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Parte 1: Estudo da esfera 
1 - Uma estufa para cultivo de hortaliças foi dimensionada com uma 
configuração esférica. Foram instalados três sensores de temperatura, dois nos 
pontos A (1, 7, 2) e B(2, 4, 2) e o terceiro no centro da esfera como mostra a 
figura abaixo. 
 
A distância entre o os sensores C e B é de: 
(A) 5 unidades de comprimento 
(B) 10 unidades de comprimento 
(C) 9 unidades de comprimento 
(D) 3 unidades de comprimento 
Gabarito 
1 . D 
 
 
 
 
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2 
 
Parte 2: Estudo da reta 
1. As equações paramétricas e 
Representam duas retas concorrentes que descrevem o movimento retilíneo de 
duas partículas que colidem. 
 
Apesar de serem vetores diferentes, suas magnitudes são iguais, portanto as 
partículas se deslocam com a mesma velocidade em suas respectivas retas, a 
partir de pontos iniciais que estão à mesma distância do ponto de cruzamento 
das trajetórias, possibilitando assim a colisão. As equações vetoriais 
resultantes das retas paramétricas são respectivamente; 
Descrição das alternativas 
(A) r: (x, y, z) = (0,0,3) + t (0,-1, 2) e s: (x, y, z,) = (0,1,3) + u (3,2,1). 
(B) r: (x, y, z) = (0,0,2) + t (0,1, 3) e s: (x, y, z,) = (0,2,1) + u (3,1,3). 
(C) r: (x, y, z) = (0,0,0) + t (0,-1, 2) e s: (x, y, z,) = (0,1,1) + u (3,2,1). 
(D) r: (x, y, z) = (0,0,3) + t (0, 1, 2) e s: (x, y, z,) = (0,1,3) + u (3,3,1). 
 
Gabarito 
1 . A 
 
 
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Parte 3: Função de várias variáveis 
1. Uma loja vende um certo produto P de duas marcas distintas, A e B. A 
demanda do produto com marca A depende do seu preço e do preço da marca 
competitiva B. A demanda do produto com marca A é DA = 1 300 – 50 x + 20 y 
unidades/mês, e do produto com marca B é DB = 1 700 + 12x – 20 y 
unidades/mês, onde x é o preço do produto A e y é o preço do produto B. 
A função que expressa a receita total mensal da loja, obtida com a venda do 
produto P será 
(A) 𝑅(𝑥,𝑦) = 12𝑥2 + 20𝑦2 – 70𝑥𝑦 + 1 700𝑥 + 1 300𝑦 
(B) 𝑅(𝑥, 𝑦) = − 50𝑥2 + 20𝑦2 + 8 𝑥𝑦 + 1 300𝑥 – 1 700𝑦 
(C) 𝑅(𝑥,𝑦) = − 38𝑥 + 3 000 
(D) 𝑅(𝑥,𝑦) = − 50𝑥2 – 20𝑦2 + 32 𝑥𝑦 + 1 300𝑥 + 1 700𝑦 
Gabarito 
1 . D 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Parte 4: Derivadas parciais 
1 - Consideremos um sólido metálico no qual a temperatura (em graus Celsius) 
em um de seus pontos (𝑥,𝑦, 𝑧) é dada por 2221),,( zyx xyzzyxT +++= . A taxa 
de variação da temperatura com relação a coordenada 𝑥 é dada por: 
(A) 2222
222
)1(
)1(
zyx
xzyyz
+++
−++
 
(B) 2222
222
)1(
)31(
zyx
xzyyz
+++
+++
 
(C) 
x
yz
2
 
(D) 22221 zyx
yz
+++
 
 
2 - De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão a temperatura e o volume 
de um gás estão relacionados por 
V
KTP = , sendo K uma constante de 
proporcionalidade. Suponha que V é medido em polegadas cúbicas pol3, T é 
medido em Kelvins (K), e que para um certo gás a constante de 
proporcionalidade é k = 10 pol.lb/K. Determinar, em 
Kpol
lb
.2
 a taxa de variação 
instantânea da pressão em relação à temperatura se a temperatura for 80 K e o 
volume permanecer fixo em 50 pol3. 
(A) 8
25
 
(B ) 1
50
 
(C) 1
250
 
(D) 1
5
 
Gabarito 
1 . A 2. D 
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Parte 5: Regra da Cadeia 
1 - A tensão V em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à 
medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar 
com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR, para encontrar 
como a corrente I está variando no momento em que 𝑅 = 400Ω, I=0,08A, 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0,01𝑉/𝑠 e 𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 0,03𝛺/𝑠. 
(A) – 1 A/s 
(B) 10 A/s 
(C) -0,000031 A/s 
(D) – 0,1 A/s 
 
2 - Uma mancha de óleo tem formato retangular. A que taxa está variando a 
área da mancha de óleo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 
uma taxa de 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros está crescendo a 
uma taxa de 2 m/s. 
(A) 36 
(B) 6 
(C) 48 
(D) 34 
 
3. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 cm/s ao passo 
que sua altura está decrescendo à uma taxa de 2,5 cm/s. A que taxa o volume 
do cone está mudando quando o raio vale 120 cm e a altura 140 cm? 
(A) 20160𝜋 𝑐𝑚3/𝑠 
(B) 8160𝜋 𝑐𝑚3/𝑠 
(C) 12000𝜋 𝑐𝑚3/𝑠 
(D) 40807 𝜋 𝑐𝑚3/𝑠 
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4. A tensão 𝑉 em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à 
medida que a bateria se descarrega. A resistência 𝑅 está aumentando devagar 
com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, 𝑉 = 𝑅𝐼, para achar 
como a corrente 𝐼 está variando no momento em que 𝑅 = 400Ω, 𝐼 = 0,08𝐴, 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0,01𝑉/𝑠 e 𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 0,03Ω
𝑠
. 
(A) −0,000031 𝐴/𝑠 
(B) 0,000031 𝐴/𝑠 
(C) −0,000015 𝐴/𝑠 
(D) 0,000015 𝐴/𝑠 
 
5. A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada à taxa de 0,05 𝑘𝑃𝑎/𝑠, e 
a temperatura é elevada à taxa de 0,15 𝐾/𝑠. Utilize a equação 𝑃𝑉 = 8,31𝑇 para 
achar aproximadamente a taxa de variação do volume quando a pressão é 20kPa e a temperatura é de 320K. 
(A) −0,15 L/s 
(B) −0,03 L/s 
(C) −0,48 L/s 
(D) −0,27 L/s 
 
 
 
 
 
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6 - A temperatura em um ponto (𝑥,𝑦) é 𝑇(𝑥,𝑦), medida em graus Celsius. Um 
inseto rasteja de modo que sua posição depois de 𝑡 segundos seja dada por 
𝑥 = √1 + 𝑡 ,𝑦 = 2 + 1
3
𝑡, onde 𝑥 e 𝑦 são medidos em centímetros. A função 
temperatura satisfaz 𝑇𝑥(2,3) = 4 e 𝑇𝑦(2,3) = 3. Quão rápido a temperatura 
aumenta no caminho do inseto depois de três segundos? 
(A) 2 ºC/s 
(B) 4 ºC/s 
(C) 8 ºC/s 
(D) 17 ºC/s 
Gabarito 
1) C 2) D 3) B 4) A 5) D 6) A 
 
Parte 6: Derivada direcional 
1. A temperatura 𝑇, em graus, em qualquer ponto (𝑥,𝑦) de uma placa plana é: 
𝑇(𝑥,𝑦) = 54 − 23 𝑥2 − 4𝑦2. 
Se a distância for medida em centímetros, a taxa de variação da temperatura 
em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos 
positivos 𝑥 e 𝑦, respectivamente, no ponto (3,1) é: 
(A) −4° cm; −8° cm 
(B) 4° cm; 8° cm 
(C) −4
3
° cm; −24° cm 
(D) 4
3
° cm; 24° cm 
Gabarito 
1) A 
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Parte 7: Valores máximos e mínimos 
1. Uma caixa retangular com tampa tem sua superfície total de 64𝑐𝑚2. Uma 
empresa usará esta caixa para o estoque de um de seus produtos e para isso 
pretende encontrar as dimensões desta caixa, em centímetros, quando seu 
volume atinfir seu valor máximo. Podemos afirmar que tais dimensões 
correspondem a: 
a) 8
√6
, 8
√6
 𝑒 8
√6
 
b) 4, 4 𝑒 4 
c) √6,√6 𝑒 √6 
d) 8, 8 𝑒 8 
2 - Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Para 
minimizar a quantidade de papelão utilizado, devemos ter comprimento, largura 
e altura da caixa, respectivamente, iguais a: 
(A) 40cm, 40cm, 20cm 
(B) 40cm, 40cm, 40cm 
(C) 203 4 cm, 203 4 cm, 203 4 cm 
(D) 20cm, 40cm, 40cm 
 
Gabarito 
1) A 2) A 
 
 
 
 
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Parte 8 – A integral definida e indefinida e aplicações 
01. A função que descreve a velocidade de uma partícula é dada em metros 
por segundo por 𝑣(𝑡) = 3𝑡 − 5. Considerando o movimento desta partícula no 
intervalo de [0, 3] segundos é possível determinar seu deslocamento neste 
intervalo. Sendo assim podemos afirmar que este deslocamento (em metros) é: 
(A) 3
2
 (B) − 3
2
 (C) 3 
 (D) 4 
02. Considerando a mesma função velocidade dada no exercício anterior, é 
possível determinar também a distância percorrida pela partícula. Lembrando 
que a distância percorrida não considera apenas as posições final e inicial da 
partícula, a distância, em metros, que a partícula percorreu foi de: 
(A) 3
2
 
(B) 50
3
 
(C) 25
3
 
(D) 41
6
 
03. A função aceleração (𝑒𝑚 𝑚/𝑠2) e a velocidade inicial de uma partícula 
movendo-se ao longo de uma reta são descritas respectivamente por: 
𝑎(𝑡) = 𝑡 + 4 e 𝑣(0) = 5 num intervalo de 0 a 10 segundos. Podemos afirmar 
que a função que descreve a velocidade da partícula (𝑒𝑚 𝑚/𝑠) no instante 𝑡 é: 
(A) 𝑣(𝑡) = 1 
(B) 𝑣(𝑡) = 𝑡2
2
+ 4𝑡 
(C) 𝑣(𝑡) = 𝑡2
2
+ 4𝑡 + 5 
(D) 𝑣(𝑡) = 𝑡2
2
 
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04. Considerando os dados da questão anterior podemos afirmar que a 
distância percorrida durante o intervalo dado é de: 
(A) 𝑑 = 1250
3
 
(B) 𝑑 = 16 
(C) 𝑑 = 21 
(D) 𝑑 = 1100
3
 
 
05. Durante um intervalo de 0 a 3 segundos, uma partícula move-se em linha 
reta e sua aceleração (𝑒𝑚 𝑚/𝑠2) instante 𝑡 é dada pela função 𝑎(𝑡) = 2𝑡 + 3. 
Sabendo que a velocidade inicial da partícula é 𝑣(0) = −4, a função que 
descreve sua velocidade (𝑒𝑚 𝑚/𝑠) no instante 𝑡 é descrita por: 
(A) 𝑣(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑡 + 4 
(B) 𝑣(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑡 − 4 
(C) 𝑣(𝑡) = 2 
(D) 𝑣(𝑡) = −8 
 
06. A distância percorrida no intervalo de 0 a 3 segundos da partícula do 
exercício anterior em metros é de: 
(A) 𝑑 = 33
2
 
(B) 𝑑 = 9 
(C) 𝑑 = 5 
(D) 𝑑 = 89
6
 
 
 
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07 - Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade 
𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡, onde v é medida em metros por segundo. A distância percorrida 
pela partícula durante o intervalo [0,5] corresponde, aproximadamente, a: 
(A) 29,2 m 
(B) 54,2 m 
(C) 100 m 
(D) 150 m 
08 - Uma mina produz mensalmente 500 toneladas de um certo minério. 
Estima-se que o processo extrativo dure 30 anos (360 meses) a partir de hoje e 
que o preço por tonelada do minério daqui a t meses seja 𝑓(𝑡) = −0,01𝑡² +10𝑡 + 300 unidades monetárias. Qual a receita (em reais) que será gerada pela 
mina ao longo dos 360 meses? 
(A) 1000000 
(B) 300240000 
(C) 500000 
(D) 20000000 
 
09 - Na figura abaixo, a curva q = f (p) é a função de demanda de um produto. 
Para um nível de preço p0, o consumo é q0. Aumentando-se o preço, a 
quantidade procurada diminui, isto é, apenas parte dos compradores está 
disposta a pagar o novo preço. A área sombreada na figura representa o 
excedente do consumidor, ou seja, o total procurado pelos compradores 
quando o preço se desloca a partir de p0. 
 
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O excedente do consumidor para um produto cuja demanda é dada pela 
função 𝑞 = 16 – 𝑝² para p variando no intervalo de [1, 4] é 
(A) 14. 
(B) 18 
(C) 27 
(D) 64. 
10. A densidade linear de um objeto é dada pela razão entre sua massa e seu 
comprimento linear. Para um barra de 4𝑚 de comprimento, a densidade linear, 
𝜌(𝑥), é dada pela expressão: 𝜌(𝑥) = 9 + 2√𝑥 medida em quilogramas por 
metro, onde 𝑥 é a medida em metros a partir de um extremo da barra.Sendo 
assim, a massa total desta barra é: 
(A) 36 
(B) 116
3
 
(C) 140
3
 
(D) 9
2
 
 
11. A água flui do fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de 
𝑟(𝑡) = 200 − 4𝑡 litros por minutos, onde 0 ≤ 𝑡 ≤ 50. Encontre a quantidade de 
água que flui do tanque durante os primeiros dez minutos. 
(A) 0 
(B) 1800 
(C) 200 
(D) 400 
 
 
 
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12 - Temos que o coeficiente angular 𝑚(𝑥) de uma curva y = f(x) é obtido 
através de sua derivada, isto é, 𝑚(𝑥) = 𝑓′(𝑥). Se uma determinada curva tem 
como coeficiente angular 𝑚(𝑥) = 6√𝑥 e passa pelo ponto P(4,2), podemos 
dizer que esta curva tem por lei a função: 
304)()( 3 −= xxfA 
x
xfB 3)()( = 
34)()( xxfC = 
2
213)()( +=
x
xfD
 
13 - A aceleração de uma partícula obedece à equação 𝑎(𝑡) = 12𝑡2 − 36𝑡 + 24 
determine a equação velocidade da partícula, sabendo que 𝑣(0) = −36: (𝐴) 𝑣(𝑡) = 𝑡4 – 6𝑡3 + 12𝑡2 − 36 (𝐵) 𝑣(𝑡) = 4𝑡3 − 18𝑡2 + 24𝑡 − 36 (𝐶) 𝑣(𝑡) = 12𝑡3 − 36𝑡2 + 24𝑡 − 36 (𝐷) 𝑣(𝑡) = 24𝑡 − 36 
 
14 – Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dada 
pela função 𝑣(𝑡) = 𝑡³ − 2𝑡² + 1, sendo t dado em segundos e a velocidade em 
metros por segundo. Se a posição do corpo no instante 0 seg é 1 m, a função 
posição dessa partícula será: 
(A) ttts 43)( 2 −= 
(B) 1
3
2
4
)(
34
++−= tttts 
(C) 1
3
2
4
)(
34
+−=
ttts 
(D) 
12
7
3
2
4
)(
34
−+−= tttts 
 
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15 - Um reservatório de água apresenta um pequeno vazamento na sua parte 
inferior. Água flui do fundo do reservatório a uma taxa de ttr 4200)( −= litros 
por minuto onde 500 ≤≤ t minutos. Mantida esta taxa, qual o volume de água, 
em litros, que flui do reservatório nos primeiros 10 minutos? 
(A) 1800 
(B) 1600 
(C) 180 
(D) 160 
Gabarito 
01) B 02) D 03) C 04) A 
05) B 06) D 07) A 08) B 
09) C 10) C 11) B 12) A 
13) B 14) B 15) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
 
Parte 9 – Áreas entre curvas 
1. A área de uma região está à direita do eixo 𝑦 e à esquerda da parábola 
𝑥 = 2𝑦 − 𝑦2 (a região sombreada na figura). Imagine que esta região 
representa a área na qual será construída uma determinada loja. Podemos 
afirmar que tal área é de: 
 
(A) 4
3
 𝑢.𝑎 
(B) 3
2
 𝑢.𝑎 
(C) 5 𝑢.𝑎 
(D) 7 𝑢.𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 - A curva que descreve a parte frontal de um túnel é dada por: 𝑦 = − 𝑥2 + 6𝑥 – 5. A figura mostra este túnel no sistema cartesiano 
considerando o chão sobre o eixo 𝑜𝑥. 
 
Podemos afirmar que a área desta parte frontal do túnel é: 
 
(A) 8 𝑢.𝑎 
(B) 6 𝑢.𝑎 
(C) 20
3
𝑢.𝑎 
(D) 32
3
𝑢.𝑎 
 
3 - Na construção de um espaço de lazer, ou seja um parquinho para crianças 
num condomínio, um engenheiro se depara com a necessidade de calcular a 
área existente entre duas curvas. A primeira curva é dada por: 𝑦 = 1 – 𝑥2 e a 
segunda é dada por 𝑦 = −3. Ao apresentar os cálculos da área a ser 
construída, o engenheiro errou os cálculos e apontou como resposta 12m2 . 
Quantos metros ele calculou a mais. 
(A) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1, 67m2 
(B) ele aumentoua área a ser construída em aproximadamente 1,33m2 
(C) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 4 m2 
(D) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1 m2 
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4 - (ENADE-2011) Considere a função f: R→R definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥4– 5𝑥2 + 4, 
para cada x ∈ R. A área da região limitada pelo gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥), o 
eixo 𝑂𝑥 e as retas 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2 é igual a: 
(A) 
15
38
unidades de área 
(B) 
15
16
unidades de área 
(C) 
15
44
unidades de área 
(D) 
15
60
unidades de área 
 
5 - A igreja de São Francisco de Assis, cartão postal de Belo Horizonte, 
localiza-se no conjunto arquitetônico da Lagoa da Pampulha. Marco do 
Modernismo, ela foi projetada por Oscar Niemeyer e construída durante o 
governo de Juscelino Kubistchek a frente da Prefeitura Municipal. Foi também 
alvo de polêmica, visto que Dom Cabral recusou-se a consagrá-la ao uso 
eclesiástico, considerando-a apenas um galpão. Com painéis de azulejos de 
Portinari e jardins de Burle Marx, tem a sua vista frontal construída como um 
arco de parábola. 
 
 
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Considere, por suposição, que o arco de parábola que modela tal construção 
tenha equação 𝑦 = −2
7
𝑥2 + 4𝑥, no intervalo real em que as ordenadas são 
positivas, com 𝑥 e 𝑦 medidos em metros. O cálculo da área da fachada da 
igreja, segundo esta função resulta em: 
(A) 2
3
392 m 
(B) 392𝑚2 
(C) 2
3
1568 m 
(D) 2
3
1120 m 
6 - (Cesgranrio 2012, Engenheiro de Petróleo) A figura a seguir mostra uma 
parte dos gráficos das funções reais de variáveis reais dadas por f(x) = x3 e 
g(x) = x2. A parte pintada representa a região do plano R2 em que , 
com . Se o quadrado formado pelos pontos (0,0) ; (0,1); (1,1) e (1,0) tem 
área igual a 1 u.a, quantas unidades de área tem a região pintada ? 
 
(A) 12
1 
(B) 
6
1 
(C) 
5
1 
(D) 
4
1
 
 
 
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7 - Uma área de lazer localizada em um condomínio está limitada pelas curvas 
𝑦 + 𝑥2 – 6 = 0 e 𝑦 + 2𝑥 − 3 = 0, como mostra a figura abaixo. O valor da área 
da região sombreada na figura corresponde a 
(A) 
3
22 
(B) 
3
32 
(C) 
3
58 
(D) 
3
104 
 
8 - Um fornecedor de peças para a indústria automobilística projetou uma peça 
para determinado modelo de veículo conforme a figura abaixo – constitui-se de 
uma região delimitada pelos eixos x e y e pelo gráfico da função 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 9 − 𝑥2. 
 
 A área da peça é: 
(A) 9 unidades de área. 
(B) 18 unidades de área. 
(C) 24 unidades de área. 
(D) 27 unidades de área. 
Gabarito 
1) A 2) D 3) B 4) D 
5) A 6) A 7) B 8) B 
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20 
 
Parte 10 – Volumes 
1. Uma peça mecânica será construída e seu formato é obtido através da 
revolução da curva 𝑦 = 𝑥3 em torno do eixo 𝑂𝑥, no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
Considerando 𝑥 e 𝑦 expressos em centímetros, o volume desta peça em 𝑐𝑚3 é: 
(A) 8 
(B) 24 
(C) 128𝜋
7
 
(D) 4𝜋 
2. Uma peça será produzida através da rotação da regiao limitada pelas curvas 
𝑦2 = 𝑥, 𝑥 = 2𝑦 em torno do eixo y. Para calcular o preço da fabricação desta 
peça é necessário saber a quantidade de matéria prima que sera utilizada. 
Sendo assim podemos afirmar que o volume da peça, em unidades de volume é: 
(A) 64
15
𝜋 
(B) 25
2
𝜋 
(C) 7
2
𝜋 
(D) 5
2
𝜋 
3 - Uma tigela tem um formato que pode ser obtido pela revolução, em torno do 
eixo 𝑦, do gráfico de 𝑦 = 𝑥2
2 
entre 𝑦 = 0 e 𝑦 = 5. Podemos afirmar que o volume 
desta tigela é: 
(A) 5 unidades cúbicas 
(B) π
6
125
unidades cúbicas 
(C) 
3
310
unidades cúbicas 
(D) 25𝜋 unidades cúbicas 
 
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21 
 
4 - Ao construir um parquinho a empresa responsável pela execução do projeto 
tem que se preocupar com a fixação de alguns brinquedos. Entre eles, um 
brinquedo que imita um sólido de revolução gerado pela região limitada pela 
parábola cúbica 𝑦 = 𝑥3, pelo eixo vertical e pela reta 𝑦 = 8 que gira em 
torno do eixo vertical. O engenheiro com o intuito de saber quantos metros de 
areia deve ser colocado no parquinho necessita saber o volume deste 
brinquedo quando rotacionado em torno do eixo vertical. (use π = 3,14) 
(A) Aproximadamente 50 m3 
(B) Aproximadamente 64 m3 
(C) Aproximadamente 512 m3 
(D) Aproximadamente 60 m3 
 
5 - Maria quer armazenar água para o período de seca. Preocupada com a 
situação, construiu diversos vasilhames. Um dos vasilhames foi obtido pela 
rotação da região abaixo em torno do eixo y e obteve: 
 
Determine o volume de água que Maria poderá estocar nesse vasilhame: 
 
(A) 2 𝜋 unidades de volume 
(B) π8 unidades de volume 
(C) π
3
16 unidades de volume 
(D) 2048 𝜋 unidades de volume 
 
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22 
 
6 - Em uma indústria foi produzida por um ferramenteiro uma peça metálica 
maciça que corresponde ao solido gerado pela revolução da região sob a 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3, no intervalo [1,2] em torno do eixo x, sendo assim 
determine o volume desta peça. 
 (𝐴) 127𝜋7 𝑢. 𝑣 (𝐵) 7𝜋 𝑢. 𝑣 (𝐶) 15𝜋4 𝑢. 𝑣 (𝐷) 128𝜋7 𝑢. 𝑣 
7 - Sabendo-se que a construção de um funil é baseada na rotação da curva 
2
4
1 xy = sob o eixo 0x e limitada pelas retas x = 1 e x = 4. Considerando a 
unidade de medida em centímetros, qual o volume de líquido necessário para 
preencher o funil caso este esteja fechado? Considere π =3,14. 
 
(A) 40,15 cm3 
(B) 12,79 cm3 
(C) 3,0 cm3 
(D) 5,25 cm3 
Gabarito 
1) C 2) A 3) D 4) D 
5) B 6) A 7) A 
 
 
 
 
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23 
 
Parte 11 – Valor médio de uma função 
1. Um pesquisador estima que 𝑡 horas após a meia-noite, em um período típico 
de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada, em graus Celsius, pela 
função: 𝑇(𝑡) = 3 − 2
3
(𝑡 − 13)2, sendo 0 ≤ 𝑡 ≤ 24. A temperatura média na 
cidade entre 6h da manhã e 4h da tarde é: 
(A) a temperatura média no período é 5,22 . 
(B) a temperatura média no período é − 5,22 . 
(C) a temperatura média no período é − 24,4222. 
(D) a temperatura média no período é 24,4222. 
 
2. Os registros mostram que 𝑡 meses após o início do ano, o preço, em reais, 
de um determinado produto vendido nos supermercados a granel foi 
representado por: 𝑃(𝑡) = 0,09𝑡2 − 0,2𝑡 + 1,6 o quilo. O preço médio deste 
produto durante os 3 primeiros meses do ano foi de: 
(A) 1,56 reais 
(B) 4,70 reais 
(C) 1,57 reais 
(D) 4,71 reais 
3. Em certo experimento, o número de bactérias presentes em uma cultura 
após 𝑡 minutos foi 𝑄(𝑡) = 2000𝑒0,05𝑡. O número médio aproximado de bactérias 
presentes nesta cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento é: 
(A) 10.272 
(B) 2.272 
(C) 2.275 
(D) 10.273 
 
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24 
 
4 - Suponha que a velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um 
eixo seja 𝑣(𝑡) = 3𝑡3 + 2, medida em metros por segundo. A velocidade média 
da partícula no intervalo de 1 segundo a 4 segundos é de: 
 
(A) sm /
4
789
 
(B) sm /
4
263
 
(C) sm /9 
(D) sm/
2
199
 
 
5 - Um engenheiro estuda o comportamento de um gás ideal, ao se expandir 
passando por pequenos orifícios, fenômeno denominado de efusão gasosa. Ao 
realizar um experimento, o engenheiro constata que o vazamento de gás a alta 
pressão, através de um orifício de um cilindro de alumínio, é modelado pela 
função 𝑣(𝑡) = 2𝑒−𝑡, em que 𝑣(𝑡) representa o vazamento instantâneo de gás 
em um determinado instante de tempo 𝑡. Calculando o vazamento médio entre 
os instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 2, este engenheiro encontrou o valor: 
(A) 2
11
e
− 
(B) 2
22
e
− 
(C) 112 −e
 
(D) 222 −e
 
 
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25 
 
6 - Um tanque contém 25g de sal dissolvido em 100 litros de água. Uma 
solução de sal em água, com 1/4 g de sal por litro entra no tanque a uma vazão 
de 3 litros por minuto e a solução do 
tanque, bem misturada, sai com a 
mesma vazão. 
Considerando todos os dados 
relatados acima encontrou-se a 
expressão que dá a quantidade de 
sal Q(t) no tanque no instante t que 
é: 
𝑄(𝑡) = 75 − 50𝑒− 𝑡100 
 
Determine o valor médio da quantidade sal neste tanque, nos primeiros 10 
minutos. 
Sabe-se que o valor médio de uma função em um intervalo [a,b] é dado por 
𝑓𝑚𝑒𝑑 = 1𝑏 − 𝑎� 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 
(A) 75,5𝑔 
(B) 27,4𝑔 
(C) 3,0𝑔 
(D) 122,6𝑔 
 
Gabarito 
 
1) B 2) C 3) B 4) B 5) A 6) B 
 
 
 
 
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26 
 
Parte 12 – Aplicações das integrais – Métodos: Por Partes, Integrais 
trigonométricas, Substituição trigonométrica. 
1. A função custo marginal de uma empresa é representada por 𝐶 ′ onde C´(𝑥) = ln 𝑥, onde 𝑥 representa o número de peças produzidas sendo 𝑥 ≥ 1. 
Considerando 𝐶𝑇(1) = 5 , podemos afirmar que a função que representa o 
custo total 𝐶𝑇(𝑥) da produção de 𝑥 unidades é dada por: 
(A) CT(x) = xlnx − x + 6 
(B) CT(x) = xlnx − x33 + 163 
(C) CT(x) = xlnx + x + 4 
(D) CT(x) = xlnx + x33 + 143 
2. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dada pela 
função v(t) = t². ln (t), sendo t dado em segundos e a velocidade em metros 
por segundo. Se a posição do corpo no instante 1 seg é 0 m, a função posição 
dessa partícula será: 
(A) s(t) = t³
3
ln(t) − t³
9
+ 1
9
 
(B) s(t) = t³
3
ln(t) − t³
9
−
1
9
 
(C) s(t) = t³
3
ln(t) − t³
3
+ 1
9
 
(D) s(t) = t³
3
ln(t) − t³
9
 
3 - Se uma partícula se move ao longo de uma reta com velocidade igual a 
𝑣(𝑡) = 𝑡 𝑒−𝑡 m/s após t segundos, então a distância percorrida durante os 
primeiros 5 segundos é: 
(A) 4e- 5 + 1 
(B) - 6 e- 5 -1 
(C) - 6 e- 5 + 1 
(D) - e- 5 
 
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27 
 
4. Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t=0 e o 
petróleo vaza do tanque a uma taxa de r(t) = sen²t quilolitros por minuto. 
Quanto petróleo vazou, aproximadamente, na primeira hora? 
(A) 29783 litros de petróleo 
(B) 273 litros de petróleo 
(C) 29854 litros de petróleo 
(D) 29,854 litros de petróleo 
 
5. Uma partícula se move em linha reta com função velocidade 
xxsentv 23 cos)( = . Através do Cálculo de integral é possível obter a função 
posição s = f(t) desta partícula. No instante que f(0) = 0, a função que descreve 
a posição da partícula é 
(A) 
5
cos
3
cos 53 xxs −= 
(B) 
5
cos
3
cos 53 xxs +−= 
(C) 
15
2
5
cos
3
cos 53
+−=
xxs 
(D) 
15
2
5
cos
3
cos 53
++−=
xxs 
 
Gabarito 
1) A 2) A 3) C 4) C 5) D 
 
 
 
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28 
 
Questões subjetivas 
Distância entre dois pontos 
1. Dois objetos podem ser localizados no espaço tridimensional através de dois 
pontos. O primeiro objeto, pelo ponto, P(2,1,5) e o segundo objeto, através do 
ponto Q(-2,3,0). A distância entre eles, é: 
Estudo da esfera 
2. A esfera é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução que tem 
todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro. A 
superfície esférica é resultado da revolução de uma semicircunferência em 
torno do diâmetro. Uma esfera de centro sobre 𝑂𝑧 e no plano 2𝑥 – 3𝑦 + 4𝑧 = 6, 
é tangente ao plano 𝑥𝑂𝑦. Como a esfera é tangente à 𝑥𝑂𝑦, temos que a cota 
do seu centro é o próprio valor do raio. Determine a equação esfera. 
 
Regra da Cadeia 
3. A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada à taxa de 0,05 𝑘𝑃𝑎/𝑠, e 
a temperatura é elevada à taxa de 0,15 𝐾/𝑠. Sabendo que para um mol de gás 
ideal a pressão 𝑃, o volume 𝑉 e a temperatura 𝑇, estão relacionadas através da 
fórmula 𝑃𝑉 = 8,31𝑇, encontre a taxa de variação do volume quando a pressão 
é de 20 𝑘𝑃𝑎 e a temperatura é de 320𝐾. 
Regra da Cadeia 
4- A lei dos gases ideais é a equação de estado do gás ideal, um gás hipotético 
formado por partículas pontuais, sem atração nem repulsão entre elas e cujos 
choques são perfeitamente elásticos (conservação do momento e da energia 
cinética). Os gases reais que mais se aproximam ao comportamento do gás 
ideal são os gases monoatômicos em condições de baixa pressão e alta 
temperatura. Empiricamente, observam-se uma série de relações entre a 
temperatura, a pressão e o volume que dão lugar à lei dos gases ideais, 
deduzida pela primeira vez por Émile Clapeyron, em 1834. 
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29 
 
A lei de um gás ideal confinado é P V = k T, onde P é a pressão, V é o volume, 
T é a temperatura e 
 k > 0 constante. O gás está sendo aquecido à razão de 2 graus/min e a 
pressão aumenta à razão de 0.5 kg/min. Se em certo instante, a temperatura é 
de 200 graus e a pressão é de 10 kg/cm2, ache a razão com que varia o 
volume para k = 8. 
 
 
Máximos e mínimos 
5. Um engenheiro deseja encontrar três medidas (números positivos) de modo 
que o produto entre elas seja máximo. Sabe-se que a soma destas três 
medidas é 100 u.c. A medida de cada uma destas medidas é de? 
 
Aplicações de integral 
6. A corrente elétrica de um fio condutor é definida como a derivada da 
quantidade de carga, ou seja, 𝐼(𝑡) = 𝑄´(𝑡). Supondo que, em certo circuito uma 
corrente varia com o tempo 𝑡 de acordo com a função 𝐼(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡3
4
. Determine 
a quantidade de carga transportada neste circuito entre um intervalo de 1 e 5 segundos. 
 
Aplicações de integral 
7. Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade 
𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡 
onde v é medida em metros por segundo. Determine: 
(a) o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo [0, 5]. 
(b) a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo [0, 5]. 
 
 
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30 
 
Aplicações de integral 
8. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A 
figura mostra os gráficos de suas velocidades. 
 
a) Qual carro estará na frente após 1 minuto? Explique. 
b) Qual o significado da área da região sombreada? 
c) Qual carro estará na frente após 2 segundos? 
d) Estime quando os carros estarão novamente lado a lado. 
 
Aplicações de integral 
9. Uma partícula de massa 𝑚 que se move através de um fluido está submetida 
a uma resistência 𝑅 devido à viscosidade, a qual é função da velocidade 𝑣. A 
relação entre a resistência 𝑅, a velocidade 𝑣 e o tempo 𝑡 está dada pela 
equação a seguir. 
𝑡 = � 𝑚
𝑅(𝑣)𝑑𝑣𝑣(𝑡)𝑣(𝑡0)Suponha-se que 𝑅(𝑣) = −𝑣√𝑣 para um determinado fluido, onde 𝑅 é dado em 
Newtons e 𝑣 em 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔. Sendo 𝑚 = 10 𝑘𝑔 e 𝑣(0) = 10 𝑚/𝑠, estime o 
tempo requerido para que a partícula diminua sua velocidade para 5 𝑚/𝑠. 
 
 
 
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31 
 
Aplicações de integral 
10. Uma partícula percorre uma trajetória reta, com aceleração de 2𝑐𝑚 /𝑠2. No 
instante 𝑡 = 0, a partícula passava pela marca 10 𝑐𝑚 da trajetória, com 
velocidade de 5𝑐𝑚 /𝑠. 
A. Determine a velocidade da partícula em função do tempo. 
B. Determine a posição da partícula em função do tempo. 
C. Determine o tempo necessário para que a partícula passe pela marca de 
103,75 cm. 
 
Aplicações de integral 
11. Estima-se que daqui a t meses a população de um pequeno bairro estará 
variando a uma taxa de t
dt
dP 62 += pessoas por mês. A população atual do 
bairro é de 5000 pessoas. Qual será a população deste bairro daqui a 9 
meses? 
 
Aplicações de integral 
12. Um fabricante estima que o custo marginal para produzir q unidades de 
um certo produto é dado por 400603 2 +−= qq
dq
dC reais por unidade. O custo 
para produzir as 2 primeiras unidades é de R$ 900,00. Determine o custo total 
para produzir as 12 primeiras unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
 
Volume 
13. Um reservatório deve ser dimensionado para uma capacidade de 10𝑚3 e 
deve ter a forma de um paraboloide de revolução, observe a figura abaixo. 
Desta maneira, qual deve ser o valor da constante C? 
 
 
 
Volume 
14. Deseja-se conhecer o volume um tanque com 3 metros de profundidade e 
sua forma determinada pela revolução da função x = �2y em torno do eixo y. 
Use a integral para determinar o volume. 
 
Volume 
15. Um reservatório de água, com 2m de altura, tem o formato mostrado na figura 
a seguir que foi obtida girando-se a curva 𝑥 = 8𝑦2 + 1 em torno do eixo y. 
 
Encontre o volume total de água suportado pelo reservatório. 
y 
 
y 
 
 C x 
y = x2 
 x = y 
x 
 
 
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33 
 
Volume 
16. Um reservatório tem a forma de um paraboloide de revolução obtido 
girando-se o gráfico de 𝑦 = 𝑥² em torno do eixo y. Determine o volume de 
água no instante em que seu nível está a 4 metros de altura em relação ao 
solo. 
 
 
Aplicações de integral – Método da substituição 
17. A posição é dada pela integral da velocidade. Um móvel se desloca e tem 
sua velocidade dada por v(t) = 2t cos t2dt. Calcule sua função de posição, 
sabendo que no instante t = �π
2
 sua posição era 2. 
Aplicações de integral – Método Frações parciais 
18. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de forma que sua velocidade 
em cm/s seja representada por v. Após decorridos um tempo em segundos 
representado por t, a velocidade é expressa por: 
 v(t) = −t + 1(t + 2)(t + 1) 
A fórmula da distância percorrida pela partícula do instante t = 0 ao instante t = t1 é: 
 
 
 
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34 
 
Aplicações de integral – Método Frações parciais 
19. Uma equação que descreve o crescimento de uma população é dada por: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0,08𝑃 �1 − 𝑃1000� 𝐸𝑞. 1 
Na busca da solução desta equação, a mesma pode ser escrita como: 1000
𝑃(1000 − 𝑃) 𝑑𝑃 = 0,08 𝑑𝑡 𝐸𝑞. 2 
O método de resolução desta equação envolve o cálculo da integral em ambos 
os lados. 
Desenvolva a integral apenas do termo do lado esquerdo da Eq. 2: 
 
Aplicações de integral – Método Frações parciais 
20. Atualmente os sistemas algébricos computacionais tem um comando 
(com nomes tais como “Apart” ou “Parfrac”) que fornece decomposições em 
frações parciais. Por exemplo, o comando: Apart [(x^2 – 2)/((x+2) (x^2 + 4)^ 3)], 
fornece a seguinte decomposição em frações parciais: 
𝑥2 − 2(x + 2)(x2 + 4)3 = 1256(2 + 𝑥) + 3 (x – 2)32(4 + x2)2 + 2 – x256(4 + 𝑥2) 
 
Contudo, um sistema algébrico computacional não consegue fornecer uma 
decomposição em frações parciais em que Q(x) não possa ser fatorado 
explicitamente. Por este motivo precisamos aprender a fazer contas muitas 
vezes trabalhosas para encontrar a decomposição de frações parciais. 
Utilizando estes conhecimentos calcule: 
�
𝑑𝑥x2 − 7x + 10 
 
 
 
 
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35 
 
 
Respostas 
Questões subjetivas 
1) 6 
2) 𝑥2 + 𝑦2 + �𝑧 – 3
2
�
2 = 9
4
 
3) Aproximadamente −0,27L/s 
4) min/
5
32 3cm− 
5) x = y = z = 100
3
 
6) 7
3
 unidades de carga 
7) Deslocamento = 175
6
≅ 29,2 metros ; Distância = 59
2
= 29,5metros 
8) a) O carro A pois a área sob a curva A é maior que a área sob a curva B. 
b) A área da região sombreada tem valor numérico SA – SB, que é a distância 
em que A está a frente de B depois de 1 minuto. 
c) Depois de dois minutos, o carro B está viajando mais rápido do que o carro A 
e sendo assim ganhou uma certa distância em comparação com o carro A, mas 
a área sob a curva de A a partir de t = 0 a t = 2 é ainda maior do que a área 
correspondente à curva de B, e então o carro A ainda está a frente de B. 
d) Em aproximadamente 2,2 minutos. 
9) Em aproximadamente 2,6197 segundos. 
10) a) ⇒ v(t) = 2t + 5 b) s(t) = t2 + 5t + 10 c) 7,5 segundos 
11) 5.126 pessoas 
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36 
 
12) R$ 2420,00 
13) C = √20
π
 
14) V = 9π 
15) V = 574π
15
 
16) V = 8π m3 
17) s(t) = sen t2 + 1 
18) ln(t1+1)2(t1+2)3 + ln8 
19) ou ainda ln � P
1000−P
� 
20) −1
3
 ln | x – 2| + 1
3
 ln | x – 5| + C