Newton e Leibniz Profa. Dra. Fernanda Oliveira Simon HISTÓRIA DA MATEMÁTICA MHM001

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Há relatos segundo os quais Newton passava 18 ou 19 horas por dia escrevendo e que dão conta de
sua notável capacidade de concentração. Contam-se histórias pitorescas, talvez apócrifas, para ilustrar
sua distração quando mergulhado em elucubrações. Narra uma delas que, certa vez, quando oferecia
um jantar a seus amigos, Newton saiu da mesa para buscar uma garrafa de vinho, engolfou-se em
cogitações, esqueceu-se do que ia fazer, foi para o quarto, vestiu a sobrepeliz e acabou na capela.
Noutra ocasião, Newton foi convidado por seu amigo, Dr. Stukeley, para um jantar. O prato era frango e,
como o convidado demorasse, foi servido em sua ausência, numa travessa coberta por uma tampa.
Achando talvez que o amigo se tivesse esquecido do convite, o Dr. Stukeley resolveu jantar sozinho:
tirou a tampa da travessa, trinchou e comeu o frango, pôs os ossos na mesma travessa e tampou-a.
Mas Newton acabou aparecendo, cumprimentou o amigo, sentou-se, levantou a tampa da travessa e,
ao ver apenas os restos, disse: “Tinha me esquecido de que já jantamos”. E noutra oportunidade,
quando ia a cavalo para casa, Newton desmontou ao pé de uma colina a fim de conduzir o animal pela
rédea na subida. Mas o cavalo, que ainda não conhecia bem os hábitos do dono, acabou escapulindo,
deixando-o apenas com as rédeas nas mãos. Newton, porém, só foi descobrir isso quando, no topo da
subida, procurou saltar de novo para a sela.
(EVES, 2011, p.441)
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
NEWTON (1642-1727)
Nenhum trabalho de Isaac Newton teve mais peso e impacto do
que sua contribuição à Matemática. Talvez você ache estranho
essa afirmação, lembrando-se das famosas Leis de Newton,
base da Mecânica Clássica. Mas essas leis só têm importância
graças ao rigor matemático dado por Newton para explicar a
natureza. Nasceu prematuramente no dia de Natal de 1642,
ano da morte de Galileu. Seu pai tinha morrido antes do seu
nascimento e sua mãe casou novamente quando ele tinha 3
anos. O menino foi educado pela avó enquanto frequentava a
escola da vizinhança e um tio materno que morava em
Cambridge percebeu no sobrinho um talento matemático
incomum. Assim, convenceu a mãe a matriculá-lo em Cambridge. Jovem ainda, ingressou no Trinity
College em 1661. A química, a princípio, pareceu ser seu principal interesse. Todavia, no primeiro ano
de estudos, comprou e estudou um exemplar de Euclides. Logo depois, conheceu trabalhos de
Descartes, Kepler, Viète, Galileu, Fermat, Huygens (BOYER, 1974).
 
Os trabalhos de Newton e Leibniz0
TEXTO-BASE
Os trabalhos de Newton e Leibniz
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Os teoremas, axiomas, proposições, lemas e outras características matemáticas fascinaram Newton.
Encontrou na matemática uma certeza e segurança que certamente não encontrou em nenhuma outra
área que estudou (e ele estudou muitas!).
Por volta do final de 1664, parece ter atingido as fronteiras do conhecimento matemático, estando pronto
para fazer contribuições próprias. Suas primeiras descobertas datam de 1665 e resultaram na expressão
de funções em termos de séries infinitas. Na mesma data começou a pensar na taxa de variação de
fluxo, de quantidades variáveis continuamente, ou fluentes (como comprimentos, áreas, volumes,
distâncias e temperaturas). Foi a partir da junção dessas duas ideias (séries infinitas e taxas de
variação), que Newton desenvolveu o “seu método”.
Durante boa parte de 1665-1666, logo depois que Newton ter obtido seu grau, o Trinity College foi
fechado por conta da peste negra que assolava a Inglaterra. Nesse período, Newton voltou para sua
casa de infância (em Whoolsthorpe). E esse período de “férias” foi o mais produtivo período de
descoberta matemática da história. Ao longo dos meses que Newton passou na sua casa de infância,
ele descobriu o teorema binomial, o cálculo, a lei da gravitação e a natureza das cores. Claro que toda
sua produção não foi desenvolvida em curto tempo. Passou anos estudando e aprimorando seus
métodos e descobertas. Mas podemos dizer que a imaginação correu solta neste período.
Vamos falar um pouco sobre algumas dessas contribuições.
 
O BINÔMIO DE NEWTON
Não se trata nem de uma teoria, nem de uma descoberta. O Binômio de Newton é uma maneira
diferente de escrever expressões que podem representar números e permite escrever na forma
canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio.
Deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o
que Newton estudou foram regras que valem para (a + b) quando o expoente n é fracionário ou inteiro
negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.
Casos particulares do Binômio de Newton são:
O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
Os coeficientes são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
n 
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onde n e k são inteiros, k n e x! = 1 x 2 x...n é o fatorial de x.
O próprio Newton nunca publicou o teorema binomial, nem o provou: mas redigiu e finalmente publicou
várias exposições de sua análise infinita. Daí por diante, encorajados por Newton, outros homens não
tentaram mais evitar processos infinitos, como tinham feito os gregos, pois esses eram agora
considerados como matemática legítima.
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Uma das características de Newton era o fato dele usar muito a representação de fenômenos naturais
na forma gráfica. Em seus estudos, em 1666, Newton ainda não tinha desenvolvido sua notação para
fluxos, mas já tinha formulado um método sistemático de diferenciação que não estava muito longe de
ser publicado. Newton, ao observar gráficos curvos, passou a representar um intervalo muito pequeno (a
partir de pequenas variações de x e y). A razão entre essas pequenas variações de x e y, será a razão
das taxas de variação de y e x, ou seja, a inclinação da reta (figura 1)
 
Figura 1. Coeficiente angular.
 
Aplicando seus conhecimentos, parece que, pela primeira vez na história da matemática, foi possível
calcular a área pelo inverso daquilo que chamamos hoje de diferenciação. Newton foi capaz de mostrar
que área sob a curva era possível de ser calculada de forma precisa para pequenas variações de x e y.
Assim, Newton tornou-se o efetivo inventor do cálculo pois foi capaz de explorar a relação inversa entre
a inclinação e área através de sua nova análise infinita (BOYER, 1974).
A partir dos gráficos que Newton tanto aprendeu a gostar ao estudar os trabalhos de Descartes, ele
percebeu que pegando um trecho muito pequeno de um gráfico seria possível diminuí-lo ainda mais, até
que o mesmo fosse minúsculo, infinitesimal. Notou ainda que esse pedaço muito pequeno, era cada vez
mais parecido com a tangente. Newton chamou essa taxa, esse declive da reta tangente de derivada.
 
Na primeira edição dos Principia, Newton reconheceu que Leibniz estava de posse de um método
semelhante, mas na terceira edição (1726), após rancorosa disputa entre aliados dos dois em relação à
independência e prioridade da descoberta do cálculo, Newton retirou a referência ao cálculo de Leibniz.
Hoje está claro que a descoberta de Newton antecede à de Leibniz em cerca de 10 anos. Mas a
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descoberta de Leibniz foi independente da de Newton. Além disso, Leibniz tem prioridade de publicação,
já que fez isso em 1684, 2 anos antes de Newton ter publicado seu trabalho.
 
Na busca por achar a primeira e a última razão, de tamanho infinitesimal, Newton se aproxima do
conceito de limite. E uma pergunta então fora feita: Existe realmente uma razão entre incrementos que
desapareceram? (de tão minúsculos que ficaram). Newton não esclareceu essa questão que continuou a
perseguir os matemáticos ao longo de todo o século XVIII.
A base de toda Mecânica desenvolvida por Newton em sua mais conhecida obra Princípios Matemáticos
da Filosofia Natural (Philosophiae naturalis principia mathematica, também referido como Principia
Mathematica ou simplesmente, Principia) apoia em suas ideias de cálculo diferencial e integral.
Newton não foi o primeiro a diferenciar ou integrar, nem a ver a relação entre essas operações no
teorema fundamental do cálculo. Sua descoberta consistiu na consolidação desses elementos em um
algoritmo aplicável a todas as funções (BOYER, 1974).
As atividades docentes universitárias de Newton no período de 1673 a 1683 se concentraram em
álgebra e teoria das equações. Foi nesse período, em 1679, que ele verificou sua lei da gravitação,
usando uma nova medida do raio da Terra, em conjunção com o estudo do movimento da Lua.
Estabeleceu também a compatibilidade de sua lei da gravitação com as leis do movimento planetário de
Kepler, com base na hipótese de que o Sol e os planetas podem ser considerados pontos materiais.
Mas Newton não comunicou a ninguém essas descobertas antes de 1684. Nesse ano, ao procurá-lo
para discutir a lei da força que faz com que o movimento planetário seja elíptico, Halley acabou se
inteirando delas. Essa conversa reacendeu o interesse de Newton pela mecânica celeste, levando-o a
elaborar muitas das proposições que posteriormente seriam fundamentais para o primeiro livro dos
Principia. Quando Halley, algum tempo mais tarde, viu o manuscrito de Newton, percebeu sua enorme
importância e obteve a garantia do autor de enviar os resultados à Royal Society, o que Newton fez. Por
volta da mesma época, ele finalmente resolveu um problema que o vinha preocupando há alguns anos,
a saber, que um corpo esférico cuja densidade em cada ponto depende só de sua distância ao centro
da esfera atrai uma partícula externa a ela, como se toda a sua massa se concentrasse no centro. Esse
teorema completava sua justificação das leis do movimento planetário de Kepler, pois o pequeno desvio
do Sol e dos planetas da esfericidade verdadeira é no caso desprezível. Newton agora trabalhava a
sério em sua teoria e, num esforço intelectual gigantesco, escreveu o primeiro livro de seus Principia por
volta do verão de 1685. Um ano mais tarde, também o segundo estava pronto e o terceiro iniciado.
Acusações ciumentas de Hooke, com os desgostos subsequentes, quase o fizeram abandonar o
terceiro livro, do que foi dissuadido por Halley. O tratado completo, intitulado Philosophiae naturalis
principia mathematica, foi publicado, a expensas de Halley, na metade de 1687, sendo sua repercussão
na Europa imediata e impressionante
(EVES, 2011, p.437-438)
 
LEIBNIZ (1646-1716)
Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu no dia 1 de julho de 1646, em Leipzig, na Alemanha. Ingressou na
Universidade aos 15 anos e aos 17 já havia era bacharel. Estudou Teologia, Direito, Filosofia e
Matemática na Universidade. Muitos historiadores consideram que Leibniz foi o último erudito com
conhecimento universal.
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Aos 20 anos estava preparado para receber o título de doutor
em direito, mas lhe foi recusado por ser muito jovem. Deixou
então Leipzig e foi receber o seu título de doutor na
Universidade de Altdorf, em Nuremberg.
A partir de então, Leibniz entrou para a vida diplomática. Como
representante do governo, influente, teve oportunidade de
viajar muito durante toda vida. Em 1672 foi para Paris onde
conheceu Huygens que lhe sugeriu a leitura dos tratados de
Blaise Pascal (de 1658) se quisesse tornar-se um matemático.
Em 1673, visitou Londres, onde adquiriu uma cópia da obra
Lectiones Geometricae, de Isaac Barrow e tornou-se membro
da Royal Society. Devido a essa visita apareceram rumores de
que Leibniz talvez tivesse visto o trabalho de Newton, que por
sua vez o teria influenciado na descoberta do Cálculo,
colocando em dúvida a legitimidade de suas descobertas na área (BOYER, 1974).
Sabemos hoje que tal acusação não teria sido possível, já que Leibniz, durante a mencionada visita à
Londres, não possuía conhecimentos de geometria e análise suficientes para entender o trabalho de
Isaac Newton. Foi somente a partir de então que a Matemática tornou-se constante nas descobertas de
Leibniz.
Em posterior visita a Londres, Leibniz teria levado uma máquina de calcular de sua invenção. Uma das
muitas contribuições de Leibniz à Matemática foi o estudo da aritmética binária que, segundo ele, havia
sido utilizada pelos chineses e estaria presente no famoso livro I Ching.
Da mesma forma como aconteceu com Newton, o estudo de séries infinitas foi primordial no início de
suas descobertas. Relacionando o triângulo de Pascal e o triângulo harmônico, percebeu uma forma de
encontrar o resultado de muitas séries infinitas convergentes.
A essa altura, voltou-se para o trabalho de Blaise Pascal (Traité des sinus du quart de cercle) que lhe
teria dado uma importante ideia:
A determinação da tangente a uma curva dependia das diferenças das abscissas e ordenadas na
medida em que essas se tornassem infinitamente pequenas e que a quadratura (a área), dependia da
soma das ordenadas ou retângulos infinitamente finos.
Essa ideia levaria Leibniz em 1676 a chegar às mesmas conclusões que havia chegado Isaac Newton
alguns anos antes. Leibniz tinha em mãos um método importante dada sua abrangência. Independente
de uma função ser racional ou irracional, algébrica ou transcendente (termo criado por Leibniz), as
operações para encontrar "somas" (integrais) ou "diferenças" (diferenciais) poderiam ser sempre
aplicadas (BOYER, 1974).
A partir destas ideias, Leibniz elaborou uma notação apropriada para estas operações. E também
batizou-as de: Cálculo Diferencial e Cálculo Integral (ambas denominações utilizadas nos dias
correntes).
Leibniz publicou o primeiro trabalho sobre Cálculo Diferencial em 1684 (antes mesmo do que Newton). A
obra tinha o título de Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales
quantitates moratur. É nesse trabalho que apareceram as fórmulas:
d(xy) = xdy + ydx (derivada do produto)
d(x/y) = (ydx - xdy)/y (derivada do quociente)
dx = nx 
2
n n-1
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Em 1686, 2 anos mais tarde, Leibniz publicara no periódico Acta Eruditorum, um trabalho sobre o
Cálculo Integral, onde apresenta o problema da quadratura como um caso especial do método do
inverso das tangentes.
Além do Cálculo, Leibniz contribuiu para a Matemática também em outras áreas:
A importância das contribuições e descobertas de Leibniz para o Cálculo e para a Matemática são tão
grandes que outras áreas onde atuou são frequentemente deixadas de lado ao se contar sobre sua
história (e foram várias áreas). Todavia,Leibniz é também considerado um dos 7 filósofos modernos de
maior importância.
Leibniz era tanto filósofo quanto matemático. Por isso, sua contribuição mais significativa, além do
cálculo, foi em lógica. 
 
Leibniz era capaz de ficar sentado na mesma cadeira por vários dias pensando. Era incansável. E
também um correspondente universal: tinha mais de 600 correspondentes. Era patriota, cosmopolita e
um dos gênios mais influentes do Ocidente. Em julho de 1716 adoeceu, e ficou acamado até a sua
morte, dia 14 de novembro de 1716, em Hannover, Alemanha.
 
Também era cientista, além de filósofo. Mas, suas contribuições para a ciência foram de certa forma
obscurecidas pela sombra de Isaac Newton, que formulou a lei da gravitação. 
Na Física, Leibniz negou a teoria da gravitação de Newton já que acreditava que nenhum corpo podia
entrar em movimento "naturalmente" a não ser através do contato com outro corpo que o impulsionaria.
Também rejeitou os conceitos newtonianos de espaço e tempo absolutos. Junto com Huygens, Leibniz
criou o conceito de energia cinética. Isto, não obstante, não o faz menos importante que Newton na
descoberta do Cálculo (BOYER, 1974).
Na realidade Leibniz e Newton foram os dois maiores protagonistas na descoberta desta poderosa
ferramenta matemática. Acredita-se que, cada um, a seu modo, descobriu o cálculo de forma isolada e
paralela. Mas foi a notação de Leibniz a que ficou imortalizada e é usada até hoje nos livros de Cálculo.
 
REFERÊNCIAS
BOYER, C.B. História da Matemática. Trad. GOMIDE, E.F. São Paulo. Ed. Edgard Blücher, 1974.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. DOMINGUES, H.H. 5a. edição, Campinas. Ed.
UNICAMP. 2011.
Generalizou o teorema do binômio em Teorema do Multinômio, para expansões do tipo (x + y + z) ;a. n
Fez a primeira referência do método dos determinantes no ocidente;b.
Reelaborou e desenvolveu o conceito de lógica simbólica;c.
Contribuiu também para a teoria de probabilidades e a análise combinatória;d.
Graças a Leibniz o símbolo ~ (semelhante) fora criado (BOYER, 1974). e.