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Universidade Federal do Paraná (UFPR) 
 
3.2.1.1 Grandezas físicas: Conceito. Medidas. Operações. Ordens de grandeza. Algarismos 
significativos. Sistemas correntes de unidades. Sistema Internacional. Inter-relações entre grandezas e 
as leis físicas. Análise dimensional. ......................................................................................................... 1 
 
3.2.1.2 Mecânica: Conceito de partícula. Cinemática escalar e vetorial. Queda livre e movimento de 
projéteis. Movimento circular. Conceitos de massa, força e peso. Referenciais inerciais e não inerciais. 
Sistemas de Forças. Leis de Newton e aplicações. Trabalho. Energia cinética. Energia potencial. 
Potência. Momento Linear (Quantidade de Movimento). Impulso. Conservação de momento linear. 
Colisões elásticas e inelásticas. Lei de Conservação da Energia. Gravitação. Lei da Gravitação Universal. 
Leis de Kepler. Movimento de planetas e satélites em órbitas circulares. Movimento oscilatório. Movimento 
harmônico simples. Centro de massa. Estática dos sólidos. Momento de uma força. Momento resultante 
e condições de equilíbrio de um corpo rígido. Massa específica e Densidade linear, superficial e 
volumétrica. Peso específico. Conceito de pressão. 3.2.1.3 Hidrologia: Vasos Comunicantes. Princípio de 
Pascal. Prensa hidráulica. Princípio de Arquimedes. Flutuação de corpos. Linhas de corrente. Vazão. 
Equação da continuidade. ..................................................................................................................... 12 
 
3.2.1.4 Termologia: Conceito de temperatura. Equilíbrio térmico. Escalas termométricas. Dilatação 
térmica de sólidos e líquidos. Transmissão do calor. Calor específico. Capacidade térmica. Calorimetria. 
Conceito de calor. Estados físicos da matéria. Mudança de estado físico. Transformação de energia 
mecânica em térmica. Gases. Conceito de gás ideal. Leis dos gases ideais, transformações gasosas. 
Diagrama de fases e de Clapeyron. Leis da termodinâmica. Máquinas térmicas, rendimento de máquinas 
térmicas. .............................................................................................................................................. 116 
 
3.2.1.5 Ondas e Acústica: Conceito de onda. Pulsos em cordas. Ondas transversais e longitudinais. 
Amplitude. Comprimento de onda. Frequência. Velocidade de propagação. Ondas periódicas. 
Fenômenos ondulatórios. Princípio da superposição. Interferência. Reflexão. Refração. Ondas 
estacionárias. Acústica. Som. Tubos sonoros. Harmônicos. Propagação do som. Fontes sonoras. Efeito 
Doppler. ............................................................................................................................................... 161 
 
3.2.1.6 Eletricidade e Magnetismo: Carga elétrica. Constituição atômica. Condutores e isolantes. 
Campo elétrico. Linhas de força. Lei de Coulomb. Potencial elétrico. Superfícies equipotenciais. Campo 
elétrico uniforme. Diferença de potencial entre dois pontos de um campo elétrico. Movimento de cargas 
elétricas puntiformes por ação de campo elétrico. Corrente elétrica. Geradores. Receptores. Força 
eletromotriz. Resistência interna de um gerador. Rendimento. Resistores. Lei de Ohm. Energia e potência. 
Efeito Joule. Associação de resistores. Circuitos elementares. Lei dos nós. Lei das malhas. Capacitores. 
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Energia armazenada por capacitores. Associação de capacitores. Campo magnético. Indução magnética. 
Linhas de Campo. Ação do campo magnético sobre cargas elétricas e fios condutores. Campos 
magnéticos gerados por correntes elétricas. Magnetização. Indução eletromagnética. Transformadores. 
Lei de Lenz e Lei de Faraday. Noções de corrente alternada. ............................................................. 199 
 
3.2.1.7 Óptica: Modelo ondulatório da luz. Velocidade de propagação. Índice de refração. Óptica 
geométrica. Leis da reflexão. Espelhos planos e esféricos. Leis da refração. Reflexão total. Lentes 
delgadas. Formação de imagens. Equação dos focos conjugados aplicada a lentes delgadas e espelhos 
esféricos. Ampliação. Óptica física. Dispersão. Interferência. Difração. Polarização da luz. ................ 251 
 
3.2.1.8 Física Moderna:Radiação do corpo negro.Efeito fotoelétrico.Dualidade onda-partícula..... 278 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
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GRANDEZAS FÍSICAS E MEDIDAS 
Sistema de unidades 
Um sistema de unidades, de acordo com a definição atual, é um conjunto consistente de unidades de 
medida que contém um conjunto de unidades fundamentais de medida das quais se derivam todas as 
outras unidades contidas no sistema. No passado as unidades utilizadas eram decididas pelos 
governantes e não necessariamente possuíam uma relação direta e até poderiam mudar de valor com o 
tempo e entre diferentes regiões de um mesmo país. 
Uma das primeiras ferramentas inventadas pelo homem, devido a necessidade da construção de 
habitações, confecção de vestes e troca de recursos, por exemplo. Para realizar estas medidas, partes 
do corpo humano e elementos da natureza foram os primeiros instrumentos utilizados. Registros 
históricos da Babilônia e do Egito antigo descrevem a utilização da mão, braço e dedo para medidas de 
comprimento, e períodos solares e lunares para a medida de tempo. Para medidas de volume de 
recipientes, o método utilizado era colocar sementes até o recipiente estar cheio e depois contar elas. 
Para medir massa, eram utilizadas sementes ou pedras como padrão para a balança. O quilate, por 
exemplo, é uma unidade de massa com valor de 200 mg até hoje utilizada e possui a sua origem na 
semente de Alfarrobeira. 
 
Cúbito padrão Egípcio presente no Liverpool World Museum. O cúbito era a distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio 
 
Com o desenvolvimento das civilizações, comercio, construções, taxas e demarcação de terras 
necessitavam de unidades que não variassem com o tempo ou o lugar. Assim, as unidades geralmente 
eram definidas pelos reis, porém com base em elementos que nem sempre se relacionavam bem, e que 
poderiam ser modificadas pelos reis posteriores. Um exemplo disto foi que no reinado de Afonso III de 
Portugal, uma lei de 26 de dezembro de 1253 dava a equivalência de 11,5 onças para o arrátel, enquanto 
durante o reinado de João II de Portugal (1481-1495) o arrátel ficou definido como valendo 2 marcos, ou 
14 onças. Como os métodos de comunicação e locomoção eram limitados, e os elementos utilizados 
como base para medidas diferentes, diversos sistemas com as mais variadas unidades foram 
desenvolvidos e utilizados em diferentes partesdo mundo, até podendo haver diferenças entre regiões 
de um mesmo país. 
Com a renascença e a revolução científica, estas diferenças de unidades se mostravam cada vez mais 
complicadas de se lidar. No campo da ciência, Isaac Newton cita em seu livro de 1687, Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, suas medidas de comprimento de pé parisiense, para que fosse possível 
para os leitores identificarem o valor. Ao mesmo tempo, o crescente comercio internacional sofria com a 
disparidade de unidades. Por exemplo, a unidade de comprimento vara era bastante utilizada na Europa, 
porem o seu valor variava de país para país, equivalendo a 40,2 cm em algumas partes da Alemanha 
mas possuindo valor de 94,5 cm na Escócia. Estes casos demonstravam que era necessário se adotar 
um padrão internacional para as unidades. 
Em 1668, no seu Essay towards a Real Character and a Philosophical Language, John Wilkins propôs 
a utilização do segundo como unidade básica de tempo, que o comprimento de um pendulo com período 
de dois segundos fosse a unidade básica de comprimento, sendo denominada "padrão" (equivalente a 
 
3.2.1.1 Grandezas físicas: Conceito. Medidas. Operações. Ordens de 
grandeza. Algarismos significativos. Sistemas correntes de unidades. 
Sistema Internacional. Inter-relações entre grandezas e as leis físicas. 
Análise dimensional. 
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994 mm) e que a base para massa seria a "centena", sendo definida como a massa de agua destilada 
em um recipiente de um padrão cúbico. 
Em 1670, o astrônomo francês Gabriel Mouton, que também era vigário da igreja de São Paulo em 
Lyon, sugeriu a utilização de um sistema decimal semelhante a de Wilkins, porém baseado no 
comprimento de um segundo de arco de longitude no equador e com prefixos denominando cada potência 
de dez do comprimento, semelhante ao utilizado atualmente no SI. A proposta de Mouton contou com o 
apoio de Jean Picard e Christiaan Huygens. Neste mesmo ano Gottfried Leibniz também fez propostas 
semelhantes as de Mouton[4]. Embora tenham sido feitas outras propostas além destas, apenas cerca 
de um século mais tarde é que algo foi feito, resultando no sistema métrico. 
 
Sistema métrico 
Em 5 de maio de 1789, Luís XVI convocou a assembleia dos estados gerais - que não ocorria desde 
1614 - que desencadeou uma série de eventos que culminam na revolução francesa. Em 27 de junho do 
mesmo ano, a Assembleia Nacional Constituinte Francesa pediu para Academia Francesa de Ciências 
criar um padrão de medidas que fosse invariável, não sendo susceptível a corrupção. Em 4 de agosto, 
três semanas após a tomada da Bastilha, a nobreza abriu mão de seus privilégios, incluindo o direito de 
controlar as medidas locais. 
Em 1790 foi formado pela assembleia o comitê responsável pela criação do novo padrão, tendo como 
integrantes Jean-Charles de Borda, Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace, Gaspard Monge e 
Nicolas de Condorcet. 
O sistema criado pela comissão foi definido utilizando a base decimal, onde os múltiplos de potencias 
de dez da unidade possuindo prefixos e tendo como unidades fundamentais metro, grama e segundo, 
onde tais quantidades foram definidas assim: 
- O segundo sendo a unidade fundamental de tempo, valendo 1/86.400 do dia solar médio 
- O metro, unidade fundamental de comprimento, definido sendo 1/10.000.000 a distância entre o polo 
norte e a linha do Equador através do meridiano que passa entre Dunquerque e Barcelona. 
- O grama, unidade fundamental de massa, ficou definida como a massa de um centímetro cúbico de 
água a 4ºC. 
Em 7 de abril de 1795, o governo da França revolucionária decretou que estas seriam as novas 
unidades base do país. 
Em 22 de junho de 1799 foi depositado, nos Arquivos da República em Paris, dois protótipos de platina 
iridiada, que representam o metro e o quilograma, ainda hoje conservados no Bureau International des 
Poids et Mesures (Escritório Internacional de Pesos e Medidas) na França. 
Embora vários países tenham adotado o sistema métrico, a repetição da medição da distância entre o 
polo norte e o equador se mostrava extremamente trabalhosa, e copiar o metro padrão francês também 
não se mostrava uma boa opção, pois embora fosse possível copiar a medida, a barra padrão e as suas 
cópias possuíam exatamente um metro e, sendo suscetíveis a desgaste com o uso, com o tempo 
começaram a mostrar valores diferentes para o metro. 
Para corrigir este problema, na conferência internacional de 1867 foi proposta a implementação de 
uma barra internacional de metro padrão que fosse mais fácil de se copiar para outros países, e que 
possuísse mais que um metro e com marcações indicando o tamanho de metro, com isso solucionando 
o problema do desgaste. 
Em 20 de maio de 1875 foi assinado por 17 países a Convenção do Metro. Este tratado definiu as 
seguintes organizações para conduzirem as atividades internacionais relacionadas ao sistema uniforme 
de medidas: 
- Conférence Générale des Poids et mesures (CGPM), uma conferência intergovernamental de 
delegados oficiais dos países membros e da autoridade suprema para todas as ações; 
- Comité international des poids et mesures (CIPM), composta por cientistas e metrologistas, que 
prepara e executa as decisões da CGPM e é responsável pela supervisão do Bureau Internacional de 
Pesos e Medidas; 
- Bureau International des Poids et mesures (BIPM), um laboratório permanente e centro mundial da 
metrologia científica, as atividades que incluem o estabelecimento de normas de base e as escalas das 
quantidades de capital físico e manutenção dos padrões protótipo internacional. 
A nova barra de internacional de metro foi adotada em 1889, utilizando 90% de platina e 10% de irídio, 
sendo escolhido devido a sua dureza, alto coeficiente de elasticidade e baixo coeficiente de expansão. A 
barra foi feita possuindo uma seção reta em forma de "X" desenvolvida pelo físico Henri Tresca a fim de 
minimizar os efeitos de esforço torcional durante as comparações. 
 
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A barra de platina-irídio utilizada como protótipo do metro de 1889 a 1960 
 
Atualmente, embora o Parlamento britânico tenha decidido pela adesão do país ao Sistema 
Internacional de Unidades, a população inglesa continua utilizando o antigo sistema em seu dia-a-dia. 
Nos Estados Unidos, o sistema métrico é oficialmente permitido desde 1866 e, em 1959, as unidades de 
medidas tradicionais passam a ser definidas em função do Sistema Internacional de Unidades. Nos anos 
60, o país inicia um movimento de conversão para o Sistema Internacional. A população, no entanto, 
também tem resistido em abandonar as antigas medidas. 
 
Principais grandezas: 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o mais aceito em todo o mundo. No entanto, ainda são 
usadas unidades tradicionais de origem consuetudinária ou de sistemas anteriores à elaboração do SI. 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica ampère A 
Temperatura kelvin K 
Quantidade de matéria mol mol 
Intensidade luminosa candela cd 
 
Comprimento 
Metro (m), unidade SI: distância percorrida pela luz no vácuo em um intervalo de tempo igual a 
1/299.792.458 s. 
Unidades de comprimento tradicionais – Quilômetro (km): 1.000 m, palmo: 22 cm; braça: 2,2m; légua: 
6 km; légua brasileira: 6,6 km. 
Unidades de comprimento inglesas – Polegada (in): 2,54 cm ou 0,0254 m; pé (ft): 30,48 cm ou 0,3048 
m; jarda (yd): 91,44 cm ou 0,9144 m; milha (mi): 1.609 m; milha náutica: 1.852 m. 
Distâncias astronômicas – Ano-luz: distância percorrida pela luz no vácuo em 1 ano, igual a 9,46 
trilhões de quilômetros ou 946 × 1010 km; parsec: 3,258 anos-luz ou 30,82 trilhões de quilômetros ou 3. 
082 × 10¹o km; unidade astronômica (uA): distância média entre a Terra e o Sol igual a 150 milhões de 
quilômetros ou 150 × 106 km. 
 
ÁreaMetro quadrado (m²), unidade SI: área de um quadrado com lado igual a um metro. 
Unidades de área tradicionais – Quilômetro quadrado (km²): 1.000.000 m²; hectare (ha): 10.000 m²; 
alqueire mineiro: 48.400 m²; alqueire paulista: 24.200 m². 
Unidades de área inglesas – Polegada quadrada: 6,4516 cm² ou 0,00064516 m²; pé quadrado: 929,03 
cm² ou 0,092903 m². 
 
Volume 
Metro cúbico (m³), unidade SI: cubo com arestas iguais a um metro. 
Unidade de volume tradicional – Litro (l): 0,001 m³. 
Unidades de volume inglesas – Galão inglês: 4,546 l ou 0,004546 m³; galão norte-americano: 3,785 l 
ou 0,003785 m³. 
 
Ângulo Plano 
Radiano (rad ou rd), unidade SI: ângulo plano entre dois raios de um círculo que forma um arco de 
circunferência com o comprimento igual ao do raio. 
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Unidades de ângulo plano tradicionais – Grau (o): /180 rad; minuto (‘): /10. 800; segundo (“): /648. 000 
rad; número: 3,1416 
 
Ângulo Sólido 
Esterradiano (sr), unidade SI: ângulo sólido que, tendo o vértice no centro de uma esfera, leva a um 
corte em sua superfície com área igual a de um quadrado com lados iguais ao raio da esfera. 
 
Massa 
Quilograma (kg), unidade SI: massa do protótipo internacional do quilograma, um padrão construído 
com uma liga de platina e irídio. 
Unidades de massa tradicionais – Quilate: 0,2 g ou 0,002 kg; tonelada métrica (t): 1.000 kg. 
Unidades de massa inglesas – Libra ou pound (lb): 453,59 g ou 0,453 kg; tonelada inglesa: 1.016 kg; 
tonelada norte-americana: 907 kg; onça (oz): 28,35 g ou 0,028 kg; onça troy: 31,10 g ou 0,031 kg. 
 
Tempo 
Segundo (s), unidade SI: tempo correspondente a 9.192. 631.770 ciclos de radiações emitidas entre 
dois níveis de energia do átomo de césio 133. 
Unidades de tempo tradicionais – Minuto (min): 60s; hora (h): 60min ou 3.600s; dia (d): 24h ou 1.440min 
ou 86. 400s; ano sideral: 365d 6h 9min 9,5s; ano trópico: 365d 5h 48min 45,8s. 
 
Velocidade 
Metro por segundo (m/s), unidade SI: distância percorrida em um segundo. Unidades de velocidade 
tradicionais – Quilômetro por hora (km/h): 1/3,6 m/s ou 0,27777 m/s. 
Unidades de velocidade inglesas – Milha por hora (mi/h): 1,609 km/h ou 0,4469 m/s; nó (milha náutica 
por hora): 1,852 km/h ou 0,5144 m/s. 
Velocidade da luz – 299. 792. 458 m/s. 
 
Velocidade Angular 
Radiano por segundo (rad/s), unidade SI: velocidade de rotação de um corpo. 
Unidade de velocidade angular tradicional – Rotação por minuto (rpm): p/30 rad/s 
 
Aceleração 
Metro por segundo ao quadrado (m/s²), unidade SI: constante de variação de velocidade. 
Radiano por segundo ao quadrado (rad/s²), unidade SI: constante de variação de velocidade angular. 
 
Frequência 
Hertz (Hz), unidade SI: número de ciclos completos por segundo (Hz s-¹) 
 
Força 
Newton (N), unidade SI: força que imprime uma aceleração de 1 m/s² a uma massa de 1 kg (kgm/s²), 
na direção da força. 
Unidade de força tradicional – Quilograma-força (kgf): 9,8N. 
 
Energia 
Joule (J), unidade SI: energia necessária para uma força de 1N produzir um deslocamento de 1m (J 
N/m). 
Unidades de energia tradicionais – Watt-hora (Wh): 3. 600 J; quilowatt-hora (kWh): 3.600.000 J ou 
3.600 kJ, eletrovolt (eV): 1,6021 × 10 J; caloria (cal): 4,1 J; quilocaloria (kcal): 4. 184 J. 
 
Potência 
Watt (W), unidade SI: potência necessária para exercer uma energia de 1 J durante um segundo (W 
J/s). O fluxo de energia (elétrica, sonora, térmica ou luminosa) também é medido em watt. 
Unidade de potência tradicional – Horse-power (HP) ou cavalo-vapor (cv): 735,5 W. 
 
Intensidade Energética 
Watt por esterradiano (W/sr), unidade SI: intensidade do fluxo de energia no interior de um ângulo 
sólido igual a 1sr. 
 
 
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Pressão 
Pascal (Pa), unidade SI: força constante de 1N sobre uma superfície plana de 1m² (Pa N/m²). 
Unidades de pressão tradicionais – Milímetro de mercúrio (mmHg): 133,32 Pa; atmosfera (atm): 101. 
325 Pa. 
 
Corrente Elétrica 
Ampère (A), unidade SI: corrente elétrica constante capaz de produzir uma força igual a 2 × 10 N entre 
dois condutores de comprimento infinito e seção transversal desprezível, situados no vácuo e com 1 m 
de distância entre si. 
 
Carga Elétrica 
Coulomb (C), unidade SI: quantidade de eletricidade com intensidade constante de 1A que atravessa 
a seção de um condutor durante 1s (C sA). 
Unidade de carga elétrica tradicional Ampère-hora (Ah): 3.600 C. 
 
Diferença De Potencial 
Volt (V), unidade SI: tensão elétrica existente entre duas seções transversais de um condutor 
percorrido por uma corrente constante de 1A, quando a freqüência dissipada entre as duas seções é igual 
a 1W (V W/A). 
 
Resistência Elétrica 
Ohm ( ), unidade SI: resistência de um elemento de um circuito que, submetido a uma diferença de 
potencial de 1V entre seus terminais, faz circular uma corrente constante de 1A ( V/A). 
 
Capacitância Elétrica 
Farad (F), unidade SI: capacitância de um elemento de um circuito que, ao ser carregado com uma 
quantidade de eletricidade constante igual a 1C, apresenta uma tensão constante igual a 1V (F C/V). 
 
Indutância Elétrica 
Henry (H), unidade SI: indutância de um elemento passivo de um circuito em cujos terminais se induz 
uma tensão constante de 1V quando percorrido por uma corrente que varia na razão de 1A por segundo 
(H Vs/A ou Ws). 
Temperatura 
Kelvin (K), unidade SI: fração de 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água, 
que corresponde às condições de temperatura e pressão em que a água em estado líquido, o vapor de 
água e o gelo estão em perfeito equilíbrio. O ponto zero da escala (0°K) é igual ao zero absoluto (-
273,15°C). 
Unidades de temperatura tradicionais – Escala Celsius (°C): 0°C 273°K e 1°C 274°K; Escala Fahrenheit 
(F): 0°F 255,33°K ou -17,77°C, 1°F 255,78°K ou -17,22°C. 
 
Quantidade De Matéria 
Mol (símbolo mol), unidade SI: quantidade de matéria de um sistema que reúne tantas entidades 
elementares (partículas que devem ser especificadas) quanto o número de átomos contidos em 0,012 kg 
de carbono. 
 
Intensidade Luminosa 
Candela (cd), unidade SI: intensidade luminosa emitida em uma determinada direção por uma fonte 
de radiação monocromática com frequência igual a 540 × 10¹² Hz e com uma intensidade energética de 
1/683 watt por esterradiano. 
 
Fluxo Luminoso 
Lúmem (lm), unidade SI: fluxo luminoso com intensidade de 1cd emitido no interior de um ângulo sólido 
igual a 1sr (lm cd/sr). 
 
Iluminamento 
Lux (lx), unidade SI: iluminamento de uma superfície plana de 1 m² que recebe um fluxo luminoso 
perpendicular de 1lm (lx lm/m²). 
 
 
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Informática 
Bit: menor unidade de armazenamento de informações em computadores e sistemas informatizados. 
Byte: é a unidade básica de memória de computadores, igual a 8 bits contíguos. 
Kilobit (kbit): 1.024 bits de informação. 
Kilobyte (kbyte): 1.024 bytes. 
Megabytes: 1.048.576 bytes. 
 
A análise dimensional é uma ferramenta poderosa e simples para avaliar e deduzir relações físicas. A 
similaridade é um conceito diretamente relacionado, que consiste basicamente na equivalência de 
experimentos ou fenômenos que são, na realidade, diferentes. Naturalmente, os métodos são genéricos 
e de ampla utilização. Não se limitam a área da Mecânica dos Fluidos. A inclusão da página no grupo 
Fluidos deste site é apenas uma questão de conveniência, em razão do maior número de exemplos. 
 
Escrita notação científica 
 
 
Exemplos: 
1) Escrever o número 2014 em potência de 10 
201,4 . 101 → 20,14 . 10² → 2,014 . 103, observa-se que colocar um número na base 10, é o mesmo 
que o dividir por dez, ou escrever o mesmo na forma decimal acrescido de vírgula. Para cada divisão 
aumenta-se o expoente. 
 A notação científica chega a sua parte final, quandoa mantissa tem seu módulo compreendido entre: 
1≤ a ≤10 
 
No exemplo acima, a = 2,014, logo esta compreendido entre os valores acima. 
 
2) 1.500.000.000 → 1,5 x 109 ( deslocamos a vírgula 9 casas para esquerda); 
3) 0,000 000 000 256 → 2,56 x 10-10 ( deslocamos a vírgula 10 casa para direita); 
 
Escrita correta de unidades SI - Nome de unidade 
O nome das unidades deve ser sempre escrito em letra minúscula. 
Exemplos: 
- Correto: quilograma, Newton, metro cúbico. 
- Exceção: quando o nome estiver no início da frase e em “grau Celsius”. 
 
Somente o nome da unidade aceita o plural 
É importante saber que somente o nome da unidade de medida aceita o plural. As regras para a 
formação do plural (no Brasil) para o nome das unidades de medida seguem a Resolução Conmetro 
12/88, conforme ilustrado abaixo: 
Para a pronúncia correta do nome das unidades, deve-se utilizar o acento tônico sobre a unidade e 
não sobre o prefixo. 
- Exemplos: micrometro, hectolitro, milissegundo, centigrama, nanômetro. 
- Exceções: quilômetro, hectômetro, decâmetro, decímetro, centímetro e milímetro. 
Ao escrever uma unidade composta, não se deve misturar o nome com o símbolo da unidade. 
 
 Certo Errado 
quilômetro por hora km/h quilômetro/h; km/hora 
metro por segundo m/s metro/s; m/segundo 
 
Símbolo de Unidade - As unidades do SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por 
meio de símbolos. 
 
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Símbolo não é abreviatura - Símbolo não é abreviatura. É um sinal convencional e invariável utilizado 
para facilitar e universalizar a escrita e a leitura de significados - no caso, as unidades SI; logo, jamais 
deverá ser seguido de "ponto". 
 
Símbolo não admite plural 
Símbolo não admite plural. Como sinal convencional e invariável que é, utilizado para facilitar e 
universalizar a escrita e a leitura de significados, nunca será seguido de “s”. 
 
 Certo Errado 
cinco metros 5 m 5 ms ou mts 
dois quilogramas 2 kg 2 kgs 
oito horas 8 h 8 hs 
 
Representação 
O resultado de uma medição deve ser representado com o valor numérico da medida, seguido de um 
espaço de até um caractere e, em seguida, o símbolo da unidade em questão. Exemplo: 
 
 
Para a unidade de temperatura grau Celsius, haverá um espaço de até um caractere entre o valor e a 
unidade, porém não se porá espaço entre o símbolo do grau e a letra C para formar a unidade “grau 
Celsius”. Exemplo: 
 
 
Os símbolos das unidades de tempo hora (h), minuto (min) e segundo (s) são escritas com um espaço 
entre o valor medido e o símbolo. Também há um espaço entre o símbolo da unidade de tempo e o valor 
numérico seguinte. Exemplo: 
 
 
 
Exceções 
 
Para os símbolo da unidade de ângulo plano grau (°), minuto(') e segundo("), não deve haver espaço 
entre o valor medido e as unidades, porém, deve haver um espaço entre o símbolo da unidade e o próximo 
valor numérico. 
 
 
 
Conversão de unidades 
Agora para realizar transformações de um número de uma unidade em um número de outra unidade 
do mesmo sistema decimal, vamos observar abaixo. 
 
Unidades de Comprimento 
A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa unidade 
deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena, por outro lado se 
queremos medir extensões muito “pequenas”, a unidade metro é muito “grande”. 
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de comprimento. 
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8 
 
Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor correspondente em 
metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a unidade da comprimento 
imediatamente inferior (à direita). Em consequência, cada unidade de comprimento corresponde a 1 
décimo da unidade imediatamente superior (à esquerda). 
 
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 
 
Regras Práticas: 
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 
10. Ex.: 1 m = 10 dm 
 
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10. 
Ex.: 1 m = 0,1 dam 
 
- Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras 
anteriores. 
Ex.: 1 m = 100 cm 
1 m = 0,001 km 
 
Unidades de Área 
 
Quilômetro 
quadrado 
Hectômetro 
quadrado 
Decâmetro 
quadrado 
Metro 
quadrado 
Decímetro 
quadrado 
Centímetro 
quadrado 
Milímetro 
quadrado 
km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
1 × 106 m² 1 × 104 m² 1 × 102 m² 1 m² 1 × 10-2 m² 1 × 10-4 m² 1 × 10-6 m² 
 
Regras Práticas: 
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 
100. Ex.: 1 m² = 100 dm² 
 
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 100. 
Ex.: 1 m² = 0,01 dam² 
 
- Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras 
anteriores. 
 
Unidades de Volume 
Quilômetro 
cúbico 
Hectômetro 
cúbico 
Decâmetro 
cúbico 
Metro 
cúbico 
Decímetro 
cúbico 
Centímetro 
cúbico 
Milímetro 
cúbico 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
1 × 109 m³ 1 × 106 m³ 1 × 103 m³ 1 m³ 1 × 10-3 m³ 1 × 10-6 m³ 1 × 10-9 m³ 
 
Regras Práticas: 
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 
1000. Ex.: 1 m³ = 1000 dm³ 
 
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 
1000. Ex.: 1 m³ = 0,001 dam³ 
 
- Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras 
anteriores. 
Litro 
O litro(L) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm³. 
 
1 litro = 0,001 m³ => 1 m³ = 1000 litros 
 
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9 
 
1 litro = 1 dm³ 
 
1 litro = 1.000 cm³ 
 
1 litro = 1.000.000 mm³ 
 
Ordem de grandeza 
A ordem de grandeza de um número é a potência de dez mais próxima deste número. Ordem de 
grandeza é uma forma de avaliação rápida, do intervalo de valores em que o resultado deverá ser 
esperado. Para se determinar com facilidade a ordem de grandeza, deve-se escrever o número em 
notação científica (isto é, na forma de produto N.10n) e verificar se N é maior ou menor que (10)1/2. 
a) se N > 3,16 , a ordem de grandeza do número é 10n+1. 
b) se N < 3,16, a ordem de grandeza do número é 10n. 
onde (10)1/2 = 3,16 
Exemplo 1 - Se formos medir a massa de um homem, é razoável esperarmos que a massa se encontre 
mais próximo de 100 (102) kg do que de 10 (101) kg ou 1000 (103) kg. 
Exemplo 2 - Qual a ordem de grandeza do número de segundos existentes em um século? 
Solução: 1 hora = 60 x 60 = 3600 s 
1 dia = 24 x 3600 = 86.400 = 8,64 x 104 s 
1 ano = 365 x 8,64 x 104 = 3,1436 x 107 s 
1 século = 100 x 3,1536 x 107 = 109 s 
 
Algarismos significativos 
Supondo que você realizou medidas com uma régua milimetrada determinando um espaço S, você 
colocou duas casas decimais. É correto o que você fez? Sim, porque você considerou os algarismos 
significativos. O que são os algarismos significativos? Quando você mediu o valor de S = 5,81 cm com a 
régua milimetrada você teve certeza sobre os algarismos 5 e 8, que são os algarismos corretos (divisões 
inteiras da régua), sendo o algarismo 1 avaliado denominado duvidoso. Consideramos algarismos 
significativos de uma medida os algarismos corretos mais o primeiro duvidoso. 
Sempre que apresentamos o resultado de uma medida, este será representado pelos algarismos 
significativos. Veja que as duas medidas 5,81cm e 5,83m não são fundamentalmente diferentes, porque 
diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Observação: Para as medidas de espaço obtidas a partir da trajetória do PUCK serão considerados 
apenas os algarismos corretos:não há necessidade de considerar o algarismo duvidoso já que não 
estamos calculando os desvios. Os zeros à esquerda não são considerados algarismos significativos com 
no exemplo: 0,000123 contém apenas três algarismos significativos. 
 
Operações com Algarismos Significativos 
Há regras para operar com algarismos significativos. Se estas regras não forem obedecidas você pode 
obter resultados que podem conter algarismos que não são significativos. 
 
Adição e Subtração 
Vamos supor que você queira fazer a seguinte adição: 250,657 + 0,0648 + 53,6 ? 
Para tal veja qual parcela apresenta o menor número de algarismos significativos. No caso 53,6 que 
apresenta apenas uma casa decimal. Esta parcela será mantida e as demais serão aproximadas para 
uma casa decimal. Você tem que observar as regras de arredondamento que resumidamente são: Ao 
abandonarmos algarismos em um número, o último algarismo mantido será acrescido de uma unidade 
se o primeiro algarismo abandonado for superior a 5; quando o primeiro algarismo abandonado for inferior 
a 5, o último algarismo permanece invariável, e quando o primeiro algarismo abandonado for exatamente 
igual a 5, é indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido. 
No nosso exemplo teremos as seguinte aproximações: 
250,657 ≅ 250,6 
0,0648 ≅ 0,1 
Adicionando os números aproximados, teremos: 
250,6 + 0,1 + 53,6 = 304,3 cm 
 
Na subtração, você faz o mesmo procedimento. 
 
Multiplicação e Divisão 
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10 
 
Vamos multiplicar 6,78 por 3,5 normalmente: 
6,78 x 3,5 = 23,73 
Aparece no produto algarismos que não são significativos. A seguinte regra é adotada: 
Verificar qual o fator que apresenta o menor número de algarismos significativos e apresentar no 
resultado apenas a quantidade de algarismo igual a deste fator, observando as regras de arredon-
damento. 
6,78 x 3,5 = 23,7 
 
Para a divisão o procedimento é análogo. 
 
Observação: As regras para operar com algarismos significativos não são rígidas. Poderia ser mantido 
perfeitamente um algarismo a mais no produto. Os dois resultados são aceitáveis: 6,78 x 3,5 = 23,73 ou 
6,78 x 3,5 = 23,7. 
 
Questões 
 
01. (ETAM – Técnico de projetos navais – BIO-RIO/2015) Sultan Kosen, um turco de 31 anos que 
mede 2,51 metros, está no livro dos recordes como o homem mais alto do mundo. A ordem de 
grandeza, em cm, da altura de Sultan é: 
(A) 100 
(B) 101 
(C) 10² 
(D) 10³ 
 
02. (UEG – Assistente de Gestão Administrativa – Necropsia – FUNIVERSA/2015) Todas as 
grandezas físicas podem ser expressas por meio de um pequeno número de unidades fundamentais. 
A escolha das unidades-padrão dessas grandezas fundamentais determina o sistema de unidades. 
No caso, o sistema mundialmente utilizado na comunidade científica é o chamado Sistema 
Internacional (SI). Nele a unidade fundamental para o comprimento é o metro (m), para o tempo é o 
segundo (s) e para a massa é o quilograma (kg). Tipler e Mosca. 5.ª ed. v. 1 (com adaptações). 
Acerca do Sistema Internacional (SI), assinale a alternativa correta. 
(A) Os múltiplos e submúltiplos das unidades do SI podem ser obtidos por meio do uso de prefixos 
das potências de 10. Desse modo, o prefixo “mega” representa 109. 
(B) O sistema decimal com base no metro é chamado de sistema decimétrico. 
(C) 1.000.000 de watts corresponde a 1 megawatt (MW) 
(D) A unidade da grandeza física força, no SI, é expressa por kg.m/s. 
(E) No SI, a unidade fundamental para temperatura é grau Celsius. 
 
03. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Ao se fazer uma medida, do ponto de vista 
científico, são necessárias regras de tal maneira que, em qualquer lugar do planeta, essa mesma 
medida possa ser feita por outras pessoas, dentro dos mesmos critérios. Dentro desses critérios, 
uma pessoa deve escrever o resultado da medida com todas as casas métricas que ela consegue 
ler no aparelho, mais a primeira casa que ela consegue ainda avaliar. Por exemplo, ao usar uma 
régua escolar, que é milimetrada, para fazer uma medida, uma pessoa poderia obter, do ponto de 
vista de algarismos significativos (critérios científicos), a medida: 
(A) 9mm 
(B) 9,50mm 
(C) 12,6 cm. 
(D) 12,60cm 
 
04. (SEE/AC – Professor de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias – FUNCAB) 
Das grandezas apresentadas abaixo, aquela que se encontra no Sistema Internacional de Unidades 
(SI) é: 
(A) Tempo, hora. 
(B) Força, newton. 
(C) Comprimento, milha. 
(D) Temperatura, fahrenheit. 
(E) Área, polegada quadrada. 
 
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11 
 
05. (SEE/AC – Professor de Matemática e Física – FUNCAB) Qual dos itens abaixo está 
representando corretamente uma resistência elétrica no SI? 
(A) 6W 
(B) 6 
(C) 6Hz 
(D) 6N 
(E) 6T 
 
06. (PETROBRAS – Técnico de Operação Júnior – CESGRANRIO) Existem sete unidades básicas 
no sistema internacional de unidades (SI) e que geram as unidades derivadas de medida. Das 
alternativas indicadas, a única que não é uma unidade do SI é 
(A) metro 
(B) ampère 
(C) mol 
(D) polegada 
(E) grama 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
2,51 m=251 cm 
Portanto, a ordem de grandeza é de 10². 
 
02.Resposta: C. 
 
03. Resposta: D. 
Como tem que ser algarismos para a régua e um a mais que consegue identificar, ficamos com 
12,60cm. 
 
04. Resposta: B. 
Tempo é em segundos 
Comprimento: metro 
Temperatura: ºC 
Área: m² 
 
05. Resposta: B. 
A resistência elétrica é dada em ohm() 
 
06. Resposta: D. 
Polegada é uma unidade de medida de comprimento, mas não do SI que é o metro. 
 
 
 
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12 
 
 
 
CINEMÁTICA-MOVIMENTO 
 
MOVIMENTO:DESLOCAMENTO, VELOCIDADE, ACELERAÇÃO 
A cinemática estuda os movimentos dos corpos, sendo principalmente os movimentos lineares e 
circulares os objetos do nosso estudo que costumam ser divididos em Movimento Retilíneo Uniforme 
(M.R.U) e Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) 
 
Para qualquer um dos problemas de cinemática, devemos estar a par das seguintes variáveis: 
- Deslocamento (ΔS) 
- Velocidade ( V ) 
- Tempo (Δt) 
- Aceleração ( a ) 
 
VELOCIDADE 
 
A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado 
tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca. 
A análise da velocidade se divide em dois principais tópicos: Velocidade Média e Velocidade 
Instantânea. É considerada uma grandeza vetorial, ou seja, tem um módulo (valor numérico), uma direção 
(Ex.: vertical, horizontal,) e um sentido (Ex.: para frente, para cima, ...). Porém, para problemas 
elementares, onde há deslocamento apenas em uma direção, o chamado movimento unidimensional, 
convém tratá-la como um grandeza escalar (com apenar valor numérico). 
As unidades de velocidade comumente adotadas são: 
 m/s (metro por segundo); 
 km/h (quilômetro por hora); 
 
No Sistema Internacional (SI), a unidade de velocidade é metro por segundo (m/s). É também muito 
comum o emprego da unidade quilômetro por hora (km/h). Pode-se demonstrar que 1m/s é equivalente 
a 3,6 km/h. Assim temos: 
 
 
 
3.2.1.2 Mecânica: Conceito de partícula. Cinemática escalar e vetorial. 
Queda livre e movimento de projéteis. Movimento circular. Conceitos de 
massa, força e peso. Referenciais inerciais e não inerciais. Sistemas de 
Forças. Leis de Newton e aplicações. Trabalho. Energia cinética. Energia 
potencial. Potência. Momento Linear (Quantidade de Movimento). 
Impulso. Conservação de momento linear. Colisões elásticas e inelásticas. 
Lei de Conservação da Energia. Gravitação. Lei da Gravitação Universal. 
Leis de Kepler. Movimento de planetas e satélites em órbitas circulares. 
Movimento oscilatório. Movimento harmônico simples. Centro de massa. 
Estática dos sólidos. Momento de uma força. Momento resultante e 
condições de equilíbrio de um corpo rígido. Massa específica e Densidadelinear, superficial e volumétrica. Peso específico. Conceito de pressão. 
3.2.1.3 Hidrologia: Vasos Comunicantes. Princípio de Pascal. Prensa 
hidráulica. Princípio de Arquimedes. Flutuação de corpos. Linhas de 
corrente. Vazão. Equação da continuidade. 
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13 
 
EXEMPLOS: 
 Um carro viaja de uma cidade A a uma cidade B, distantes 200km. Seu percurso demora 4 horas, pois 
decorrida uma hora de viagem, o pneu dianteiro esquerdo furou e precisou ser trocado, levando 1 hora e 
20 minutos do tempo total gasto. Qual foi a velocidade média que o carro desenvolveu durante a viagem? 
S=200km 
t=4h 
v=? 
 
𝑉𝑚 = 
∆𝑆
∆𝑡
= 
200 𝐾𝑚
4ℎ
= 50 𝐾𝑚/ℎ 
 
Mesmo o carro tendo ficado parado algum tempo durante a viagem, para o cálculo da velocidade média 
não levamos isso em consideração. 
 
2. No exercício anterior, qual foi a velocidade nos intervalos antes e depois de o pneu furar? Sabendo 
que o incidente ocorreu quando faltavam 115 km para chegar à cidade B. 
Antes da parada: 
S= 200-115=85km 
t=1hora 
v=? 
𝑉𝑚 = 
∆𝑆
∆𝑡
= 
85 𝐾𝑚
1ℎ
= 85 𝐾𝑚/ℎ 
 
Depois da parada: 
S= 115km 
t= 4h-1h-1h20min= 1h40min=1,66h (utilizando-se regra de três simples) 
v=? 
 
Mesmo o carro tendo ficado parado algum tempo durante a viagem, para o cálculo da velocidade média 
não levamos isso em consideração. 
 
2. No exercício anterior, qual foi a velocidade nos intervalos antes e depois de o pneu furar? Sabendo 
que o incidente ocorreu quando faltavam 115 km para chegar à cidade B. 
Antes da parada: 
S= 200-115=85km 
t=1hora 
v=? 
 
Depois da parada: 
S= 115km 
t= 4h-1h-1h20min= 1h40min=1,66h (utilizando-se regra de três simples) 
v=? 
𝑉𝑚 = 
∆𝑆
∆𝑡
= 
115 𝐾𝑚
1,66ℎ
= 69 𝐾𝑚/ℎ 
 
 
MOVIMENTO UNIFORME 
 
Quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em 
um movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade 
constante em trajetória reta, tem-se um movimento retilíneo uniforme. 
Uma observação importante é que, ao se deslocar com uma velocidade constante, a velocidade 
instantânea deste corpo será igual à velocidade média, pois não haverá variação na velocidade em 
nenhum momento do percurso. 
A equação horária do espaço pode ser demonstrada a partir da fórmula de velocidade média. 
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𝑉 = 𝑉𝑚 = 
∆𝑆
∆𝑡
 
Isolando o S, teremos: 
S=.t 
 
 Mas sabemos que: 
S=Sfinal-Sinicial 
 
Então 
Sfinal = Sinicial + v.t 
 
Exemplos: 
1) O gráfico a seguir representa a função horária do espaço de um móvel em trajetória retilínea e em 
movimento uniforme. 
 
Com base nele, determine a velocidade e a função horária do espaço deste móvel. 
v = Δs/Δt 
v = (250 – 50)/(10 - 0) 
v = 200/10 
v = 20m/s – velocidade 
x = xo+ v.t 
x = 50 + 20.t 
 
2) Um móvel em M.R.U gasta 10h para percorrer 1100 km com velocidade constante. Qual a distância 
percorrida após 3 horas da partida? 
V = S/t 
V = 1100/10 
V = 110km/h 
110 = S/3 
S = 330 km. 
 
 Para que você compreenda melhor o assunto, segue abaixo um exercícios que envolve fatores 
importantes a serem determinados no movimento uniforme. 
Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI). Determine: 
(a) a posição inicial; 
(b) a velocidade; 
(c) a posição no instante 4s; 
(d) o espaço percorrido após 8s; 
(e) o instante em que o carro passa pela posição 80m; 
(f) o instante em que o carro passa pela posição 20m. 
 
 RESOLUÇÃO: 
Comparando com a função padrão: Sfinal+ Sinicial + v.t 
 
(a) Posição inicial= 20m 
(b) Velocidade= 5m/s 
 
(c) S= 20+5t 
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S= 20+5.4 
S= 40m 
 
(d) S= 20+5.8 
S= 60m 
S= S-S0 
S=60-20=40m 
 
 (e) 80= 20+5t 
80-20=5t 
60=5t 
12s =t 
 
(f) 20= 20+5t 
20-20= 5t 
t=0 
 É importante não confundir o “s” que simboliza o deslocamento do s que significa segundo. 
 
Por convenção, definimos que, quando um corpo se desloca em um sentido que coincide com a 
orientação da trajetória, ou seja, para frente, então ele terá uma v > 0 e um ∆𝑠 > 0 e este movimento será 
chamado movimento progressivo. Analogamente, quando o sentido do movimento for contrário ao sentido 
de orientação da trajetória, ou seja, para trás, então ele terá uma v < 0 e um ∆𝑠 < 0, e ao movimento será 
dado o nome de movimento retrógrado. 
 
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
Também conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde há variação de 
velocidade, ou seja, o móvel sofre aceleração à medida que o tempo passa. 
Mas se essa variação de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, então dizemos 
que este é um Movimento Uniformemente Variado (também chamado de Movimento Uniformemente 
Acelerado), ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero. 
O conceito físico de aceleração, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na física, 
acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tanto tornando-a maior, como também menor. Já no 
cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade. 
O conceito formal de aceleração é: a taxa de variação de velocidade numa unidade de tempo, então 
como unidade teremos: 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑚 𝑠⁄
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠
= 
𝑚
𝑠2
 
 
As fórmulas utilizadas para o movimento uniformemente variado são: 
 
𝑆 = 𝑆0 + 𝑉𝑜𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2- conhecida como (sorvetão) 
𝑉2 = 𝑉0
2 + 2𝑎∆𝑆 - Torricelli 
𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡 (Vovô ateu) 
 
Aceleração 
Assim como para a velocidade, podemos definir uma aceleração média se considerarmos a variação 
de velocidade em um intervalo de tempo , e esta média será dada pela razão: 
𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
 
 
Velocidade em função do tempo 
No entanto, quando este intervalo de tempo for infinitamente pequeno, ou seja, , tem-se a 
aceleração instantânea do móvel. 
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Isolando-se o 𝑣: 
𝑣 = 𝑎.𝑡 
Mas sabemos que: 
𝑣 = 𝑣 − 𝑣0 
Então: 
𝑣 − 𝑣0 = 𝑎.𝑡 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎.𝑡 
Entretanto, se considerarmos , teremos a função horária da velocidade do Movimento 
Uniformemente Variado, que descreve a velocidade em função do tempo [v=f(t)]: 
 
 
EXEMPLOS: 
1) Um móvel, partindo do repouso com uma aceleração constante igual 1m/s² se desloca durante 5 
minutos. Ao final deste tempo, qual é a velocidade por ele adquirida? 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎.𝑡 
V= 0+1(5.60) 
V=300m/s 
 
2). Um automóvel encontra-se parado diante de um semáforo. Logo quando o sinal abre, ele arranca 
com aceleração 5m/s², enquanto isso, um caminhão passa por ele com velocidade constante igual a 
10m/s. 
(a) Depois de quanto tempo o carro alcança o caminhão? 
(b) Qual a distância percorrida até o encontro. 
 Escreve-se as equações do MUV para o carro e do mu para o caminhão: 
 
Carro: 
S=S0+v0.t+
𝟏
𝟐
 𝒂 𝒕𝟐 
𝑺 = 𝟎 + 𝟎 +
𝟏
𝟐
. 𝟓𝒕𝟐 
S= 
𝟓
𝟐
𝒕𝟐 
 
Caminhão: 
S=S0+vt 
S=0+10t 
S=10t 
 
Quando os dois se encontram, suas posições são iguais, então: 
S=
5
2
𝑡2=10t 
 
t= 0s e t= 
10.2
5
=4 s 
 
𝑺 = 𝑺𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +
𝟏 𝒂 𝒕𝟐
𝟐
 
𝑺 = 𝟎 + 𝟎 +
𝟏 𝒂 𝟓𝟐
𝟐
 
S=
𝟓𝒕𝟐
𝟐
 
 
Caminhão: 
𝑺 = 𝑺𝟎 + 𝒗𝒕 
 
𝑺 = 𝟎 + 𝟏𝟎𝒕 
S= 10 t 
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Quando os dois se encontram, suas posições são iguais, então: 
S=
𝟓𝒕𝟐
𝟐
= 10 t 
t=0 s e t= 
𝟏𝟎.𝟐
𝟓
 = 4 s 
 
(b) Sabendo o momento do encontro, só é necessário aplicá-lo em uma das duas funções (do 
caminhão ou do carro). 
 S= 10 t, sendo t = 4s 
 S= 40 m 
 Logo o carro encontra o caminhão 4 segundos após a sinaleira abrir, a uma distância de 40 m. 
 
 3) Uma motocicleta se desloca com velocidade constante igual a 30m/s. Quando o motociclista vê 
uma pessoa atravessar a rua freia a moto até parar. Sabendo que a aceleraçãomáxima para frear a moto 
tem valor absoluto igual a 8m/s², e que a pessoa se encontra 50m distante da motocicleta. O motociclista 
conseguirá frear totalmente a motocicleta antes de alcançar a pessoa? 
Como a aceleração utilizada para frear a moto se opõe ao movimento, tem valor negativo, então: 
𝑣2= 𝑣0
2+ 2aS 
0= (30)2+ 2aS 
-900=-16 S 
56,25=(S-S0) 
56,25 m=S 
A motocicleta não irá parar antes de atingir a pessoa. 
 
MOVIMENTO VERTICAL 
 
Se largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegará antes 
ao chão. 
Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rápido ele cairá. Porém, se colocarmos 
a pedra e a pena em um tubo sem ar (vácuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo 
para cair. 
Assim, concluímos que, se desprezarmos a resistência do ar, todos os corpos, independente de massa 
ou formato, cairão com uma aceleração constante: a aceleração da Gravidade. 
Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra, fica então, sujeito à gravidade, que é orientada 
sempre na vertical, em direção ao centro do planeta. 
O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenômenos 
de curta duração, é tomado como constante e seu valor médio no nível do mar é: 
g=9,80665m/s² 
No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores: 
g=10m/s² 
Observação: As definições sobre o movimento vertical são feitas desconsiderando a resistência do 
ar. 
Funções Horárias do Movimento Vertical 
Como os movimentos verticais são uniformemente variados, as funções horárias que os descrevem 
são iguais às do MUV. Vejamos no esquema abaixo: 
 
S-S0 +Vot +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕
𝟐
 
 
v=v0+at 
 
V2=Vo2+2aS 
 
Vale ressaltar que “a” = “g”, uma vez que se trata da aceleração da gravidade. O sinal de g, como foi 
dito acima, independe de o corpo subir ou descer, estabelecendo relação com a orientação da trajetória. 
Orientação para cima: g é negativo; orientação para baixo: g é positivo 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
18 
 
 Exemplos: 
1) Em uma brincadeira chamada "Stop" o jogador deve lançar a bola verticalmente para cima e gritar 
o nome de alguma pessoa que esteja na brincadeira. Quando a bola retornar ao chão, o jogador chamado 
deve segurar a bola e gritar: "Stop", e todos os outros devem parar, assim a pessoa chamada deve "caçar" 
os outros jogadores. Quando uma das crianças lança a bola para cima, esta chega a uma altura de 15 
metros. E retorna ao chão em 6 segundos. Qual a velocidade inicial do lançamento? 
Para realizar este cálculo deve-se dividir o movimento em subida e descida, mas sabemos que o tempo 
gasto para a bola retornar é o dobro do tempo que ele gasta para subir ou descer. Então: 
Subida (t=3s) 
h= ho+vot -
1
2
gt2 
15=0+3v0t-
1
2
10.32 
15=3vo-45 
15+45 = 3 vo 
60
3
= v0 
 
V0=20m/s 
 
2) Um projétil de brinquedo é arremessado verticalmente para cima, da beira da sacada de um prédio, 
com uma velocidade inicial de 10m/s. O projétil sobe livremente e, ao cair, atinge a calçada do prédio com 
velocidade igual a 30m/s. Determine quanto tempo o projétil permaneceu no ar. Adote g = 10m/s² e 
despreze as forças dissipativas. 
Da sacada à altura máxima que o projétil alcançará. 
V = Vo + g.t 
0 = 10 – 10.t 
10.t = 10 
t = 10 
 10 
 
t = 1s 
 
Da altura máxima que o projétil alcançou ao solo. 
V = Vo + g.t 
30 = 0 + 10.t 
10.t = 30 
 
t = 30 
 10 
t = 3s 
O tempo em que o projétil permanece no ar: 
t = 3 + 1 = 4s 
 
MOVIMENTO OBLÍQUO 
 
Um movimento oblíquo é um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento 
de uma pedra sendo arremessada em um certo ângulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada 
formando um ângulo com a horizontal. 
Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistência do ar é desprezada, o 
corpo sofre apenas a aceleração da gravidade. 
 
Lançamento Oblíquo 
O lançamento oblíquo é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta 
particularidade do movimento balístico. Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade: “Se um 
corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se 
os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo”. 
Composição de Movimentos. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
19 
 
O lançamento oblíquo estuda o movimento de corpos, lançados com velocidade inicial V0 da superfície 
da Terra. Na figura a seguir vemos um exemplo típico de lançamento obliquo realizado por um jogador 
de golfe. 
 
 
A trajetória é parabólica, como você pode notar na figura acima. Como a análise deste movimento não 
é fácil, é conveniente aplicarmos o princípio da simultaneidade de Galileu. Veremos que ao projetamos o 
corpo simultaneamente no eixo x e y teremos dois movimentos: 
- Em relação a vertical, a projeção da bola executa um movimento de aceleração constante e de 
módulo igual a g. Trata-se de um M.U.V. (lançamento vertical). 
- Em relação a horizontal, a projeção da bola executa um M. U. 
 
Lançamento Horizontal 
O lançamento balístico é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta 
particularidade do movimento balístico. Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade: "Se um 
corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se 
os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo". 
 
Composição de Movimentos 
O princípio da simultaneidade poderá ser verificado no Lançamento Horizontal. 
 
 
 
Um observador no solo, (o que corresponde a nossa posição diante da tela) ao notar a queda do corpo 
do helicóptero, verá a trajetória indicada na figura. A trajetória traçada pelo corpo, corresponde a um arco 
de parábola, que poderá ser decomposta em dois movimentos: 
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20 
 
Exemplos: 
1. Durante uma partida de futebol, um goleiro chuta uma bola com velocidade inicial igual 25m/s, 
formando um ângulo de 45° com a horizontal. Qual distância a bola alcançará? 
 
𝑋 = 
(25)2
10
𝑠𝑒𝑛2 (45º) 
 
𝑋 = 
625
10
𝑠𝑒𝑛 (90º) 
X= 62,5 m 
 
 2. Um tiro de canhão é lançado formando um ângulo de 30° com a horizontal, conforme a figura abaixo: 
 
𝑣𝑦
2=𝑣0𝑦
2-2gy, mas quando a altura for máxima a velocidade final será zero: 
0= (34,64 sem 30º)2-2.10.(h) 
0= 300-20h 
20h=300 
h=
300
20
 
h= 15 m 
Então a altura que o tiro do canhão alcança é igual a 50m+30m=80m 
 
3. Suponha que você precise jogar um livro, do segundo andar de um prédio, para um amigo que esteja 
a 10m de distância de você. Qual deve ser a velocidade inicial com que você deverá lançá-lo? Sabendo 
que você vai realizar o lançamento verticalmente e que a janela de um segundo andar está a 4 metros de 
altura do chão. 
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21 
 
 
 
 
MOVIMENTO CIRCULAR 
 
Movimentos circulares (uniforme e variado). 
Na Mecânica clássica, movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca numa 
trajetória circular. Uma força centrípeta muda de direção o vetor velocidade, sendo continuamente 
aplicada para o centro do círculo. Esta força é responsável pela chamada aceleração centrípeta, orientada 
para o centro da circunferência-trajetória. Pode haver ainda uma aceleração tangencial, que obviamente 
deve ser compensada por um incremento na intensidade da aceleração centrípeta a fim de que não deixe 
de ser circular a trajetória. O movimento circular classifica-se, de acordo com a ausência ou a presença 
de aceleração tangencial, em movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular uniformemente 
variado (MCUV). 
 
Propriedades e Equações 
 
Deslocamento angular (Δφ) 
Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença 
entrea posição angular final e a posição angular inicial: 
=-0 
 
Sendo: 
=
𝑆
𝑅
 
Por convenção: 
No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo. 
No sentido horário o deslocamento angular é negativo. 
 
 Velocidade Angular (ω) 
Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o 
deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento: 
m=

𝑡
 
Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s 
Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s. 
Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular média 
quando o intervalo de tempo tender a zero: 
=lim m 
 t0 
 
Aceleração Angular (α) 
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22 
 
Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular 
média como: 
αm=
∆𝜔
𝑡
 
 
Período e Frequência 
Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno cíclico se repita. Sua unidade é a 
unidade de tempo (segundo, minuto, hora...) 
Frequência(f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade 
mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a 
frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade angular. 
Para converter rotações por segundo para rad/s: 
 
1 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
𝑠
 Sabendo que 1rotação = 2πrad, 
 
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
 
Por exemplo, um objeto que tenha velocidade angular de 3,14 radianos por segundo tem período 
aproximadamente igual a 2 segundos, e frequência igual a 0,5 hertz. 
O movimento circular ocorre quando em diversas situações que podem ser tomadas como exemplo: 
- Uma pedra fixada a um barbante e colocada a girar por uma pessoa descreverá um movimento 
circular uniforme. 
- Discos de vinil rodam nas vitrolas a uma frequência de 33 ou 45 rotações por minuto, em MCU. 
- Engrenagens de um relógio de ponteiros devem rodar em MCU com grande precisão, a fim de que 
não se atrase ou adiante o horário mostrado. 
- Uma ventoinha em movimento. 
- Satélites artificiais descrevem uma trajetória aproximadamente circular em volta do nosso planeta. 
- A translação aproximada, para cálculos muito pouco precisos, da Lua em torno do planeta Terra (a 
excentricidade orbital da Lua é de 0,0549). 
- O movimento de corpos quando da rotação da Terra, como por exemplo, um ponto no equador, 
movendo-se ao redor do eixo da Terra aproximadamente a cada 24 horas. 
Quando se pedala uma bicicleta, executa-se um movimento circular em uma roda dentada (coroa) 
através dos pedais. Esse movimento é transmitindo através de uma corrente para outra roda dentada de 
menor raio, a catraca, que está ligada à roda traseira da bicicleta. 
 
vA = vB 
ωB = ωR 
 
As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas 
quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo. 
Assim: 
MUV MCUV 
Grandezas 
lineares 
Grandezas 
angulares 
v=vo+at =0+at 
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23 
 
S-S0 +Vot +
1
2
𝑎𝑡
2
 
 
=0+0t+
1
2
𝑎𝑡
2
 
am= 
∆𝑉
∆𝑡
 
αm=
∆𝜔
∆𝑡
 
 
v2=vo2=2aS 
 
2=02+2a 
 
E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração 
centrípeta: 
 
 
Exemplos: 
1. Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular dos 
ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos? 
(a) O ponteiro das horas completa uma volta (2π) em 12 horas (12∙3600s) 
ωh=∆φt 
ωh=2π12∙3600=1,45∙10-4 rad/s 
 
(b) O ponteiro dos minutos completa um volta (2π) em uma hora (3600s) 
ωm=∆φt 
ωm=2π3600=1,74∙10-3 rad/s 
 
(c) O ponteiro dos segundos completa uma volta (2π) em um minuto (60s) 
ωs=∆φt 
ωs=2π60=0,105 rad/s 
 
 2. Se considerarmos um relógio, no exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos 
de 15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada um dos ponteiros? 
 
O primeiro passo para a resolução é transformar a velocidade linear pedida em velocidade angular 
(a)acp= (𝜔ℎ
2.R) 
acp=(0,0000727)2.(0,1) 
acp=5,28.10-10 m/s 
 
(b) acp= 𝜔ℎ
2.R 
acp=(0,0017)2.(0,15) 
acp= 4,569.10-7 m/s2 
 
(c ) acp= 𝜔ℎ
2.R 
acp= (0,104)2.(0,2) 
acp=2,19.10-3 m/s2 
 
 3. Uma roda de 1 metro de diâmetro, partindo do repouso começa a virar com aceleração angular 
igual a 2rad/s². Quanto tempo ele demora para atingir uma velocidade linear de 20m/s? 
O primeiro passo para a resolução é transformar a velocidade linear pedida em velocidade angular, 
considerando que o raio da roda é igual a metade do diâmetro. Então: 
v=R 
= 
𝑣
𝑅
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
24 
 
= 
20
0,5
= 40 rad/s 
 
A partir daí, apenas se aplica a função horária da velocidade angular: 
=0+αt 
 
20= 0+2t 
 
t=
20
2
 
 
t=10s 
 
4. Uma bola de bilhar, com raio igual a 2,5cm, após ser acertada pelo jogador, começa a girar com 
velocidade angular igual a 5rad/s, e sofre uma desaceleração igual a -1rad/s² até parar, qual o espaço 
percorrido pela bola? 
2=02+2α. 
0=(5)2+2(-1) 
2=25 
=
25
2
 
=12,5 rad 
 S=R 
S= 12,5.0,025 
S= 0,3125m 
 
 5.Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a 
2rad/s². 
(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos? 
(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo? 
(c) Qual será o vetor aceleração resultante? 
(a) Pela função horária da velocidade angular: 
 =0+α.t 
=0+2.10 
= 20 rad/s 
 
(b) Pela função horária do deslocamento angular: 
=0+0.t+
1
2
α t2 
=0+0+
1
2
.2.102 
=100 rad 
 
(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta: 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
25 
 
 
 
Questões 
 
01. (EAM – Aprendiz – Marinheiro – Marinha) Analise as afirmativas abaixo. 
Numa estrada retilínea e horizontal, o velocímetro de um veículo, que move-se em linha reta, indica 
um valor constante. Nesta situação: 
I- a força peso do veículo tem o mesmo sentido que o da velocidade. 
II- a soma vetorial das forças que atuam sobre o veículo é nula. 
III- a aceleração do veículo é nula. 
Assinale a opção correta. 
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
(C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
(D) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
(E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
02. (CBM/MG –Oficial do Corpo de Bombeiros Militar – IDECAN) Um veículo mantendo velocidade 
escalar constante de 72 km/h e em trajetória retilínea se aproxima de um semáforo que se encontra 
aberto. No instante em que o semáforo se fecha, o veículo passa a apresentar uma desaceleração 
constante até atingir o repouso, deslocando, nesse trecho de desaceleração, uma distância de 40 m. 
Considerando que o semáforo se mantém fechado por um minuto, então o intervalo de tempo em que 
esse veículo fica parado esperando o semáforo abrir é de 
(A) 48 segundos. 
(B) 50 segundos. 
(C) 52 segundos. 
(D) 56 segundos. 
 
03. (PC/SP – Perito Criminal – VUNESP) A polia dentada do motor de uma motocicleta em 
movimento, também chamada de pinhão, gira com frequência de 3 600 rpm. Ela tem um diâmetro de 4 
cm e nela está acoplada uma corrente que transmite esse giro para a coroa, solidária com a roda traseira. 
O diâmetro da coroa é de 24 cm e o diâmetro externo da roda, incluindo o pneu, é de 50 cm. A figura a 
seguir ilustra as partes citadas. 
 
 
 
Use π = 3, considere que a moto não derrapa e que a transmissão do movimento de rotação seja 
integralmente dirigida ao seu deslocamento linear. 
A velocidade da moto, em relação ao solo e em km/h, é de 
(A) 54. 
(B) 72. 
(C) 90. 
(D) 62. 
(E) 66. 
 
04. (SEDUC/PI – Professor – Física – NUCEPE) Um avião tipo caça, voa horizontalmente auma 
altitude de 720 m, com velocidade constante, cujo módulo é 360 km/h, numa região em que a aceleração 
da gravidade tem módulo g=10m/s2. Num determinado instante o piloto recebe uma ordem de soltar uma 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
26 
 
bomba para atingir um alvo na superfície do solo e a executa imediatamente. Desprezando os efeitos da 
resistência do ar e supondo a superfície do solo plana, a distância horizontal, em metros, entre o avião e 
o alvo, no instante em que a bomba foi abandonada, é igual a 
(A) 1000m. 
(B) 1100m. 
(C) 1200m. 
(D) 2400m. 
(E) 4320m. 
 
05. (EEAR – Sargento – Controlador de Tráfego Aéreo – AERONÁUTICA) Um ônibus de 8 m de 
comprimento, deslocando-se com uma velocidade constante de 36 km/h atravessa uma ponte de 12 m 
de comprimento. Qual o tempo gasto pelo ônibus, em segundos, para atravessar totalmente a ponte? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
 
06. (PETROBRAS- Técnico de Operação Júnior – CESGRANRIO) Ao retirar um equipamento de 
uma estante, um operador se desequilibra e o deixa cair de uma altura de 1,8 m do piso. 
Considerando-se que inicialmente a velocidade do equipamento na direção vertical seja nula e que g 
= 10 m/s2, a velocidade de impacto do equipamento com o piso, em m/s, é 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
 
07. (PC/SP – Técnico de Laboratório – VUNESP) Em um relatório da perícia, indicou-se que o corpo 
da vítima havia caído de um andaime localizado a 20 m de altura em relação ao solo. 
Considerando que a aceleração da gravidade tem valor igual a 10 m/s2 e desprezando-se a ação do 
ar contra o movimento, pode-se determinar que o choque fatal contra o chão ocorreu a uma velocidade, 
em m/s, de 
(A) 20. 
(B) 15. 
(C) 10. 
(D) 25. 
(E) 5. 
 
08. (PUC/RS) Para responder à questão, considere o gráfico abaixo, que representa a velocidade de 
um corpo em movimento retilíneo em função do tempo, e as afirmativas que seguem. 
 
I. A aceleração do móvel é de 1,0 m/s2. 
II. A distância percorrida nos 10 s é de 50 m. 
III. A velocidade varia uniformemente, e o móvel percorre 10 m a cada segundo. 
IV. A aceleração é constante, e a velocidade aumenta 10 m/s a cada segundo. 
São verdadeiras apenas as afirmativas 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e IV. 
(D) I, III e IV. 
(E) II, III e IV. 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
27 
 
09. (PUC/2015) O trem japonês de levitação magnética “Maglev" bateu seu próprio recorde mundial 
de velocidade em 21 de abril de 2015, ao alcançar a incrível velocidade de 603 km/h (seu recorde anterior 
era de 590 km/h). A velocidade recorde foi alcançada numa via de testes de 42 km de extensão, situada 
na Prefeitura de Yamanashi. A Central Japan Railway (empresa ferroviária operadora do “Maglev") tem 
intenção de colocá-lo em funcionamento em 2027 entre a estação de Shinagawa, ao sul de Tóquio, e a 
cidade de Nagoia, no centro do Japão, perfazendo um trajeto de 286 quilômetros. Considere uma situação 
hipotética em que o “Maglev" percorra a distância de Shinagawa a Nagoia com a velocidade recorde 
obtida em 21 de abril de 2015, mantida sempre constante. Então o tempo da viagem será de, 
aproximadamente 
 
 
 
(A) 0,47 min 
(B) 28 min 
(C) 2,1h 
(D) 21 min 
(E) 47 min 
Respostas 
01. Resposta: D. 
Se a velocidade é constante, temos um MRU, portanto a soma das forças tem que ser nula e a 
aceleração também, a força peso é sempre para baixo. 
 
02. Resposta: D. 
V=72 km/h=20 m/s 
V²=Vo²-2aS 
0=20²-2a40 
-400=-80a 
a=5 m/s² 
V=Vo-at 
0=20-5t 
t=4s 
1 minuto=60s 
Portanto, 60-4=56s 
 
03. Resposta: A. 
Fpinhão =3600rpm=60hz 
Dpinhão=4cm=0,04m 
Rpinhão=0,02m 
Dcoroa=24cm=0,24m 
Rcoroa=0,12m 
Droda=50cm=0,5m 
Rroda=0,25m 
𝑣𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝑣𝑝𝑖𝑛ℎã𝑜 
𝑅𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 ∙ 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝑅𝑝𝑖𝑛ℎã𝑜 ∙ 𝑓𝑝𝑖𝑛ℎã𝑜 
0,12 ∙ 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 0,02 ∙ 60 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
28 
 
𝑓𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 =
1,2
0,12
= 10ℎ𝑧 
𝑓𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝑓𝑟𝑜𝑑𝑎 
𝑣𝑟𝑜𝑑𝑎 = 2𝜋𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 ∙ 𝑓𝑟𝑜𝑑𝑎 
𝑣𝑟𝑜𝑑𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 0,25 ∙ 10 = 15 𝑚/𝑠 = 54𝑘𝑚/ℎ 
 
04. Resposta: C. 
Para a queda livre temos que v0=0 
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2 
S-S0=H 
𝐻 =
1
2
𝑔𝑡2 
720 =
1
2
10𝑡2 
𝑡2 =
1440
10
= 144 
T=12s 
Na horizontal: 
𝑣 =
∆𝑆
∆𝑡
 
360 km/h=100m/s 
100 =
∆𝑆
12
 
S=12x100=1200m 
 
05. Resposta: B. 
Para atravessar totalmente a ponte, é como se o tivesse passado 8+12=20m. 
V=36km/h=10m/s 
𝑣 =
∆𝑆
∆𝑡
 
10 =
20
∆𝑡
 
∆𝑡 =
20
10
= 2𝑠 
06. Resposta: C. 
V²=v0²+2gH 
V²=0+2.10.1,8 
V²=36 
V=6m/s 
07. Resposta: A. 
V²=v0²+2gS 
V²=2.10.20 
V²=400 
V=20m/s 
 
08. Resposta: A. 
I- 
𝑎 =
∆𝑉
∆𝑡
=
10 − 0
10 − 0
= 1 𝑚/𝑠² 
II-A distância percorrida, pode ser analisada pela área do triângulo: 
𝐴 = 𝑏 ∙
ℎ
2
= 10 ∙
10
2
= 50𝑚 
III-A velocidade varia uniformemente, mas a distância aumenta a cada segundo 
IV- aceleração é constante, mas a velocidade aumenta 1m/s a cada segundo. 
 
09. Resposta: B. 
603km----1h 
286km----x 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
29 
 
X=0,47h 
0,47x60=28,45 min 
 
VETORES 
 
Para representar as grandezas vetoriais, são utilizados os vetores: entes matemáticos abstratos 
caracterizados por um módulo, por uma direção e por um sentido. Representação de um vetor – 
Graficamente, um vetor é representado por um segmento orientado de reta: 
 
 
 
Elementos de um vetor: 
Direção – Dada pela reta suporte (r) do vetor. 
Módulo – Dado pelo comprimento do vetor. 
Sentido – Dado pela orientação do segmento. 
 
Em física, podem ser consideradas como grandezas ou quantidades somente as propriedades de um 
fenômeno, corpo (física) ou substância. É necessário que essas propriedades possam ser expressas 
quantitativamente: 
 
No caso das grandezas escalares: por meio de um número (sua magnitude) mais uma referência 
(sua unidade de medida); 
 
No caso das grandezas vetoriais: por meio de um número (sua magnitude), de uma referência (sua 
unidade de medida), de uma direção e de um sentido. 
 
A partir dessa definição podemos, por exemplo, dizer que o comprimento, a quantidade de matéria e 
a energia são grandezas físicas, enquanto as notas de uma prova, o preço de um objeto e a intensidade 
de um sentimento não são. 
Existem inúmeros tipos de grandezas físicas, cada qual associada a um diferente tipo de unidade de 
medida. Uma unidade de medida tem um tamanho unitário arbitrariamente definido, e é por meio de um 
processo de comparação quantitativa (medição) com esse padrão unitário que se determina a magnitude 
de uma grandeza física. Isto é, quantas vezes o tamanho unitário está contido na medida em que está 
sendo feita. Podem, também, existir diferentes unidades de medida para um mesmo tipo de grandeza 
física; usa-se corriqueiramente a polegada como medida de comprimento em favor do oficial metro. A 
união de determinadas unidades de medida dá origem a um sistema de medida. 
 
Conceituação de grandezas vetoriais e escalares 
Grandeza é um conceito fundamental na ciência. Mas o que é uma grandeza? O conceito científico 
para grandeza é tudo o que pode ser medido. Assim, o comprimento é uma grandeza? Sim, você pode 
medir o comprimento de uma mesa. A massa é uma grandeza? Sim, você pode medir a massa do seu 
corpo. Amor é uma grandeza? Não, você não pode medir sentimentos. Não existe um “amorômetro”. 
Vamos agora aprender a diferença entre uma grandeza escalar e uma grandeza vetorial. 
 
Grandeza escalar - é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos um número 
ou um número e uma unidade. A massa é uma grandeza escalar porque fica perfeitamente caracterizada 
quando conhecemos um número e uma unidade. A massa de uma pessoa é 57 kg. A temperatura é uma 
grandeza escalar porque fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos um número e uma 
unidade. A temperatura da sala de aula é 27ºC. O volume é uma grandeza escalar porque fica 
perfeitamente caracterizado quando conhecemos umnúmero e uma unidade. O volume de uma caixa de 
leite é um litro. O intervalo de tempo é uma grandeza escalar porque fica perfeitamente caracterizado 
quando conhecemos um número e uma unidade. A sessão de cinema durou 2 horas. O índice de refração 
absoluto de um material é uma grandeza escalar porque fica perfeitamente caracterizado apenas por um 
número. Quando afirmamos que o índice de refração absoluto do acrílico vale 2,0 esta grandeza fica 
perfeitamente caracterizada. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
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Grandeza Vetorial - é aquela que somente fica caracterizada quando conhecemos, pelo menos, uma 
direção, um sentido, um número e uma unidade. O deslocamento de uma pessoa entre dois pontos é 
uma grandeza vetorial. Para caracterizarmos perfeitamente o deslocamento entre a sua casa e a sua 
escola precisamos conhecer direção (Leste-Oeste), um sentido (indo para Oeste), um número e uma 
unidade (10 km). 
 
Como representar uma grandeza vetorial 
 
Sabemos, da Matemática, que um segmento de reta é um trecho limitado de uma reta. 
 
 
 
Desse modo, um segmento de reta não pode representar uma grandeza vetorial porque falta-lhe 
sentido. Não esqueça que um segmento de reta não tem sentido, isto é, o segmento AB é igual ao 
segmento BA. Se colocarmos um sentido em um segmento de reta, obteremos um vetor que é um 
segmento de reta orientado e pode ser utilizado para representar graficamente uma grandeza vetorial. 
 
Operações básicas com vetores 
 
Vetor Soma 
João e Maria estão juntos no centro de um campo de futebol. Maria anda 4,0m para leste e 3,0m para 
o norte, como mostra a figura abaixo. 
 
 
João deseja percorre a menor distância possível para reencontrar a sua amada. Como fazer? A figura 
abaixo mostra o caminho de João para reencontrar Maria. 
 
Nesta história, podemos considerar que os deslocamentos de Maria formam um conjunto de vetores e 
o deslocamento de João representa o vetor soma do conjunto de vetores, isto é, vetor soma de um 
conjunto de vetores é o vetor capaz de produzir o mesmo efeito que o conjunto dos vetores. 
 
Método Gráfico 
Desejamos somar os vetores da figura abaixo. 
 
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Devemos definir uma origem (ponto O). A seguir vamos transportar o vetor a→ de modo que sua 
origem coincida com o ponto O. 
 
 
 
Isso feito, vamos transportar o vetor b→ de modo que sua origem coincida com a extremidade do 
vetor a→. 
 
 
E assim, sucessivamente, até terminarem os vetores que devem ser somados. É como se você 
estivesse encaixando os vetores. 
 
 
 
O vetor soma s→ é obtido ligando-se a origem (ponto O) à extremidade do último vetor. 
 
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Vetor em Sistema de Eixos Coordenados 
Desejamos projetar o vetor a→ sobre o eixo x, mostrado na figura abaixo. 
 
 
Para isso devemos traçar pela extremidade do vetor a→ uma reta paralela ao eixo y. 
 
 
 
Essa reta vai encontrar o eixo x no ponto P. A projeção do vetor a→ sobre o eixo x (a→x) é obtida 
ligando-se a origem do sistema de eixos ao ponto P. 
 
 
 
Procedendo de modo análogo podemos obter a projeção do vetor a→ sobre o eixo y (a→y). A figura 
abaixo mostra as projeções do vetor a→ sobre o sistema de eixos coordenados. 
 
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�⃗�x = projeção do vetor �⃗� sobre o eixo x 
�⃗�y = projeção do vetor �⃗�sobre o eixo y 
�⃗�x e �⃗�y são as componentes do vetor �⃗� 
 
Subtração 
Para subtrairmos dois vetores, vamos utilizar o conceito de soma. 
Como já foi dito na soma de vetores, o segundo vetor é sempre ligado na extremidade do primeiro. 
Se temos dois vetores �⃗� − �⃗⃗�. 
E se fizermos �⃗� + (−�⃗⃗�)? 
Então, a subtração nada mais é que somarmos um vetor de mesma direção, mas sentido oposto. 
 
Para fazer a subtração dos dois vetores, devemos ter (−�⃗⃗�) 
 
 
Portanto, �⃗� − �⃗⃗�. 
 
 
 
 
Cinemática Vetorial 
Na Cinemática Escalar, estudamos a descrição de um movimento em trajetória conhecida, utilizando 
as grandezas escalares. Agora, veremos como obter e correlacionar às grandezas vetoriais descritivas 
de um movimento, mesmo que não sejam conhecidas previamente as trajetórias. 
Grandezas Escalares – Ficam perfeitamente definidas por seus valores numéricos acompanhados 
das respectivas unidades de medida. Exemplos: massa, temperatura, volume, densidade, comprimento, 
etc. 
Grandezas vetoriais – Exigem, além do valor numérico e da unidade de medida, uma direção e um 
sentido para que fiquem completamente determinadas. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, 
força, etc. 
 
Resultante de vetores (vetor-soma) – Considere um automóvel deslocando-se de A para B e, em 
seguida, para C. O efeito desses dois deslocamentos combinados é levar o carro de A para C. Dizemos, 
então, que o vetor é a soma ou resultante dos vetores e . 
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Regra do Polígono – Para determinar a resultante dos vetores e , traçamos, como na figura 
acima, os vetores de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro. O vetor que une a 
origem de com a extremidade de é o resultante . 
 
Regra do Paralelogramo – Os vetores são dispostos de modo que suas origens coincidam. Traçando-
se um paralelogramo, que tenha e como lados, a resultante será dada pela diagonal que parte da 
origem comum dos dois vetores. 
 
 
 
Componentes ortogonais de um vetor – A componente de um vetor, segundo uma dada direção, é 
a projeção ortogonal (perpendicular) do vetor naquela direção. Decompondo-se um vetor , encontramos 
suas componentes retangulares, x e y, que conjuntamente podem substituí-lo, ou seja, = x + y. 
 
Questões 
 
01. (LIQUIGÁS – Profissional de Vendas – Júnior – CESGRANRIO) A chuva de vento ocorre quando 
as gotas da água da chuva sofrem ação do vento enquanto caem. Em um determinado instante, uma das 
gotas de uma chuva de vento possui componentes horizontal e vertical da sua velocidade iguais a 1,50 
m/s e 2,00 m/s, respectivamente. Qual é, aproximadamente, em m/s, o módulo do vetor velocidade dessa 
gota? 
(A) 6,25 
(B) 5,50 
(C) 3,50 
(D) 2,50 
(E) 1,75 
 
02. (EEAR – Sargento Controlador de Tráfego Aéreo – FAB/2015) Dois vetores 𝐴𝑒 �⃗⃗� estão 
representados a seguir. Assinale entre as alternativas aquela que melhor representa a resultante da 
operação vetorial𝐴 − �⃗⃗� 
 
 
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(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
 
 
V²=2²+1,5² 
V²=4+2,25 
V²=6,25 
V=2,5 m/s 
 
02. Resposta: B. 
 
 
 
Temos que trocar o vetor B para virar –B. 
 
 
DINÂMICA- FORÇAS 
 
O termo “Dinâmica” significa “forte”. Em física, a dinâmica é um ramo da mecânica que estuda o 
movimento de um corpo e as causas desse movimento. Em experiências diárias podemos observar o 
movimento de um corpo a partir da interação deste com um (ou mais) corpo(s). Como por exemplo, 
quando um jogador de tênis dá uma raquetada numa bola, a raquete interage com ela e modifica o seu 
movimento. Quando soltamos algum objeto a uma certa altura do solo e ele cai, é resultado da interação 
da terra com este objeto. Esta interação é convenientemente descrita por um conceito chamado força. Os 
Princípios de dinâmica foram formulados por Galileu e Newton, porém foi Newton que os enunciou da 
forma que conhecemos hoje. 
 
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LEIS DE NEWTON 
As leis de Newton constituem os três pilares fundamentais do que chamamos Mecânica Clássica, que 
justamente por isso também é conhecida por Mecânica Newtoniana. 
 
 1ª Lei de Newton - Princípio da Inércia 
 A inércia consiste na tendência natural que os corpos possuem em manter a velocidade constante.Assim, todo corpo em repouso tende a permanecer em repouso e todo corpo em movimento tende a 
permanecer em movimento retilíneo uniforme. No cotidiano, notamos essas tendências ao observarmos 
uma pessoa de pé no interior de um ônibus. Quando o ônibus arranca, o passageiro por inércia tende a 
permanecer em repouso em relação ao solo terrestre. Como o ônibus vai para frente, a pessoa que não 
estava se segurando cai para trás no ônibus. 
 
 
Agora, se o ônibus estivesse em movimento e de repente freasse, a pessoa cairia para frente. Graças 
à inércia, o passageiro exibe, nesse caso, sua vontade de continuar em movimento em relação ao solo 
terrestre: o ônibus para, o passageiro não. 
 
Ou seja: 
Todo corpo em equilíbrio mantém, por inércia sua velocidade constante. 
Em resumo, podemos esquematizar o princípio da inércia assim: 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um elevador de um prédio de apartamentos encontra-se, durante um certo tempo, sob a ação 
exclusiva de duas forças opostas: o peso e a tração do cabo, ambas de intensidade igual a 2 000 N. O 
elevador está parado? 
 
 
 
 
Resposta 
Como a resultante das forças atuantes é nula, o elevador pode se encontrar tanto em repouso 
(equilíbrio estático) quanto em movimento retilíneo uniforme (equilíbrio dinâmico), por inércia. 
2) Observe a figura a seguir. 
 
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Sobre uma mesa horizontal lisa, uma esfera deixa de executar seu movimento circular uniforme e sai 
tangente à curva, após o rompimento do fio que garantia sua circulação. Qual o tipo de movimento que a 
esfera realiza após o rompimento do fio? Justifique. 
 
Resposta 
Após estar livre da força de tração do fio, que a obrigava a alterar a direção de sua velocidade, a esfera 
segue por inércia em movimento retilíneo uniforme. 
 
2ª Lei de Newton - Princípio Fundamental da Dinâmica 
Quando aplicamos uma mesma força em dois corpos de massas diferentes observamos que elas não 
produzem aceleração igual. 
A 2ª lei de Newton diz que a Força é sempre diretamente proporcional ao produto da aceleração de 
um corpo pela sua massa, ou seja: 
A equação F = m.a é uma equação vetorial. Tanto a força quanto a aceleração são vetores e devem 
possuir a mesma direção e sentido. 
 
 A unidade de força, no sistema internacional, é o N (Newton), que equivale a kg m/s² (quilograma 
metro por segundo ao quadrado) e a é a aceleração adquirida (em m/s²). 
Como F = m.a é uma função do 1O grau, o gráfico da intensidade (F) da força aplicada a um corpo, 
em função de sua aceleração (a) é uma reta inclinada cuja inclinação ou coeficiente angular representa 
a massa do corpo, que é uma constante de proporcionalidade. 
 
 
 
Essa constante de proporcionalidade (m), que é característica de cada corpo recebe o nome de massa 
inercial ou simplesmente massa e corresponde à medida da inércia do corpo, ou seja, da resistência que 
o corpo oferece à variação do vetor velocidade. 
Observe na lei fundamental da Dinâmica (F = m.a) que, quanto maior a massa do corpo, maior será 
sua inércia, ou seja, devemos aplicar uma força resultante maior para acelerar ou retardar um caminhão 
Exemplo: 
Quando um força de 12N é aplicada em um corpo de 2kg, qual é a aceleração adquirida por ele? 
F=ma 
12=2a 
a=6m/s² 
 Força de Tração 
Dado um sistema onde um corpo é puxado por um fio ideal, ou seja, que seja inextensível, flexível e 
tem massa desprezível. 
 
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Podemos considerar que a força é aplicada no fio, que por sua vez, aplica uma força no corpo, a qual 
chamamos Força de Tração . 
 
Exemplo: 
Dada a figura 
 
Determine: 
 a) a aceleração do conjunto; 
 b) a força que o bloco A exerce sobre o bloco B. 
 
 RESOLUÇÃO 
1. Separe os blocos A e B. 
2. Represente as forças de ação e reação sobre os blocos na direção do movimento. 
3. Aplique a 2ª Lei de Newton em cada bloco; 
 
 4. Com as duas equações encontradas, resolva o sistema 
 
Substituir o valor da aceleração em uma das equações acima, para que possamos calcular o valor da 
força f. 
f = 3 a 
f = 3 · 4 = 12 N 
 
3ª Lei de Newton - Princípio da Ação e Reação 
Quando uma pessoa empurra um caixa com um força F, podemos dizer que esta é uma força de ação, 
mas conforme a 3ª lei de Newton, sempre que isso ocorre, há uma outra força com módulo e direção 
iguais, e sentido oposto a força de ação, esta é chamada força de reação. 
Esta é o princípio da ação e reação, cujo enunciado é:"As forças atuam sempre em pares, para toda 
força de ação, existe uma força de reação." 
Exemplo: 
O homem de peso 700N, mostrado na figura, mantém-se em equilíbrio, suportando um corpo de massa 
30kg, por meio de uma corda e uma polia, ambas ideais. Considere g = 10m/s2. Calcule o módulo da força 
exercida pelos pés do homem sobre o assoalho. 
a) 300N 
b) 400N 
c) 600N 
d) 750N 
e) 1050N 
 
 
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No homem, atuam Peso (para baixo), Normal e Tensão (para cima). Como o sistema está em equilíbrio, 
N + T = Phomem. 
Por outro lado, no contra peso, a tensão é igual T= mg(onde m é a massa do contrapeso) 
Deste modo = > N + mg = Phomem => N + 30x10 = 700 => N= 400N 
 
 
FORÇA PESO 
 
Quando falamos em movimento vertical, introduzimos um conceito de aceleração da gravidade, que 
sempre atua no sentido a aproximar os corpos em relação à superfície. Relacionando com a 2ª Lei de 
Newton, se um corpo de massa m, sofre a aceleração da gravidade. 
A esta força, chamamos Força Peso, e podemos expressá-la como: 
 
P=mg 
 
O Peso de um corpo é a força com que a Terra o atrai, podendo ser variável, quando a gravidade 
variar, ou seja, quando não estamos nas proximidades da Terra. 
A massa de um corpo, por sua vez, é constante, ou seja, não varia. 
Quando falamos no peso de algum corpo, normalmente, lembramos do “peso” medido na balança. 
Mas este é um termo fisicamente errado, pois o que estamos medindo na realidade, é a nossa massa. 
 Além da Força Peso, existe outra que normalmente atua na direção vertical, chamada Força Normal. 
Esta é exercida pela superfície sobre o corpo, podendo ser interpretada como a sua resistência em sofrer 
deformação devido ao peso do corpo. Esta força sempre atua no sentido perpendicular à superfície, 
diferentemente da Força Peso que atua sempre no sentido vertical. Analisando um corpo que encontra-
se sob uma superfície plana verificamos a atuação das duas forças. 
 
Para que este corpo esteja em equilíbrio na direção vertical, ou seja, não se movimente ou não altere 
sua velocidade, é necessário que os módulos das forças Normal e Peso sejam iguais, assim, atuando em 
sentidos opostos elas se anularão. Por exemplo: 
Qual o peso de um corpo de massa igual a 10kg: 
(a) Na superfície da Terra (g=9,8m/s²); 
(b) Na superfície de Marte (g=3,724m/s²). 
(a) P=mg 
P=10.9,8=98 N 
(b)P=mg 
P=10.3,724=37,24 N 
 
FORÇA DE ATRITO 
 
Até agora, para calcularmos a força, ou aceleração de um corpo, consideramos que as superfícies por 
onde este se deslocava, não exercia nenhuma força contra o movimento, ou seja, quando aplicada uma 
força, este se deslocaria sem parar. 
Mas sabemos que este é um caso idealizado. Por mais lisa que uma superfície seja, ela nunca será 
totalmente livre de atrito. 
Sempre que aplicarmos uma força a um corpo, sobre uma superfície, este acabará parando. 
É isto que caracteriza a força de atrito: 
 Se opõe ao movimento; 
 Depende da natureza e da rugosidade da superfície (coeficiente de atrito); 
 É proporcional à força normal de cada corpo; 
 Transforma a energia cinética do corpo em outro tipo de energia que é liberada ao meio. 
 Podemos perceber a existência da força de atrito e entender as suas características através de 
uma experiência muito simples. Tomemos uma caixa bem grande, colocada no solo, contendo madeira. 
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Podemos até imaginar que, à menor força aplicada, ela se deslocará. Isso, no entanto, não ocorre. 
Quando a caixa ficar mais leve, à medida que formos retirando a madeira, atingiremos um ponto no qual 
conseguiremos movimentá-la. A dificuldade de mover a caixa é devida ao surgimento da força de atrito 
Fat entre o solo e a caixa. 
 
 
Várias experiências como essa levam-nos às seguintes propriedades da força de atrito (direção, 
sentido e módulo): 
 
Direção: As forças de atrito resultantes do contato entre os dois corpos sólidos são forças tangenciais 
à superfície de contato. No exemplo acima, a direção da força de atrito é dada pela direção horizontal. 
Por exemplo, ela não aparecerá se você levantar a caixa. 
 
Sentido: A força de atrito tende sempre a se opor ao movimento relativo das superfícies em contato. 
Assim, o sentido da força de atrito é sempre o sentido contrário ao movimento relativo das superfícies 
 
 
Módulo: Sobre o módulo da força de atrito cabem aqui alguns esclarecimentos: enquanto a força que 
empurra a caixa for pequena, o valor do módulo da força de atrito é igual à força que empurra a caixa. 
Ela anula o efeito da força aplicada. 
 A força de atrito é calculada pela seguinte relação: 
 
Fat=µ.N 
Onde: 
μ: coeficiente de atrito (adimensional) 
N: Força normal (N) 
 
 
 Atrito Estático e Dinâmico 
Quando empurramos um carro, é fácil observar que até o carro entrar em movimento é necessário que 
se aplique uma força maior do que a força necessária quando o carro já está se movimentando. 
Isto acontece pois existem dois tipos de atrito: o estático e o dinâmico. 
 
 Atrito Estático 
É aquele que atua quando não há deslizamento dos corpos. 
A força de atrito estático máxima é igual a força mínima necessária para iniciar o movimento de um 
corpo. 
Quando um corpo não está em movimento a força da atrito deve ser maior que a força aplicada, neste 
caso, é usado no cálculo um coeficiente de atrito estático: . 
Então: 
Fat=µest.N 
 
Atrito Dinâmico 
É aquele que atua quando há deslizamento dos corpos. 
Quando a força de atrito estático for ultrapassada pela força aplicada ao corpo, este entrará em 
movimento, e passaremos a considerar sua força de atrito dinâmico. 
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A força de atrito dinâmico é sempre menor que a força aplicada, no seu cálculo é utilizado o coeficiente 
de atrito cinético: 
Então: 
Fat=µd.N 
 
FORÇA ELÁSTICA 
 
Imagine uma mola presa em uma das extremidades a um suporte, e em estado de repouso (sem ação 
de nenhuma força). 
Quando aplicamos uma força F na outra extremidade, a mola tende a deformar (esticar ou comprimir, 
dependendo do sentido da força aplicada). 
Ao estudar as deformações de molas e as forças aplicadas, Robert Hooke (1635-1703), verificou que 
a deformação da mola aumenta proporcionalmente à força. Daí estabeleceu-se a seguinte lei, chamada 
Lei de Hooke: 
F= K.x 
Onde: 
F: intensidade da força aplicada (N); 
k: constante elástica da mola (N/m); 
x: deformação da mola (m). 
 A constante elástica da mola depende principalmente da natureza do material de fabricação da mola 
e de suas dimensões. Sua unidade mais usual é o N/m (newton por metro) mas também encontramos 
N/cm; kgf/m, etc. 
 
 Exemplo: 
Um corpo de 10kg, em equilíbrio, está preso à extremidade de uma mola, cuja constante elástica é 
150N/m. Considerando g=10m/s², qual será a deformação da mola? 
Se o corpo está em equilíbrio, a soma das forças aplicadas a ela será nula, ou seja: 
F-P=0, pois as forças tem sentidos opostos 
F=P 
Kx=mg 
150x=100 
x=0,66m 
 
FORÇA CENTRÍPETA 
 
Quando um corpo efetua um Movimento Circular, este sofre uma aceleração que é responsável pela 
mudança da direção do movimento, a qual chamamos aceleração centrípeta, assim como visto no MCU. 
Sabendo que existe uma aceleração e sendo dada a massa do corpo, podemos, pela 2ª Lei de Newton, 
calcular uma força que assim como a aceleração centrípeta, aponta para o centro da trajetória circular. 
A esta força damos o nome: Força Centrípeta. Sem ela, um corpo não poderia executar um movimento 
circular. 
Como visto anteriormente, quando o movimento for circular uniforme, a aceleração centrípeta é 
constante, logo, a força centrípeta também é constante. 
Sabendo que: 
Sabendo que: 
acp=
𝑣2
𝑅
 
 
ou 
acp= 2.R 
Então: 
Fcp= m.acp=m
𝑣2
𝑅
= m2.R 
 
A força centrípeta é a resultante das forças que agem sobre o corpo, com direção perpendicular à 
trajetória. 
 
 
 
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Exemplo: 
Um carro percorre uma curva de raio 100m, com velocidade 20m/s. Sendo a massa do carro 800kg, 
qual é a intensidade da força centrípeta? 
Fcp=m
𝑣2
𝑅
 
Fcp= 800.
202
100
 
Fcp= 800.4 
Fcp=3200N 
 
PLANO INCLINADO 
 
Dada uma rampa e considerando o atrito, podemos distribuir as forças da seguinte forma: 
 
Ao observarmos a figura acima, notamos que as forças que atuam sobre o corpo são: 
P: Força peso = P = m.g 
Px=Psen 
Py=Pcos 
N=Normal=Py 
Se o bloco estiver em repouso ou velocidade constante: Px=Fat 
Se estiver descendo: Px-Fat=ma 
 
Exemplo: Um corpo de massa m=10kg está apoiado num plano de 30° em relação à horizontal, sem 
atrito Considere g=10m/s², determine a aceleração do bloco. 
 
Px=ma 
mgsen=ma 
a=gsen 
a=10.sen30=10.0,5=5m/s² 
 
SISTEMAS 
 
Agora que conhecemos os princípios da dinâmica, a força peso, elástica, centrípeta e de atito e o plano 
inclinado, podemos calcular fenômenos físicos onde estas forças são combinadas. 
 
 
 
 
 
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Corpos em contato 
 
Quando uma força é aplicada à corpos em contato existem "pares ação-reação" de forças que atuam 
entre eles e que se anulam. 
Podemos fazer os cálculos neste caso, imaginando: 
 
 
Depois de sabermos a aceleração, que é igual para ambos os blocos, podemos calcular as forças que 
atuam entre eles, utilizando a relação que fizemos acima: 
F B,A=mB.a 
 
 Exemplo: 
Sendo mA=5Kg e mB=3Kg e que a força aplicada ao sistema é de 24N, qual é a intensidade da força 
que atua entre os dois blocos? 
F(mA+mB).a 
24=(5+3).a 
a =
24
8
 
a=3m/s2 
 
FB,A= mB.a 
FB,A=3.3 
FB,A= FA,B=9N 
 
Blocos ligados por fio em superfície lisa 
Neste caso, também não será considerada a existência do atrito. Considere que os corpos sejam 
puxados por uma força F. 
 
Separando os corpos e colocando as forças que estão envolvidas no movimento, tem-se: 
 
Aplica-se a segunda lei de Newton para cada corpo e resolve o sistema: 
 
 
(corpo A) T2= mA.a 
(corpo B) T1-T2= mB.a 
(corpo C) F-T1= mC.a 
--------------------------------------- 
F =( mA+ mB+ mC).a 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
44 
 
Um dos corpos pendurados 
Para efetuar este cálculo faz-se da mesma forma que apresentado anteriormente. 
No exemplo a seguir, considerando a inexistência de atrito em A, qualquer massa de B será suficiente 
para deslocar o conjunto. 
 
Separando os corpos e colocando as forças que estão envolvidas no movimento, tem-se:
 
Aplicando a segunda lei de Newton nos dois corpos: 
 
 
TRABALHO 
 
Na Física, o termo trabalho é utilizado quando falamos no Trabalho realizado por uma força, ou seja, 
o Trabalho Mecânico. Uma força aplicada em um corpo realiza um trabalho quando produz um 
deslocamento no corpo. 
Utilizamos a letra grega tau minúscula ( ) para expressar trabalho. 
A unidade de Trabalho no SI é o Joule (J) 
Quando uma força tem a mesma direção do movimento o trabalho realizado é positivo: >0; 
Quando uma força tem direção oposta ao movimento o trabalho realizado é negativo: <0. 
O trabalho resultante é obtido através da soma dos trabalhos de cada força aplicada ao corpo, ou pelo 
cálculo da força resultante no corpo. 
R=1+2+3+..........+N 
 
 Força paralela ao deslocamentoQuando a força é paralela ao deslocamento, ou seja, o vetor deslocamento e a força não formam 
ângulo entre si, calculamos o trabalho: 
= F.S 
 
Exemplo: 
Qual o trabalho realizado por um força aplicada a um corpo de massa 5kg e que causa um aceleração 
de 1,5m/s² e se desloca por uma distância de 100m? 
= F.S 
=m.a. S 
=5.1,5.100 
=750J 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
45 
 
 Força não-paralela ao deslocamento 
Sempre que a força não é paralela ao deslocamento, devemos decompor o vetor em suas 
componentes paralelas e perpendiculares: 
 
Considerando a componente perpendicular da Força e a componente paralela da força. 
Ou seja: 
cos=
𝐹𝐼𝐼
𝐹𝐼
 
 
 FII=F cos 
 
 Quando o móvel se desloca na horizontal, apenas as forças paralelas ao deslocamento produzem 
trabalho. Logo: 
 
 
= FII.S 
= F cos.S 
 
 
 
 Exemplo: 
Uma força de intensidade 30N é aplicada a um bloco formando um ângulo de 60° com o vetor 
deslocamento, que tem valor absoluto igual a 3m. Qual o trabalho realizado por esta força? 
= FII.S 
= F cos.S 
=30. cos 60º.3 
= 45J 
 
 Podemos considerar sempre este caso, onde aparece o cosseno do ângulo, já que quando a força é 
paralela ao deslocamento, seu ângulo é 0° e cos0°=1, isto pode ajudar a entender porque quando a força 
é contrária ao deslocamento o trabalho é negativo, já que: 
O cosseno de um ângulo entre 90° e 180° é negativo, sendo cos180°=-1 
 
Trabalho da força Peso 
Para realizar o cálculo do trabalho da força peso, devemos considerar a trajetória como a altura entre 
o corpo e o ponto de origem, e a força a ser empregada, a força Peso. 
Então: 
P=P. h 
P= m.g. h 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
46 
 
 
 
POTÊNCIA 
 
Dois carros saem da praia em direção a serra (h=600m). Um dos carros realiza a viagem em 1hora, o 
outro demora 2horas para chegar. Qual dos carros realizou maior trabalho? 
Nenhum dos dois. O Trabalho foi exatamente o mesmo. Entretanto, o carro que andou mais rápido 
desenvolveu uma Potência maior. 
A unidade de potência no SI é o watt (W). 
1W=
1𝐽
1𝑠
 
Além do watt, usa-se com frequência as unidades: 
1kW (1 quilowatt) = 1000W 
1MW (1 megawatt) = 1000000W = 1000kW 
1cv (1 cavalo-vapor) = 735W 
1HP (1 horse-power) = 746W 
 
Potência Média 
Definimos a partir daí potência média relacionando o Trabalho com o tempo gasto para realizá-lo: 
Pot M= 

𝑡
 
 Como sabemos que: 
= F. S 
Então: 
 
Pot M= 
𝐹.𝑆
𝑡
= 𝐹.
𝑆
𝑡
= 𝐹 v m 
 Podemos também fazer uma relação de potência de uma força com a intensidade da força e com o 
módulo da velocidade de um corpo sujeito a essa força: 
Pméd= 

𝑡
(I) 
O trabalho de uma força constante é definido por: 
= F.d.cos (II) 
Fazendo a substituição de II em I, teremos: 
Pméd=
𝐹.𝑑.𝑐𝑜𝑠 
𝑡
 
 
Potência Instantânea 
Quando o tempo gasto for infinitamente pequeno teremos a potência instantânea, ou seja: 
 
 Exemplo: 
Qual a potência média que um corpo desenvolve quando aplicada a ele uma força horizontal com 
intensidade igual a 12N, por um percurso de 30m, sendo que o tempo gasto para percorrê-lo foi 10s? 
Pot M= 

𝑡
 
Pméd= 
𝐹.𝑆
𝑡
= 
12.30
10
= 36 𝑊 
 
E a potência instantânea no momento em que o corpo atingir 2m/s? 
Pot= F.v=12.2=24W 
 
ENERGIA MECÂNICA 
 
Energia é a capacidade de executar um trabalho. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
47 
 
Energia mecânica é aquela que acontece devido ao movimento dos corpos ou armazenada nos 
sistemas físicos. 
Dentre as diversas energias conhecidas, as que veremos no estudo de dinâmica são: 
 Energia Cinética; 
 Energia Potencial Gravitacional; 
 Energia Potencial Elástica; 
 
Energia Cinética 
É a energia ligada ao movimento dos corpos. Resulta da transferência de energia do sistema que põe 
o corpo em movimento. 
Sua equação é dada por: 
= F.S 
= m.a. S 
 
Utilizando a equação de Torricelli e considerando o início do movimento sendo o repouso, teremos: 
 
 v2=v02+2aS 
v2=0+2aS 
S=
𝑣2
2𝑎
 
 
Substituindo no cálculo do trabalho: 
 
 A unidade de energia é a mesma do trabalho: o Joule (J) 
 
 Teorema da Energia Cinética 
 Considerando um corpo movendo-se em MRUV. 
 
O Teorema da Energia Cinética (TEC) diz que: 
"O trabalho da força resultante é medido pela variação da energia cinética." 
R=Ec= Ec- Eci 
 
R=
𝑚𝑣
2
2
-
𝑚𝑣0
2
2
 
 
 Exemplo: 
Qual o trabalho realizado por um corpo de massa 10kg que inicia um percurso com velocidade 10m/s² 
até parar? 
 
R=
𝑚𝑣
2
2
-
𝑚𝑣0
2
2
 
 
R=
10.0
2
-
10.(10)2
2
 
R=
−1000
2
= -500 J 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
48 
 
 Energia Potencial 
Energia Potencial é a energia que pode ser armazenada em um sistema físico e tem a capacidade de 
ser transformada em energia cinética. 
Conforme o corpo perde energia potencial ganha energia cinética ou vice-e-verso. 
 
 Energia Potencial Gravitacional 
 É a energia que corresponde ao trabalho que a força Peso realiza. 
É obtido quando consideramos o deslocamento de um corpo na vertical, tendo como origem o nível de 
referência (solo, chão de uma sala, ...). 
 
Enquanto o corpo cai vai ficando mais rápido, ou seja, ganha Energia Cinética, e como a altura diminui, 
perde Energia Potencial Gravitacional. 
 
 Energia Potencial Elástica 
 Corresponde ao trabalho que a força Elástica realiza. 
 
 
Como a força elástica é uma força variável, seu trabalho é calculado através do cálculo da área do seu 
gráfico, cuja Lei de Hooke diz ser: 
 
A= 
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
 
Então: 
Fel=Eel=
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑥 𝑚𝑜𝑙𝑎
2
 
Eel=
𝐾.𝑥.𝑥= 
2
= 
𝐾𝑥2
2
 
 
 Conservação de Energia Mecânica 
A energia mecânica de um corpo é igual a soma das energias potenciais e cinética dele. 
Então: 
 
 Qualquer movimento é realizado através de transformação de energia, por exemplo, quando você 
corre, transforma a energia química de seu corpo em energia cinética. O mesmo acontece para a 
conservação de energia mecânica. 
Podemos resolver vários problemas mecânicos conhecendo os princípios de conservação de energia. 
Por exemplo, uma pedra que é abandonada de um penhasco. Em um primeiro momento, antes de ser 
abandonada, a pedra tem energia cinética nula (já que não está em movimento) e energia potencial total. 
Quando a pedra chegar ao solo, sua energia cinética será total, e a energia potencial nula (já que a altura 
será zero). 
Dizemos que a energia potencial se transformou, ou se converteu, em energia cinética. 
Quando não são consideradas as forças dissipativas (atrito, força de arraste, etc.) a energia E M, inicial= 
E M, final 
E C, inicial + E P, inicial= E C, final+ E P, final 
 
 Para o caso de energia potencial gravitacional convertida em energia cinética, ou vice-versa: 
1
2
 mv2 inicial+mgh inicial = 
1
2
 mv2 final + mgh final 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
49 
 
 Para o caso de energia potencial elástica convertida em energia cinética, ou vice-versa: 
 
 
1
2
 mv2 inicial+ 
1
2
 Kx2= 
1
2
 mv2 final+ 
1
2
 Kx2inal 
 
Exemplo: 
1) Uma maçã presa em uma macieira a 3 m de altura se desprende. Com que velocidade ela chegará 
ao solo? 
E M, inicial= E M, final 
E C, inicial + E PG, inicial= E C, final+ E PG, final 
1
2
 mv2 inicial+mgh inicial = 
1
2
 mv2 final + mgh final 
 
1
2
 m.0+m.10.3=
1
2
 mv2 final = mg.0 
30m=
1
2
 mv2 final 
60=v final 
7,75 m/s v final 
 
IMPULSO 
 
Como já vimos, para que um corpo entre em movimento, é necessário que haja um interação entre 
dois corpos. 
Se considerarmos o tempo que esta interação acontece, teremos o corpo sob ação de uma força 
constante, durante um intervalo de tempo muito pequeno, este será o impulso de um corpo sobre o outro: 
 
As características do impulso são: 
 Módulo: 
 Direção: a mesma do vetor F. Sentido: o mesmo do vetor F. 
A unidade utilizada para Impulso, no SI, é: N.s 
No gráfico de uma força constante, o valor do impulso é numericamente igual à área entre o intervalo 
de tempo de interação: 
 
A = F.Δt = I 
 
 Exemplo: 
1) Ao dar um chute na bola, num jogo de futebol, um jogador aplica um força de intensidade 6,0 · 10² 
N sobre a bola, durante um intervalo de tempo de 1,5 · 10-1 s. Determine a intensidade do impulso 
da força aplicada pelo jogador. 
 
RESOLUÇÃO 
 Dados do enunciado 
 F = 6,0 · 10² N 
 t = 1,5 · 10-1 s 
 I = 90 N.s 
 
 
2) Dado o gráfico 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
50 
 
 
 Determine: 
a) o módulo da força no intervalo de tempo de 0 s a 10 s. 
b) a intensidade da força constante que produz o mesmo impulso que a força dada no intervalo de 0 s 
a 10 s. 
 
RESOLUÇÃO 
 1. Divida o gráfico em 3 partes: triângulo (A3), retângulo (A1) e trapézio (A2). 
 
 2. Calcule as áreas A1, A2 e A3. 
 A1 = b · h A1 = 2s · 4N = 8 N.s 
 
 A2 = A2 = = 30 N.s 
 
 A3 = A3 = = 12 N.s 
 
 3. A soma de A1, A2 e A3 é o valor do impulso. 
 I = A1+ A2 + A3 I = 50 N.s 
 
 4. Determine a força utilizando 
 F = = 5 N 
 
 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
 Se observarmos uma partida de bilhar, veremos que uma bolinha transfere seu movimento totalmente 
ou parcialmente para outra. 
A grandeza física que torna possível estudar estas transferências de movimento é a quantidade de 
movimento linear , também conhecido como quantidade de movimento ou momentum linear. 
A quantidade de movimento relaciona a massa de um corpo com sua velocidade: 
 
Como características da quantidade de movimento temos: 
 Módulo: 
 Direção: a mesma da velocidade. 
 Sentido: a mesma da velocidade. 
 Unidade no SI: kg.m/s. 
Exemplo: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
51 
 
Qual a quantidade de movimento de um corpo de massa 2kg a uma velocidade de 1m/s? 
 
 
 
 Teorema do Impulso 
Considerando a 2ª Lei de Newton: 
 
E utilizando-a no intervalo do tempo de interação: 
 
mas sabemos que: , logo: 
 
Como vimos: 
 
então: 
 
"O impulso de uma força, devido à sua aplicação em certo intervalo de tempo, é igual a variação da 
quantidade de movimento do corpo ocorrida neste mesmo intervalo de tempo." 
 
 Exemplo: 
Quanto tempo deve agir uma força de intensidade 100N sobre um corpo de massa igual a 20kg, para 
que sua velocidade passe de 5m/s para 15m/s? 
 
 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS – Técnico de Operação Júnior – CESGRANRIO) Com base na segunda lei de 
Newton, se a um corpo de 50 kg de massa é aplicada uma força de 1,0 kN, esse corpo é acelerado de 
(A) 10 cm/s² 
(B) 20 cm/s² 
(C) 10 m/s² 
(D) 20 m/s² 
(E) 50 cm/s² 
 
02. (ETAM – Técnico de Projetos Navais – BIO-RIO) Dois blocos A e B, de massas respectivamente 
iguais a 4,0 kg e 2,0 kg, estão dispostos sobre um plano horizontal conforme a figura abaixo. 
 
 
O conjunto é empurrado por uma força , de módulo 30 N, aplicada horizontalmente sobre o bloco 
A. O atrito entre os blocos e o plano horizontal deve ser desprezado. A intensidade da força que o bloco 
B exerce sobre o bloco A é: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
52 
 
(A) 10N 
(B) 20N 
(C) 30N 
(D) 40N 
 
03. (SEE/AC – Professor de Matemática e Física – FUNCAB) Uma força de 2 N atua empurrando 
um corpo de 4 kg. A aceleração com que esse corpo se movimenta será, portanto, em unidades do SI, 
de: 
(A) 1,0. 
(B) 0,6. 
(C) 0,5. 
(D) 2,0. 
(E) 0,0. 
 
04. (PETROBRAS – Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior – 
CESGRANRIO) Um bloco de 10 kg sobe com velocidade constante um plano inclinado. Outro bloco de 
8,0 kg está conectado ao primeiro através de um fio e de uma roldana ideais, conforme mostra a Figura 
abaixo. 
 
O módulo, em N, da força de atrito entre o bloco de 10 kg e o plano inclinado é 
Dados Aceleração da gravidade = 10 m/s2 
sen 30° = 0,50 
cos 30° = 0,87 
(A) 70 
(B) 30 
(C) 50 
(D) 80 
(E) 87 
 
05. (PC/SP – Perito Criminal – VUNESP) No campo de provas de uma montadora de automóveis há 
uma pista horizontal e retilínea. Durante a realização de um teste, um de seus veículos, de massa total 1 
200 kg, incluindo a do motorista, parte do repouso e atinge a velocidade de 144 km∕ h ao fim de um 
percurso de 400 m. Se o movimento do veículo é realizado com aceleração constante, a força resultante 
sobre ele tem intensidade, em newtons, de 
(A) 3600 
(B) 4800 
(C) 2400 
(D) 1800 
(E) 1200 
 
06. (PETROBRAS – Técnico de Química Júnior – CESGRANRIO) Um objeto está descendo um 
plano inclinado com velocidade constante. Nesse movimento, 
(A) há uma força resultante diferente de zero agindo sobre o objeto. 
(B) a força peso do objeto não está realizando trabalho. 
(C) o atrito do objeto com o plano tem valor idêntico ao da projeção da força peso do objeto na direção 
do movimento. 
(D) a energia cinética do objeto está aumentando. 
(E) não há atrito agindo sobre o objeto. 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
53 
 
07. (PC/SP – Técnico de Laboratório – VUNESP) Um acidente fatal em uma estrada fez com que 
um veículo caísse por uma ribanceira. No local, um guincho começava a subir o carro até o nível da pista. 
 
Já com o carro acidentado conectado ao guincho, o perito que acompanhava a retirada do veículo teve 
sua atenção voltada para um objeto sobre a rampa e, para averiguar, solicitou a interrupção da subida do 
carro, que já se encontrava a meio caminho da pista. Sendo T a tração no cabo do guincho, N a força de 
reação normal da rampa sobre o carro e P o peso do carro, a tração imposta ao cabo na situação de 
equilíbrio tem seu valor calculado por 
(A) T = P 
(B) T = 3/4. N 
(C) T = N + P 
(D) T = 3/5. P 
(E) T = N 
 
08. (PETROBRAS – Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior – 
CESGRANRIO) Um bloco de madeira de massa M está em repouso sobre um plano inclinado de um 
ângulo  em relação à horizontal, num local onde a aceleração da gravidade é g. Desprezando-se os 
efeitos do ar, o módulo da força de atrito estático sobre o bloco é 
(A) M g cos θ 
(B) M g sen θ 
(C) M g (sen θ / cos θ) 
(D) M g (cos θ / sen θ) 
(E) M g (sen θ + cos θ) 
 
09. (PETROBRAS – Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior – 
CESGRANRIO). Três cubos que são designados por 1, 2 e 3 têm massas iguais a, respectivamente, M1 
, M2 e M3 , sendo M1 > M2 > M3 . Os cubos são empilhados sobre um plano horizontal com o cubo 1 
apoiado sobre o plano, o cubo 2 apoiado sobre a face superior do cubo 1, e o cubo 3 apoiado sobre a 
face superior do cubo 2. O conjunto está em repouso num local onde a aceleração da gravidade é g. 
Desprezando-se os efeitos do ar, a reação normal de apoio da face superior do cubo 1, em módulo, é 
(A) (M2 - M1 + M3) g 
(B) (M2 - M3) g 
(C) (M2 + M3) g 
(D) (M1 - M3) g 
(E) (M2 + M1 - M3) g 
 
10) Um bloco de massa igual a 10kg se desloca com velocidade constante igual a 12m/s, ao encontrar 
uma mola de constante elástica igual a 2000N/m este diminui sua velocidade até parar, qual a compressão 
na mola neste momento? 
 
Respostas 
01. Resposta: D. 
F=ma 
1000=50a 
a=20m/s² 
 
02. Resposta: A. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
54 
 
 
{
𝐴: 𝐹 − 𝑓 = 𝑚𝐴 ∙ 𝑎
𝐵: 𝑓 = 𝑚𝐵 ∙ 𝑎
 
 
𝐹 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵) ∙ 𝑎 
30=(4+2) a 
30=6a 
a=5 m/s² 
 
Voltando em B> 
f=2x5=10N 
 
03. Resposta: C. 
F=ma 
2=4a 
a=0,5 m/s² 
 
04. Resposta: B. 
 
T=Fat+Px 
Px=Psen=10.10.0,5=50N 
A tração é igual ao peso do bloco pendurado 
T=mg=8.10=80N 
Substituindo na equação: 
80=Fat+50 
Fat=80-50=30N 
 
05. Resposta: C. 
V²=v0²+2aS 
40²=0²+2a.400 
1600=800a 
a=2m/s² 
F=ma → F=1200.2=2400N 
 
06. Resposta: C. 
 
Como é velocidade constante, asforças devem ser iguais. 
Px=Fat 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
55 
 
07. Resposta: D. 
 
Como está em equilíbrio: T=Px 
Px=Psen 
Podemos aplicar teorema de Pitágoras no triângulo 
Hip²=3²+4² 
Hip²=25 
Hip=5 
Portanto o sem =3/5 
𝑇 =
3
5
𝑃 
 
08. Resposta: B. 
Como está em repouso: 
Px=Fat 
Fat=m g sen  
 
09. Resposta: C. 
 
N1=P2+P3 
N1=m2g+m3g 
N1=(m2+m3) g 
 
10. Resposta 
 𝐸 𝑀 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸 𝑀 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
𝐸 𝑐 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝐸 𝑃𝐸 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸 𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝐸 𝑃𝐸 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
1
2 
𝑚𝑣2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 
1
2 
𝐾𝑥2𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 
1
2 
𝑚𝑣2 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 + 
1
2 
𝐾𝑥2𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
1
2 
 10. (12)2 +
1
2 
. 2000.0 =
1
2 
. 10.0 +
1
2 
. 2000. 𝑥2 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
720 = 1000 𝑥2 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
√
720
1000
= 𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
0,85 𝑚  𝑥 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
56 
 
O SISTEMA SOLAR: EVOLUÇÃO HISTÓRICA E SEUS MODELOS 
 
O Sistema Solar é o conjunto de planetas, planetas anões, asteroides e demais corpos celestes que 
orbitam ao redor do Sol, uma estrela de pequeno porte que orbita em um dos braços da galáxia da Via 
Láctea. 
Os oito planetas que compõem o Sistema Solar são, em ordem de proximidade com o 
Sol: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno . Os quatro primeiros possuem uma 
proporção menor de gases em suas composições físicas, sendo formados basicamente por rochas e, por 
isso, chamados de planetas rochosos. Os quatro últimos, em função da distância do sol, apresentam uma 
quantidade maior de gases em suas composições estruturais, sendo por isso chamados de planetas 
gasosos ou até mesmo de gigantes gasosos, graças ao diâmetro elevado que possuem em relação aos 
demais. 
Na Grécia antiga apareceram as primeiras tentativas para, fazendo uso da grande quantidade de 
observações registadas ao longo dos anos, criar um modelo geométrico que permitisse não só descrever 
o real movimento dos planetas de uma forma mais precisa, como também dar capacidade de previsão 
sobre a sua posição futura. Este esforço culmina com o modelo de Ptolomeu, que é em muitos sentidos 
a primeira teoria científica. 
 
 
 
O modelo ptolomaico, que data do séc. II D.C., é o primeiro modelo da antiguidade capaz de prever o 
movimento dos planetas conhecidos e a teoria que dominou a Astronomia durante mais de 14 séculos. 
No entanto, tratando-se de um modelo geocêntrico assente na hipótese de que qualquer planeta segue 
um movimento circular composto, foi necessário introduzir uma geometria progressivamente mais 
complexa para ir dando conta das observações cada vez mais precisas. 
Muito mais tarde, no princípio do séc. XVI, Nicolau Copérnico (1473 – 1543) fez a proposta de um 
modelo parecido com o ptolemaico nos seus métodos mas com o Sol no centro do sistema solar. 
O modelo copernicano teve o mérito de ter trazido uma nova hipótese, ainda que polémica, para discussão 
nos círculos de astronomos. 
Esta discussão culminou com o trabalho de Johannes Kepler (1571 – 1630), o talentoso matemático, 
que após um longo escrutínio das observações de grande precisão efetuadas por Tycho Brahe (1546 – 
1601) chegou ao enunciado das suas famosas 3 leis. Kepler acreditava que a divina harmonia se 
manifesta num Universo regido por leis matemáticas simples, e foi isso o que o levou a substituir os 
complicados modelos de Copérnico e Ptolomeu pela lei simples que descobriu escondida nos registos 
astronómicos mais precisos da época: todos os planetas descrevem elipses com o Sol num dos focos. 
 
FORÇA GRAVITACIONAL 
 
Ao estudar o movimento da Lua, Newton concluiu que a força que faz com que ela esteja 
constantemente em órbita é do mesmo tipo que a força que a Terra exerce sobre um corpo em suas 
proximidades. A partir daí criou a Lei da Gravitação Universal. 
 Lei da Gravitação Universal de Newton: 
"Dois corpos atraem-se com força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao 
quadrado da distância que separa seus centros de gravidade." 
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Onde: 
F=Força de atração gravitacional entre os dois corpos 
G=Constante de gravitação universal 
 
M e m = massa dos corpos 
d=distância entre os centros de gravidade dos corpos. 
Exemplo: 
A intensidade da força gravitacional com que a Terra atrai a Lua é F. Se fossem duplicadas a massa 
da Terra e da Lua e se a distância que as separa fosse reduzida à metade, a nova força seria: 
a) 16F 
b) 8F 
c) 4F 
d) 2F 
e) F 
 
Resolução 
F = G . MT . ml 
 r2 
d = r/2, M = 2MT e m=2ml 
F' = G . 2MT . 2Ml 
 (r/2)2 
F' = 4 . G . MT . Ml 
 r2/4 
F' = 16 G . MT . ml 
 r2 
F' = 16F 
 
 
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL 
 
A gravitação universal é uma força fundamental de atração que age entre todos os objetos por causa 
de suas massas, isto é, a quantidade de matéria de que são constituídos. A gravitação mantém o universo 
unido. Por exemplo, ela mantém juntos os gases quentes no sol e faz os planetas permanecerem em 
suas órbitas. A gravidade da Lua causa as marés oceânicas na terra. Por causa da gravitação, os objetos 
sobre a terra são atraídos em seu sentido. A atração física que um planeta exerce sobre os objetos 
próximos é denominada força da gravidade. 
A lei da gravitação universal foi formulada pelo físico inglês Sir Isaac Newton em sua obra Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, publicada em 1687, que descreve a lei da gravitação universal e as Leis 
de Newton - as três leis dos corpos em movimento que se assentaram como fundamento da mecânica 
clássica. 
 
Formulação da Lei da Gravitação Universal 
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Dois corpos puntiformes m1 e m2 atraem-se exercendo entre si forças de mesma intensidade F1 e F2, 
proporcionais ao produto das duas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância (r) 
entre elas. G é a constante gravitacional. 
A lei da gravitação universal diz que dois objetos quaisquer se atraem gravitacionalmente por meio de 
uma força que depende das massas desses objetos e da distância que há entre eles. Dados dois corpos 
de massa m1 e m2, a uma distância r entre si, esses dois corpos se atraem mutuamente com uma força 
que é proporcional à massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que 
separa esses corpos. Matematicamente, essa lei pode ser escrita assim: 
 
 
Onde 
F1 (F2) é a força, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo 2 (1), medida em newtons; 
 é constante gravitacional universal, que determina a intensidade da força, 
m 1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si, medidas em quilogramas; e r é a distância 
entre os dois corpos, medida em metros; 
 o versor do vetor que liga o corpo 1 ao corpo 2. 
A constante gravitacional universal foi medida anos mais tarde por Henry Cavendish. A descoberta da 
lei da gravitação universal se deu em 1685 como resultado de uma série de estudos e trabalhos iniciados 
muito antes. Tomando como exemplo a massa de próton e um elétron, a força da gravidade será de 3,6 
× 10−8 N (Newtons) ou 36 nN. O estabelecimento de uma lei de gravitação, que unifica todos os 
fenômenos terrestres e celestes de atração entre os corpos, teve enorme importância para a evolução da 
ciência moderna. 
Contudo, podemos aprimorar a lei da gravitação universal adicionando sinais (+ ou -) à resposta, 
quando estivermos considerando “massas de luz” ou “fótons”. A lei da gravitação universal assume o sinal 
(-) quando ocorre o deslocamento de fótons “massas de luz” de uma fonte luminosa (Sol), ou melhor, 
assumindo característica de repulsão e não de atração. Por outro lado, a lei da gravitação universal 
reassume o sinal (+) quando ocorre o deslocamento de fótons para locais de atração desta “massas de 
luz”, locaisconhecidos como “Buracos Negros”. 
 
Exemplo: 
 Determine a força de atração gravitacional da Terra sobre a Lua, sendo dados: massa da Lua = 
1.1023 kg; massa da Terra = 6.1024 kg; distância do centro da Terra ao centro da Lua = 4.105km; G = 6,7. 
10-11 N.m2/kg2. 
Usando a Lei de Gravitação Universal, temos: substituindo os valores dados na equação, 
notando que 4.105 km = 4.108 m, obtemos: . 
 
 
 
LEIS DE KEPLER 
 
Quando o ser humano iniciou a agricultura, ele necessitou de uma referência para identificar as épocas 
de plantio e colheita. Ao observar o céu, os nossos ancestrais perceberam que alguns astros descrevem 
um movimento regular, o que propiciou a eles obter uma noção de tempo e de épocas do ano. 
Primeiramente, foi concluído que o Sol e os demais planetas observados giravam em torno da Terra. Mas 
este modelo, chamado de Modelo Geocêntrico, apresentava diversas falhas, que incentivaram o estudo 
deste sistema por milhares de anos. 
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Por volta do século XVI, Nicolau Copérnico (1473-1543) apresentou um modelo Heliocêntrico, em que 
o Sol estava no centro do universo, e os planetas descreviam órbitas circulares ao seu redor. No século 
XVII, Johanes Kepler (1571-1630) enunciou as leis que regem o movimento planetário, utilizando 
anotações do astrônomo Tycho Brahe (1546-1601). Kepler formulou três leis que ficaram conhecidas 
como Leis de Kepler. 
 
1ª Lei de Kepler - Lei das Órbitas 
Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse. 
 
 
2ª Lei de Kepler - Lei das Áreas 
O segmento que une o sol a um planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais. 
 
 
 
3ª Lei de Kepler - Lei dos Períodos 
O quociente dos quadrados dos períodos e o cubo de suas distâncias médias do sol é igual a uma 
constante k, igual a todos os planetas. 
 
 
Tendo em vista que o movimento de translação de um planeta é equivalente ao tempo que este demora 
para percorrer uma volta em torno do Sol, é fácil concluirmos que, quanto mais longe o planeta estiver do 
Sol, mais longo será seu período de translação e, em consequência disso, maior será o “seu ano”. 
 
Para uma melhor compreensão sobre Gravitação universal, segue abaixo um quadro com as fórmulas, 
mais importantes a serem utilizadas. 
 
Força gravitacional 
Força Gravitacional 
 
 
 
 
 
Constante de 
gravitação 
universal 
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Leis de Kepler 
1ª Lei de Kepler - 
Lei das Órbitas 
 
"Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, 
que ocupa um dos focos da elipse." 
2ª Lei de Kepler - 
Lei das Áreas 
 
"O segmento que une o sol a um planeta descreve áreas 
iguais em intervalos de tempo iguais." 
3ª Lei de Kepler - 
Lei dos Períodos 
 
 
 
 
MOVIMENTO DOS CORPOS CELESTES, SATÉLITES E NAVES NO ESPAÇO 
 
O movimento dos corpos celestes ao redor das estrelas é dado pela lei da gravitação universal, em 
que o campo gravitacional da estrela atrai os demais corpos celestes. O mesmo ocorre com os satélites 
planetários: o campo gravitacional do sol e do planeta faz o satélite o orbitar. 
Conforme a primeira lei de Kepler, as orbitas dos planetas e dos satélites não são perfeitamente 
circulares. Elas apresentam excentricidade, e sua trajetória aproxima-se a formatos elípticos. Além disso, 
as estrelas não se localizam exatamente no centro da órbita. Dá-se o nome de afélio ao ponto em que o 
planeta está mais distante do sol, e periélio ao ponto onde o planeta está mais próximo ao sol. As órbitas 
também podem ter inclinação, o que dá origem a diferentes temperaturas no decorrer do ano planetário, 
em diferentes hemisférios. Em uma órbita perfeitamente circular, o deslocamento de um corpo celeste 
durante um ano astral é dado pela seguinte equação: 
 
Na qual: 
 S é o deslocamento; 
 r é o raio da órbita. 
Equação básica 
As três equações que representam o movimento dos corpos celestes, são baseadas em uma equação 
básica. Nesta, considera-se que a órbita dos corpos celestes é circularmente perfeita, e que somente a 
força da estrela define o movimento. 
Ao mesmo tempo em que a estrela atrai o planeta para perto de si, o planeta faz uma força repulsória. 
No caso dos satélites, os planetas os atraem. Já em um corpo celeste de órbita perturbada, este somente 
terá uma órbita imutável quando a força resultante for zero. Assim: 
 
Velocidade 
A velocidade que um corpo celeste segue em sua trajetória ao redor do sol ou de um planeta é variável. 
A segunda lei de Kepler descreve a velocidade. A velocidade média de um corpo celeste, que tenha sua 
órbita perfeitamente circular, é dada pela resultante das forças: 
 Então: Eliminando-se as mesmas variáveis: 
Logo, 
Em que: 
 v é a velocidade, em metros por segundo; 
 G é a constante gravitacional, igual a 6,67 x 10-11; 
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 M é a massa da estrela, em quilogramas; 
 r é o raio da órbita, em metros; 
 
CAMPO GRAVITACIONAL 
O campo gravitacional é gerado nas regiões próximas aos corpos que têm massa. Seu valor é 
proporcional à massa e inversamente proporcional à distância ao centro do corpo. 
A força da gravidade que age sobre uma massa numa certa região está relacionada ao campo 
gravitacional produzido pela Terra nesse local. 
 
Desse modo, o módulo do campo gravitacional pode ser definido como o quociente entre a força 
gravitacional e a massa do objeto. 
 
Utilizando a expressão da lei da gravitação universal e a expressão da força peso, 
 
é possível calcular o módulo do campo gravitacional na superfície da Terra, mesmo sem colocar uma 
massa nela, e medir seu peso. 
 
Nas duas expressões, a letra m representa a massa do objeto colocado na superfície da Terra. 
Simplificando m, obtemos a expressão do valor do campo gravitacional. 
 
Substituindo-se os valores de G, M (massa da Terra) e r (raio da Terra), temos: 
 
Em síntese, o campo gravitacional é um modo de descrever a interação entre objetos em razão de 
suas massas. 
A constante de gravitação universal G não deve ser confundida com g (em minúscula), que é o símbolo 
normalmente associado à variável que representa a intensidade da aceleração da gravidade terrestre 
junto à superfície do planeta, ou outro astro, quando explicitamente especificado. Em termos 
de G, g expressa-se como: 
 
onde M e r representam nesse caso a massa e o raio do astro esférico. Para a Terra tem-se que 
a aceleração da gravidade vale por volta de g = 9,81 m/s2. 
 
O SURGIMENTO DO UNIVERSO E SUA EVOLUÇÃO 
 
A origem do universo é um tema que sempre interessou a toda a humanidade. Em todos os povos, em 
todas as épocas, surgiram muitas e muitas tentativas de compreender de onde veio tudo o que 
conhecemos. No passado, a religião e a mitologia eram as únicas fontes de conhecimento. Elas 
propunham certa visão de como um ou vários deuses produziram este mundo. Há mais de dois mil anos, 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
62 
 
surgiu o pensamento filosófico. Ele propôs novas ideias, modificando ou mesmo abandonando a tradição 
religiosa. Por fim, com o desenvolvimento da ciência, apareceu outro modo de estudar a evolução do 
universo. 
Atualmente, a ciência predomina. É dessa ciência que muitos esperam obter a resposta às suas 
indagações sobre a origem do universo. Muitas vezes, lemos notícias em jornais e revistas apresentando 
pesquisas recentes sobre a formação do universo. Na tentativa de chamar a atenção para uma nova 
descoberta, os jornalistas às vezes exageram sua importância e publicam manchetes do tipo: “Acaba de 
ser provado que o universo começou de uma explosão”. Mas foi provado, mesmo? 
As notícias, quase sempre, dão a impressão de que acabaram todos os mistérios, que não há mais 
dúvidas sobre o início e evolução do cosmo. Mas a verdade não éexatamente essa. Há dezenas de anos, 
os jornais repetem as mesmas manchetes, com notícias diferentes. Quem se der ao trabalho de consultar 
tudo o que já se publicou sobre o assunto, verá que os meios de comunicação revelam sempre um enorme 
otimismo. O resultado de cada nova pesquisa é apresentado como se tivesse sido conseguida a solução 
final. Mas se a notícia de trinta anos atrás fosse correta, não poderiam ter surgido todas as notícias dos 
anos seguintes - até hoje - repetindo sempre que certo cientista ou grupo de pesquisadores “acaba de 
provar” que o universo começou assim e assim. 
A ciência tem evoluído, isso é inegável. Durante o século XX, nossos conhecimentos aumentaram de 
um modo inconcebível. Entretanto, nem todos os problemas foram resolvidos. A ciência ainda não 
esclareceu a maior parte das dúvidas. As teorias sobre a origem do universo ainda devem sofrer muitas 
mudanças, no futuro. Por isso, ninguém deve esperar encontrar aqui a resposta final. A última palavra 
ainda não foi dita. 
A ciência não é o único modo de se estudar e tentar captar a realidade. O pensamento filosófico e 
religioso possuem também grande importância. As antigas indagações ressurgem sempre: será possível 
que esse universo tenha surgido sem uma intervenção divina? Até que ponto a ciência e a religião se 
contradizem ou se completam? 
Ao longo da história da humanidade, desenrolou-se - e ainda se desenrola - um enorme esforço para 
descobrir de onde veio tudo aquilo que existe. É a história desse esforço que será descrita neste livro. 
Apenas sabendo todas as fases pelas quais já passou o pensamento humano, podemos tentar avaliar 
corretamente o estágio atual de nossos conhecimentos. Para isso, não podemos nos limitar apenas às 
investigações mais recentes, nem apenas à ciência. Devemos recuar a um passado distante, e 
acompanhar essa grandiosa aventura intelectual da humanidade: a tentativa de entender a origem do 
universo, a sua própria origem e o seu próprio significado. 
Em nossa viagem, encontraremos alguns dos maiores pensadores de toda a história. Muitas teorias 
são difíceis ou obscuras. É preciso certo esforço para entendê-las. Mas vale à pena esse esforço de 
elevar-se e poder dialogar com alguns dos maiores gênios da humanidade. Nossa viagem pela história 
do pensamento humano nos mostrou muitas tentativas realizadas para se compreender a origem de 
nosso universo. Essa busca existiu em todas as civilizações, em todos os tempos. Mas a forma de buscar 
essa explicação variou muito. O mito, a filosofia, a religião e a ciência procuraram dar uma resposta às 
questões fundamentais: O universo existiu sempre, ou teve um início? Se ele teve um início, o que havia 
antes? Por que o universo é como é? Ele vai ter um fim? 
Nosso conhecimento moderno sobre o universo está muito distante daquilo que era explicado pelos 
mitos e pela religião. Nenhum mito ou religião descreveu o surgimento do sistema solar, do Sol, das 
galáxias ou da própria matéria. Esperaríamos da ciência uma resposta às nossas dúvidas, mas ela 
também não tem as respostas finais. Por que não desistimos, simplesmente, de conhecer o início de 
tudo? Que importância pode ter alguma coisa que talvez tenha ocorrido há 20 bilhões de anos? 
A presença universal de uma preocupação com a origem do universo mostra que esse é um elemento 
importante do pensamento humano. Possuir alguma concepção sobre o universo parece ser importante 
para que possamos nos situar no mundo, compreender nosso papel nele. Em certo sentido, somos um 
microcosmo. O astrônomo James Jeans explicava o interesse dos cientistas por coisas tão distantes de 
nossa vida diária, da seguinte maneira: 
Ele quer explorar o universo, tanto no espaço quanto no tempo, porque ele próprio faz parte do 
universo, e o universo faz parte do homem. Essa busca de uma compreensão do universo e do próprio 
homem ainda não terminou. De uma forma ou de outra, todos participamos dessa mesma procura. Uma 
procura que tem acompanhado e que ainda deverá continuar a acompanhar todos os passos da 
humanidade. 
 
Teoria do Big Bang 
O Big Bang, ou a Grande Explosão, é a teoria cosmológica dominante do desenvolvimento inicial do 
universo. Os cosmólogos usam o termo “Big Bang” para se referir à ideia de que o universo estava 
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originalmente muito quente e denso em algum tempo finito no passado e, desde então tem se resfriado 
pela expansão ao estado diluído atual e continua em expansão atualmente. A teoria é sustentada por 
explicações mais completas e precisas a partir de evidências científicas disponíveis e da observação. De 
acordo com as melhores medições disponíveis em 2010, as condições iniciais ocorreram por volta de 
13,3 a 13,9 bilhões de anos atrás. 
Georges Lemaître propôs o que ficou conhecido como a teoria Big Bang da origem do Universo, 
embora ele tenha chamado como “hipótese do átomo primordial”. O quadro para o modelo se baseia na 
teoria da relatividade de Albert Einstein e hipóteses simplificadoras (como homogeneidade e isotropia do 
espaço). As equações principais foram formuladas por Alexander Friedmann. Depois Edwin Hubble 
descobriu em 1929 que as distâncias de galáxias distantes eram geralmente proporcionais aos seus 
desvios para o vermelho, como sugerido por Lemaître em 1927. Esta observação foi feita para indicar 
que todas as galáxias muito distantes e aglomerado de galáxias têm uma velocidade aparente 
diretamente para fora do nosso ponto de vista: quanto mais distante, maior a velocidade aparente. 
Se a distância entre os aglomerados de galáxias está aumentando hoje, todos deveriam estar mais 
próximos no passado. Esta ideia tem sido considerada em detalhe volta no tempo para as densidades e 
temperaturas extremas, e grandes aceleradores de partículas têm sido construídos para experimentar e 
testar tais condições, resultando em significativa confirmação da teoria, mas estes aceleradores têm 
capacidades limitadas para investigar em tais regimes de alta energia. 
Sem nenhuma evidência associada com a maior brevidade instantânea da expansão, a teoria do Big 
Bang não pode e não fornece qualquer explicação para essa condição inicial, mas sim, que ela descreve 
e explica a evolução geral do Universo desde aquele instante. As abundâncias observadas de elementos 
leves em todo o cosmos se aproximam das previsões calculadas para a formação destes elementos de 
processos nucleares na expansão rápida e arrefecimento dos minutos iniciais do Universo, como lógica 
e quantitativamente detalhado de acordo com a nucleossíntese do Big Bang. 
Fred Hoyle é creditado como o criador do termo Big Bang durante uma transmissão de rádio de 1949. 
Popularmente é relatado que Hoyle, que favoreceu um modelo cosmológico alternativo chamado "teoria 
do estado estacionário", tinha por objetivo criar um termo pejorativo, mas Hoyle explicitamente negou isso 
e disse que era apenas um termo impressionante para destacar a diferença entre os dois modelos. Hoyle 
mais tarde ajudou consideravelmente no esforço de compreender a nucleossíntese estelar, a via nuclear 
para a construção de alguns elementos mais pesados até os mais leves. Após a descoberta da radiação 
cósmica de fundo em micro-ondas em 1964, e especialmente quando seu espectro (ou seja, a quantidade 
de radiação medida em cada comprimento de onda) traçou uma curva de corpo negro, muitos cientistas 
ficaram razoavelmente convencidos pelas evidências de que alguns dos cenários propostos pela teoria 
do Big Bang devem ter ocorrido. 
A importância da descoberta da radiação cósmica de fundo é que ela representa um “fóssil” de uma 
época em que o universo era muito novo, sendo a maior evidência da existência do Big Bang. Ela é 
proveniente da separação da interação entre a radiação e matéria (época chamada de recombinação). 
 
UNIDADES ASTRONÔMICAS 
No estudo de astronomia muitas vezes as unidades do Sistema Internacional (SI) são ineficientespois 
as distâncias que devem ser expressas são muito grandes. 
Por exemplo: A distância da Terra até Marte é de cerca de 75 milhões de quilômetros, que no SI é 
expresso por 75 000 000 000 metros. 
Devido à necessidade de unidades mais eficientes são utilizadas: Unidade Astronômica (UA), Anos-
luz (AL) e Parsec (Pc). 
 Unidade Astronômica (UA) 
É a distância média entre a Terra e o Sol. É empregada principalmente para descrever órbitas e 
distâncias dentro do Sistema Solar. 
 
 
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O tamanho médio da órbita dos planetas do Sistema Solar, ou seja, sua distância ao Sol é: 
 
Planeta Distância ao Sol (UA) 
Mercúrio 0,39 
Vênus 0,72 
Terra 1,00 
Marte 1,52 
Júpiter 5,20 
Saturno 9,53 
Urano 19,10 
Netuno 30,00 
 
Ano-Luz (al) 
É a distância percorrida pela luz, no vácuo, no tempo de 1 ano terrestre. 
Sendo a velocidade da luz c = 299 792,458 km/s, temos que: 
1 al = 9 460 536 207 068 016 m = 63241,07710 UA 
A estrela mais próxima do Sol é chamada Próxima Centauri, localizada na constelação de Centauro. 
A sua distância ao Sol é de 4,22 al 
 
Parsec (Pc) 
É a distância na qual 1 UA é representada por 1'' (1 segundo de arco), em uma medição por paralaxe. 
 
Esta unidade é usada para distância muito grandes, como a distância entre estrelas, entre galáxias ou 
de objetos muito distantes, como quasares. 
 
 
Questões 
 
01. O planeta Marte está a uma distância média igual a 2,3.108 km do Sol. Sendo 6,4.1023 kg a 
massa de Marte e 2,0.1030 kg a massa do Sol, determine a intensidade da força com que o Sol atrai 
Marte. Dados: G = 6,67 · 10-11 Nm²/kg². 
 
02. (AEB - Tecnologista Júnior - Desenvolvimento Tecnológico – CETRO) Um satélite A tem a 
metade da massa do satélite B, mas orbita em torno da Terra a uma distância duas vezes menor que o 
satélite B. Comparando a força gravitacional entre cada satélite e o planeta, usando a lei gravitacional de 
Newton, é correto afirmar que 
(A) a força gravitacional experimentada pelo satélite B é maior que a de A, porque a diferença na 
distância tem mais influência que a diferença na massa. 
(B) a força gravitacional experimentada pelo satélite B é maior que a de A, porque a diferença na 
massa tem mais influência que a diferença na distância. 
(C) a força gravitacional experimentada pelo satélite A é maior que a de B, porque a diferença na 
distância tem mais influência que a diferença na massa 
(D) a força gravitacional experimentada pelo satélite A é maior que a de B, porque a diferença na 
massa tem mais influência, fazendo com que a força seja menor em B. 
(E) ambos os satélites experimentam a mesma força, porque a diferença na distância compensa a 
diferença na massa. 
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65 
 
03. (UNISINOS-RS) Durante o primeiro semestre deste ano, foi possível observar o planeta Vênus 
bem brilhante, ao anoitecer. 
 
Sabe-se que Vênus está bem mais perto do Sol que a Terra. Comparados com a Terra, o período de 
revolução de Vênus em torno do Sol é……………….e sua velocidade orbital é………………………. . As 
lacunas são corretamente preenchidas, respectivamente, por: 
(A) menor; menor 
(B) menor; igual 
(C) maior; menor 
(D) maior; maior 
(E) menor; maior 
 
 04. (UEMG-MG) Em seu movimento em torno do Sol, a Terra descreve uma trajetória elíptica, como 
na figura, a seguir: 
 
São feitas duas afirmações sobre esse movimento: 
1. A velocidade da Terra permanece constante em toda a trajetória. 
2. A mesma força que a Terra faz no Sol, o Sol faz na Terra. 
Sobre tais afirmações, só é CORRETO dizer que 
(A) as duas afirmações são verdadeiras. 
(B) apenas a afirmação 1 é verdadeira. 
(C) apenas a afirmação 2 é verdadeira. 
(D) as duas afirmações são falsas. 
(E) n.d.a 
 
05. (MACKENZIE-SP) Dois satélites de um planeta tem períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, 
respectivamente. Se o raio de órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então o raio de órbita do segundo 
terá quantas unidades? 
 
06. (PUC-SP) A intensidade da força gravitacional com que a Terra atrai a Lua é F. Se fossem 
duplicadas a massa da Terra e da Lua e se a distância que as separa fosse reduzida à metade, a nova 
força seria: 
(A) 16F 
(B) 8F 
(C) 4F 
(D) 2F 
(E) F 
 
07.O gráfico a seguir mostra que dois corpos atraem-se com força gravitacional que varia com a 
distância entre seus centros de massas. Calcule o valor de F assinalado no gráfico. 
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Gráfico demonstrando a força gravitacional entre dois corpos em função da distância 
 
08. Dois navios de 300.000 toneladas cada estão separados por uma distância de 100 metros entre 
seus centros de massa. Calcule o valor da força de atração gravitacional entre eles. Dado: G = 6,7. 10-
11 N.m2/kg2. 
 
09.De acordo com a IAU, União Astronômica Internacional, os corpos celestes para serem 
considerados planetas precisam apresentar as seguintes características, EXCETO: 
a) órbita definida ao redor do sol 
b) movimento de translação autônomo 
c) forma arredondada 
d) luz própria 
e) equilíbrio hidrostático 
 
10. Terra descreve elipse em torno do Sol cuja área éA=6,98.1022 m2.Qual é área varrida pelo raio q
ue liga a Terra ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24 h do dia 30 de abril do mesmo ano. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 
 d = 2,3 · 108 km, m1 = 6,4 · 1023 kg m2 = 2,0 · 1030 kg 
 Substituir os dados na fórmula: 
F = 
F = 
F = 
F 16,1 · 1020 N F= 1,6·1021N 
 
 02. Resposta: C. 
Lembrando que a fórmula é dada por: 
𝐹 =
𝐺𝑚𝐴𝑀
𝑅𝐴
2 
mA é a massa do satélite A. 
mB=2mA 
rB=2rA 
𝐹𝐵 = 𝐺 ∙ 2𝑚𝐴 ∙
𝑀
4𝑅𝐴
2 =
1
2
𝐺𝑚𝐴𝑀
𝑅𝐴
2 
 
Como a distância é elevada ao quadrado, a mudança sempre vai fazer maior diferença. 
 
 
 
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67 
 
03. Resposta: 
Uma vez que o movimento de translação de um planeta é equivalente ao tempo que este demora para 
percorrer uma volta em torno do Sol, é fácil concluirmos que, quanto mais longe o planeta estiver do Sol, 
mais longo será seu período de translação e, em consequência disso, maior será o “seu ano”. 
 
04. Resposta: C 
1. Falsa. Quando a Terra vai do afélio para o periélio, aumenta-se o módulo da velocidade, e quando 
vai do periélio para o afélio, diminui o módulo da velocidade. 
2. Verdadeira. De acordo com o princípio da ação-reação (3ª lei de Newton), ação e reação têm sempre 
a mesma intensidade. 
 
05. Resposta. 32²/1³ = 32².8² /R³  R³=(2³)²  R=4u 
 
06. Resposta. A 
F = G MT ml / r² 
d = r/2, M = 2MT e m=2ml 
F' = G . 2MT . 2Ml / (r/2)2 
F' = 4 . G . MT . Ml/ r²/4 
F' = 16 G . MT . ml/ r² 
F' = 16F 
 
07. Resposta. 
De acordo com o gráfico, quando a distância que separa os dois objetos é 4 cm, a força de atração 
gravitacional entre eles é 8 . 10-7 N. Com esses dados, podemos obter o valor do produto das duas 
massas: 
F1 = G . m1 . m2 
 d2 
8 .10-7 = G . m1 . m2 
 (4 . 10-2)2 
8 .10-7 = G . m1 . m2 
 16. 10-4 
16 . 10-4 .8 .10-7 = G . m1 . m2 
128 . 10-11 = G . m1 . m2 
Podemos utilizar o valor encontrado para o produto das massas para calcular o valor da força F: 
F = G . m1 . m2 
 d2 
F = 128 . 10-11 
 (9. 10 -2 )2 
F = 128 . 10-11 
 81 . 10-4 
F = 1,58 . 10-7 N 
 
08. Resposta. 
Usando a Lei de Gravitação Universal, temos: , substituindo os valores dados na equação, 
notando que 300000 ton = 3.108 kg e 100 m = 102 m, obtemos: , 
esta força é insuficiente para causar movimento nos navios pois precisaria “vencer” a resistência da 
água ao movimento. 
 
 
 
09. Resposta: D. 
Segundo a IAU, para ser considerado um planeta, o corpo celeste precisa ter uma órbita ao redor de 
um sol, órbita essa autônoma, sem influência de outros planetas. Além disso,precisa apresentar uma 
forma arredondada, resultante do equilíbrio hidrostático produzido pela sua gravidade. No entanto, 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
68 
 
planetas não possuem luz própria, característica geralmente creditada às estrelas e outros corpos do 
universo. 
 
10. Resposta: 
De acordo com a Segunda Lei de Kepler a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol é proporcional 
ao intervalo de tempo para varrê-la. Logo se em um ano, que possui 12 meses, a área varrida é de 
6,98.1022 m2 ,em um mês será: . 
 
 
MOMENTO DE FORÇAS 
 
O momento (M) de uma força é a capacidade dessa força fazer girar um objeto. Para calcular essa 
grandeza, em relação a um referencial, é o produto (multiplicação) da força aplicada a um corpo pela 
distância desta força até o ponto de referência, isto é: 
 
M = F . d 
 
onde F é a força aplicada no corpo, d é a distância da força F até o referencial de apoio (pólo) e a 
unidade do Momento é N.m 
 
Momento é uma grandeza escalar, por isso, pode ser positiva ou negativa. O sinal segue a seguinte 
convenção: 
 Quando a Força aplicada forneça uma rotação no sentido anti-horário, em relação ao ponto de 
referência, o momento é positivo, 
 Caso a Força aplicada fornece uma rotação no sentido horário, em relação ao ponto de referência, o 
momento é negativo. 
Exemplo: 
Determine o momento das forças F1 = 5N, F2 = 6N e F3 = 8N aplicada ao esquema abaixo: 
 
Resolução: 
Primeiramente devemos verificar se o comprimento está em metros e para que sentido as forças fazem 
a barra girar, em relação ao ponto O, logo, como podemos ver a força F1 faz a barra girar no sentido 
horário, logo seu momento será negativo, já a força F2 faz a rotação no sentido anti-horário, com isso, 
seu momento será positivo e por fim, a força F3 não faz a barra girar em relação ao ponto O, portanto seu 
momento é zero. 
Vamos agora encontrar o valor de cada momento: 
 M10 = F1 d10 M10 = 5 . 2 M10 = - 10 N.m 
 M20 = F2 d20 M20 = 6 . 1 M20 = + 6 N.m 
 M30 = 0 N.m 
 
Momento de uma força 
 Imagine uma pessoa tentando abrir uma porta, ela precisará fazer mais força se for empurrada na 
extremidade contrária à dobradiça, onde a maçaneta se encontra, ou no meio da porta? 
Claramente percebemos que é mais facilmente abrir ou fechar a porta se aplicarmos força em sua 
extremidade, onde está a maçaneta. Isso acontece, pois existe uma grandeza chamada Momento de 
Força , que também pode ser chamado Torque. 
Esta grandeza é proporcional a Força e a distância da aplicação em relação ao ponto de giro, ou seja: 
 
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69 
 
A unidade do Momento da Força no sistema internacional é o Newton-metro (N.m) 
Como este é um produto vetorial, podemos dizer que o módulo do Momento da Força é: 
 
Sendo: 
M= Módulo do Momento da Força. 
F= Módulo da Força. 
d=distância entre a aplicação da força ao ponto de giro; braço de alavanca. 
sen θ=menor ângulo formado entre os dois vetores. 
 
Como , se a aplicação da força for perpendicular à d o momento será máximo; 
Como , quando a aplicação da força é paralela à d, o momento é nulo. 
E a direção e o sentido deste vetor são dados pela Regra da Mão Direita. 
 
O Momento da Força de um corpo é: 
 Positivo quando girar no sentido anti-horário; 
 Negativo quando girar no sentido horário; 
 Exemplo: 
Qual o momento de força para uma força de 10N aplicada perpendicularmente a uma porta 1,2m das 
dobradiças? 
 
 
Nem sempre é possível tratar um corpo como uma única partícula. Em geral, o tamanho do corpo e os 
pontos de aplicação específicos de cada uma das forças que nele atuam devem ser considerados. 
• Supõe-se que a maioria dos corpos considerados em mecânica elementar são rígidos, isto é, as 
deformações reais são pequenas e não afetam as condições de equilíbrio ou de movimento do corpo. 
• Veremos a seguir as forças exercidas em um corpo rígido e como substituir um dado sistema de 
forças por um sistema equivalente mais simples. Para tanto, são importantes os seguintes conceitos: 
• momento de uma força em relação a um ponto 
• momento de uma força em relação a um eixo 
• momento devido a um binário 
• Qualquer sistema de forças atuando em um corpo rígido pode ser substituído por um sistema 
equivalente composto por uma única força atuando em um dado ponto e um binário. 
 
MOMENTO BINÁRIO 
 
O binário é um sistema constituído por duas forças de mesma direção, mesmo módulo e sentidos 
contrários. 
 
 
É um sistema de forças que só produz rotação. 
 A resultante livre de um binário é nula. 
A resultante livre é a soma das forças componentes do sistema >>> RL = F1 + F2 
como F1 = – F2 >>> RL = 0 
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70 
 
 
 
Considere o binário da figura, vamos calcular o módulo de seu momento resultante em relação ao 
ponto P. 
 
Convencionaremos que uma rotação no sentido horário corresponde a uma momento positivo. 
MP = – F1.PA + F2. PB, 
Representando o módulo das forças componentes do binário por F >>>> F1 = F2 = F >>> 
MP = – F.PA + F.PB >>> MP = F.(PB – PA) >>> MP = F.d 
 
Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e 
separadas por um distância d. 
 O efeito de um binário é proporcionar rotação ou tendência de rotação em um determinado sentido. 
 
Duas forças F e -F de mesma intensidade, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um 
binário. 
 
• O vetor que representa o momento do binário é independente da escolha da origem dos eixos 
coordenados, isto é, trata-se de um vetor livre que pode ser aplicado a qualquer ponto produzindo o 
mesmo efeito. 
Dois binários terão momentos iguais se 
F1d1  F2d2 
• os dois binários estiverem em planos paralelos, e 
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71 
 
• os dois binários tiverem o mesmo sentido ou a tendência de causar rotação na mesma direção. 
 
 Exemplo: 
Determine o Momento em relação ao ponto O em cada uma das barras montadas. 
 
 
Resolução: Caso (a) Caso (b) 
 
 
Mo= F.d Mo= F.d 
Mo= 100.2 Mo=50.0,75 
Mo=200 Nm Mo= 37,5 Nm 
 
 
 
Formulação Matemática de um Binário 
 
 
Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois 
binários é obtido pela soma dos binários. 
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72 
 
 
 
Exemplo: 
Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um 
equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B. 
 
Resolução 
 
 
M= F.d 
M=40.0,6 
M=24Nm 
Cálculo das forças 
F= 
𝑀
𝑑 𝐴,𝐵
 
F= 
24
0,2
 
F=120N 
 
Um binário pode ser representado por um vetor igual em intensidade, direção e sentido ao momento 
do binário. 
• Vetores que representam binários obedecem à lei de adição de vetores. 
• Vetores binários são vetores livres, ou seja, o ponto de aplicação não é relevante. 
• Vetores binários podem ser decompostos em componentes vetoriais. 
 
Não se pode simplesmente mover uma força F para o ponto O sem modificar sua ação no corpo. 
• A aplicação de duas forças de mesma intensidade e sentidos opostos em O não altera a ação da 
força original sobre o corpo. 
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73 
 
• As três forças podem ser substituídas por uma força equivalente e um vetor binário, isto é, um sistema 
força-binário. 
 
Por exemplo, os vetores posição rA e rB estão direcionados do ponto O para os pontos A e B situados 
na linha de ação de –F e F. 
Portanto, o momento do binário em relação a O é M = rB × F + rA × –F = (rB – rA) × F 
Entretanto, como rB = rA + r ou r = rB – rA, teremos que M = r × F. 
A determinação de um binário é feita através de: 
-plano de ação; 
-sentido; 
-módulo (F x d). 
 
As retas AA’ e BB’ pertencemao plano de ação do binário. 
 
Momento de binário resultante 
 Considere os momentos binários M1 e M2 agindo sobre o tubo na figura. Podemos unir suas origens 
em qualquer ponto arbitrário e encontrar o momento binário resultante, MR = M1 + M2, como mostra a 
figura abaixo: 
 
 Se mais de dois momentos de binário agem sobre o corpo, podemos generalizar esse conceito e 
escrever a resultante vetorial como: MR = Σ(r × F). 
 
Se mais de dois momentos de binário agem sobre o corpo, podemos generalizar esse conceito e 
escrever a resultante vetorial como: MR = Σ(r × F) 
 
Pontos importantes 
 Um momento de binário é produzido por duas forças não colineares que são iguais em intensidade, 
mas com direções opostas. Seu efeito é produzir rotação pura, ou tendência de rotação em uma direção 
específica. 
 Um momento de binário é um vetor livre e, consequentemente, causa o mesmo efeito rotacional em 
um corpo, independentemente de onde o momento de binário é aplicado ao corpo. 
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74 
 
 Em três dimensões, o momento de binário geralmente é determinado usando a formulação vetorial, 
M = r × F, onde r é direcionado a partir de qualquer ponto sobre a linha de ação de uma das forças até 
qualquer ponto sobre a linha de ação da outra força F. 
 Um momento de binário resultante é simplesmente a soma vetorial de todos os momentos de binário 
do sistema. 
 
PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS PARA AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 
As condições de equilíbrio garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou 
da estrutura como um todo. Elas estão baseadas nas três leis de Newton: 
1ª Lei de Newton (Princípio da Inércia): “Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de 
movimentos retilíneo uniforme até que uma ação externa, não equilibrada, atue sobre ele.” 
2ª Lei de Newton: “A partir do momento em que o corpo ficar submetido à ação de uma força resultante 
F, o corpo irá adquirir uma aceleração a, de tal forma F = ma, sendo m a massa do corpo.” 
3ª Lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação de mesma intensidade e de sentido contrário.” 
 
Lembre-se que uma força é uma grandeza vetorial, com intensidade, direção e sentido. Para o caso 
de quadros planos, a imposição de resultante de força nula fornece duas condições para o equilíbrio 
global da estrutura: 
∑Fx = 0 → somatório de forças na direção horizontal deve ser nulo; 
∑Fy = 0 →somatório de forças na direção vertical deve ser nulo. 
 
Equilíbrio de um corpo 
Para que um corpo extenso se encontre em equilíbrio, é necessário que ele tenha equilíbrio 
translacional (repouso ou MRU) e rotacional (isto é, precisamos garantir que o corpo não gira). 
O equilíbrio translacional é garantido pelas mesmas condições do equilíbrio de pontos materiais, ou 
seja, com uma força resultante nula (a soma de todas as forças que atuam no corpo deve ser nula 
∑F = 0 
 
Para garantir que o corpo não gire, no entanto, precisamos ressaltar o fato de que, nessa situação, 
não há momento resultante sobre o corpo. Quando as duas condições são obedecidas, dizemos que o 
corpo extenso se encontra em equilíbrio. 
∑M = 0 
Note que estamos avaliando o módulo da grandeza momento (ou torque) de uma força. Ora, como 
módulos de grandezas podem ser somados e resultar num valor nulo? É claro que algumas dessas 
parcelas devem ser negativas. Mas quais? É certo que o sentido de giro que cada força provoca pode ser 
horário ou anti-horário. 
Estipulemos então uma convenção de sinais: forças capazes de fazer o corpo girar no sentido anti-
horário terão como efeito um momento positivo e forças capazes de fazer o corpo girar no sentido horário 
terão como efeito um momento negativo. Agora, sim, os momentos somados podem se equilibrar. 
 
Conclusão 
Condições de Equilíbrio de um corpo extenso: 
1) força resultante nula; 
2) momento (torque) resultante nulo. 
 
Equilíbrio de partículas 
Para um dado referencial, um ponto material está em equilíbrio, quando for nula a resultante do sistema 
de forças a ele aplicado FR = 0. Desse modo, para o estudo do equilíbrio do ponto material, devemos 
seguir dois passos: Primeiro passo é o reconhecimento das forças (de campo e de contato) nele atuantes. 
Segundo passo, essencialmente analítico, é colocar um sistema cartesiano, com origem no ponto material 
e impor que: FX = 0 
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75 
 
 Equilíbrio Estático e Equilíbrio Dinâmico 
Um corpo move-se, mantêm-se em movimento ou mantêm-se em repouso devido à ação das forças 
que atuam sobre ele. Assim, um corpo move-se se a resultante dessas forças não for nula, mas se essa 
for nula, então o efeito será outro. 
 
Equilíbrio de um corpo rígido 
Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam sobre ele formam um 
sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças externas podem ser reduzidas a uma 
força nula e a um binário nulo. 
ΣF = 0 
ΣM =0 
 As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática. 
 Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se as 
condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço: 
 
 
 Exemplo: 
Considere um helicóptero movimentando-se no ar em três situações diferentes: 
(I) subindo verticalmente com velocidade constante; 
(II) descendo verticalmente com velocidade constante; 
(III) deslocando-se horizontalmente para a direita com velocidade constante. 
A resultante das forças exercidas pelo ar sobre o helicóptero, em cada uma dessas situações, é 
corretamente representada por: 
 
 
 
Observe que nas três situações propostas o helicóptero está em equilíbrio dinâmico, isto é, a força 
resultante que atua sobre ele é nula. 
Sobre o helicóptero atua o seu peso que é uma força vertical orientada de cima para baixo e resultante 
das forças exercidas pelo ar sobre o helicóptero. Para que a força resultante seja zero a resultante das 
forças exercidas pelo ar sobre o helicóptero deverá ser vertical orientada de baixo para cima e de módulo 
igual ao peso do helicóptero. Logo a resposta correta é a letra A. 
 
Equilíbrio ou em duas dimensões 
 As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente no caso de uma 
estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, tem-se: 
 
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Para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no espaço 
reduzem-se a: ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM A=0 
Onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser resolvidas para 
um máximo de três incógnitas. 
 
 Exemplo: 
 O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano. 
Uma partícula está submetida à ação de três forças coplanares. Assinale, dentre as opções abaixo, 
aquela em que a partícula em questão está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em um 
referencial inercial. (Os comprimentos das setas são proporcionais aos módulos das forças que elas 
representam). 
 
 
De acordo com o texto, a partícula está em equilíbrio e, como consequência, a força resultante que 
atua sobre ela deverá ser nula, o que ocorre na opção D. 
 
Chamamos linha de ação da força a reta (r) que contém F. Polo do momento é um ponto qualquer (O) 
que pode ou não pertencer ao corpo. 
O braço deve ser medido como a distância perpendicular à linha de ação da Força. Uma maneira que 
pode facilitar o cálculo do momento é a projeção da força em suas componentes de maneira a se obter 
uma parcela perpendicular à barra e outra parcela paralela. Essa parcela não realiza torque (rotação em 
torno do polo). 
 
 
 
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Forças internas 
 As forças internas que atuam entre partículas adjacentes em um corpo sempre ocorremem pares 
colineares de modo que tenham a mesma intensidade e ajam em direções opostas (terceira lei de 
Newton). 
 Como essas forças se cancelam mutuamente, elas não criarão um efeito externo sobre o corpo. É por 
essa razão que as forças internas não devem ser incluídas no diagrama de corpo livre se o corpo inteiro 
precisa ser considerado. 
 
O peso e o centro de gravidade 
 Quando um corpo está dentro de um campo gravitacional, cada uma de suas partículas possui um 
peso específico. 
 O sistema de forças pode ser reduzido a uma única força resultante que age em um ponto específico. 
Essa força resultante é chamada de peso W do corpo, e a posição de seu ponto de aplicação, de centro 
de gravidade. 
 
Pontos importantes 
Nenhum problema de equilíbrio deve ser resolvido sem antes desenhar o diagrama de corpo livre, a 
fim de considerar todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o corpo. 
Se um suporte impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então o suporte exerce 
uma força sobre o corpo nessa direção. 
Se a rotação é impedida, então o suporte exerce um momento de binário sobre o corpo. 
As forças internas nunca são mostradas no diagrama de corpo livre, já que elas ocorrem em pares 
colineares iguais, mas opostos e, portanto, se cancelam. 
O peso de um corpo é uma força externa e seu efeito é representado por uma única força resultante 
que atua sobre o centro de gravidade G do corpo. 
Momentos de binário podem ser colocados em qualquer lugar no diagrama de corpo livre, já que são 
vetores livres. As forças podem agir em qualquer ponto ao longo de suas linhas de ação, já que são 
vetores deslizantes. 
 
Condições de equilíbrio de um corpo rígido 
 Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio, além de não se mover, este corpo não pode girar. Por 
isso precisa satisfazer duas condições: 
1. O resultante das forças aplicadas sobre seu centro de massa deve ser nulo (não se move ou se 
move com velocidade constante). 
2. O resultante dos Momentos da Força aplicadas ao corpo deve ser nulo (não gira ou gira com 
velocidade angular constante). 
Exemplo: 
(1) Em um circo, um acrobata de 65kg se encontra em um trampolim uniforme de 1,2m, a massa do 
trampolim é 10kg. A distância entre a base e o acrobata é 1m. Um outro integrante do circo puxa uma 
corda presa à outra extremidade do trampolim, que está a 10cm da base. Qual a força que ele tem de 
fazer para que o sistema esteja em equilíbrio. 
 
Como o trampolim é uniforme, seu centro de massa é exatamente no seu meio, ou seja, a 0,6m. Então, 
considerando cada força: 
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Pela segunda condição de equilíbrio: 
 
 
Para o equilíbrio de um corpo extenso devemos impor: 
 
1º) Equilíbrio de Translação: 
Força resultante nula. Esta condição é imposta considerando a soma das intensidades das forças para 
cima igual à soma das intensidades das forças para baixo. E a soma das intensidades das forças para a 
direita igual à soma das intensidades das forças para a esquerda. 
 
2º) Equilíbrio de rotação: 
Neste caso, escolhemos um ponto e impomos que a soma dos momentos das forças que tendem a 
produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir 
rotação no sentido anti-horário. 
 
Questões 
 
01.Para abrir uma porta de madeira de um metro de largura é necessário aplicar uma força 
perpendicular de intensidade 50N na sua extremidade contrária à dobradiça. Ao tentar abrir esta porta 
empurrando-a pelo seu meio, qual deve ser a intensidade da força perpendicular aplicada? 
 
02. Qual a pressão causada por uma força de intensidade 12N aplicada sobre uma superfície 
retangular de dimensões 15cm x 5cm? 
 
03. Suponha que para fechar uma porta de 0,8 metros de largura, uma pessoa aplica 
perpendicularmente a ela uma força de 3 N, como mostra a figura abaixo. Determine o momento dessa 
força em relação ao eixo O. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
79 
 
(A) M = -3,75 N.m 
(B) M = -2,4 N.m 
(C) M = -0,27 N.m 
(D) M = 3,75 N.m 
(E) M = 2,4 N.m 
 
04. Uma partícula encontra-se em equilíbrio sob a ação de um sistema constituído de apenas três 
forças, sendo o peso uma delas. A respeito das outras duas forças, podemos afirmar que: 
(A) elas são necessariamente horizontais; 
(B) elas são necessariamente verticais; 
(C) apenas uma pode ser vertical; 
(D) elas não podem ser ambas horizontais; 
(E) elas não podem ser ambas verticais 
 
05. Dois atletas estão sentados em lados opostos de uma gangorra, como mostra a figura. Determine 
o momento resultante em relação ao eixo de rotação? Determine ainda para que lado a gangorra cairá? 
 
 
06. A partir da figura abaixo, determine: 
 
 
a) Calcule o momento da força F de intensidade 10 N, em relação ao ponto A? 
b) Explique por que o momento da força fA aplicada no ponto A, em relação a esse ponto, é nulo. 
 
07. Na figura uma barra homogênea apoiada num ponto A e presa pelo ponto B ao teto por um fio 
ideal, está em equilíbrio na posição horizontal. A barra tem peso P = 90 N. 
 
 
 
a) Represente as forças que agem na barra. 
b) Calcule as intensidades da força de apoio e da força de tração no fio. 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
80 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 
= 𝐹1. 𝑑1 
𝑀 − 𝐹2𝑑2 
𝐿𝑜𝑔𝑜 
𝐹1. 𝑑1 = 𝐹2𝑑2 
50.1 = 𝐹2. 1/2 
50 = 𝐹2. 1/2 
2.50 = 𝐹2 
𝑭𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 
 
02.Resposta: 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜: 
𝑝−=
𝐹
𝐴
 
 
E a área do retângulo é dada pela multiplicação dos seus lados e convertendo as unidades para SI: 
15𝑐𝑚 = 0,15 𝑚 
5 𝑐𝑚 = 0,05 𝑚 
𝐴 = 𝑙. 𝑙 
𝐴 = 0,15.0,05 
𝐴 = 0,0075 𝑐𝑚2 
𝑝−=
𝐹
𝐴
 
𝑝 = 
12
0,0075
= 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝑷𝒂 
 
03. Resposta: B. 
Podemos ver pela figura que o momento dessa força será negativo, pois ela gira no sentido horário, 
portanto, temos que: 
M = -F.d ⟹ M = -3 .0,8 ⟹ M = -2,4 N.m 
 
04. Resposta: D. 
As outras duas forças têm de equilibrar o peso, que é vertical. Portanto, elas não podem ser ambas 
horizontais. 
 
05. Resposta: 
M1= +752 Nm 
M2= -750 Nm 
ΣM= M1+ M2= +2Nm 
A gangorra cairá para o lado do atleta de 470 N (porque girará no sentido anti-horário +) 
 
06. Resposta: 
a) MF = F.d = 10 N.2 m = 20 N.m 
b) MFA = 0, pois a distância de A à linha de ação de fA é zero. 
 
07. Resposta: 
a) 
 
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81 
 
b) Condições de equilíbrio: 
1ª) FA + T = P => FA + T = 90 (1) 
2ª) Tomando o ponto A como referência: 
MP = MT => 90.2 = T.4 => T = 45 N 
De (1): FA = 45 N 
 
 
MAQUINAS SIMPLES 
 
Máquina simples é um dispositivo, tecnicamente uma única peça, capaz de alterar uma força (seja em 
intensidade e/ou direção e/ou sentido) com o intuito de ajudar o homem a cumprir uma determinada tarefa 
com um mínimo de esforço muscular. De modo geral, o objetivo da máquina é multiplicar a intensidade 
de uma força. 
Toda máquina, por mais complexa que seja, é uma combinação de máquinas simples. Estas são 
constituídas de uma só peça e funcionam com o esforço humano. Combinando várias máquinas simples, 
constroem-se máquinas compostas, que realizam tarefas mais complexas. As máquinas e os dispositivos 
capazes de multiplicar a força humana, transferir energia ou apenas facilitar o trabalho das pessoas, como 
as chaves de fenda, os interruptores de luz, os aparelhos elétricos, as rodas, as facas de cozinha, as 
rampas de acesso para cadeirantes são exemplos do emprego de máquinas simples. 
Observe alguns exemplos de máquinas simples: 
 
Disponível em: http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/ 
 
Toda máquina, porém, por mais complexa que nos pareça, não passa de combinações inteligentes de 
umas poucas peças isoladas, as quais são denominadas por máquinas simples. Fisicamente não passam 
de duas, a saber, a alavanca e o plano inclinado. Historicamente citaríamos a existência 
de quatro: alavanca,polia, plano inclinado e roda/eixo. Sob o ponto de vista do equacionamento, as polias 
e as rodas acopladas em seus eixos, podem ser estudadas como convenientes associações de 
alavancas. 
 
Exemplo: 
 Se um homem não consegue, por si só, levantar um automóvel de peso 2 000 kgf (2 toneladas- força), 
uma máquina poderá ajudá-lo a fazer isso. A ideia central é portanto a seguinte: o operador aplica na 
máquina uma determinada força (em geral de pouca intensidade, pois resulta de seu esforço muscular e, 
na maioria dos casos, no máximo igual a seu peso) que indicaremos por Fa — força aplicada na máquina 
pelo operador — e a máquina, devidamente apoiada em algum lugar, o qual lhe aplica a força N — força 
que o apoio aplica na máquina — transmitirá para a carga (aquilo que caracteriza a tarefa do operador) a 
 
 
força Ft — força que a máquina aplica na carga –, resultado de sua função. Ilustremos isso: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
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Destaquemos que 'nenhuma máquina funcionará se não estiver devidamente apoiada' e, essa força 
(N) que o apoio aplica nela fará parte integrante de sua condição de equilíbrio. Além de N, agem na 
máquina mais duas forças, aquela aplicada pelo operador (Fa) e a reação á força transmitida (- Ft). 
Fisicamente a máquina estará 'em equilíbrio' (estático ou dinâmico) quando for nula a resultante e 
o momento resultante dessas três forças, N, Fae - Ft , em relação a um ponto arbitrário.. As equações que 
resolvem o equilíbrio das máquinas (ou seja, do sistema de forças que nela agem) são, portanto: 
 
 
 
Alavanca: 
Podemos dizer que a alavanca foi a primeira ferramenta construída, pois usando apenas um pedaço 
comprido de madeira e um ponto de apoio, podemos mover objetos grandes como pedras, por exemplo, 
fazendo uso de apenas um homem, isto é, usando a força de somente uma pessoa. 
Em datas históricas, o primeiro a demonstrar matematicamente como funciona as alavancas foi 
Arquimedes. Arquimedes chegou à relação entre as forças e as distâncias observando o que ocorria na 
natureza e construindo alavancas. 
 
 
 
Na alavanca a força é aplicada na extremidade oposta à carga 
Descrevemos uma alavanca como sendo uma haste rígida sobre um ponto de apoio. Na alavanca 
aplicamos a força na extremidade oposta de onde é colocada a carga. Chamamos de braços da alavanca 
as distâncias entre o ponto de aplicação da força e o ponto de apoio, e a distância entre o ponto de apoio 
e a carga. Portanto, os braços da alavanca da figura acima são respectivamente b1 e b2. 
 Nosso objeto de análise agora é para uma alavanca que se encontra em equilíbrio mecânico, ou seja, 
quando a força resultante é zero e a soma dos torques também é igual a zero. Na figura abaixo temos a 
representação do diagrama de forças que agem sobre a alavanca. F1 é a força aplicada por uma pessoa, 
F2 é a força peso da carga e N é força de reação normal, que é aplicada pelo ponto de apoio. Na figura 
vemos que os braços da alavanca são os comprimentos X1 e X2, respectivamente. 
 
 
 
Diagrama de forças que agem em uma alavanca 
As condições de equilíbrio são: 
- força resultante = 0 (a alavanca não possui aceleração angular), portanto, temos: 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
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- soma dos torques = 0 (alavancas não possuem aceleração angular). Calculando os torques 
produzidos em relação ao ponto de apoio, temos: 
 
Podemos determinar, a partir dessa equação, a razão entre as forças F2 e F1: 
 
(a) Nenhuma máquina pode multiplicar trabalho ou energia. A 'lei áurea' da Mecânica nos informa que 
nenhuma máquina pode realizar trabalho maior do que aquele recebido. 
(b) A 'economia' em intensidade na força motriz (ou aplicada, ou potente) implica em 'acréscimo' no 
seu deslocamento: o que se ganha em força perde-se em distância. Uma máquina simples com VM = 2, 
tem capacidade de multiplicar a força aplicada por 2 porém, para tanto, o deslocamento dessa força será 
duas vezes maior que aquele da força transmitida (ou resistente, ou resistência). 
(c) É comum denominarmos como "trabalho da máquina" aquele trabalho realizado pela força que ela 
transmite. É bom lembrar, entretanto, que: trabalho é conceito associado a uma força e não a uma 
máquina. 
(d) Não existe máquina ideal, ou seja, aquela cujo trabalho das forças dissipativas é nulo. Para as 
máquinas reais o trabalho passivo (trabalho das forças dissipativas) deve ser incorporado como parcela 
do trabalho resistente; a outra parcela será o trabalho útil. 
Para tais máquinas tem-se, portanto: 
motor = resistente = passivo + útil 
 
Nessas condições, define-se como rendimento da máquina à razão entre o trabalho útil e o trabalho 
motor: 
= útil / motor 
Como na realidade útil < motoro rendimento sempre será uma fração da unidade. Para aumentar o 
rendimento das máquinas é necessário diminuir os atritos, o que se consegue por meio de lubrificantes, 
rolamentos de esferas de aço etc. 
 A utilidade de uma máquina simples radica em que permite exercer uma força maior que a que uma 
pessoa poderia aplicar só com seus músculos (no caso da alavanca, o torno e o plano inclinado), ou a 
aplicar de forma mais eficaz (no caso da polia). O acréscimo da força costuma fazer-se a expensas da 
velocidade. O relacionamento entre a força aplicada e a resistência oferecida pela carga contra a que 
atua a força se denomina vantagem teórica da máquina. Como todas as máquinas devem superar algum 
tipo de rozamiento quando realizam seu trabalho, a vantagem real da máquina sempre é menor que a 
vantagem teórica.” 
Nas alavancas distinguimos: a) braço de potência (ou de esforço) - bp- que é a distância (OA) do fulcro 
(O) até o ponto (A) onde se aplica a força do operador (F). Estamos, conforme se ilustra abaixo, admitindo 
que as forças que agem na barra são perpendiculares a ela. 
b) braço de resistência (ou de carga) - br - que é a distância (OB) do fulcro (O) até o ponto (B) onde se 
coloca a carga. 
 
 
Se, na situação ilustrada a alavanca estiver em equilíbrio, deveremos ter: 
Equilíbrio das forças: N = F + REquilíbrio dos momentos: MF,O = MR,O ou F.bp = R.br 
Em operação os pontos A e B irão se movimentar sobre arcos de circunferências de centro O e de 
extensões dpe dr.Não podemos conceitualmente confundir tais deslocamentos com os correspondentes 
braços de potência bpe de resistência br, mas, valerá a relação: dp / dr = bp / br. 
 
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A vantagem mecânica das alavancas VM = R/F poderá ser posta sob a forma VM = bp/br ou ainda VM 
= dp/dr. Deslocando-se o fulcro para o lado da carga (ver ilustração acima) o braço de resistência diminui e 
a força transmitida (R) aumenta; a alavanca torna-se mais vantajosa — maior será a VM.Um pé-de-cabra, 
dispositivo também usado pelos 'gatunos' e não só pelos valorosos carpinteiros, marceneiros etc., tem 
braço de carga de 2 cm e braço de potência que pode chegar aos 2 m (200 cm). Essa alavanca 
apresentará VM = 200/2 = 100, ou seja, aplicando-se uma força de 80 kgf na extremidade de esforço (que 
pode ser o peso do gatuno), teremos na outra extremidade uma força transmitida de intensidade 8 000 
kgf, suficiente até para arrancar os batentes de uma porta! 
Ao se utilizar o princípio da estática e da somatória dos momentos nulos pode-se analisar uma das 
primeiras máquinas simples inventada pelo homem: a alavanca. 
Veja o esquema abaixo onde a barra está equilibrada: 
 
 
Nesse exemplo, ao se imaginar uma gangorra apoiada na distância de 8 m nota-se que uma força de 
50N provoca uma ação na outra ponta de 200 N ampliando em 4 vezes a ação inicial. Para isto, basta 
comparar os momentos das duas forças nas extremidades em relação ao apoio, e constatar que eles se 
equilibram, pois têm o mesmo valor e sinais opostos (a força à esquerda tende a fazer a barra girar no 
sentido anti-horário e a da extremidadedireita no sentido horário). Assim: 
50 N x 8 m= 200 N x 2 m 
Com isso pode-se amplificar ações de forças com a utilização dessa máquina simples, provavelmente 
pré-histórica 
 
Classificação das alavancas 
Dependendo das posições relativas das posições ocupadas pela potência (F), fulcro (O) e resistência 
(R), as alavancas classificam-se em: 
Alavancas do primeiro gênero ou interfixas - onde o fulcro localiza-se entre a força aplicada (potência) 
e a força transmitida (resistência). Ordem: ROPAlavancas do segundo gênero ou inter-resistentes - onde 
a força transmitida (resistência) localiza-se entre o fulcro e a força aplicada (potência). 
Ordem: ORPAlavancas do terceiro gênero ou interpotentes - onde a força aplicada (potência) localiza-se 
entre o fulcro e a força transmitida (resistência). 
 
 
 
 
 
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85 
 
Máquinas Simples (Polias ou roldanas) 
Polia ou roldana, consta de um disco que pode girar em torno de um eixo que passa por seu centro. 
Além disso, na periferia desse disco existe um sulco, denominado gola, no qual passa uma corda 
contornando-o parcialmente. As polias, quanto aos modos de operação, classificam-se em fixas e móveis. 
Nas fixas os mancais de seus eixos permanecem em repouso em relação ao suporte onde foram fixados. 
Nas móveis tais mancais se movimentam juntamente com a carga que está sendo deslocada pela 
máquina. Eis algumas ilustrações: 
 
 
Na roldana fixa, numa das extremidades da corda aplica-se a força motriz F (aplicada, potente) e na 
outra, a resistência R. Na móvel, uma das extremidades da corda é presa a um suporte fixo e na outra se 
aplica a força motriz F — a resistência R é aplicada no eixo da polia. 
Na polia fixa a vantagem mecânica vale 1, sua função como máquina simples e apenas a de inverter 
o sentido da força aplicada, isto é, aplicamos uma força de cima para baixo numa das extremidades da 
corda e a polia transmite á carga, para levantá-la, uma força de baixo para cima. Isso é vantajoso, porque 
podemos aproveitar o nosso próprio peso (ou um contrapeso) para cumprir a tarefa de levantar um corpo. 
As roldanas podem ser classificadas em: fixas ou móveis. Na roldana fixa, o eixo central é preso a um 
suporte de tal forma que se estabelece um equilíbrio entre as duas forças. Sendo assim, a força potente 
e a força resistente são iguais. Já na roldana móvel o eixo pode ser deslocado com a força resistente. A 
roldana móvel diminui a intensidade da força necessária para sustentar um corpo, pois parte dessa força 
é feito pelo suporte, que sustenta o conjunto. 
 
Tipos de roldanas: 
Moitão – consiste em uma caixa de forma oval, dento da qual trabalha uma polia. 
Cadernal – consta de uma caixa semelhante à de um moitão, dentro da qual trabalham duas ou mais 
polias em um mesmo eixo. 
 
I) Cadernal: Outro modo de aumentar a vantagem mecânica consiste na associação de várias polias 
fixas (num único bloco) com várias polias móveis (todas num mesmo bloco). A associação também é 
conhecida por moitão ou simplesmente por talha. Há várias configurações; eis algumas: 
 
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Para a talha de 4 polias (duas fixas + duas móveis) tem-se F = R/4, para a de 6 polias (três fixas e três 
móveis) tem-se F = R/6 etc. Tais montagens não têm tanta vantagem mecânica como as correspondentes 
exponenciais, entretanto, são montagens mais compactas e se utilizam de uma única corda. 
 
. Nenhuma máquina pode fornecer mais energia na saída do que lhe foi fornecido na entrada. Nenhuma 
máquina pode criar energia; ela pode apenas transformá-las de uma forma em outra, ou armazená-la. 
Nenhuma máquina pode multiplicar trabalho ou energia. 
O trabalho na entrada será igual ao trabalho na saída – máquina ideal. Na prática isso não acontece, 
em qualquer transformação, alguma energia é dissipada. 
 
Trabalho = ∆E ∴ T = F · ∆s ∙ cos 
Para uma dada força resistente, a quantidade de força aplicada dependerá do tipo da máquina e da 
quantidade de atrito presente. 
Vantagem mecânica (VM) é a relação entre o módulo da força resistente (em nosso caso é a força 
peso (P)) e o módulo da força aplicada (F),força necessária para elevar a carga numa velocidade 
constante. 
 
Vantagem Mecânica: = Rendimento, η (letra grega, pronuncia-se eta), de uma máquina é a relação 
entre o trabalho realizado pela força resistente (em nosso caso é a força peso (P)) e o trabalho fornecido 
pela força aplicada (F), ou seja; Rendimento (η): = 
d → deslocamento realizado pela força F. 
h → eleva um peso (P) através de uma altura h pela aplicação de uma força F 
 
 
 Questões 
 
01. (Fuvest) Um avião, com massa M = 90 toneladas, para que esteja em equilíbrio em voo, deve 
manter seu centro de gravidade sobre a linha vertical CG, que dista 16 m do eixo da roda dianteira e 4,0 
m do eixo das rodas traseiras, como na figura abaixo. Para estudar a distribuição de massas do avião, 
em solo, três balanças são colocadas sob as rodas do trem de aterrissagem. A balança sob a roda 
dianteira indica MD e cada uma das que estão sob as rodas traseiras indica MT. 
 
 
Uma distribuição de massas, compatível com o equilíbrio do avião em voo, poderia resultar em 
indicações das balanças, em toneladas, correspondendo aproximadamente a: 
(A) MD = 0 MT = 45 
(B) MD = 10 MT = 40 
(C) MD = 18 MT = 36 
(D) MD = 30 MT = 30 
(E) MD = 72 MT = 9,0 
 
02. (PUC-MG) A figura representa uma régua homogênea com vários furos equidistantes entre si, 
suspensa por um eixo que passa pelo ponto central 0. 
 
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Colocam-se cinco ganchos idênticos, de peso P cada um, nos furos G, H e J na seguinte ordem: 1 em 
G; 1 em H e 3 em J. Para equilibrar a régua colocando outros cinco ganchos, idênticos aos já usados, 
num único furo, qual dos furos usaremos? 
(A) A 
(B) B 
(C) C 
(D) D 
(E) E 
 
03 (UECE) Duas forças concorrentes, ortogonais, de módulos 6 N e 8 N, respectivamente, admitem 
resultante de intensidade: 
(A) 14 N 
(B) 10 N 
(C) 7 N 
(D) 2 N 
(E) NRA. 
 
04. Adaptou-se um abridor de garrafas utilizando-se um pedaço de madeira de 20 cm como mostrado 
na figura abaixo. Sabendo que a resistência oferecida pela tampinha é de 10 N e que foi necessário 
aplicar uma força de 2 N para abrir a garrafa, calcule a distância do prego até à extremidade onde foi 
aplicada a força de 2 N. 
 
05. Para levantar uma pedra de 6000N, emprega-se uma barra rígida de 1,50m. O ponto onde está 
apoiada a pedra dista 30 cm do ponto de apoio. Qual a força que se deve aplicar na extremidade da 
alavanca para erguer a pedra? Considere: 
a) alavanca interfixa; 
b) alavanca interresistente 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 
02. Resposta: B. 
 
03. Resposta: B. 
 
04. Resposta: 
 Esse abridor é uma alavanca interresistente com o apoio na extremidade da madeira em contato com 
a tampinha. O Bp é a madeira inteira (20 cm), Fr=10N e Fp=2 N. Aplicando a equação das alavancas, 
podemos calcular Br: Fr.Br = Fp.Bp; 10.x = 2.20; x = Br = 4 cm. Essa distância é do apoio até o 
prego e o enunciado do problema pede a distância do prego até o ponto de aplicação da Fp, ou seja, 20 
– 4 = 16 cm. 
 
05. Resposta: 
a) se for interfixa, o apoio fica entre as duas forças. Assim temos: Fr = 6000N, Br = 30 cm e Bp = 150 
– 30 = 120 cm. Substituindo na equação das alavancas obtemos Fp = 1500 N. 
b) se for interresistente o apoio fica numa extremidade e Fp fica na outra. Assim temos: Fr = 6000N, 
Br = 30 cm e Bp é a barra inteira Bp=150 cm. Substituindo na equação das alavancas obtemos Fp = 1200 
N. 
Observação: repare que a vantagem mecânica do item b é maior que a do item a (VM = 6000:1200 = 
5 na interresistente (IR) e VM = 6000:1500 = 4 na interfixa-IF). Então, para uma mesma alavanca e carga, 
uma alavanca IR oferecerá mais vantagem que uma IF. 
 
ESTÁTICA 
 
Princípios básicos 
 A estáticaé a parte da física que se preocupa em explicar questões como: 
Por que em uma mesa sustentada por dois pés, estes precisam estar em determinada posição para 
que esta não balance? 
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Por que a maçaneta de uma porta sempre é colocada no ponto mais distante das dobradiças dela? 
Por que um quadro pendurado em um prego precisa estar preso exatamente em sua metade? 
Por que é mais fácil quebrar um ovo pelas laterais do que por suas extremidades? 
 
Princípio da transmissibilidade das forças 
 O efeito de uma força não é alterado quando esta é aplicada em diferentes pontos do corpo, desde 
que esta seja aplicada ao longo de sua linha de aplicação. 
 
Nos três casos o efeito da força é o mesmo. 
 
Estática de um ponto 
Primeiramente vamos definir o que é Ponto Material, isto é: 
 
Um corpo pode ser considerado um Ponto Material quando suas dimensões (comprimento, largura 
e profundidade) podem ser desprezadas em um dado fenômeno em comparação as demais 
grandezas físicas que estão sendo estudadas. 
 
Agora, para entendermos a estática no ponto material é necessário que saibamos a condição 
necessária para que esse ponto esteja em equilíbrio, isto é, para que possamos afirmar que um ponto 
material está parado, em um dado referencial, temos que garantir que a sua velocidade vetorial seja 
constante com o tempo, sendo assim a sua aceleração vetorial é zero (nula). Logo, como vimos na aula 
11 (Leis de Newton), a 2ª Lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) nos diz que , 
concluímos que a força resultante no sistema é zero. 
 
Portanto, a condição necessária para afirmar que um ponto material está em equilíbrio quando a 
resultante das forças aplicada nele for nula, isto é, . 
 
Estudando a Força Aplicada em um Ponto Material: 
Para verificar se a força resultante aplicada em um ponto material é nula utilizaremos o método da 
decomposição de vetores, isto é: 
 
 
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Logo, para fazer o cálculo da força resultante deveremos decompor os vetores nos eixos x e y, e 
verificar se a soma no eixo x é zero e a do eixo y, também, é zero. 
Exemplos: 
1) Um ponto material está em equilíbrio sob a ação de três forças, conforme a figura abaixo. Demonstre 
que isso é verdade. 
 
 
Resolução 
Para fazermos a demonstração é necessário provar que a resultante das forças no eixo x é zero e a 
resultante das forças no eixo y também é zero. 
Portanto, utilizaremos o que aprendemos na aula de decomposição de vetores, isto é, faremos um 
esquema só com os vetores no sistema cartesiano, isto é: 
 
 
Como mostra o esquema, podemos separar as forças que atuam nos dois eixos, isto é: 
 
EIXO X: 
FRx = F1 + F2x , como as duas forças estão em sentido contrários e estão em equilíbrio podemos concluir 
que F1 = F2x . Mas como sabemos a F2X = F2 . cos , logo temos que: 
F2X = F2 . cos F2X = 150 . cos 36,9º F2X = 150. 0,8 F2X = 120N 
Provamos que a F2X = F2 , isto é, F2X = F2 = 120N 
 
EIXO Y: 
FRY = F3 + F2Y , como as duas forças estão em sentido contrários e estão em equilíbrio podemos 
concluir que F3 = F2Y. Mas como sabemos a F2Y = F2 . sen , logo temos que: 
F2Y = F2 . sen F2Y = 150 . sen 36,9º F2Y = 150. 0,6 F2X = 90N 
Provamos que a F2Y = F3 , isto é, F2Y = F3 = 90N 
2) Para que o ponto A, de massa 20kg, esteja em equilíbrio qual deve ser a intensidade da força ? 
 
Sendo: 
 
Mas como a força Peso e a força Normal têm sentidos opostos, estas se anulam. 
E, seguindo a condição de equilíbrio: 
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Estática de um corpo rígido 
Chamamos de corpo rígido ou corpo extenso, todo o objeto que não pode ser descrito por um ponto. 
Para conhecermos o equilíbrio nestes casos é necessário estabelecer dois conceitos: 
 
Centro de massa 
 Um corpo extenso pode ser considerado um sistema de partículas, cada uma com sua massa. 
A resultante total das massas das partículas é a massa total do corpo. Seja CM o ponto em que 
podemos considerar concentrada toda a massa do corpo, este ponto será chamado Centro de Massa do 
corpo. 
Para corpos simétricos, que apresentam distribuição uniforme de massa, o centro de massa é o próprio 
centro geométrico do sistema. Como no caso de uma esfera homogênea, ou de um cubo perfeito. 
Para os demais casos, o cálculo do centro de massa é feito através da média aritmética ponderada 
das distâncias de cada ponto do sistema. 
 
Para calcularmos o centro de massa precisamos saber suas coordenadas em cada eixo do plano 
cartesiano acima, levando em consideração a massa de cada partícula: 
 
𝐶𝑚𝑥 = 
2. (−2) + 10.0 + 3.0 + 12.2 + 5.3 = 35 = 1,09
 2 + 10 + 2 + 12 + 5 32
 
 
 
𝐶𝑚𝑥 = 
2. (−3) + 5. (−1) + 10.0 + 3.1 + 12.3 = 28 = 0,875
 2 + 10 + 3 + 12 + 5 32
 
 
Então o Centro de Massa do sistema de partículas acima está localizado no ponto (1,09 , 0,875), ou 
seja: 
 
Como forma genérica da fórmula do centro de massa temos: 
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HIDROSTÁTICA 
 
A Hidrostática é a parte da Física que estuda os fluídos (tanto líquidos como os gasosos) em repouso, 
ou seja, que não estejam em escoamento (movimento) 
Além do estudo dos fluídos propriamente ditos, serão estudadas as forças que esses fluídos exercem 
sobre corpos neles imersos, seja em imersão parcial, como no caso de objetos flutuantes, como os 
totalmente submersos. 
 
Massa Específica: Densidade 
Ao se afirmar que a massa específica da água é de 1000 kg/m³ estamos informando que 1 m³ de água 
possui uma massa de 1000 kg. Isto nos permite deduzir a definição de massa específica, que é a relação 
entre a massa e o volume ocupado por essa massa: 
 
A massa específica é definida para corpos homogêneos. Já para os corpos não homogêneos essa 
relação é denominada densidade: 
 
Exemplo: 
Qual a massa de um corpo de volume 1m³, se este corpo é feito de ferro? 
Dado: densidade do ferro=7,85g/cm³ 
Convertendo a densidade para o SI: 
 
 
 
 
PRESSÃO 
Ao observarmos uma tesoura, vemos que o lado onde ela corta, a lâmina, é mais fina que o restante 
da tesoura. Também sabemos que quanto mais fino for o que chamamos o "fio da tesoura", melhor esta 
irá cortar. 
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Isso acontece, pois ao aplicarmos uma força, provocamos uma pressão diretamente proporcional a 
esta força e inversamente proporcional a área da aplicação. 
No caso da tesoura, quanto menor for o "fio da tesoura" mais intensa será a pressão de uma força nela 
aplicada. 
A unidade de pressão no SI é o Pascal (Pa), que é o nome adotado para N/m². 
Matematicamente, a pressão média é igual ao quociente da resultante das forças perpendiculares à 
superfície de aplicação e a área desta superfície. 
 
Sendo: 
p= Pressão (Pa) 
F=Força (N) 
A=Área (m²) 
 
Exemplo: 
Uma força de intensidade 30N é aplicada perpendicularmente à superfície de um bloco de área 0,3m², 
qual a pressão exercida por esta força? 
 
 
 
Pressão hidrostática 
 Da mesma forma como os corpos sólidos, os fluidos também exercem pressão sobre outros, devido 
ao seu peso. 
Para obtermos esta pressão, consideremos um recipiente contendo um líquido de densidade d que 
ocupa o recipiente até uma altura h, em um local do planeta onde a aceleração da gravidade é g. 
A Força exercida sobre a área de contato é o peso do líquido. 
 
 
como: 
a massa do líquido é: 
 
mas , logo: 
 
 Ou seja, a pressão hidrostática não depende do formato do recipiente, apenas da densidade do fluido, 
da altura do ponto onde a pressão é exercida e da aceleração da gravidade. 
 
 Pressão atmosférica 
 Atmosfera é uma camada de gases que envolve toda a superfície da Terra. 
Aproximadamente todo o ar presente na Terra está abaixo de 18000 metros de altitude.Como o ar é 
formado por moléculas que tem massa, o ar também tem massa e por consequência peso. 
A pressão que o peso do ar exerce sobre a superfície da Terra é chamada Pressão Atmosférica, e seu 
valor depende da altitude do local onde é medida. 
Quanto maior a altitude menor a pressão atmosférica e vice-versa. 
1 atm = 101325 Pa = 10,2 mca = 760 mmHg 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
93 
 
Exemplo: 
Calcule em atm a pressão a que um submarino fica sujeito quando baixa a uma profundidade de 100 
metros. Para a água do mar adote que a densidade vale 1000 kg/m3. 
Resolução: 
Supondo que a densidade da água do mar vale d = 1.000 kg/m3 e a pressão atmosférica na superfície 
da água Po = 1 atm, determinamos a pressão sobre o submarino da seguinte forma: 
Colocando a pressão atmosférica em unidades do SI, temos: 
Po=1 atm =1 .10
5 Pa 
Calculando a pressão para uma profundidade igual a h = 100 m, temos: 
 
P=P0+dgh 
P= 105+(103.10.100) 
P= 1100000 Pa 
 
Ou 
P = 
 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
  P=11 atm 
 
 
TEOREMA DE STEVIN 
 
 Seja um líquido qualquer de densidade d em um recipiente qualquer. 
Escolhemos dois pontos arbitrários R e T. 
 
As pressões em Q e R são: 
 
 
A diferença entre as pressões dos dois pontos é: 
 
 
Teorema de Stevin: 
"A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto 
entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades 
dos pontos." 
 
 
Através deste teorema podemos concluir que todos os pontos a uma mesma profundidade, em um 
fluido homogêneo (que tem sempre a mesma densidade) estão submetidos à mesma pressão. 
 
TEOREMA DE PASCAL 
 
Quando aplicamos uma força a um líquido, a pressão causada se distribui integralmente e igualmente 
em todas as direções e sentidos. 
Pelo teorema de Stevin sabemos que: 
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Então, considerando dois pontos, A e B: 
 
 
Ao aplicarmos uma força qualquer, as pressões no ponto A e B sofrerão um acréscimo: 
 
 
Se o líquido em questão for ideal, ele não sofrerá compressão, então a distância h, será a mesma após 
a aplicação da força. 
 
Assim: 
 
 
 
 Teorema de Pascal: 
"O acréscimo de pressão exercida num ponto em um líquido ideal em equilíbrio se transmite 
integralmente a todos os pontos desse líquido e às paredes do recipiente que o contém." 
 
Exemplo: 
Determine a pressão hidrostática no fundo de um reservatório de água, aberto em sua superfície, que 
possui 4m de profundidade. Dados: γH2O = 10000N/m3 e g = 10m/s2. 
Para determinar a pressão hidrostática no fundo do reservatório, utilizamos o Teorema de Stevin: 
∆P = γ ⋅ ∆h 
∆P = 10000. 4 
∆P = 40000 Pa 
Logo, a pressão no fundo do reservatório de água é de 40000 Pascal. 
 
Prensa hidráulica 
 Uma das principais aplicações do teorema de Pascal é a prensa hidráulica. 
Esta máquina consiste em dois cilindros de raios diferentes A e B, interligados por um tubo, no seu 
interior existe um líquido que sustenta dois êmbolos de áreas diferentes e . 
Se aplicarmos uma força de intensidade F no êmbolo de área , exerceremos um acréscimo de 
pressão sobre o líquido dado por: 
 
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Pelo teorema de Pascal, sabemos que este acréscimo de pressão será transmitido integralmente a 
todos os pontos do líquido, inclusive ao êmbolo de área , porém transmitindo um força diferente da 
aplicada: 
 
Como o acréscimo de pressão é igual para ambas as expressões podemos igualá-las: 
 
 
Exemplo: 
Considere o sistema a seguir: 
 
Dados: 
 
Qual a força transmitida ao êmbolo maior? 
 
 
 
PRINCÍPIO DO EMPUXO 
 
 Ao entrarmos em uma piscina, nos sentimos mais leves do que quando estamos fora dela. 
Isto acontece devido a uma força vertical para cima exercida pela água a qual chamamos Empuxo, e 
a representamos por . 
O Empuxo representa a força resultante exercida pelo fluido sobre um corpo. Como tem sentido oposto 
à força Peso, causa o efeito de leveza no caso da piscina. 
A unidade de medida do Empuxo no SI é o Newton (N). 
 
Exemplo: 
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96 
 
Em um recipiente há um líquido de densidade 2,56g/cm³. Dentro do líquido encontra-se um corpo de 
volume 1000cm³, que está totalmente imerso. Qual o empuxo sofrido por este corpo? Dado g=10m/s² 
 
 
Saiba mais... O valor do empuxo não depende da densidade do corpo que é imerso no fluido, mas 
podemos usá-la para saber se o corpo flutua, afunda ou permanece em equilíbrio com o fluido: 
Se: 
 densidade do corpo > densidade do fluido: o corpo afunda 
 densidade do corpo = densidade do fluido: o corpo fica em equilíbrio com o fluido 
 densidade do corpo < densidade do fluido: o corpo flutua na superfície do fluido 
 
Exemplo: 
Um bloco de massa de 60kg e densidade de 3,0 . 10ᵌ kg/mᵌ imerso em um líquido de densidade d = 
0,90 . 10ᵌ kg/mᵌ e preso por um fio ideal a um dinamômetro. Calcule a intensidade do empuxo exercido 
pelo líquido sobre o bloco. 
Primeiramente precisamos encontrar o volume do bloco, o qual é representado por V. 
d = m/V 
V = m/d = 60/3,0 . 10ᵌ 
 V = 2,0 . 10-² mᵌ 
A intensidade do empuxo é igual ao peso do líquido que caberia no volume ocupado pelo bloco: 
E = Pf= mf . g = df . V. g = (0,90 . 10ᵌ). (2,0 . 10-²) . (10) 
 E = 180N 
 
VAZÃO E CONTINUIDADE EM REGIMES DE FLUXO CONSTANTE 
 
Noções de Hidrodinâmica 
A hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento. 
Equação da continuidade 
Suponhamos que um líquido esteja se movendo numa tubulação qualquer, em regime uniforme e 
consideremos u trecho da tubulação, cuja secção longitudinal está representada na figura abaixo. 
Suponha que no trecho da tubulação mostrado o líquido esteja se movendo da esquerda para a direita. 
 
Sejam S1 e S2 as áreas das secções retas da tubulação nas regiões 1 2 e v1 e v2 as velocidades das 
partículas líquidas por ali passam. 
Demonstra-se que 
S1.v1 = S2.v2 
Esta expressão é conhecida como equação da continuidade. A partir dela podemos concluir que se o 
diâmetro do tubo diminui, então a velocidade de escoamento do fluido no interior do tubo aumenta e vice-
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
97 
 
versa. Observa-se ainda que nas paredes mais estreitas do tubo de corrente as linhas de corrente estão 
mais próximas, indicando maior velocidade do fluido. 
Um exemplo simples que evidencia as conclusões obtidas com a equação da continuidade, é o 
escoamento das águas de um rio. Nas regiões em que o rio é largo, a água flui calmamente. Entretanto, 
quando o rio se estreita e as margens estão mais próximas, a correnteza atinge velocidades maiores. 
Vazão de volume 
O produto S.v corresponde a DV/Dt. O produto S.v é chamado de vazão de volume ou simplesmente 
vazão. Representa-se pela letra Q. e sua unidade de medida no SI é m³/s. 
Logo, a vazão mede o volume de fluido de atravessa determinada secção por unidade de 
tempo: 
Q = S.v 
Portanto a equação da continuidade impõe que a vazão de volume através de um tubulação é 
constante em qualquer secção transversal que se considere. 
Teorema de Bernoulli 
O teorema de Bernoulli, em essência, estabelece que a energia de um fluido em fluxo permanente, é 
constante ao longo do caminho descrito pelo fluido. 
 
Essa relação nos mostra principalmente que, em uma canalização horizontal, um estrangulamento 
implica - pela equação da continuidade - um aumento na velocidade do fluxo e, consequentemente, uma 
diminuição de pressão. 
Então, quanto maior é a velocidade de um fluido menor é a pressão que ele exerce. 
 
Aplicação do Teorema de Bernoulli 
Uma superfície aerodinâmica, como a asa de um avião ou um aerofólio de um carro de corrida, é 
desenhada de tal forma maneira que, ao se movimentar através de um fluido perturba-o de tal modoque 
um algumas regiões, as linhas de corrente são próximas e em outras elas não são afetadas. figura mostra 
as linhas de corrente de um fluxo de ar nas proximidades de um asa de avião, mostrada em corte. 
Observe que acima da asa as linhas de corrente são mais comprimidas, indicando que nessa região a 
velocidade do fluido é maior. Assim pelo teorema de Bernoulli. A pressão na região acima da asa deve 
ser menor e, portanto, existirá uma força resultante dirigida para cima (empuxo dinâmico). Esse empuxo 
dinâmico é geralmente chamado de sustentação. 
 
 Exemplo: 
Em uma cultura irrigada por um cano que tem área de secção reta de 100 cm2, passa água com uma 
vazão de 7200 litros por hora. 
 
 Calcule a velocidade de escoamento da água nesse cano, em m/s. 
S=100cm2=102.10-4 
S=102m3 
 Z=7.200L/h=7.200/3.600L/s=2.L/s 
Z=2.10-3m3/s 
 Z=S.v 
2.10-3= 10-2v 
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v=2.10-3/10-2 
v=0,2m/s 
 
Questões 
 
01. (EBSERH-FISIOTERAPEUTA- AOCP) Após uma lesão, cirurgia ou imobilização, a hidroterapia 
facilita o movimento por meio da redução das forças gravitacionais, devido aos efeitos combinados de 
_______________, ____________ e ____________. Pacientes incapazes de realizar exercícios com 
sustentação de peso podem começar a reabilitação mais cedo. 
flutuação/ atrito/ temperatura 
(B)viscosidade/ volume/ arrasto 
(C)viscosidade/ empuxo/ densidade 
(D)temperatura/ volume/ densidade 
(E)flutuação/ densidade/ empuxo 
 
02. (PC-SP- PERITO CRIMINAL-VUNESP) Um cilindro de ferro, de altura considerável, é mantido 
suspenso por um fio na posição vertical, totalmente submerso em um tanque cheio de água, como mostra 
a figura: 
 
 
 
Nessas condições, é correto afirmar que 
o empuxo atuante sobre o cilindro como um todo depende de sua massa específica. 
(B)a pressão da água sobre o cilindro como um todo é a mesma em qualquer ponto dele. 
(C)o empuxo atuante sobre a base inferior do cilindro é maior do que sobre sua base superior. 
(D)a pressão da água sobre o cilindro como um todo depende da massa específica dele. 
(E)a pressão da água sobre a base inferior do cilindro é maior do que sobre sua base superior. 
 
03. (FCC) Um cubo de madeira de aresta 20 cm tem massa 4,8 kg. Colocado em um tanque com água, 
ele flutua parcialmente imerso. Adotando g = 10 m/s2 e dágua = 1,0 . 103 kg/m3, a força vertical mínima 
capaz de deixá-lo totalmente imerso vale, em newtons, 
(A) 32 
(B) 24 
(C) 16 
(D) 4,8 
(E) 3,2 
 
04. Dado um corpo arbitrário com massa 12kg concentrada em um ponto P ligado a outro de massa 
10kg concentrada em um ponto Q ligado por um fio ideal que atravessa uma polia ideal, assim como na 
figura abaixo. Qual deve ser o coeficiente de atrito para que este sistema esteja em equilíbrio? 
 
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99 
 
 05.Dois cabos seguram um bloco de massa 20kg, um deles, com intensidade 20N, forma um ângulo 
de 45° com a horizontal. O outro, forma um ângulo de 120° partindo da horizontal. Qual a força aplicada 
a este cabo para que o bloco fique em equilíbrio verticalmente? 
 
 
06.Três partículas localizam-se em posições: a (2,4), b (3,-1), c (1,0), d (-5,-2), e (0,0). Sendo a massa 
destas partículas, respectivamente, 5kg, 16kg, 0,1kg, 0,9kg e 10kg. Qual é o centro de massa deste 
sistema? 
 
 
07. A ferramenta usada em oficinas mecânicas para levantar carros chama-se macaco hidráulico. Em 
uma situação é preciso levantar um carro de massa 1000kg. A superfície usada para levantar o carro tem 
área 4m², e a área na aplicação da força é igual a 0,0025m². Dado o desenho abaixo, qual a força aplicada 
para levantar o carro? 
 
 
08. (UNIFOR-CE) Afundando 10 m na água, fica-se sob o efeito de uma pressão, devida ao líquido, 
de 1 atm. Em um líquido com 80% da densidade da água, para ficar também sob o efeito de 1 atm de 
pressão devida a esse líquido, precisa-se afundar, em metros, 
(A) 8 
(B) 11,5 
(C) 12 
(D) 12,5 
(E) 15 
 
Respostas 
01. Resposta: E 
 Sabemos que a força de flutuabilidade age na direção oposta a da força da gravidade e é responsável 
pela sensação de ausência de peso na água. 
De acordo com Arquimedes o resultado do efeito do empuxo é a flutuação. 
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100 
 
A densidade relativa é definida entre a relação de massa (Kg) e volume (m3). Na água, esta relação é 
na ordem de 1 (um). E, segundo o princípio de Arquimedes (287-212 a.C.), quando um corpo é submerso 
em um líquido, ele sofre uma força de flutuabilidade igual ao peso do líquido que desloca. 
 
02. Resposta: E 
Como podemos observar, a pressão gerada pela água depende da profundidade, e como a base 
inferior está a uma profundidade maior, logo a pressão será maior. 
 
03. Resposta: A 
P = m.g = 4,8 . 10 = 48 
E = dl.Vl.g 
E = 1,0 . 103 . (0,2)3 . 10 
E = 1,0 . 103 . 0,008 . 10 = 80 N 
FR = E - P = 80 - 48 = 32 N 
 
04. Resposta: 
Analisando individualmente cada um dos pontos onde há alguma força aplicada: 
e 
No sentido vertical para P: 
 
Montando um sistema de equações com as forças aplicadas em cada corpo temos: 
 
Mas para que o corpo esteja em equilíbrio a=0. Então somando o sistema acima temos: 
 
 
05. Resposta: 
Verticalmente: 
 
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101 
 
06. Resposta: 
Utilizando o princípio da média aritmética ponderada, podemos calcular o centro de massa em cada 
eixo do plano cartesiano: 
 
CMx = 
𝑚𝑎.𝑥𝑎+𝑚𝑏.𝑥𝑏+𝑚𝑐.𝑥𝑐+𝑚𝑑.𝑥𝑑+𝑚𝑒.𝑥𝑒
𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐+𝑚𝑑+𝑚𝑒
 
 
CMx =
5.2+16.3+0,1.1+0,9.(−5)+10.0
5+16+0,1+0,9+10
 
 
CMx =
10+48+0,1−4,5+0
32
 
 
CMx =
53,6
32
= 1,67 
 
CMy = 
𝑚𝑎.𝑦𝑎+𝑚𝑏.𝑦𝑏+𝑚𝑐.𝑦𝑐+𝑚𝑑.𝑦𝑑+𝑚𝑒.𝑦𝑒
𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐+𝑚𝑑+𝑚𝑒
 
 
CMy =
5.4+16.(−1)+0,1.0+0,9.(−3)+10.0
5+16+0,1+0,9+10
 
 
CMy =
20−16+0−2,7+0
32
 
 
CMy= 
1,3 
32
= 0,04 
 
Logo CM (1,67 , 0,04) 
 
 
07. Resposta: 
𝐹
𝐴
= 
𝑃
𝐴
 
 
F= 
𝑃.
𝐴
 
 
𝐹 = 
1000.10.0,0025
4
 
F= 6,25N 
 
08. Resposta: D. 
Primeiramente devemos realizar algumas transformações, portanto, temos: Po = 1 atm = 105 Pa; h = 
10 m; Calculemos a pressão hidrostática: 
P=d.g.h 
105=d.10.10 
d=103 kg/m3 
Como a densidade do líquido é 80% da densidade da água, temos: 
d'=80%.d → d'=0,8 .d → P'=d'.g.h' 
105=0,8 .103.10 . h' 
 
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102 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
A Mecânica dos fluidos é a área onde são estudados os fenômenos físicos relacionados ao movimento 
dos fluidos (ar, água etc). 
A mecânica dos fluidos trata do comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento e das leis 
que regem este comportamento. São áreas de atuação da mecânica dos fluidos: 
- Ação de fluidos sobre superfícies submersas, ex.: barragens; 
 - Equilíbrio de corpos flutuantes, ex.: embarcações; 
 - Ação do vento sobre construções civis; 
-Estudos de lubrificação; 
-Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica, ex.: elevadores hidráulicos; 
 - Cálculo de instalações hidráulicas, ex.: instalação de recalque; 
- Cálculo de máquinas hidráulicas, ex.: bombas e turbinas; 
 - Instalações de vapor, ex.: caldeiras; 
- Ação de fluidos sobre veículos – Aerodinâmica 
Pode-se definir fluido como uma substância que se deforma continuamente, isto é, escoa, sob ação 
de uma força tangencial por menor que ele seja. 
 
O conceito de fluidos envolve líquidos e gases, logo, é necessário distinguir estas duas classes: 
“Líquidos é aquela substância que adquire a forma do recipiente que a contém possuindo volume definido 
e, é praticamente, incompressível. Já o gás é uma substância que ao preencher o recipiente não formar 
superfície livre e não tem volume definido, além de serem compressíveis. 
De uma maneira geral, o fluido é caracterizado pela relativa mobilidade de suas moléculas que, além 
de apresentarem os movimentos de rotação evibração, possuem movimento de translação e portanto 
não apresentam uma posição média fixa no corpo do fluido. 
A principal distinção entre sólido e fluido, é pelo comportamento que apresentam em face às forças 
externas. 
 
 
Por exemplo, se uma força de compressão fosse usada para distinguir um sólido de um fluido, 
este último seria inicialmente comprimido, e a partir de um certo ponto ele se comportaria 
exatamente como se fosse um sólido, isto é, seria incompressível. 
 
Pressão 
O conceito de pressão foi introduzido a partir da análise da ação de uma força sobre uma superfície; 
já nos fluidos, o peso do fluido hidrostático foi desprezado e a pressão suposta tornou-se igual em todos 
os pontos. Entretanto, é um fato conhecido que a pressão atmosférica diminui com a altitude e que, num 
lago ou no mar, aumenta com a profundidade. Generaliza-se o conceito de pressão e se define, num 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
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ponto qualquer, como a relação entre a força normal F, exercida sobre uma área elementar A, incluindo 
o ponto, e esta área: 
 
Exercendo a pressão. Definimos a pressão de uma força sobre uma superfície, como sendo a razão 
entre a força normal e a área da superfície considerada. Então: p = F/A p = pressão A = área da superfície, 
no qual F representa uma força normal à superfície. Sendo a pressão expressa pela relação P = F/A, 
suas unidades serão expressas pela razão entre as unidades de força e as unidades de área, nos 
sistemas conhecidos. 
 
Exemplo: 
Assume que a área de um pé de uma pessoa de 80 kg é 25 cm x 6 cm. Determine a pressão que a 
pessoa exerce no chão enquanto está em pé. 
 
SOLUÇÃO 
A pressão é definida como a força por unidade de área, onde a força é o peso da pessoa W: 
W = m.g = (80 kg) (9,8 m s-2) = 784 N 
e a área é a área da seção transversal na qual esta força é exercida: 
Apé = área de uma elipse = p (0,25 m x 0,06 m)= 0,047 m2 
Desde que a pessoa normalmente fica em pé sobre os dois pés, a área total é 2 Apé = 0,094 m2. Assim, 
a pressão exercida pela pessoa sobre o chão é 
 
 
 
A hidrostática, também chamada estática dos fluidos ou fluidostática (hidrostática refere-se a água, 
que foi o primeiro fluido a ser estudado, assim por razões históricas mantém-se o nome) é a parte da 
física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos (líquidos ou gases) em repouso. A massa 
específica (m) de uma substância é a razão entre a massa (m) de uma quantidade da substância e o 
volume (V) correspondente: 
 
Uma unidade muito usual para a massa específica é o g/cm3, mas no SI a unidade é o kg/m3. A relação 
entre elas é a seguinte: 
 
 
Assim, para transformar uma massa específica de g/cm3 para kg/m3, devemos multiplicá-la por 1.000. 
Na tabela a seguir estão relacionadas às massas específicas de algumas substâncias. 
 
Substância 
 
Água 1,0 1.000 
Gelo 0,92 920 
Álcool 0,79 790 
Ferro 7,8 7.800 
Chumbo 11,2 11.200 
Mercúrio 13,6 13.600 
 
Observação: É comum encontrarmos o termo densidade (d) em lugar de massa específica (m). Usa-
se “densidade” para representar a razão entre a massa e o volume de objetos sólidos (ocos ou maciços), 
e “massa específica” para líquidos e substâncias. 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
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A densidade absoluta de uma substância é definida como a relação entre a sua massa e o seu volume. 
A densidade relativa é a relação entre a densidade absoluta de um material e a densidade absoluta de 
uma substância estabelecida como padrão. 
A massa específica (m) de uma substância é a razão entre a massa (m) de uma quantidade da 
substância e o volume (V) correspondente, ou seja, é representado pelo mesmo cálculo da densidade. 
Obviamente, é comum o termo densidade (d) em lugar de massa específica (m)... Uma explicação que 
encontrei seria que se usaria “densidade” para representar a razão entre a massa e o volume de objetos 
sólidos (ocos ou maciços), e “massa específica” para líquidos e soluções. Mas se assim fosse, não 
poderíamos falar densidade da água, mas somente massa específica. Curiosamente já encontrei também 
massa específica se referindo a solo, que não é líquido. Em termos gerais, a principal diferença observada 
que densidade é um conceito mais usado na química e massa específica na física (hidrostática). 
 
Definições: 
Pressão: força sobre uma área 
 
𝑃 =
𝐹
𝐴
 
 
Pressão Atmosférica: pressão exercida pela atmosfera terrestre e varia de acordo com a altitude, 
quanto maior altitude menor a pressão. 
 
Pressão Manométrica: pressão que se acrescenta a pressão atmosférica. 
 
Pressão Absoluta: soma da pressão atmosférica e manométrica. 
 
Instrumentos para medir pressão 
 
Barômetro: utilizado para medir pressão atmosférica. 
 
Fonte: www.emporionet.net 
Manômetro: 
 
 
Fonte: www.solucoesindustriais.com.br 
 
Princípio de Arquimedes 
Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, sofre a ação de uma força vertical, 
para cima, aplicada pelo fluido. Essa força é denominada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do 
fluido deslocado pelo corpo. 
 
E = Pfd = mfd . g E = df . Vfd . g 
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Assim, quando um barco está flutuando na água, em equilíbrio, ele está recebendo um empuxo cujo 
valor é igual ao seu próprio peso, isto é, o peso do barco está sendo equilibrado pelo empuxo que ele 
recebe da água: E = P. 
 
Aplicação 
 
Um mergulhador e seu equipamento têm massa total de 80kg. Qual deve ser o volume total do 
mergulhador para que o conjunto permaneça em equilíbrio imerso na água? 
 
Solução: Dados: g = 10m/s2; dágua = 103kg/m3; m = 80kg. Como o conjunto deve estar imerso na água, 
o volume de líquido deslocado (Vld) é igual ao volume do conjunto (V). 
 
Condição de equilíbrio: 
E = P 
d . Vld . g = m . g 
103 x V x 10 = 80 x 10 
V = 8 x 10-2 m3 
 
Princípio de Pascal 
 
Quando um ponto de um líquido em equilíbrio sofre uma variação de pressão, todos os outros pontos 
do líquido também sofrem a mesma variação. 
 
 
 
Dois recipientes ligados pela base são preenchidos por um líquido (geralmente óleo) em equilíbrio. 
Sobre a superfície livre do líquido são colocados êmbolos de áreas S1 e S2. Ao aplicar uma força F1 ao 
êmbolo de área menor, o êmbolo maior ficará sujeito a uma força F2, em razão da transmissão do 
acréscimo de pressão p. Segundo o Princípio de Pascal: 
∆𝑝1 = ∆𝑝2 
 
Importante: o Princípio de Pascal é largamente utilizado na construção de dispositivos ampliadores de 
força – macaco hidráulico, prensa hidráulica, direção hidráulica, etc. 
 
Equilíbrio de Corpos Flutuantes 
 
Quando um corpo emerge na superfície da água, ele passa a deslocar um menor volume de água. De 
acordo com o Princípio de Arquimedes, seu empuxo (que antes era maior do que seu peso) diminui. O 
bloco ficará em equilíbrio de flutuação na superfície da água quando a força de empuxo for exatamente 
igual ao peso. Dizemos que o corpo ficará flutuando em equilíbrio estático. 
Ocasionalmente, algumas embarcações ou navios podem ser modificadas, introduzindo-se mastros 
maiores ou canhões mais pesados; nestes casos, eles se tornam mais pesados e tendem a emborcar em 
mares mais agitados. Os "icebergs" muitas vezes também viram quando derretem parcialmente. Estes 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
106 
 
fatos sugerem que, além das forças, os torques destas forças também são importantes para o estudo do 
equilíbrio de flutuação. 
 
 
 
Quando um corpo está flutuando em um líquido, ele está sujeito à ação de duas forças de mesma 
intensidade, mesma direção (vertical) e sentidos opostos: a força-peso e o empuxo. Os pontos de 
aplicação dessas forças são, respectivamente, o centro de gravidade do corpo G e o centro de empuxo 
C, que corresponde ao centro de gravidade do líquido deslocado ou centro de empuxo. 
Se o centrode gravidade G coincide com o centro de empuxo C, situação mais comum quando o corpo 
está totalmente mergulhado, o equilíbrio é indiferente, isto é, o corpo permanece na posição em que for 
colocado. 
 
 
Quando um corpo flutua parcialmente imerso no fluido e se inclina num pequeno ângulo, o volume da 
parte da água deslocada se altera e, portanto, o centro de empuxo muda de posição. Para que um objeto 
flutuante permaneça em equilíbrio estável, seu centro de empuxo deve ser deslocado de tal modo que a 
força de empuxo (de baixo para cima) e o peso (de cima para baixo) produzam um torque restaurador, 
que tende a fazer o corpo retornar a sua posição anterior. 
 
 
 
Quando o centro de gravidade G estiver acima do centro de empuxo C, o equilíbrio pode ser estável 
ou não. Vai depender de como se desloca o centro de empuxo em virtude da mudança na força do volume 
de líquido deslocado. As figuras mostram essa situação, onde o centro de gravidade G está acima do 
centro de empuxo, mas, ao deslocar o corpo da posição inicial, o centro de empuxo muda, de modo que 
o torque resultante faz com que o corpo volte para sua posição inicial de equilíbrio. 
Obs.: A diferença conceitual entre centro de empuxo e centro de gravidade é que a posição do centro 
de gravidade não se altera em relação ao corpo, a menos que ele seja deformado. Mas o centro de 
empuxo do corpo flutuante muda de acordo com a forma do líquido deslocado porque o centro de empuxo 
está localizado no centro de gravidade do líquido deslocado pelo corpo. 
 
 
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As figuras abaixo mostram o equilíbrio chamado instável. Movimentando o corpo (oscilando) de sua 
posição inicial, o deslocamento do centro de empuxo faz com que o torque resultante vire o corpo. A 
tarefa de um engenheiro naval consiste em projetar os navios de modo que isto não ocorra. 
 
 
 
 
PRESSÃO ATMOSFÉRICA 
 
Como existe uma atmosfera sobre a superfície da Terra e como esta atmosfera é um fluido, segue que 
cada ponto no interior da atmosfera terrestre está sob ação de uma pressão, chamada de pressão 
atmosférica, que diminui a medida que a altura em relação a superfície terrestre aumenta. 
Como o ar não pode ser considerado um fluido incompressível em extensões muito elevadas, a relação 
de Stevin não se aplica diretamente no caso da atmosfera, embora seja sempre possível se determinar 
facilmente a pressão atmosférica em qualquer ponto. 
Em 1643 Evangelista Torricelli (1608 – 1647) idealizou um experimento prático para a determinação 
da pressão atmosférica, que foi realizado por Vicenzo Viviani. Ele usou um tubo de 1 metro de 
comprimento, completamente cheio de mercúrio (Hg) e com uma extremidade tampada, como mostra 
figura 1 (a). Depois colocou o tubo em pé tapando a outra extremidade e colocando esta extremidade 
dentro de um recipiente contendo também mercúrio, como mostra a figura 1 (b). Finalmente, após 
destampar o tubo, mediu a altura da coluna de mercúrio existente no tubo que, por construção, continha 
vácuo na parte superior, como mostra a figura 1 (c). 
Como um ponto A na superfície livre do mercúrio está à mesma pressão que um ponto B na mesma 
altura no interior do tubo e como a pressão no ponto B é dada por pB=ρg.h, pode-se determinar facilmente 
a pressão atmosférica, pois a densidade do mercúrio é conhecida e dada por 13,6 g/cm³. 
Repetindo-se o experimento de Torricelli num local onde a gravidade tem seu valor normal, obtém-se 
que a coluna de mercúrio sobe por uma altura de h = 0,76m. Sendo, por definição, a pressão num local 
onde a gravidade tem valor normal à pressão de 1 atm (uma atmosfera), pode-se obter que: 
1 atm = 101,3 kPa = 76 cmHg = 760 mmHg 
 
Figura 1. – Experimento de Torricelli 
 
Diferença de pressão num fluido 
É fácil entender por que a pressão varia com a profundidade num fluido. A pressão varia como 
resultado da força peso (por unidade de área) exercida pela parte do fluido que está acima. À medida que 
mergulhamos aumentamos a quantidade de fluido acima de nós e, consequentemente, a pressão. 
 
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Verifique como a pressão no fluido varia em função da profundidade admitindo que o fluido tenha uma 
densidade constante. 
 
Sejam dois pontos 1 e 2 dentro do fluido. Imaginemos uma coluna de fluido de altura h e área A. 
 
O peso do fluido acima de 2 e até a altura associada ao ponto 1 é: 
 
Portanto, a pressão adicional (P2 - P1), devido ao peso do fluido acima, é: 
 
 
 
Logo, a pressão num ponto a uma altura h abaixo de 1 será dada por: P2 = P1 + rgh, onde P1 é a 
pressão no ponto 1. 
 
Este resultado vale para todos os pontos localizados a uma mesma altura dentro do fluido. 
 
Suponhamos um vaso comunicante, no qual colocamos dois líquidos imiscíveis, por exemplo, água e 
óleo. 
 
 
Na figura A, temos somente água no tubo, e, na figura B, colocamos óleo. Neste caso, as alturas são 
diferentes, pois as densidades dos líquidos são diferentes. Com a introdução de óleo, a água teve sua 
altura alterada. À medida que o sistema tende ao equilíbrio, a água pára de subir no ramo direito e as 
pressões nos dois ramos se igualam. 
Vamos calcular essas pressões. Temos, como nível de referência, a linha que passa pela superfície 
de separação dos dois fluidos. 
Observe a figura b. As pressões, nos pontos 
A e B são, respectivamente: 
PA = Patm + µ0h0g O = óleo 
PB = Patm + µAhAg A = água 
Já sabemos que PA e PB são iguais, pois representam pressões aplicadas no mesmo nível de um 
líquido em equilíbrio, então: 
 
PA = PB 
Patm = µ0h0g = Patm + µAhAg 
µ0h0g = µAhAg 
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µ0h0 = µAhA ou 
µ 0
µ 𝐴
= 
h 𝐴
h 0
 
Com esta expressão, podemos calcular a densidade absoluta do óleo de qualquer outro não miscível. 
 
TIPOS DE ESCOAMENTO 
 
O óleo, a água e o ar são chamados de fluidos porque são capazes de escoar, mas possuem 
propriedades muito diferentes. A água escoa c m mais facilidade que o óleo e o escoamento doar se torna 
turbulento. O escoamento dos fluidos depende das forças que agem sobre o fluido e da forma que as 
superfícies solidas com as quais o fluido entra em contato. O escoamento de fluidos está presente em 
muitas situações do dia a dia. As observações mostram que o tipo de escoamento pode variar com o 
tempo e com o local. Assim, por exemplo, 
A fumaça que sai de uma chaminé pode se mover por algum tempo como um todo compacto antes de 
se misturar com o ar. 
O óleo despejado de um recipiente pode respingar ou não, dependendo do modo que é despejado. 
A água escoa suavemente ao passar pelos pilares de uma ponte, mas pode firmar turbilhões atrás dos 
pilares. 
Alguns líquidos escoam com muito mais facilidade que outros. Os gases escoam com mais facilidade 
que os líquidos. No escoamento dos fluidos, em geral, diferentes partes do fluido se movem com 
velocidades diferentes. Em um fluido que escoa com facilidades, as camadas passam uma pelas outras 
quase sem atrito. Quando mexemos uma xícara de chá, por exemplo, o líquido continua a circular por um 
tempo considerável depois que a colher é removida. Quando fazemos a mesma coisa com melado, o 
melado para de circular quase imediatamente. Isso acontece porque o atrito interno entre as partículas 
de melado e muito maior, o que faz com que as camadas mais lentas freiem as camadas mais rápidas. 
O atrito interno dos fluidos é chamado de viscosidade. O melado é muito mais viscoso que a água. Os 
líquidos são mais viscosos que os gases. O termo “não viscoso” é usado para designar os fluidos cuja 
viscosidade para ser desprezada. 
 De acordo com a segunda Lei de Newton, a essas variações de velocidade correspondem forças que 
tendem a frear a camada mais rápida e a acelerar a camada mais lenta. Essas forças de atrito são 
responsáveis pela viscosidade dos fluidos. 
 
Escoamento viscoso Pode se classificadoem escoamento laminar ou turbulento. A diferença entre 
os dois está associada ao fato que no primeiro caso, temos transferência de quantidade de movimento a 
nível molecular e no segundo a nível macroscópico. •A diferença no comportamento está associada com 
as forças que atuam no elemento de fluido. Quanto as forças viscosas dominam em relação as forças de 
inércia, o escoamento apresenta comportamento laminar. Quando as forças de inércia dominam, o 
escoamento se comporta como turbulento. 
O escoamento só acontece quando, houver um trabalho contra as forças de resistência. Um fator 
levado em conta da viscosidade é que, através dela podem-se distinguir regimes de escoamento, bem 
como são produzidas situações diferentes às do fluido ideal. 
 
Escoamento laminar Partículas fluidas se movimentam em camadas paralelas, ou lâminas, 
escorregando através das lâminas adjacentes. Para que ocorra é necessário que as partículas 
desloquem-se com certa velocidade, denominada de velocidade crítica inferior. 
 
Escoamento turbulento Neste escoamento verifica-se que as partículas não permanecem em 
camadas, se movem de forma heterogênea através do escoamento, escorregando sobre algumas e 
colidindo com outra de modo inteiramente caótico e em distâncias curtas em todas as direções. E para 
que ocorra é necessário que no escoamento laminar haja um acréscimo de velocidade, denominada de 
velocidade crítica superior. O regime de escoamento em tubo é medido através do número adimensional 
Reynolds e de acordo com estudos, o limite estabelecido entre os dois escoamentos está na ordem de 
Rey < 2100 para laminar e Rey > 3000 para turbulento, porém o número de Reynolds crítico é função da 
geometria e da rugosidade das paredes do tubo. No intervalo de 2100 e 3000 o escoamento é dito de 
transição. 
O parâmetro que mede a razão entre as forças de inércia e viscosas é o número de Reynolds, Re 
definido como 
 
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110 
 
 
onde: é a massa específica, µ é a viscosidade absoluta. 
Vc e Lc correspondem a velocidade e dimensão característica do escoamento. 
O escoamento turbulento é o contrário do escoamento laminar. O movimento das moléculas do fluido 
é completamente desordenado; moléculas que passam pelo mesmo ponto, em geral, não têm a mesma 
velocidade e torna-se difícil fazer previsões sobre o comportamento do fluido. 
 
O escoamento turbulento não se move através de um fluido, de modo a provocar turbulência, a 
resistência ao seu movimento é bastante grande. Por esta razão, aviões, carros e locomotivas são 
projetados de forma a evitar turbulência. No caso de refinaria, a preocupação é com o escoamento de 
produtos perigosos. 
 
Vazão e Débito em escoamento uniforme 
 
A vazão ou débito de um fluido é a razão entre o volume de fluido escoado em um tempo e o intervalo 
de tempo considerado. 
Q = V/t 
Onde V é o volume escoado no tempo t, e 
Q é a vazão. 
 
Se tivermos num condutor um fluido em escoamento uniforme, isto é, o fluido escoando com 
velocidade constante, a vazão poderá ser calculada multiplicando-se a velocidade (v) do fluido, em dada 
seção do condutor, pela área 
(A) da seção considerada, ou seja: 
Q = Av 
Para demonstrar, suponhamos um condutor de seção constante. 
 
 
O Volume escoado entre as seções (1) e (2) de área A é igual: 
V = A . L 
Porém L = vt (o movimento é uniforme) e, daí, temos que: 
V = A vt 
Como Q = V/t , temos: Q = Av 
 
Em uma nomenclatura diferente, o sistema é conhecido como Sistema Fechado, e o Volume de 
Controle é conhecido como sistema aberto. 
Ambas nomenclaturas estão presentes na literatura e são aceitas pelos profissionais da área, sendo a 
mais utilizada nos tempos recentes. 
 
 Sistema 
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Em um sistema, existe uma quantidade de massa fixa, e esta é separada do ambiente pelas fronteiras 
do mesmo. Ou seja, não é possível adicionar ou subtrair massa do mesmo, não importando se as 
fronteiras são fixas ou móveis, a massa é separada do ambiente, mantendo-se constante. 
Existe a transferência de calor e trabalho através das fronteiras do sistema, mas não é transferida 
massa. 
 
Volume de Controle 
Um volume de controle, de forma oposta ao sistema, é um volume definido no espaço. O escoamento 
do fluído se dá neste volume definido. O que define o volume em questão é a superfície de controle, ela 
pode ser física ou definida apenas conceitualmente. 
Por exemplo: deseja-se analisar um fluído dentro de uma mangueira de 20m, mas analisar-se-á 
apenas 30 cm da mangueira. Neste caso, 20m é a superfície de controle física, mas a que será utilizada 
para fins de cálculo é a superfície de controle conceitual, imaginária, definida na análise da questão. 
 
Diferença entre os dois 
No sistema, analisa-se uma porção fixa de massa, já no volume de controle, analisa-se a massa 
presente em um volume no espaço, podendo a massa variar, devido a condições do fluido. 
No sistema a massa é fixa. 
No Volume de Controle, o volume é fixo, a massa pode variar. Analise Dimensional e Semelhança 
 
 A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos com procedimentos 
analíticos, apenas utilizando procedimentos experimentais; 
 Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e analítica; 
 Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente aplicáveis (medidas 
obtidas num sistema em laboratório podem ser utilizadas para descrever o comportamento de um 
sistema similar); 
 Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo de laboratório e o “outro” 
sistema 
Pelo procedimento chamado análise dimensional, o fenômeno pode ser formulado como uma relação 
entre um conjunto de grupos adimensionais das variáveis. 
 
Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos: 
· o maior número de informações 
· o menor número de ensaios 
 
O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de: análise teórica e resultados experimentais 
(numéricos e/ou de laboratório) 
 Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no fenômeno físico, mas não a 
relação funcional entre elas. 
 A análise dimensional permite associar variáveis em grupos adimensionais. 
Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é impossível ou caro, utiliza-se 
modelos reduzidos representativos. 
Pelo procedimento chamado análise dimensional, o fenômeno pode ser formulado como uma relação 
entre um conjunto de grupos adimensionais das variáveis. 
Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos: o maior número de informações e o menor 
número de ensaios. 
 
VASOS COMUNICANTES 
 
Um sistema de vasos comunicantes é um conjunto de vasos abertos à atmosfera, que são postos em 
comunicação entre si de maneira que ao colocarmos um líquido em um dos vasos do conjunto, o líquido 
se distribuirá por todos os demais vasos do conjunto. Como todos os pontos do liquido colocado nos 
vasos comunicantes em contato com a atmosfera estarão a mesma pressão, segue que eles deverão 
estar à mesma altura, ou seja, o líquido subirá em todos os ramos à mesma altura h, sendo então como 
mostra a figura 1 a seguir: 
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 Na figura 1, através de vasos comunicantes é possível perceber que a pressão depende apenas da 
profundidade e não de outras características, como a forma do vaso. 
 
Por exemplo, se o óleo e a água forem colocados com cuidado num recipiente, o óleo fica na parte 
superior porque é menos denso que a água, que permanece na parte inferior. Caso os líquidos imiscíveis 
sejam colocados num sistema constituídos por vasos comunicantes, como um tubo em U (Figura 2), eles 
se dispõem de modo que as alturas das colunas líquidas, medidas a partir da superfície de separação, 
sejam proporcionais às respectivas densidades. 
 
 
Na Figura 2, sendod1 a densidade do líquido menos denso, d2 a densidade do líquido mais denso, h1 
e h2 as respectivas alturas das colunas, obtemos: 
 
d1h1 = d2h2 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS – Engenheiro de Petróleo Júnior – CESGRANRIO) Um reservatório de base 
retangular é preenchido com água até uma altura h. Se a pressão manométrica máxima suportada pela 
base do reservatório é de 25 kPa, a altura h máxima, em metros, para o nível da água é 
Dados :Massa específica da água = 1.000 kg/m3 
Aceleração da gravidade = 10 m/s2 
(A) 1,0 
(B) 1,5 
(C) 2,0 
(D) 2,5 
(E) 4,0 
 
02 (ETAM – Técnico de Projetos Navais – BIO-RIO/2015) Na cidade de Boituva, a 122 km da 
capital paulista, os passeios de balão são comuns. A figura a seguir ilustra um desses passeios. 
 
 
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Considere que o balão, durante a decolagem, esteja sob ação exclusiva das forças peso e em 
empuxo, cujos módulos são, respectivamente, P e E. A relação correta entre os módulos destas forças 
para que o balão descreva um movimento vertical, para cima e com velocidade crescente, durante a 
decolagem, é: 
(A) E<P 
(B) E=P 
(C) E>P 
(D) E+P=0 
 
03. (UFF – Técnico em Equipamento Médico – Odontológico – COSEAC/2015) Na figura abaixo, 
os pistões possuem áreas A1=50 cm² e A2=30 cm² 
 
 
 
Sendo a massa de um corpo colocado sobre o pistão de A1 igual a 80kg, desprezando-se os pesos 
dos pistões e considerando que o sistema está em equilíbrio estático, a massa do corpo colocado sobre 
o pistão de A2 deverá ser, em kg, de 
(A) 80 
(B) 55 
(C) 36 
(D) 48 
(E) 18 
 
04) O sangue flui da aorta para as artérias maiores, as artérias menores, os vasos capilares e as aveias 
até atingir o átrio direito. Durante este processo, a pressão (manométrica) cai de cerca de 100 torr para 
zero. Se a vazão volumétrica é 800 mL/s, determine a resistência total do sistema circulatório. 
 
05. Uma placa circular com diâmetro igual a 0,5m possui um peso de 200N, determine em Pa a pressão 
exercida por essa placa quando a mesma estiver apoiada sobre o solo. 
 
06. Determine o peso em N de uma placa retangular de área igual a 2m² de forma a produzir uma 
pressão de 5000Pa. 
 
07. Na figura apresentada a seguir, os êmbolos A e B possuem áreas de 80cm² e 20cm² 
respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. Sabendo-
se que a massa do corpo colocado em A é igual a 100kg, determine a massa do corpo colocado em B. 
 
 
08. As mangueiras, assim como os tubos, são linhas utilizadas na hidráulica móbil e estacionária. Sua 
utilização é aconselhada quando se pretende 
(A) conduzir fluidos líquidos ou gases; absorver vibrações; e reduzir drasticamente o nível de ruído na 
linha. 
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(B) transferir o calor do fluido para o ambiente; absorver vibrações; e compensar e/ou dar liberdade de 
movimentos. 
(C) conduzir fluidos líquidos ou gases; absorver vibrações; e compensar e/ou dar liberdade de 
movimentos. 
(D) transferir o calor do fluido para o ambiente; reduzir drasticamente o nível de ruído na linha; e 
compensar e/ou dar liberdade de movimentos. 
 
09. Demonstre que líquidos imiscíveis colocados num tubo em U se dispõem de modo que as alturas, 
medidas a partir da superfície de separação, sejam inversamente proporcionais às respectivas 
densidades. 
 
10. Uma bomba transfere óleo diesel em um reservatório à razão de 20 m3/h. Qual é o volume do 
reservatório, sabendo-se que ele está completamente cheio após 3 horas de funcionamento de bomba. 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
P=gh 
25000=1000x10xh 
H=2,5 m 
 
02. Resposta: C. 
Dado que o balão sobe, o Empuxo tem que ser maior que o peso. 
 
03. Resposta: D. 
F2=24000/50=480N 
F=mg 
480=m.10 
M=48kg 
 
04. Resposta: 
 
R =
P
𝐼𝑉
= 
100 𝑡𝑜𝑟𝑟
0,800 𝐿.𝑠
 𝑥 
101 𝐾𝑃𝑎
760 𝑡𝑜𝑟𝑟
x 
1𝐿
103
x
1𝑐𝑚3
10−6
= 16,61 KPa.s/m3 
 
05.Resposta 
 
 
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06. Resposta 
 
 
07.Resposta 
 
 
08.Resposta:C 
 
09. Resposta: 
A pressão no ponto A é igual à pressão no ponto B (mesma horizontal e mesmo líquido): 
 
pA = pB 
 
Mas: 
 
pA = pATM + d1gh1 
 
pB = pATM + d2gh2 
 
Assim: 
 
pATM + d1gh1 = pATM + d2gh2 
 
d1h1 = d2h2 
 
10. Resposta: 
Temos que Q = 20 m3/h 
t = 3 h 
V = ? 
Q = V/t V = Q x t 
V = 20 x 3 
V = 60 m3 
 
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TERMOLOGIA 
 
Temperatura 
Chamamos de Termologia a parte da física que estuda os fenômenos relativos ao calor, aquecimento, 
resfriamento, mudanças de estado físico, mudanças de temperatura, etc. 
 
Temperatura é a grandeza que caracteriza o estado térmico de um corpo ou sistema. 
Fisicamente o conceito dado a quente e frio é um pouco diferente do que costumamos usar no nosso 
cotidiano. Podemos definir como quente um corpo que tem suas moléculas agitando-se muito, ou seja, 
com alta energia cinética. Analogamente, um corpo frio, é aquele que tem baixa agitação das suas 
moléculas. 
Ao aumentar a temperatura de um corpo ou sistema pode-se dizer que está se aumentando o estado 
de agitação de suas moléculas. 
Ao tirarmos uma garrafa de água mineral da geladeira ou ao retirar um bolo de um forno, percebemos 
que após algum tempo, ambas tendem a chegar à temperatura do ambiente. Ou seja, a água "esquenta" 
e o bolo "esfria". Quando dois corpos ou sistemas atingem o mesma temperatura, dizemos que estes 
corpos ou sistemas estão em equilíbrio térmico. 
 
ESCALAS TERMOMÉTRICAS 
Para a construção de uma escala termométrica arbitrária de temperatura, devemos proceder da 
seguinte maneira: 
• Escolhe-se a substância termométrica, por exemplo: um líquido, e a grandeza termométrica 
correspondente: a altura da coluna do líquido. 
• Coloca-se o líquido em um reservatório (bulbo), ligado a um tubo capilar, cada estado térmico 
corresponde a uma altura dessa coluna. 
• Adotam-se dois estados térmicos, que se mantenham invariáveis por um determinado tempo e que 
sejam de fácil reprodução. Geralmente os estados térmicos escolhidos são: ponto de fusão do gelo à 
pressão normal (1 atmosfera) e ponto de ebulição da água à pressão normal (1 atmosfera). Estes estados 
térmicos são, normalmente, chamados de pontos fixos. 
• Em um recipiente contendo água no estado líquido e gelo se derretendo, introduzimos o termômetro, 
aguardamos o equilíbrio térmico e anotamos a altura da coluna correspondente à temperatura de fusão 
do gelo. 
• Em um recipiente contendo água em ebulição, em presença de vapor d’água, colocamos o 
termômetro, aguardamos o equilíbrio térmico e anotamos a altura da coluna correspondente ao estado 
de vapor. 
 
• Dividimos em partes iguais o intervalo delimitado entre as anotações e associamos valores numéricos 
arbitrários. Cada parte em que fica dividido o intervalo é denominada grau de escala, e é sua unidade. 
 
3.2.1.4 Termologia: Conceito de temperatura. Equilíbrio térmico. 
Escalas termométricas. Dilatação térmica de sólidos e líquidos. 
Transmissão do calor. Calor específico. Capacidade térmica. Calorimetria. 
Conceito de calor. Estados físicos da matéria. Mudança de estado físico. 
Transformação de energia mecânica em térmica. Gases. Conceito de gás 
ideal. Leis dos gases ideais, transformações gasosas. Diagrama de fases 
e de Clapeyron. Leis da termodinâmica. Máquinas térmicas, rendimento 
de máquinas térmicas. 
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São 3 as escalas termométricas mais comuns: 
 
- Escala Celsius 
- Escala Fahrenheit 
- Escala Kelvin 
Para que seja possível medir a temperatura de um corpo, foi desenvolvido um aparelho chamado 
termômetro. 
O termômetro mais comum é o de mercúrio, que consiste em um vidro graduado com um bulbo de 
paredes finas que é ligado a um tubo muito fino, chamado tubo capilar. 
Quandoa temperatura do termômetro aumenta, as moléculas de mercúrio aumentam sua agitação 
fazendo com que este se dilate, preenchendo o tubo capilar. Para cada altura atingida pelo mercúrio está 
associada uma temperatura. 
A escala de cada termômetro corresponde a este valor de altura atingida. 
 
 Escala Celsius 
É a escala usada no Brasil e na maior parte dos países, oficializada em 1742 pelo astrônomo e físico 
sueco Anders Celsius (1701-1744). Esta escala tem como pontos de referência a temperatura de 
congelamento da água sob pressão normal (0 °C) e a temperatura de ebulição da água sob pressão 
normal (100 °C). 
 
 Escala Fahrenheit 
Outra escala bastante utilizada, principalmente nos países de língua inglesa, criada em 1708 pelo físico 
alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), tendo como referência a temperatura de uma mistura de 
gelo e cloreto de amônia (0 °F) e a temperatura do corpo humano (100 °F). 
Em comparação com a escala Celsius: 
0 °C = 32 °F 
100 °C = 212 °F 
 
 Escala Kelvin 
Também conhecida como escala absoluta, foi verificada pelo físico inglês William Thompson (1824-
1907), também conhecido como Lorde Kelvin. Esta escala tem como referência a temperatura do menor 
estado de agitação de qualquer molécula (0 K) e é calculada apartir da escala Celsius. 
Por convenção, não se usa "grau" para esta escala, ou seja 0 K, lê-se zero kelvin e não zero grau 
kelvin. Em comparação com a escala Celsius: 
-273 °C = 0 K 
0 °C = 273 K 
100 °C = 373 K 
 
 CONVERSÕES 
Para que seja possível expressar temperaturas dadas em uma certa escala para outra qualquer deve-
se estabelecer uma convenção geométrica de semelhança. 
Por exemplo, convertendo uma temperatura qualquer dada em escala Fahrenheit para escala Celsius: 
 
Pelo princípio de semelhança geométrica: 
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118 
 
 
Exemplo: 
Qual a temperatura correspondente em escala Celsius para a temperatura 100 °F? 
 
 Da mesma forma, pode-se estabelecer uma conversão Celsius-Fahrenheit: 
 
 E para escala Kelvin: 
 
 
 Para uma melhor compreensão sobre escalas termométricas, segue abaixo um quadro com as 
fórmulas, mais importantes a serem utilizadas. 
 
 
 
 
 
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Escalas termométricas 
Escala Fahrenheit 
 
 
 
 
Escala Kelvin 
 
 
 
 
 
Conversões entre escalas 
Celsius para Fahrenheit 
 
 
 
Fahrenheit para Celsius 
 
 
 
Celsius para Kelvin 
 
 
 
Kelvin para Celsius 
 
 
 
 
Questões 
 
01. (ETAM – Técnico de projetos navais – BIO-RIO) Um turista americano, ao desembarcar no 
aeroporto do Rio de Janeiro para assistir à Copa do Mundo de Futebol de 2014, verificou que a 
temperatura local era de 40 °C. O valor desta temperatura na escala Fahrenheit é: 
(A) 32 
(B) 40 
(C) 72 
(D) 104 
 
02. (EEAR – Sargento- Controlador de Tráfego Aéreo – AERONÁUTICA) Um indivíduo, na praia, 
tem gelo (água no estado sólido) a -6ºC para conservar um medicamento que deve permanecer a 
aproximadamente 0ºC. Não dispondo de um termômetro, teve que criar uma nova maneira para controlar 
a temperatura. Das opções abaixo, a que apresenta maior precisão para a manutenção da temperatura 
esperada, é 
(A) utilizar pouco gelo em contato com o medicamento. 
(B) colocar o gelo a uma certa distância do medicamento. 
(C) aproximar e afastar o gelo do medicamento com determinada frequência. 
(D) deixar o gelo começar a derreter antes de colocar em contato com o medicamento. 
 
03. (UEG – Assistente de Gestão Administrativa – Necropsia – FUNIVERSA) Uma câmara 
refrigerada utilizada em necrotérios possui, nas especificações técnicas a respeito do controle de 
temperaturas, um termômetro digital, graduado de –40 ºC a +99 ºC, com posicionamento externo e bulbo 
sensor remoto. As temperaturas indicadas de –40 ºC e 99 ºC correspondem, respectivamente e 
aproximadamente, nas escalas Fahrenheit e Kelvin, a 
(A) 36 ºF e 370 K. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
120 
 
(B) 24 ºF e 174 K. 
(C) –20 ºF e 273 K. 
(D) –36 ºF e 370 K. 
(E) –40 ºF e 372 K. 
 
04. (CBM/MG – Oficial do Corpo de Bombeiros Militar – IDECAN) A figura representa o botão 
controlador da temperatura de um forno. Considere que na posição “LOW” a temperatura, no interior do 
forno, atinja 300°F e na posição “HI” atinja 480°F e que ocorra um aumento contínuo da temperatura entre 
esses dois pontos. 
 
Assim, para se obter a temperatura de 160°C, deve-se ajustar esse botão na posição: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
 
05. (LIQUIGÁS – Profissional de Vendas – CESGRANRIO) Uma expedição de pesquisa chega a um 
local ermo. Os pesquisadores descobrem que levaram o termômetro errado para medir a temperatura 
ambiente. Ele havia sido graduado em uma escala X que, em água fervente a 1 atm, indica 80 °X e que, 
em gelo fundente a 1 atm, indica 30 °X. Qual a temperatura em °C que esse termômetro mede quando 
indica 40 °X? 
(A) 10 
(B) 20 
(C) 30 
(D) 40 
(E) 50 
 
06. Um estudante de física criou uma escala (°X), comparada com a escala Celsius ele obteve o 
seguinte gráfico: 
 
a. Qual a equação de conversão entre as duas escalas? 
b. Qual a temperatura do corpo humano (37°C) nesta escala? 
 
07. (ITA-SP) Para medir a febre de pacientes, um estudante de medicina criou sua própria escala linear 
de temperaturas. Nessa nova escala, os valores de O (zero) e 10 (dez) correspondem, respectivamente, 
a 37°C e 40°C. A temperatura de mesmo valor numérico em ambas as escalas é aproximadamente: 
(A) 52,9 ºC 
(B) 28,5 ºC 
(C) 74,3 ºC 
(D) - 8,5 ºC 
(E) - 28,5 ºC 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
121 
 
08. Lorde Kelvin verificou experimentalmente que, quando um gás é resfriado de 0 ºC para -1 ºC, por 
exemplo, ele perde uma fração de sua pressão igual a 1/273,15. Raciocinou então que na temperatura 
de -273,15 ºC a pressão do gás se tornaria nula, ou seja, a energia cinética das partículas do gás seria 
igual a zero. Kelvin denominou a temperatura de -273,15 ºC de zero absoluto. 
Identifique a alternativa em que a conversão de unidades é incorreta: 
(A)0 ºC é igual a 273,15 K. 
(B100 ºC é igual a 173,15 K. 
(C) 26,85 K é igual a 300 ºC. 
(D) 500 k é igual a 226,85 ºC. 
(E) 300 k é igual a 26,85 ºC. 
 
Respostas 
 
01.Resposta: D. 
𝜃𝑐
5
=
𝜃𝐹 − 32
9
 
40
5
=
𝜃𝐹 − 32
9
 
𝜃𝐹 − 32 = 72 
𝜃𝐹 = 72 + 32 = 104 
02.Resposta: D. 
A temperatura de fusão é de 0ºC, portanto, quando o gelo começar a entrar na fase líquida, ele vi estar 
a 0ºC. 
 
03. Resposta: E. 
𝐶
5
=
𝐹 − 32
9
 
−
40
5
=
𝐹 − 32
9
 
5F-160=-360 
5F=-360+160 
5F=-200 
F=-40 ºF 
K=99+273=372K 
 
04. Resposta: A. 
160
5
=
𝐹 − 32
9
 
329=F-32 
288=F-32 
F=320 
480-300=180°F 
Como são 9 pontos: 180/9=20, portanto de 20 em 20 muda a temperatura. 
Como a temperatura é de 320, é a primeira posição 2. 
 
05. Resposta: A. 
 
100 − 0
𝜃𝐶 − 0
=
80 − 30
40 − 30
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
122 
 
100
𝜃𝐶
=
50
10
 
𝜃𝐶 =
1000
50
= 20 
 
06. Resposta: 
a. 
 
b. 
 
07. Resposta: A. 
Comparando as escalas, temos: 
 
ϴC - 37 = ƟX – 0 
40 -37 10 – 0 
ϴC - 37 = ƟX 
 3 10 
Se Ɵ é a temperatura de mesmo valor numérico em ambas as escalas, então podemos dizer que ƟX – 
Ɵc = Ɵ. Logo, temos: 
ϴ- 37 = Ɵ 
 3 10 
10Ɵ – 370 = 3ϴ 
7Ɵ = 370 
Ɵ ≈ 52,9 ºC = 52,9 X 
 
08. Resposta: C. 
Na realidade, 26,85 K é igual a - 246,30 ºC e não 300 ºC. Veja: 
TK = TºC + 273,15 
26,85 = TºC+ 273,15 
TºC= 26,85 – 273,15 
TºC=- 246,30 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
123 
 
DILATAÇÃO 
 
Chama-se dilatação todo acréscimo às dimensões de um corpo por influência do calor que lhe é 
transmitido. O fenômeno é explicado pela variação das distâncias relativas entre as moléculas, associada 
ao aumento de temperatura. Normalmente, sãoestudadas em separado a dilatação dos sólidos, a dos 
líquidos e a dos gases, distinguindo-se, no caso dos sólidos, a dilatação linear, a superficial e a 
volumétrica. 
 
Dilatação Linear dos Sólidos 
Chamaremos de dilatação linear a dilatação de objetos cujo comprimento é muito maior do que as 
outras dimensões. Nesses casos, a variação do comprimento tende a ser mensurável, enquanto a 
dilatação das outras dimensões tende a ser desprezível quando comparada ao comprimento. É o caso 
de uma barra ou fio 
De forma empírica (ou seja, experimental), podemos verificar que a dilatação de uma barra é 
proporcional a duas coisas: 
-Ao seu comprimento inicial; 
-À sua variação de temperatura. 
Chamando de L0 o comprimento inicial da barra, L o seu comprimento final, T0sua temperatura inicial 
e T sua temperatura final, teremos: 
 
Dilatação = ΔL=L−L0ΔL=L−L0 
Variação de temperatura = ΔT=T−T0ΔT=T−T0 
 
 
Assim, temos que: ΔL=L0⋅α⋅ΔTΔL=L0⋅α⋅ΔT 
Onde o coeficiente de proporcionalidade α é chamado de coeficiente de dilatação linear e é uma 
característica do material. Ele não é, a rigor, constante, mas é costume utilizar o valor médio dessa 
grandeza nas questões. 
 
Note que: ΔL=L0⋅α⋅ΔT⇒α=ΔLL0⋅ΔTΔL=L0⋅α⋅ΔT⇒α=ΔLL0⋅ΔT 
Assim, em termos de unidades, ao utilizarmos as mesmas unidades para o comprimento inicial e para 
a dilatação, a unidade do coeficiente de dilatação linear é o inverso da unidade de temperatura. De forma 
usual, utiliza-se o °C-1.Ainda podemos observar o seguinte: lembrando que ΔL = L - L0 podemos substituir 
essa relação na equação da dilatação: 
ΔL=L−L0=L0⋅α⋅ΔTΔL=L−L0=L0⋅α⋅ΔT 
⇒L=L0+L0⋅α⋅ΔT⇒L=L0+L0⋅α⋅ΔT 
⇒L=L0 (1+α⋅ΔT) ⇒L=L0 (1+α⋅ΔT) 
Essa equação nos dá, de forma direta, o valor do comprimento final da barra. Visto que é uma equação 
de 1º grau, sua representação gráfica será uma reta. 
 
Representação gráfica 
Podemos expressar a dilatação linear de um corpo através de um gráfico de seu comprimento (L) em 
função da temperatura (θ), desta forma: 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
124 
 
O gráfico deve ser um segmento de reta que não passa pela origem, já que o comprimento inicial não 
é igual a zero. 
Considerando um ângulo φ como a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. Podemos 
relacioná-lo com: 
 
Pois: 
 
 
DILATAÇÃO SUPERFICIAL DOS SÓLIDOS 
 
Esta forma de dilatação consiste em um caso onde há dilatação linear em duas dimensões. 
Considere, por exemplo, uma peça quadrada de lados que é aquecida uma temperatura , de 
forma que esta sofra um aumento em suas dimensões, mas como há dilatação igual para os dois sentidos 
da peça, esta continua quadrada, mas passa a ter lados . 
Como exemplo, suponhamos que uma placa metálica, com temperatura inicial T0 e área A0, seja 
submetida a uma fonte de calor. Sua temperatura aumenta para T, ocorre uma dilatação superficial ΔA e 
a área ocupada passa a ser A: 
 
 
Um corpo com área inicial A0 recebe energia térmica e sofre uma dilatação superficial ΔA 
A dilatação superficial é diretamente proporcional à variação de temperatura ΔT e à área inicial A0, 
porém ela também depende do material a partir do qual é construída. Essa dependência é expressa 
matematicamente pela constante de proporcionalidade β, também chamada de coeficiente de dilatação 
superficial da substância que compõe o corpo. 
A variação de área sofrida pela placa pode ser determinada da seguinte forma: 
ΔS = S – So (I) 
 
Experimentalmente podemos mostrar que a variação da área sofrida pela placa é proporcional à 
variação da temperatura sofrida pela mesma, matematicamente temos a seguinte relação que determina 
a dilatação superficial, veja: 
ΔS = SoβΔt (II) 
 
Onde β é chamado de coeficiente de dilatação térmica superficial do material que constitui a placa, 
ele é igual a duas vezes o valor do coeficiente de dilatação térmica linear (α), veja: β = 2α. 
Para saber qual a área final da placa após ela ser aquecida podemos substituir a equação I na equação 
II, temos: 
S – So = SoβΔt 
 
Isolando S do restante da equação surge: S = So(1 + βΔt). 
Esta forma de dilatação consiste em um caso onde há dilatação linear em duas dimensões, ou seja, 
por área. 
∆𝐴 = 𝐴0 ∙ 𝛽 ∙ ∆𝜃 
Exemplo: 
(1) Uma lâmina de ferro tem dimensões 10m x 15m em temperatura normal. Ao ser aquecida 500ºC, 
qual será a área desta superfície? Dado 
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125 
 
 
 
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA (sólidos) 
 
A dilatação volumétrica ocorre quando um corpo, com dimensões de altura, largura e profundidade, 
é submetido a um aumento de temperatura. Essa variação de temperatura causa aumento na agitação 
das moléculas, ou átomos, que constituem o material, fazendo com que elas ocupem maior espaço, 
elevando, assim, as dimensões desse corpo. 
Observe a figura: 
 
 
Esquema demonstrando a dilatação sofrida por um corpo após receber energia térmica (calor) 
Na ilustração podemos ver que um corpo, com volume inicial V0 e temperatura T0, é submetido a uma 
fonte de calor, recebendo energia térmica. Essa energia causa variação da temperatura ΔT, e o corpo 
aumenta sua temperatura para T, elevando também o volume para V. A dilatação volumétrica ΔV é 
calculada pela fórmula: 
ΔV = V0 . γ . ΔT 
 
O γ é o coeficiente de dilatação volumétrica, que possui valor específico para cada substância. Ele 
corresponde ao triplo do coeficiente de dilatação linear α da mesma substância: 
γ = 3α 
A variação do volume, ou dilatação volumétrica, também pode ser calculada pela diferença entre o 
volume final e o volume inicial do corpo: 
ΔV = V – V0 
 
Essa equação pode ser relacionada com a equação anterior e utilizada para calcular o volume final da 
substância: 
ΔV = V0 . γ . ΔT -----------> ΔV = V – V0 
V – V0 = V0 . γ . ΔT 
V = V0 + V0 . γ . ΔT 
V = V0 (1 + γ . ΔT) 
Assim como na dilatação superficial, este é um caso da dilatação linear que acontece em três 
dimensões. 
Assim:∆𝑉 = 𝑉0𝛾 ∙ ∆𝜃 
 
 
 
 
 
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126 
 
Exemplo: 
O cilindro circular de aço do desenho abaixo se encontra em um laboratório a uma temperatura de -
100ºC. Quando este chegar à temperatura ambiente (20ºC), quanto ele terá dilatado? Dado que
. 
 
Sabendo que a área do cilindro é dada por: 
 
 
 
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA DOS LÍQUIDOS 
 
Os líquidos, diferentemente dos sólidos, não possuem forma própria: eles adquirem a forma do 
recipiente que os contém. Isso porque as ligações moleculares dos líquidos são menos intensas do que 
nos sólidos e eles possuem maior liberdade de movimento. Sendo assim, não faz sentido calcular a 
dilatação linear e a superficial de substâncias líquidas, mas é muito útil conhecer a sua dilatação 
volumétrica. 
O cálculo da dilatação volumétrica dos líquidos é feito de forma semelhante ao dos sólidos e utiliza a 
mesma equação. Porém, o coeficiente de dilatação volumétrica dos líquidos é maior do que o dos sólidos, 
por isso os líquidos dilatam-se mais. 
Se o líquido está contido em um recipiente, quando ele for aquecido, haverá dilatação do recipiente e 
do líquido. Considere a situação: 
Um recipiente cilíndrico feito de plástico foi aquecido e a água que havia nele transbordou. A 
quantidade de água derramada corresponde à dilatação aparente, pois o recipiente também se dilatou 
com o aumento de temperatura. Para sabermos a dilatação real sofrida pela água, devemos considerar 
também a dilatação do recipiente. 
 
Sendo assim, a dilatação real de um líquido é calculada a partir da equação: 
Δvlíq = Δvap + Δvrec. 
As dilatações da equação anterior são calculadas pelas fórmulas: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
127 
 
Δvlíq = V0 . γlíq . ΔT 
Δvap = V0 . γap . ΔT 
Δvrec. = V0 . γrec . ΔT 
 
Substituindo na equação anterior, teremos a expressão: 
V0 . γlíq . ΔT = V0 . γap . ΔT + V0 . γrec . ΔT 
 
Sendo o volume inicial e a variação de temperaturaiguais e estando eles presentes em todas as 
parcelas da equação, podemos simplificá-la para obter a relação entre os três coeficientes de dilatação: 
γlíq = γap + γrec 
 
Como o líquido precisa estar depositado em um recipiente sólido, é necessário que a dilatação deste 
também seja considerada, já que ocorre simultaneamente. Assim, a dilatação real do líquido é a soma 
das dilatações aparente e do recipiente. Assim: 
∆𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 = ∆𝑉𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + ∆𝑉𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
Exemplo: 
Uma proveta de vidro é preenchida completamente com 400 cm3 de um liquido a 200°C. O conjunto é 
aquecido até 220°C. Há, então, um transbordamento de 40 cm3 do liquido. 
É dado γVidro = 24. 10-6 ºC-1 
Calcule: 
a) o coeficiente de dilatação volumétrica aparente do liquido (γap) 
b) o coeficiente de dilatação volumétrica real do liquido (γreal) 
 
SOLUÇÃO: 
a) O transbordamento do líquido é sua dilatação aparente: ΔVap = 40 cm3 . 
Tem-se também a expressão Δt = 220 - 20 \ Δt = 200ºC 
Da expressão da dilatação aparente de líquidos, escreve-se . 
Logo 
 
b) Pela expressão γap + γvidro tem-se: γ = 500 x 10-6 + 24 x 10-6 \ γ = 424 x 10-6 °C-1 
 
Relações entre dilatações 
Como uma dilatação linear é feita basicamente em uma dimensão (de crescimento), uma superficial 
em duas dimensões e uma volumétrica em três, podemos concluir uma relação entre seus coeficientes 
de dilatação. 
 
Dessa maneira, podemos verificar resumidamente as fórmulas, através do quadro a seguir: 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
128 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/PI – Professor- Física – NUCEPE) Uma barra de aço possui um comprimento de 5,000 
m a uma temperatura de 20°C. Se aquecermos essa barra até que sua temperatura atinja 70°C, o 
comprimento final da barra, sabendo que o coeficiente de dilatação linear do aço é α = 12.10-6 °C-1 será 
de 
(A) 0,003m. 
(B) 0,005m. 
(C) 5,005m. 
(D) 5,003m. 
(E) 5,000m. 
 
02. (SEDUC-PI-PROFESSOR - FÍSICA-NUCEPE) Quando colocamos um termômetro de mercúrio 
uma chama, a coluna de mercúrio desce um pouco antes de começar a subir porque 
(A)o mercúrio que está dentro do vidro inicia seu processo de dilatação primeiro. Depois, a dilatação o 
vidro é mais notável, porque este tem um coeficiente de dilatação maior do que o mercúrio. 
(B)o vidro que contém o mercúrio inicia seu processo de dilatação primeiro. Depois, a dilatação do 
mercúrio é mais notável, porque este tem um coeficiente de dilatação menor do que o do vidro. 
(C)o mercúrio que está dentro do vidro inicia seu processo de dilatação primeiro. Depois, a dilatação 
do vidro é mais notável, porque este tem um coeficiente de dilatação menor do que o mercúrio. 
(D)o vidro que contém o mercúrio inicia seu processo de dilatação primeiro. Depois, a dilatação do 
mercúrio é mais notável, porque este tem um coeficiente de dilatação maior do que o do vidro. 
(E)o mercúrio quando é aquecido se contrai inicialmente para depois se dilatar. 
 
03. (SEDUC-PI-PROFESSOR - FÍSICA-NUCEPE) Uma placa retangular de alumínio tem 10 cm de 
largura e 40 cm de comprimento, à temperatura de 40°C. Essa placa é aquecida até atingir a temperatura 
de 70°C. Sabendo que o coeficiente de dilatação superficial do alumínio é βal = 46.10-6 °C-1, a área final 
desta placa retangular, nesta temperatura, será 
(A)0,522 cm2 
(B)400 cm2 
(C)400,552 cm2 
(D)452,222 cm2 
(E) 522,400 cm2 
 
04. Um quadrado de lado 2m é feito de um material cujo coeficiente de dilatação superficial é igual a 
1, 6.10-4. Determine a variação de área deste quadrado quando aquecido em 80°C. 
 
05. (UNIC –MT) Uma chapa de alumínio tem um furo central de 100cm de raio, estando numa 
temperatura de 12°C. 
 
Sabendo-se que o coeficiente de dilatação linear do alumínio equivale a 22.10-6°C-1, a nova área do 
furo, quando a chapa for aquecida até 122°C, será equivalente a qual valor em metros? 
 
06. (FUNREI-MG) A figura mostra uma ponte apoiada sobre dois pilares feitos de materiais diferentes. 
 
 
 
Como se vê, o pilar mais longo, de comprimento L1 = 40 m, possui coeficiente de dilatação linear α = 
18. 10-6°C-1.O pilar mais curto tem comprimento L2 = 30 m. Para que a ponte permaneça sempre na 
horizontal, determine o coeficiente linear do material do segundo pilar. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
129 
 
07. (UFPR-PR) Um cientista está à procura de um material que tenha um coeficiente de dilatação alto. 
O objetivo dele é produzir vigas desse material para utilizá-las como suportes para os telhados das casas. 
Assim, nos dias muito quentes, as vigas dilatar- se-iam bastante, elevando o telhado e permitindo uma 
certa circulação de ar pela casa, refrescando o ambiente. 
 
 
 
Nos dias frios, as vigas encolheriam e o telhado abaixaria, não permitindo a circulação de ar. Após 
algumas experiências, ele obteve um composto com o qual fez uma barra. Em seguida, o cientista mediu 
o comprimento L da barra em função da temperatura T e obteve o gráfico a seguir: 
 
 
Analisando o gráfico, é correto afirmar que o coeficiente de dilatação linear do material produzido pelo 
cientista vale: 
(A) α = 2 . 10-5 °C-1. 
(B) α = 3 . 10-3 °C-1. 
(C) α = 4 . 10-4 °C-1. 
(D) α = 5 . 10-5 °C-1. 
(E) α = 6 . 10-4 °C-1. 
 
08. (UFSC-SC) Um aluno de ensino médio está projetando um experimento sobre a dilatação dos 
sólidos. Ele utiliza um rebite de material A e uma placa de material B, de coeficientes de dilatação térmica, 
respectivamente, iguais a αA e αB. A placa contém um orifício em seu centro, conforme indicado na figura. 
O raio RA do rebite é menor que o raio RB do orifício e ambos os corpos se encontram em equilíbrio 
térmico com o meio. 
 
 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
(01) Se αA > αB a folga irá aumentar se ambos forem igualmente resfriados. 
(02) Se αA > αB a folga ficará inalterada se ambos forem igualmente aquecidos. 
(04) Se αA < αB e aquecermos apenas o rebite, a folga aumentará. 
(08) Se αA = αB a folga ficará inalterada se ambos forem igualmente aquecidos. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
130 
 
(16) Se αA = αB e aquecermos somente a placa, a folga aumentará. 
(32) Se αA > αB a folga aumentará se apenas a placa for aquecida. 
 
09. (UNESP-SP) figura mostra uma lâmina bimetálica de comprimento Lo na temperatura Toque deve 
tocar o contato C quando aquecida. A lâmina é feita dos metais I e II, cujas variações relativas de 
comprimento ΔL/Lo em função da variação de temperatura ΔT=T – To encontram-se no gráfico. 
 
 
Determine: 
a) o coeficiente de dilatação dos metais I e II; 
b) Qual dos metais deve ser utilizado na parte superior da lâmina para que o dispositivo funcione como 
desejado? Justifique sua resposta. 
 
10. (CESESP-PE) O tanque de gasolina de um carro, com capacidade para 60 litros, é completamente 
cheio a 10 °C, e o carro é deixado num estacionamento onde a temperatura é de 30 °C. Sendo o 
coeficiente de dilatação volumétrica da gasolina iguala 1,1 10-3 °C-1 e considerando desprezível a variação 
de volume do tanque, a quantidade de gasolina derramada é, em litros: 
(A) 1,32 
(B) 1,64 
(C) 0,65 
(D) 3,45 
(E) 0,58 
 
Respostas 
01 Resposta: D. 
L=L0.α.  
L- L0= L0.α.  
L-5=5.12.10-6. (70.20) 
L=3000.10-6+5 
L=0, 003+5 
L=5,003m 
 
02 Resposta: D 
 De acordo com os coeficientes de dilatação, podemos observar que primeiro o vidro, sólido cresce 
pois tem o coeficiente de dilatação menor e o mercúrio parece diminuir, mas continua com o mesmo 
volume. Depois, quando atinge o coeficiente de dilatação do mercúrio a expansão dele é passa a ser 
notável por ser líquido. 
 
03 Resposta: C 
Cálculo da área inicial: 
Si = 10. 40 = 400cm2 
Calculo da dilatação superficial: 
S = Sit S = 400.46.10-6. (50 - 20) 
S = 0,522cm2 
Cálculo da área final da placa: 
Sf = Si + S Sf = 400 + 0,552 → Sf = 400,552cm2 
 
04. Resposta: 
ΔA = Ao.β.ΔӨ 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38131 
 
ΔA = 4. 1,6.10-4.80 
ΔA = Ao.β.ΔӨ 
ΔA = 0,0512m² 
 
05. Resposta: 
 A = Ao. (1 + β.ΔӨ) 
A = π.r². (1 + β.ΔӨ) 
A = π.1². (1 + 44.10-6.110) 
A = π. (1 + 0,00484) 
A = π.(1,00484) 
A = 3,155 em valor aproximado. 
 
06. Resposta: 
Para que a ponte permaneça sempre na horizontal, os dois pilares devem sofrer a mesma dilatação 
para a mesma variação de temperatura -- ΔL1= ΔL2 
 L01.α1.Δt= L02.α2.Δt 
 40.18.10-6=30.α2 
 α2=24.10-6 oC-1. 
 
07. Resposta: E. 
Aplicando a fórmula de dilatação linear temos que: 
α=ΔL/Lo Δt=0,24/2.200 
α=0,24/400 - 
α=0,0006 oC-1 
 
08. Resposta: 
Quanto maior o coeficiente de dilatação mais o corpo se dilata quando aquecido e mais se contrais 
quando resfriado. 
(01) A se dilata mais que B --- Correta 
(02) Falsa --- veja (01) 
(04) A folga diminuirá --- Falsa 
(08) Possuem diferentes Lo --- Falsa 
(16) Apenas a placa se dilatará --- Correta 
(32) Apenas a placa se dilatará --- Correta 
R- (01 + 16 + 32) =49 
 
09. Resposta: 
ΔL=Lo.α.ΔT --- α = ΔL/(Lo.ΔT) 
 Metal I --- αI=300.10-6/30 --- 
 αI=1,0.10-5oC-1 --- 
Metal II --- αII=600.10-6/30 
 αII=2,0.10-5 oC-1 
 
b) A lâmina II deve estar na parte superior que deve se dilatar mais para que o dispositivo se encurve 
para baixo, pois ela tem maior coeficiente de dilatação. 
 
 
 
10. Resposta: A. 
Através do enunciado temos que: 
Vi = 60 L 
ti = 10 °C 
tF 30 °C 
γgasol. = 1,1 10-3 °C-1 
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132 
 
 
Usamos a fórmula: 
ΔV = Vi . γ (tf – ti) 
ΔV = 60. 1,1 10-3 (30 – 10) 
ΔV = 66 . 10-3 . 20 
ΔV = 1,320 L 
 
 
CALORIMETRIA 
 
A calorimetria é o ramo da física que se ocupa dos fenômenos decorrentes da transferência dessa 
forma de energia chamada calor. 
 
CALOR 
Quando colocamos dois corpos com temperaturas diferentes em contato, podemos observar que a 
temperatura do corpo "mais quente" diminui, e a do corpo "mais frio" aumenta, até o momento em que 
ambos os corpos apresentem temperatura igual. Esta reação é causada pela passagem de energia 
térmica do corpo "mais quente" para o corpo "mais frio", a transferência de energia é o que 
chamamos calor. 
Calor é a transferência de energia térmica entre corpos com temperaturas diferentes. 
A unidade mais utilizada para o calor é caloria (cal), embora sua unidade no SI seja o joule (J). Uma 
caloria equivale a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um grama de água 
pura, sob pressão normal, de 14,5 °C para 15,5 °C. 
A relação entre a caloria e o joule é dada por: 
 
1 cal = 4,186J 
Partindo daí, podem-se fazer conversões entre as unidades usando regra de três simples 
 
Calor sensível 
É denominado calor sensível, a quantidade de calor que tem como efeito apenas a alteração da 
temperatura de um corpo. 
Este fenômeno é regido pela lei física conhecida como Equação Fundamental da Calorimetria, que diz 
que a quantidade de calor sensível (Q) é igual ao produto de sua massa, da variação da temperatura e 
de uma constante de proporcionalidade dependente da natureza de cada corpo denominada calor 
específico. 
Assim: 
 
Onde: 
Q = quantidade de calor sensível (cal ou J). 
c = calor específico da substância que constitui o corpo (cal/g°C ou J/kg°C). 
m = massa do corpo (g ou kg). 
Δθ = variação de temperatura (°C). 
 Quando: 
Q>0: o corpo ganha calor. 
Q<0: o corpo perde calor. 
 
 Exemplo: 
Qual a quantidade de calor sensível necessária para aquecer uma barra de ferro de 2kg de 20°C para 
200 °C? Dado: calor específico do ferro = 0,119cal/g°C. 
2 kg = 2000 g 
Q= c.m.ϴ 
Q= 0,119.2000.(200-20) 
Q= 0,119.2000.180 
Q=42840 cal=42,84 Kcal 
 
Calor latente 
Nem toda a troca de calor existente na natureza se detém a modificar a temperatura dos corpos. Em 
alguns casos há mudança de estado físico destes corpos. Neste caso, chamamos a quantidade de calor 
calculada de calor latente. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
133 
 
A quantidade de calor latente (Q) é igual ao produto da massa do corpo (m) e de uma constante de 
proporcionalidade (L). 
Assim: 
QL= m.L 
 
A constante de proporcionalidade é chamada calor latente de mudança de fase e se refere a 
quantidade de calor que 1 g da substância calculada necessita para mudar de uma fase para outra. 
Além de depender da natureza da substância, este valor numérico depende de cada mudança de 
estado físico. 
Por exemplo, para a água: 
 
Calor latente de fusão 
 
80cal/g 
Calor latente de vaporização 
 
540cal/g 
Calor latente de solidificação 
 
-80cal/g 
Calor latente de condensação 
 
-540cal/g 
 Quando: 
Q>0: o corpo funde ou vaporiza. 
Q<0: o corpo solidifica ou condensa. 
 
 Exemplo: 
Qual a quantidade de calor necessária para que um litro de água vaporize? Dado: densidade da 
água=1g/cm³ e calor latente de vaporização da água = 540 cal/g. 
1 litro= 1 dm3=103cm3 
d=𝑚
𝑉
 
m=d.V 
m= d.V 
m= 103g 
 
Assim: 
 
QL= m.Lv 
QL= 103.540 
QL= 540000 cal=540 Kcal 
 
 Curva de aquecimento 
Ao estudarmos os valores de calor latente, observamos que estes não dependem da variação de 
temperatura. Assim podemos elaborar um gráfico de temperatura em função da quantidade de calor 
absorvida. Chamamos este gráfico de Curva de Aquecimento: 
 
 
 
 
 
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134 
 
TROCAS DE CALOR 
Para que o estudo de trocas de calor seja realizado com maior precisão, este é realizado dentro de um 
aparelho chamado calorímetro, que consiste em um recipiente fechado incapaz de trocar calor com o 
ambiente e com seu interior. 
Dentro de um calorímetro, os corpos colocados trocam calor até atingir o equilíbrio térmico. Como os 
corpos não trocam calor com o calorímetro e nem com o meio em que se encontram, toda a energia 
térmica passa de um corpo ao outro. 
Como calor é energia, o Princípio da Conservação da Energia garante que a energia total envolvida 
nesse processo é constante. Além disso, se um corpo cede calor e não muda de fase, a sua temperatura 
final (t) torna-se menor que a inicial (t0). Portanto, a variação de temperatura (Δt = t – t0) e a quantidade 
de calor cedida (Qc) são negativas. Por raciocínio análogo, quando o corpo recebe calor, a variação da 
temperatura e a quantidade de calor recebida (Qr) são positivas. Veja o esquema: 
 
 
 
Assim, se o sistema for isolado e houver apenas trocas de calor entre os seus constituintes, a soma 
algébrica das quantidades de calor cedidas (ΣQc) e recebidas (ΣQr) deve ser nula: 
Como, ao absorver calor Q>0 e ao transmitir calor Q<0, a soma de todas as energias térmicas é nula, 
ou seja: 
ΣQ=0 
(lê-se que somatório de todas as quantidades de calor é igual a zero) 
 
Sendo que as quantidades de calor podem ser tanto sensível como latente. 
 
 Exemplo: 
Qual a temperatura de equilíbrio entre uma bloco de alumínio de 200g à 20°C mergulhado em um litro 
de água à 80°C? Dados calor específico: água=1cal/g°C e alumínio = 0,219cal/g°C. 
 
 
CAPACIDADE TÉRMICA 
É a quantidade de calor que um corpo necessita receber ou ceder para que sua temperatura varie uma 
unidade. 
Então, pode-se expressar esta relação por: 
 
Sua unidade usual é cal/°C. 
 A capacidade térmica de 1g de água é de 1cal/°C já que seu calor específico é 1cal/g.°C. 
 
 
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135 
 
Exemplo: 
Ao fornecer 300 calorias de calor para um corpo, verifica-se como consequência uma variação de 
temperatura igual a 50 ºC. Determine a capacidade térmica desse corpo. 
 Calculando a capacidade térmica 
C = 
𝑄
∆𝑇
 
 
C = 
300
50
 
 
C = 6 cal/ºC 
 
 
PROPAGAÇÃO DO CALOR 
A propagação do calor entre dois sistemas pode ocorrer através de três processos diferentes: a 
condução, a convecção e a irradiação. 
 A condução ocorre dentro de uma substância ou entre substâncias que estão em contato físico direto. 
Na condução a energia cinética dos átomos e moléculas (isto é, o calor) é transferida por colisõesentre 
átomos e moléculas vizinhas. O calor flui das temperaturas mais altas (moléculas com maior energia 
cinética) para as temperaturas mais baixas (moléculas com menor energia cinética). A capacidade das 
substâncias para conduzir calor (condutividade) varia consideravelmente. Via de regra, sólidos são 
melhores condutores que líquidos e líquidos são melhores condutores que gases. Num extremo, metais 
são excelentes condutores de calor e no outro extremo, o ar é um péssimo condutor de calor. 
Consequentemente, a condução só é importante entre a superfície da Terra e o ar diretamente em contato 
com a superfície. Como meio de transferência de calor para a atmosfera como um todo a condução é o 
menos significativo e pode ser omitido na maioria dos fenômenos meteorológicos. 
A convecção somente ocorre em líquidos e gases. Consiste na transferência de calor dentro de um 
fluído através de movimentos do próprio fluído. O calor ganho na camada mais baixa da atmosfera através 
de radiação ou condução é mais frequentemente transferido por convecção. A convecção ocorre como 
consequência de diferenças na densidade do ar. Quando o calor é conduzido da superfície relativamente 
quente para o ar sobrejacente, este ar torna-se mais quente que o ar vizinho. Ar quente é menos denso 
que o ar frio de modo que o ar frio e denso desce e força o ar mais quente e menos denso a subir. O ar 
mais frio é então aquecido pela superfície e o processo é repetido. 
Desta forma, a circulação convectiva do ar transporta calor verticalmente da superfície da Terra para 
a troposfera, sendo responsável pela redistribuição de calor das regiões equatoriais para os polos. O calor 
é também transportado horizontalmente na atmosfera, por movimentos convectivos horizontais, 
conhecidos por advecção. O termo convecção é usualmente restrito à transferência vertical de calor na 
atmosfera. 
 
 
Fluxo de Calor 
Para que um corpo seja aquecido, normalmente, usa-se uma fonte térmica de potência constante, ou 
seja, uma fonte capaz de fornecer uma quantidade de calor por unidade de tempo. 
Definimos fluxo de calor (Φ) que a fonte fornece de maneira constante como o quociente entre a 
quantidade de calor (Q) e o intervalo de tempo de exposição (Δt): 
 
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136 
 
Sendo a unidade adotada para fluxo de calor, no sistema internacional, o Watt (W), que corresponde 
a Joule por segundo, embora também sejam muito usada a unidade caloria/segundo (cal/s) e seus 
múltiplos: caloria/minuto (cal/min) e quilocaloria/segundo (kcal/s). 
 
 Exemplo: 
Uma fonte de potência constante igual a 100W é utilizada para aumentar a temperatura 100g de 
mercúrio 30°C. Sendo o calor específico do mercúrio 0,033cal/g.°C e 1cal=4,186J, quanto tempo a fonte 
demora para realizar este aquecimento? 
 
 
Aplicando a equação do fluxo de calor: 
 
 
Questões 
 
01. (UFTM) Dona Joana é cozinheira e precisa de água a 80 ºC para sua receita. Como não tem um 
termômetro, decide misturar água fria, que obtém de seu filtro, a 25 ºC, com água fervente. Só não sabe 
em que proporção deve fazer a mistura. Resolve, então, pedir ajuda a seu filho, um excelente aluno em 
física. Após alguns cálculos, em que levou em conta o fato de morarem no litoral, e em que desprezou 
todas as possíveis perdas de calor, ele orienta sua mãe a misturar um copo de 200 mL de água do filtro 
com uma quantidade de água fervente, em mL, igual a 
(A)800. 
(B)750. 
(C)625 
(D) 600 
(E) 550 
 
02. (Puc-RJ) Um cubo de gelo dentro de um copo com água resfria o seu conteúdo. Se o cubo tem 10 
g e o copo com água tem 200 ml e suas respectivas temperaturas iniciais são 0 °C e 24 °C, quantos cubos 
de gelo devem ser colocados para baixar a temperatura da água para 20 °C? (Considere que o calor 
específico da água é ca = 1,0 cal/(g °C), o calor latente de fusão do gelo L = 80 cal/g, e a densidade da 
água, d = 1 g/ml) 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
03. Um bloco de uma material desconhecido e de massa 1kg encontra-se à temperatura de 80°C, ao 
ser encostado em outro bloco do mesmo material, de massa 500g e que está em temperatura ambiente 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
137 
 
(20°C). Qual a temperatura que os dois alcançam em contato? Considere que os blocos estejam em um 
calorímetro. 
(A)80 
(B)75. 
(C)70 
(D) 60 
(E) 55 
 
04. Em uma cozinha, uma chaleira com 1L de água ferve. Para que ela pare, são adicionados 500mL 
de água à 10°C. Qual a temperatura do equilíbrio do sistema? 
(A)70 
(B)65. 
(C)90 
(D)80 
(E)35 
 
05. (AFA-SP) Assinale a alternativa que define corretamente calor. 
(A) Trata-se de um sinônimo de temperatura em um sistema. 
(B) É uma forma de energia contida nos sistemas. 
(C) É uma energia de trânsito, de um sistema a outro, devido à diferença de temperatura entre eles. 
(D) É uma forma de energia superabundante nos corpos quentes. 
(E) É uma forma de energia em trânsito, do corpo mais frio para o mais quente. 
 
06. Qual é, em J °C−1, a capacidade calorífica do material no estado líquido? 
(A) 20 
(B) 30 
(C) 50 
(D) 100 
(E) 200 
 
07. (PETROBRAS – Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior – 
CESGRANRIO) Com base na calorimetria, pode-se medir o calor específico de uma substância. Para tal, 
deve-se elevar a temperatura dessa substância, colocá-la em um calorímetro contendo água com massa 
ma e temperatura Ta conhecidas e depois medir a temperatura da combinação após o equilíbrio. 
Aplicando-se o princípio da conservação de energia, e considerando-se que mx é a massa da substância, 
cx é seu calor específico, Tx é sua temperatura inicial, ca é o calor específico da água e T é a temperatura 
de equilíbrio final, tem-se para determinar o calor específico da substância cx a expressão: 
 
(𝐴)
𝑚𝑎𝑐𝑎(𝑇 + 𝑇𝑎) 
𝑚𝑥(𝑇𝑥 + 𝑇)
 
 
(𝐵)
𝑚𝑥(𝑇𝑥 + 𝑇) 
𝑚𝑎𝑐𝑎(𝑇 + 𝑇𝑎)
 
 
(𝐶)
𝑚𝑎𝑐𝑎(𝑇 + 𝑇𝑎) 
2𝑚𝑥(𝑇𝑥 + 𝑇)
 
 
(𝐷)
𝑚𝑎𝑐𝑎(𝑇 − 𝑇𝑎)
𝑚𝑥(𝑇𝑥 − 𝑇)
 
 
(𝐸)
𝑚𝑥(𝑇𝑥 − 𝑇) 
𝑚𝑎𝑐𝑎(𝑇 − 𝑇𝑎)
 
 
08. (LIQUIGÁS – Profissional de Vendas – CESGRANRIO) Uma chaleira contendo um litro de água 
à temperatura de 20 °C é colocada no fogão para ferver. A temperatura de ebulição da água no local é 
de 100 °C. A densidade da água vale 1,0 g/cm³, e o calor específico vale 1,0 cal.g1 °C1. Cada 1 g de 
gás é capaz de produzir 10 kcal ao queimar, e a eficiência do uso dessa energia é de 80%. A quantidade 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
138 
 
de calor recebida pela água para elevar a temperatura de 20 °C a 100 °C e a massa de gás utilizada 
valem, respectivamente, 
(A) 8 cal, 8 g 
(B) 80 kcal, 10 g 
(C) 100 kcal, 10 g 
(D) 80 kcal, 8 g 
(E) 80 kcal, 80 g 
 
09. (UFPR) Durante o eclipse, em uma das cidades na zona de totalidade, Criciúma-SC, ocorreu uma 
queda de temperatura de 8,0ºC. (Zero Horas –04/11/1994) Sabendo que o calor específico sensível da 
água é 1,0 cal/gºC, a quantidade de calor liberada por 1000g de água, ao reduzir sua temperatura de 
8,0ºC, em cal, é: 
(A) 8,0 
(B) 125 
(C) 4000 
(D) 8000 
(E) 64000 
 
10. (MACKENZIE) Um bloco de cobre (c = 0,094 cal/gºC) de 1,2kg é colocado num forno até atingir o 
equilíbrio térmico. Nessa situação, o bloco recebeu 12 972 cal. A variação da temperatura sofrida, na 
escala Fahrenheit, é de: 
(A) 60ºF 
(B) 115ºF 
(C) 207ºF 
(D) 239ºF 
(E) 347ºF 
 
Respostas 
 
01 Resposta: E 
O somatório dos calores trocados é nulo. 
Q1+Q2=0 m1cT1+ m2cT2=0 
 200(80-25)+m2 (80-100)=0 
 20 m2=11000 
 m2=550 g 
 
02 Resposta: A 
mcubo. mcubo = 10 g;LgeloLgelo = 80 cal/g; 
mág. mág = 200 g; 
T0T0 = 24°C; 
TT = 20°C 
cág cág = 1 cal/g.°C. 
Módulo da quantidade calor liberada pela água para o resfriamento desejado: 
∣Qág=mágCág∣ΔT∣ = 200(1)∣20−24∣ = 800 cal.∣Qág=mágCág∣ΔT∣ = 200(1)∣20−24∣ = 800 cal. 
Quantidade de calor necessária para fundir um cubo de gelo: 
Qcubo=mcubo⋅Lgelo=10(80)=800cal.Qcubo=mcubo⋅Lgelo=10(80)=800 cal. 
Como |Qág| = Qcubo, concluímos que basta um cubo de gelo para provocar o resfriamento desejado da 
água. 
 
03. Resposta: D 
 
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04. Resposta: A. 
Qualquer quantidade de água que esteja fervendo encontra-se à temperatura de 100°C, se a 
temperatura for superior a esta, não haverá água líquida, apenas vapor. 
 
 
05. Resposta: C. 
O calor é uma energia em trânsito que flui de um corpo com maior temperatura para um de menor 
temperatura. 
 
06. Resposta: C. 
Q=35000-25000=10000 
Q=C 
10000=C.(250-50) 
𝐶 =
10000
200
= 50 
 
07. Resposta: D. 
Qa+Qx=0 
maca(T-Ta) + mxcx(T-Tx)=0 
maca(T-Ta)=-mxcx(T-Tx) 
=𝑐𝑥 =
𝑚𝑎𝑐𝑎(𝑇−𝑇𝑎)
𝑚𝑥(𝑇𝑥−𝑇)
 
 
08.Resposta: B. 
1cm³-1ml-0,001L, portanto 1 litro tem 1000g. 
Q=mc 
Q=10001(100-20) 
Q=80000 cal=80 kcal 
Como a eficiência do gás é de 80%, a cada 1 grama de gás, produzirá 8kcal, ao invés de 10kcal. 
1g de gás-----8 kcal 
x---------80 
x=10g 
 
09. Resposta: D. 
Q = mc(T-T0) 
A temperatura cai 8,0°C, ou seja, T - T0 = 8,0°C 
Q = 1000.1.8 
Q = 8000 cal 
 
10. Resposta: D. 
Q = mc(T-T0) 
12 972 = 1200.0,094.(T-T0) 
(T-T0) = 12972 / 112,8 
(T-T0) = 115°C 
Convertendo isso em Fahrenheit: 
(C/5) = (F-32) / 9 
(115 / 5) = (F-32) / 9 
F - 32 = 9. 23 
F = 207 + 32 → F = 239 °F 
 
 
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140 
 
ESTUDO DOS GASES 
 
Gases são fluidos no estado gasoso, a característica que o difere dos fluidos líquidos é que, quando 
colocado em um recipiente, este tem a capacidade de ocupa-lo totalmente. A maior parte dos elementos 
químicos não-metálicos conhecidos são encontrados no seu estado gasoso, em temperatura ambiente. 
As propriedades dos gases são variáveis, ou seja, por haver determinados e específicos espaços entre 
seus constituintes (que podem aumentar ou diminuir) o volume, a densidade, a pressão, a viscosidade 
podem ser alterados. E, é dessa grande inconstância dos gases, que se deriva o estudo dos gases. 
Dentre todas as propriedades que os gases podem apresentar, seguem as mais usuais: 
 
Pressão: Somatória das forças que cada constituinte de um gás exerce sobre as paredes de um corpo, 
ou recipiente, em uma determinada área. 
Volume: Espaço ocupado por um gás em um determinado recipiente. 
Temperatura: Estado térmico de agitação das partículas de um gás. 
 
Existem várias maneiras de realizarmos uma transformação gasosa. As três variáveis de estado, 
volume, pressão e temperatura podem se alterar, ao mesmo tempo, em uma dada transformação. Mas é 
comum fazer-se o estudo particularizado das transformações em que uma das variáveis de estado 
permanece constante. 
Podem ser dividas em: isotérmicas, isobárica e isovolumétricas. 
 
TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA 
A palavra isotérmica se refere a mesma temperatura, logo uma transformação isotérmica de uma gás, 
ocorre quando a temperatura inicial é conservada. 
A lei física que expressa essa relação é conhecida com Lei de Boyle e é matematicamente expressa 
por: 
 
Onde: 
p=pressão 
V=volume 
=constante que depende da massa, temperatura e natureza do gás. 
Como esta constante é a mesma para um mesmo gás, ao ser transformado, é válida a relação: 
 
 Exemplo: 
Certo gás contido em um recipiente de 1m³ com êmbolo exerce uma pressão de 250Pa. Ao ser 
comprimido isotermicamente a um volume de 0,6m³ qual será a pressão exercida pelo gás? 
 
 
Lei de Boyle 
A Lei de Boyle-Mariotte, proposta pelo químico e físico irlandês Robert Boyle (1627-1691), apresenta 
a transformação isotérmica dos gases ideais, de modo que a temperatura permanece constante, 
enquanto a pressão e o volume do gás são inversamente proporcionais. Assim, a equação que expressa 
a lei de Boyle: 
 
Donde, 
p: pressão da amostra 
V: volume 
K: constante de temperatura (depende da natureza do gás, da temperatura e da massa) 
 
 
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141 
 
TRANSFORMAÇÃO ISOBÁRICA 
Analogamente à transformação isotérmica, quando há uma transformação isobárica, a pressão é 
conservada. 
Regida pela Lei de Charles e Gay-Lussac, esta transformação pode ser expressa por: 
 
Onde: 
V=volume; 
T=temperatura absoluta; 
=constante que depende da pressão, massa e natureza do gás. 
 Assim, quando um mesmo gás muda de temperatura ou volume, é válida a relação: 
 
 
Lei de Gay-Lussac 
A Lei de Gay-Lussac, proposta pelo físico e químico francês, Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850), 
apresenta a transformação isobárica dos gases, ou seja, quando a pressão do gás é constante, a 
temperatura e o volume são diretamente proporcionais, expressa pela fórmula: 
 
Donde, 
V: volume do gás 
T: temperatura 
k: constante da pressão (isobárica) 
 
 Exemplo: 
Um gás de volume 0,5m³ à temperatura de 20ºC é aquecido até a temperatura de 70ºC. Qual será o 
volume ocupado por ele, se esta transformação acontecer sob pressão constante? 
É importante lembrarmos que a temperatura considerada deve ser a temperatura absoluta do gás 
(escala Kelvin) assim, o primeiro passo para a resolução do exercício é a conversão de escalas 
termométricas: 
Lembrando que: 
 
Então: 
 
 
TRANSFORMAÇÃO ISOMÉTRICA 
A transformação isométrica também pode ser chamada isocórica e assim como nas outras 
transformações vistas, a isométrica se baseia em uma relação em que, para este caso, o volume se 
mantém. 
Regida pela Lei de Charles, a transformação isométrica é matematicamente expressa por: 
 
Onde: 
p=pressão; 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
142 
 
T=temperatura absoluta do gás; 
=constante que depende do volume, massa e da natureza do gás.; 
 Como para um mesmo gás, a constante é sempre a mesma, garantindo a validade da relação: 
 
 
 Lei de Charles 
A Lei de Charles, proposta pelo físico e químico francês Jacques Alexandre Cesar Charles (1746-
1823), apresenta a transformação isométrica ou isocórica dos gases perfeitos, ou seja, o volume do gás 
é constante, enquanto a pressão e a temperatura são grandezas diretamente proporcionais. A partir disso, 
a fórmula que expressa a lei de Charles: 
 
Onde, 
P: pressão 
T: temperatura 
K: constante de volume (depende da natureza, do volume e da massa do gás) 
 
Exemplo: 
1) Um gás que se encontra à temperatura de 200K é aquecido até 300K, sem mudar de volume. Se a 
pressão exercida no final do processo de aquecimento é 1000Pa, qual era a pressão inicial? 
 
 
2) Um botijão de gás não pode variar o volume do gás que se encontra em seu interior. Se este for 
tirado de um ambiente arejado, onde a pressão interna é 3 atm e a temperatura 15°C, e é posto sob o 
Sol, onde a temperatura é 35°C. Supondo que o gás seja ideal, qual será a pressão após a 
transformação? 
Como o volume não varia durante a transformação, esta é Isométrica, sendo regida por: 
 
Mas as temperaturas devem ser medidas em escala absoluta, ou seja: 
 
 Isolando-se a pressão final: 
 
 
EQUAÇÃO DE CLAPEYRON 
A equação de Clapeyron relaciona as três variáveis de estado (p, V, T) com o número de partículas 
que compõe um gás. 
 
Onde: 
p=pressão; 
V=volume; 
n=nº de mols do gás; 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
143 
 
R=constante universal dos gases perfeitos; 
T=temperatura absoluta. 
visto que n = m/M, essa equação também pode ser expressa por: 
P . V = m . R . T/M 
 
 Exemplo: 
01)“(UFC-CE) As pesquisas sobre materiais utilizados em equipamentos esportivos são direcionadas 
em função dos mais diversos fatores. No ciclismo, por exemplo, é sempre desejável minimizar o peso das 
bicicletas, para que se alcance o melhor desempenho do ciclista. Dentre muitas, uma das alternativas a 
ser utilizada seria inflar os pneus das bicicletas com o gás hélio, He, por ser bastante leve e inerte à 
combustão. A massa de hélio, necessária para inflar um pneu de 0,4 L de volume, com a pressão 
correspondentea 6,11 atm, a 25ºC, seria: 
(Dados: R = 0,082 L . atm . mol-1 . K-1 ). 
a) 0,4 g b) 0,1 g c) 2,4 g d) 3,2 g e) 4,0 g” 
 
Resolução: 
* Primeiro vamos listar os dados que temos e qual grandeza deve ser encontrada: 
P = 6,11 atm; 
V = 0,4 L; 
T = 25 ºC (lembre-se de transformar para a escala kelvin) = 273 + 25 = 298 K; 
R = 0,082 L . atm . mol-1 . K-1 
M = 4 g. mol-1 (basta olhar na tabela periódica para descobrir a massa molar do gás hélio); 
m = ? 
* Agora vamos usar a fórmula da equação de estado dos gases para resolver esse exercício e 
encontrar a massa de hélio necessária para inflar um pneu nas condições descritas: 
P . V = m . R . T/M 
m = P . V . M/R . T 
m = (6,11 atm) . (0,4 L) . (4,0 g. mol-1) 
 (0,082 L . atm . mol-1 . K-1 ) . (298 K) 
m = 0,4 g 
 
02) Qual é o volume ocupado por um mol de gás perfeito submetido à pressão de 5000N/m², a uma 
temperatura igual a 50°C? 
Dado: 1atm=10000N/m² e 
 
 
Substituindo os valores na equação de Clapeyron: 
 
 
 
LEI GERAL DOS GASES PERFEITOS 
 
O francês Paul Clapeyron, no século XIX, constatou que para 1 mol (6,02 . 1023 moléculas) de um gás 
perfeito: 
 
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144 
 
Este valor obtido é chamado de “constante universal dos gases perfeitos” e é simbolizado por R. 
E se a amostra do gás tiver n mols, então: 
 
Através da equação de Clapeyron é possível obter uma lei que relaciona dois estados diferentes de 
uma transformação gasosa, desde que não haja variação na massa do gás. 
Considerando um estado (1) e (2) onde: 
 
Através da lei de Clapeyron: 
 
Esta equação é chamada Lei geral dos gases perfeitos. 
 
Exemplo: 
1. Um gás perfeito é mantido em um cilindro fechado por um pistão. Em um estado A, as suas variáveis 
são: pA = 2,0 atm; VA = 0,90 litros; TA = 27ºC. Em outro estado B, a temperatura é TB = 127ºC e a 
pressão é pB = 1,5 atm. Nessas condições, o volume VB, em litros, deve ser: 
a) 0,90 
b) 1,2 
c) 1,6 
d) 2,0 
Resolução: 
Dados fornecidos: 
pA = 2 atm 
VA = 0,90 L 
TA = 27 °C = 300 K 
pB = 1,5 atm 
VB = ? 
TB = 1,27 °C = 400 K 
 
VB = 1,6 L 
 Para uma melhor compreensão sobre estudo dos gases e suas transformações, segue abaixo um 
quadro com as fórmulas, mais importantes a serem utilizadas. 
 
 
 
 
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145 
 
Transformações Estudo dos gases 
Transformação 
isobárica 
 
 
 
Transformação 
isométrica 
 
 
 
Transformação 
isotérmica 
 
 
Transformação 
adiabática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Clapeyron 
Equação de 
Clapeyron - Equação 
geral de estado 
 
 
 
 
 
 
Numero de mols 
 
 
 
 
Constante universal 
dos gases perfeitos 
 
Lei geral dos gases perfeitos 
Lei geral dos gases 
perfeitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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146 
 
Questões 
 
01. (FUVEST – SP) Um recipiente indeformável, hermeticamente fechado, contém 10 litros de um gás 
perfeito a 30ºC, suportando a pressão de 2 atmosferas. A temperatura do gás é aumentada até atingir 
60º C. 
A) Calcule a pressão final do gás. 
B) Esboce o gráfico pressão versus temperatura da transformação descrita. 
 
02. (FAAP – SP) A 27º C, um gás ideal ocupa 500 cm3. Que volume ocupará a -73º C, sendo a 
transformação isobárica? 
 
03. (UNIMEP – SP) 15 litros de uma determinada massa gasosa encontram-se a uma pressão de 8,0 
atm e à temperatura de 30º C. Ao sofrer uma expansão isotérmica, seu volume passa a 20 litros. Qual 
será a nova pressão do gás? 
 
04. O nitrogênio é considerado um gás ideal quando está em condições normais de temperatura e 
pressão. Dada uma massa igual a 2 Kg/m³, determine a massa de 10 litros de nitrogênio à pressão de 
700 mmHg e à 40 °C. 
 
05. O estado de um gás perfeito é caracterizado pelas variáveis de estado. Quais são elas? Quais 
suas definições? 
 
06. (F.M. Itajubá - MG) O comportamento de um gás real aproxima-se do de um gás ideal quando: 
(A) submetido a baixas temperaturas. 
(B) submetido a baixas temperaturas e baixas pressões. 
(C) submetido a altas temperaturas e altas pressões. 
(D) submetido a altas temperaturas e baixas pressões. 
(E) submetido a baixas temperaturas e altas pressões. 
 
07. (UF-AC). Qual deve ser a temperatura de certa quantidade de um gás ideal, inicialmente a 200 K, 
para que tanto o volume quanto a pressão dupliquem? 
(A) 1200 K 
(B) 2400 K 
(C) 400 K 
(D) 800 K 
(E) n.d.a 
 
08. (UNB) Os microprocessadores atuais são muito pequenos e substituíram enormes placas contendo 
inúmeras válvulas. Eles são organizados de forma que apresentem determinadas respostas ao serem 
percorridos por um impulso elétrico. Só é possível a construção de dispositivos tão pequenos devido ao 
diminuto tamanho dos átomos. Sendo estes muito pequenos, é impossível contá-los. A constante de 
Avogadro - e não o número de Avogadro - permite que se calcule o número de entidades - átomos, 
moléculas, formas unitárias, etc. - presentes em uma dada amostra de substância. O valor dessa 
constante, medido experimentalmente, é igual a 6,02.x1023 mol-1. Com relação ao assunto, julgue os 
seguintes itens. 
(01) A constante de Avogadro é uma grandeza, sendo, portanto, um número (6,02x1023) multiplicado 
por uma unidade de medida (mol-1). 
(02) A constante de Avogadro, por ser uma grandeza determinada experimentalmente, pode ter seu 
valor alterado em função do avanço tecnológico. 
(03) Massas iguais de diferentes elementos químicos contêm o mesmo número de átomos. 
(04) Entre os elementos químicos, o único que, em princípio, não está sujeito a uma variação de massa 
atômica é o isótopo do carbono de massa 12,00 u 
 
09. Sabendo que a massa atômica do magnésio é igual a 24 u, determine a massa, em gramas, de 
um átomo desse elemento. (Dado: Número de Avogadro = 6,0 . 1023). 
(A) 24 g. 
(B) 4,0 g. 
(C) 24 . 10-23 g. 
(D) 4,0 . 1023 g. 
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147 
 
(E) 4,0 . 10-23 g. 
 
10. Um gás sofre uma expansão sob temperatura constante, o volume ocupado inicialmente pelo gás 
era 0,5 litros, e no final do processo passou a ser 1,5 litros. Sabendo que a pressão inicial sob o gás era 
o normal no ambiente, ou seja, 1 atm, qual a pressão final sob o gás? 
 
11. Em um tubo aberto ocorre uma grande compressão em um gás que torno o volume ocupado por 
ele 10 vezes menor. Sendo a temperatura inicial igual a 20°C, qual será a temperatura final? 
 
12. Uma massa fixa de um gás perfeito passa pelo ciclo ABCD, como desenhado, dentro de um pistão 
(cilindro com êmbolo). A temperatura em A é TA = 500 K. 
 
Identifique o nome das transformações gasosas, respectivamente: 
 A → B; B → C; C → D; D → A. 
(A) Isotérmica, isocórica, isotérmica, isocórica. 
(B) Isotérmica, isobárica, isotérmica, isobárica. 
(C) Isocórica, isotérmica, isocórica, isotérmica. 
(D) Isobárica, isotérmica, isotérmica, isocórica. 
(E) Isotérmica, isotérmica, isotérmica, isobárica. 
 
Respostas 
01. Resposta: A: 
Considerando-se que o volume do gás é constante, temos que a transformação é isocórica. 
Assim, 
P1 = 2atm 
P2= ? 
T1 = 30ºC (passar para Kelvin) = 273 + 30 = 303 K 
T2 = 60ºC (passar para Kelvin) = 273 + 60 = 333 K 
Substituindo os valores fornecidos pelo problema na equação da transformação isocórica, temos: 
P1/T1 = P2/T2 
2/303 = P2/333 
P2 = 2,2 atm 
Assim, podemos concluir que a pressão e a temperatura são grandezas diretamente proporcionais. 
Letra B) A partir da resolução do item anterior, podemos esboçar o gráfico da pressão em função da 
temperatura (pressão x temperatura). 
 
02. Resolução 
Sabe-se que: 
T1 = 27ºC = 300 K 
T2 = -73ºC = 200 K 
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148 
 
V1 = 500 cm3 
V2 = ? 
Da transformação isobárica temos que: 
V1/T1 = V2/T2500/300 = V2/200 
V2 = 333,33 cm3 
V2 = 3,33x 10-4 m3 
Podemos concluir que, para a transformação isobárica, o volume e a temperatura são diretamente 
proporcionais. 
 
03. Resolução 
Do enunciado temos: 
V1 = 15 litros 
V2 = 20 litros 
P1 = 8,0 atm 
P2 = ? 
T = 30º C = 303 K (TEMPERATURA CONSTANTE) 
Utilizando a equação da transformação isotérmica, temos: 
P1V1 = P2V2 
8x15 = P2x20 
P2 = 6 atm 
De acordo com a transformação isotérmica, a pressão e o volume, em uma transformação gasosa, são 
grandezas inversamente proporcionais. 
Obs.: Para a solução de problemas envolvendo as transformações gasosas devemos utilizar SEMPRE 
a temperatura na escala absoluta (Kelvin). 
 
04. Resolução 
Dados: 
P1= 760 mmHg 
T1: 273 K 
µ= 2Kg/ m³ 
Dados: 
T2= 40º C= 313 K 
V2= 10L 
P2= 700 mmHg 
Calculando V1 do nitrogênio: 
𝑃1𝑉1
𝑇1
=
𝑃2𝑉2
𝑇2
 
 
760. 𝑉1
273
= 700.
10
313
 
V1= 8L 
Calculando a massa específica do nitrogênio: 
µ = 𝑚
𝑉
 
2 = 𝑚
0,008
 
 
M=0,016 Kg 
 
05. Resolução 
As variáveis de estado são três: volume, temperatura e pressão. 
Volume: é o volume do recipiente que o contém. 
Temperatura: é a responsável por medir o estado de agitação molecular. 
Pressão: a pressão é ocasionada pelo choque que ocorre em suas partículas contra as paredes do 
recipiente que o contém. 
 
06. Resposta: D. 
Um gás real aproxima-se do ideal quanto mais alta for sua temperatura e menor sua pressão. 
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149 
 
07. Resposta: D. 
Dados: 
T1= 200 K 
V2= 2 V1 
 P2= 2P1 
𝑃1. 𝑉1
𝑇1
= 𝑃2.
𝑉2
𝑇2
 
 
𝑃1. 𝑉1
200
=
2𝑃1. 2𝑉2
𝑇2
 
T2= 800 K 
 
08. Respostas 
(01) Verdadeiro. 
(02) Verdadeiro. 
(03) Falso. Os átomos de diferentes elementos químicos possuem massas atômicas diferentes. Assim, 
se pegarmos massas iguais de diferentes elementos químicos, o número de átomos de cada elemento 
químico nessas massas será diferente (comparando massas iguais, quanto menor a massa atômica do 
elemento, maior o número de átomos desse elemento nessa massa). 
(04) Verdadeiro. 
 
09. Resposta: E. 
1 mol de átomos de Mg ↔ 24 g/mol ↔ 6,0 . 1023 átomos/mol 
x = 1 átomo . 24 g/mol 
 6,0 . 1023 átomos/mol 
x = 4,0 . 10-23 g. 
 
10. Resposta: 
Como a temperatura não é modificada durante a transformação, esta é Isotérmica, sendo regida pela 
equação: 
 
Neste caso não é necessário converter as unidades para o SI pois ambas têm mesma característica, 
ou seja volume é expresso em litros e pressão em atm, portanto, a pressão final será dada em atm: 
 
 
 
 11. Resposta: 
Como o tubo é aberto, a pressão não pode ser diferente da pressão atmosférica, então a transformação 
é isobárica, sendo regida por: 
 
Neste caso não é necessário converter as unidades para o SI pois ambas têm mesma característica: 
 
Mas o volume inicial é igual a 10 vezes o volume final: 
 
 
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150 
 
 12. Resposta: 
 Dados: 
A B C D 
PA = 10 PB = 6 PC = 3,6 PD = 6 
VA = 6 VB = 10 VC = 10 VD = 6 
TA = 500K TB = ? TC = ? TD = ? 
Precisamos usar a equação dos gases ideais para descobrir os valores das demais temperaturas e 
confirmar o tipo de transformação: 
PAVA = PBVB 
 TA TB 
10 . 6 = 6 . 10 
 500 TB 
60 . TB = 30 000 
TB = 500 K → A temperatura de A para B permaneceu a mesma, então é uma 
transformação isotérmica. Olhando no gráfico, nós confirmamos isso, porque de A → B, temos uma 
hipérbole (isoterma). 
PBVB = PCVC 
 TB TC 
6 . 10 = 3,6 . 10 
 500 TC 
60 . TC = 18 000 
TC = 300 K → A temperatura de B para C diminuiu, mas vemos que o volume permaneceu igual (10 
L), então é uma transformação isocórica. 
PCVC = PDVD 
 TC TD 
3,6 . 10 = 6 . 6 
 300 TD 
36. TD = 300 
TD = 300 K → A temperatura de C para D permaneceu constante, sendo uma 
transformação isotérmica. 
De D → A, o volume permaneceu igual a 6L, sendo, portanto, uma transformação isocórica. 
 
 
TERMODINÂMICA 
 
A Termodinâmica é a parte da Física que estuda principalmente a transformação de energia térmica 
em trabalho. A utilização direta desses princípios em motores de combustão interna ou externa, faz dela 
uma importante teoria para os motores de carros, caminhões e tratores, nas turbinas com aplicação em 
aviões, etc. 
 
 Energia Interna dos Gases 
Um gás que possua uma temperatura diferente do zero absoluto (0 K) possui uma energia cinética 
interna representada pela energia cinética de suas partículas em movimento: 
 
 
Como, para determinada massa de gás, n e R são constantes, a variação da energia interna dependerá 
da variação da temperatura absoluta do gás, ou seja, 
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151 
 
Quando houver aumento da temperatura absoluta ocorrerá uma variação positiva da energia 
interna . 
Quando houver diminuição da temperatura absoluta, há uma variação negativa de energia interna
. 
E quando não houver variação na temperatura do gás, a variação da energia interna será igual a zero
. 
Conhecendo a equação de Clapeyron, é possível compará-la a equação descrita na Lei de Joule, e 
assim obteremos: 
 
 
TRABALHO DE UM GÁS 
 Considere um gás de massa m contido em um cilindro com área de base A, provido de um êmbolo. 
Ao ser fornecida uma quantidade de calor Q ao sistema, este sofrerá uma expansão, sob pressão 
constante, como é garantido pela Lei de Gay-Lussac, e o êmbolo será deslocado. 
 
Assim como para os sistemas mecânicos, o trabalho do sistema será dado pelo produto da força 
aplicada no êmbolo com o deslocamento do êmbolo no cilindro: 
 
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152 
 
Assim, o trabalho realizado por um sistema, em uma transformação com pressão constante, é dado 
pelo produto entre a pressão e a variação do volume do gás. 
Quando: 
O volume aumenta no sistema, o trabalho é positivo, ou seja, é realizado sobre o meio em que se 
encontra (como por exemplo empurrando o êmbolo contra seu próprio peso); 
O volume diminui no sistema, o trabalho é negativo, ou seja, é necessário que o sistema receba um 
trabalho do meio externo; 
O volume não é alterado, não há realização de trabalho pelo sistema. 
 
 Exemplo: 
(1) Um gás ideal de volume 12m³ sofre uma transformação, permanecendo sob pressão constante 
igual a 250Pa. Qual é o volume do gás quando o trabalho realizado por ele for 2kJ? 
 
De modo geral, na termodinâmica, o trabalho pode ser determinado através de um método gráfico. 
Considere um gráfico de pressão por volume, como mostrado na figura abaixo. 
 
O trabalho é numericamente igual à área entre a curva do gráfico e o eixo do volume. 
U é a energia interna. 
R é a constante dos gases perfeitos (um valor dado). 
T é a temperatura. 
n é o número de mols. 
 
Essa relação matemática mostra que a energia interna e a temperatura estão relacionadas de maneira 
direta: para que ocorra uma variação de energia interna é necessário que ocorra uma variação de 
temperatura do sistema. Resumindo: 
 
 
 
1ª LEI DA TERMODINÂMICA 
 
 Chamamos de 1ª Lei da Termodinâmica, o princípio da conservação de energia aplicada à 
termodinâmica, o que torna possível prever o comportamento de um sistema gasoso ao sofrer uma 
transformação termodinâmica. 
Analisando o princípio da conservação de energia ao contexto da termodinâmica: 
Um sistema não pode criar ou consumir energia, mas apenas armazená-la ou transferi-la ao meio onde 
se encontra, como trabalho, ou ambas as situações simultaneamente, então, ao receber uma 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
153 
 
quantidade Q de calor, esta poderá realizar um trabalho e aumentar a energia interna do sistema ΔU, 
ou seja, expressando matematicamente:Sendo todas as unidades medidas em Joule (J). 
Conhecendo esta lei, podemos observar seu comportamento para cada uma das grandezas 
apresentadas: 
 
Calor Trabalho Energia Interna Q/ /ΔU 
Recebe Realiza Aumenta >0 
Cede Recebe Diminui <0 
Não troca 
Não realiza e nem 
recebe 
Não varia =0 
 
Exemplo: 
(1) Ao receber uma quantidade de calor Q=50J, um gás realiza um trabalho igual a 12J, sabendo que 
a Energia interna do sistema antes de receber calor era U=100J, qual será esta energia após o 
recebimento? 
 
 
 
2ª LEI DA TERMODINÂMICA 
 
Dentre as duas leis da termodinâmica, a segunda é a que tem maior aplicação na construção de 
máquinas e utilização na indústria, pois trata diretamente do rendimento das máquinas térmicas. 
Dois enunciados, aparentemente diferentes ilustram a 2ª Lei da Termodinâmica, os enunciados de 
Clausius e Kelvin-Planck: 
 
Enunciado de Clausius: 
O calor não pode fluir, de forma espontânea, de um corpo de temperatura menor, para um outro corpo 
de temperatura mais alta. 
Tendo como consequência que o sentido natural do fluxo de calor é da temperatura mais alta para a 
mais baixa, e que para que o fluxo seja inverso é necessário que um agente externo realize um trabalho 
sobre este sistema. 
 
Enunciado de Kelvin-Planck: 
É impossível a construção de uma máquina que, operando em um ciclo termodinâmico, converta toda 
a quantidade de calor recebido em trabalho. 
Este enunciado implica que, não é possível que um dispositivo térmico tenha um rendimento de 100%, 
ou seja, por menor que seja, sempre há uma quantidade de calor que não se transforma em trabalho 
efetivo. 
 
CICLO DE CARNOT 
 
 Até meados do século XIX, acreditava-se ser possível a construção de uma máquina térmica ideal, 
que seria capaz de transformar toda a energia fornecida em trabalho, obtendo um rendimento total 
(100%). 
Para demonstrar que não seria possível, o engenheiro francês Nicolas Carnot (1796-1832) propôs uma 
máquina térmica teórica que se comportava como uma máquina de rendimento total, estabelecendo um 
ciclo de rendimento máximo, que mais tarde passou a ser chamado Ciclo de Carnot. 
Este ciclo seria composto de quatro processos, independente da substância: 
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154 
 
 
 
Uma expansão isotérmica reversível. O sistema recebe uma quantidade de calor da fonte de 
aquecimento (L-M) 
Uma expansão adiabática reversível. O sistema não troca calor com as fontes térmicas (M-N) 
Uma compressão isotérmica reversível. O sistema cede calor para a fonte de resfriamento (N-O) 
Uma compressão adiabática reversível. O sistema não troca calor com as fontes térmicas (O-L) 
Numa máquina de Carnot, a quantidade de calor que é fornecida pela fonte de aquecimento e a 
quantidade cedida à fonte de resfriamento são proporcionais às suas temperaturas absolutas, assim: 
 
 
Assim, o rendimento de uma máquina de Carnot é: 
 e 
Logo: 
 
Sendo: 
= temperatura absoluta da fonte de resfriamento 
= temperatura absoluta da fonte de aquecimento 
 Com isto se conclui que para que haja 100% de rendimento, todo o calor vindo da fonte de 
aquecimento deverá ser transformado em trabalho, pois a temperatura absoluta da fonte de resfriamento 
deverá ser 0K. 
Partindo daí conclui-se que o zero absoluto não é possível para um sistema físico. 
 
Exemplo: 
Qual o rendimento máximo teórico de uma máquina à vapor, cujo fluido entra a 560ºC e abandona o 
ciclo a 200ºC? 
 
 
 
 
 
 
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155 
 
MAQUINAS TÉRMICAS 
 
As máquinas térmicas foram os primeiros dispositivos mecânicos a serem utilizados em larga escala 
na indústria, por volta do século XVIII. Na forma mais primitiva, era usado o aquecimento para transformar 
água em vapor, capaz de movimentar um pistão, que por sua vez, movimentava um eixo que tornava a 
energia mecânica utilizável para as indústrias da época. 
Chamamos máquina térmica o dispositivo que, utilizando duas fontes térmicas, faz com que a energia 
térmica se converta em energia mecânica (trabalho). 
 
A fonte térmica fornece uma quantidade de calor que no dispositivo transforma-se em trabalho
mais uma quantidade de calor que não é capaz de ser utilizado como trabalho . 
Assim é válido que: 
 
Utiliza-se o valor absolutos das quantidade de calor pois, em uma máquina que tem como objetivo o 
resfriamento, por exemplo, estes valores serão negativos. 
Neste caso, o fluxo de calor acontece da temperatura menor para o a maior. Mas conforme a 2ª Lei da 
Termodinâmica, este fluxo não acontece espontaneamente, logo é necessário que haja um trabalho 
externo, assim: 
 
 
RENDIMENTO DAS MÁQUINAS TÉRMICAS 
Podemos chamar de rendimento de uma máquina a relação entre a energia utilizada como forma de 
trabalho e a energia fornecida: 
Considerando: 
=rendimento; 
= trabalho convertido através da energia térmica fornecida; 
=quantidade de calor fornecida pela fonte de aquecimento; 
=quantidade de calor não transformada em trabalho. 
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156 
 
 
Mas como constatado: 
 
logo, podemos expressar o rendimento como: 
 
O valor mínimo para o rendimento é 0 se a máquina não realizar nenhum trabalho, e o máximo 1, se 
fosse possível que a máquina transformasse todo o calor recebido em trabalho, mas como visto, isto não 
é possível. Para sabermos este rendimento em percentual, multiplica-se o resultado obtido por 100%. 
 
 Exemplo: 
Um motor à vapor realiza um trabalho de 12kJ quando lhe é fornecido uma quantidade de calor igual 
a 23kJ. Qual a capacidade percentual que o motor tem de transformar energia térmica em trabalho? 
 
 
IRREVERSIBILIDADE E LIMITAÇÕES EM PROCESSOS DE CONVERSÃO CALOR/TRABALHO. 
 
Transformações reversíveis: são aquelas que se realizam em ambos os sentidos, podendo voltar ao 
estado inicial, passando pelas mesmas situações intermediárias, sem influências do meio externo. Isso 
ocorre geralmente em transformações mecânicas sem atrito. 
Considere o bloco da figura sendo abandonado do repouso no ponto A. Se você desprezar todos os 
atritos ele se deslocará até o ponto B, atingindo o repouso na mesma altura que a do ponto A, retornará 
a A e ficará oscilando entre A e B, pois não existe atrito 
 
 
. 
Observe que no deslocamento entre A e B e o retorno entre B e A, a transformação produzida não 
teve nenhuma influência do meio exterior (corpos circundantes) e, assim, ela é uma transformação 
reversível. 
 Transformações irreversíveis: observe no exemplo anterior que, se houver atrito, o corpo sofre 
perda de energia e, portanto não poderia, espontaneamente, voltar à posição inicial. Nesse caso, essa é 
uma transformação irreversível, onde sua inversa só pode ocorrer com influência do meio externo ou de 
corpos circundantes, que devem fornecer energia ao corpo para que ele retorne à posição inicial (ponto 
A) 
Na realidade, na natureza todas as transformações espontâneas são irreversíveis. No exemplo acima 
é muito improvável que você elimine totalmente o atrito e, devido ao choque com as moléculas de ar e 
outros atritos, o bloco, depois de certo tempo irá parar. A energia do bloco se converteu em energia 
térmica. O contrário não ocorre, ou seja, é impossível na natureza, que as moléculas se reorganizem e 
empurrem o bloco fazendo-o retornar à posição inicial. É por esse motivo que surgiu o Princípio da 
Degradação da Energia que afirma que é impossível converter totalmente calor em trabalho 
 
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157 
 
Exemplo: 
Uma pedra de gelo colocada em um copo com água a temperatura ambiente recebe calor da água e 
derrete, mas jamais cederá calor para a água, pois, o gelo não ficará mais frio e nem a água mais quente, 
o que violaria a Segunda Lei da termodinâmica. Contudo, não viola a Primeira Lei, pois a conservação de 
energia seria mantida de qualquer modo. 
Assimpodemos dizer que a conservação de energia ocorre em toda transformação, porém essas 
transformações ocorrem espontaneamente em um só sentido por isso os processos termodinâmicos são 
ditos irreversíveis. 
 
Umidade do Ar1 
A umidade do ar diz respeito à quantidade de vapor de água presente na atmosfera - o que caracteriza 
se o ar é seco ou úmido - e varia de um dia para o outro. A alta quantidade de vapor de água na atmosfera 
favorece a ocorrência de chuvas. Já com a umidade do ar baixa, é difícil chover. 
Quando falamos de umidade relativa, comparamos a umidade real, que é verificada por aparelhos 
como o higrômetro, e o valor teórico, estimado para aquelas condições. A umidade relativa pode variar 
de 0% (ausência de vapor de água no ar) a 100% (quantidade máxima de vapor de água que o ar pode 
dissolver, indicando que o ar está saturado). 
Em regiões onde a umidade relativa do ar se mantém muito baixa por longos períodos, as chuvas são 
escassas. Isso caracteriza uma região de clima seco. 
A atmosfera com umidade do ar muito alta é um fator que favorece a ocorrência de chuva. Quem mora, 
por exemplo em Manaus sabe bem disso. Com clima úmido, na capital amazonense o tempo é 
freqüentemente chuvoso. 
Como já vimos, a umidade do ar muito baixa causa clima seco e escassez de chuvas. 
De acordo com a OMS (Organização Mundial da Saúde), valores de umidade abaixo de 20% oferecem 
risco à saúde, sendo recomendável a suspensão de atividades físicas, principalmente das 10 às 15horas. 
A baixa umidade do ar, entre outros efeitos no nosso organismo pode provocar sangramento nasal, em 
função do ressecamento das mucosas. 
No entanto, também é comum as pessoas não se sentirem bem em dias quentes e em lugares com 
umidade do ar elevada. Isso acontece porque, com o ar saturado de vapor de água, a evaporação do 
suor do corpo se torna difícil, inibindo a perda de calor. E nosso corpo se refresca quando o suor que 
eliminamos evapora, retirando calor da pele. 
 
Questões 
 
01. Qual a energia interna de 1,5 mols de um gás perfeito na temperatura de 20°C? Considere 
R=8,31 J/mol.K. 
(A)8,31 
(B)5,47 
(C)3,0 
(D)293 
(E)55 
 
02.Quando são colocados 12 moles de um gás em um recipiente com êmbolo que mantém a pressão 
igual a da atmosfera, inicialmente ocupando 2m³. Ao empurrar-se o êmbolo, o volume ocupado passa a 
ser 1m³. Considerando a pressão atmosférica igual a 100000N/m², qual é o trabalho realizado sob o gás? 
(A)1000 
(B)20000 
(C)240 
(D)-1000 
(E)100 
 
03.Uma transformação é dada pelo gráfico abaixo: 
 
 
1 http://www.sobiologia.com.br 
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158 
 
 
Qual o trabalho realizado por este gás? 
(A)9.106 
(B) 3.105 
(C)9.105 
(D) 18.104 
(E) 8.105 
 
04. (UNIVALI - SC) Uma máquina térmica opera segundo o ciclo de Carnot entre as temperaturas de 
500K e 300K, recebendo 2 000J de calor da fonte quente. O calor rejeitado para a fonte fria e o trabalho 
realizado pela máquina, em joules, são, respectivamente: 
(A) 500 e 1 500 
(B) 700 e 1 300 
(C) 1 000 e 1 000 
(D) 1 200 e 800 
(E) 1 400 e 600 
 
05. Faz-se um sistema passar de um certo estado A para um outro estado B por meio de dois 
processos distintos, I e II, conforme mostra o gráfico "pressão x volume". 
 
Em qual dos dois processos houve maior absorção de calor? Justifique. 
 
06.Uma piscina com 40m2 contém água com profundidade de 1m. Se a potência absorvida da radiação 
solar, por unidade de área, for igual a 836W/m2 , determine o tempo de exposição necessário para 
aumentar a temperatura da água de 17oC a 19oC . 
 
07. (PETROBRAS-TÉCNICO DE OPERAÇÃO JÚNIOR- CESGRANRIO) Uma máquina térmica 
opera com rendimento de 35%. A quantidade de calor que a máquina recebe da fonte de calor quente é 
1.000 J. Qual é a quantidade de calor, em J, que a máquina cede à fonte de calor fria? 
(A)650 
(B)538 
(C)350 
(D)286 
(E)186 
 
08. O rendimento de uma máquina térmica de Carnot é de 25% e a fonte fria é a própria atmosfera a 
27°C. Determinar a temperatura da fonte quente. 
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159 
 
09. (PETROBRAS- TÉCNICO DE OPERAÇÃO JÚNIOR-CESGRANRIO) 
 
Um gás ideal sofre uma expansão reversível partindo do estado inicial A e evoluindo até o estado final 
C. Esse processo pode ser realizado por meio de três caminhos diferentes, conforme mostrado no gráfico 
acima. O caminho 1 consiste em uma expansão isobárica (AB), seguido de um processo isovolumétrico 
(BC). O caminho 2 consiste na expansão AC e o caminho 3 em um processo isovolumétrico AD, seguido 
de uma expansão isobárica (DC). Com relação à quantidade de calor recebido, afirma -se que, 
no percurso 1, ABC, o gás recebe a maior quantidade de calor. 
(B)no percurso 2, AC, o gás recebe uma quantidade maior de calor. 
(C)no percurso 3, ADC, o gás recebe a maior quantidade de calor. 
(D)nos percursos 1 e 2, a quantidade de calor trocada é a mesma. 
(E)nos percursos 2 e 3, a quantidade de calor trocada é a mesma. 
 
10.Uma máquina térmica cíclica recebe 5000 J de calor de uma fonte quente e realiza trabalho de 
3500 J. Calcule o rendimento dessa máquina térmica. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Primeiramente deve-se converter a temperatura da escala Celsius para Kelvin: 
 
A partir daí basta aplicar os dados na equação da energia interna: 
 
 
02. Resposta: D. 
Sabemos que o trabalho de um gás perfeito em uma transformação isobárica é dado por: 
 
Substituindo os valores na equação: 
 
O sinal negativo no trabalho indica que este é realizado sob o gás e não por ele. 
 
03. Resposta: C. 
O trabalho realizado pelo gás é igual a área sob a curva do gráfico, ou seja a área do trapézio azul. 
Sendo a área do trapézio dado por: 
 
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160 
 
Então, substituindo os valores temos: 
 
 
04. Resposta: D. 
Calculando o calor da fonte quente: 
Q2 = T2 
Q1 T1 
2000 = 500 
 Q1 300 
2000 = 1,67 
 Q1 
Q1 = 2000 
 1,7 
Q1 = 1198 J 
Por aproximação, podemos considerar a resposta como 1200 J. 
Calculando o trabalho: 
Q2 - Q1 = T 
2000 - 1200 = T 
T = 800J 
 
05. Resposta: 
Como os estados iniciais e finais dos dois processos são respectivamente iguais, a variação de energia 
interna será a mesma nos dois. 
Pela 1ª Lei da Termodinâmica, temos Q=W+U. Como a variação de U é igual em I e II, haverá mais 
calor absorvido onde o trabalho realizado for maior. O trabalho no diagrama p-V é representado pela área 
sob o gráfico do processo. Assim sendo, vê-se que o trabalho e, consequentemente, o calor trocado é 
maior em II. 
 
 06. Resposta: 
 
 
 
Calculando a quantidade de energia: 
 
Calculando o tempo necessário para que ocorra a absorção de energia suficiente (supondo perda 
zero): 
 
 
07. Resposta: 
O rendimento é: r = 1 - {Q2 / Q1} 
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161 
 
35 % e' escrito como 35/100 
35 / 100 = 1 - [Q2 / 1000] 
 Q2 = 1000 - 350 
 . : . Q2 = 650 J 
 
08. Resposta: 
Como Q2 / Q1 = T2 / T1 , podemos calcular h = 1 - T2 / T1 
Logo, 
 h = 1 - 300 / T1 
ou seja, 
 0,25 = 1 - 300 / T1 
 300 / T1 = 1 – 0,25 = 0,75 E 
 T1 = 300 / 0,75 = 30000 / 75 = 400 K 
Convertendo para Celsius, 
 400 K = 400 – 273 = 127°C 
 
09. Resposta: A. 
 Através do gráfico, verifica-se que quanto maior a distância, maior o espaço de expandir, maior será 
a temperatura, consequentemente maior quantidade de calor. 
 
10. Resposta: 
O rendimento é dado pela razão entre o trabalho realizado e o calor recebido: 
N = T/ Q1 
N = 3.500/ 5000 
N= 0,7 ou 70% 
 
 
 
 
 
ONDAS 
 
A definição de onda é qualquer perturbação (pulso) que se propaga em um meio. Ex: uma pedra 
jogada em uma piscina (a fonte), provocará ondas na água, pois houve uma perturbação. Essa onda se 
propagará para todos oslados, quando vemos as perturbações partindo do local da queda da pedra, até 
ir na borda. Uma sequência de pulsos formam as o Também existem ondas que não podemos observar 
a olho nu, como, por exemplo, ondas de rádio, ondas de televisão, ondas ultravioleta e micro-ondas. 
Além destas, existem alguns tipos de ondas que conhecemos bem, mas que não identificamos 
normalmente, como a luz e o som. 
Mas o que elas têm em comum é que todas são energias propagadas através de um meio, e este meio 
não acompanha a propagação. 
 
Conforme sua natureza as ondas são classificadas em: 
Ondas Mecânicas: são ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, sua 
propagação envolve o transporte de energia cinética e potencial e depende da elasticidade do meio. Por 
isto não é capaz de propagar-se no vácuo. Alguns exemplos são os que acontecem em molas e cordas, 
sons e em superfícies de líquidos. 
 
Ondas Eletromagnéticas: são ondas geradas por cargas elétricas oscilantes e sua propagação não 
depende do meio em que se encontram, podendo propagar-se no vácuo e em determinados meios 
materiais. Alguns exemplos são as ondas de rádio, de radar, os raios x e as micro-ondas. 
 
3.2.1.5 Ondas e Acústica: Conceito de onda. Pulsos em cordas. Ondas 
transversais e longitudinais. Amplitude. Comprimento de onda. 
Frequência. Velocidade de propagação. Ondas periódicas. Fenômenos 
ondulatórios. Princípio da superposição. Interferência. Reflexão. 
Refração. Ondas estacionárias. Acústica. Som. Tubos sonoros. 
Harmônicos. Propagação do som. Fontes sonoras. Efeito Doppler. 
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162 
 
Quanto a direção de propagação as ondas são classificadas como: 
 
Unidimensionais: que se propagam em apenas uma direção, como as ondas em cordas e molas 
esticadas; 
Bidimensionais: são aquelas que se propagam por uma superfície, como as água em um lago quando 
se joga uma pedra; 
Tridimensionais: são capazes de se propagar em todas as dimensões, como a luz e o som. 
 
Quanto à direção da vibração as ondas podem ser classificadas como: 
Transversais: são as que são causadas por vibrações perpendiculares à propagação da onda, como, 
por exemplo, em uma corda: 
 
 
Longitudinais: são ondas causadas por vibrações com mesma direção da propagação, como as ondas 
sonoras. 
 
Componentes de uma onda 
 Uma onda é formada por alguns componentes básicos que são: 
 
Sendo A a amplitude da onda. 
É denominado comprimento da onda, e expresso pela letra grega lambida (λ), a distância entre duas 
cristas ou dois vales consecutivos. 
Chamamos período da onda (T) o tempo decorrido até que duas cristas ou dois vales consecutivos 
passem por um ponto e frequência da onda (f) o número de cristas ou vales consecutivos que passam 
por um mesmo ponto, em uma determinada unidade de tempo. 
Portanto, o período e a frequência são relacionados por: 
𝒇 = 
𝟏
𝑻
 
A unidade internacionalmente utilizada para a frequência é Hertz (Hz) sendo que 1Hz equivale à 
passagem de uma crista ou de um vale em 1 segundo. 
 
Para o estudo de ondas bidimensionais e tridimensionais são necessários os conceitos de: 
 
frente de onda: é a fronteira da região ainda não atingida pela onda com a região já atingida; 
raio de onda: é possível definir como o raio de onda a linha que parte da fonte e é perpendicular às 
frentes de onda, indicando a direção e o sentido de propagação. 
 
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163 
 
 
 
 Velocidade de propagação das ondas 
 Como não transportam matéria em seu movimento, é previsível que as ondas se desloquem com 
velocidade contínua, logo estas devem ter um deslocamento que valide a expressão: 
S= v. t 
Podemos fazer que ΔS=λ e que Δt=T 
Assim:𝜆 = 𝜈. Τ 
 
𝑇 =
1
𝑓
 
𝜆 = 𝜈.
1
𝑓
 
= 𝜆. 𝑓 
Sendo esta a equação fundamental da Ondulatória, já que é válida para todos os tipos de onda. 
É comum utilizar-se frequências na ordem de kHz (1quilohertz = 1000Hz) e de MHz (1megahertz = 
1000000Hz) 
 Exemplo: 
(1) Qual a frequência de ondas, se a velocidade desta onde é de 195m/s, e o seu comprimento de 
onda é de 1cm? 
1cm=0,01m 
 = 𝜆. 𝑓 
𝑓 = 
𝜈
𝜆
 
 
𝑓 = 
195
0,01
= 19500 𝐻𝑧 
 𝐹 = 19,5 𝐻𝑧 
 
 
REFLEXÃO DE ONDAS 
 É o fenômeno que ocorre quando uma onda incide sobre um obstáculo e retorna ao meio de 
propagação, mantendo as características da onda incidente. Independentemente do tipo de onda, o 
módulo da sua velocidade permanece inalterado após a reflexão, já que ela continua propagando-se no 
mesmo meio. 
 Reflexão em ondas unidimensionais 
 Esta análise deve ser dividida oscilações com extremidade fixa e com extremidade livre: 
 
 Com extremidade fixa: 
Quando um pulso (meia-onda) é gerado, faz cada ponto da corda subir e depois voltar a posição 
original, no entanto, ao atingir uma extremidade fixa, como uma parede, a força aplicada nela, pelo 
princípio da ação e reação, reage sobre a corda, causando um movimento na direção da aplicação do 
pulso, com um sentido inverso, gerando um pulso refletido. Assim como mostra a figura abaixo: 
 
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164 
 
 
 
Para este caso costuma-se dizer que há inversão de fase já que o pulso refletido executa o movimento 
contrário ao do pulso incidente. 
 
 Com extremidade livre: 
Considerando uma corda presa por um anel a uma haste idealizada, portanto sem atrito. 
Ao atingir o anel, o movimento é continuado, embora não haja deslocamento no sentido do pulso, 
apenas no sentido perpendicular a este. Então o pulso é refletido em direção da aplicação, mas com 
sentido inverso. Como mostra a figura: 
 
Para estes casos não há inversão de fase, já que o pulso refletido executa o mesmo movimento do 
pulso incidente, apenas com sentido contrário. 
É possível obter-se a extremidade livre, amarrando-se a corda a um barbante muito leve, flexível e 
inextensível. 
 
REFRAÇÃO DE ONDAS 
 É o fenômeno que ocorre quando uma onda passa de um meio para outro de características distintas, 
tendo sua direção desviada. 
Independente de cada onda, sua frequência não é alterada na refração, no entanto, a velocidade e o 
comprimento de onda podem se modificar. 
Através da refração é possíveis explicar inúmeros efeitos, como o arco-íris, a cor do céu no pôr-do-sol 
e a construção de aparelhos astronômicos. 
A refração de ondas obedece duas leis que são: 
 
1ª Lei da Refração: O raio incidente, a reta perpendicular à fronteira no ponto de incidência e o raio 
refratado estão contidos no mesmo plano. 
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Lei de Snell: Esta lei relaciona os ângulos, as velocidades e os comprimentos de onda de incidência 
de refração, sendo matematicamente expressa por: 
𝑠𝑖𝑛𝜃1
𝑠𝑖𝑛𝜃2
=
𝑣1
𝑣2 
= 
1
2
 
 
ONDE: 
1= ângulo de raio incidente à reta perpendicular 
2= ângulo de raio refratado à reta perpendicular 
1=velocidade da onda incidente 
2=velocidade da onda refratada 
1= comprimento da onda incidente 
2= comprimento da onda refratada 
Como exemplos da refração, podem ser usadas ondas propagando-se na superfície de um líquido e 
passando por duas regiões distintas. É possível verificar experimentalmente que a velocidade de 
propagação nas superfícies de líquidos pode ser alterada modificando-se a profundidade deste local. As 
ondas diminuem o módulo de velocidade ao se diminuir a profundidade. 
 
SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS 
A superposição, também chamada interferência em alguns casos, é o fenômeno que ocorre quando 
duas ou mais ondas se encontram, gerando uma onda resultante igual à soma algébrica das perturbações 
de cada onda. 
Imagine uma corda esticada na posição horizontal, ao serem produzidos pulsos de mesma largura, 
mas de diferentes amplitudes, nas pontas da corda, poderá acontecer uma superposição de duas formas: 
Situação 1: os pulsos são dados em fase.No momento em que os pulsos se encontram, suas elongações em cada ponto da corda se somam 
algebricamente, sendo sua amplitude (elongação máxima) a soma das duas amplitudes: 
 
Numericamente: 
A= A1+A2 
X= x1+x2 
Após este encontro, cada um segue na sua direção inicial, com suas características iniciais 
conservadas. 
 
Este tipo de superposição é chamado interferência construtiva, já que a superposição faz com que a 
amplitude seja momentaneamente aumentada e m módulo. 
 
Situação 2: os pulsos são dados em oposição de fase. 
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166 
 
 
Novamente, ao se encontrarem as ondas, suas amplitudes serão somadas, mas podemos observar 
que o sentido da onda de amplitude A1 é negativo em relação ao eixo vertical, portanto A1<0. Logo, o 
pulso resultante terá amplitude igual a diferença entre as duas amplitudes: 
 
Numericamente: 
A= -A1+A2 
X= -x1+x2 
Sendo que o sinal negativo está ligado à amplitude e elongação da onda no sentido negativo. 
Após o encontro, cada um segue na sua direção inicial, com suas características iniciais conservadas. 
 
 
Este tipo de superposição é chamado interferência destrutiva, já que a superposição faz com que a 
amplitude seja momentaneamente reduzida em módulo. 
Os principais exemplos de ondas sobrepostas são os fenômenos ondulatórios de batimento e ondas 
estacionárias. 
Batimento: Ocorre quando duas ondas periódicas de frequência diferente e mesma amplitude são 
sobrepostas, resultando em uma onda com variadas amplitudes dependentes do soma de amplitudes em 
cada crista resultante. 
Ondas estacionárias: É o fenômeno que ocorre quando são sobrepostas duas ondas com mesma 
frequência, velocidade e comprimento de onda, na mesma direção, mas em sentidos opostos. 
 
RESSONÂNCIA 
A ressonância acontece quando a frequência de uma fonte de oscilação coincide com a frequência de 
oscilação natural de um corpo. 
Imagine que esta é uma ponte construída no estilo pênsil, e que sua frequência de oscilação natural é 
dada por: 
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167 
 
 
 
Ao ser excitada periodicamente, por um vento de frequência: 
 
A amplitude de oscilação da ponte passará a ser dada pela superposição das duas ondas: 
 
Se a ponte não tiver uma resistência que suporte a amplitude do movimento, esta sofrerá danos 
podendo até ser destruída. 
 
PRINCÍPO DE HUYGENS 
O princípio de Huygens pode ser aplicado a qualquer tipo de onda e é usado para determinar a posição 
de uma frente de onda em um determinado instante, desde que se conheça sua posição em um instante 
anterior. 
Christian Huygens (1629-1695), no final do século XVII, propôs um método de representação de 
frentes de onda, onde cada ponto de uma frente de onda se comporta como uma nova fonte de ondas 
elementares, que se propagam para além da região já atingida pela onda original e com a mesma 
frequência que ela. Sendo esta ideia conhecida como Princípio de Huygens. 
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168 
 
 
Para um considerado instante, cada ponto da frente de onda comporta-se como fonte das ondas 
elementares de Huygens. 
A partir deste princípio, é possível concluir que, em um meio homogêneo e com as mesmas 
características físicas em toda sua extensão, a frente de onda se desloca mantendo sua forma, desde 
que não haja obstáculos. 
Desta forma: 
 
 
DIFRAÇÃO DE ONDAS 
O fenômeno chamado difração é o encurvamento sofrido pelos raios de onda quando esta encontra 
obstáculos à propagação. 
Imagine a situação em que uma onda se propaga em um meio, até onde encontra uma fenda posta 
em uma barreira. 
 
Este fenômeno prova que a generalização de que os raios de onda são retilíneos é errada, já que a 
parte que atinge a barreira é refletida, enquanto os raios que atingem a fenda passam por ela, mas nem 
todas continuam retas. 
Se esta propagação acontecesse em linha reta, os raios continuariam retos, e a propagação depois 
da fenda seria uma faixa delimitada pela largura da fenda. No entanto, há um desvio nas bordas. 
Este desvio é proporcional ao tamanho da fenda. Para o caso onde esta largura é muito inferior ao 
comprimento de onda, as ondas difratadas serão aproximadamente circulares, independente da forma 
geométrica das ondas incidentes. 
 
 
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EXPERIÊNCIA DE YOUNG 
Na experiência realizada por Young, são utilizados três anteparos, sendo o primeiro composto por um 
orifício, onde ocorre difração da luz incidida, o segundo, com dois orifícios, postos lado a lado, causando 
novas difrações. No último, são projetadas as manchas causadas pela interferência das ondas resultantes 
da segunda difração. 
Ao substituir-se estes orifícios por fendas muito estreitas, as manchas tornam-se franjas, facilitando a 
visualização de regiões mais bem iluminadas (máximos) e regiões mal iluminadas (mínimos). 
 
 
Luz proveniente de uma fonte F passa por um pequeno orifício S e incide sobre duas fendas paralelas 
estreitas S1 e S2 separadas por uma distância h. Um anteparo colocado após as fendas mostrará listas 
claras e escuras, definindo assim o padrão de interferência que estamos interessados em encontrar. Note 
que o orifício S é de fundamental importância pois é ele que fornece a coerência espacial necessária 
entre a radiação vinda das duas fendas. 
 
Questões 
 
01. (UFBA – Engenheiro Eletricista – IADES) A mudança na direção de uma onda, ao atravessar a 
fronteira entre dois meios, e a modificação da velocidade de propagação e o comprimento de onda, 
mantendo uma proporção direta, são características de uma 
(A) reflexão de ondas. 
(B) refração de ondas. 
(C) superposição de ondas. 
(D) dispersão de ondas. 
(E) difração de ondas. 
 
02. (PETROBRAS – Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior – 
CESGRANRIO) De acordo com a sua natureza, as ondas podem ser classificadas em mecânicas ou 
eletromagnéticas. 
É um exemplo de ondas mecânicas: 
(A) ondas de rádio 
(B) micro-ondas 
(C) raio X 
(D) luz 
(E) ultrassom 
 
03. (FUB – Físico – CESPE) 
 
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170 
 
A figura acima, mostra, esquematicamente, as linhas de campo magnético terrestre. Ocm referência a 
essa figura e a fenômenos eletromagnéticos, julgue o item 
Ondas eletromagnéticas são ondas longitudinais e necessitam de meio físico para se propagar. 
 ( ) certo ( ) errado 
 
04. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Sabemos que o som são ondas que se 
propagam num meio material. No vácuo, não há sons. Duas pessoas conversam. A voz de Marina é mais 
aguda do que a de Francisco. Em relação às ondas sonoras que cada um deles emite, é CORRETO 
afirmar que o comprimento de onda dos sons de Francisco é 
(A) maior do que o de Marina, e a velocidade de propagação de suas ondas é igual à de Marina. 
(B) menor do que de Marina, e a velocidade de propagação de suas ondas é igual à de Marina. 
(C) maior do que de Marina, e a velocidade de propagação de suas ondas é maior que a de Marina. 
(D) menor do que de Marina, e a velocidade de propagação de suas ondas é maior que a de Marina. 
 
05. (SEE/AL – Professor – Física – CESPE) Com relação às propriedades das ondas sonoras e 
eletromagnéticas, julgue os itens a seguir Tanto as ondas sonoras quanto as ondas eletromagnéticas 
requerem um meio para sua propagação. 
( ) certo ( ) errado 
 
06. (PETROBRAS – Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior – 
CESGRANRIO) As ondas eletromagnéticas possuem características como: amplitude, frequência, 
comprimento de onda, velocidade de propagação, potência transmitida, etc. Quando se propagam no 
vácuo, a única característica que assume o mesmo valor para todas as ondas eletromagnéticas é a(o) 
(A) amplitude 
(B) frequência 
(C) velocidade de propagação 
(D) potência transmitida 
(E)comprimento de onda 
 
07. (SEDUC/RJ – Professor Docente I – Ciências – CEPERJ) Se houvesse uma explosão no Sol 
certamente não ouviríamos aqui na Terra. Isso aconteceria por que: 
(A) o som não se propaga no vácuo. 
(B) o som é uma onda eletromagnética 
(C) as ondas eletromagnéticas são transversais 
(D) o sol está muito distante da Terra 
(E) o som se propaga mal no ar 
 
08. (CBM/MG – Oficial do Corpo de Bombeiros Militar – IDECAN) 
A onda representada a seguir tem período de 0,25 s. 
 
Sobre essa onda, é correto afirmar que 
(A) sua amplitude é de 8 cm. 
(B) tem frequência igual a 2,5 hz. 
(C) sua velocidade é igual a 64 cm/s. 
(D) tem comprimento de onda de 48 cm. 
 
09. (EEAR – Sargento – Controlador de Tráfego Aéreo – FAB) A hélice de um determinado avião 
gira a 1800 rpm (rotações por minuto). Qual a frequência, em hertz, dessa hélice? 
(A) 30 
(B) 60 
(C) 90 
(D) 180 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
171 
 
10. (UFBA – Engenheiro Eletricista – IADES) Em um tanque com água, um mecanismo de vibração 
produz ondas na superfície. Se a frequência de trabalho do mecanismo for dobrada, como consequência 
a onda terá o (a) 
(A) dobro da velocidade de propagação. 
(B) seu período inalterado. 
(C) metade do comprimento de onda. 
(D) dobro do período. 
(E) metade da velocidade de propagação. 
 
11. (SEE-AC- PROFESSOR DE MATEMÁTICA E FÍSICA-FUNCAB) O som é classificado como uma 
onda: 
eletromagnética. 
(B)hidrodinâmica. 
(C)elétrica. 
(D)magnética. 
(E)mecânica. 
 
12.Um pêndulo demora 0,5 segundo para restabelecer sua posição inicial após passar por todos os 
pontos de oscilação, qual sua frequência? 
 
13.Qual deve ser a constante elástica de uma mola para que, quando colocada em um oscilador 
massa-mola horizontal, considerando a força máxima admissível igual a 100N, suporte um movimento de 
uma massa de 2kg em uma amplitude de 1m? 
 
14.Qual a força exercida em um oscilador massa-mola de amplitude 0,3m, com massa 0,5kg, tendo 
um período de 3 segundos, no momento em que sua elongação é máxima? 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Como mantém proporção, podemos dizer que as frequências são iguais, portanto, ocorre refração de 
ondas. 
 
02. Resposta: E. 
Lembrando que ondas mecânicas são todas as ondas que precisam de um meio material para se 
propagar. 
 
03. Resposta: Errado 
Ondas eletromagnéticas não necessitam de meio físico para se propagar. 
 
04. Resposta: A. 
A frequência de onda da voz de Marina é maior, pois é som mais agudo, ou seja o comprimento de 
onda deve ser menor, pois a velocidade das ondas devem ser iguais por estarem no mesmo meio. 
 
05. Resposta: Errado. 
Como vimos, as ondas eletromagnéticas não requerem um meio para sua propagação, é possível ter, 
mas não necessitam. 
 
06. Resposta: C. 
Se as ondas estão no mesmo meio (vácuo), elas terão a mesma velocidade de propagação. 
 
07. Resposta: A. 
O som é uma onda que precisa de um meio material para ser ouvido. 
 
08. Resposta: C. 
 
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172 
 
 
(A) Amplitude é 4 cm. 
(B) 𝑓 =
1
𝑇
=
1
0,25
= 4 ℎ𝑧 
(C) v=.f 
V=164=64 cm/s 
(D) =16 cm 
 
09. Resposta: A. 
Hertz =rotações por segundo, portanto vamos dividir por 60. 
1800/60=30 Hz. 
 
10. Resposta: C. 
A velocidade de propagação não pode mudar, pois não mudou o meio. 
Mantendo a velocidade constante e dobrando a frequência, o comprimento de onda deve ser pela 
metade. 
Vamos pensar pela fórmula? 
V=1f1 
V=2.2f1 
Igualando as velocidades 
1f1=2.2f1 
𝜆1 = 2𝜆2 
𝜆2 =
𝜆1
2
 
11. Resposta 
Onda é um movimento causado por uma perturbação que se propaga. Analisando a natureza de todos 
os tipos de ondas, os cientistas perceberam que podemos classificá- las em Ondas Mecânicas e Ondas 
Eletromagnéticas. 
Ondas Mecânicas: são ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, sua 
propagação envolve o transporte de energia cinética e potencial e depende da elasticidade do meio. Por 
isto não é capaz de propagar-se no vácuo. 
Exemplos: Som, ondas na água e as produzidas em cordas e molas. 
Ondas Eletromagnéticas: são ondas geradas por cargas elétricas oscilantes e sua propagação não 
depende do meio em que se encontram. Isso quer dizer que elas podem propagar-se tanto no vácuo 
quanto em determinados meios materiais. 
Exemplos: ondas de rádio, de radar, os raios x e as micro-ondas. 
 
12. Resposta: 
Como o tempo dado equivale ao movimento completo do pêndulo, este é considerado o seu período 
de oscilação, ou seja: 
 T=0,5 s 
Como a frequência equivale ao inverso do período temos: 
𝑓 = 
1
𝑇
 
 
𝑓 = 
1
0,5𝑠
= 2 𝐻𝑍 
 
13. Resposta: 
Utilizando a equação da força, lembrando que para osciladores massa-mola a constante k equivale a 
constante elástica da mola temos: 
F= -k.x 
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173 
 
Para este caso utilizaremos os valores de elongação máxima (amplitude) e de maior força admissível 
(lembrando que esta será restauradora, portanto, negativa), assim: 
F= -k.A 
-100—K.1 
K= 100 N/m 
 
14. Resposta: 
Utilizando a equação: 
 F = −m.2.x 
Lembrando que: 
=
2π
T
 
E que, no momento onde a elongação é máxima: 
x=A 
Podemos escrever a equação da força: 
 
 
MHS (MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES) 
 
Um fenômeno é periódico quando se repete, identicamente, em intervalos de tempo iguais. O período 
T é o menor intervalo de tempo para uma repetição deste fenômeno. 
Um oscilador harmônico efetua um movimento periódico, cujo intervalo é T para cada repetição do 
fenômeno realizado. Para este tipo de fenômeno além de T é considerado um outro tipo de grandeza que 
é a frequência f, que é o número de vezes que um movimento é repetido em um determinado intervalo de 
tempo. 
Assim podemos verificar que fT = 1 , assim : f = 1/T ou T = 1/f 
A unidade de T é segundos e de f é 1/segundo que é denominado hertz (Hz). 
Diz-se que um corpo está em MHS quando, em uma determinada trajetória, oscila periodicamente em 
torno de uma posição de equilíbrio. 
Observe a figura: Um corpo sob uma superfície sem atrito preso a uma mola ideal. Posto a oscilar com 
uma amplitude de módulo A, assim indo de – A até A. 
 
1 – Inicialmente a mola está em repouso sendo que a energia potencial do corpo é zero e a cinética é 
máxima. Sua velocidade é máxima e sua aceleração é zero. 
2 – O corpo está com amplitude A, com energia potencial máxima e cinética zero. Sua velocidade é 
zero e sua aceleração é mínima. (Note que a força está sendo dirigida para o sentido negativo.) 
3 – O corpo está com sua amplitude em – A, com energia potencial máxima e cinética zero. Sua 
velocidade é zero e sua aceleração é máxima. (Note que a força está sendo dirigida para o sentido 
positivo.) 
4 – Para configurar o MHS o corpo retorna à sua posição inicial com todas suas características. 
No caso de um corpo preso a uma mola podemos demonstrar como calcular o período do movimento. 
Seja F = – kx e k = mw2 , como w = 
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174 
 
Encontramos que onde m é a massa do corpo e k é a constante elástica da mola. 
Vale salientar que o período T só depende da massa do corpo e da constante elástica da mola. 
 
Exemplo: 
 A Terra demora 1 ano para completar uma volta ao redor do Sol. Este é chamado um movimento 
periódico e 1 ano é o período do movimento. Qual é a frequência do movimento da Terra em torno do 
Sol? Considere 1 ano = 365 dias. 
Primeiramente devemos transformar a unidade de ano para a que se utiliza inversamente na 
frequência, ou seja, segundo. 
1 ano=365 dias 
365 dias.24 horas=8760 horas 
8760horas.3600 s=31536000segundos 
 
Sendo a frequência igual ao inverso do período, temos que: 
𝑓 =
1
𝑇
 
𝑓 = 
1
31536000
 
 
𝑓 = 3,17. 10− 𝐻𝑧 
 
 
FUNÇÕES HORÁRIAS 
 
Chamamos um movimento de harmônico quando este pode ser descrito por funções horárias 
harmônicas (senoou cosseno), que são assim chamadas devido à sua representação gráfica: 
Função Seno 
 
 Função Cosseno 
 
Quando isto acontece, o movimento é chamado Movimento Harmônico Simples (MHS). 
Para que o estudo desse movimento seja simplificado, é possível analisá-lo como uma projeção de um 
movimento circular uniforme sobre um eixo. 
 
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175 
 
Função horária da velocidade 
Partindo da função horária da elongação podem-se seguir pelo menos dois caminhos diferentes para 
determinar a função horária da velocidade. Um deles é utilizar cálculo diferencial e derivar esta equação 
em função do tempo obtendo uma equação para a velocidade no MHS. 
Outra forma é continuar utilizando a comparação com o MCU, lembrando que, para o movimento 
circular, a velocidade linear é descrita como um vetor tangente à trajetória: 
 
Decompondo o vetor velocidade tangencial: 
 
𝑠𝑒𝑛 =
−𝑣
𝑣𝑡
 
 
𝑣 = 𝑣𝑡. 𝑠𝑒𝑛 
Repare que o sinal de v é negativo pois o vetor tem sentido contrário ao vetor elongação, logo, o 
movimento é retrógrado. 
Mas sabemos que em um MCU: 
𝑣𝑡 = . 𝐴 
 = 
0
+ 𝑡 
Assim, podemos substituir estas igualdades e teremos a função horária da velocidade no MHS: 
𝑣 = −𝑣𝑡. 𝑠𝑒𝑛 
 
𝑣 = −. 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(. 𝑡 + 
0 
) 
 
 Função horária da aceleração 
Analogamente à função horária da velocidade, a função horária da aceleração pode ser obtida 
utilizando cálculo diferencial, ao derivar a velocidade em função do tempo. Mas também pode ser 
calculada usando a comparação com o MCU, lembrando que quando o movimento é circular uniforme a 
única aceleração pela qual um corpo está sujeito é aquela que o faz mudar de sentido, ou seja, a 
aceleração centrípeta. 
 
Decompondo o vetor aceleração centrípeta: 
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176 
 
 
𝑐𝑜𝑠 =
−𝑎
𝑎𝑐𝑝
 
 
𝑎 = −𝑎𝑐𝑝. 𝑐𝑜𝑠 
Repare que o sinal de a é negativo pois o vetor tem sentido contrário ao vetor elongação, logo, o 
movimento é retrógrado. 
Mas sabemos que em um MCU: 
acp= 
2.A 
=0+t 
Podemos substituir estas igualdades e teremos a função horária da aceleração no MHS: 
a= -acp.cos 
a= -2.A.cos(t+0) 
ou 
a= -2.x 
 
 Algumas observações importantes: 
A fase (t +0)é sempre medida em radianos. 
A pulsação () pode ser definida por: 
2𝜋
𝑇
 
A fase inicial (0) é o igual ao ângulo inicial do movimento em um ciclo trigonométrico, ou seja, é o 
ângulo de defasagem da onda senoidal. 
Por exemplo, no instante t=0, uma partícula que descreve um MHS está na posição , então 
determina-se sua fase inicial representando o ponto dado projetado no ciclo trigonométrico: 
 
 Exemplos: 
(1) Uma partícula em MHS, com amplitude 0,5m, tem pulsação igual a
𝜋
8
 rad/s e fase inicial 
𝜋
2
,, qual sua 
elongação, velocidade e aceleração após 2 segundos do início do movimento? 
𝑋 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(. 𝑡 + 0) 
𝑋 = 0,5 𝑐𝑜𝑠(
𝜋
8
. 2 +
𝜋
2
) 
𝑋 = −0,35 𝑚 
 
 = −. 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(. 𝑡 + 0) 
 
 = −(
𝜋
8
. 0,5. 𝑠𝑒𝑛((
𝜋
8
. 2 +
𝜋
2
) 
 
 = −𝟎, 𝟏𝟑𝟖 𝒎/𝒔 
 
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177 
 
𝑎 = −𝜔2. 𝑥 
𝑎 = −. (
𝜋
8
)2. (−0,35) 
𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟑𝟗 𝒎/𝒔2 
 
FORÇA NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
 
Assim como visto anteriormente o valor da aceleração para uma partícula em MHS é dada por: 
a= -2.x 
Então, pela 2ª Lei de Newton, sabemos que a força resultante sobre o sistema é dada pelo produto de 
sua massa e aceleração, logo: 
 F=m.a 
F= m(-2.x) 
F=- m 2.x 
Como a massa e a pulsação são valores constantes para um determinado MHS, podemos substituir o 
produto mω² pela constante k, denominada constante de força do MHS. 
Obtendo: 
 F= -K.x 
Com isso concluímos que o valor algébrico da força resultante que atua sobre uma partícula que 
descreve um MHS é proporcional à elongação, embora tenham sinais opostos. 
Esta é a característica fundamental que determina se um corpo realiza um movimento harmônico 
simples. 
Chama-se a força que atua sobre um corpo que descreve MHS de força restauradora, pois ela atua 
de modo a garantir o prosseguimento das oscilações, restaurando o movimento anterior. 
Sempre que a partícula passa pela posição central, a força tem o efeito de retardá-la para depois poder 
trazê-la de volta. 
 
 Ponto de equilíbrio do MHS 
No ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero (x=0), consequentemente a 
força resultante que atua neste momento também é nula (F=0). 
Este ponto onde a força é anulada é denominado ponto de equilíbrio do movimento. 
 
 Ponto de equilíbrio do MHS 
No ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero (x=0), consequentemente a 
força resultante que atua neste momento também é nula (F=0). 
Este ponto onde a força é anulada é denominado ponto de equilíbrio do movimento. 
 
 Período do MHS 
Grande parte das utilidades práticas do MHS está relacionado ao conhecimento de seu período (T), já 
que experimentalmente é fácil de medi-lo e partindo dele é possível determinar outras grandezas. 
Como definimos anteriormente: 
k=mω² 
A partir daí podemos obter uma equação para a pulsação do MHS: 
𝜔 = √
𝐾
𝑚
 
Mas, sabemos que: 
𝜔 = 
2𝜋
𝑇
 
 
Então, podemos chegar a expressão: 
2𝜋
𝑇
= √
𝐾
𝑚
 
 
 
𝑇 = 2𝜋. √
𝑚
𝐾
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
178 
 
Como sabemos, a frequência é igual ao inverso do período, logo: 
𝑓 = 
1
2𝜋
√
𝐾
𝑚
 
 Exemplo: 
(1) Um sistema é formado por uma mola pendurada verticalmente a um suporte em uma extremidade 
e a um bloco de massa 10kg. Ao ser posto em movimento o sistema repete seus movimentos após cada 
6 segundos. Qual a constante da mola e a frequência de oscilação? 
Para um sistema formado por uma massa e uma mola, a constante k é equivalente à constante elástica 
da mola, assim: 
T= 2.√
𝑚
𝐾
 
 
T2=42. 
𝑚
𝐾
 
𝐾 =
4𝜋2.
𝑇2
. 𝑚 
 
𝐾 = 
4. (3,14)2
36
. 10 
 
K= 10,96 N/m 
 
OSCILADOR MASSA-MOLA 
 
Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que possa ser 
deformada sem perder suas propriedades elásticas, chamada mola de Hooke, e um corpo de 
massa m que não se deforme sob ação de qualquer força. 
Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola, por mais leve que seja, jamais será 
considerada um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua elasticidade. Enquanto 
um corpo de qualquer substância conhecida, quando sofre a aplicação de uma força, é deformado, 
mesmo que seja de medidas desprezíveis. 
Mesmo assim, para as condições que desejamos calcular, este é um sistema muito eficiente. E sob 
determinadas condições, é possível obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-mola. 
Assim podemos descrever dois sistemas massa-mola básicos, que são: 
 
 Oscilador massa-mola horizontal 
É composto por uma mola com constante elástica K de massa desprezível e um bloco de massa m, 
postos sobre uma superfície sem atrito, conforme mostra a figura abaixo: 
 
Como a mola não está deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posição de equilíbrio. 
Ao modificar-se a posição do bloco para um ponto em x, este sofrerá a ação de uma força restauradora, 
regida pela lei de Hooke, ou seja: 
F= -K.x 
Como a superfície não tem atrito, esta é a única força que atua sobre o bloco, logo é a força resultante, 
caracterizando um MHS. 
Sendo assim, o período de oscilação do sistema é dado por: 
T= 2π√
𝑚
𝐾
 
Assim podemos fazer algumas observações sobre este sistema: 
O bloco preso à mola executa um MHS; 
A elongação do MHS, é igual à deformação da mola; 
No ponto de equilíbrio, a força resultante é nula. 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
179 
 
Oscilador massa-mola vertical 
Imaginemos o sistema anterior, de uma mola de constante K e um bloco de massa m, que se 
aproximam das condiçõesde um oscilador massa-mola ideal, com a mola presa verticalmente à um 
suporte e ao bloco, em um ambiente que não cause resistência ao movimento do sistema: 
 
Podemos observar que o ponto onde o corpo fica em equilíbrio é: 
F=0 
Fel-P=0 
Fel=P 
 
Ou seja, é o ponto onde a força elástica e a força peso se anulam. Apesar da energia potencial elástica 
não ser nula neste ponto, considera-se este o ponto inicial do movimento. 
Partindo do ponto de equilíbrio, ao ser "puxado" o bloco, a força elástica será aumentada, e como esta 
é uma força restauradora e não estamos considerando as dissipações de energia, o oscilador deve se 
manter em MHS, oscilando entre os pontos A e -A, já que a força resultante no bloco será: 
F= Fel-P 
F=-Kx-P 
Mas, como o peso não varia conforme o movimento, este pode ser considerado como uma constante. 
Assim, a força varia proporcionalmente à elongação do movimento, portanto é um MHS. 
Tendo seu período expresso por: 
T= 2π√
𝑚
𝐾
 
PÊNDULO SIMPLES 
 
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua 
movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. 
Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como um objeto de fácil 
previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos 
físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, 
e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. 
Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas 
extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
180 
 
 
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao 
desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o 
fio e o peso da massa m. Desta forma: 
 
A componente da força Peso que é dado por P.cosθ se anulará com a força de Tensão do fio, sendo 
assim, a única causa do movimento oscilatório é a P.senθ. Então: 
F= P sen 
No entanto, o ângulo θ, expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito 
pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, 
dado porℓ, assim: 
 
Onde ao substituirmos em F: 
 
Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS, já que a 
força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos pequenos, ,≥
𝜋
8
 , o 
valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este ângulo. 
Então, ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação: 
 
Como P=mg, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que: 
 
Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como: 
 
Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, um pêndulo 
simples descreve um MHS. 
Como para qualquer MHS, o período é dado por: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
181 
 
T= 2π√
𝑚
𝐾
 
e como 
 
Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por: 
 
Questões 
 
01 (Unitau-SP) Um corpo de massa m, ligado a uma mola de constante elástica k, está animado de 
um movimento harmônico simples. Nos pontos em que ocorre a inversão no sentido do movimento: 
(A) são nulas a velocidade e a aceleração 
(B) são nulas a velocidade e a energia potencial 
(C) o módulo da aceleração e a energia potencial são máximas 
(D) a energia cinética é máxima e a energia potencial é mínima 
(E) a velocidade, em módulo, e a energia potencial são máximas 
 
02 Um oscilador massa-mola, cuja massa é 1 kg, oscila a partir de sua posição de equilíbrio. 
Sabendo que a constante elástica da mola é 60 N/m, calcule a velocidade angular e a frequência desse 
oscilador. 
 
03 Dada a função horária da elongação: 
Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI responda 
a) Qual a amplitude do movimento? 
b) Qual a pulsação do movimento? 
c) Qual o período do movimento? 
d) Qual a fase inicial do movimento? 
e) Quando t=2s qual será a elongação do movimento? 
 
04.Qual a força exercida em um oscilador massa-mola de amplitude 0,3m, com massa 0,5kg, tendo 
um período de 3 segundos, no momento em que sua elongação é máxima? 
 
05. Qual deve ser a constante elástica de uma mola para que, quando colocada em um oscilador 
massa-mola horizontal, considerando a força máxima admissível igual a 100N, suporte um 
movimento de uma massa de 2kg em uma amplitude de 1m? 
 
06.Qual o período e a frequência de um pêndulo simples, que tem comprimento de 0,25m? 
Considere g=10m/s². 
 
07.Um pêndulo com massa m = 100 g e comprimento L é posto a oscilar com pequenas amplitudes. 
O período mensurado foi T = 1 s. Considere g = 9,8 m/s². 
Determinar: 
a. O comprimento L deste pêndulo. 
b. Qual seria o período deste pêndulo quando colocado a oscilar na superfície da Lua, onde a 
aceleração da gravidade é 1,63 N/kg (m/s²)? 
08. (UFG) O gráfico mostra a posição, em função do tempo, de uma partícula em movimento harmônico 
simples no intervalo de tempo entre 0 e 4 segundos. A equação da posição em função do tempo para 
esse movimento é dada por x = a.cos(w.t + φ0). A partir do gráfico, encontre os valores das constantes 
a, w e φ0. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
182 
 
 
Analisando o gráfico percebemos que a posição do móvel que se encontra em mhs oscila entre os 
pontos 2 e -2. Logo, a amplitude do movimento equivale a 2m. 
09.Uma partícula descreve uma trajetória circular com velocidade angular constante. A projeção 
ortogonal desse movimento sobre um diâmetro da circunferência descrita é um movimento 
(A) retilíneo uniforme. 
(B) harmônico simples. 
(C) retilíneo uniformemente acelerado. 
(D) retilíneo uniformemente retardado. 
(E) harmônico acelerado. 
 
10. A função horária da posição de uma partícula que realiza um Movimento Harmônico Simples 
(MHS) é: x = A cos(ωt + φ). A figura a seguir apresenta o gráfico da função horária da posição de uma 
partícula que descreve um MHS segundo um certo referencial. Qual a função horária da posição dessa 
partícula com dados no (SI)? 
 
 
 
Respostas 
01 Resposta 
Quando ocorre a inversão do sentido do movimento harmônico simples, a velocidade é nula e, 
consequentemente, a energia cinética também. Porém, a energia mecânica transforma-se 
completamente em energia potencial, que, por sua vez, assume seu máximo valor. Nesse instante, a 
aceleração também atinge seu valor máximo. 
 
02 Resposta 
Dados: 
m = 1kg 
k = 60 N/m 
Calculamos a velocidade angular a partir da seguinte equação: 
ω = √k 
 √m 
ω = √60 
 √1 
ω = 7,74 rad/s 
Agora, determinamos a frequência: 
ω = 2 π f 
7,74 = 2 π f 
f = 7,74 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
183 
 
 2π 
f = 1,23 Hz 
 
03 Resposta 
a) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: A=3m 
b) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: 
c) Conhecendo a pulsação e sabendo que: 
 
d) Igualando os valores: 
 
e) Aplicando o valor na equação temos: 
 
 
04 Resposta 
Utilizando a equação: 
 
Lembrando que: 
 
E que, no momento onde a elongação é máxima: 
x=A 
Podemos escrever a equação da força: 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
184 
 
05 Resposta 
Utilizando a equação da força, lembrando que para osciladores massa-mola a constante k equivale a 
constante elástica da mola temos: 
 
Para este caso utilizaremos os valores de alongação máxima (amplitude) e de maior força admissível 
(lembrando que esta será restauradora, portanto, negativa), assim: 
 
06 Resposta 
Utilizando a equação: 
 
Substituindo os valores dados: 
 
Sabendo que a frequência é igual ao inverso do período:07 Resposta 
 
Decomposição das forças agindo sobre o corpo que oscila. 
 
a) A partir da equação, T L = 2π g, o comprimento do pêndulo em estudo pode ser determinado. 
Elevando ao quadrado essa expressão, obtemos: 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
185 
 
b) Diferentemente do sistema massa-mola, onde o período não depende da gravidade, no pêndulo 
simples ele é fundamental. Em particular, um pêndulo não oscila numa região onde inexista gravidade. 
No caso da Lua, o período é dado por: 
 
c) Donde inferimos que o mesmo pêndulo, quando colocado a oscilar na Lua, teria um período de 
TLua = 2,46 s. 
 
08 Resposta 
Velocidade angular w = 2.π.f 
f = 1/T = 1/4 Hz 
w = 2.(1/4).π 
w = π/2 rad/s 
 
A fase inicial é dada por 
X = a.cos(wt + π} 
X = 2.cos ([π/2].t + π 
Analisando graficamente, temos que: T = 4s 
w = 2. π.f = 2.π.1/4 = ½] 
 
09 Resposta: B 
 
10 Resposta: 
-0,1 cos (π/2 t + 3π/2) 
 
 
ACUSTICA 
 
É o estudo das ondas sonoras e de sua percepção pelo sistema auditivo. Logo, para que possamos 
iniciar nosso estudo, precisamos entender o que é som. 
 
SOM E SUA PROPAGAÇÃO 
O som é definido como a propagação de uma frente de compressão mecânica ou onda longitudinal, 
se propagando tridimensionalmente pelo espaço e apenas em meios materiais, como o ar ou a água. 
Para que esta propagação ocorra, é necessário que aconteçam compressões e rarefações em 
propagação do meio. Estas ondas se propagam de forma longitudinal. 
Quando passa, a onda sonora não arrasta as partículas de ar, por exemplo, apenas faz com que estas 
vibrem em torno de sua posição de equilíbrio. 
Como as ondas sonoras devem ser periódicas, é válida a relação da velocidade de propagação: 
𝑉 = . 𝑓 
 
A audição humana considerada normal consegue captar frequências de onda sonoras que variam 
entre aproximadamente 20Hz e 20000Hz. São denominadas ondas de infrassom, as ondas que tem 
frequência menor que 20Hz, e as de ultrassom as que possuem frequência acima de 20000Hz. 
De maneira que: 
 
 
 
 
A velocidade do som na água é aproximadamente igual a 1450m/s e no ar, à 20°C é 343m/s. 
A propagação do som em meios gasosos depende fortemente da temperatura do gás, é possível 
inclusive demonstrar experimentalmente que a velocidade do som em gases é dada por: 
𝑣 = 𝐾. 𝑇 
Onde: 
k=constante que depende da natureza do gás; 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
186 
 
T=temperatura absoluta do gás (em kelvin). 
 Como exemplo podemos tomar a velocidade de propagação do som no ar à temperatura de 15° 
(288K), que tem valor 340m/s. 
Exemplo: 
Sabendo que à 15°C o som se propaga à 340m/s, qual será sua velocidade de propagação à 100°C? 
Lembrando que: 
15° = 288K 
100° = 373K 
V15º=K.T15º e V100º=K.T100º 
340=K.288 e V100º=K.373 
 Dividindo-se uma equação pela outra: 
 
340 = K. 288 
V100º = K. 373 
 
 
340
𝑣100
= √
288
373
 
 
𝑣100 = 
340
√288
373
 
 
𝑣100 = 386,9 𝑚/𝑠 
 
 
INTERVALO ACÚSTICO 
A audição humana é capaz de diferenciar algumas características do som como a sua altura, intervalo e 
timbre. 
A altura do som depende apenas de sua frequência, sendo definida como a diferenciação entre grave e 
agudo. 
Um tom de maior frequência é agudo e um de menor é grave. 
Os intervalos entre dois sons são dados pelo quociente entre suas frequências. Ou seja: 
 
𝑖 =
𝑓1
𝑓2
 
 
INTENSIDADE SONORA 
 A intensidade do som é a qualidade que nos permite caracterizar se um som é forte ou fraco e depende 
da energia que a onda sonora transfere. 
A intensidade sonora (I) é definida fisicamente como a potência sonora recebida por unidade de área 
de uma superfície, ou seja: 
𝐼 =
𝑃
𝐴
 
 
Mas como a potência pode ser definida pela relação de energia por unidade de tempo: 
 
𝑃 =
𝐸
∆𝑡
 
 
Então, também podemos expressar a intensidade por: 
 
𝐼 = 
𝐸
𝐴. ∆𝑡
 
 
As unidades mais usadas para a intensidade são J/m² e W/m². 
É chamada mínima intensidade física, ou limiar de audibilidade, o menor valor da intensidade sonora 
ainda audível: Io=10-12 W/m2 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
187 
 
É chamada máxima intensidade física, ou limiar de dor, o maior valor da intensidade sonora suportável 
pelo ouvido: Imáx=1 W/m2 
 
Conforme um observador se afasta de uma fonte sonora, a intensidade sonora ou nível sonoro 
(β)diminui logaritmicamente, sendo representado pela equação: 
𝛽 = 𝑙𝑜𝑔
𝐼
𝐼0
 
A unidade utilizada para o nível sonoro é o Bel (B), mas como esta unidade é grande comparada com 
a maioria dos valores de nível sonoro utilizados no cotidiano, seu múltiplo usual é o decibel (dB), de 
maneira que 1B=10dB. 
 
REFLEXÃO DO SOM 
Assim como para qualquer outra onda, as ondas sonoras, ao atingirem um obstáculo fixo, como uma 
parede, são refletidas. 
A reflexão do som acontece com inversão de fase, mas mantém a mesma velocidade de propagação, 
mesma frequência e o mesmo comprimento de onda do som incidente. 
Um efeito muito conhecido causado pela reflexão do som é o efeito de eco. Que consiste na reflexão 
do som que bate em uma parede afastada. 
 
Quando uma pessoa emite um som em direção a um obstáculo, este som é ouvido no momento da 
emissão, chamado som direto, e no momento em que o som refletido pelo obstáculo retorna a ele. 
Sabemos que a velocidade é dada pela distância percorrida pelo som em um determinado tempo, esta 
distância é dada por duas vezes a distância ao obstáculo refletor, já que o som vai e volta. Assim: 
𝑣 = 
2𝑑
𝑡
 
E a velocidade é a de propagação do som no ar. 
Ao receber um som, este "permanece" em nós por aproximadamente 0,1s, sendo este intervalo 
conhecido como persistência acústica. 
Pela relação da velocidade: 
𝑡 =
2𝑑
𝑣
 
 
Se este intervalo de tempo for inferior à persistência acústica (t < 0,1s), o som ouvido após ser refletido 
parecerá apenas um prolongamento do som direto. A este efeito dá-se o nome de reverberação. Para 
intervalos maiores que a persistência acústica (t > 0,1s) é instintivo perceber que esta reflexão será ouvida 
como eco. 
Os outros fenômenos acontecem da mesma forma que para as outras ondas estudadas. Tendo uma 
utilização bastante conhecida a de interferência do som, onde é possível aplicar uma frequência 
antirruído, a fim de suavizar o som do ambiente. 
 
TUBOS SONOROS2 
Ao soprar um tubo sonoro a coluna de ar vibra, havendo assim a produção de som. 
Vejamos agora os tipos de tubos sonoros: 
 
A) Abertos: os tubos abertos possuem uma extremidade oposta à embocadura, ou seja, a entrada do 
ar aberta. A onda estacionária se forma no ar de seu interior, quando o tubo aberto ressoa. 
Nas duas extremidades do tubo, ou seja, na embocadura e na extremidade aberta, há uma formação 
de ventres, isto é, uma interferência construtiva. 
 
 
2 Fonte: http://www.colegioweb.com.br/acustica/tubos-sonoros.html#ixzz42R41y85z 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
188 
 
 
 
B) Fechados: Os tubos fechados possuem uma extremidade oposta a embocadura, ou seja, a entrada 
do ar fechada. A onda estacionária se forma no ar de seu interior, quando o tubo fechado ressoa. 
Podemos perceber que junto à embocadura, há formação de um ventre, ou seja, interferência 
construtiva, e junto à extremidade fechada, ocorre à formação de um nó, ou seja, interferência destrutiva. 
 
 
Ondas estacionárias nos tubos 
 
A) Tubos Abertos 
Vejamos uma figura abaixo, onde podemos perceber que estão representadas as três primeiras ondas 
estacionárias, que poderão aparecer na coluna de ar do interior de um tubo aberto que contenha um 
comprimento útil igual a L. Veremos abaixo os três modos de vibração que correspondem ao 1º, 2º e 3º 
harmônico. 
Vejamos: 
 
 
 
Considerando o comprimento da onda estacionária que está presente no tubo, esse comprimento 
poderá ser expresso em função deL. Em cada caso é dado de uma forma, vejamos: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
189 
 
 
Considerando V, como sendo o módulo da velocidade das ondas parciais, onde elas se superpõem 
para que haja formação das ondas estacionárias e fn, a frequência de um harmônico de ordem n, vem: 
 
 
B) Tubos fechados 
Vejamos uma figura abaixo, onde podemos perceber que estão representadas as três primeiras ondas 
estacionárias, que poderão aparecer na coluna de ar do interior de um tubo fechado que contenha um 
comprimento útil igual a L. Veremos abaixo os três modos de vibração que correspondem ao 1º, 2º e 5º 
harmônico. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
190 
 
Considerando o comprimento da onda estacionária que está presente no tubo, esse comprimento 
poderá ser expresso em função de L. Em cada caso é dado de uma forma, vejamos: 
 
Considerando V, como sendo o módulo da velocidade das ondas parciais, onde elas se superpõem 
para que haja formação das ondas estacionárias e f(2n – 1), a frequência de um harmônico de ordem (2n 
-1), vem: 
 
 
EFEITO DOPPLER 
O efeito Doppler é a alteração da frequência sonora percebida pelo observador em virtude do 
movimento relativo de aproximação ou afastamento entre a fonte e o observador. 
Para ondas sonoras, o efeito Doppler constitui o fenômeno pelo qual um observador percebe 
frequências diferentes das emitidas por uma fonte e acontece devido à velocidade relativa entre o a onda 
sonora e o movimento relativo entre o observador e/ou a fonte. 
Considerando: 
f0= frequência aparente percebida pelo observador 
f=frequência real emitida 
v0= velocidade do observador 
vf= velocidade da fonte 
v= velocidade da onda sonora 
 
Podemos determinar uma fórmula geral para calcular a frequência percebida pelo observador, ou seja, 
a frequência aparente. 
Supondo que o observador esteja em repouso e a fonte se movimente: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
191 
 
Para o caso onde a fonte se aproxima do observador, há um encurtamento do comprimento da onda, 
relacionado à velocidade relativa, e a frequência real será menor que a observada, ou seja: 
 
𝑓0 =
𝑣
1
 
 
Mas, como a fonte se movimenta, sua velocidade também deve ser considerada, de modo que: 
Substituindo no cálculo da frequência observada: 
 
𝑓0 =
𝑣
𝑣 − 𝑣𝑓
𝑓𝑓
 
Ou seja: 
 
 
Para o caso onde a fonte se afasta do observador, há um alongamento aparente do comprimento de 
onda, nesta situação a dedução do cálculo da frequência observada será análoga ao caso anterior. 
𝑓0 =
𝑣
2
 
 
No entanto: 
2 =
𝑣 + 𝑣𝑓
𝑓𝑓
 
 
Então: 
𝑓0 =
𝑣
𝑣 + 𝑣𝑓
𝑓𝑓
 
 
 
Podemos escrever uma fórmula geral para os casos onde a fonte se desloque e o observador fique 
parado, se utilizarmos: 
 
Sendo o sinal negativo utilizado no caso onde a fonte se aproxima e positivo no caso em que a fonte 
se afasta. 
 
Supondo que a fonte esteja em repouso e o observador se movimente: 
No caso em que o observador se aproxima da fonte, em um mesmo intervalo de tempo ele encontrará 
mais frentes de onda do que se estivesse parado. Assim a frequência observada deverá ser maior que a 
frequência emitida pela fonte. Neste caso, o comprimento de onda não é alterado, mas a velocidade de 
propagação é ligeiramente aumentada. 
 
𝑓0 =
𝑣1

 
Mas: 
v1= v+v0 e = 
𝑣
𝑓1
 
Quando estes dois valores são substituídos no cálculo da frequência observada temos: 
𝑓0 = 
𝑣 + 𝑣0
𝑣
𝑓𝑓
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
192 
 
Então: 
 
 
No caso em que o observador se afasta da fonte, em um mesmo intervalo de tempo ele encontrará 
menor número de frentes de onda do que se estivesse parado. Assim a frequência observada deverá ser 
menor que a frequência emitida pela fonte. A dedução do cálculo da frequência observada será análoga 
ao caso anterior, no entanto a velocidade de propagação é ligeiramente reduzida. 
 
𝑓0=
𝑣2

 
Mas: 
𝑣2=𝑣−𝑣0 e = 
𝑣
𝑓𝑓
 
Quando estes dois valores são substituídos no cálculo da frequência observada temos: 
𝑓0 = 
𝑣 − 𝑣0
𝑣
𝑓𝑓
 
Então: 
 
 
 Podemos escrever uma fórmula geral para os casos onde o observador se desloque e a fonte fique 
parada, se utilizarmos: 
 
Sendo o sinal negativo utilizado no caso onde a fonte se aproxima e positivo no caso em que a fonte 
se afasta. 
 
Conhecendo estas quatro possibilidades de alteração na frequência de onda observada podemos 
escrever uma fórmula geral para o efeito Doppler se combinarmos todos os resultados, sendo ela: 
 
 
 
Sendo utilizados os sinais convenientes para cada caso. 
 
Qualidade do Som 
É a qualidade que permite diferenciar sons graves de sons agudos. A altura de um som se relaciona 
com sua frequência. Quanto maior a frequência de uma som mais agudo ele será e, quanto menor a 
frequência mais grave será. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
193 
 
 
 
OBS.: A voz masculina é grave e a feminina é aguda. A diferença é decorrente da densidade das 
pregas vocais. As pregas vocais masculinas são mais densas (grossas), produzindo um som grave. Já 
as pregas vocais feminina são mais finas ocasionando a produção de um som agudo. 
 
 
 
 
b) Intensidade ou volume: 
É a qualidade que permite diferenciar sons fortes de sons fracos. Para sons de mesma frequência a 
intensidade depende a amplitude da onda. Quanto maior a amplitude mais intenso é o som produzido. 
 
 
c) Timbre: 
É a qualidade que permite diferenciar sons de mesma altura emitidos por fontes diferentes. O timbre 
depende da forma da onda (desenho da onda), como mostrado na figura ao lado. Esse desenho da onda 
e comumente denominado de harmônico. Na figura verifica-se que cada instrumento produz ondas com 
formas diferentes, isso faz com que o aparelho auditivo do ser humano reconheça o instrumento que o 
envia. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
194 
 
Intensidade A intensidade de um som é dada pela razão entre a sua potência e a área por ele 
atravessa. Conforme a equação abaixo 
𝐼 =
𝑃
𝐴
 
 
Unidade no SI: w/m2 
 
Notas 
01.A menor intensidade de som audível é denominada de limiar de audição e seu valor é Io = 10-
12 w/m2. Quanto a intensidade do som começa a produzir desconforto auditivo, como início da sensação 
dolorosa, ela passa a ser denominada de limiar de dor e seu valor é de I = 1 w/m2 
02. A onda sonora e tridimensional, por isso considera-se ao se propagar no ar assume a configuração 
espacial de uma esfera. 
 
 
 
Observa-se que a Intensidade é inversamente proporcional a quadrado do Raio da esfera. 
Considerando que o Raio da Esfera representa a distância entre a fonte e o ouvinte, percebe-se que a 
quanto maior a distância menor a intensidade do som. 
 
Nível Sonoro 
É a grandeza física que responsável pela medida da sensação auditiva do ser humano. 
 
 
 
Na prática usa-se decibel (dB), para converter de Bell, para decibell (dB), basta multiplicar o resultado 
encontrado por 10. 
 
Questões 
 
01.Um homem anda paralelamente a uma linha férrea com velocidade de 1,5 m/s, um trem se desloca 
em sua direção com velocidade de 20 m/s, o homem ouve o apito do trem com frequência de 683 Hz. 
Sendo a velocidade do som no ar igual a 340 m/s, qual a frequência do apito emitido pelo trem? Esquema 
do problema 
 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
195 
 
Adotando-se um sistema de referência orientado do observador (homem) para a fonte sonora (trem) 
temos que o homem tem velocidade positiva (v O > 0) e a velocidade do trem é negativa (v F < 0). Dados 
do problema • velocidade da fonte: v F = −20 m/s; • velocidade do observador: v O = 1,5 m/s; • frequência 
ouvida pelo observador: f O = 683 Hz; • velocidade do som no ar: v = 340 m/s. 
 
02.Um trem bala passa apitando pelaplataforma de uma estação. Uma pessoa que está parada na 
plataforma ouve o silvo com frequência de 450Hz. Após a passagem do trem, a frequência do apito parece 
cair para 300Hz. Qual a velocidade com que o trem bala anda? Considera velocidade do som igual a 
340m/s. 
 
03. (UFSM) Ondas ultrassônicas são emitidas por uma fonte em repouso em relação ao paciente, com 
uma frequência determinada. Essas ondas são refletidas por células do sangue que se .......... de um 
detector de frequências em repouso, em relação ao mesmo paciente. Ao analisar essas ondas refletidas, 
o detector medirá frequências .......... que as emitidas pela fonte. Esse fenômeno é conhecido como .......... 
. 
Selecione a alternativa que preenche corretamente as lacunas. 
(A) afastam - menores - efeito Joule 
(B) afastam - maiores - efeito Doppler 
(C) aproximam - maiores - efeito Joule 
(D) afastam - menores - efeito Doppler 
(E) aproximam - menores - efeito Tyndal 
 
04. (UnB-DF) Um indivíduo percebe que o som da buzina de um carro muda de tom à medida que o 
veículo se aproxima ou se afasta dele. Na aproximação, a sensação é de que o som é mais agudo, no 
afastamento, mais grave. Esse fenômeno é conhecido em Física como efeito Doppler. Considerando a 
situação descrita, julgue os itens que se seguem. 
(1) As variações na totalidade do som da buzina percebidas pelo indivíduo devem-se a variações da 
frequência da fonte sonora. 
(2) Quando o automóvel se afasta, o número de cristas de onda por segundo que chegam ao ouvido 
do indivíduo é maior. 
(3) Se uma pessoa estiver se movendo com o mesmo vetor velocidade do automóvel, não mais terá a 
sensação de que o som muda de totalidade. 
(4) Observa-se o efeito Doppler apenas para ondas que se propagam em meios materiais. 
 
05.O grupo brasileiro Uakti constrói seus próprios instrumentos musicais. Um deles consiste em vários 
canos de PVC de comprimentos variados. Uma das pontas dos canos é mantida fechada por uma 
membrana que emite sons característicos ao ser percutida pelos artistas, enquanto a outra é mantida 
aberta. Sabendo-se que o módulo da velocidade do som no ar vale 340 m/s, é correto afirmar que as 
duas frequências mais baixas emitidas por um desses tubos, de comprimento igual a 50 cm, são: 
(A) 170 Hz e 340 Hz 
(B) 170 Hz e 510 Hz. 
(C) 200 Hz e 510 Hz. 
(D) 340 Hz e 510 Hz. 
(E) 200 Hz e 340 Hz. 
 
06.Um violinista deseja aumentar a frequência do som emitido por uma das cordas do seu instrumento. 
Isto poderá ser conseguido: 
(A) aumentando-se o comprimento vibratório e tracionando-se mais intensamente a corda; 
(B) diminuindo-se o comprimento vibratório e tracionando-se menos intensamente a corda; 
(C) diminuindo-se o comprimento vibratório e tracionando-se mais intensamente a corda; 
(D) aumentando-se o comprimento vibratório e tracionando-se menos intensamente a corda; 
(E) todas as sugestões são inadequadas para que o violinista consiga seu objetivo. 
 
07.Se a frequência do 3º harmônico numa corda vibrante de comprimento 1,2 metros é 150 Hz e sua 
massa é de 240 gramas determine com que velocidade as ondas se propagam ao longo dessa corda. 
 
08. (EFEI-MG) Uma pessoa parada na beira de uma estrada vê um automóvel aproximar-se com 
velocidade 0,1 da velocidade do som no ar. O automóvel está buzinando, e a sua buzina, por 
especificação do fabricante, emite um som puro de 990 Hz. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
196 
 
O som ouvido pelo observador terá uma frequência de: 
(A) 900 Hz 
(B) 1 100 Hz 
(C) 1 000 Hz 
(D) 99 Hz 
(E) Não é possível calcular por não ter sido dada a velocidade do som no ar 
 
09. (UFCE) Você está parado, em um cruzamento, esperando que o sinal vermelho fique verde. A 
distância que vai de seu olho até o sinal é de 10 metros. Essa distância corresponde a vinte milhões de 
vezes o comprimento de onda da luz emitida pelo sinal. Usando essa informação, você pode concluir, 
corretamente, que a frequência da luz vermelha é, em hertz: 
(A) 6 106 
(B) 6 108 
(C) 6 1010 
(D) 6 1012 
(E) 6 1014 
 
10. (Fuvest-SP) Um rádio receptor opera em duas modalidades: uma, AM, cobre o intervalo de 550 a 
1 550 kHz, e outra, FM, de 88 a 108 MHz. A velocidade das ondas eletromagnéticas vale 3 108 m/s. Quais, 
aproximadamente, o menor e o maior comprimentos de onda que podem ser captados por esse rádio? 
(A) 0,0018 m e 0,36 m 
(B) 0,55 m e 108 m 
(C) 2,8 m e 545 m 
(D) 550 103 m e 108 106 m 
(E) 1,6 1014 m e 3,2 1016 m 
 
11. (UEPA) A voz humana, produzida pela vibração das cordas vocais, fica alterada durante processos 
inflamatórios caracterizados pelo aumento do volume de fluidos nas cordas, produzindo a rouquidão. 
Considere que as cordas vocais se comportam como cordas vibrantes, com extremidades fixas. 
Considere ainda, como um modelo para rouquidão, que o efeito do inchaço é apenas aumentar a 
densidade da corda. Nestas condições: 
a) Qual a qualidade fisiológica do som que diferencia a voz rouca da voz normal? 
b) Qual a alteração de frequência produzida pela rouquidão? Justifique utilizando o modelo da corda 
vibrante. 
 
 
Respostas 
01.Resposta 
Devido ao movimento relativo entre o observador e a fonte sonora a frequência ouvida pelo homem 
será diferente da frequência emitida pelo apito do trem, o chamado efeito Doppler é dado por 
 
02.Resposta: 
Utilizando a equação generalizada do efeito Doppler: 
 
No primeiro caso, quando o trem se aproxima e o observador permanece parado: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
197 
 
 
No segundo caso, quando o trem se afasta e o observador permanece parado: 
 
Para encontramos a velocidade do trem podemos isolar a frequência do som emitido pelo apito e 
resolver a equação, ou podemos dividir uma equação pela outra: 
 
 
03. Resposta: D. 
 
04. Resposta: 
F F V F 
(1) Falsa --- a frequência da fonte é a mesma 
(2) Falsa 
(3) Verdadeira --- a distância fonte-observador é a mesma 
(4) Falsa --- vale também para a luz que não necessita de um meio material para se propagar. 
 
05. Resposta: B. 
Tubos fechados só emitem harmônicos ímpares 
fn=nV/4L 
f1=1X340/4X0,5 
f1=11770Hz 
f3=3X340/4X0,5 
f3=510Hz 
 
06. Resposta: C. 
 
07. Resposta: 
F = Nº de harmônicos ∙ V / 2L 
150 = 3V / 2 ∙1.2 
150 = 3V / 2.4 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
198 
 
3V = 360 
V = 360 / 3 
V = 120 m/s 
 
08. Resposta: B. 
Dados: 
vf = 0,1 var 
f = 990 Hz 
Utilizamos a equação: 
f0 = f (var + v0)/(var - vf) 
f0 = 990 (var + 0)/ (var - 0,1var ) → f0 = 990 . var/ 0,9 var → Simplificando var, temos: f0 = 1.100 Hz 
 
09. Resposta: E. 
Sendo: 
10=20.106 =5.10-7m 
Logo: 
V=.f3.108=5.10-7 f 
f=6.1024 Hz 
 
10. Resposta: 
Alternativa c. Lembrando que v =.f, onde v 3 108 m/s, concluímos que o comprimento de onda  é 
o menor quando a frequência f é a maior, e  é o maior quando f é a menor. 
Assim, 
menor= 
3.108
108106
 menor=2,8m 
 
maior= 
3.108
550103
 maior=545m 
 
11. Resposta: 
a) A altura, pois a voz rouca é mais grave que a normal. 
V é proporcional a f. 
V é proporcional a √
1
𝜇
 
b) Se 𝜇 aumenta, então f diminui. 
Logo, a rouquidão provoca diminuição da frequência da voz. 
Observação: Supondo  constante 
 
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199 
 
 
 
A eletrostática é a parte da Física responsável pelo estudo das cargas elétricas em repouso. 
 
CARGAS ELÉTRICAS 
Toda a matéria que conhecemos é formada por moléculas. Esta, por sua vez, é formada de átomos, 
que são compostos por três tipos de partículas elementares: prótons, nêutrons e elétrons. 
Os átomos são formados por um núcleo, onde ficam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera, onde os 
elétrons permanecem, em órbita. 
Os prótons e nêutrons têm massa praticamente igual, mas os elétrons têm massa milhares de vezes 
menor. Sendo m a massa dos prótons, podemos representar a massa dos elétrons como:Ou seja, a massa dos elétrons é aproximadamente 2 mil vezes menor que a massa dos prótons. 
Podemos representar um átomo, embora fora de escala, por: 
 
 
 
A carga elétrica é uma propriedade que está intimamente associada a certas partículas elementares 
que formam o átomo (prótons e elétrons). O modelo do sistema planetário é o modelo simples mais 
adotado para explicar como tais partículas se distribuem no átomo. De acordo com o modelo planetário, 
os prótons e nêutrons localizam-se no núcleo, já os elétrons estão em uma região denominada eletrosfera. 
Se pudéssemos separar os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, e lançá-los em direção à um 
imã, os prótons seriam desviados para uma direção, os elétrons a uma direção oposta a do desvio dos 
prótons e os nêutrons não seriam afetados. 
Esta propriedade de cada uma das partículas é chamada carga elétrica. Os prótons são partículas 
com cargas positivas, os elétrons tem carga negativa e os nêutrons tem carga neutra. 
 
3.2.1.6 Eletricidade e Magnetismo: Carga elétrica. Constituição 
atômica. Condutores e isolantes. Campo elétrico. Linhas de força. Lei de 
Coulomb. Potencial elétrico. Superfícies equipotenciais. Campo elétrico 
uniforme. Diferença de potencial entre dois pontos de um campo 
elétrico. Movimento de cargas elétricas puntiformes por ação de campo 
elétrico. Corrente elétrica. Geradores. Receptores. Força eletromotriz. 
Resistência interna de um gerador. Rendimento. Resistores. Lei de Ohm. 
Energia e potência. Efeito Joule. Associação de resistores. Circuitos 
elementares. Lei dos nós. Lei das malhas. Capacitores. Energia 
armazenada por capacitores. Associação de capacitores. Campo 
magnético. Indução magnética. Linhas de Campo. Ação do campo 
magnético sobre cargas elétricas e fios condutores. Campos magnéticos 
gerados por correntes elétricas. Magnetização. Indução 
eletromagnética. Transformadores. Lei de Lenz e Lei de Faraday. Noções 
de corrente alternada. 
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200 
 
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de carga elétrica é o coulomb (C). O próton e 
o elétron, em módulo, possuem a mesma quantidade de carga elétrica. O valor da carga do próton e do 
elétron é denominado quantidade de carga elementar (e) e possui o valor de: e=1,6 .10-19 C 
 
Como 1 C é uma quantidade de carga elétrica muito grande, é comum a utilização dos seus 
submúltiplos: 
1 mC (milicoulomb)= 10-3 C 
1 μC (microcoulomb)= 10-6 C 
1 nC (nanocoulomb)= 10-9 C 
 
A quantidade de carga elétrica total (Q) será sempre um múltiplo inteiro (n) vezes o valor da carga 
elementar (e). Essa quantidade de carga pode ser determinada através da seguinte expressão: 
 
Q = n . e 
 
Geralmente quando um corpo qualquer apresenta o número de prótons igual ao de elétrons dizemos 
que esse corpo está eletricamente neutro, ou seja, o corpo possui carga total igual a zero. Portanto, 
quando o corpo apresenta número de prótons diferente do número de elétrons, dizemos que o corpo se 
encontra eletrizado, ou seja, o corpo apresenta carga elétrica diferente de zero. 
Dessa forma, um corpo estará eletrizado quando perde ou recebe elétrons. 
 
Corpo neutro np=ne 
Corpo positivo npne Cedeu elétrons 
Corpo negativo np ne Recebeu elétrons 
 
 
ELETRIZAÇÃO 
Eletrizar um corpo significa basicamente tornar diferente o número de prótons e de elétrons 
(adicionando ou reduzindo o número de elétrons). 
A eletrostática é basicamente descrita por dois princípios, o da atração e repulsão de cargas conforme 
seu sinal (sinais iguais se repelem e sinais contrários se atraem) e a conservação de cargas elétricas, a 
qual assegura que em um sistema isolado, a soma de todas as cargas existentes será sempre constante, 
ou seja, não há perdas. 
 
Corpo eletrizado positivamente 
Quando um corpo possui uma maior quantidade de cargas positivas, dizemos que perdeu elétrons, e 
por isso está eletrizado positivamente. Obs.: Um corpo nunca ganha prótons, porque está localizado na 
parte central do núcleo do átomo. 
 
Corpo eletrizado negativamente 
É quando um corpo possui mais cargas negativas que positivas, ou seja, quando ganha elétrons. 
 
Atração dos corpos 
Quando partículas estão eletrizadas com cargas de sinais contrários, se atraem. 
 
Repulsão dos corpos 
Quando partículas estão eletrizadas com cargas de sinais iguais, se repelem. 
 
 
 
 
 
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201 
 
Processos de Eletrização 
 
Eletrização por atrito 
Quando dois corpos inicialmente neutros são atritados, se eletrizam e, em virtude do atrito ocasionado, 
um corpo ficará com carga positiva e o outro com carga negativa. 
 
Processo de eletrização por atrito ente o vidro e a lã 
 
Eletrização por contato 
Quando dois corpos (um eletrizado e outro inicialmente neutro) entram em contato, o corpo neutro fica 
com a mesma carga do eletrizado. 
 
Processo de Eletrização por contato 
 
 
 
Por exemplo: 
Um corpo condutor A com carga é posto em contato com outro corpo neutro . Qual 
é a carga em cada um deles após serem separados. 
 
Um corpo condutor A com carga é posto em contato com outro corpo condutor B com 
carga , após serem separados os dois o corpo A é posto em contato com um terceiro corpo 
condutor C de carga qual é a carga em cada um após serem separados? 
 
 
 
Ou seja, neste momento: 
 
 
Após o segundo contato, tem-se: 
 
 
E neste momento: 
 
 
Ou seja, a carga após os contados no corpo A será +1C, no corpo B será -2C e no corpo C será +1C. 
 Um corpo eletrizado em contato com a terra será neutralizado, pois se ele tiver falta de elétrons, estes 
serão doados pela terra e se tiver excesso de elétrons, estes serão descarregados na terra. 
 
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202 
 
Eletrização por indução 
É quando a eletrização de um corpo inicialmente neutro (induzido) acontece por simples aproximação 
de um corpo carregado (indutor), sem que haja contato entre os corpos. O induzido deve estar ligado a 
Terra ou a um corpo maior que possa lhe fornecer elétrons ou que dele os receba num fluxo provocado 
pela presença do indutor. 
 
Processo de eletrização por indução 
 
 
PONTE DE WHEATSTONE 
A ponte de Wheatstone é um circuito elétrico utilizado para medir uma resistência desconhecida, 
normalmente com valor próximo às outras resistências do circuito. Pode ser utilizado também para se 
medir duas resistências que variam de maneira espelhada, enquanto uma aumenta seu valor, a outra 
diminui o seu valor de forma proporcional. 
O circuito de uma ponte de Wheatstone é mostrado na figura 1. O dispositivo sensor de equilíbrio pode 
ser um galvanômetro se a ponte for alimentada por tensão contínua. No entanto, a ponte pode ser 
alimentada por um sinal de áudio caso em que o dispositivo sensor pode ser um fone de ouvido de alta 
impedância ou ainda um transdutor piezoelétrico. 
 
 
Figura 1 – O circuito básico da ponte. 
 
Quando utilizada para medidas de resistências, uma das resistências é desconhecidas (R4 = Rx, por 
exemplo) e outra é variável para encontrar o ponto de equilíbrio da ponte (R3 por exemplo) 
 
Formula 1 
Quando no equilíbrio: 
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203 
 
R4 = (R1/R2) * R3 
 
Onde: R1, R2, R3, R4 são as resistências nos braços da ponte em ohms (?) 
 
Exemplo de Aplicação: 
Qual é o valor de R4 na ponte mostrada na figura 1 quando na condição de equilíbrio é encontrada 
sendo R1 = 100 ohms, R2 =200 ohms e R3 = 300 ohms? 
 
Dados: R1 = 100 ohms 
R2 = 200 ohms 
R3 = 300 ohms 
R4 = ? 
 
Usando a fórmula 1: 
 
R4 = (100/200) * 300 
R4 = 150 ohms 
 
LEI DE BIOT-SAVART 
A Lei de Biot-Savart relaciona campo magnético com a corrente que a gera. Isso ocorre de maneira 
semelhante à Lei de Coulomb, que relaciona campo elétrico às cargas que o geram. Encontrar o campo 
magnético resultante de uma correnteenvolve o produto vetorial e é inerente a um problema de cálculo 
quando a distância de uma corrente para um ponto está constantemente em movimento. 
Isso ocorre de maneira semelhante à Lei de Coulomb, que relaciona campo elétrico às cargas que o 
geram. 
 
 
Na figura acima temos uma carga q positiva que se move com uma velocidade v. Vamos agora considerar 
o plano determinado por v e P: através da regra da mão direita podemos determinar o campo magnético 
(B), produzido pela carga em um ponto P a uma distância r dela. Pela figura, podemos ver que o campo 
é perpendicular ao plano. Dessa forma, podemos achar o módulo do campo magnético (B) através da 
equação: 
 
LEI DE COULOMB 
Esta lei, formulada por Charles Augustin Coulomb, refere-se às forças de interação (atração e 
repulsão) entre duas cargas elétricas puntiformes, ou seja, com dimensão e massa desprezível. 
Lembrando que, pelo princípio de atração e repulsão, cargas com sinais opostos são atraídas e com 
sinais iguais são repelidas, mas estas forças de interação têm intensidade igual, independente do sentido 
para onde o vetor que as descreve aponta. 
O que a Lei de Coulomb enuncia é que a intensidade da força elétrica de interação entre cargas 
puntiformes é diretamente proporcional ao produto dos módulos de cada carga e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância que as separa. Ou seja: 
 
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204 
 
Onde a equação pode ser expressa por uma igualdade se considerarmos uma constante k, que 
depende do meio onde as cargas são encontradas. O valor mais usual de k é considerado quando esta 
interação acontece no vácuo, e seu valor é igual a: 
 
Então podemos escrever a equação da lei de Coulomb como: 
 
Onde: F → é a força elétrica entre as cargas k → é a constante eletrostática no vácuo (ko = 9 x 
109 N.m2/C2) 
Q → carga elétrica 
d → distância 
 
Unidades no SI: 
Cargas Q1 e Q2 – coulomb (C) 
Distância d – metro (m) 
Força elétrica F – newton (N) 
Constante eletrostática k – N.m2/C2 
Para se determinar se estas forças são de atração ou de repulsão utiliza-se o produto de suas cargas, 
ou seja: 
 
 
CAMPO ELETRICO 
O campo elétrico é o campo de força provocado pela ação de cargas elétricas, (elétrons, prótons ou 
íons) ou por um sistemas delas. Cargas elétricas num campo elétrico estão sujeitas e provocam forças 
elétricas. 
A fórmula usada para se calcular a intensidade do vetor campo elétrico (E) é dada pela relação entre 
a força elétrica (F) e a carga de prova (q): 
 
E as unidades de campo elétrico se dão em: 
 
 
Vale notar que um campo elétrico só pode ser detectado a partir da interação do mesmo com uma 
carga de prova. Caso não haja interação com a carga, podemos dizer que o campo não existe naquele 
local. Quando o campo elétrico é criado em uma carga positiva ele, por convenção, terá um sentido de 
afastamento 
 
 
Quando o campo elétrico é criado em uma carga negativa ele, por convenção, terá um sentido de 
aproximação. 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
205 
 
 
A direção do campo elétrico é a mesma da força elétrica; seu sentido dependerá do sinal da carga q0: 
• q0 > 0, o sentido do campo é o mesmo da força; 
• q0< 0, o sentido do campo é contrário ao da força 
 
POTENCIAL ELÉTRICO 
Potencial elétrico é uma grandeza escalar que mede a energia potencial elétrica por unidade de carga 
de prova, ou seja, é a constante de proporcionalidade na razão entre energia potencial elétrica e carga 
de prova. 
De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente entre a energia 
potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja: 
 
Logo: 
 
A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físico italiano 
Alessandro Volta, e a unidade designa Joule por coulomb (J/C). 
Quando existe mais de uma partícula eletrizada gerando campos elétricos, em um ponto P que está 
sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos os potenciais criados por cada 
carga, ou seja: 
 
Uma maneira muito utilizada para se representar potenciais é através de equipotenciais, que são linhas 
ou superfícies perpendiculares às linhas de força, ou seja, linhas que representam um mesmo potencial. 
 
Trabalho de uma força elétrica 
O trabalho que uma carga elétrica realiza é análogo ao trabalho realizado pelas outras energias 
potenciais usadas no estudo de mecânica, ou seja: 
Se imaginarmos dois pontos em um campo elétrico, cada um deles terá energia potencial dada por: 
 
Sendo o trabalho realizado entre os dois pontos: 
 
Mas sabemos que, quando a força considerada é a eletrostática, então: 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
206 
 
 
 
Considere dois pontos de um campo elétrico, A e B, cada um com um posto a uma distância diferente 
da carga geradora, ou seja, com potenciais diferentes. Se quisermos saber a diferença de potenciais entre 
os dois devemos considerar a distância entre cada um deles. Dessa maneira, teremos que sua tensão 
ou d.d.p (diferença de potencial) será expressa por U e calculada por: 
 
Exemplo: 
 Uma partícula com carga q = 2. 10-7 C se desloca do ponto A ao ponto B, que se localizam numa 
região em que existe um campo elétrico. Durante esse deslocamento, a força elétrica realiza um trabalho 
igual a 4. 10-3 J sobre a partícula. Determine a diferença de potencial VA – VB entre os dois pontos 
considerados. 
 Como o trabalho realizado pela força elétrica no deslocamento é igual à carga vezes a diferença de 
potencial, assim temos: 
 
Como o exercício pede a diferença de potencial e nos fornece outros dados, temos: 
 
 
Questões 
 
01. Um corpo condutor inicialmente neutro perde 5,0.1013 elétrons . Considerando a carga elementar 
e=1,6.10-19 C , qual será a carga elétrica no corpo após esta perda de elétrons? 
 
02. Um corpo possui 5,0.1019 e 4,0.1019 . Considerando a carga elementar e=1,6.10-19 C, qual a carga 
deste corpo? 
 
03. (UFRN) Uma das aplicações tecnológicas modernas da eletrostática foi a invenção da impressora 
a jato de tinta. Esse tipo de impressora utiliza pequenas gotas de tinta, que podem ser eletricamente 
neutras ou eletrizadas positiva ou negativamente. Essas gotas são jogadas entre as placas defletoras da 
impressora, região onde existe um campo elétrico uniforme E, atingindo, então, o papel para formar as 
letras. A figura a seguir mostra três gotas de tinta, que são lançadas para baixo, a partir do emissor. Após 
atravessar a região entre as placas, essas gotas vão impregnar o papel. (O campo elétrico uniforme está 
representado por apenas uma linha de força.) 
Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38
 
207 
 
 
Pelos desvios sofridos, pode-se dizer que a gota 1, a 2 e a 3 estão, respectivamente: 
(A) carregada negativamente, neutra e carregada positivamente 
(B) neutra, carregada positivamente e carregada negativamente 
(C) carregada positivamente, neutra e carregada negativamente 
(D) carregada positivamente, carregada negativamente 
(E) neutra 
 
04. (UNI-RIO) Três esferas idênticas, muito leves, estão penduradas por fios perfeitamente isolantes, 
num ambiente seco, conforme mostra a figura. Num determinado instante, a esfera A (QA =20µ C) toca 
a esfera B (QB=- 2 µC); após alguns instantes, afasta-se e toca na esfera C (QC=- 6 µC), retornando à 
posição inicial. 
 
Após os contatos descritos, as cargas das esferas A, B e C são, respectivamente, iguais a (em C): 
(A) QA= 1,5 QB= 9,0 QC= 1,5 
(B) QA= 1,5 QB= 11 QC = 9,0 
(C) QA= 2,0 QB= -2,0 QC = -6,0 
(D) QA= 9,0 QB= 9,0 QC= 9,0 
(E) QA= 9,0 QB= 9,0 QC = 1,5 
 
05. (Efoa-MG) Um sistema é constituído por um corpo de massa M, carregado positivamente com 
carga Q, e por outro corpo de massa M, carregado negativamente com carga Q. Em relação a este 
sistema pode-se dizer que: 
(A) sua carga total é -Q e sua massa total é 2M 
(B)