados)
(2)Escolhade variáveis marcadoras (representa o fator inteiro) –
rotação deve ser ortogonal
(3)Criação de escalas múltiplas
• Reduz erro de medida
• Tem a habilidade de representar múltiplos aspectos de um 
conceito em única medida
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Análise FatorialAnálise Fatorial
Aplicação de tecnologia
Para cada conjunto de dados determine:
(1) A matriz de correlações e o numero de correlações médias ou fortes
(2) Valor-p do teste de Bartlet
(3) Com base no teste de Bartlet e no número de correlações acima de 0,3 ou
0,7 mostrada na matriz de correlações, julgue a procedência de usar AF
para esse conjunto de dados?
(4) Cálculo do tamanho amostral mínimo e ideal para AF e julgue o tamanho
amostral como adequado ou inadequado.
(5) Você julga que existe alguma estrutura adjacente para essas variáveis?
(6) Quais variáveis você incluiria na AF?
(7) Quantos fatores devem ser extraídos pelo critério
(a) conquista de 70% de explicação da variância total
(b) critério da raiz latente
(c) teste de scree
(8) O numero de fatores a serem extraídos é igual em todos os métodos?